1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Kleinsignalmodell gmvgs rds vgs 0 + -

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kleinsignalmodell

),( ddINOUT Vvfv

dddd

ININ

OUT dVV

fdv

v

fdv

gmvgs

rds

vgs

OUTvINv

ddV

inv

outv

DSDS

DGS

GS

DDS dv

v

idv

v

idi

DSdsGSmDS dvrdvgdi

0

+-


Widerstand

Größere Spannung

Keine Spannung

Noch größere Spannung

F

I

Elektrostatische Wechselwirkung

I=0

Viskose Reibung. Konstante Kraft bewirkt den konstanten

Strom


Widerstand (2)

Spannung

Keine Spannung

U

F

I

I=0


Kondensator und Spule

dt

tduCti

)()(

dt

tdiLtu

)()(

+

+

U U

Analogie zu Kondensator Kleinere Spannung Größere Spannung

I -I


Spule

KgKg KgKg

Kg Kg KgKg

F I ≈ 0, t = 0

Kg Kg KgKg

I>>0, Später

Keine Spannung

I=0

Trägheit statt ReibungBei konstanter Kraft steigt der Strom gleichmäßig


Verstärker

Vout

Vin

niedriges Potential

hohes Potential


Verstärker

Vout

Vin

Arbeitspunkt

Arbeitspunkt


Verstärker

Vout

Vin

hohes Potential

niedriges Potential


Kleinsignalparameter

TgsdsTGoxnsat VVVVVCL

WI ,)(

2

1 2

G

VG

satsat V

V

II

G

0

m

VG

sat gV

I

G

0

VG0

ΔVG

ΔVG

gm ΔVGKleinsignalschaltung

Nicht-lineare Schaltung


Verstärker - gm

Vout

Vin


Verstärker - Linearität

Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin

Signalbereich


Verstärker - Stabilisierung

Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin


Verstärker – Stabilisierung mit Rückkopplung

Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin


Verstärkung mit Rückkopplung

Vout

Vin

Δ=0



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin



Vout

Vin

Δ=0


AC Verstärkung

Vout

Vin


AC Verstärkung

Vout

Vin


AC Verstärkung

Vout

Vin


AC Verstärkung

Vout

Vin


AC Verstärkung

Vout

Vin


AC Verstärkung

Vout

Vin


AC Verstärkung

Vout

Vin

AC Analyse


Sprungantwort

)(th )(* tU out


DC

)(th )(* tU out


AC

)(th )(* tU out


Sprungantwort

)(tf

)()(')(0

it

i tthttftf

0

*

0

* )()(')()(')( dtufttuttftu it

outiout

)(tuout)(th )(* tu out


AC Analyse eines Verstärkers mit RK

T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signalgain am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti



h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)()1...()()1...( 0*1

1 thDbAtuDaDa mmout

nn



)(* tu out

0)()1...( *11 tuDaDa out

nn



h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)(~)( 0*2

2 thDbAtuDa mmout

)(~)( 2

20

* thDa

bAtu mm

out

2m

1m

0m



)(1

1)(

11

22

10

* thDaDa

DbAtu out

0112

2 aa

011* 21)()( AeCeCthtu ttout

0/1

/1

* 21)()( AeCeCthtu ttout

22

1112

1,

1

))(()( 0/

1*

211 AeCthtu t

out 12211 /, aaa

h(t))(* tu out

)()1)(1(

1)(

12

10

* thDD

DbAtu out

Polynom in D

Charakteristische Gleichung

Partikulare Lösung

Wurzel sind Realzahlen



T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signaldämpfung am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1

)1()(

212

21

*0

DD

DADA zOL

OL

1

)1()(

212

21

0

DD

DTDT z

Annahme: System zweiter Ordnung


Testschaltungen für Feedbackanalyse

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

RK FF

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

T

AAFFA OLOL

F

1

21



111

1

1)(

0

0212

0

21

*

0

0

D

T

TD

T

D

T

ADA

z

zOLF

)(1

)()(

DT

DADA OL

F


Lösung der DG zweiter Ordnung

111

1

1)(

0

212

0

210

D

TD

TT

ADA OL

F

011

0

2

0

Q

2212112 41

22Q

11

1

1)(

0

2

0

0

D

QDT

ADA OL

F

21

00210 ,1

QT

2211 /1,/1

)14sin()14cos()()( 21

21

* tQCtQCethtu tout

Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)

Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte

Das charakteristische Polynom

Die Lösung


Stabilität

2212112 41

22Q

ttout eCeCtu 11

21* )(

21

0210 ,1

QT

5,0Q

UQ

Q

14

22

2

707,0Q

707,0Q

Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell

Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger

Antwort mit RK ist schneller für Größere T


Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung

707.0)1(

21

21

T

Q

1212 5.0 T

12

5.0 T

2112 )(

5.0zT

T


Verstärker 2ter Ordnung mit RK

ω1ω2

λ1, λ2

T0 steigt

Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen



)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1)(

1

0

D

ADA OL

OL

1)(

1

0

D

TDT

11

1

1)(

0

10

DT

T

ADA OL

F 01 T

AA OL

DCF

00

1

11 TTOL

F

Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter

Zeitkonstante verbessert sich um 1+T

Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant



)(1

)()(

DT

DADA OL

F

111)(

321

0

DDD

ADA OL

OL

111)(

321

0

DDD

TDT

ω1ω2

λ1, λ2

ω3

λ3

Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,

wird kleiner

T steigt

Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…

Das System kann bei großer T instabil werden


Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uGNur R



uC1

uC2

uG

+

+

C2

C‘2

uG

+

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren



uC1

uC2

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111


+

+

Matrix Form

Lineare Form



uC1


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uC2


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uG


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uC1

uC2

uGNur R

dt

tduCti

)()(

+


GCCC uducuci 22221212 +

+

Ersetzen wir i durch CDu



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GC

C ud

d

u

u

cDCc

ccDC

2

1

2

1

22221

12111

)(

)(

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC DUUC

GC DUCU 1

2

22

dt

dD

dt

dD

t

dD0

1

10

1

t

ddt

dDD

10

1 t

dd

dDD

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

11

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC uDaDa

DbAu

1

1''

12

2

12

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

1

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

h(t)

δ(t)

)(t

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

(1)



)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(t

)(th

)(tuCP)(tuCH

0

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant



))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

(1)

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

(2)

(3)

(4)



Aecect to

to 21

21)(

0112

2 aa 0)(

)(

22221

12111 cCc

ccC

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)



uC2

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



uC1+

+

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…



Aecect to

to 21

21)(

Aecect to

to 21 /

2/

1)(

0112

2 aa

Aececthtu to

toC 21 /

2/

1)()(

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

wird

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

0112

2 aa


Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 010

11 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden


Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

110

212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1


DC AC

Ohne RK

RK

inout VRR

RV

21

1

outVinV

1R

2R

)(1

)1()(

12

2

1 tAuDaDa

Dbtu Gout

)()( ssCUsI

Ω

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

2112 )(

5.0zT

T

Nullimpedanzen


Tiefpass 1. Ordnung (Beispiel)

)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

+

uG = h(t)C1

R1

+

dt

tduCti

)()(

+



)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

+

C1

R1

+

DC

0

dt

tduCti

)()(

+

AAuu GC

)(10

1)(2

1)(2 Cu

uG = h(t)

1)(2 Cu A1



)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

+

C1

R1

+

)(1

1)(

12 sA

sas GC uu

*)(,01*:* 21 ssass Cu

uG = h(t)

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

*/11 sa



)(1

1)(

12 tAu

Datu GC

C1

R1

+

)(1

1)(

12 sA

sas GC uu

*)(,01*:* 21 ssass Cu

Ω

Req(s*) = 0

*/11 sa

uG = h(t)

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti



0*

1*)(

11

CsRsReq

C1

R1

+

Ω

Req(s*) = 0

0*

1*

1

11

Cs

CRs1*: 11 CRsCG

111 CRa

)(1

1)(

112 sA

sCRs GC uu


„Common-Source“ Verstärker

Eingang

Ausgang

Rg

Rd



+

gm UIN

Cg Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Source

Cf

Cd Rd||Rds

Rg -

Eingang Ausgang

Cg

Cf Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Drain

Cd Summe aller Kapazitäten zwischen Drain und Masse

Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd Rds



Eingang

Ausgang

Rg=10K

Rd

Cg=1p

Cf

Cd=1p Rds

A=200

Cf, gm, Rd = ?

Response speed - Optimieren



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd Uout(t)

Iin(t)

)()()( tututudfg CCC



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

)(1

)1()(

12

2

1 tAuDaDa

Dbtu Gout



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

1100

)10()(

12

1

A

aa

buout

gdm RRgA



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

)(1

)1()(

12

2

1 tuDaDa

DbRgRtu Gdmgout



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

0*)(,01*:* 1 ssbss outu

)(1

)1()(

12

2

1 ssasa

sbRgRs dmgout Guu



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

in1 vi fCs*

in1 vi mg

fmfm CgsCsg /*,*

mf gCb /1

0*)(,01*:* 1 ssbss outu

)(1

)1()(

12

2

1 ssasa

sbRgRs dmgout Guu

0*)( soutu

1i



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd

*)(,01**:* 12

2 ssasass outu

)(1

)11(

)(1

22

ssasa

g

C

RgRs m

f

dmgout Guu



Eingang

RgRdCg

Cf

Cd

0)( sGin

0)(*1

sGCsR

G eqgg

in

*)(,01**:* 12

2 ssasass outu

)(1

)11(

)(1

22

ssasa

g

C

RgRs m

f

dmgout Guu

0)( sGin



Rd

Cf

Cd)(sZeq



Rd

Cf

CdOC

SCeqeq T

TZsZ

1

1)( 0

dd

dfeq CsR

RsCZ

1

/10



Rd

Cf

Cd

OC

SCeqeq T

TZsZ

1

1)( 0

)1(

)(1

1

10

ddf

fdd

dd

d

feq CsRsC

CCsR

CsR

R

sCZ

0,1

scdd

dmOC T

CsR

RgT

dmdd

dd

ddf

dfdeq RgCsR

CsR

CsRsC

CCsRZ

1

1

)1(

)(1

)1(

)(1

dmddf

dfdeq RgCsRsC

CCsRZ



0*)(*1

sGCsR eqg

g

dmdd

dd

ddf

dfdeq RgCsR

CsR

CsRsC

CCsRZ

1

1

)1(

)(1

0*)(*1

sGR

CRseq

g

gg

0)(1

)1(*1

dfd

dmddf

g

gg

CCsR

RgCsRsC

R

CRs

01)))1(()(()(2 gdmfgdfddfdgfgdg CRgCRCCRsCCCCCCRRs

CgRg

Geq



01)))1(()(()(2 gdmfgdfddfdgfgdg CRgCRCCRsCCCCCCRRs

1)))1(()(()(

)/1(2

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdm

CRgCRCCRsCCCCCCRRs

gsCRRgEingang

Ausgang

Rg

Rd||Rds

Cg

Cf

Cd

)(1

)11(

)(1

22

ssasa

g

C

RgRs m

f

dmgout Guu


Verstärkung mit RK – die Formel

1)))1(()(()(

)()/1()(

2

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdmout CRgCRCCRsCCCCCCRRs

sgsCRRgs Giu


Verstärkung mit RK – die Formel

2112 )(

5.0zT

T

225.0)( fdgmdfdgfgdg CRRgCCCCCCRR

dm

dfdgfgf Rg

CCCCCCC

5.02

Bedingung für schnelle Signalantwort ohne Überschwinger

1)))1(()(()(

)/1(2

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdm

CRgCRCCRsCCCCCCRRs

gsCRRg

fFCpF

C ff 100100

)1( 22

nsCRRg fgdm 200~1

nsns 5.0200200

5.0~2

nsgC mf 5.0/ mgs 200


Pole Splitting

1)1()(

)/1()(

2

sRgCCRCCRsCCCCCCRR

sgCRgRsA

dmfggfdddfdgfgdg

mfdmg

11

)1()(

21

ss

sRgRsA z

dmg

1

1)(

2

sCRCRsCCRRRgRsA

ggdddgdgdmg

11

1)(

sCRsCRRgRsA

ggdddmg 1

)/1()(

2*

sRgRCsCRR

sgCRgRsA

dmgfdg

mfdmg

0fC


Pole Splitting

11

1)(

sCRsCRRgRsA

ggdddmg

1

)/1()(

2*

sRgRCsCRR

sgCRgRsA

dmgfdg

mfdmg

ddpggp CRCR 21 ,

fm

fggdfdfdmg Cg

CCCCCCCRgR

21 ,

1/τ

τp1τp2

Cf

ggCR/1 ddCR/1

fgmg CRgR/1 dg

m

CC

g


Millereffekt

testtest ICD

U1

Uin Uout

testOL

SCintest I

ACDT

TZUU

)1(

11

1

10

C

LCMeter

LCMeter

-A

C

(1+A)C

C

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