13. Transformationen mit Matrizen Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die

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  • 13. Transformationen mit Matrizen
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  • Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lsen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" whlt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet. Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt. Sei A eine m n Matrix und X eine n 1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so fhrt die Abbildung f A : n m Y = f A (X) = A X auf einen Vektor Y mit m Komponenten. Die Umkehrabbildung ergibt sich mit Hilfe der inversen Matrix A -1 (falls diese existiert) A -1 Y = f A -1 (Y) = X.
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  • Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lsen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" whlt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet. Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt. Sei A eine m n Matrix und X eine n 1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so fhrt die Abbildung f A : n m Y = f A (X) = A X auf einen Vektor Y mit m Komponenten. surjektiv, nicht injektivinjektiv, nicht surjektiv
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  • 13.1 Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel um Z 0 = W 0 ( ) = { U 0, V 0, W 0 } = { X 0, Y 0, Z 0 } = (0) U 0 (0) = X 0 U 0 ( ) =
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  • 13.1 Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel um Z 0 = W 0 ( ) = { U 0, V 0, W 0 } = { X 0, Y 0, Z 0 } = (0) U 0 (0) = X 0 U 0 ( ) = V 0 ( ) =
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  • Die Koordinaten eines im gedrehten System ( ) festen Vektors A =A = sind in A( ) = D A(0) = =
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  • Um den bergang von nach ( ) zu finden, bentigen wir die inverse Matrix D -1. D I3D I3
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  • D -1 = D T Solche Matrizen heien orthogonale Matrizen. Denselben Effekt erhlt man durch Umkehrung der Drehrichtung, d. h. durch Ersetzen von durch (- ).
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  • 13.4 Lsungsmengen irregulrer linearer Gleichungssysteme A X = 0 homogen A X = B mit B 0 inhomogen Sei A C = B Alle anderen Lsungen C ' sind dann von der Gestalt C' = C + C* wobei A C* = 0 A (C + C*) = A C + A C* = B + 0 = B
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  • Es sei C' eine beliebige und C die bekannte Lsung, dann ist A (C' - C) = A C' - A C = B - B = 0 Also ist (C' - C) = C* C' = C + C* Jedes homogene Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lsung, nmlich die triviale Lsung C* = 0. Aber nicht jedes inhomogene Gleichungssystem besitzt eine Lsung. A X = B hat genau eine (bzw. mehrere) Lsung(en) A X = 0 hat genau eine (bzw. mehrere) Lsung(en). A X = 0 hat nur eine Lsung A X = B hat eine oder keine Lsung.
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  • Definition. Die Menge aller Vektoren aus n, die auf den Null- vektor abgebildet werden, also die Lsungsmenge des homo- genen Gleichungssystems, nennen wir Kern der Abbildung: Kern (f A ) = { X n | f A (X) = 0 } Kern (f A ) ist ein Unterraum des Definitionsbereichs, also des n- dimensionalen Vektorraums, denn Addition zweier Vektoren aus Kern (f A ) sowie Multiplikation mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor aus Kern (f A ). A X = 0 und A X' = 0 A (X + X') = 0 A X = 0 A X = (A X) = 0 = 0 n m
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  • Definition. Die Menge aller Vektoren aus m, die Bilder von Vektoren X aus n sind, nennen wir Bild der Abbildung: Bild (f A ) = { B m | B = f A (X) } Bild (f A ) ist ein Unterraum des m-dimensionalen Bildraums. Sind B und B' Bilder, d. h. A X = B und A X' = B', so ist auch B + B' ein Bild, nmlich von X + X', das mit X und X' auch zum Urbildraum gehrt. A X = B und A X' = B' A (X + X') = B + B' A X = B A X = (A X) = B n m
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  • Definition. Die Dimension des Kerns dim (Kern (f A )) heit Defekt der Abbildung. Definition. Die Dimension des Bildes dim (Bild (f A )) heit Rang der Abbildung.
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  • Abbildungen mit der m n Matrix A: (1) Die Lsungsmenge des homogenen Gleichungssystems A X = 0 ist Kern (f A ). Das homogene Gleichungssystems besitzt nur eine Lsung Defekt (f A ) = 0. (2) Das inhomogene Gleichungssystem A X = B besitzt mindestens eine Lsung C B Bild (f A ). (3) Sei C eine solche Lsung, dann ist die gesamte Lsungsmenge von A X = B die Menge { C + Kern (f A ) }. A X = B hat dann genau eine Lsung Defekt (f A ) = 0. (4) Defekt (f A ) + Rang (f A ) = dim ( n ) = n.
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