14. Lineare Gleichungssysteme

14.1 Begriffsbildungen

Beispiel: Schwingungsdauer eines Fadenpendels

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.

Geometrische Interpretation von linearen Gleichungssystemen mit zwei oder drei Unbekannten:

2 Unbekannte: Jede Gleichung entspricht einer Geraden in der Ebene. Die Lösungen des Gleichungssystems entsprechen den Schnittpunkten der Geraden.

3 Fälle möglich:

- parallele Gerade: kein Schnittpunkt

- sich schneidende Gerade: genau ein Schnittpunkt

- zwei zusammenfallende Gerade: unendlich viele Schnittpunkte.

Gleichungssysteme in Stufenform lassen sich unmittelbar lösen!

Reduzierte Stufenform:

14.2 Das Lösungsverfahren von Gauß-Jordan

Lineares Gleichungssystem:

Koeffizientenmatrix - erweiterte

Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems lassen sich in einem rechteckigem Schema (Matrix) anordnen:

Elementare Zeilenumformungen

Mit elementaren Zeilenumformungen bringt man ein Gleichungssystem auf Zeilenstufenform.

Elementare Zeilenumformungen ändern die Lösungsmenge nicht.

Elementare Zeilenumformungen sind:

1. Zwei Gleichungen werden vertauscht.

2. Eine Gleichung wird mit einer Zahl ungleich 0 multipliziert.

3. Zu einer Gleichung wird das Vielfache einer anderen Gleichung addiert.

Rang einer Matrix A

Die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen einer Matrix A in Zeilenstufenform wird als Rang rg(A) der Matrix A bezeichnet.

Reduzierte Zeilenstufenform

Jede Zeile in der Zeilenstufenform, die nicht lauter Nullen enthält, beginnt mit "1" als erstem Koeffizienten ungleich 0. Über und unter dieser "1" stehen in der Matrix nur Nullen.

14.3 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Für die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems

Ax=0 gilt:

1. Mit der Lösung x ist auch jedes ax eine Lösung.2. Mit zwei Lösungen x und y ist auch x+y eine Lösung

(Die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems bilden einen Vektorraum.)

Für die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems

Ax=b gilt:

1. Ist x eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems und y eine beliebige Lösung des zugehörigen homogenen Systems, dann ist auch x+y eine Lösung des inhomogenen Systems.

2. Sind x und y Lösungen des inhomogenen Dystems, dann ist z=x-y eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

(Die Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bilden einen affinen Raum.)