1.3. Kombinatorische Zählprobleme 1.3.1. Zählstrategien

1.3. Kombinatorische 1.3. Kombinatorische ZählproblemeZählprobleme

1.3.1. Zählstrategien1.3.1. Zählstrategien

1.3. Kombinatorische 1.3. Kombinatorische ZählproblemeZählprobleme

1.3.1. Zählstrategien1.3.1. Zählstrategien

1.3.1. Zählstrategien

Wie viele Tippreihen muss man beim Lotto 6 aus 49 ausfüllen, um mit Sicherheit 6 Richtige zu haben?


Dazu stellen wir uns ein Baumdiagramm vor.

1

49

.

.

.

2

49

1

48

.

.

.

.

.

.

Es gibt also•für die erste Kugel 49 Möglichkeiten,•für die zweite Kugel 48 Möglichkeiten,….•für die sechste Kugel 44 Möglichkeiten.


Die Anzahl aller Möglichkeiten erhalten wir durch Multiplikation der Anzahl der Verzweigungen aus den einzelnen Stufen (Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik).

Es gibt also 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10.068.347.520 verschiedene Ziehungsfolgen.


Hierbei sind aber für den Ausgang der Ziehung Ergebnisse mehrfach vorhanden, da es bei der Ziehung der Lottozahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt. In den 10.068.347.520 Möglichkeiten sind z.B. die Ziehungsfolgen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 6, 5, 4, 3, 2, 1 enthalten. Beide würden aber zum Gewinn führen.


Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Zahlen unterschiedlich anzuordnen?•Für den „ersten Platz“ gibt es 6 Möglichkeiten.•Für den „zweiten Platz“ gibt es 5 Möglichkeiten.….•Für den sechsten Platz gibt es eine Möglichkeit.

Man kann also sechs Zahlen auf 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 Möglichkeiten anordnen.


Jetzt kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn berechnen.

%000007,000000007,013983816

1

01006834752

720)"6(" erP

1.3.2. Fakultät und 1.3.2. Fakultät und BinomialkoeffizientBinomialkoeffizient1.3.2. Fakultät und 1.3.2. Fakultät und BinomialkoeffizientBinomialkoeffizient

1.3.2. Fakultät und Binomialkoeffizient

Zur Abkürzung von n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 schreibt man n!

DEF: FAKULTÄT0! = 1, 1! = 1n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1


Jetzt kann man für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen 6er beim Lotto kürzer schreiben:

%000007,000000007,013983816

1

!49

!43!6)"6("

erP


Allgemein gilt:n … Anzahl der Kugeln in einer Lostrommelk … Anzahl der Kugeln, die ohne Zurücklegen gezogen werden

Jetzt gibt der Quotient die Anzahl der möglichen

Kombinationen an. Dieser Ausdruck heißt auch Binomialkoeffizient .

!!

!

knk

n

k

n


DEF: BINOMIALKOEFFIZIENT

mit k < n gilt:

n

k

n,k

n n!=

k k! n -k !

1.3.3. Geordnete 1.3.3. Geordnete StichprobenStichproben

1.3.3. Geordnete 1.3.3. Geordnete StichprobenStichproben

1.3.3. Geordnete Stichproben

Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen kann man mit vier Würfeln werfen?

Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 4 Kugeln mit den Nummern 1 bis 4 enthält, 4 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (geordnete Stichprobe mit Zurücklegen).


DEF: Ist eine Menge von n verschiedenen Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen aus je k Elementen dieser Menge in jeder möglichen Reihenfolge als GEORDNETE STICHPROBE oder VARIATION.

Variationen mit ZurücklegenKann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge beliebig oft vorkommen, so gibt es nk Variationen.

Es gibt also 44 = 256 Möglichkeiten, mit vier Würfeln eine vierstellige Zahl zu würfeln.


Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben. Wie viele Passwörter sind möglich?

Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 26 Kugeln mit den Nummern 1 bis 26 enthält, 4 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen).

Damit gibt es 26 · 25 · 24 · 23 = 358800 Möglichkeiten.


Variationen ohne ZurücklegenKann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge

nur einmal vorkommen, so gibt es Variationen.

Hinweis: Variationen ohne Zurücklegen können mit dem Taschenrechner auch über die Taste „nPr“ berechnet werden. Die Tastenfolge ist n nPr k (26 nPr 4 = 358800).

n!

n -k !

26 26!358800

26 4 4! 22!

1.3.4. Ungeordnete 1.3.4. Ungeordnete StichprobenStichproben

1.3.4. Ungeordnete 1.3.4. Ungeordnete StichprobenStichproben

1.3.4. Ungeordnete Stichproben

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 richtige aus 49 Zahlen zu tippen?

Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 49 Kugeln mit den Nummern 1 bis 49 enthält, 6 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen).


DEF: Ist eine Menge mit n verschiedenen Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen aus je k Elementen dieser Menge ohne Berücksichtigung ihrer Reihenfolge als UNGEORDNETE STICHPROBEN oder KOMBINATIONEN.

n

k

Kombinationen ohne ZurücklegenKann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge

nur einmal vorkommen, so gibt es Kombinationen.

Für einen „Sechser“ im Lotto ist n = 49 und k = 6: 139838166

49

k

n

Hinweis: Kombinationen ohne Zurücklegen können mit dem Taschenrechner auch über die Taste „nCr“ berechnet werden. Die Tastenfolge ist n nCr k (49 nCr 6 = 13983816).


Bei einem Sonderangebot kann man sich eine Kiste (zwölf Flaschen) aus drei verschiedenen Getränkesorten beliebig zusammenstellen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die 3 Kugeln mit den Nummern 1 bis 3 enthält, 12 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wird. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der eintretenden Ergebnisse an (ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen).


Kombinationen mit ZurücklegenKann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge

beliebig oft vorkommen, so gibt es Kombinationen.

n +k -1

k

Setzt man für n = 3 und k = 12, so erhält man Möglichkeiten.

3 12 1 1491

12 12

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