1M. Kresken Bivariate Statistik. 2M. Kresken Wertepaare, Punktwolke

M. Kresken 1

Bivariate Statistik

M. Kresken 2

Wertepaare, Punktwolke

M. Kresken 3

Wertepaare, Punktwolke

• Werden an mehreren Beobachtungseinheiten je zwei stetige Merkmale gemessen, so lässt sich jedes Wertepaar durch einen Punkt in einem Koordinatensystem darstellen (Punktwolke)

Messwerte Merkmal 1

Mes

swe

rte

Mer

kmal

2

M. Kresken 4

Regression von y auf x

M. Kresken 5

Zusammenhang zwischen n Wertepaaren(xj,yj)

x

y y

x

M. Kresken 6


• Das Problem einer Regression von y auf x liegt vor, wenn für das Merkmal x fest vorgegebene Werte xj (z.B. Dosen oder Zeitpunkte) und für das Merkmal y zugehörige yj (z.B. Serumkonzentration eines Arzneistoffes) erhoben werden.

• Häufig kann eine graphisch erkennbare Beziehung zwischen zwei Merkmalen (x und y) näherungsweise durch eine Gerade „gut“ beschrieben werden.

• Aber was bedeutet „gut“ ?

M. Kresken 7


• Berechnung einer Geraden, die sich aus der Summe der quadrierten Abstände ermittelt wird

• Methode der kleinsten Quadrate

x

y

M. Kresken 8


• Die so aus den Abständen der einzelnen Messpunkte (xj,yj) zu der Geraden parallel zur y-Achse eindeutig bestimmte Gerade heißt Regressionsgerade von y auf x:

• byx wird Regressionskoeffizient genannt und beschreibt den Anstieg der Regressionsgeraden.

• Der Regressionskoeffizient gibt an, um wie viel sich y im Durchschnitt ändert, wenn x um eine Einheit erhöht wird.

• Der Parameter ayx bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse.

y = byxx + ayx

M. Kresken 9


• byx und ayx ergeben sich aus folgenden Formeln:

_y – byx x ayx =

_

1n - 1

n

j=1

syx = sxy = (xj - x )_

(yj - y )_

byx = syx

sxx, falls sxx = 0

= 1n - 1

( n

j=1( xjyj ) _

n

j=1( xj)1

n)

n

j=1( yj)

= 1n - 1

( n

j=1( xjyj ) _ n x y )

_ _

M. Kresken 10


1n - 1

n

j=1

sxx = sx = (xj - x )_2

_1n - 1

n

j=1

= ( xj ) - n x ( 2 2)

2

M. Kresken 11


• Die Größe sxy heißt Kovarianz und beschreibt die gemeinsame Streuung der x- und y-Werte, d.h. die Ausdehnung der Punktwolke.

• Der Punkt (x, y) heißt Schwerpunkt der Punktwolke und ist ein Lagemaß für das Zentrum der Wertepaare.

• In manschen Situationen lässt sich eine lineare Beziehung erst nach Transformation der x- oder y-Werte erkennen.

• Folgen z.B. die (x,y)-Werte einem exponentiellen Verlauf (y = ex), so wird sich nach Logarithmierung der y-Werte ein linearer Zusammenhang ergeben.

• Mit den transformierten Werten wird dann eine Regressionsrechnung durchgeführt.

_ _

M. Kresken 12

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber

Nr.Zeit nach

Adrenalingabe

[min]

Adrenalin

[mg/l]

1 6 30,2

2 18 9,8

3 30 4,7

4 42 1,8

5 54 0,8

M. Kresken 13

Zusammenhang des Abbaus der Adrenalinkonzentration in der Leber über die Zeit

Ad

ren

alin

(m

g/1

00m

l)

Zeit [min]

M. Kresken 14


• Es liegt die Vermutung nahe, dass die Adrenalinwerte mit der Zeit exponentiell abfallen.

• Wegen der graphisch erkennbaren Beziehung werden deshalb statt der Werte selbst die Logarithmen für die Regressionsrechnung verwendet, wobei die logarithmierten Werte mit y bezeichnet werden.

• Bei der Berechnung werden also nicht die ursprünglichen Messwerte (Zeit, Adrenalin), sondern die transformierten Messwerte (Zeit, log(Adrenalin)) = (x,y) benutzt.

M. Kresken 15

Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

Nr.Zeit nach

Adrenalingabe

[min]

Adrenalin

[mg/l]log

(Adrenalin)

1 6 30,2

2 18 9,8

3 30 4,7

4 42 1,8

5 54 0,8

M. Kresken 16


Nr.Zeit nach

Adrenalingabe

[min]

Adrenalin

[mg/l]log

(Adrenalin)

1 6 30,2 1,48

2 18 9,8 0,99

3 30 4,7 0,67

4 42 1,8 0,26

5 54 0,8 -0,10

M. Kresken 17

Punktwolke und Regressionsgerade für den Abbau der logarithmischen Adrenalinkonzentration über die Zeit

log

Ad

ren

alin

(m

g/1

00m

l)

Zeit [min]

y = byxx + ayx

M. Kresken 18

Punktwolke und Regressionsgerade für den Abbau der logarithmischen Adrenalinkonzentration über die Zeit

y = byxx + ayx

• Benötigte Formeln

M. Kresken 19


Nr.Zeit

xAdrenalin

[mg/l]

log(Adrenalin)

yxy x2 y2

1 6 30,2 1,48

2 18 9,8 0,99

3 30 4,7 0,67

4 42 1,8 0,26

5 54 0,8 -0,10

M. Kresken 20


Nr.Zeit

xAdrenalin

[mg/l]

log(Adrenalin)

yxy x2 y2

1 6 30,2 1,48 8,88 36 2,1904

2 18 9,8 0,99 17,82 324 0,9801

3 30 4,7 0,67 20,10 900 0,4489

4 42 1,8 0,26 10,92 1764 0,0676

5 54 0,8 -0,10 -5,40 2916 0,0100

150 3,30 52,32 5940 3,6970

M. Kresken 21

Zusammenhangsmaße

M. Kresken 22

Zusammenhangsmaße

• Maßzahlen, mit deren Hilfe sich der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen beschreiben lässt.

• Keines der Maße dient dazu, einen sachlogischen oder kausalen Zusammenhang nachzuweisen.

M. Kresken 23

Korrelationskoeffizient

• Der Korrelationskoeffizient r nach Pearson ist ein quantitatives Maß für die Beziehung zwischen zwei stetigen Merkmalen und beschreibt die lineare Komponente des Zusammenhangs.

r = syx

sxx · syy

, falls sxx = 0 und syy = 0

• Der Korrelationskoeffizient r kann nur Werte von –1 bis +1 annehmen.

• Der Korrelationskoeffizient ist eine einheitslose Größe.

M. Kresken 24

Zusammenhang zwischen Punktwolken und Korrelationskoeffizienten

M. Kresken 25

Korrelationskoeffizient zwischen der logarithmischen Adrenalinkonzentration und der Zeit

Berechnung des Korrelationskoeffizienten r

M. Kresken 26

Bestimmtheitsmaß

• Im Zusammenhang mit der Regressionsrechnung gibt man häufig statt des Korrelationskoeffizienten das so genannte Bestimmtheitsmaß an.

• Das Bestimmtheitsmaß ist gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten.

• Es beschreibt, welcher Anteil an der Gesamtvarianz durch das Regressionsmodell bzw. die Regressionsgerade erklärt wird.

M. Kresken 27

Rang-Korrelationskoeffizient

• Ist ein alternatives Maß, um Zusammenhänge zwischen Merkmalen zu beschreiben (Spearman Rang-Korrelationskoeffizient).

• Wird auf der Basis der Ränge der Messwerte berechnet:(R (x1), R (y1)), (R (x2), R (y2)),....., (R (xn), R (yn)).

• Der kleinste Messwert erhält den Rang 1, der größte Wert den Rang „n“.

• Mit den mittleren Rangzahlen lässt sich analog zum Korrelationskoeffizienten nach Pearson der Rang-Korrelationskoeffizient berechnen.

R(X) = 1n

n

j=1R(xj) R(Y) =

1n

n

j=1R(yj)

M. Kresken 28


• Die Berechnung erfolgt analog zum Korrelationskoeffizienten nach Pearson unter Verwendung der Rangzahlen.

r = syx

sxx syy

M. Kresken 29


• Bei ordinalen Merkmalen beobachtet man häufig die Übereinstimmung der Messergebnisse mehrerer Beobachtungseinheiten.

• In solchen Fällen werden den übereinstimmenden Messergebnissen mittlere Ränge zugeordnet.

• Dass die Originalmessergebnisse nur über ihre Position in den jeweiligen Ranglisten, d.h. indirekt in die Berechnung des Rang-Korrelationskoeffizienten einfließen, bedeutet eine Informationsreduktion.

• Auf der anderen Seite können dadurch nichtlineare Zusammenhänge beschrieben werden.

• Der Rang-Korrelationskoeffizient liefert Werte von–1 bis +1.

M. Kresken 30


Nr.Zeit

x

Ränge

R(x)Adrenalin

[mg/l]Ränge

R(y)R(x) R(y) R(x)2 R(y)2

1 6 30,2

2 18 9,8

3 30 4,7

4 42 1,8

5 54 0,8

M. Kresken 31


Nr.Zeit

x

Ränge

R(x)Adrenalin

[mg/l]Ränge

R(y)R(x) R(y) R(x)2 R(y)2

1 6 1 30,2 5 5 1 25

2 18 2 9,8 4 8 4 16

3 30 3 4,7 3 9 9 9

4 42 4 1,8 2 8 16 4

5 54 5 0,8 1 5 25 1

15 35 55 55

M. Kresken 32

Interpretation der Ergebnisse der Regressions- bzw. Korrelationsrechnung

1. Eine Extrapolierung der Regressionsgleichung über den Bereich der Punktwolke hinaus ist nicht zulässig.

2. Ein Korrelationskoeffizient nahe null bedeutet nicht, dass kein Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen besteht.

3. Einzelne extreme Wertepaare können sowohl den Korrelationskoeffizienten als auch die Regressionsgleichung erheblich beeinflussen.

4. Eine beobachtete Korrelation bedeutet nicht ohne weiteres einen sachlogischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen.

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1M. Kresken Bivariate Statistik. 2M. Kresken Wertepaare, Punktwolke