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Problemlösen lernen

Methoden und Techniken zum mathematischen Problemlösen-

lernen

Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt

Braunschweig 13.05.2003

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Problemlösen lernen Ausgangssituation

Mathematisches Problemlösen gilt

(nicht erst seit TIMSS und PISA)

als defizitär,

zählt aber nach WINTER zu den drei Grunderfahrungen,

die den allgemeinbildenden Charakter

des Mathematikunterrichts legitimieren.

Worum geht es im MU? Was soll gelernt werden? Warum gerade das?

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Problemlösen lernen Bedeutung für den MU

Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik

verstanden,

behalten und

angewendet werden können?

Mathematische Gegenstände ... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art ... begreifen.

Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen)

Erscheinungen der Welt um uns ... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen.

Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

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Problemlösen lernen Bedeutung für den MU

Vertiefung:

Problemlösen- trägt zu einem adäquaten Mathematikbild bei (Mathematik als sich etwas Entwickelndes, Fehler und Irrtümer gehören dazu)

- ist ein wichtiges Element, um neues Wissen zu generieren; liefert Einsichten in Wege zur Erkenntnisgewinnung (POINCARE)

-hat wertvolle Alltagsbezüge: fördert geistige Beweglichkeit (Kreativität), logisches Strukturieren und Analysieren und vermittelt Metakompetenz (triadisches Denken) durch Strategiewissen

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Problemlösen lernen

• Problemlösen heißt Fragen stellen • Probleme, die nicht verstanden wurden, können auch

nicht gelöst werden

Grundverständnis

Worum geht es?

Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem?

• Erfolgreiches Problemlösen setzt solides Basiswissen voraus

• Problemlösen hat eine experimentelle Komponente - erfordert „Ausprobieren“

• Problemlösen heißt Schwierigkeiten überwinden

Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung?

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Problemlösen lernen

Problem solving meint: Aufgabenlösen in einem umfassenden Sinne

Grundverständnis

Aufgaben sind Aufforderungen zum (Lern-) Handeln

Eine Aufgabe wird für ein Individuum dann zu einem Problem, wenn sie ungewohnt erscheint und nicht sofort eine erfolgversprechende Lösungsidee parat ist...

Problemlösen lernen meint insbesondere: Methoden zum Lösen individuell schwieriger Aufgaben kennen und anwenden lernen...

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Problemlösen lernen Lernziele im MU

Lernziel und Lernchance im MU:

Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen)

Weg zur Umsetzung:

1. Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens

2. Theoretisches Konzept zum Problemlösenlernen entwickeln und erproben (DFG-Projekt)

3. Unterrichtskonzept zum Problemlösenlernen in die Aus- und Fortbildung und in Lernmedien integrieren:

Begründeter Methodeneinsatz

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Problemlösen lernen Lernziele im MU

Die Lernenden

- erkennen mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen und können solche Fragestellungen formulieren

• Stadtrundgang mit der Mathematikbrille...

• Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- wo wird dabei Mathematik benötigt?

• Wo und wie benötigt man im Alltag Strukturieren, Kombinieren, Optimieren, Entscheidungen begründen, Verallgemeinern, Interpretieren...

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Problemlösen lernen Lernziele im MU

Die Lernenden

- können mathematische Fragen finden und formulieren

- kennen mathematische Modelle bzw. geeigneteVorgehensweisen zur (kreativen) Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situationsgerecht anwenden

Funktionen, Gleichungen,

Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen ),

zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren...) und

heuristische Strategien...

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Problemlösen lernen Lernziele im MU

Die Lernenden- können mathematische Fragen finden und formulieren

- kennen mathematische Modelle und können Vorgehensweisen anwenden

- entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln

- Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln

- Erfolgserlebnisse ermöglichen

- Binnendifferenzierung

- Anlässe für eigenverantwortliches Lernen

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Problemlösen lernen

(Elementare) Beweisaufgaben...

Beispiel

( )( )a c b d ab cd a,b,c,d pos. reell

ad cb abcd ?

2

a d abcd c b abcd² ² ² ²?

2 4

( )²ad cb 0

c a b d

a b

c d

a ba b

2

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Problemlösen lernen Grundverständnis

• Nicht nur anspruchsvolle Lernanforderungen stellen sondern auch zu deren Bewältigung befähigen - u.a. durch heuristische Bildung und Entwicklung der Selbstregulation

• Verbindungen herstellen zwischen alltäglichem Problemlösen und fachspezifischen Problemlösestrategien sowie zwischen den mathematischen Inhalten

• Wahlmöglichkeiten im Schwierigkeitsgrad der Aufgaben

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Problemlösen lernen Theoretischer Hintergrund

• Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen:

Lernaufgaben (Handlungsaufforderungen - was ? warum das?)

Orientierungsgrundlagen für die erforderlichenHandlungen (wie kann ich vorgehen?)

• Unterrichtsrealität:- zu wenig kreativitätsfördernde Lernanforderungen einerseits und

- andererseits genügt es nicht, die Lernenden mit Problemen nur zu konfrontieren und dann zu hoffen, dass diese auch bewältigt werden !

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Problemlösen lernen

Komponenten der Lerntätigkeit (Lompscher, Kossakowski)

Motivation ProdukteInteressen,Einstellungen

Inhalt Verlauf

Sach- Denk-

Norm- operationen

Wert-

Verfahrens- Verlaufs-

kenntnisse qualitäten

Ziele Ergebnisse

Zielqualität Inhaltsqualität Prozessqualität Ergebnisqualität

Theoretischer Hintergrund

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Problemlösen lernen

Motivation Produkte

Inhalt Verlauf

Verlaufs-

qualitäten

Ziele Ergebnisse

Beweglichkeit

Bewusstheit

Selbständigkeit

Planmäßigkeit

Aktivität

Erscheinungsformen

•   Reduktion: Vereinfachen, Veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten

•   Reversibilität: Umkehren von Gedankengängen   

   • Aspektbeachtung: gleichzeitiges Beachten mehrerer Aspekte, die Abhängigkeit von Dingen erkennen und gezielt variieren

• Aspektwechsel: Wechsel von Annahmen und Kriterien; loslassen; Sachverhalt umstrukturieren

Theoretischer Hintergrund

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Problemlösen lernen

Merkmale geistiger BeweglichkeitMerkmale geistiger Beweglichkeit

Reduktion - vereinfachen, veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten

Reversibilität - Umkehren von Gedankengängen

Aspektbeachtung - eine Idee konsequent weiter verfolgen

19 17 25 33 41 49

Theoretischer Hintergrund

Aspektwechsel - loslassen und einen neuen Blickwinkel wählen

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Problemlösen lernen

Mangelnde geistige Beweglichkeit in bestimmten Kontexten wird teilweise kompensiert

durch BEWUSSTES Erlernen solcher Vorgehensweisen und Techniken

die zu vergleichbaren Ergebnissen führen wie unbewusste Denkverläufe bei ausgeprägter geistiger Beweglichkeit

Wirkprinzip von Heuristik

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Problemlösen lernen

Wie wirken heuristische Strategien?

„Selbsterfahrung“ mit einem Kreativitätstraining:

Was kann man alles mit einem Mauerstein anfangen?

Finden Sie in 1 min möglichst viele verschiedene Verwendungsmöglichkeiten!

Wirkprinzip von Heuristik

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Problemlösen lernen

Strategie: Was weiß ich über einen Mauerstein?

Welche Eigenschaften hat er?

Was kann ich daraus ableiten?

 

  Größe,

Form,

Gewicht (Masse), Materialeigenschaften

Wirkprinzip von Heuristik

Lerneffekt: Ein ähnliches Beispiel-Pappe, Tasse, Bleistift...

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Problemlösen lernen

Strategie:

Vorwärtsarbeiten

 

Was ist gegeben?

Was weiß ich über das Gegebene?

Was kann ich daraus ermitteln?

 

 

 

Eine heuristische Strategie

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Problemlösen lernen

Aufgabe:

Stellen Sie sich vor, Sie sind zur mathematischen Beratung bei FERRERO eingestellt und werden heute in der HANUTA-Abteilung erwartet.

Welche Fragen könnte man an eine HANUTA-Waffel stellen, zu deren Beantwortung Mathematik erforderlich ist?

Fragen stellen lernen

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Problemlösen lernen

Wie findet man möglichst viele mathematisch interessante Fragen?

–„Vorwärtsarbeiten“:

Eigenschaften des Objekts nutzen

Was weiß ich über das Gegebene?

Fragen stellen lernen

Ziel:

Lernen, die mathematische Brille aufzusetzen und Mathematik auch im Alltag zu „entdecken“

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Problemlösen lernen

TrainingskonzeptTrainingskonzeptJeder Beweglichkeitsaspekt kann durch bestimmte heuristische Elemente „gefördert“ werden

(Kompensationsansatz!)

Grundidee - Konzept

Zuordnung von Heurismen zu den Beweglichkeitseigenschaften

POLYA, SEWERIN

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Problemlösen lernen

Reduktion:

Heuristische Hilfsmittel:

informative Figur, Tabelle, Gleichung

Heuristische Prinzipien und Strategien:

Fallunterscheidung, Zerlegung

Heuristische Bildung

Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen?

Claudias Murmeln Peters Murmeln 6 übrig

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Problemlösen lernen

Reversibilität:Heuristische Prinzipien und Strategien:

RückwärtsarbeitenWas müsste ich kennen, um die gesuchte Größe bestimmen zu können?

Heuristische Bildung

Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang?

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Problemlösen lernen

kombiniertes VA-RA

Heuristische Bildung

+ =>

a=2cm

b= 4cm

OberflächeGesamt Gesamtvolumen

Zwei Metallwürfel mit gegebener Kantenlänge von 2cm und 4cm werden zu einem Quaderzusammen geschmolzen. Welche ganzzahligen Maßekönnte ein solcher Quadererhalten?

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Problemlösen lernen

Aspektbeachtung

InvarianzprinzipSuche in Unterschiedlichem das Gemeinsame!

Was bleibt gleich?

Bildungsvorschrift bei Zahlenfolgen

Treffpunktaufgaben: Ort ist gleich

Altersaufgaben: Altersdifferenz bleibt gleich

Extremalprinzip

Heuristische Bildung

In einem Käfig sind Fasanen und Kaninchen. Man zählt 24 Köpfe und 62 Beine. Wie viele Tiere von jeder Art sind im Käfig?

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Problemlösen lernen

Aspektbeachtung

Symmetrieprinzip

Systematisches Probieren

Heuristische Bildung

Für positive reelle a,b,c gilt:

1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) > 3/(a+b+c)

Aus einem Halbkreis soll das flächengrößte Trapez herausgeschnitten werden.

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Problemlösen lernen Heuristische Bildung

Aspektwechsel:

Transformationsprinzip

α+β=45°

- eine andere Modellierung finden

- aus der vorgegebenen Struktur herausgehen

Variiere die Bedingungen!

Betrachte Gegebenes und Gesuchtes in verschiedenen Zusammenhängen!

Zerlege, ergänze oder verknüpfe mit Neuem!

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Problemlösen lernen

Methodik zur Ausbildung von Methodik zur Ausbildung von ProblemlösekompetenzenProblemlösekompetenzen

Gewöhnen an heuristische Methoden und Techniken (Reflektion)

Unterrichtskonzept

Bewusstmachen einer speziellen Heuristik anhand eines markanten Beispiels (Strategiebereitstellung)

einübendes reflektiertes Übertragen (Kontexterweiterung der Strategieanwendung)

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Problemlösen lernen

Trainingsaufbau- Unterrichtskonzeption

• den Sinn und Nutzen von heuristischen Strategien erfahren

• Vorstellen „neuer“ Strategien an einem Musterbeispiel (Eselsbrückeneffekt)

Unterrichtskonzept

•bewusste Strategieanwendung auf Wahlaufgaben (drei Schwierigkeitsgrade) mit variierenden Kontexten

• Vorstellen alternativer Lösungswege (mit verschiedenen heuristischen Hilfsmitteln)

•Übungen mit Vorgehensreflexion und Erkennen individueller Präferenzen bei der Strategieanwendung

• Zuordnen passender Strategien zu Problemaufgaben, ohne sie zu lösen

•Erarbeiten individueller Problemlösemodelle mit der Fragetechnik

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Problemlösen lernen Teilhandlungen ausbilden

Tipps zum Textverständnis: Lies die folgende Aufgabe zunächst durch. Stelle dir vor, dein Freund hat ab und zu Probleme mit Textaufgaben und versteht diese Aufgabe nicht.Du möchtest ihm helfen. Formuliere dazu Fragen, die man sich stellen sollte, wenn man eine Aufgabe verstehen möchte. Wie kann man sich klar machen, worum es in der Aufgabe geht? Wohnwagen-Aufgabe Familie Maier verbrachte dieses Jahr ihre Sommerferien in Österreich. Bei der Straße von Innsbruck nach Zehfeld ist auf 2,2km ein Höhenunterschied von 330m. Familie Maier macht Campingurlaub mit einem 6m langen Wohnwagen. Auf der Beschreibung des Anhängers stand, dass ein PKW mit Anhänger nur eine Steigung von 12% schafft. Durfte Herr Maier mit seinem 90 PS Auto die Straße von Innsbruck nach Zehfeld fahren?

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Problemlösen lernen Lernprotokoll

Tipps zum Textverständnis

Erst lesen und verstehen – dann Lösungsversuche starten!

Überlege, was man alles falsch machen kann ! 

Bei der Würfelknetaufgabe haben wir die Strategien „Vorwärtsarbeiten“ und „Rückwärtsarbeiten“ geübt.

Wie geht man vor, wenn man die Strategie Vorwärtsarbeiten anwendet?

Wie geht man vor, wenn man die Strategie Rückwärtsarbeiten anwendet?

Wo kann man diese Strategien sinnvoll anwenden?

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Problemlösen lernen

Lassen sich Selbstregulations- und Problemlösekompetenzen durch eine Kombination beider Komponenten fördern?

Empirische Untersuchung

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Problemlösen lernen Empirische Untersuchung

1. Hauptstudie 2000 mit 249 Schüler/innen an drei Gymnasien Kl.8 über 6 Trainingseinheiten zu je 90 min (mit Kontrollgruppe)

Vierfaktorielles Design:- Selbstregulationstraining- Problemlösetraining- kombiniertes Training Selbstregulation und

Problemlösen- Monitoring (operationalisiert in Lerntagebüchern)

2. Hauptstudie 2001mit 83 Schüler/innen Kl.8

- Kombi-Training mit verstärkter Selbstregulation- Kombi-Training mit verstärktem Problemlösen

- Problemlösetrainingalle Gruppen mit Monitoring

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Problemlösen lernen

Beispiele:

fünfte Einheit: - am Beispiel von Textaufgaben bewusst machen, dass sich Gedanken und Einstellungen auf die Lernleistung auswirken.

- Strategien zum Umgang mit negativen Gedanken kennen lernen.

sechste Einheit: die Bedeutung der Fehleranalyse innerhalb der Selbstregulation erkennen und lernen, Misserfolge auf

- falsche Zielsetzung, - falschen Strategieeinsatz oder - zu geringe Anstrengung zurückzuführen.

Erweitertes Konzept

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Problemlösen lernen

Effekte des ProblemlösetrainingsEffekte des Problemlösetrainings

Signifikanter Leistungszuwachs im Test !

Bewusster Hilfsmitteleinsatz, Stabilität der Effekte bei Nach-Nachtest !

Weniger Angst vor mathematischen Anforderungen - signifikant höhere Bearbeitungsquote

Veränderter Umgang mit Fehlern und

gewachsene Selbstreflektion (mit Lerntagebuch)

Effekte

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Problemlösen lernen

Veranschaulichung der signifikanten Interaktion Zeit x PLfür die Gesamtpunktzahl – 1. Hauptuntersuchung 249Probanden,nach 6 Trainingseinheiten

Gesamtpunktzahl: Zeit x PLxSR

13

14

15

16

17

vorher nachher

Zeit

Gesam

tpu

nktz

ah

l

SR-PL-

SR-PL+

-leistungsschwächere Schüler profitieren besonders

-der Schüleranteil, der schwierige Aufgaben nicht zu bearbeiten versucht, halbiert sich

Effekte

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Problemlösen lernen

Schwierigkeitsgrad der Aufgaben muss individuell von der Notwendigkeit einer Strategieanwendung überzeugen (Differenzierungsproblem)

Kaum Vorerfahrung der Lernenden bzgl. Selbstbeobachtung und Vorgehensreflektion (altersbedingte Begrenztheit ?)

Erlebte Unterschiede zwischen Training und Unterricht behindern weitere Übertragung

(manche Testanforderungen stehen dagegen)

Offene Fragen

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Problemlösen lernen

Lernen, Verstehen, Behalten und Anwenden könnenLernen, Verstehen, Behalten und Anwenden können

Unterrichtsmethoden für nachhaltiges Lernenmodulare Arbeitsplanung geleitete Instruktion Aufgabenkonzept Anwendungslinienpermanente WiederholungMethodenreflexion (Heuristik)Teilhandlungen ausbildenLernprotokolle

Ausblick

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Problemlösen lernen

Theoretischer Erkenntnisgewinn entsteht insbesondere durch Erkenntnissynthese über die Disziplingrenzen hinweg und durch gegenstandsspezifische Interpretationen vorliegender Erkenntnisse.

-Die Interpretation fundamentaler mathematischer Ideen und von Heurismen (POLYA, SEWERIN) aus der Begabtenförderung für Mathematik für schulische Lerninhalte und

-das Herstellen von Verbindungen zum Problemlösen im Alltag begründet einen Katalog relevanter Heurismen für den MU (Ziele und Inhalte)

-Eine Synthese aus Erkenntnissen des Tätigkeitsmodells des Lernens mit Heurismen liefert einen (erfolgreichen) Trainingsansatz (Methodik- Rahmenorientierung)

Theoriegewinn

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Problemlösen lernen

Langfristiges Ziel:

Implementation des Trainingskonzeptes in den „normalen“ MU

-Entwicklung eines Unterrichtskonzeptes mit 8 Versuchslehrern

-Gestaltung und Evaluation einer LV Problemlösen an der TUD im SS 2003

-Evaluation eines Ausbildungskonzeptes für Referendare ab Herbst 2003

-Entwicklung und Evaluation eines Fortbildungskonzeptes für Problemlösen und Selbstregulation im Kontext von Hausaufgaben ab 2004

Aktuelles Projekt

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Problemlösen lernen

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit