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13. Transformationen mit Matrizen Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die

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13. Transformationen mit Matrizen

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Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet.

Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt.

Sei A eine mn Matrix und X eine n1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so führt die Abbildung fA: n m

Y = fA(X) = A X

auf einen Vektor Y mit m Komponenten.

Die Umkehrabbildung ergibt sich mit Hilfe der inversen Matrix A-1 (falls diese existiert)

A-1 Y = fA-1(Y) = X.

20

02

b

a =

b

a

2

2

1/20

01/2

b

a

2

2 =

b

a

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Manche geometrischen Probleme lassen sich leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem "geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert oder abbildet.

Offensichtlich werden lineare Abbildungen durch Matrizen bewirkt.

Sei A eine mn Matrix und X eine n1 Matrix, d.h. ein Vektor mit n Komponenten, so führt die Abbildung fA: n m

Y = fA(X) = A X

auf einen Vektor Y mit m Komponenten.

120

102

c

b

a

=

cb

ca

2

2

11

20

02

b

a =

ba

b

a

2

2

surjektiv, nicht injektiv injektiv, nicht surjektiv

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D U0(0) =

100

0cossin

0sin-cos

0

0

1

=

0

sin

cos

13.1 Drehungen

entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel um Z0 = W0

() = { U0, V0, W0 }

= { X0, Y0, Z0 } = (0)

U0(0) = X0

U0() =

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13.1 Drehungen

entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel um Z0 = W0

() = { U0, V0, W0 }

= { X0, Y0, Z0 } = (0)

U0(0) = X0

D V0(0) =

100

0cossin

0sin-cos

0

1

0

=

0

cos

sin-

D U0(0) =

100

0cossin

0sin-cos

0

0

1

=

0

sin

cos

U0() =

V0() =

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Die Koordinaten eines im gedrehten System () festen Vektors

A =

sind in

w

v

u

100

0cossin

0sin-cos

u v

u v

w

cos - sin

sin cosA() = D A(0) = =

w

v

u

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Um den Übergang von nach () zu finden, benötigen wir die inverse Matrix D-1.

D I3

100

0cossin

0sin-cos

100

010

001

100

0sincossin

0cossin-cos2

2

100

0 sin0

00cos

100

0sincossin

00sin cos2

22

100

0 sin0

0 sincos

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100

0sincossin

00sin cos2

22

100

0 sin0

0 sincos

100

0sincos0

001

100

0sin - sinsincos-

0 sincos32

100

010

001

100

0cossin-

0sincos

D-1 = DT

Solche Matrizen heißen orthogonale Matrizen.

Denselben Effekt erhält man durch Umkehrung der Drehrichtung, d. h. durch Ersetzen von durch (-).

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Anstelle der Drehung um die z-Achse kann auch die Drehung um die x-Achse oder die y-Achse erreicht werden. Zur Unterscheidung gibt man Drehwinkel und Drehachse als Indizes an.

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Anstelle der Drehung um die z-Achse kann auch die Drehung um die x-Achse oder die y-Achse erreicht werden. Zur Unterscheidung gibt man Drehwinkel und Drehachse als Indizes an. D,z =

100

0cossin

0sin-cos

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Anstelle der Drehung um die z-Achse kann auch die Drehung um die x-Achse oder die y-Achse erreicht werden. Zur Unterscheidung gibt man Drehwinkel und Drehachse als Indizes an. D,z =

D,x =

cossin0

sin-cos0

001

D,y =

cos0sin-

010

sin0cos

100

0cossin

0sin-cos

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13.2 Streckung und Spiegelungen Die Streckungsmatrix

00

00

00

Die Matrix S0 einer Punktspiegelung am Ursprung bewirkt die Vertau-

schung aller Vorzeichen:

S0 =

1-00

01-0

001-

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Die Matrix Sx einer Spiegelung an der x-Achse lässt nur das Vorzeichen

der x-Koordinate unverändert. Analoges gilt für die Spiegelungen an y-Achse und z-Achse. Die entsprechenden Matrizen sind Spezialfälle der Drehmatrizen für den Drehwinkel = = 180°.

Sx =

1-00

01-0

001

, Sy =

1-00

010

001-

, Sz =

100

01-0

001-

Die Matrix Sx,y für eine Spiegelung an der x-y-Ebene lässt nur die Vor-

zeichen der x- und der y-Koordinate unverändert. Analoges gilt für die anderen Ebenen.

Sx,y =

1-00

010

001

, Sy,z =

100

010

001-

, Sz,x =

100

01-0

001

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Die Matrix Sx,y für eine Spiegelung an der x-y-Ebene lässt nur die Vor-

zeichen der x- und der y-Koordinate unverändert. Analoges gilt für die anderen Ebenen.

Sx,y =

1-00

010

001

, Sy,z =

100

010

001-

, Sz,x =

100

01-0

001

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Die Matrix einer Spiegelung am x-y-z-Raum lässt nur die Vorzeichen der drei Raumkoordinaten unverändert.

Sx,y,z =

100

010

001

= I.

Eine weitere Koordinate, z. B. die Zeitkoordinate würde bei dieser Spie-gelung ihr Vorzeichen ändern.

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13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme

A X = 0 homogen

A X = B mit B ≠ 0 inhomogen

Sei A C = B

Alle anderen Lösungen C' sind dann von der Gestalt

C' = C + C*

wobei A C* = 0

A (C + C*) = A C + A C* = B + 0 = B

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Es sei C' eine beliebige und C die bekannte Lösung, dann ist

A (C' - C) = A C' - A C

= B - B

= 0

Also ist (C' - C) = C* C' = C + C*

Jedes homogene Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung C* = 0. Aber nicht jedes inhomogene Gleichungssystem besitzt eine Lösung.

A X = B hat genau eine (bzw. mehrere) Lösung(en)

A X = 0 hat genau eine (bzw. mehrere) Lösung(en).

A X = 0 hat nur eine Lösung

A X = B hat eine oder keine Lösung.

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2λ{ | λ }

λL

2 4 0

3 6 0

x

y

{ }L 2 4 5

3 6 5

x

y

2 0 0

0 0 0

x

y

0{ | λ }

λL

2 4 10

3 6 15

x

y

5 2λ{ | λ }

λL

2 0 2

0 0 0

x

y

1{ | λ }

λL

2 0 2

0 0 1

x

y

{ }L

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1 0 0

0 1 0

1 1 0

x

y

0{ }

0L

1 2 0

0 1 0

x

y

{ }L

1{ }

1L

1 2 3

0 1 1

x

y

0{ }

0L

1{ }

1L

1 0 1

0 1 1

1 1 0

x

y

1 0 1

0 1 1

1 1 2

x

y

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Definition. Die Menge aller Vektoren aus n, die auf den Null-vektor abgebildet werden, also die Lösungsmenge des homo-genen Gleichungssystems, nennen wir Kern der Abbildung:

Kern (fA) = { X n | fA(X) = 0 }

Kern (fA) ist ein Unterraum des Definitionsbereichs, also des n-dimensionalen Vektorraums, denn Addition zweier Vektoren aus Kern (fA) sowie Multiplikation mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor aus Kern (fA).

A X = 0 und A X' = 0 A (X + X') = 0

A X = 0 A X = (A X) = 0 = 0

n m

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Definition. Die Menge aller Vektoren aus m, die Bilder von Vektoren X aus n sind, nennen wir Bild der Abbildung:

Bild (fA) = { B m | B = fA(X) }

Bild (fA) ist ein Unterraum des m-dimensionalen Bildraums. Sind B und B' Bilder, d. h. A X = B und A X' = B', so ist auch B + B' ein Bild, nämlich von X + X', das mit X und X' auch zum Urbildraum gehört.

A X = B und A X' = B' A (X + X') = B + B'

A X = B A X = (A X) = B

n m

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Definition. Die Dimension des Kerns dim (Kern (fA)) heißt Defekt der Abbildung.

Definition. Die Dimension des Bildes dim (Bild (fA)) heißt Rang der Abbildung.

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Abbildungen mit der mn Matrix A:

(1) Die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems

A X = 0

ist Kern (fA). Das homogene Gleichungssystems besitzt nur eine Lösung Defekt (fA) = 0.

(2) Das inhomogene Gleichungssystem

A X = B

besitzt mindestens eine Lösung C B Bild (fA).

(3) Sei C eine solche Lösung, dann ist die gesamte Lösungsmenge von A X = B die Menge { C + Kern (fA) }.

A X = B hat dann genau eine Lösung Defekt (fA) = 0.

(4) Defekt (fA) + Rang (fA) = dim (n) = n.

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13.1 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

02

y

x=

0

6

Warum besitzt

00

02

y

x=

1

3 keine Lösung?

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13.1 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

02

y

x=

0

6

Warum besitzt

00

02

y

x=

1

3 keine Lösung?

13.2 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

11

y

x=

0

2

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13.1 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

02

y

x=

0

6

Warum besitzt

00

02

y

x=

1

3 keine Lösung?

13.2 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

11

y

x=

0

2

13.3 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

22

11

y

x=

4

2

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13.1 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

02

y

x=

0

6

Warum besitzt

00

02

y

x=

1

3 keine Lösung?

13.2 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

00

11

y

x=

0

2

13.3 Bestimmen Sie alle Lösungen, Kern und Bild von

22

11

y

x=

4

2

13.4 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: 4x1 + 2x2 - 1x3 = -2

12x1 - 7x2 - 3x3 = -6 -8x1 + 5x2 + 2x3 = 4 Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem als A X = B. Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem als XT AT = BT. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen. Prüfen Sie die lineare Abhängigkeit der Zeilen von A. Prüfen Sie die lineare Abhängigkeit der Spalten von A. Bestimmen Sie zwei Punkte und die Normale der Bildebene.

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13.5 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: 30x1 + 40x2 + 50x3 = 0

20x1 + 20x2 + 50x3 = 30 15x1 + 18x2 + 30x3 = 9 Bestimmen Sie alle Lösungen, Defekt, Rang, Kern und Bild.

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13.5 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem: 30x1 + 40x2 + 50x3 = 0

20x1 + 20x2 + 50x3 = 30 15x1 + 18x2 + 30x3 = 9 Bestimmen Sie alle Lösungen, Defekt, Rang, Kern und Bild.

13.6 Gegeben sei das Gleichungssystem A X = B mit A =

303

232

121

und B =

9

9

13

.

Man bestimme Defekt(A), Rang(A). Man gebe alle Lösungen C an. Man beschreibe an-schaulich die Mengen Kern und Bild. Sollte das Bild eine Ebene sein, bestimmen Sie bitte die Normale der Bildebene.

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Wir konstruieren eine Abbildung fA: 2 2, deren Kern

, die Hauptdiagonale im Urbildraum

2221

1211

aa

aa

=

0

0 (13.8)

und deren Bild

0

, die x-Achse im Bildraum ist

2221

1211

aa

aa

y

x =

0

. (13.9)

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Wir konstruieren eine Abbildung fA: 2 2, deren Kern

, die Hauptdiagonale im Urbildraum

2221

1211

aa

aa

=

0

0 (13.8)

und deren Bild

0

, die x-Achse im Bildraum ist

2221

1211

aa

aa

y

x =

0

. (13.9)

Aus (13.8) folgt : a11 + a12 = 0 a12 = - a11 : a21 + a22 = 0 a21 = - a22

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Wir konstruieren eine Abbildung fA: 2 2, deren Kern

, die Hauptdiagonale im Urbildraum

2221

1211

aa

aa

=

0

0 (13.8)

und deren Bild

0

, die x-Achse im Bildraum ist

2221

1211

aa

aa

y

x =

0

. (13.9)

Aus (13.8) folgt : a11 + a12 = 0 a12 = - a11 : a21 + a22 = 0 a21 = - a22 und aus (13.9) folgt x, y: a11x + a12y = x, y: a21x + a22y = 0

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Wir konstruieren eine Abbildung fA: 2 2, deren Kern

, die Hauptdiagonale im Urbildraum

2221

1211

aa

aa

=

0

0 (13.8)

und deren Bild

0

, die x-Achse im Bildraum ist

2221

1211

aa

aa

y

x =

0

. (13.9)

Aus (13.8) folgt : a11 + a12 = 0 a12 = - a11 : a21 + a22 = 0 a21 = - a22 und aus (13.9) folgt x, y: a11x + a12y = x, y: a21x + a22y = 0 also mit dem Ergebnis von (13.8) x, y: a11(x - y) = a11 = a \ { 0 } x, y: a22(x - y) = 0 a22 = 0

Die Abbildungsmatrix ist

00

aa mit a \ { 0 }.

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