12. EINFÜHRUNG IN DIE DIF .zzxzx zx x fx z z x z x zx x nx nn nn n n n zx nn n n n n ()... lim(

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  • Differentialrechnung

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    12. EINFHRUNG IN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG

    12.1. Problemstellung

    (a) Die mittlere nderungsrate

    In nebenstehender Tabelle sind die zu verschiedenen Tageszeiten

    gemessenen Temperaturen an einem bestimmten Ort angegeben.

    Betrachtet man in verschiedenen Zeitintervallen z.B. [8;12], [12;14] und

    [10;16] die Temperaturnderungen, so erhlt man folgende Werte:

    [8;12]: 13 9 = 4

    [12;14]: 17 13 = 4

    [10;16]: 14 10 = 4

    Diese Werte haben in dieser Form keine groe Aussagekraft, da die

    unterschiedliche Lnge der Zeitintervalle nicht bercksichtigt wurde. Soll

    die Temperaturnderung als Vergleichsma dienen, so mu sie auf ein in

    allen Fllen gleiches Zeitintervall, z.B. auf eine Stunde, umgerechnet

    werden. So ergibt sich:

    [8;12]: 12 8 = 4 4 : 4 = 1

    [12;14]: 14 12 = 2 4 : 2 = 2

    [10;16]: 16 10 = 6 4 : 6 = 0,67

    Nun ist es mglich, die nderung der Temperatur pro Stunde in den gegebenen Zeitintervallen anzugeben.

    Verallgemeinert man die obige Berechnung und betrachtet darberhinaus die Zuordnung der Temperatur zu

    einer bestimmten Zeit als reelle Funktion f(x), so lt sich definieren:

    Mittlere nderungsrate oder Differenzenquotient im Intervall [a;b]: f f

    b af xx

    (b) (a) ( )

    =

    Das Beispiel zeigt bereits, da der Differenzenquotient ber ein groes Intervall nur wenig ber den Verlauf

    der Funktion in diesem Intervall aussagt. Je kleiner man das Intervall whlt, umso mehr drckt der

    Differenzenquotient die aktuelle Tendenz ber den weiteren Verlauf der Funktion aus. Im vorigen Beispiel

    konnte man jedoch die Intervallgre nicht kleiner als eine Stunde whlen, da nicht ausreichend Daten zur

    Verfgung standen. Das nchste Beispiel soll uns dies jedoch ermglichen.

    Uhrzeit

    t

    Temperatur

    T(t)

    8 9

    9 10

    10 10

    11 12

    12 13

    13 14

    14 17

    15 16

    16 14

    17 14

    18 13

    19 10

    20 8

  • Differentialrechnung

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    Betrachtet man den Weg, den ein frei fallender Krper zurcklegt, dann kann dieser Weg s in Abhngigkeit

    von der Zeit t (in Sekunden) angegeben werden: s(t) = 5t2.

    Die Geschwinigkeit des Krpers ergibt sich als Verhltnis von zurckgelegtem Weg zur vergangenen Zeit in

    einem bestimmten Zeitintervall. Will man die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt z.B. t = 3

    ermitteln, so kann man nur das Intervall um diesen Zeitpunkt sehr klein whlen, um eine Nherung fr diese

    Geschwindigkeit, der sogenannten Momentangeschwindigkeit, zu ermitteln.

    Der Differenzenquotient lt sich diesmal auch allgemein anschreiben:

    Mittlere Geschwindigkeit v z s z sz

    zz

    ( ; ) ( ) ( )3 33

    5 453

    2=

    =

    Je kleiner das Intervall [3;z] wird, umso mehr nhert sich der Wert fr die

    mittlere Geschwindigkeit in diesem Intervall dem Wert 30m/s. Es ist uns

    jedoch nicht mglich, fr z = 3 selbst die Momentangeschwindigkeit zu

    berechnen, da dies zu einer Division durch Null fhrt.

    (b) Das Tangentenproblem

    Stellt man eine Funktion f(x) wie die vorige

    graphisch dar und whlt zwei Punkte P(a|f(a)) und

    Q(b|f(b)), so lt sich der Differenzenquotient

    wiederum interpretieren. Das Verhltnis von f(x)

    zu x entspricht genau dem Anstieg der Geraden

    durch P und Q, also der Sekante s in Bezug auf

    den Funktionsgraphen.

    Lt man den einen Randpunkt a des Intervalls

    [a;b] fix und verkleinert das Intervall durch

    Vernderung des Randpunktes b (siehe voriges

    Beispiel), so nhern sich die Werte fr den Anstieg

    wiederum einem Wert.

    Die Sekanten selbst nhern sich immer mehr der Geraden, die nur den Punkt P mit der Funktion (in der

    Umgebung von P) gemeinsam hat, der sogenannten Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt P.

    Zeitintervall

    [3;z]

    Mittlere Ge-

    schwindigkeit

    [3;4] 35

    [3;3,5] 32,5

    [3;3,1] 30,5

    [3;3,01] 30,05

    [3;3,001] 30,005

  • Differentialrechnung

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    12.2. Der Differentialquotient

    (a) Die nderungsrate

    Die Berechnung des Differenzenquotienten lt sich zusammenfassend so beschreiben:

    Bei einer reellen Funktion f(x) wird folgender Quotient gebildet f xx

    f z f xz x

    ( ) ( ) ( )=

    .

    Dabei lassen sich die Werte fr z unbegrenzt dem fixen Wert x nhern, wobei z natrlich nie den Wert von x

    annehmen darf. Nhert sich bei dieser Berechnung der Differenzenquotient ebenfalls einem bestimmten

    Wert, so bezeichnet man diesen Wert als die nderungsrate oder den Differentialquotienten.

    Der Grenzwert =

    =

    f x f z f xz x

    f xxz x x

    ( ) lim ( ) ( ) lim ( )

    0

    heit nderungsrate oder Differentialquotient der Funktion f an der Stelle x.

    Die nderungsrate f(x) kann als ein Ma fr die Strke bzw. Schnelligkeit der nderung von f(x) an der

    Stelle x angesehen werden. In Anlehnung an das Tangentenproblem kann die nderungsrate als Anstieg

    der Tangente von f(x) an der Stelle x angesehen werden.

    Die Gerade durch den Punkt X(x|f(x)) mit der Steigung f(x) ist die Tangente an den

    Graphen von f. Man nennt f(x) auch den Anstieg der Funktion f an der Stelle x.

    Zur Berechnung des Differentialquotienten vorerst bei Potenzfunktionen geht man folgendermaen vor:

    z.B. f(x) = x2 f z f x

    z xz xz x

    z x z xz x

    z x

    f x z x x x xz x

    ( ) ( ) ( )( )

    ( ) lim( )

    =

    =+

    = +

    = + = + =

    2 2

    2

    oder allgemein fr f(x) = xn f z f x

    z xz xz x

    z z x z x zx x

    f x z z x z x zx x n x

    n nn n n n n

    z xn n n n n n

    ( ) ( ) ...

    ( ) lim( ... )

    =

    = + + + + +

    = + + + + + =

    1 2 3 2 2 1

    1 2 3 2 2 1 1

    Der Differentialquotient fr Potenzfunktionen mit natrlichen Exponenten lautet:

    f x x f x n xn n( ) , ( )= = 1

  • Differentialrechnung

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    Da die Berechnung fr keinen bestimmten Wert von x durchgefhrt wurde, ist sie fr alle reellen x gltig.

    Dadurch ist mit f wieder eine reelle Funktion festgelegt, man bezeichnet sie als (erste) Ableitung von f. Den

    rechnerischen Vorgang bezeichnet man entsprechend als ableiten bzw. differenzieren.

    (b) Differentationsregeln

    Ist eine Funktion f und ihre Ableitung f bekannt, so gilt fr die Funktion cf (cR):

    ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )c f x c f z c f xz x

    c f z f xz x

    c f xz x z x

    =

    =

    =

    ( ) ( )c f c f c R =

    Sind zwei Funktionen f und g sowie deren Ableitungen f und g bekannt, so gilt fr die Funktion f + g:

    ( ) ( ) lim ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) lim ( ) ( ) ( ) ( )

    lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )

    f g x f z g z f x g xz x

    f z f x g z g xz x

    f z f xz x

    g z g xz x

    f x g x

    z x z x

    z x z x

    + =+ +

    =

    +

    =

    +

    = +

    ( )f g f g+ = +

    Diese Summenregel gilt fr alle differenzierbaren Funktionen und lt sich natrlich auf eine unbegrenzte

    Anzahl von Funktionen verallgemeinern. Sie ermglicht uns vor allem die Ableitung beliebiger

    Polynomfunktionen, da sich diese aus Potenzfunktionen zusammensetzen.

    Im folgenden wurde die Regel fr die Ableitung der Potenzfunktion fr einige Sonderflle angewendet.

    f x x f x( ) , ( )= = 1 und f x c f x( ) , ( )= = 0

    Aufgrund der historischen Entwicklung haben sich fr die Bildung des Differentialquotienten unter-

    schiedliche Schreibweisen und Symbole ergeben. Ist die Funktion durch ihre Funktionsgleichung y = f(x) ge-

    geben, so schreibt man fr die Ableitung y = f(x). Auch die von Leibniz verwendete Schreibweise dydx

    fr

    den Differentialquotienten ist blich, wobei diese Symbolik fr keinen Bruch, sondern fr dy nach dx steht

    und damit im speziellen zum Ausdruck bringt, da y nach der Variablen x abgeleitet wird.

  • Differentialrechnung

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    12.3. Newtonsches Nherungsverfahren

    Die Mittel der Differentialrechnung ermglichen ein verbessertes Verfahren zur Lsung von Gleichungen

    hheren Grades, das sogenannte Newtonsche Nherungsverfahren. Dieses Verfahren hat in seinen

    Grundzgen hnlichkeit zur Reagula falsi, statt der Sekante wird die Tangente zum Auffinden einer

    verbesserten Lsung fr einen Startwert verwendet. Den Startwert findet man wie auch bei der Regula falsi

    als Wert in einem Intervall [a;b], soda f(a) und f(b) unterschiedliches Vorzeichen haben.

    Bezeichnet man den Startwert mit a1, so lautet die

    Gleichung der Tangente im Punkt P(a1|f(a1)):

    Tangente t: y f a f a x a = ( ) ( ) ( )1 1 1

    Die Nullstelle dieser Tangente ist die verbesserte

    Nherung a2 fr die Lsung der Gleichung:

    Nullstelle x a f af a

    a=

    =11

    12

    ( )( )

    Setzt man dieses Verfahren fort, kann man sich

    der Lsung beliebig genau nhern.

    Newtonsches Nherungsverfahren (Nullstellen) a af af an n

    n

    n+ = 1

    ( )( )

    Beispiel: Berechnen Sie eine Nullstelle von f x x x x( ) = + 3 29 24 19 mit a1=1,5

    auf vier Kommastellen genau.

    = +f x x x( ) 3 18 242

    an f(an) f(an) an+1

    1,5 0,125 3,75 1,4666

    1,4666 -0,0053 4,0594 1,4679

    1,4679 -0,00004 x1=1,4679

  • Differentialrechnung

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    12.4. Kurvendiskussion

    Viele Zusammenhnge in der Technik und in der Wirtschaft lassen sich, wenn auch oft nur als vereinfachtes

    Modell, durch Funktionen darstel