1col Md Matematica Vol112

Ren Descartes

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Karl Friedrich Gauss

Niels Henrik Abel

George Boole

George F. B. Riemann

David Hilbert

Euclides Roxo

Jacob Palis

Nicolaus Bernoulli II

2 Matemtica

1 colegial - Matemtica lgebra - Volume 1 - 2011 - Pgina 2

SUMRIO DO VOLUMEMATEMTICA

ALGBRA 3

1. Noes sobre conjuntos 31.1 Introduo 31.2 Noes primitivas 31.3 Representao de conjunto 31.4 Igualdade de dois conjuntos 31.5 Quantidade de elementos de um conjunto 41.6 Tipos de conjuntos 41.7 Continncia 51.8 Partes de um conjunto 51.9 Operaes com conjuntos 6

2. Conjuntos numricos 132.1 Introduo 132.2 Nmeros naturais () 132.3 Nmeros inteiros () 132.4 Nmeros racionais () 142.5 Nmeros Irracionais (Ir) 172.6 Nmeros Reais () 182.7 Nmeros Complexos () 20

3. Noes sobre funes 263.1 Introduo 263.2 Dependncia entre grandezas 263.3 De nio 263.4 Representao 273.5 Variao 31

4. Funo a m 384.1 Introduo 384.2 De nio 384.3 Zero 384.4 Gr co da funo a m 384.5 Sinal da funo a m 464.6 Inequaes 47

TRIGONOMETRIA 53

5. Trigonometria no tringulo retngulo 535.1 Introduo 535.2 Razes trigonomtricas 535.3 Tabela trigonomtrica 545.4 ngulos notveis 565.5 Relaes notveis 635.6 Razes trigonomtricas de ngulos complementares 665.7 Razes trigonomtricas de ngulos no agudos 675.8 Razes trigonomtricas de ngulos suplementares 68

6. Trigonometria num Tringulo qualquer 716.1 Introduo 716.2 Lei dos cossenos 716.3 Lei dos senos 746.4 rea de tringulo 80

7. Trigonometria nos polgonos Regulares 847.1 Introduo 847.2 Elementos 857.3 rea de polgono regular 87

3Matemtica


SUMRIO COMPLETOVOLUME 1

UNIDADE: LGEBRA 1. Noes sobre conjuntos2. Conjuntos numricos 3. Noes sobre funes4. Funo a m

UNIDADE:TRIGONOMETRIA5. Trigonometria no tringulo retngulo6. Trigonometria num Tringulo qualquer 7. Trigonometria nos polgonos Regulares

VOLUME 2

UNIDADE: LGEBRA8. Funo Quadrtica9. Composio de funes10. Funes de nidas por vrias sentenas11. Funo Modular12. Outras classi caes de funes13. Funo inversa14. Potncias e radicais

UNIDADE: LGEBRA II15. Noes sobre sequncias16. Progresso Aritmtica (P.A.)17. Progresso Geomtrica (P.G)

VOLUME 3

UNIDADE: LGEBRA18. Funo exponencial19. Noes sobre logaritmo20. Funo logartmica21. Logaritmos decimais

UNIDADE: LGEBRA II22. Noes de Matemtica Financeira23. Noes de estatstica

4 Matemtica


5Matemtica


Noes sobre conjuntos

1. NOES SOBRE CONJUNTOS

1.1 Introduo

Assim como a msica, a Matemtica uma linguagem universal. Uma partitura lida com facilidade por um estudante de msica que seja brasileiro, francs, noruegus. Com a Matemtica, acontece algo parecido. Em qualquer lugar do mundo, a sentena4 + 2 = 6, escrita na linguagem matemtica, compreendida at por uma criana. No entanto, no estudo da Matemtica, deparamo-nos, muitas vezes, com smbolos que, aparentemente, "complicam" nosso entendimento. Isso ocorre devido ao fato de estarmos acostumados com a linguagem usual do cotidiano, menos sintetizada e menos simblica. No estudo dos conjuntos, teremos a oportunidade de familiarizarmo-nos com alguns smbolos bastante usados na linguagem matemtica.

1.2 Noes primitivas

Sabemos que o conjunto das vogais minsculasdo nosso alfabeto composto pelos seguintes elementos: a, e, i, o, u. Intuitivamente, dizemos que a umelemento que pertence ao conjunto das vogais, enquanto r um elemento que no pertence a ele. Sendo V o conjunto das vogais, essas sentenas podem ser escritas como: a V (a pertence a V)

r V (r no pertence a V)

As noes de conjunto, elemento e pertinncia so adquiridas pela experincia, intuitivamente. Por isso, no necessrio estabelecer uma de nio matemtica para elas.

Para discutir com os colegas:

possvel que um determinado elemento pertena, simultaneamente, a dois ou mais conjuntos?

LGEBRA

1.3 Representao de conjunto

A representao de um conjunto pode ser feita por meio de: enumerao (escrevendo os elementos entre chaves); propriedade comum (por meio de uma sentena matemtica); diagrama (recurso gr co chamado de Diagrama de Venn).

Exemplo: Representando o conjunto V das vogais minsculas, temos: enumerao: V = {a, e, i, o, u}; propriedade comum: V = {x| x vogal do alfabeto latino}; Diagrama de Venn:

a

e

i

o

u

V

1.4 Igualdade de dois conjuntos

Consideremos as pessoas cujos nomes so: Antnio (1,80 m, nascido em 30/10/1984), Srgio (1,20m, nascido em 20/10/1999) e Helena (0,85m, nascida em 07/03/2004). Formemos, agora, os seguintes conjuntos:

I das iniciais dos nomes dessas pessoas em ordem alfabtica.

J das iniciais dos nomes dessas pessoas, considerando a ordem crescente das alturas dessas pessoas. Nessas condies, temos: I = {A, H, S) e J= { H, S, A}

Notemos que todos os dois conjuntos tm os mesmos elementos.


6 Matemtica



Dizemos, nesse caso, que esses conjuntos so iguais, independentemente da ordem em que os elementos so enumerados. Consideremos, agora, as iniciais A, B e C dos nomes dos jogadores de um time de futebol, e a ordem em que ocorreram os gols que zeram num certo jogo, de acordo com a tabela a seguir:

1o gol 2o gol 3o gol 4o gol 5o gol

A x xB x xC x

Formemos o conjunto das iniciais dos nomes desses jogadores que zeram gol. Se enumerarmos o conjunto dessas iniciais em ordem alfabtica e na ordem em que ocorreram os gols, teremos, respectivamente, os conjuntos N e G, tais que:

N = {A, B, C} e G = {A, B, A, C, B} Novamente, os conjuntos tm os mesmos elementos, embora em G haja repeties. Nesse caso, dizemos, tambm, que os conjuntos so iguais. Formalmente, dois conjuntos A e B so iguais quando todo elemento de A pertence a B e vice-versa, no importando a ordem ou a repetio dos elementos. Desse modo, so iguais, por exemplo, os conjuntos A, B e C a seguir:

A = {a, e, i, o, u}

B = {a, e, e, i, i, i, o, o, o, o, u, u, u, u} e

C = { a, i, o, e, u}

1.5 Quantidade de elementos de um conjunto

A quantidade n(C) de elementos de um conjuntoC obtida considerando os elementos distintos que ele apresenta. Exemplos: A = {1, 2, 3} n (A) = 3

B = {a, b, c, b, d, c} n(B) = 4

1.6 Tipos de conjuntos

Alguns tipos de conjuntos, por serem de grande aplicao na teoria que vamos expor, merecem uma citao parte.

1.6.1 Conjunto vazio

Consideremos a seguinte questo: Qual o pas europeu que faz fronteira com o Brasil?

J sabemos que a resposta : No existe. Desse modo, o conjunto que representa essa resposta no possui elemento. Podemos dizer, nesse caso, que temos um conjunto vazio como resposta. Formalmente, dizemos que conjunto vazio todo conjunto que no apresenta elemento. O conjunto vazio representado, geralmente, por { }, ou por uma propriedade falsa, caracterizando um evento impossvel. Desse modo, so vazios os conjuntos: P de palavras proparoxtonas da Lngua Portuguesa no acentuadas: P = ou P ={ } n(P) = 0 A dos animais que realizam fotossntese: A = ou A = { } n(A) = 0

1.6.2 Conjunto unitrio

Consideremos a seguinte questo: Qual o "apelido" do jogador de futebol que foi considerado "o atleta do sculo XX"? Sabemos que a resposta Pel. Assim, o conjunto que fornece essa resposta tem um nico elemento. Podemos dizer, nesse caso, que temos um conjunto unitrio como resposta. Formalmente, dizemos que conjunto unitrio todo conjunto formado por um nico elemento, caracterizando um evento elementar. Desse modo, so unitrios os conjuntos: N de gases nobres cujos tomos tm apenas duas camadas completas de energia. N= {nenio} n(N) = 1. C das capitais do Estado de Minas Gerais. C = {Belo Horizonte} n(C) = 1.

Para discutir com os colegas:

O que signi ca a representao {}

7Matemtica



1.6.3 Conjunto universo Quando se faz um estudo, em Matemtica, admite-se um conjunto U, ao qual todos os elementos envolvidos pertenam. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo. Devemos notar que, para uma mesma descrio de um conjunto, podemos ter vrias solues possveis, dependendo do conjunto universo em questo.

Exemplo: O conjunto das vogais das palavras BRASIL, PATRIOTA e POVO so, nessa ordem:V = {A, I}, V = {A, I, O}, V = {O}, cujos universos, so, respectivamente:

U = {B, R, A, S, I, L}

U= {P, A, T, R, I, O} U = {P, O, V}.

1.7 Continncia

Consideremos o conjunto S dos Estados do Sudeste brasileiro e o conjunto H dos Estados brasileiros homnimos de suas capitais. Esses conjuntos so: S = {Minas Gerais, Rio de Janeiro, Esprito Santo, So Paulo} e H = {Rio de Janeiro, So Paulo}. Notemos que todos os elementos de H pertencem a S. Nesse caso, dizemos que H est contido em S e, tambm, que S contm H. Formalmente, dizemos que um conjunto A est contido em outro conjunto B, quando todos os elementos de A pertencem tambm a B. Indicamos que A est contido em B pela sentena A B, que signi ca, tambm, que A subconjunto de B, ou, ainda, que A parte de B. Do exposto, decorrem as seguintes implicaes:

Se A B (A est contido em B), ento B A (B contm A). Se A B (A no est contido em B), ento B

A (B no contm A). possvel demonstrar que: o conjunto vazio est contido em todo conjunto; todo conjunto est contido em si mesmo.

1.8 Partes de um conjunto

Consideremos o conjunto A = {a, b, c}. Esse conjunto tem os seguintes subconjuntos:{a}; {b}; {c}; {a, b}; {a,c}; {b, c}, {a, b, c} e { } =

Agrupando todos esses subconjuntos em um s conjunto, temos o conjunto das partes de A, denotado por P(A). Assim:P(A) = {, {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a,c}; {b, c}, {a, b, c}} Formalmente, dizemos que o conjunto das partes de um conjunto A aquele formado por todos os subconjuntos de A.

Para discutir com os colegas: O conjunto vazio apresenta algum subconjunto? Em caso a rmativo, qual sua representao?

1.8.1 Quantidade de partes de um conjunto

Quando formamos, por exemplo, os subconjuntos do conjunto A = {a, b, c}, percebemos que cada elemento pode ou no pertencer a um determinado subconjunto. A tabela a seguir ilustra esse fato.

a b c Subconjunto {a, b, c} {a,b} {a, c} {b,c} {a} {b} {c} { } =

Observando essa tabela, percebemos que o conjunto das partes de A tem 8 elementos, ou seja, A tem 8 subconjuntos. Usando esse raciocnio, podemos provar que um conjunto com n elementos ter 2n subconjuntos. Assim, se C um conjunto com n(C) elementos, temos:

n[P(C)] = 2n(C)

Exerccio resolvido 1 Considerando o conjunto C das letras da palavra conjunto, responda:a) Quantos so seus elementos?b) Quantos so seus subconjuntos?

8 Matemtica



Resoluo:

a) Enumerando esse conjunto (desconsiderando

repeties), temos:

C = {c, o, n, j, u, t} n (C) = 6

o conjunto ter 6 elementos.

b) n(P(C)) = 2n(C) n(P(C)) = 26

o conjunto ter 64 subconjuntos

1.9 Operaes com conjuntos

possvel estabelecermos relaes entre os elementos de dois ou mais conjuntos por meio de operaes espec cas. Essas operaes sero de nidas a seguir.

1.9.1 Interseco Consideremos, em uma sala de aula, o conjunto das pessoas de olhos claros e o das pessoas de olhos escuros. Provavelmente, haver rapazes de olhos claros, rapazes de olhos escuros, moas de olhos claros e moas de olhos escuros. Se tomarmos o conjunto das moas de olhos claros, por exemplo, teremos o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto das moas e ao conjunto das pessoas de olhos claros. A esse conjunto, d-se o nome de conjunto interseco dos dois ltimos conjuntos citados. Formalmente, o conjunto interseco (A B)entre dois conjuntos A e B de nido como sendo o conjunto formado pelos elementos que pertenam a ambos os conjuntos, ou seja, que possuam simultaneamente as caractersticas dos dois. Em smbolos, escrevemos:

A B = {x|x A e x B} Caso a interseco de dois conjuntos sejavazia, estes so ditos disjuntos ou mutuamente exclusivos. Representando A B, por meio de diagramas, temos:

A B A B = (A e B sodisjuntos)

A B

AAAAA AAAB B

Exemplos: Se A = {a, b, c}, B = {d, e, i, o} e C = {a, b, i, o},ento:

A B = { } ou A B = . A C = {a, b}. B C ={i, o}.

1.9.2 Unio Consideremos o conjunto das pessoas de cabelos escuros e o das pessoas de olhos claros. Se "juntarmos" esses conjuntos, teremos um novo conjunto cujos elementos so pessoas de cabelos escuros ou pessoas de olhos claros. A esse ltimo conjunto d-se o nome de conjunto unio dos dois primeiros. Formalmente, o conjunto unio (A B) de dois conjuntos A e B de nido como sendo o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um ou ao outro. Em smbolos, escrevemos:

A B = {x|x A ou x B} Representando A B, por meio de diagramas, temos:

AA B AA B

A e B no disjuntos A e B disjuntos

Exemplos: Se A = {a, b, c, d}, B = {m, n, p} e C = {a, b, c, e, f},ento: A B = { a, b, c, d, m, n, p} e A B = . B C ={m, n, p, a, b, c, e, f } e B C = . A C = {a,b, c, d, e, f } e A C = {a, b, c}.

importante notarmos que, se A e B so disjuntos, ento n(A B) = n(A) + n(B). Em casocontrrio, os elementos de A B devem ser contados uma nica vez ao se calcular n (A B), visto que em A B esses elementos esto contados duas vezes: uma por estarem em A e outra por estarem em B Assim: Se A B = n (AB) = n(A) + n(B)

Se A B n (AB) = n(A) + n(B) n(A B)

Essa ltima relao vale para o caso em que A B = , pois, nesse caso, n(A B) = 0. Assim, genericamente, temos:

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

9Matemtica



Exemplos:

A = {a, b, c} e B = {p, q, r, s}A = n = (A B) = n(A) + n (B)n (A B) = 3 + 4 n (A B) = 7 A = {a, b, c} e B = {b, c, d, e, f }A ={b, c} n = (A B) = n(A) + n(B) n (A )n ( A B) = 3 + 5 2 n = (A B) = 6

1.9.3 Diferena Se, do conjunto dos jovens de olhos claros,retirarmos as moas de olhos claros, teremos o conjunto dos rapazes de olhos claros. A esse ltimo conjunto, d-se o nome de conjunto diferena entre os dois primeiros. Assim, o conjunto diferena (A B), entre os conjuntos A e B, formado pelos elementos de A que no pertencem a B. Em smbolos, escrevemos: A B = {x|x A e x B}

Para obter A B, basta retirar de A os elementospertencentes a A B. (se houver). Representando A B por meio de diagramas, temos:

AA B AAA B

A - B = A

A - B

Exemplos:

Se A = {a, b, c, d}, B = {a, b, c, f, g}, C = {a, b, c, d, e} e D = {m, n}, ento:

A B = {d} B A = {f, g} A C = { } ou A C = C A = {e} B C = {f, g} C B = {d, e} A D = A D A = D

Se considerarmos dois conjuntos A e B, tais que A B, a operao de diferena (B A) passa

a se chamar complementar, representado por AB .

Em smbolos, escrevemos:A B B A =

AB

Representando por meio de diagramas, temos:

BA

A

B = B - A

Um caso importante o complemento A deum conjunto A em relao ao universo. Nesse caso, estabelecido um universo U, podemos escrever:

A

U= A A = {x U | x A}

Representando por meio de diagramas, temos:

A

U

A

A U - AAA

U= =

Exemplos: Se A = {a, b, c}; B = {a, b, c, d, e}; C = {b, c, d} e U = {x | x letra minscula do alfabeto latino}, ento:

UA = A = U A = {d, e, f, ..., z}

UB = B = U B = {f, g, h, ..., z}

CU = C = U C = {a, e, f,..., z}

Exerccio resolvido 2 Dados os conjuntos A = {0,1,3,4}, B = {2,3,4,5},

C = {4,5} e D = {5,6,7}, determine:a) (A C) B c) (B A) C

b) (B C) D d) (A B)CB

10 Matemtica



Resoluo:

a)

(A C) B = {0,1, 3, 4, 5}

{2, 3, 4, 5}

(A C) B= {3, 4, 5}b)

(B C) D = {4, 5} {5, 6, 7}

(B C) D= {4, 5, 6, 7}

c) (B A) C = {2, 5} {4, 5}

(B A) C= {5}

d) {2, 3} {3, 4} =

(A B)

B

C

C

B (A B) = {2, 3, 4}

Exerccio resolvido 3 Uma prova com duas questes foi dadaa uma classe de 40 alunos, dos quais 10 acertaramas duas questes, 25 acertaram a primeira questo, e 20 acertaram a segunda.a) Quantos alunos acertaram s uma questo?b) Quantos alunos erraram as duas questes?

Resoluo:Sejam os conjuntos: I = {acertaram a 1a questo} eII = {acertaram a 2a questo}.a) Na gura 1, indicamos, sob a forma de diagramas, os conjuntos I e II, bem como I II, I - II e II - I. Na gura 2, indicamos a quantidade de elementos desses conjuntos, conforme explicaes a seguir: 10 alunos acertaram as duas n(I II) = 10 dos 25 que acertaram a 1a questo, j temos 10 em I II. Ento, n(I - II) = 15 dos 20 que acertaram a 2a questo, j temos 10 em I II. Ento, n(II - I) = 10

II IIFig. 1

III

Fig. 2

II II

15 10 10

A quantidade de alunos que acertaram apenas

uma questo (I II) (II I). Essa

quantidade 15 + 10 = 25.

25 alunos acertaram apenas uma questo.

b) Considerando I e II no universo total de alunos,sendo n(U) = 40 e lembrando que os alunosque no acertaram nenhuma questo devem estarfora dos dois conjuntos, temos as guras a seguir:

Fig. 1

II II

Fig. 2

II II

15 10 10

U U

U - I II n [ U - ( I II ) ]

n[U (I II)] = 40 (15+10+10) n[ (I II)] = 5

5 alunos erraram as duas questes.

Exerccio resolvido 4

Em um supermercado, foi feita uma pesquisasobre a preferncia de trs produtos, A, B, e C. Os resultados foram registrados na seguinte tabela:

X n(x)A 100B 95C 125

A e B 40A e C 30 B e C 15

A, B e C 10

Nenhum 40 Quantas pessoas preferem A ou B?

Resoluo:

Os trs conjuntos devero cruzar-se no diagrama, pois todas as interseces possveis foram contadas. Devemos iniciar com a parte mais central (A B C), conforme a gura 1. A partir da, passemos s interseces dois a dois, lembrando que A B C faz parte de todas elas, conforme a gura 2.

A B

C

10

UA B

C

10

U

20 5

30

Fig 1 Fig 2

11Matemtica



Do conjunto A (100 elementos), j lanamos 60. Assim, na parte que falta, deve haver 40. Pelo mesmo raciocnio, para B e C, temos 50 restantes em B e 90 restantes em C, conforme a gura 3. As 40 pessoas que no preferem nenhumproduto da pesquisa devem estar no universo da pesquisa, mas fora dos conjuntos A, B ou C, conforme gura 4.

90

A B

C

10

UA B

C

10

U

20 5

30

Fig 3 Fig 4

40 5030

20 5

90 90

40 50

A preferncia de A ou B representada por

A B. Desse modo:

n(A B) = 40 + 20 + 30 + 10 + 50 + 5 n(A B) = 155 155 pessoas preferem os produtos A ou B.

Exerccios de sala

5 Complete, convenientemente, as lacunas a seguir:

Um conjunto pode ser entendido como sendo uma _________________ de objetos, os quais so os __________________ do conjunto.

Se um elemento x integrante de um conjunto A, ento x ___ A, caso contrrio, x __A.

A relao de pertinncia s feita entre: _________________ e __________________.

Se um conjunto A parte de outro conjunto B, ento A____ B, ou ainda B____A.

Dados os conjuntos A = {i, n, t, e, r, s, e, , ,o} e B = {u, n, i, , o} ento:

A B = ______________ A B = ______________________________ Se A = {a, b, c} e B = {a, b, c, d, e}, ento: A B = _______ e B A = _________ .6 Classi que as proposies a seguir como

verdadeiras (V) ou falsas (F), sendo que A e B so conjuntos quaisquer:

a) a {a, b, c, d } ( ) f) (A B) ( )

b) {a} {a, b} ( ) g) A (A B) ( )

c) {a} {a, b} ( ) h) (A B) A ( )

d) a {a, {a}} ( ) i) (A B) ( )

e) {a} {a, {a}} ( ) j) A (A B) ( )

7 Sejam A e B os conjuntos das letras das palavrasorangotango e Pernambuco, respectivamente. Pede-se:

a) Enumerar o conjunto A B. b) Enumerar o conjunto A B. c) Enumerar o conjunto A B. d) Enumerar o conjunto B A. e) A quantidade de partes de A. f) A quantidade de partes de B.

8 Seja P(A) o conjunto das partes de um conjunto A com n(A) elementos. Nessas condies, indique a soma dos nmeros associados s proposies corretas:

01) Se n(A) = 5, ento n[P(A)] = 32. 02) Se A = {a, b, c}, ento a P(A). 04) Se A = {a, b, c, d}, ento {a, b} P(A). 08) Se A = {a, b, c, d}, ento P(A). 16) Se A = {, , , }, ento P(A).

9 Considere o diagrama a seguir:

A B

C

U

Hachure os conjuntos indicados para cada item:

a) A B b) B C

A B

C

A B

C

12 Matemtica



c) (A B) C d) (B C) A c) (A B) C d) (B C) A

A B

C

A B

C

e) A (B C) f) (A B) (A C)

A B

C

A B

C

10 Enumere o conjunto das partes dos conjuntosa seguir:

a) A= {a, b} b) B = {, , }

11 O conjunto A tem 12 elementos e o conjunto B tem 8 elementos. Se o conjunto A B tem 16 elementos, ento:a) Represente essa situao usando diagramas de Venn.b) quantos elementos de A pertencem a B?

12 Foram entrevistadas 100 donas de casa sobre suas preferncias em relao s marcas A e B de leite integral, e o resultado foi:

40 delas responderam que preferem a marca A; 20 responderam que preferem a marca A e a marca B;

10 responderam que no preferem nehuma das duas marcas.

Considere que todas as entrevistadas responderam pesquisa. Nessas condies, pede-se:a) Represente por meio de diagramas de Venn o resultado da entrevista.b) Obtenha a quantidade de donas de casa que preferem somente a marca A e destaque, nos diagramas de Venn a regio que representa essa quantidade. c) Obtenha a quantidade de donas de casa que preferem somente a marca B e destaque, nos diagramas de Venn a regio que representa essa quantidade.

13Matemtica



Enunciado para as questes de 13 a 17.

Em uma pesquisa realizada com 550 pessoas para saber da preferncia entre futebol, basquete e vlei;. o resultado foi o seguinte:

300 gostam de futebol; 240 de basquete; 290 de vlei; 100 gostam de futebol e de basquete; 150 de futebol e de vlei 130 de basquete e de vlei e 50 gostam das trs modalidades.13 Construa os diagramas de Venn que

representam os resultados dessa pesquisa.

14 Quantas pessoas no gostam de nenhum desses esportes?

15 Quantas pessoas gostam somente de futebol?

16 Quantas pessoas gostam s de basquete?

17 Quantas no gostam de vlei nem de basquete?

Enunciado para as questes de 18 a 19.

Numa pesquisa sobre audincia de tevcom, 125 entrevistados, obtiveram-se os seguintes resultados:

60 assistem ao canal X; 40 assistem ao canal Y; 15 assistem ao canal Z; 26 assistem aos canais X e Y; 8 assistem aos canais Y e Z; 3 assistem aos canais X e Z e 45 no assistem a nenhum dos trs canais.

Considere que todos os entrevistados emitiram sua opinio.

18 Quantos assistem aos trs canais?

19 Quantos assistem ao canal X, mas noassistem ao canal Y?

Exerccios propostos

20 Classi que cada proposio a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F), sendo que A e B so conjuntos quaisquer:

a) a {{a}} ( ) f) (A B) A ( )

b) {a} {{a}}( ) g) B (A B) ( )

c) {, {a}}( ) h) (A B) (A B) ( )

d) {, {a}} ( ) i) A (A B) ( )

e) {a, b} {a, b, c, d} ( ) j) B (A B) ( )

21 A, B e C so trs conjuntos distintos, tais que n(A B) = 8, n(C) = 10, n(A C) = 17, n(A B C) = 5, n(B C) = 6, n(B) = 12, n(A C) = 7. Nessas condies, calcule a quantidade de elementos dos conjuntos a seguir:

a) B C b) A B

22 Quantos subconjuntos tem o conjunto das vogais do nosso alfabeto?

23 Quantos elementos tem um conjunto com 1024 subconjuntos?

24 Seja C o conjunto das letras da palavra CENECISTA e seja V o conjunto das vogais do nosso alfabeto. Nessas condies, enumere os seguintes conjuntos:

a) A V b) A V c) A V d) V A

14 Matemtica



25 Seja o universo dos meses do ano do nosso calendrio e seja A o conjunto desses meses cujo nome se inicia com a letra J. Enumere o conjunto A, complementar de A em relao a

26 Enumere o conjunto das partes do conjunto A B, sendo A = {a, b, {c}} e B = {a, b, c}.

27 Um conjunto A tem 15 elementos, dos quais 5 pertencem a um outro conjunto B. Se esses conjuntos tm, juntos, 18 elementos, quantos subconjuntos tem o conjunto B?

28 Sejam os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} eC = {a, c, d, e}. Obtenha, ento, o conjunto D = (A C) (C B) (A B C).

29 No diagrama a seguir, temos o universo das pessoas que jogam xadrez (X), ou jogam cartas (C), ou jogam domin (D).

X C

D

U

Para cada item a seguir, indique a operao

que permite obter o conjunto pedido: a) As pessoas que jogam domin e no jogam

cartas. b) As pessoas que jogam xadrez ou cartas, mas

no jogam domin. c) As pessoas que no jogam algum desses

jogos.

30 Numa sala de aula, 50% dos alunos tm olhos claros, 44% tm cabelos escuros e os 20% restantes no apresentam nenhuma dessas duas caractersticas.

Disponvel em:< supplemint.edublogs.org> Acesso em: 29 nov 2010

Escolhido um aluno ao acaso, quais as chances de que ele: a) ele tenha olhos claros e cabelos escuros? b) ele no tenha olhos claros? c) ele no tenha cabelos escuros?

31 Dos 50 desportistas que se encontram em um clube, em certo domingo, somente 17 jogam peteca, somente 32 jogam tnis de mesa e somente 8 no jogam tnis de mesa nem peteca.

D a soma dos nmeros associados s proposies corretas.

01) 42 jogam peteca ou tnis de mesa. 02) H 8 desportistas que jogam peteca, mas

no jogam tnis de mesa. 04) H 25 que jogam tnis de mesa, mas no

jogam peteca. 08) H 40 que no jogam peteca. 16) Somente 18 no jogam tnis de mesa.

Enunciado para as questes 28 e 29.

Uma indstria de cosmticos entrevistou 300 de seus funcionrios a respeito de trs embalagens, A, B e C, que podero ser utilizadasna apresentao do lanamento de um novo produto. Os resultados foro analisados e listados a seguir:

150 indicaram A; 120 indicaram B; 90 indicaram C; 30 indicaram A e B; 40 indicaram A e C; 50 indicaram B e C e 20 indicaram as trs embalagens. 32 Dos funcionrios entrevistados, quantos no

tinham preferncia por nenhuma das trs embalagens?

33 Escolhendo um funcionrio da empresa, ao acaso, qual a expectativa, em porcentagem, de que ele no tenha preferncia por nenhuma das trs embalagens ou, apenas, pela embalagem C?

Questo-desafio

34 Enumere os possveis conjuntos X, tais que {a,b} X {a, b, c, d}.

35 Considere os conjuntos A, B e C e estabelea uma frmula para o clculo da quantidade de elementos do conjunto A B C. (Sugesto: use diagramas de Venn.)

15Matemtica


Conjuntos numricos

2. CONJUNTOS NUMRICOS 2.1 Introduo

Desde os primrdios da humanidade, difcil encontrar uma situao na qual no se necessite do uso de um nmero. Os nmeros podem ser usados para contar (a quantidade de alunos de uma escola, por exemplo); medir (a altura de um edifcio, por exemplo) ou codi car (o nmero do CPF de uma pessoa, por exemplo). Da necessidade de contar e medir (comparar) objetos, surgiram os conjuntos numricos, que sero objeto de estudo deste captulo.

2.2 Nmeros naturais ()

Quando desejamos quanti car objetos, estamos diante de uma situao de contagem. Os nmeros que expressam os resultados de contagens so chamados de nmeros naturais. O conjunto dos nmeros naturais representado por: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

O sucessor de um nmero natural o nmero natural que aparece imediatamente depois dele.Assim, o sucessor de 3 4, o de 5 6, etc.

Para discutir com os colegas: Todo nmero natural tem um sucessor? O zero sucessor de algum nmero natural?

2.2.1 Re presentao geomtrica

Embora os nmeros naturais, a princpio, representem resultados de contagem, eles podem ser usados para representar medidas inteiras. Portanto, geometricamente, podemos representar os nmeros naturais por meio de pontos de uma reta, usando uma unidade padro de medida, conforme a figura a seguir:

0 1 2 3 4

u u u u

...

Convm destacar um subconjunto de , que o conjunto dos nmeros naturais no nulos:

* = {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

2.3 Nmeros inteiros ()

Em , sempre possvel efetuar a adio e a multiplicao. Em outras palavras, a soma e o produto de dois nmeros naturais resultam sempre em um nmero natural. J a subtrao entre dois nmeros naturais nem sempre um nmero natural. A subtrao 8 14, por exemplo, no possvel em . Da a necessidade de ampliar o conjunto . Para compreender o problema da subtrao(8 14, por exemplo), consideremos um termmetroque registra 8 C (8 graus Celsius acimade 0) e as seguintes situaes: Se a temperatura baixar 2 C, teremos um registro de 8 2 = 6 C acima de zero. Se a temperatura baixar 8 C, teremos um registro de 8 8 = 0 C. Se a temperatura baixar 14 C, teremos um registro de 8 14 = 6 C abaixo de zero. Notemos que os resultados das operaes 8 2 = 6 acima de zero e 8 14 = 6 abaixode zero tm significados diferentes. Da anecessidade de introduzir um smbolo diferenciador, que vem a ser o sinal () no segundo caso. Assim, percebemos que possvel efetuara operao (8 14), desde que entendamos o valorrelativo do sinal (). Para representar esse tipo de resultado, usamos os nmeros inteiros negativos. Nesse sentido, vale ressaltar que todo nmero natural n admite um nmero simtrico n, tal que:

n + (n) = 0. Esse nmero (n) ser um nmero negativo ou nulo, visto que n positivo ou nulo.

Exemplos: n = 1 n = 1 n = 2 n = 2 n = 14 n = 14 n = 0 n = 0

Da reunio do conjunto com o conjunto dos nmeros inteiros negativos, resulta o conjunto dos nmeros inteiros relativos :

= {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}

2.3.1 Representao Geomtrica Os nmeros inteiros podem, ento, ser usados para representar medies que possam ser feitas em dois sentidos opostos e cujos resultados sejam inteiros.

16 Matemtica


Conjuntos numricos

Assim, podemos represent-los por meio de pontos de uma reta, conforme a gura a seguir:

-3 -2 -1 10 2 3uu uu u u

......

Convm destacar o seguinte subconjunto de :* = {0} = {..., 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, ...}

2.4 Nmeros racionais ()

No conjunto , sempre possvel efetuar a adio, a multiplicao e a subtrao. Ou seja, a soma, o produto e a diferena de dois nmeros inteiros resultam, sempre, em um nmero inteiro. J a diviso de dois nmeros inteiros nem sempre resulta em um nmero inteiro, como, por exemplo, a diviso de 3 por 8 e de 4 por 8. Da a necessidade de ampliar o conjunto . Para representar o resultado da diviso citada, consideremos as figuras a seguir:

O OO

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Na gura 1, mostramos um octgono regular de centro O. Na gura 2, o octgono foi dividido em 8 partes iguais a partir do centro. Na gura 3, tomamos 3 das 8 partes do octgono. Essas 3 partes representam a diviso de 3 por 8. O nmero que representa essa quantidade pode ser escrito sob a forma 38 , chamada de frao de numerador

3 e denominador 8 (forma fracionria). De modo anlogo, consideremos a diviso de 4 por 8 ( gura 4) e notemos que ela equivale diviso de 1 por 2 ( gura 5).

O O

Fig. 4 Fig. 5

Nesse caso, dizendo que as fraes 48 e 12 so equivalentes.

Agora, como poderamos representar, numericamente,a soma das regies sombreadas nas guras a seguir, referentes a dois tringulos equilteros congruentes?

importante notarmos que a quantidade a ser representada composta por uma parte

inteira (1) e outra fracionria 23 . Assim, a soma

das regies pode ser representada por 1 + 23 .

Uma outra maneira de representar essa

quantidade 1 23 , (l-se um inteiro e dois teros),chamada de nmero misto. Formalmente, considerando os nmeros inteiros p e q, temos:

As fraes pq que resultam em nmero

inteiro so chamadas de fraes aparentes.

Exemplos:

55 = 1 63 = 2

82 = 4 08 = 0

As fraes pq , nas quais o numerador (p)

maior que o denominador (q), so chamadasde fraes imprprias. Tais fraes podem ser representadas sob a forma de nmero misto.

Exemplos:

83 = 2 23

52 = 2

12

74 = 1 34

165 = 3

15

As fraes pq em que o numerador (p) menor que o denominador (q) so chamadas de fraes prprias ou fraes no aparentes.

Exemplos:

35 17

23 58

Se acrescentarmos as fraes positivas e negativas ao conjunto , obteremos o conjunto dos nmeros racionais ().

17Matemtica


Conjuntos numricos

De outra forma, dizemos que nmero racional todo nmero que pode ser colocado na forma de uma razo (ou quociente) entre dois nmeros inteiros. Desse modo, o conjunto dos nmeros racionais pode ser descrito por:

= x|x = pq , p e q *

Assim, so racionais os nmeros:

2 = 84 ; 5 = 255;

1 = 88 ; 13 =

39 ;

43 = 86 ; 0 =

03 .

Por uma conveno sobre o sistema numrico decimal, podemos escrever o valor de uma frao em forma linear, separando, por vrgula, a parte inteira e os algarismos que indicam a parcela fracionria (no inteira).

Exemplos:

12 = 0,5; 38 = 0,375;

85 = 1,6; 108

= 1,25. Nesses casos, dizemos que a representao decimal nita. O problema surge quando a frao tem sua representao decimal formada por in nitos algarismos (dzima), como nos casos:

13 = 0,3333 ...

32 99 = 0,323232..., 127 = 1,714285714285...

Nesses casos, dizemos que a representao decimal in nita. Nessa representao, uma sequncia de algarismos repete-se inde nidamente. Uma dzima nessa condio chamada dzima peridica, a sequncia de algarismos que se repete chamada de perodo e a frao que gerou essa dzima chamada de frao geratriz.Exemplos:

Em 13 = 0, 3333..., o perodo 3.

Em 32 99 = 0,323232..., o perodo 32.

Em 127 = 1,714285714285..., o perodo

714285.

Uma dzima peridica que s possua o perodo em sua parte decimal dita simples.

Exemplos: 0,7777 .... = 79 0,313131 ... 3199

3,424242 = 11333

Quando h um nmero "estranho" ao perodo na parte decimal, a dzima dita composta.

Exemplos:

5,01111... = 45190

(0 no pertence ao perodo)

2,43131... = 2407990

(4 no pertence ao perodo) Uma dzima peridica pode ser representada de forma que no se repitam os perodos, conforme exemplos a seguir:

0,8888 .... = 0,8 1,0333 ... = 1,03

3,2020 ... = 3,20

2,0388388 ... = 2,0388

2.4.1 Obteno da frao geratriz possvel, a partir da dzima peridica, obter a frao geratriz, conforme os exemplos a seguir:

0,3 = 0,3333 .... 0,3333................ = x (I)

3,3333 ................. = 10x (II)

(II I) 9x = 3

x = 39 x = 13

1,18 = 1,1818.... 1,1818...............= x (I) 11,8181.............= 10x (II) 118,1818...........= 100x (III)

(III - I) 99x = 117

x = 11799

x = 1311

18 Matemtica


Conjuntos numricos

Exerccio resolvido 1 Qual a soma das dzimas 0,777... e 6,4343.....?

Resoluo: A soma das dzimas equivale soma das suas fraes geratrizes. Faamos 0,7777 ..... = x e 6,4343...... = x'.

x = 0,777 ...(I)

10x = 7,777...(II)(II) (I)

10x x = 7 x = 79x' = 6,434343 ...(I)

10x' = 64,343434 ... (II)

100x' = 643, 434343... (III)

(III) (I) : 100x x' = 637 x' = 63799

Soma = x + x' Soma = 79 + 637

99

Soma = 77 + 63799 Soma = 71499

A soma 238 33

.

2.4.2 Representao geomtrica Os nmeros racionais podem ser usados para representar medies tomadas em dois sentidos opostos. Assim, podemos represent-los conforme a gura a seguir:

-3 -2 -1 0 1 2-198

199

12

14

-- 2,9

-3

3,3

2.4.3 Porcentagem O termo porcentagem muito usado em nosso cotidiano. Para melhor entendermos seu signi cado, consideremos o seguinte questionamento: O que signi ca dizer que 30% (l-se 30 por cento) das pessoas de uma certa comunidade so obesas?

www.beautips.info/wp - acessado em 10/07/2010

A resposta simples e sugere que, de cada 100 pessoas da comunidade, 30 so obesas. Nesse sentido, porcentagem um termo que expressa uma comparao. Numericamente, uma frao cujo denominador 100 (ou qualquer representao equivalente a ela), chamada de frao centesimal ou taxa percentual. Desse modo, uma porcentagem pode ser expressa por uma razo centesimal ou pelo nmero decimal correspondente a ela.Exemplo: 30%

30% = 30100

(razo centesimal)

30% = 0,3 (forma decimal) De modo geral, para obtermos a porcentagem de uma certa quantidade, basta multiplicarmos essa quantidade pela taxa percentual em questo.Exemplos:

50% de 40 = 50100

. 40 50% de 40 = 0,5 . 40

50% de 40 = 20

25% de 40 = 25100

. 40 25% de 40 = 0,25 . 40 25% de 40 = 10

10% de 15 = 10100

. 15

10% de 15 = 0,1 . 15

10% de 15 = 1,5

1% de 80 = 1100

. 80 1% de 80 = 0,01 . 80

1% de 80 = 8

200% de 30 = 200100

. 30 200% de 30 = 2 . 30

200% de 30 = 60Exerccio resolvido 2 Num determinado concurso, dos 60 candidatos apenas 15 foram aprovados. Qual foi a taxa percentual de aprovados?

Resoluo: Como 15 dos 60 candidatos foram aprovados, temos:

Taxa = 1560

taxa = 14

Taxa = 0,25 taxa = 25% A taxa de 25%.

19Matemtica


Conjuntos numricos

2.4.4 Aumento percentual De modo intuitivo, vamos supor que, por motivos diversos, o preo de uma mercadoria, queera de R$ 20,00, sofra um aumento de 15%. O novo preo P ser, ento, dado por:

P = 20 + 15100

. 20 P = 20 100151 +

Se o aumento fosse de 17%, teramos

P = 20 + 17100

. 20 P = 20 100171 + .

Assim, para um aumento de k%, teramos

P = 20 + k100

. 20 P = 20 100k1 + .

De modo geral, um aumento de k% sobre uma quantidade Q gera uma quantidade Q', tal que:Q' = Q (1 k%) Q' = Q

100k1 +

Para discutir com os colegas: O que ocorre com uma certa quantidade Q, quando esta sofre um aumento de 100%? E um aumento de 200%?

2.4.5 Desconto percentual

Retomando os exemplos do item anterior e considerando os descontos em vez de aumentos, teramos:

P = 20 15100

. 20 P = 20 100151 .

P = 20 17100

. 20 P = 20 100171 .

P = 20 k100

. 20 P = 20 100k1 .

De modo geral, um aumento de k% sobre uma quantidade Q gera uma quantidade Q', tal que:

Q' = Q (1 k%) Q' = Q 100k1 .

Para discutir com os colegas: Em se tratando de preos de mercadorias, por exemplo, faz algum sentido efetuar um desconto acima de 100%?

Exerccio resolvido 3 Um aparelho de DVD est sendo anunciado com um desconto de 5% vista, sobre seu preo original, que de R$ 597,00. Por quanto ele ser vendido para pagamento vista?

Resoluo:1o modo: Calculemos 5% de 597,00 para obtermos o desconto: 5% de 597 = 5

100 . 597 5% de 597 = 29,85.

Agora, vamos subtrair o desconto (29,85) dototal (597,00), obtendo o preo vista (P): P = 597,00 29,85 P = 567,152o modo: Calculemos o preo vista P, diretamente pela frmula de descontos percentuais:

P = 597 100 51 P = 597. (1 0,05)

P = 597(0,95) P = 567,15

O preo vista do DVD R$ 567,15.

2.5 Nmeros Irracionais (Ir)

Embora as quatro operaes fundamentais (adio, subtrao, multiplicao e diviso por um nmero diferente de zero) sejam sempre de nidas em , podemos nos deparar com situaes em que no possvel representar determinadas medies com nmeros racionais. Um exemplo clssico o de representar a medida da diagonal de um quadrado de lados medindo uma unidade. Para obter essa medida, tomemos o quadrado ABCD ( g 1), tracemos sua diagonal AC e apliquemos o Teorema de Pitgoras no tringulo ABC ( g 2).

A

B C

D

1

1

A

B C

D

1

1

d

Fig. 1 Fig. 2

AC = AB2 + BC2 d2 = 12 + 12 d2 = 1 + 1 d2 = 2

Notemos que a medida d representada por um nmero que, elevado ao quadrado, resulta 2.

20 Matemtica


Conjuntos numricos

possvel provar que no existe um nmero racional que, elevado ao quadrado, resulte 2 (veja o exerccio resolvido 4), ou seja, no possvel obter a medida da diagonal no conjunto . Surge, ento, a necessidade de ampliar o campo numrico, com a criao dos nmeros irracionais representados por Ir. Dizemos que nmero irracional aquele que no racional. Desse modo, um nmero irracional no pode ser escrito sob a forma de razo entre dois nmeros inteiros. Alguns nmeros irracionais nos so bem conhecidos, tais como: = 3,141592..., obtido quando se divide o comprimento de uma circunferncia pelo seu dimetro; e = 2,71828..., muito associado a fenmenos naturais. A parte decimal de um nmero irracional formada por uma sequncia in nita e no peridica de algarismos, pois, caso contrrio, ele seria racional. Aplicando o Teorema de Pitgoras, podemos obter uma srie de nmeros dentre os quais aparecem os irracionais 2 , 3 , 5 , 6 ..., conforme gura a seguir:

1

1

1

11

1

2

3

5

6

4 = 2


Provar que 2 um nmero irracional. Resoluo:

Se 2 fosse racional, ento ele poderia serescrito sob a forma de frao irredutvelpq , com p e q inteiros. Assim:

2 = pq

( 2 )2 = pq

2

2 = p2

q2 p2 = 2q2

Percebemos que 2q2 par, assim, p2 tambm , o que implica que p par.

2 = p2

q2 q2 =

p2

2 . Como q inteiro, ento q2 tambm .

Se p2 par, ento q2 par, pois q2 = p2

2. Isso

implica que q par. Desse raciocnio, percebemos que p e q so

pares, contrariando a hiptese de que pq

irredutvel. Desse modo, conclumos que 2 no racional. 2 irracional.

2.5.1 Representao geomtrica Os nmeros irracionais e seus opostos simtricos negativos podem ser usados para representar medies tomadas em dois sentidos. Assim, podemos represent-los sobre uma reta, conforme gura a seguir:

2e e

217 17

2.6 Nmeros Reais ()

Da reunio do conjunto dos nmeros racionais () com o conjunto dos nmeros irracionais (Ir), obtemos o conjunto dos nmeros reais (). Desse modo, dizemos que e Ir so complementares em relao ao universo , ou seja, Ir = . Em smbolos, temos: = Ir = {x | x ou x Ir}, ou ainda = {x | x racional ou x irracional}. Podemos destacar alguns subconjuntos de : * = {0} (reais no nulos) + = {x | x 0} (reais no negativos) = {x | x 0} (reais no positivos) * + = {x | x > 0}(reais positivos) * = {x | x < 0} (reais negativos) O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numricos estudados at aqui:

Ir( )

21Matemtica


Conjuntos numricos

2.6.1 Representao Geomtrica Representando os nmeros reais por meio depontos de uma reta, a cada ponto da reta corresponde um nico nmero real e, reciprocamente, a cada nmero real, corresponde um nico ponto da reta. Por isso, dizemos que existe uma correspondncia biunvoca entre os nmeros reais e os pontos da reta.

2-e3

73

32

1

22

0 1 2 3

2.6.2 Relao de ordem Dados dois nmeros reais quaisquer, a e b, entre eles poder ocorrer uma e somente uma das seguintes relaes:

a = b (a igual a b) a < b (a menor que b) a b (a menor, ou igual a ele) a > b (a maior que b) a b (a maior que b ou igual a ele)

A desigualdade a < b signi ca que a est esquerda de b na reta real, conforme gura:

a ba < b

A desigualdade a > b signi ca que a est direita de b na reta real, conforme gura:

a ba > b

Uma vez de nida essa relao de ordem dos nmeros reais, dizemos que eles esto ordenados.

2.6.3 Intervalos Em vrias situaes, no queremos ou no precisamos operar com todos os nmeros reais que existem. Pode ser conveniente, ento, estabelecer limites aos valores que uma varivel (que se est estudando) poder assumir. Para padronizar nosso estudo, tomemos as seguintes convenes: O smbolo " " indica que o nmero ao qual se associa no pertence ao intervalo, ou seja, o intervalo aberto naquele nmero.

O smbolo " " indica que o nmero ao qual se associa pertence ao intervalo, ou seja, o intervalo fechado naquele nmero. Convencionalmente, considerando os nmerosreais a e b, com a < b, temos que: os nmeros reais situados entre a e b formam o intervalo aberto de extremos a e b.

]a, b[= {x | a < x < b}

a b]a, b[

os nmeros reais que vo de a at b formam o intervalo fechado de extremos a e b:

[a, b]= {x | a x b}

a b[a, b]

a unio do nmero a com os nmeros reais situados entre a e b formam o intervalo fechado esquerda e aberto direita, de extremos a e b:

[a, b[= {x | a x < b}

a b[a, b[

a unio do nmero b com os nmeros reais situados entre a e b formam o intervalo fechado direita e aberto esquerda, de extremos a e b.

]a, b] = {x | a < x b}

a b]a, b]

os nmeros reais maiores ou iguais a a formam o intervalo ilimitado de extremo a:

[a, + [ = {x | x a}

[a, + [a

os nmeros reais maiores que a formam o intervalo ilimitado de extremo aberto em a:

]a, [ = {x | x > a}

22 Matemtica


Conjuntos numricos

a]a, + [

os nmeros reais menores ou iguais a a formam o intervalo ilimitado de extremo a:

] , a] = {x | x a}

a]- , a]

os nmeros reais menores que a formam o intervalo ilimitado de extremo aberto em a:

] , a[ = {x | x < a}

a] , a[

importante destacarmos que: os smbolos e + no representam nmeros reais propriamente ditos. Apenas fazem parte das notaes de intervalos ilimitados, estendendo-se ao in nito positivo (+ ) ou in nito negativo ( ). qualquer intervalo de extremos a e b, com a b, contm in nitos nmeros racionais e in nitos irracionais.


Considere os conjuntos, A, B, C e D, dados a seguir:

A = {x | x 5} B = [ 5; 1[C = ] 4, 4[ D = * Represente gra camente:a) A C b) B C c) A C d) D Resoluo: Tomemos, em cada caso, trs eixos orientados e marquemos nos dois primeiros os intervalos, obedecendo relao de ordem. No terceiro, vamos marcar o resultado que convm de acordo com a operao em questo. a)

A

C

5

_ 4

_ 4

4

4

A C = ] 4, 4[

b)

- 5

- 44

4

B

C

1

- 5

B C = [ 5, 4[c)

- 4

- 4

4

4

5

5

A

C

A - C

A C = ] , 4] [4,5]

d) O universo dos intervalos . Assim: D = D

- D

D

0

0

D = +

2.7 Nmeros Complexos ()

A raiz de ndice par de nmero negativo impossvel em , pois no existe nmero real que, elevado a esse ndice, d um nmero negativo. Assim, 1 no um nmero real e chamado de nmero complexo imaginrio, que ser estudado a seu tempo.

Exerccios de sala6 Escreva (V) para as a rmativas verdadeiras e

(F) para as falsas: a) A soma de dois nmeros irracionais

irracional ( ). b) A soma de dois nmeros irracionais pode ser

racional ( ). c) O produto de um nmero irracional por um

racional irracional ( ). d) O produto de dois nmeros irracionais

irracional ( ). e) Dividindo-se um nmero irracional por um

nmero racional no nulo, obtm-se um nmero irracional ( ).

f) Dividindo-se um nmero racional por um nmero irracional, obtm-se um nmero irracional ( ).

g) Dividindo-se um nmero racional por um nmero irracional, pode-se obter um nmero racional ( ).

23Matemtica


Conjuntos numricos

7 Represente cada nmero a seguir sob a forma de nmero misto:

a) 83

b) 3,5

8 Em cada item a seguir faa a representao que se pede:

a) 83% na forma decimal. b) 70% na forma de razo centesimal. c)

2514 na forma de porcentagem.

9 Obtenha uma frao equivalente a cada soma a seguir:

a) S = 910 +

9100 +

91000 + ....

b) S = 0,5 + 0,05

10 Resolva, gra camente, cada operao a seguir:

a) [0 ,2] [1, 3] c) ]2, 1] ]0, 5] b) [1, 3] [0, 4] d) [3, 2[ [1, 1[

11 Sejam os conjuntos A, B e C, tais que: A = {x | 0 x 8 ou x > 15 } B = {x | 4 x < 10 ou 12 x 18} e C = {x | x A B}. Quantos so os subconjuntos de C?

12 Se 3 x < 8 e 5 < y 9, calcule o intervalo de variao de:

a) x + y b) x : y

24 Matemtica


Conjuntos numricos

13 Considere que 40% das 95 pessoas que visitaram um museu, num determinado dia, sejam turistas. Quantos dessas pessoas no eram esses turistas?

14 Se aumentarmos dois dos lados opostos de um retngulo em 30% e diminuirmos os outros lados em 30%, o que ocorre com a sua rea?

15 Ana, Beatriz e Carla trabalham numa mesma empresa. Devido ao tipo de funo que desempenham, trabalham em horrios diferentes, de modo que:

Ana entra s 7h e sai s 14h, tendo direito ao intervalo de 11h s 12h para o almoo;

Beatriz entra s 9h e sai s 16h, tendo direito ao intervalo de 12h s 14h para o almoo;

Carla entra s 7h e sai s 17h, tendo direito ao intervalo das 11h s 13h para o almoo;

Os horrios em um determinado dia foram cumpridos rigorosamente.

Em qual intervalo de tempo seria possvel encontrar as trs trabalhando simultaneamente?

16 Uma determinada mercadoria vendida nas lojas Bom preo e Preo Bom. Se, na primeira, oferecerem um desconto de 10% no preo, este se igualar ao preo da segunda, que R$ 20,00 mais barato. Qual o preo da mercadoria na primeira

loja?

17 Em geral, o lucro L de um comerciante calculado por meio da diferena entre o preo de venda de o preo de custo c, ou seja: L = V C.

O Sr. Munir, tradicional comerciante de uma cidade do interior mineiro, costuma estabelecer o lucro em seu comrcio de duas maneiras, dependendo do custo da mercadoria a ser vendida. Uma das maneiras estabelecer um lucro sobre o preo de custo e, a outra, estabelecer o lucro sobre o preo de venda. Isso feito como se v a seguir: Nas mercadorias cujo custo no atingeR$ 10,00, ele impe um lucro de 80% sobreo preo de custo.

Nas mercadorias cujo custo maior ou igual a R$ 10,00, ele impe um lucro de 40% sobre o preo de venda.

25Matemtica


Conjuntos numricos

Nessas condies, responda:a) Qual o lucro, em reais, de uma mercadoria comprada por R$ 8,00 e vendida de acordo com os critrios estabelecidos?b) Qual o lucro, em reais, de uma mercadoria vendida por R$ 120,00, de acordo com os critrios estabelecidos?

18 Sr. Nagib deseja ter um lucro de 20% sobre o preo de custo (preo que ele paga ao fornecedor) de uma determinada mercadoria, a qual custa R$ 570,00.

Por quanto ele deve anunciar o preo, de modo que possa oferecer 5% de desconto e obter o lucro desejado?

Exerccios propostos

19 D a soma dos nmeros associados s proposies corretas:

01) Toda dzima peridica. 02) Toda dzima irracional. 04) Toda dzima racional. 08) Todo nmero irracional tem representao

decimal in nita. 16) Todo nmero que tem representao

decimal in nita irracional. 32) Dois nmeros no nulos cujo quociente

racional so racionais.

20 D a forma fracionria dos nmeros a seguir:

a) 1 38

b) 0,51 c) 0,51

21 Efetue as seguintes operaes:

a) D = 2,13 0,9 b) Q = 0,0, 3131

22 Represente, em forma a de porcentagem, 30% de 40%.

23 Veri que qual das situaes a seguir representa uma quantidade maior:

1a situao: dois acrscimos sucessivos de 10% 2a situao: um nico acrscimo de 20%

24 Represente, gra camente, cada conjunto a seguir:a) ] , 2] [0, + [

b) 1, + 92

, 2

c) [1, 2] ]0, 3] [1, 4]

d) 12, , 0 3

214

25 Sejam m e n dois nmeros reais tais que: 3 m 2 e 5 n 8. Nessas condies,

calcule o maior valor possvel para o produto m . n, e tambm para a diferena n m.

26 A expresso mostrada a seguir representa a soma de in nitas fraes em que, direita do algarismo 1 do denominador, a quantidade de zeros dobra de uma frao para a seguinte. Essa soma resulta em um nmero racional ou irracional? Por qu?

E = 310 + 3

100+ 3

10 000 + 3

100 000 000 +...

26 Matemtica


Conjuntos numricos

27 As dimenses a e b do retngulo ABCD da gura a seguir assumem os valores variveis de acordo com os intervalos 5 a 8 e 2 b < 10.

C

B

D

A

a

b

Qual o intervalo de variao da rea desse retngulo?

28 A comisso de um certo corretor de imvel igual a 5% do valor de cada venda efetuada.

Baseando-se nessa informao, d a comisso do corretor nos casos em que:

a) um apartamento for vendido por R$ 62 400,00.um proprietrio receber, pela venda de umacasa, R$ 79 800,00, j descontada a comisso do corretor

29 Suponha que 16 das 40 crianas de uma creche estejam gripadas. Uma dessas crianas escolhida ao acaso.

Quais as chances (percentuais) de que ela no esteja gripada?

30 De um total de R$ 250,00 vendidos numa loja, num determinado dia, R$ 150,00 foram pagos vista. Qual a taxa percentual das vendas vista naquele dia?

31 O preo C (em reais) de custo de uma certa mercadoria tal que 10,00 C 18,00. Com isso, de acordo com determinadas regras, o preo de venda V deve ser 15,00 V 22,00. Nessas condies, qual o lucro mximo que se pode obter na venda de um item dessa mercadoria?

32 Um comerciante deseja vender uma certa mercadoria por R$ 84,00. Numa jogada de marketing, ele anuncia um determinado preo e oferece, sobre esse preo, um desconto de 30% . Com isso, a mercadoria atingiria o preo citado. Qual o preo anunciado?

33 Considere o seguinte anncio:

Boa viagem turismo Adquira um pacote de viagem por R$ 1 000,00 vista (individual) ou em 6 vezes sem juros deR$ 190,00, com sada at 31/12/2011.

Suponha que essa empresa oferea,tambm, um pacote com sada aps 31/12/2011, cujo valor vista seja igual ao total pago a prazo no anncio.

Qual seria o aumento percentual do preo vista de um pacote para o outro?

34 Um mesmo modelo de relgio est sendovendido, em duas lojas, nestas condies.

Na primeira, sobre o preo de R$ 600,00, h um desconto de 8%; na segunda, sobre o preo de R$ 610,00, h um desconto de 15%. Em qual loja mais vantajoso comprar o relgio?

35 Um homem compra um par de culos pagando R$ 38,00 de entrada (equivalente a 20% do preo vista) e mais 10 prestaes xas de R$ 20,90. Considerando o total pago, qual o aumento percentual comparado ao preo vista?

36 O preo atual de uma certa mercadoria R$ 100,00. Numa jogada de marketing, uma loja fez o seguinte:

aplica um aumento sobre o valor atual, obtendo um segundo valor;

anuncia um desconto de 20% sobre esse segundo valor, de modo a "voltar" o preo para R$ 100,00.

Qual o aumento percentual aplicado pela loja?

37 O tanque de combustvel de um determinado veculo Flex (bicombustvel) tem capacidade para 50 litros. O fabricante aconselha que 40% do combustvel seja gasolina (pura), e o restante ,lcool.

Disponvel em:< www.nmonline.com.br>. Acesso em 29 nov. 2010

Suponha que esse carro seja produzido e vendido num certo pas cuja gasolina (nos postos autorizados) apresenta 20% de lcool em sua composio.

Para seguir o conselho do fabricante, quantos litros, de cada combustvel (lcool e gasolina dos postos), um proprietrio deve colocar no tanque inicialmente vazio?

27Matemtica


Conjuntos numricos

38 Um comerciante, inicialmente, subiu o preo de uma mercadoria em 20%. Depois, fez um anncio oferecendo desconto de 30% na mercadoria. Ele est enganando o cliente. Descubra qual o valor real do desconto que esse comerciante est oferecendo nessa mercadoria.

39 Um comerciante vendeu uma mercadoria por R$ 210,00.

Se o lucro obtido sobre o preo de custo, foi de R$ 60,00, responda:

a) Qual foi o custo da mercadoria?b) Qual a taxa percentual do lucro?

40 Um investidor comprou 200 aes por um total de R$ 4 000,00. Devido a problemas de mercado, essas aes tiveram uma queda de 17%.

Considere que esse investidor precise vender todas as aes compradas nesse perodo de queda. Responda:a) Por qual valor dever ser vendida cada ao?b) Qual foi o prejuzo total desse investidor, nessas aes?

41 Uma certa cooperativa compra, diretamentedo produtor, um lote de mercadorias e o revendeparab um grupo de atacadistas, com umlucro de 50%, em mdia, sobre o preo de custo. Esses atacadistas o vendem aos varejistas, com um lucro de 40% sobre o custo, em mdia. Os varejistas, por sua vez, vendem ao consumidor nal com um lucro de 60% sobre o custo, em mdia. a) Qual a taxa percentual paga pelo consumidor, em mdia, sobre o preo pago ao produtor?b) Qual o preo pago ao produtor por uma mercadoria que custa R$ 8,40 para o consumidor?

42 Um fabricante gastava R$ 40,00 na produo decada unidade de uma mercadoria, que ele vendia por R$ 100,00. Sobre o preo de venda, o fabricante pagava 40% de imposto.

Devido a problemas com os preos das matrias-primas, o custo de fabricao teve um aumento de 25%. Ento, para evitar uma queda acentuada na produo, o Governo resolveu diminuir a alquota do imposto para 30% do preo de venda, e o fabricante concordou em manter esse preo em R$ 100,00.

Compare o lucro atual do fabricante com o lucro anterior aos reajustes.

43 Aps serem consultados sobre os horrios disponveis para participarem de uma reunio, os professores Ablio(A) e Daniel(D) reponderam:

(A) Tenho horrio disponvel entre 8h e 12h ou, ento, 14h e 17h. (D) Tenho horrio disponvel das 11h s 13h ou, ento, das 15h s 18h.

Nessas condies, pede-se:a) Represente cada resposta, sob a forma de intervalos numricos, na reta real.b) Indique quais horrios em que ambos podem estar presentes na reunio.c) Indique os horrios em que a reunio no poder ser feita, se ambos devem estar presentes.

Questo-desafio

44 A gura a seguir mostra parte da reta numrica, constituda de um segmento AB.

30 X

A B

46

Nesse segmento a distncia entre dois pontos consecutivos constante.

Nessas condies responda:a) Qual essa distncia?b) Qual o nmero representado pelo ponto indicado por X?c) Qual o nmero associado ao ponto mdio do segmento AB.

45 Uma certa mistura lquida e homognea composta por 120 partes de leite e 30 partes de gua. Retiram-se 10 partes de lquido da mistura.

Nessas condies, responda:a) Qual a porcentagem relativa a cada lquido

nessa mistura?b) Qual a quantidade de cada lquido retirada da mistura?

28 Matemtica


Noes sobre funes

3. NOES SOBRE FUNES

3.1 Introduo

O conceito de funo um dos mais importantes da Matemtica, encontrando aplicaes nas mais diversas reas do conhecimento humano. Da a importncia do estudo desse assunto.

3.2 Dependncia entre grandezas

No estudo de funes, existem alguns conceitos como grandezas, dependncias e variveis, os quais so fundamentais para a compreenso desse assunto. Esses conceitos sero de nidos a partir dos seguintes questionamentos: O preo da conta de gua de uma residncia depende do consumo mensal praticado por seus moradores? O tempo gasto para que um objeto atinja o solo, aps ser abandonado, depende da altura da qual foi solto? O salrio mensal de um funcionrio comissionado de uma loja depende da quantidade de mercadorias que ele vende a cada ms? A resposta para todos eles sim, pois: um maior (ou menor) consumo de gua acarretar um maior (ou menor) valor a ser pago na conta; quanto maior a altura, maior ser o tempo de queda; quanto mais mercadorias forem vendidas,maior ser a comisso recebida e, consequentemente, maior ser o salrio do funcionrio. Nesses questionamentos, os termos em destaque so chamados de grandezas. De modo geral, grandeza tudo aquilo que puder, de algum modo, ser medido. Para cada um daqueles questionamentos, percebemos, nas respostas, que os valores da primeira grandeza varia de modo dependente da segunda. Nessas condies, dizemos que a primeira uma varivel dependente da segunda, a qual dita varivel independente. Em nosso cotidiano, muitas vezes nos deparamos com situaes que envolvam relaes de dependncia entre duas (ou mais) grandezas. Usando uma linguagem matemtica, podemos representar e quanti car essas relaes, as quais chamaremos de funes.

No nvel em que estamos, trataremos de funes que envolvem apenas duas grandezas.

3.3 Definio

Antes de formalizarmos e de nirmos funo, vamos analisar dois exemplos de nosso dia a dia. O dono de uma lanchonete vende suco de frutas a R$ 1,30 o copo. Para facilitar, na hora de voltar troco, ele confeccionou a seguinte tabela de preos:

Nmero de copos

1 2 3 4 5

Preo (R$) 1,30 2,60 3,90 5,20 6,50

Notemos que o preo a ser cobrado depende do nmero de copos de suco consumidos. Alm disso, cada quantidade de copos de suco corresponde a um nico valor a ser pago. Nessas condies, dizemos que o preo a ser pago uma funo da quantidade de copos. Um automvel est percorrendo uma estrada velocidade constante de 120 Km/h (que equivale a 2 Km/mim). O passageiro que vai ao lado do motorista comea a anotar, de minuto em minuto, a distncia percorrida, que aparece no painel. O resultado pode ser observado na tabela a seguir:

Instante (min)

0 1 2 3 4 5 ...

Distncia (km)

0 2 4 6 8 10 ...

Notemos que a cada instante corresponde uma nica distncia percorrida. Dizemos, por isso, que a distncia percorrida uma funo do tempo. De modo geral, uma grandeza y funo de uma grandeza x, quando, para cada valor de x, existe um nico valor correspondente y. Nesses termos, dizemos que x uma varivel independente, e y uma varivel dependente (pois depende do valor de x). Formalmente, podemos de nir funo do seguinte modo: Dados dois conjuntos, A e B, uma funo de A em B(cuja notao f: A B) uma relao que associa cada elemento x A a um nico elemento y B.

29Matemtica


Noes sobre funes

3.4 Representao

So vrias as formas de representar uma funo. No item 3, os exemplos dados foram representados sob a forma de tabelas. A seguir, veremos outras trs formas de representar uma funo.

3.4.1 Diagramas de Venn

Consideremos, inicialmente, uma funo que associe a cada nome prprio, pertencente ao conjunto A, a sua letra inicial, pertencente ao conjunto B, dados que:A = {Carlos, Daniel, Helena, Tales}B = {A, C, D, F, H, T, Z} Representando essa funo por meio de diagramas de Venn, temos:

Carlos

Daniel

Helena

Tales

C

D

H

T

AF

Z

BA

Nessas condies, o conjunto A de nido como domnio (D) da funo, o conjunto B de nido como contradomnio (CD) da funo. Os elementos do conjunto B que tm correspondente em A formam o conjunto imagem (Im) da funo. Assim, para o exemplo citado, temos D = A; CD = B; Im = {C, D, H, T} Formalmente, temos as seguintes de nies: Domnio de uma funo f(x) o conjunto de valores da varivel independente x, para os quais a funo vlida. Imagem de uma funo f(x) o conjunto de valores y da funo, correspondentes ao domnio dessa funo. Exemplos:

x3

x2

x1A

y2

y3

y1 D = {x1, x2, x3}

CD = {y1, y2, y3}

Im = {y1, y2, y3}

B

Im

x3

x2

x1A B

Im

y2

y1D = {x1, x2, x3}

CD = {y1, y2, y3}

Im = {y1, y2}

y3

x3

x2

x1A B

y1

y2

y3

D = {x1, x2, x3}

CD = {y1, y2, y3}

Im = {y1}

Im

Notemos que, em cada gura mostrada, ocorre a condio que caracteriza uma funo: A cada elemento x pertencente ao conjunto A corresponde um nico elemento y pertencente ao conjunto B. Isso signi ca que os elementos x pertencentes a A tm correspondente y pertencente a B, embora nem todo elemento y pertencente a B tenha seu correspondente x pertencente a A. Evidentemente, se essa condio no se veri car, a relao entre os conjuntos no representar uma funo.Exemplos:

x3

x4

x2

x1A B

y1

y2

A relao entre A e B no representa uma funo, pois existem elementos x pertencentes a A que no tm correspondentes y pertencentes a B.

y3y4

y2

y1B

x1

x2

A

30 Matemtica


Noes sobre funes

A relao entre A e B no representa uma funo, pois existe elemento x pertencente a A que tem mais de um correspondente y pertencentes a B.


Estabelea se cada um dos esquemas das relaes a seguir de ne ou no uma funo de A em B. Justi que.

a) b)

-2-10

12

3

-101

2

A B-101

2

-2-10

12

3

A B

c) d)

-2-10

12

3

-101

2

A B-2-10

12

3

-101

2

A B

Resoluo:a) No de ne funo de A em B, pois o elemento1 A est associado a dois elementos de B. b) No de ne funo de A em B, pois o elemento 2 A no est associado a nenhum elemento de B. c) De ne funo de A em B, pois todo elemento de A est associado a um nico elemento B.d) De ne funo de A em B, pois todo elemento de A est associado a um nico elemento de B.

3.4.2 Grfico cartesiano

Um dos recursos mais utilizados para representar a relao entre duas grandezas o mtodo gr co, o qual consiste em apresentar a medida de cada grandeza sob a forma de ponto de uma reta numrica chamada de eixo orientado. Tomemos um exemplo para facilitar o entendimento:

A altura de uma pessoa do sexo feminino foi medida de 5 em 5 anos, a partir do seu nascimento. Os resultados foram anotados nesta tabela:

Idade (anos)

0 5 10 15 20

Altura(cm) 35 105 140 160 170

Com os dados da tabela, podemos fazer a seguinte representao:

35

105140160170

0 5 10 15 20

altura (cm)

A

BC

DE

35

105140160170

0 5 10 15 20

idade (anos)

idade (anos)

altura (cm)

A

BC

DE

Essa forma de representar a relao entre duas grandezas foi desenvolvida por Ren Descartes, Matemtico e Filsofo francs. Nessa representao, o eixo horizontal, no qual constam as idades, e o eixo vertical, no qual constam as alturas, constituem o que chamamos de plano cartesiano ortogonal ou sistema cartesiano ortogonal. Nesse sistema, o eixo horizontal chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical chamado de eixo das ordenadas. Esses eixos, juntos, so chamados de eixos coordenados. O nome cartesiano deriva de Renato Cartesius, nome de Ren Descartes em latim. Uma simples visualizao do gr co permite acompanhar a altura da pessoa, medida desde o seu nascimento (idade 0) at a idade de 20 anos, tomada de 5 em 5 anos. Nesse gr co, os pontos A, B, C, D e E em destaque indicam as informaes (idade, altura) nessa ordem. Assim, entende-se o ponto A(0,35) como sendo a informao de que, ao nascer, (idade 0), a pessoa tinha 35 cm de altura, e o ponto E (20, 170) como sendo a informao de que, aos 20 anos, a pessoa mede 1,70 cm. A esse modo de apresentar as informaes, d-se o nome de par ordenado, pois permite observarmos dois elementos de dois conjuntos, em uma ordem estabelecida.

31Matemtica


Noes sobre funes

Formalmente, o sistema cartesiano um dispositivo que associa a cada par ordenado um ponto do plano. Ele determinado por duas retas orientadas perpendiculares (eixos), cuja interseco a origem comum, correspondente ao par O (0; 0). O eixo das abscissas representado por Ox

, e o eixo das ordenadas, por Oy ( g 1 ).

Considerando o par ordenado (a, b), a a abscissa e b a ordenada ( g 2) desse par.

x

y

b

a (0,0)x

y

O eixo das abscissas

eixo

das

ord

enad

as

P(a; b)

Quando uma funo representada com esse recurso, os pares ordenados pertencentes ao gr co so tais que: as abscissas so os valores da varivel independente x; as ordenadas so os valores da varivel dependente y, os quais so associados aos valores correspondentes de x; toda abscissa x associada a um nico correspondente y. importante ressaltarmos que: O domnio de uma funo da qual se conhece o gr co pode ser obtido "projetando-se" todos os pontos desse gr co sobre o eixo Ox

( g.1). A imagem de uma funo da qual se conhece o gr co pode ser obtida "projetando-se" todos os pontos desse gr co sobre o eixo Oy

( g. 2).

D = [a, b]x

y

d

Im

c

Im = [c, d]a bD x

yFig. 1 Fig. 2

Exemplo: O gr co a seguir representa, no intervalo [1, 3], uma funo, pois, para cada x, existe um nico valor y = f(x) para a funo.

321O-1

3

32

x

y

Analisando o gr co, notamos que: para x = 1, temos y = 0; para x = 0, temos y = 32 ; para x = 1, temos y = 3; para x = 2, temos y = 32 ; para x = 3, temos y = 0; projetando todos os ponto do gr co sobreOx

e Oy

, respectivamente, obtemos o domnio D = [1, 3] e a imagem Im = [0, 3]. Existem grficos que relacionam duas grandezas, mas que no representam funes.

Exemplos:

x

y

x1 x2 x3 x4 x5

Esse gr co no representa uma funo para o intervalo [x1, x5], pois existem valores de x, nesse intervalo, para os quais h mais de um correspondente y.

x2 x3 x4x1

y

x Esse gr co no representa uma funo para o intervalo entre [x1, x4], pois existem valores de x, nesse intervalo, para os quais no h correspondente y. Esses valores esto no intervalo]x2, x3[.

32 Matemtica


Noes sobre funes

Exerccio resolvido 2 Analise cada gr co a seguir e veri quese ele representa ou no uma funo de domnio[a, b], justi cando-se.

a) c)

x

y

a bx

y

a b

b) d)

x

y

a bc da b x

y

Resoluo:

a) O gr co no representa uma funo, pois, nesse intervalo, existem valores de x que apresentam mais de um correspondente y.b) O gr co representa uma funo, pois, nesse intervalo, cada valor de x apresenta um nico correspondente y.c) O gr co representa uma funo, pois nesse intervalo, cada valor de x apresenta um nico correspondente y.d) O gr co no representa uma funo, pois existem, nesse intervalo, valores de x(x ]c, d[) que no apresentam correspondente y.

Exerccio resolvido 3 Considere este gr co de uma funo a seguir e, em seguida, responda aos questionamentos indicados nos itens a e b.

x

y

4

105

-5-1

3

3

2

6

a) Qual o domnio dessa funo?b) Qual a imagem dessa funo?

Resoluo:a) Se projetarmos os pontos do gr co sobre o

eixo Ox

, teremos o intervalo [5, 10]. O domnio D = [5, 10]

b) Se projetarmos os pontos do gr co sobre o

eixo Oy

, teremos o intervalo [1, 4].

A imagem Im = [1, 4]

3.4.3 Lei de formao Consideremos, agora, a tabela a seguir, que mostra como varia o preo (P) a ser pago por um tecido, em funo do comprimento (L) desse tecido, que custa R$ 5,00 o metro linear.

Preo (R$)

0 5 10 15 20 25 30

L (m) 0 1 2 3 4 5 6 Notemos que:

Para L = 0 : P = 5 . 0 P = 0 Para L = 1 : P = 5 . 1 P = 5 Para L = 2 : P = 5 . 2 P = 10 Para L = 3 : P = 5 . 3 P = 15 . . . Para L = 6 : P = 5 . 6 P = 30

notvel uma relao direta entre o comprimento do tecido e o preo a ser pago. Essa relao dada pela expresso:

P = 5 . L Consideremos, agora, um mvel que se desloca de modo que suas posies (S), ao longo do tempo (t), so mostradas na tabela a seguir:

S (m) 10 12 14 16 18 20 22t(s) 0 1 2 3 4 5 6

Percebemos que, a partir do instante t = 0s, em que a posio era 10 m, a cada instante, so acrescentados 2 m na posio do mvel. Assim:

Para t = 0 : S = 10 + 2 . 0 S = 10 Para t = 1 : S = 10 + 2 . 1 S = 12 Para t = 2 : S = 10 + 2 . 2 S = 14 Para t = 3 : S = 10 + 2 . 3 S = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para t = 6 : S = 10 + 2 . 6 S = 22

33Matemtica


Noes sobre funes

Notemos que, para um instante genrico t qualquer, temos a seguinte expresso:

S = 10 + 2 . t

Nesses dois exemplos, as expresses citadas so chamadas de Lei de formao da funo qual associada. Em smbolos, uma lei de formao que associa uma grandeza x a uma grandeza y pode ser escrita, genericamente, como:

y = f(x) (L-se y uma funo de x.)

Exemplos:

f: | f(x) = x2 + 4, a funo que associa cada nmero real x, a um nmero real y, tal que y = x2 + 4.

Assim:

f(1) = (1)2 + 4 f(1) = 5

f(2) = (2)2 + 4 f(2) = 8

f(0) = (0)2 + 4 f(0) = 4

f: * | f(x) = 1x a funo que associa

cada nmero real e no nulo x a um nmero

real y, tal que y = 1x .

Assim:

f (1) = 1(1) f(1) = 1

f 12

=12

1 f 12

= 2

f (3) = 1(3)

f (3) = 13

3.5 Variao

O estudo da variao de uma funo envolve vrios conceitos, dos quais, neste tpico, iremos estudar alguns. Para facilitar a compreenso deste assunto, analisaremos dois exemplos introdutrios. O gr co a seguir mostra como variou a velocidade de um mvel, com o decorrer do tempo, para um certo observador.

20 40 45 65

10

20

30

40

A

B C

D

E

V(m/s)

t(s)

Analisando-o, percebemos que: para o intervalo de 0 a 65 s, o gr co representa uma funo, pois cada instante (t) tem uma nica velocidade correspondente (V);

entre os instantes 0 s e 20 s, ocorre um aumento de 10m/s para 30 m/s na velocidade (dizemos que a funo foi crescente nesse intervalo);

entre 20 s e 40 s, a velocidade permaneceu constante e igual a 30m/s (dizemos que a funo foi constante nesse intervalo); no instante 45 s, a velocidade atinge seu valor mximo igual a 40 m/s;

no intervalo de 45 s a 65 s, ocorre uma diminuio de 40 m/s para 20m/s na velocidade (dizemos que a funo foi decrescente nesse intervalo);

o menor valor registrado para a velocidade foi de 10m/s, no incio da observao. O gr co a seguir mostra como varia a temperatura de um certo objeto ao longo de 5 horas de observao.

-20

-10

10

20

30

1 23 4 5 t(h)

T(C)

D

Analisando-o, temos que: para o intervalo citado, o gr co representa uma funo, pois, para cada instante (t), existe uma nica temperatura (T);

durante o intervalo de 0 h a 2 h, a temperatura aumenta, apesar de assumir valores negativos, ou seja, a funo crescente e negativa nesse intervalo; com excesso de t = 2h.

34 Matemtica


Noes sobre funes

no instante t = 2 h, a temperatura do corpo se anula; ou seja, assume valor zero.

a partir de t = 2 h, a temperatura continua aumentando, agora com os valores positivos, ou seja, a funo crescente e positiva.

Com base nesses exemplos, podemos entender os conceitos de crescimento, sinais e zeros de uma funo. Formalmente, dizemos que:

uma funo y = f(x) crescente num certo intervalo, quando qualquer acrscimo nos valores de x desse intervalo produz acrscimo nos valores de y = f(x).

Assim:f : A B crescente em A se, e somente se, para x2 > x1, obtivermos:

f(x2) > f(x1), A

x1, A e x2 A

uma funo y = f(x) decrescente num certo intervalo, quando qualquer acrscimo nos valores de x desse intervalo produz decrscimo nos valores de y = f(x). Assim:f : A B decrescente em A se, e somente se, para x2 > x1, obtivermos:

f(x2) < f(x1), x1, A e x2 A

uma funo y = f(x) constante num certo intervalo, quando assume o mesmo valor, f(x),independentemente de uma variao na varivel x. Assim:f : A B constante em A se, e somente se, para x1 x2, obtivermos:

f(x1) = f(x2), x1, A e x2 A

a funo anula-se, f(x) = 0, no ponto em que seu gr co corta o eixo das abscissas. A abscissa desse ponto recebe o nome de zero da funo.

uma funo y = f(x) negativa num certo intervalo, quando ela assume valores negativos (f(x) < 0) para todos os valores de x nesse intervalo.

uma funo y = f(x) positiva num certo intervalo, quando ela assume valores positivos (f(x) > 0) para todos os valores de x nesse intervalo.


Seja o gr co da funo f(x) a seguir:

-4 -2 -11

2

-1

-2

2

0

y

x

f(x)

Considerando apenas o intervalo [ 4, 2],

pedem-se:

a) os zeros da funo;

b) os valores de f(2), f(0) e f(1);

c) os sinais da funo;

d) o crescimento da funo.

Resoluo:

a) Os zeros so os valores de x para os quais

f(x) = 0. Para esses valores de x, o gr co corta o

eixo das abscissas Ox

.

os zeros so 4, 1 e 2.

b) Para x = 2, temos que y = 2.

Para x = 0, temos que y = 1.

Para x = 1, temos que y = 2.

f(2) = 2, f(0) = 1 e f(1) = 2.

c) f(x) > 0 gr co acima de Ox

.

f(x) < 0 gr co abaixo de Ox

.

f(x) > 0 x ] 4, 1[f(x) < 0 x ] 1, 2[

d) crescente: x1 > x2 f(x1) > f(x2)

decrescente: x1 > x2 f(x1) < f(x2)

f(x) crescente para x [ 4, 2] ou x [1, 2] x ] 4, 2] [1, 2] enquanto que f(x) decrescente para x [ 2, 1]

35Matemtica


Noes sobre funes

Exerccio resolvido 5 Considere a funo cuja lei de formao

f(x) = x + 1x 2

. Para essa funo, determine:

a) os valores de f(0) e f(1)b) o(s) zero(s) de f(x);c) o(s) valor(es) de x que no fazem parte do domnio de f(x).

Resoluo:

a) f(0) = 0 + 10 2

f(0) = 12

f(1) = 1 + 11 2 f(1) = 2

f(0) = 12 e f(1) = 2

b) O(s) zero(s) (so) obtido(s) fazendo f(x) = 0. Assim:

0 = x + 1x 2 0 . (x 2) = x + 1

x + 1 = 0 x = 1 o zero dessa funo 1.

c) Como no existe diviso por zero, devemos ter: x 2 0 x 2 x = 2 no faz parte do domnio de f(x).

Exerccios de sala

6 D, em cada caso, o domnio e a imagem da funo f, dada pelo gr co a seguir.a) b)

y

x4-1

1 f

5

y

x4-1

1 f

5

7 Veri que quais das representaes a seguir se referem a uma funo, justi cando-se. Em seguida, indique o domnio e a imagem daquelas que forem funes.

a) b)

A B A B

b bc cde

1 1

2

23

45

a a

c) d)

a

e

bcf: [a, b]

x

yd

x

y

a d

c

bf: [a, b]

8 Seja o gr co da funo f(x) a seguir, no intervalo ]4, 10]

x

y6

3

-2 2 46

8 10-2

-4

Com base nesse gr co, responda:a) Quais os valores de f(0) e de f(6)?b) Quais os zeros da funo?c) Quais os intervalos em que f(x) crescente?d) Quais os intervalos em que f(x) positivo?

36 Matemtica


Noes sobre funes

9 Considere as funes f(x) e g(x) cujas leis de

formao so f(x) = 2x 6x 1

e g(x) = x 2x . a) Quais os zeros dessas funes?

b) Quais o valores de f(1) e g(0)?

c) Qual o domnio de cada uma dessas funes?

10 O gr co a seguir representa uma relao de .

2 3 x

32

y

Veri que se ele representa uma funo. Caso no represente, indique a restrio que se deve fazer no domnio dessa relao, de modo que ela passe a ser uma funo.

11 A gura a seguir mostra as posies de um mvel durante os 30 primeiros segundos de observao de seu movimento.

10

12

20

A

B

C D

E

10 15 25 30t(s)

S(m)

Quanto a esse gr co, responda:a) Quais as coordenadas dos pontos A e D?b) Qual o signi cado fsico dos pontos B e E?c) O que ocorreu no intervalo de 15 a 25s?d) Qual o instante no qual o mvel est mais afastado da origem?

12 Devido crise econmica mundial, que passou a ser acompanhada pela mdia internacional, a partir do 2o semestre de 2008, muitos pases passaram a conviver com os "fantasmas" do desemprego e da queda de produo. Os grficos que se seguem representam, aproximadamente, a quantidade de empregados e o nvel de produo desses empregados, no setor da indstria siderrgica de um certo pas, de 2007 a 2009.

302928

2524

2007 2008 2009

Quantidade de empregados (milhares)

37Matemtica


Noes sobre funes

7065

50

2007 2008 2009

Nvel de produo (milhares de toneladas)

Com base nas informaes desse gr cos, analise as a rmativas a seguir e indique a soma dos nmeros associados s corretas.

1) Ao longo de 2007, a quantidade de empregados caiu, mas a produo manteve-se aproximadamente constante.

2) Por volta de agosto de 2008, a quantidade de empregados comea a cair drasticamente, bem como a produo.

4) A partir do 2o semestre de 2009, ocorrre uma recuperao da quantidade de empregos, mas o mesmo no ocorre com a produo.

8) Ao nal de 2009, a quantidade de empregados volta aos nveis de meados de 2008.

16) Do nicio do ano de 2008 ao incio do ano de 2009, ocorre uma queda prxima de 50% na produo.

Exerccios propostos

13 Veri que quais das representaes a seguir se referem a funes e justi que.

a) b)

y

x

-2-10123

-1

012

AB

c) d)

x

y

-2-10

1

23

-1012

A B

14 Nos gr cos cartesianos das funes a seguir representadas, determine o conjunto domnio, o conjunto imagem e, caso haja, os zeros.

a) b)

1

1-1

-1

y

x

4

-1-1 2 3 4 x

y

c) d)

2

y y

1-2 2 x -2 -1

2 3 45

5

x

15 O gr co a seguir representa uma relaof: [7,7] ou seja, de [7, 7] em .

y

x-7 -5 -4 -1 -2

-3

3 45 7

3

1

2

Veri que se essa relao uma funo e determine:

a) f(5); f(1); f(0); f(3);b) os intervalos em que a funo crescente;c) os intervalos em que a funo decrescente;d) os valores de x tais que f(x) > 0;e) os valores de x tais que f(x) < 0.f) o(s) zero(s) de f(x);g) os valores de x tais que f(x) constante.

Enunciado para a questo 16.

O gr co a seguir ( g 1) mostra como varia a velocidade de dois mveis A e B, que se deslocam sobre o plano inclinado ( g 2).

A

Bt

Vt(s)

V(m/s)

I

Fig 1 Fig 2

38 Matemtica


Noes sobre funes

16 Sabendo que um deles abandonado e o outro lanado, indique:a) qual dos mveis foi lanado.b) qual foi abandonado.c) qual dos mveis est subindo. d) qual dos mveis est descendo. e) o que signi ca, sicamente, o ponto l (t, V)?

17 O gr co a seguir mostra como variou a temperatura de um refrigerante desde o instante em que foi colocado em um refrigerador (freezer) e, aps certo tempo, retirado e colocado sobre uma mesa.

t1 t3

t2

t4 t5 t

T

Nessas condies, qual a soma dos nmeros associados s a rmativas verdadeiras?

01) No instante t1, a temperatura do refrigerante anula-se.

02) No intervalo [0, t2], o refrigerante esteve dentro do freezer.

04) No intervalo [t2, t3], o refrigerante tem um aumento na sua temperatura.

08) No instante t3, o refrigerante pode ter sido retirado do freezer.

16) A partir de t2, o refrigerante pode ter sido esquecido sobre a mesa.

18 Uma certa indstria fabrica doce de leite nas verses puro e misto com coco. O setor de produo dessa indstria fez um levantamento da produo nos anos de 2007 a 2008. Esse levantamento forneceu dados para que fossem esboados os seguintes gr cos:

5,5 5

3 3

64

4

7

2007 2008

Produo (Tonelada) PuroCom coco

j f m a m j j a s o n d j f m a m j j a s o n d

Com base nesse gr co, responda aos itens a, b e c.

a) Em qual(is) perodo(s) a produo do doce puro superou a produo de doce misto?b) Em qual(is) ms(es) a produo de ambos os tipos de doce atingiram nveis iguais?c) Agora faa uma estimativa da produo, no nal do ms de outubro de 2008, de ambos os produtos.

19 O gr co a seguir indica como mudou a temperatura (em graus celsius) de dois lquidos, A e B, ao longo do tempo, em horas.

B-20

24

A50

T(C)

LT

t(h)t

Analise esse gr co e responda:a) Qual

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1col Md Matematica Vol112