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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar? Von Oskar Anderson, Varna I Die vorllegende Studie entstand aus dem Wunsche, den ,,stochasti- sehen Standpunkt", zu dem sich der Verfasser auch in der statistisehen Wirtsehaftsforsehung bekennt, an einem der umstrittensten Probleme der Geldtheorie zu erproben und naehzupriifen, was sich hier auf dem Wege der neuen statistischen Methoden erreichen l~Bt und wo dieselben bis auf weiteres ihre Hilfe versagen mfissen. Freilich, an Versuchen, die Quantit~tstheorie statistiseh zu verifizieren, hat es auch bisher durchaus nicht gefehlt und manehe yon ihnen ergaben sogar sehr be- achtliehe Resultate. Abgesehen yon den Berechnungen Irving Fishers, erinnern wir z. B. an die bekannten Untersuehungefi yon Holbrook Working. Letztere sind yon Michaelis einer reeht ausffihrliehen, aber leider nicht immer ebenso stiehhaltigen Kritik unterworfen wordenl). In der vortiegenden Arbeit wird ]edoeh eine andere statistische Technik angewandt und es ist zu hoffen, da~ die hier entwiekelten Verfahren zu einwandfreieren Resultaten ffihren kSnnen. Das Problem des statistischen Nachweises der Quantit~tstheorie ist auf das engste mit einer viel allgemeineren Frage verkniipft, die zur Zeit eben/alls lebhaft diskutiert wird: mit der Frage fiber die Beziehungen der Statistik zur Wirtsehaftsforschung fiberhaupt. Wie allgemein be- kannt, werden hier, in der Theorie, so ziemlieh alle logiseh denkbaren Ansiehten vertreten: angefangen yon einer vollkommenen Negierung jeglicher Statistik und absehlie~end mit einer ebenso durehgreifenden Statistifizierung jeglicher Theorie. H6chstwahrscheinlich dfirfte aueh in diesem FaUe durch konkrete ~Einzelforsehungen sich betr~ehtlich mehr erreichen lassen, als durch noch so philosophisch orientierte theo- retische Abhandlungen, die sehlieBlich doch nur relativ selten wirklieh fiberzeugend wirken -- sogar dann, wenn sie mit griindlichem Fach- wissen verbunden sind. Um jedoeh m6gliehen MiBverst~ndnissen vor- zubeugen, halte ich es f~ angebracht, meine persSnlichen Ansichten zur Frage des Verh~ltnisses der Statistik zur Wirtschaftstheorie hier gleieh am Anfang kurz zu skizzieren. Sie m6gen als eine Art vorl~ufiger Arbeitshypothese gelten. -- Die Anwendungen der Methoden der so- genannten mathematischen S~atistik kSnnen n~mlieh nach meinem 1) Michaelis, Alfred: Die Quantit~tstheorie als Grundlage der Kon- junkturforsehung. S. 150 bis 170. Jena. 1929.

1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar? Von

Oskar Anderson, Varna

I

Die vorllegende Studie entstand aus dem Wunsche, den ,,stochasti- sehen Standpunkt", zu dem sich der Verfasser auch in der statistisehen Wirtsehaftsforsehung bekennt, an einem der umstrittensten Probleme der Geldtheorie zu erproben und naehzupriifen, was sich hier auf dem Wege der neuen statistischen Methoden erreichen l~Bt und wo dieselben bis auf weiteres ihre Hilfe versagen mfissen. Freilich, an Versuchen, die Quantit~tstheorie statistiseh zu verifizieren, hat es auch bisher durchaus nicht gefehlt und manehe yon ihnen ergaben sogar sehr be- achtliehe Resultate. Abgesehen yon den Berechnungen Irving F ishers , erinnern wir z. B. an die bekannten Untersuehungefi yon H o l b r o o k Working . Letztere sind yon Michael is einer reeht ausffihrliehen, aber leider nicht immer ebenso stiehhaltigen Kritik unterworfen wordenl). In der vortiegenden Arbeit wird ]edoeh eine andere statistische Technik angewandt und es ist zu hoffen, da~ die hier entwiekelten Verfahren zu einwandfreieren Resultaten ffihren kSnnen.

Das Problem des statistischen Nachweises der Quantit~tstheorie ist auf das engste mit einer viel allgemeineren Frage verkniipft, die zur Zeit eben/alls lebhaft diskutiert wird: mit der Frage fiber die Beziehungen der Statistik zur Wirtsehaftsforschung fiberhaupt. Wie allgemein be- kannt, werden hier, in der Theorie, so ziemlieh alle logiseh denkbaren Ansiehten vertreten: angefangen yon einer vollkommenen Negierung jeglicher Statistik und absehlie~end mit einer ebenso durehgreifenden Statistifizierung jeglicher Theorie. H6chstwahrscheinlich dfirfte aueh in diesem FaUe durch konkrete ~Einzelforsehungen sich betr~ehtlich mehr erreichen lassen, als durch noch so philosophisch orientierte theo- retische Abhandlungen, die sehlieBlich doch nur relativ selten wirklieh fiberzeugend wirken - - sogar dann, wenn sie mit griindlichem Fach- wissen verbunden sind. Um jedoeh m6gliehen MiBverst~ndnissen vor- zubeugen, halte ich es f ~ angebracht, meine persSnlichen Ansichten zur Frage des Verh~ltnisses der Statistik zur Wirtschaftstheorie hier gleieh am Anfang kurz zu skizzieren. Sie m6gen als eine Art vorl~ufiger Arbeitshypothese gelten. - - Die Anwendungen der Methoden der so- genannten mathematischen S~atistik kSnnen n~mlieh nach meinem

1) Michaelis, Alfred: Die Quantit~tstheorie als Grundlage der Kon- junkturforsehung. S. 150 bis 170. Jena. 1929.

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Daffirhalten k e i n e s w e g s d ie 6 k o n o m i s e h e T h e o r i e e r s e t z e n . Das Verh~ltnis der Statistik zur theoretischen National6konomie denke ich mir ungef~hr wie das Verh~ltnis des physikalisehen Experiments zur theoretischen Physik. I)er Physiker kann auf den verschiedensten Wegen zu seiner Hypothese gelangen. Abgesehen yore systematischen Ex- perimentieren in einer bestimmten Richtung, gibt es da aueh eine Reihe anderer M6glichkeiten: Ableitung der Hypothese aus gewissen logisehen ~l)erlegungen, die auf der Kenntnis des inneren Mechanismus der zu untersuehenden Erscheinung beruhen~ wissenschaftliche Intuition, ferner sogar Analogieschlu~ u. dgh mehr (man denke z. B. an N e w t o n s oder O h m s Gesetze). Nachdem die Hypothese einmal aufgestellt ist, wird sic, oder wenigstens gewisse SchluBfolgerungen aus ihr, an besonderen Experimenten sorgf~ltig geprifft und ihre ~bereinstimmung mit diesen und mit allen fiberhaupt bekannten Tatsachen nachgewiesen. Die Rolle der Hypothesen spielen nun in den Gesellschaftswissenschaften die einzelnen ,,Theorien": Quantit/itstheorie, subjektive Werttheorie usw. Leider ist bier ein Experimentieren im strengen Sinne des Wortes nur sehr selten m6glich und eine Reihe wissenschaftlieh reiner Experimente - - e i g e n t l i c h wohl nie. Wenn wir daher unsere Theorien verifizieren wollen, so sind wir gezwungen, die Experimente dureh ihre S u r r o g a t e zu ersetzen, welche uns die statistische Methode bietetl): etwa durch Bestimmung yon Verh~ltniszahlen und Mittelwerten, dutch AufsteUen yon Kombinations- oder Korrelationstabellen, dureh Zerlegung stati- stischer Reihen in einze]ne Komponenten, durch Berechnung yon mittleren Fehlern, yon Korrelations- oder Variationskoeffiza'enten u. dgl. mehr. Hierdureh entstehen Komplikationen und Sehwierigkeiten, die dem Physiker gew6hnlieh erspart bleiben. Auch er hat es bei seinen Ex- perimenten mit verschiedenen S t 6 r u n g e n zu tun, die er als ,,Beob- achtungsfehler" empfindet. Er untersucht z. B. den Zusammenhang zwischen den Erscheinungen x und y~). Sein Ziel ist, die ~bereinstimmung der yon ihm erhaltenen Beobaehtungsreihen mit jener t~ormel oder Funktion - - wir bezeiehnen sie symbolisch dutch die Gleichung y - - / ( x ) - - festzustellen, die ibm ffir diesen Zusammenhang yon seiner Hypo- these gegeben wird. Eventuell m6ehte er auch die Konstanten - - die Mathematiker sagen: Parameter - - der Funktion / (x ) bestimmen. Aber s tar t der ihn einzig interessierenden beiden Beobaehtungsreihen xl, xs, xa, . . . . und Yl, Y2, ~/3 . . . . . ergibt ibm das Experiment in Wirk- liehkeit folgende zwei Reihen: xl-~el, x2~-es, xa-~e a, . . . . und Yl-~el,

i) Vgl. March, Lucien: Les Principes de la Mdthode Sta~stique avec quelques applications aux sciences naturelles et ~t la Science des affaires. S. 8/9ff. Paris. 1930.

~) Um unsere Ausfithrungen nicht unn6tig zu komplizieren, betrachten wir bier nut den einfachsten Fall, wo der Zusammenhang blo~ zwischen zwei Erscheinungen untersucht wird. In ein sogenanntes Naturgesetz gehen gew6hnlich mehrere Variable ein, doch ist ihre Zahl niemals besonders groB. Die logische Seite des Problems wird jedcnfalls durch diese Zahl nicht be- einflu~t.

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y~q-e~, yaq-~a . . . . . . wo e~, e~, e~ usw., el, e~, ~a usw. eben die ,,Fehler" der einzelnen Beobachtungen sind und sowohl positiv als auch negativ ausfa]]en k6nnen. Nun befindet sich der Physiker gew6hnlich in der gliicklichen Lage (urn die die Volkswirtschaftler ihn nut zu beneiden verm6gen), seine Experimente derartig konstruieren zu k6nnen, dab die ,,St6rungen" e und e im Verh~Itnis zu den entsprechenden x und y reeht klein erscheinen und daher mit Hflfe der relativ einfachen Mittel, die uns die sogenannte Theorie der Beobaehtungsfehler bietet, abgetan werden k6nnen. Darin liegt ja auch der Hauptzweck des Expe- rimentierens! Der Volkswirtschaftler muB hingegen seine Reihen der x und der y so hinnehmen, wie sie ibm eben in den sozialen Massen- erscheinungen gegeben werden, ohne sie dureh entsprechende Anordnung der Beobachtungen viet yon ,,StSrungen" bereinigen zu kSnnen. Letztere sind gew6hnlich auch an und fiir sieh sehr bedeutend und mannigfaltig. Seine ,,Beobachtungsfehler" e und e sind daher in der Regel so groB, dal3 sie den Zusammenhang, der mSglicherweise zwisehen x und y existiert, mehr oder weniger verdunkeln, ja ihn ganz verzerren k6nnen. Zwischen der Maisernte in Nord-Bulgarien und den aus Varna ausgefiihrten Mengen Mais besteht z. B. h6ehstwahrscheinlich ein gewisser funktionaler Zusammenhang lineaxer Natur: diese Ausfuhr sollte doeh die Tendenz haben, einen bestimmten Prozentsatz der Gesamternte (abztiglich Saat- gut, Reserven u. dgl.) zu bflden. Doch in Wirkliehkeit wird jener Zu- sammenhang durch verschiedene andere stSrende Einfliisse - - in erster Linie dutch die Preislage auf dem internationalen Getreidemarkt - - betr~ehtlieh fiberdeckt, so dab er nur in the long run, bei Betrachtung langer Beobachtungsreihen konstatiert werden kSnnte, wo aber wiederum wirtsehaftliche Struktur~nderungen (neue Eisenbahnen!) stSrend auf. treten wiirden. Infolgedessen teilt sich fiir den Volkswirtschaftler die Frage nach dem G es etz e des Zusammenhanges der beiden Erseheinungen x und y in zwei selbst~ndige Fragen: 1. Wie ist die Form tier Funktion, die das Kausalgesetz darstellt, welches zwei (oder bzw. mehrere) Er- scheinungen verbindet ? und 2. bis zu welchem Grade kann sich diese Zusammensetzung tats~ehlieh durchsetzen, d. h. bis zu welchem Grade wird diese , ,Tendenz" durch , ,S t6 rungen" tiberdeckt oder verdunkelt ? Die erste Frage hat die nationalSkonomisehe Theor ie zu beantworten und die Statistik kann hier allenfalls nut den Versueh machen, die Kon- stanten oder Quasi-Konstanten, die in die Funktion eingehen, fiir eine gegebene Massenerscheinung zu bestimmen. Die zweite Frage muB hingegen dureh Anwendung statistischer Methoden gelSst werden, die

1 m" auch den ,,Spie rau abzugrenzen haben, in welchem sieh die Folgen eines bestimmten Komplexes yon Ursachen befinden miissen (oder kSnnen). Und zwar liegt eben hier das natiirliche Anwendungsfeld der Korrelationstheorie. Letztere sollte auch die natiirliche Basis fiir alle volkswirtsehaftliehe Prognosen bildenl).

~) Ein drastisches Beispiel fiir den Unterschied zwisehen den Positionen des Physikers und des Volkswirtschaftlers k6nnen wir in der Betrachtung des folgenden Falles finden. Das Newtonsehe Gravitationsgesetz besteht

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526 0 . Anderson:

Der Umstand, dab wir das Experiment durch statistische Beob- achtungen und methodische Bearbeitung der erhaltenen Resultate er- setzen, zwingt uns, besonders vorsicht]g und zuriickhaltend zu sein. Die ,,feineren" mathematisehen Methoden dienen oftmals nur dazu, um festzustellen, dab das vorhandene Zahlenmaterial fiir das gesteekte Ziel nieht hinreicht oder dab der , ,Spielraum", der sieh aus ibm ergibt, so groB ist, dab er kein Interesse mehr fiir uns bietet. Gerade im Hin- blick auf diese Kontrol l-Funktionen der Methoden der mathematischen Statist ik muB ieh die Ansieht T i n b e r g e n s 1) ablehnen, es babe zur Zeit durchaus keine Eile, das statistische Ins t rument zu verfeinern. Naeh meinem Dafiirhalten diirfte gerade die mangelnde statistisehe Reinliehkeit der Harvard-Methoden ih r v611iges Versagen bei der Voraussage der ]etzigen Krise verursacht haben und es gereieh~ mir zu einer gewissen Genugtuung, dab ieh dieses kl~gliche Ende, noch lange ehe derKrach kam, vorhergesagt babe. Aueh die Methodender mathematisehen National6konomen, die yon ihnen bei der Bereehnung der Nachffagekurven, der Elastizit~t der Nachffage u. dgh angewendet werden, sehreien geradezu nach einer statistischen Verfeinerung und kritischen Sichtung!

Wenn wir uns je tzt dem Problem der statistischen Verifizierung der Quantit/~tstheorie zuwenden, so erseheint es uns in to]gender Gestalt. Die Ableitung der Hypothese und die Erkl~rung des ganzen Mechanismns, der die ~ u w i r k u n g der Geldmenge auf alas Preisniveau bewirkt, ist Sache der national6konomischen Theorie, wobei die Stat is t ik gar niehts oder beinahe gar niehts helfen kann. Die Feststellung hingegen, bis zu welchem MaBe die wirtschaftlichen Tatsachen sich als mit der Hypo-

im selben Grade fiir alle materiellen K6rper, und es l~Bt sich dureh gewisse einfaehe Erperimente, die wit aus dem Mit~lschulkursus kennen, sehr htibsch verifizieren. Die Lage des Volkswirtschaftlers gegen~ber der N ewtonsehen H y p o t h e s e w/~re abet erst dann gegeben, wenn der Physiker nur fiber Beobachtungen an fallenden _~pfeln, Metallstiickehen, Federn, Papieffetzen u. dgl. disponieren w~fle und ibm weder ein Vakuum oder eine Atwoodsche Masehin¢, noeh, sagen wir, relativ so einfache Tatbest/~nde, wie astronomisehe Beobachtungen der Bewegungen der Himmelsk6rper, zur Ver~gung s~nden. Ja mehr noeh: Wie w/~re es, wenn wir selbst nur winzige Lebewesen dar- stell~n, die sieh auf einem der beobachteten Papieffetzen bef'anden, und es f~r uns yon h6ehster vitaler Bedeutung w~re, wo unser faUender Papier- fetzen sehlieBlic~h lander, z. B. e~wa im brennenden Ofen oder auf dem FuB- boden .~ Und gerade so ist nieht selten unsere Lage in den sozialen Gesetzes- wissenschaft~n. ]~s ist daher verst/~ndlieh, dab wit uns bier nicht nut ff~r die Formel des Gesetzes interessieren, welches wir gew6hnlich als ,,Tendenz" oder als ,,Idealtyp", zuweflen aneh als ,,Trend" empfinden, sondern auch darer, bis zu welchem Grade sieh dieses in der Wirkliehkeit durehsetzen kann.

Man kann natfirlich einwenden, dab wit Mensehen doch lange nieht so hilflos den Bewegungen der Gesensehaft gegenffberst/~nden. Der Vergleieh hinkt eben, wie jeder Vergleich. Abet aueh unsere hypothetisehen Lcbewesen k6nnten ja schlieBlieh dureh Ver~nderung der Form des Papieffe~zens oder dutch Verlegung seines Sehwerpunkt~s seine Bahn betr/i~htlich beeinflussen.

1) Vgl. seine Bespreehung meiner ,,Korrela~ionsreehnung" im I. Band dieser Z e i ~ h r ~ , S. 788.

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these iibereinstimmend erweisen, ist Aufgabe der Statistik. Folglich kann letztere, nach unserer Ansieht, durehaus nieht den endgiiltigen Beweis dafiir erbringen, dab die Hypothese der Quantit~tstheorie richtig oder falsch ist, sondern nur messen, bis zu welchem Grade sich die Tat- sachen dureh sic erkl~ren lieBen (vorausgesetzt, dab sie riehtig w~re), wie groB die yon ihr nieht einhezogenen ,,stSrenden Einflfisse" anzu- setzen w~ren und ob dieselhen Tatsachen nicht mit einer anderen Hypothese (z. B. mit dem ,,Ba~king-Prinzip") in besserem Einklang st~nden. Und auch diese Aufgaben, die, wie wir sehen werden, schwierig genug sind, k6nnen nur in dem Falle zu einer wirklieh befriedigenden LSsung gebracht werden, wenn der Hypothese eine geniigend pr~zise und fiir die Anwendung der feineren statistisehen Methoden passende Form gegeben wird und wenn auBerdem ein geniigend reichliches und zuverl£ssiges Beobaehtungsmaterial vorliegt.

,,Quantit~tstheorie ist kein fester Begriff", meint Miehaelis l) : ,,es gibt so viele Quantit~tstheorien wie Quan~it~tstheoretiker. In jeder Darstellung wechselt das Detail und der Beweisgrund." Wenn man diese Behauptung, als zu welt gehend, aueh ablehnen soUte, so unterliegt es doeh keinem Zweifel, dab z. B. die Verkehrsgleichungen yon Irving Fisher , K e y n e s ~) oder die ,,Cambridge-Gleichung" nicht zu gleicher Zeit und mit gleichem statistisehen Material verifiziert werden kSnnen. Um unsere Untersuehung auf eine konkrete Basis zu stellen, w£hlen wir unter den verschiedenen Variet~ten der Quantit~tstheorie diejenige Irving F i shers heraus, erstens weft sie, wie sich mein Namensvetter B. M. Ande r son treffend ausdrfiekt, ,,the most un- compromising and rigorous statement of the quantity theory to be found in modern eeonomie literature ''s) darstellt und zweitens, weft bei ihm die Quantit£tstheorie eine mathematiseh auBerordentlich elegante und durehsichtige Formulierung gefunden hat. Man fiihlt es durehaus, dab Irving F i she r Mathema~iker yon Faeh ist, und seinen Ausffihrungen ist da~er eine derartige mathematische Sieherheit eigen, welche bei anderen Geldtheoretikern nieht so leicht vorgefunden werden kann. Die Lehren Irving F i shers diirften als allbekannt gelten. Trotzdem wird es fiir uns hier notwendig sein, die Ableitung seiner Verkehrs- gleiehung in einer etwas anderen Gestalt zu wiederholen, wobei wir versuehen werden, einzelne Punkte (die sieh iibrigens aueh bei Irving F i she r oder wenigstens bei seinem Vorg~nger S. Neweomb vorfinden) besonders seharf herauszuarbeiten.

Den logisehen Ausgangspunkt der Fishersehen Konstruktionen bildet ein Satz, der wirklieh ffir eine Tautologie angesehen werden kann: Die fiir eine Ware bezaMte Summe ist gleich dem Preise der Einheit dieser Ware real Anzahl der Einbeiten derselben. Bezeichnen wir die Summe, die yon einer einzelnen Person zu einem gewissen Zeitpunkt fiir eine bestimmte Ware bezahlt wird, durch e, den Preis der Einheit

~) L d~. S. 3. 3) K e y n e s , J. M.: k Treatise on Money. Vol. I, S. 135ff. London. 1930. s) Miehaelis: t. ~t. S. 6.

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der Ware dureh p und die Anzahl der gekauften Einheiten dutch q, so kann obiger Satz durch folgende Gleichung dargesteUt werden:

e = p ql).

Wir wollen sie ,,Elementargleichung des Verkehrs" nennen. Die Ent- richtung des Gesamtpreises e kann hierbei entweder sofort oder sp~ter (Kredit!), entweder in Geld oder in Surrogaten desselben erfolgen: ist bei der Multiplikation yon p mit q kein Fehler unterlaufen, so ist aueh der Bestand der Elementargleiehung unanfechtbar~). Der n~chste Schritt besteht nun darin, dab wir uns eine grol3e Anzahl solcher Ele- mentargleichungen vorstellen und einzeln die rechten und dann die linken Seiten aUer dieser Gleichungen summleren: a) zuerst fiir alle Gfiter, die dutch eine Person an einem gegebenen Zeitpunkt gekauft werden, b) dann fiir alle Personen, die in den gegebenen volkswirtschaft. lichen Organismus (Staat) an diesem Zeitpunkt eingehen, und c) endlich fiir aUe Zeitpunkte eines gewissen Zeitintervalls (Monat, Jahr). Mathe- matisch ist diese Summierung absolut einwandffei, denn ist z. B. 3 = 3 × 1 und 8 = 4 ) < 2 , so wird auch 3 + 8 = 3 × 1 + 4 × 2 sein. Fiihrt man das bekannte Summenzeiehen 27 ein, so kann man die naeh obigen Summie- rungen entstandene Gleiehung folgendermaBen darstellen:

Z e = X p q .

Die Summe 27 e der linken Seite der Gleichung kSnnen wit wiederum in zwei Teile zerlegen: einerseits in E - - die Summe aUer Umsgtze mit Geld - - und anderseits in E ' - - die Summe aller Umsatze mit Sehecks - - , so dab die Gleichung nun die folgende Gestalt annimmt:

E + E' =.27 p q. (1)

])as ist die ursprfingliehe Gestalt der Verkehrsgleichung yon Irving F i s h e r . Sie erseheint ebenfalls fast wie eine Tautologie, doch kann aus ihr auch manehes abgeleitet werden, was auf den ersten Blick durch- aus nieht als auf der Hand liegend vorkommt. Ehe wir jedoeh zu den weiteren Transformationen der erhaltenen Gleiehung schreiten, miissen wir uns die Summierungsgrenzen derselben noch genauer ansehen. Es ist ja klar, dab fiir eine Anzahl yon Elementargleichungen eine derartige Summengleichung nur dann bestehen kann, wenn die Summe der linken Seiten der Gleiehungen der Summe der rechten Seiten d e r s e l b e n Gleichungen gleiehgesetzt wird. Wird yon einer Gleichung z. B. nur die linke Seite genommen und yon einer anderen nur die rechte, so kann offenbar die Summengleichung nicht mehr bestehen. In welchen Grenzen

1) F i sher , Irving: The Purchasing Power of Money, its Determination and Relation to Credit, Interest and Crises. New and revised edition. S. 364. New York. 1925. Wir werden im weiteren nut nach dieser Ausgabe zitieren, die wir verkftrzt als ,,Money" bezeiehnen wollen.

~) Die Zusehl~ge oder Rabatte zur Gesamtreehnung ftir die gelieferte Ware miissen hierbei selbstverst~indlieh in den Preis der Einheit hinein- kalkuliert werden.

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unternimmt nun Irving F i she r seine Summierung ? Sic bezieht sich bei ihm, wie eben gesagt, nur auf diejenigen Wirtschaftsgiiter (wealth, property, benefits: vgl. Money, S. 1 bis 6), die g e k a u f t oder v e r k a u f t werden, und zwar im weiteren Sinne des Wortes fiir Geld oder SChecks (primary money, fiduciary money, and deposits subject to check). Mit gewissen - - iiberwindbaren - - Sehwierigkeiten k/~nnen wir unserc Sum- mierung auch auf solche Giiter ausdehnen, die im unmittelbaren Aus- tausch bloB unter Hinzuziehung einer Geldwertsch~tzung ent~uBert werden, wie etwa im Falle eines Tauschgesch~ftes, das ein amerikanischer :Farmer mit seinem Kaufladen eingeht, wenn er bei ibm auf laufende Rechnung versehiedene Waren abnimmt und hierfiir yon Zeit zu Zeit landwirtschaftliche Produkte ebenfalls auf Reehnung liefert (vgl. Money, S. 371). Unsere Summierung darf jedoeh nicht auf jene Giiter aus- gedehnt werden, die im Laufe der entsprechenden Zeit~riode (Monat, Jahr) unverkauft blieben oder unmittelbar in derselben Wirtschaft konsumiert wurden, die sic erzcugte (Landwirtschaft, vertikale Ver- einigungen der Unternehmungen); ferner auf jene Giiteriiberg'ange, die infolge yon Vererbungen, Stfftungen oder Schenkungen stattfanden, dann auf Naturalabgaben, Konfiskationen u. dgl. mehr. Mit einem Wort, es werden durchaus n i ch t alle Wirtschaftsgiiter, die zu der be- treffenden Zeit existieren oder sogar yon einer Hand zur anderen gingen, in die Summierun.~ einbezogen. Eine wichtige Ausnahme bilden ferner Kreditgeseh~fte. Uber diese ~uBert sich Irving F i she r ganz kategorisch (Money, S. 370): ,,It is important to note that, though the system of book credit has a great influence on prices indirectly, i t does no t en t e r in to the e q u a t i o n of exchange like circulation or bank credit". Die Sachlage wird folgendermaBen erkl~rt: ,,Such an exchange of goods against a later payment may be resolved into two successive exchanges. The first occurs at the start when t&e credit is given for the goods. The purchaser then buys goods in exchange for a promise to pay. The second exchange occurs at the close of the transaction, when the debt is liqui- dated. The original purchaser may then by said to buy back his book vredit or promissory note with money. Unlike bank credit, then, time credit does not d i r e c t l y save the use of money. Its immediate effect is simply to postpone that use, since, to eventually extinguish the credit, as much money or checks must be expended as though cash were paid in the first instance". Bezeichnet man durch E" die Summe der Buch- kredite, die im Laufe der Beobachtungsperiode geschaffen warden, und dureh E '" die Summe der ausgel6schten Kredite, so werden beide entweder einander gleieh sein oder wenigstens ann~hernd gleich. Im ersten Falle kompensieren sic sich, nach Irving Ficher , gegenseitig, im zweiten geht ihre Differenz E " - - E ' " in die l inke Seite der Summen- gleichung fiber. Die im Wege des Kreditgescl~tes ver~uBerte Ware geht jedoch selbstverst~ndlich roll in die rechte Seite der Verkehrs- gleichung ein, sowie der bezahlte Geldpreis - - in die linke. DaB dieser Tefl der Fisherschen Theorie yon verschiedenen Seiten beanstaudet wird, kann uns ]tier nicht b e s c h ~ e n .

Zeitschr. f. N&tionalSkonomie, I L Bd., 4. I t . 34

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Eine andere Komplikation entsteht dank dem auswgrtigen Handel (vgl. Money, S. 27 his 28 und 372ff.). An die Summierung der Elementar- gleichungen k6nnen wir ngmlieh yon zwei verschiedenen Seiten herau- treten. Einerseits gehen wir yon der Warenseite aus und summieren alle Gleichungen, wo aus der gegebenen Volkswirtschaft Waren iiber- haupt v e r k a u f t werden - - einerlei, ob sic hier~uf ins Inland oder ins Ausland gchen. Dann wird der fiir sic bezahlte Preis, je nach der Liquidationsform, entweder die Komponente E oder E' oder auch die Differenz E"---E'" erh6hen. Anderseits k6nnen wir auch yon der Geld- seite ausgehen und alle Gleiehungen summieren, wo Waren fiir Geld, Schecks oder auf Kredit g e k a u f t werden, einerlei, ob die Ware sich im Innern des Landes befindet oder aus dem Auslande importiert wird. In diesem Falle wird sich aueh die Summe der rechten Seite der Ver- kehrsgleichung entspreehend vergr6Bern. Man kann ferner beide Typen der Verkehrsgleiehung miteinander kombinieren, z. B. beide summieren oder voneinander subtrahieren oder auch zur ersten nur die fehlenden Elemen~ der zweiten addieren.

Es ist nun klar, daB, wie man auch die Summierung der Elementar- gleichungen vornimmt, in die linke Seite der Gleichung nicht das ganze Geld, welches in der Volkswirtschaft vorhanden ist, und nieht alle Scheck- einlagen eingehen, und ferner, daB auch nicht alle ~berggnge derselben yon Hand zu Hand mit einbegriffen werden. AuBerhalb der Gleichung bleibt erstens alles Geld, welches in der Summierungsperiode kein einziges Mal seinen Eigentiimer wechselte, desgleichen auch alle derartigen Seheek- einlagen; ferner bleiben auBerhalb der Summierung aueh aUe Fglle, wo das Geld oder die Schecks nicht im Austausch gegen Giiter zirkulierten, so z. B. Summen, die geschenkt, gestiftet, geerbt oder als Steuern be- zahlt wurden u. dgl. mehr. Endlieh ist noeh jenes Geld zu erwghnen, welches yon der Statistik als in Zirkulation befindlich gez~hlt wird, in Wirkhchkeit jedoch vernichtet, verloren, eingeschmolzen oder ins Ausland exportiert wurde. Diese Betr~ge sind selbstverst~ndlich im Verhgltnis zur Gesamtsumme der linken Seite der Verkehrsgleiehung nur gering, doch sind sic aueh nicht als verschwindend klein anzusehen. Es steht jedenfalls lest, dab die Summierungsgrenzen der Fishersehen Gleichung in einem gewissen Spielraum je nach Bedaff bin und her geschoben werden k6nuen und daB sic ferner yore Standpunkte des Statistikers aus als schwer erfaBbar anzusehen sind.

Nach diesen vorlgufigen Bemerkungen kann an die Transformation der Urform der Fishersehen Verkehrsgleichung gesehritten werdcn. Unter Beriicksichtigung der Kreditgeschgfte verwandelt sich Formcl (1) in:

E + E ' + E " E " ' = Z p q . (2)

Eine mathcmatische GrSBe vergndert sieh nieht, wenn man sic gleieh- zeitig mit ein und derselben Zahl multipliziert und dividiert. Wit multiplizieren und dividieren nun E mit M und E' mit M'. Mis t hierbei ,,der arithmetische Durchsehnitt aller Geldmengen, die zu den einzeinen

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sukzessiven Zeitpunkten bestanden, welche voneinander durch gleiche, aber unendlich kleine Zeitintervalle getrennt shad" (Money, S. 24). Aus den Seiten 17 und 358 bis 360 yon ,,Money" geht noch hervor, dab M sich nur auf jene Geldmengen bczieht, die den einzelnen Personen zu den einzelnen Zeitpunkten ,,on hand" waren, und dab folglich damit nur ,,the total amount of money (coin and paper) outside of the federal treasury and outside the banks of deposit and discount (national, state, private and trust companies)" bezeichnet wird (Money, S. 280). Durch M' werden hingegen ,,the total deposits subject to transfer by check" ausgedrfickt (Money, S. 48). Die Einsehr~nkungen sind offenbar die- selben wie fiir M1). Somit ergibt sich fiir die Verkehrsgleichung die folgende Form:

E , E' E " ~ E ' " = M --~-+ M --~7+ Z pq.

E, E" Bezeichnen wir -~- dutch V und - ~ r durch V', so erhalten wit hieraus

die Gleichung: M V + M ' V'÷E"--- E ' " = ~ p q .

V und V' nennt Irving F i s h e r Umlaufsgeschwindigkeit des Geldes oder bzw. der Depositen, und es ist klar, dal~, je nach den yon uns ange- nommenen Summierungsgrenzen der Verkehrsgleichung, dieser Begriff auch elnen verschiedenen Inhal t bekommen kann. Wenn V keine will- kiirliche Verh~ltniszahl, sondern tats~ehlich ,,the ratio of the money expended to the average money on hand, that i s . . . a rate of turnover" sein sell, so muB vor allen Dingen der Nenner M mit dem Z~hler E inso. ferne korrespondieren, als ha ersteren nur solche Summanden eingehen, aus welchen die einzelnen Summanden des letzteren entnommen werden ~). Dasselbe gilt auch mulatis mutandis fftr V'. Eine Frage fiir sich ist es natiirlich, ob ein so definiertes V oder V' allen Anforderungen, die die Theorie an den Begriff der Umlaufsgesehwindigkeit stellt, vollkommen gerecht wird. Das, was uns hier unmittelbar angeht, ist, dab t in M oder M', welches obiger Definition genau entspr~che, statistisch offenbar nicht erfaBbar ist. Wenn nun das yon uns auf statistisehem Wege er- rechnete M sich um m-Einheiten yon jenem (unbekannten) M unter- scheidet, welches in den Nenner yon V eingehen sollte, so entsteht hier- durch ein gewisser Fehler, denn es ergibt sich dann die Identit~t: E = M V + m V und desgleichen auch: E' = M" V' + m" V'. Die Ver- kehrsgleichung verwandelt sich somit in:

M V+M" V ' + E " - - E ' " + m V + m " V ' = X p q . M"

x) M' wird aus der Verh~ltniszahl K = ~ ( =, , the ratio of desposits to

money in circulation which, on the average, the public prefers to keep") abgeleitet: Vgl. Money, S. 367.

3) Vgl. Money, S. 17: ,,The velocity of circulation, or rapidity of turn. over, is simply the quotient obtained by dividing the total money payments for goods in the course of a year by the average amount of money in circu- lation by which t hose p a y m e n t s are e f f ec t ed" .

34*

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532 O. Anderson:

Wenn wir R = E " ~ E" ' + m V + m' V' (3)

setzen, so wird uns R als eine Art R e s t g l i e d der Gleiehung erscheinen, d. h. in diesem Falle als die aIgebraische Summe aUer jener ,,Fehler", die in der Verkehrsgleichung dadurch entstehen, dab Kreditgesch~fte und AuBenhandel vorhanden sind, dab die Gr6Ben M und V, M' und V' ihrem Aufbau nach gegenseitig nicht ganz entsprechen usw., und wir erhalten fiir die Verkehrsgleiehung die folgende Form:

M V + M ' V ' + R = ~ , p q . (4)

Betrachten wir jetzt die rechte Seite der Gleichung. Auch 2: P q kann man mit einer beliebigen Zahl T multiplizieren und dividieren:

es ist ja immer T . ~ - ~ = 2 : p q . Irving F i s h e r wghlt nun T derart,

dab der Quotient ~ einen V r e i s i n d e x (P) darsteUt, welcher auch

5konomlmhen S inn hat. Die Zahl der m6glichen Indexformen ist theo- retisch beinahe grenzenlos (vgl. Money, S. 198), wenn man auch beriick- sichtigen muB, daB durch die Form des Z~hlers 2: p q alle jene Indexe ansgeschlossen werden, die auf der Konzeption des geometrischen Durch- schnitts benfllenl). Jedenfalls kaun der Umstand, dab i r g e n d e i n Preisindex sich schlecht mit der Quantit~tstheorie Irving F i s h e r s vereinbaren l~Bt, keinesfalls als ein Beweis gegen letztere angesehen werden: man muB eben einen in seinem Sinne , ,guten" Index w~hlen. Irving F i s h e r selbst sagt hierzu folgendes (Money, S. 199 bis 200): ,,The effect of changed volume of currency or changed velocity of circu- lation on the whole series of prices is complex, and cannot, even in theory, be compressed into one figure representing all price changes, a n y more than a lens can be constructed which will focus in one point all the rays of light reaching it from a given point . . . . So, also, while it seems theo- retically impossible to devise an index number, P, which shall satisfy all of the tests we should like to impose, i t is, nevertheless, possible to construct index numbers which satisfy these tests so well for practical purposes tha t we may profitably devote serious at tention to the study and construction of index numbers . . . . Every form of index number, P, for prices implies a correlative form of index for trade, T, and vice

x) An und ftir sieh w/~re es mSglich, aus den einzelnen F.lementar- gleichungen e=pq auch einen geometrisehe~ Index abzuleiten, aber die Verkehrsgleichung mii~te hierbei eine ganz andere Gestalt annehmen. Die Zahl der Elementargleiehungen sei _N. Man mul~ipliziere die linken Seiten miteinander und ziehe aus dem Produkt, welches dureh das Symbol H be. zeiehnet sei, die Wurzel _Nten Grades. Dasselbe rue man aueh mit den reehten Seiten der Gleiehungen. Beide Ausdrficke miiesen offenbar einander

ide-*i oh g l e i e h s e i n - = " Die rechte Seite ist jetzt leieht auf die gew~mehte Indexform zu

bringen, die linke wftrde jedoeh sehlieBlieh auf die Form M V M ' V ' + t l hinauskommen. Ihr 6konomischer $inn w~re sehwer zu deuten.

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Ist die Quantit~tstheorie statistiseh nachweisbar ? 533

versa. I t is convenient to select T first." Irving F i sher w~hlt fiir T die Form 2: Po q, wobei die po--s die Preise des Basen-Jahres (oder aUgemeiner gesagt, des Basen-Zeitintervalls) darstellen. ,,We observe that trade (or T) is not the value of transactions measured at the a c t u a l prices of t he . . , year, for this value is P T or 2:/9 q, that is the entire right side of the equation. Trade (T) by itself must be divorced from the price level (P); it may be conceived as the value which the total trans- actions would have had if the actual quantities sold had been sold

at the base prices." Dementsprechend ergibt sich fiir P die Form 2:pq r--p0¢ Die Kritik der 8 ,,Tests", die Irving F i she r fiir seine Indexformel einfiihrt (Money, S. 400 bis 402), sowie seine ,,ideale Formel" 1) interessieren ung hier nicht. Es muB jedoch auf zwei Dinge besonders hingewiesen werden. E r s t e n s ist es mSglich (vgl. Money, S. 202), seinen Preisindex einfach als einen Durehsehnittspreis zu definieren. Es geniigt hierzu, wenn wit alle Giiter als in besonderen Einheiten gemessen uns denken: nicht Kilogramm, Meter, Liter nsw. sollen uns als MaBeinheiten dienen, sondern immer nur solche Mengen eines jeden Gutes, welche im Basen- Z e i t - I n t e r v a l l genau eine Geldeinheit (,,einen Dollar") kosten. Die Preise 79 werden nat~lich ebenfalls auf diese neuen Einheiten bezogen. Dann

werden, wie leicht ersichtlich, im Nenner der Formel P = 2:yq alle 790--s ~'Poq

identiseh mit Eins und wit erhalten einfach: P=~r.~P q, d. h. einen

mit q gewogenen arithmetisehen Durchschnitt der /r--s. Desgleiehen wird dann T gleich z~ g - - der G e s a m t z a h l aller neuen Einheiten aller verkauften Giiter. Zwe i t ens miissen wit beriicksichtigen, dab in den Z~tder der Formel fiir P alle Preise und alle Giitermengen eingehen, fiir welehe die Elementargleiehungen e=79q fiberhaupt aufgestellt wurden. Es ist aber praktiseh ganz undenkbar, einen solchen Index zu berechnen, und wir begniigen uns in Wirkliehkeit immer damit, die Preise nur einiger Dutzend, im besten FaUe einiger Hundert ver- schiedener Waren in den Index eingehen zu lassen (vgl. Money, S. 225 ff.). Die Bodenpreise, LShne, Wer~papierkurse u. dgl. bleiben gewShnlich aul3erhalb desselben. Und auch fiir die Waren, die in unseren Index einbezogen werden, beriicksichtigen wit durchaus nicht alle Preise, die im Laufe der Beobachtungsperiode tats~chlich realisiert wurden, sondern nut immer eine geringe S t i c h p r o b e n a u s w a h l aus ihnen. Die B e r e e h n u n g des Fisherschen P re i s indexes is t somi t ein Sonde r f a l l der S t i e h p r o b e n e r h e b u n g . Infolgedessen ist es theo- retiseh vollkommen korrekt, die Summe 2:79 q in zwei Teilsuramen zu zerlegen: die erste, 2~'p q, wird sich auf die Preise aller jener Giiter (Waren) beziehen, fiir welehe Stichproben entnommen werden; die zweite, 27" 79q, enth~lt aUe iibrigen Giiter: z~ 79 q =2:' /9 q +27' p q . Fiir jede

1) Fisher, Irving. The Making of Index Numbers. A SVady of their Varieties, Tests and Reliability. Second Edition. Chap. XI. Boston and New York. 1923.

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534 O. Anderson:

dieser beiden Teflsummen kann man ihr eigenes T und P konstruieren, so dab wir aueh schreiben k6nnen: 2: p q=P T +P' T'. Theoretisch stiinde uns natfirlieh niehts im Wege, wenn wir X p q nicht in zwei, sondern in drei, vier, fiinf oder mehr Teilsummen zerlegen wollten, deren jede sich aber immer auf ve r sch iedene Giitergruppen beziehen miil3te, z. B. Konsumgiiter, Kapitalien, I~hne usw. Dies wfirde uns zu einem System yon partiellen Preisindexen ffihren. Wir woUen abet diese Gedankeng~nge hier nicht welter verfolgen. Es w~re noch zu bemerken, daft nur derjenige Preisindex im Sinne Irving F i shers als , ,gut" angesehen werden kann, bei welchem P T einen guten Repr~sentanten yon 2~ p q darstellt. Dazu ist efforderlich, daft ent-

weder P' T' im Vergleich zu P T klein ist oder dal3 der Quotient P" T" P T in der Zeit stabil bleibt, denn nur in diesem Fall wird das Produkt P T allen Bewegungen der Summe 2: p q folgen. Eine Vorbedingung ist es natiirlich, daB die Stichproben aus der Gruppe 27p q, welche zur Bereclmung yon P T dienen, ihrerseits diese gut repr~sentieren.

So ergibt sich aus unserer Analyse die folgende Verkehrsgleiehung:

M V + M ' V ' + R = P T+P" T'. (5)

Wenn man voraussetzt, dab alle Gr6Ben, die sie enth~lt, die oben um- schriebenen Bedeutungen haben, ist die Ableitung der Verkehrsgleichung logisch unanfechtbar. Sie statistisch verffizieren zu wollen, bedeutet dasselbe, als wenn man das Theorem fiber die Winkelsumme des Drei- ecks dutch Messungen an einzelnen auf dem Papier gezeiehneten I)rei- eeken beweisen wollte. Im Gegenteil, wenn die yon uns gefundenen empirischen Ann~herungen an die Werte M, V/M', V', P und T P' in W~klichkeit keine solche Gleiehung ergeben sollten, dann miiBten sie selbst an Hand der Formel korrigiert werden. Das tut auch iibrigens Irving F i she r in seinem XII. Kapitel, nur dab er dabei vielleicht die Restglieder R und P ' T' nicht genfigend berficksiehtigt.

Der groBe praktisehe Wert, den die Berechnung dieser Werte fiir uns besitzt, erkl~rt sieh daraus, dab erstens nur dadurch die aus leeren algebraisehen Symbolen bestehende Verkehrsgleiehung Fleisch und Blur bekommt und zweitens, dab die Berechnung jener Werte fiir eine Reihe sukzessiver Zeitintervalle (Jahre, Monate) die Dynamik der Entwicklung des Geldapparates offenbart. Leider ist diese Berechnung mit betr~cht- lichen F e h l e r n belastet. Irving F i she r sch~tzt den wahrsche in- l ichen Feh le r (probable error) seiner eigenen Bestimmungen auf 2 bis 3, 5 bis 6, 5 bis 10, ja sogar (vgl. Money, S. 289) auf 10 bis 15%. Es erscheint uns aber, als ob seine Fehlersch~tzungen in einzelnen F~llen noch als zu optimistisch anzusehen w~ren.

Wie bekannt, ist die Quantit~tstheorie Irving F i shers durch seine formale Verkehrsgleiehung noch durehaus nicht erschSpft. Im VIII. Kapitel seines Buches untersucbt er auch die kausa l en Zusammen- h~nge zwisehen den einzelnen Elementen derselben. Seine Analyse bewegt sich hier ganz in den fibliehen Bahnen der abstrakten national-

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar T 535

~konomischen Theorie, und da seine Schlul~ergebnisse jedenfalls nicht als ebenso logisch zwingend angesehen werden kSnnen wie die mathe- matische Ableitung der Verkehrsgleiehung, so kSnnen sic den Gegen- stand einer statistischen Verifikation bflden. Sie werden im letzten Paragraphen des VIII. Kapitels (Money, S. 181 his 182) folgendermaBen formuliert (der Leser mSge das lange englische Zitat entschuidigen, aber es hat keinen Zweck, die markanten Formeln Irving F i shers durch deutsche Wiedergabe zu verw~ssern):

,,We have seen that the various factors represented in the equation of exchange do not stand on the same causal footing. Pr ices are the pass ive e l emen t and the i r genera l level mus t confo rm to t he o the r fac tors . The causal propositions we have found normally, i. e. a f t e r t r a n s i t i o n s are comple ted , are in brief as follows:

1. An increase in the quantity of money (M) tends to increase de- posits (M') proportionally, and the increase in these two (M and M') tends to increase prices proportionally.

2. An increase in the quantity of money in one country tends to spread to others using the same money metal, and to the arts, as soon as the price levels or the relative value of money and bullion differ enough to make export or melting of the money metal profitable and to raise slightly world prices.

3. An increase in deposits (M') compared with money (M) tends likewise to displace and melt coin, and to raise world prices.

4. An increase in velocities tends to produce similar effects. 5. An increase in the volume of trade (the q' 8) tends, not only to

decrease prices, but also to increase velocities and deposits relatively to money, and through them to neutralize partly or wholly the said decrease in prices.

6. The price level is the e f f ec t and c a n n o t be the cause of change in the o the r fac tors .

7. Innumerable causes ou t s ide the equation of exchange may affect M, M', V, V', and the q" s and through them affect the p' s. Among these outside causes are the price levels in surrounding countries.

8. The causation of individual prices can only explain prices as compared among themselves. I t cannot explain the general level of prices as compared with money.

9. Some of the fo rego ing p ropos i t i ons are sub j ec t to s l igh t m o d i f i c a t i o n du r ing t r a n s i t i o n periods. I t is then true, for in- stance, that an increase in the quantity of money (M) besides having the effects above mentioned will change temporarily the ratio of M' to M and disturb temporarily V, V', and the q' s, making a credit cycle". (Sperrdruck iiberall yon uns.)

Das Kapitel schlieBt mit folgenden Worten: ,,The main conclusion is that we find nothing to interfere with the truth of the quantity theory that variations in money (M) produce normally proportional changes in prices". Diese energisehe Formel wird jedoch am Anfang des XI. Kapitels (S. 234) durch folgende S/~tze um einiges abgeschw~cht: ,,Since both the level

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536 0. Anderson:

of prices and the quantity of money in circulation c a n n o t in p r a c t i c e be p e r f e c t l y measured , and since the level of prices depends upon other factors besides the quantity of money,--viz, the quantity of circulating credit, the velocities of circulation of that credit and of money, and the volume of business,--it would be a b s u r d to expec t a n y e x a c t co r r e spondence be tw een v a r i a t i o n s in t he q u a n t i t y of c i r c u l a t i n g m o n e y and v a r i a t i o n s in t he price level; and it is likewise absurd to state, as some have stated, that the absence of exact statistical correspondence proves the absence of a n y influence of quantity of money on price level. Neve r the l e s s , when the volume of money changes greatly and quickly, the effect on prices from this cause is usually so great as to make itself manifest". (Gesperrt yon uns.)

Da die Elemente P ' und T' in die Fishersche Verkehrsgleichung erst yon uns eingefiihrt worden sind, so miissen wir seine Formulierung noch durch folgenden Satz erg~nzen, der iibrigens ganz im Sinne seiner

P" T" sonstigen Ausfiihrungcn liegt: das Verh~ltnis ~ soll sich im Laufe

der Zeit wenig ver~ndern, um fiir kiirzere Zeitzwischenr~ume als praktisch konstant angesehen zu werden. Die Sache liegt bier also ungef~hr ebenso

:M'V' wie beim Verh~ltuis -~-Y: vgl. obcn den crsten Fisherschen Satz.

Voraussetzung ist die retativ geringe Variabilit~t der Umlaufsgeschwindig- keiten V und V'.

Wie wir schon oben auf Seite 525 bemerkt haben, besteht fiir uns die Aufgabe der statistischen Verifizierung der Quantit~tsthcorie darin, um a) zu messen,.bis zu welchem Grade die konkreten Tatsachen durch jene Theorie erkl~rt werden kSnnen, b) zu bestimmen, wie groB die ,,StSrungen" in dieser Erkl~rung anzusehen sind, und c ) z u priifen, ob dieselben Tatsachen nicht durch eine andere Theorie besser erkl~rt werden kSnnten. Diese Arbeit wird eine ganz verschiedene statistische Technik erfordern, je nachdem, ob wi res mit solchen L~ndern zu tun haben, die sich wirtschaftlich schnell entwickeln und in ihrer Verkehrs- gleichung stark variierende Elemente aufweisen (z. B. rasch zunehmende M' - - s und T - - s), oder mit solchen, die sich im Zustande einer chroni- schen wirtschaftlichen Stagnation befinden und infolgedessen fast stabile V, V' und T besitzen. Es gibt LAnder, wie z. B. die Vereinigten Staaten, wo die Komponente M' unvergleichlich grSl~er als M i s t , und wieder andere, wie etwa Bulgarien, wo M" im Vergleich zu M geradezu ver- schwindet. Die Aufgabe der statistisehen Verifizierung der Quantiti~ts- theorie wird nur dann als endgiiltig gclSst erscheinen, wenn der Geld- umlauf und die Preise, wenn nicht in allen L~ndern der Welt, so doch wenigstens in allen typischen L~ndern, geniigend statistisch durch- ]euchtet sein werden, was natiirlich die Kr'afte eines einzelnen Forschers bedeutend iibersteigt.

Es soil an dieser SteUe besonders unterstrichen werden, dal~ es wiinschenswert w~re, die Arbeit schon jetzt auf eine breitcre Basis zu stellen und mehr Aufmerksamkeit gerade Li~ndern mit stagnierender

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar ? 537

Wirtsehaft und primitiveren WirtsehaftMormen zuzuwenden, denn nut bier k~nn man hoffen, auf klarere Verh~ltnisse zu stoBen, die dutch weniger st6rende Umst~nde verdunkelt werden und daher mehr an ein n a t u r w i s s e n s e h a f t l i e h e s E x p e r i m e n t e r innern . Manehe Komponenten der Verkehrsgleiehung, die in Amerika ~uBerst variabel sind, werden z. ]3. in Bulgarien geradezu als Konstanten erseheinen. Vorbedingung ist natiirlich, daB das verfiigbare statistische Material geniigend zah|reich und zuverl£ssig ist. Ferner ist zu beachten, dab die Variabilit£t und insbesondere die st~ndige Evolution dieser Elemente desto weniger st6rend in Erscheinung treten wird, je kfirzer der Zeit- raum ist, den wir zu bearbeiten trachten. In dieser Hinsicht wird es h~ufig vorteilhafter sein, Monatsdaten statt Jahresdaten zu bearbeiten, denn hierdurch werden die verfiigbaren Beobachtungsgruppen ver- zwSlffacht, und schon eine kurze Periode yon sagen wir 6 bis 10 Jahren wiirde die Anwendung der feineren statistischen Methoden gestatten.

Fiir derartige Untersuehungen kann die Verkehrsgleichung auf eine andere, und zwar auf eine mehr vereinfachte Form gebracht werden, die die Kausalzusammenh~nge in dersetben klarer zutage treten l~Bt. Bezeichnet man n£mlich fiir die gesamte zu untersuchende Zeitperiode ein gewisses m i t t l e r e s Verhgltnis yon M' V' zu M V durch b und die Abweichung hiervon fiir den gegebenen i ten Zeitabschnitt (Jahr, Monat)

M'i V'~ durch ri, so kann man schreiben: ~ ---- b + ri, oder M'iV'i = b MiVi +

+ Mi Viri, wobei b fiir die ganze Zeitperiode konstant gehalten wi~d und ri flit die einzeluen Zeitabsehnitte bald positiv, bald negativ aus-

'T< P t i___b,+r,i oder fallen kann. Desgleichen schreiben wir noch: Pt Ti

P~ T'~=b' Pi I'i + P~ T~ r'. Setzt man diese GrSBen in die Verkehrsgleichung (5) ein, so erh~lt

man nach einigen leichten Umformungen folgenden Ausdruck:

3 / / V i ( l + b)+ (M~ Viri+ Rt)= Pi Ti (l +b')-t- Pi Tir' i oder:

Mi4. Mi I r i r i+ l{ i - - ( l + b ' ) . T i . p i + 1 . T__A.pir,. ]7i(l + b ) ( l + b ) Vi l + b Vi

Bezeichnet man noch fiir die gew/~hlte Zeitperiode ein gewisses T b" Ti mittleres Verh~ltnis T- durch und fiihrt die Bezeichnung ein: ~ =

- :b"+r"i , so erh~lt man hieraus:

M i + k t ~ V i n + l { i = ( l+b ' ) b " P i + ( l+b ' ) P i t " t + 1 T~ r' V i ( l + b ) ( l + b ) (1 + b-------)" (l+b-------~'-~iPi i.

oder: Mi = (I + b') b" [ ( l + b ' ) P i r " / Ti Pir', M~ Vi ri + th ]

l + b " P s + l + b + ( l + b ) Vi (1 + b) Vt "

Der Ausdruek ( l+b ' )b" i s t bei uns eine Konst~nte, die wir mit K l + b

bezeichnen wollen. Der in eekige Klammern gesetzte Ausdruok hingegen

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538 O. Anderson:

besitzt in jedem seiner Summanden ein Element (r'i, r'i, ri oder R~), welches bald positiv, bald negativ ausfaUen kann und so etwas wie eine ,St6rung" darstellt. Wir fiihren daher die summarische Bezeichnung ein:

(1 + b') Ptr'~ TiPir' i Mi r~r,:+ Rt (6) ~i= l + b (l + b) Vt (1 +b)Vi

und erhalten hierdureh ffir die Verkehrsgleiehung folgende vereinfachte Form:

M~= K P~ +~ . (7)

Diese Formel ist, vom formal mathematisehen Standpunkte aus gesehen, immer richtig, doch v o l k s w i r t s e h a f t l i c h e n Sinn erh~lt sie nur dann, wenn die oben eingefiihrten Hypothesen tats~ehlich zu- treffen. Wir werden welter unten zu ihnen zuriickkehren. Vorl~ufig genfigt es, festzustellen, dab unter gewissen Bedingungen zwischen dem Preisindex Pt und der Geldmenge Mi, die Beziehung elnfacher Pro- portionalit~t bestehen kann, die nur durch die ,,St6rung" ~i beein- tr~ichtigt wird, denn aus (7) folgt unmittelbar:

1 ~i P~ = ~ M, (8) K"

Die Erkl~rung des Meehanismus , der P mit M verbindet, ist Aufgabe der theoretisehen National6konomie. Miehael is weist mit Reeht daxatff hin, dab der Parallelismus in den Bewegungen des Geldes und der Preise sieh aueh mit dem Banking.Prinzip vollkommen vertrggt: nur dab dort die Preise nnd nieht das Geld als agens movens angesehen werden. In dieser Hinsieht kann eine statistisehe Untersuehung fiber die zeitliehe Reihenfolge der beiderseitigen Einwirkungen entseheidend sein. Wgre es z. B. mSglieh, naehzuweisen, dab die Ver~nderungen der Preise denjenigen des Geldes in der Zeit folgen, und zwar in einem Abstande yon, sagen wit einigen Monaten (was sieh nieht nut mit der Theorie Irving Fishers , sondern auch mig den Ansiehten yon Mises, Wiekse l l und H a y e k gut deekt), so wiirde die Existenz eines derartigen ,,Lag" die Position der Banking-Theoretiker stark ersehiittern, denn letztere mfiBten dann offenbar die Annahme einfiihren, dab die Geld. mengen sich sozusagen nach dem Sehatten der zukiinftigen Preise richten. Damit ist abet natiirlich nieht gesagt, dab ein soleher Iga~hweis leieht zu fiihren w/ire!

Wie dem auch sei: kann es einmal bewiesen werden, dab auf die Geldzirkulation eines gewissen Landes die Formel (7) oder (8) der Ver- kehrsgleichung angewandt werden kann, so besteht die Aufgabe des Statistikers darin, auf Grund des ihm vorliegenden Tatsaehenmaterials folgendes festzustellen:

a) ob sieh in Wirklichkeit ein ungef/~hrer Parallelismus in den Bewegungen yon M und P konsgatieren l~Bt;

b) ob nicht ein ,,Lag" in dieser Bewegung zu erkennen ist, und wenn ja, so in weloher Riehtung und yon welcher mittlerer Dauer; es

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Ist die Quantit~tstheoric statistisch nachwcisbar ? 539

ist mSglich, daft sieh hierbei ein Zusammenhang zwischen einem Pr~is- index und Geldmengen yon m e h r e r e n ihm vorhergehenden Monaten herausstellt; diese Feststellung wfirde mit einigen neueren Quantit~ts- theorien sehr gut harmonieren; im Gegenteil, ein Zusammenhang zwischen der Geldmenge eines bestimmten Monats und m e h r e r e n ibm vorher- gehenden Preisindexen wiirde ganz dem Banking-Prinzip ent- sprechen;

c) bis zu welchem Grade der Parallelismus in den Bewegungen yon M und P durch andere s t S r e n d e E inf l i i s se beeintr~chtigt und fiberdeckt wird.

Es dfiffte sehwer zu bestreiten sein, dab die LSsung dieser s t a t i - s t i s c h e n Fragen yon betr~chtlicher Bedeutung fiir die gesamte Wertung der Quantit~tstheorie Irving F i she r s w~re. Ehe wir jedoch zu ihnen fibergehen, wird es notwendig sein, noch eine Zeitlang bei der Darstellung der anzuwendenden statistischen Methoden zu verweilen.

Um die Fragen a), b) und e) zu beantworten, mfissen wir offenbar fiber eine Re ihe der sukzessiven M-s ffir einen gewissen Zeitraum und fiber eine ebensolche Reihe der zugehSrigen P-s veffiigen. Nun sind uns aber die w a h r e n Werte beider GrSBen unbekannt, da bloB die wenigsten Elementargleichungen e ~ / statistisch registriert werden. Statt der wahren Werte stehen uns nur ihre e m p i r i s c h e n An- n ~ h e r u n g e n zur Verfiigung. Ffir d~s ire Zeitintervall habe z. B. M den Wert Mi angenommen. Statt dieses tats£ehlich existierenden, aber uns unbckannten Wertes erreehnen wir auf Grund der uns vor- liegenden Daten fiber die umlaufende Geldmenge, auf Grund der Sch~tzungen iiber die Mengen des im Auslande zirkulierenden Geldes usw. eine etwas andere Zahl ~ . Die Differenz ~ - - M ~ bezeiehnen

durch e/. Dieses e4 ist offcnbar der F e h l e r unserer Bereehnung. Er kann den Wert 0 annehmen, wenn wir es zuf~llig riehtig getroffen haben, doch ffir gewShnlich wird er bald positiv, bald negativ ausfallcn. Die Saehlage ist hier prinzipiell genau dieselbe, als wenn wir Messungen zur Bestimmung einer physikalisehen GrSBe (z. B. des Monddureh- messers oder der Siedetemperatur eincr gegebenen Fliissigkeit) unter- nommen und hierbei Beobachtungsfehler begangen h~tten. Und gegen die Anwendung der sogenannten Fehlertheorie werden in d iesem Falle wohl schwerlieh prinzipielle Einw~inde erhoben werden kSnnen. Wh" vermSgen uns vorzustellen, da{3 der Fehler in unserem Falle versehiedene GrSBen, sagen wir: die Wer~e e', e r', e'" usw. annehmen k S n n t e (in Wirklichkeit hat er einen yon ihnen aueh tats~ehlich angenommen, wir wissen nur nicht, welchen), und dab ferner jedem solchen Werte eine ihm eigene Wahrscheinlichkeit seines faktisehen Auftretens zu- erkannt werden k6nn te , z. B. die Wahrscheinlichkeit p' fiir e', p" fiir e", p'" fiir e'" usw. Die Gesamtheit aller iiberhaupt mSglichen Werte, die der Fehler im gegebenen Falle annehmen kSnnte, zusammen mit den zugeh6rigen Wahrscheinliehkeiten nennt man das Ve r t e i l ungs - gese tz des Fehlers oder einfach das F e h l e r g e s e t z . Und eine Gr6i3e,

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die verschiedene Werte mit versehiedenen Wahrscheinlichkeiten an- nehmen kann, heil]t e i ne z u f g l l i g e Var i ab le1 ) .

Aus dem Verteilungsgesetz lgBt sich auch ein anderer kapitaler Begriff der mathematisehen Sta~istik ableiten, den wir jetzt einfiihren mfissen, n~mlich der Begriff der m a t h e m a t i s c h e n E r w a r t u n g . Als mathematische Erwartung einer zufglligen Variablen bezeichnen wir die Summe aller Produkte, die aus ihren mSglichen Werten und den zugehSrigen Wahrscheinlichkeiten gebildet werden. Die mathematische Erwartung wird gewShnlich durch das Symbol E bezeiehnet (welches natiirlich mit dem E aus unserer Formel (1) nicht verweehselt werden daft). E e4 heiBt also soviel als die mathematische Erwartung des Fehlers e+

Zufolge obiger Definition ergibt sich also:

E e4 = e' ~' + e" p" + e '" p ' " + . . . . ,

wobei die Summe sich fiber aUe fiberhaupt m6glichen Werte yon e4 zusammen mit den zugehSrigen Wahrscheinlichkeiten erstreckt. Der Begriff der mathematisehen Erwartung erweist sich ffir die gesamte statistische Theorie als ein Begriff yon auBerordentlicher Tragweite. Auf ihm beruht ein besonderes mathematisches Kalkfil - - die soge- nannte Methode der mathematischen Erwartungen - - , die sich als eines der besten und zugleich elegantesten Mittel der modernen mathematischen Statistik erwiesen hat. Um den Begriff der mathematisehen Erwartung in unsercm Falle auch dem Laien verstgndlicher zu machen, wollen wir seine nahe Verwandtschaft mit dem Begriffe des gewogenen arithme- tischen Durehschnittes aufzeigen. Zur Feststellung der wahren Gr6Be yon Mi seien im ganzen N verschiedene Bestimmungen untcrnommen worden, die alle mit grSBeren oder geringeren Beobachtungsfehlern behaftet waren. Hierbei sei n ' real der Fehler gleich e' gewesen, n ' m a l

gleieh e ' , n ' " m a l gleich e '" usw. Die Summe n ' ÷ n " + n " ' + . . . . ist offenbar gleieh N. Der gewogene arithmetische Durchschnitt der Fehler, die bei unseren N Bestimmungen begangen wurden, ist dann dutch folgende Formel ausgedrfiekt:

n ' e ' + n " e " ÷ n " e " + . . . 1 , n " ¢ " + n ' " e ' " + . . ) ~" + n " + n " + . . . = 7 ( n e ' + • =

9b" ~bP" ~ t l . ~ ~"'" itr = -~- e' ÷ ---~- - ~ - e ÷ . . .

1) Vgl. hierzu und ffir die weiteren Ausfiihrungen racine Monographie: ,,Die Korrelationsrechnung in dcr Konjunkturforschung, Ein Beitrag zur Analyse yon Zeitreihen". (VerSffentlichungen der Frankfurter Gesellschaft ffir Konjunkturforschung, Heft 4), S. 15 bis 22. Bonn. 1929. Im weiteren werde ich dieses Buch einfach als ,,Korrelationsreehnung" zitieren. Vgl. ferner noch meinen Vor~rag ,,Theory of Probability and Economic Research" auf der 2. Internationalen Konferenz der Agrar6konomisten, gehalten im August 1930 an der CorneU-Universit~t in Ithaca, New York. Leider haben sich in den gedruckten Text dieses Vortrages einige unangenehme Fehler eingeschlichen.

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar ? 541

Der echte Bruch -~- ist nun d ie e m p i r i s c h e H ~ u f i g k e i t des fr

Fehlers e' 1), _~_ __ die empirisehe H~ufigkeit des Fehlers e" usw. Ersetzt

man jetz~ in unserer Formel die empirischen H~ufigkeiten dutch die- jenigen mathematisehen Wahrscheinlichkeiten, denen sie nach dem Gesetze der gro~en Zahlen mit zunehmender Beobachtungszahl zu-

streben, d. h. mit anderen Worten: ersetzt man ~ - d u r c h p', - ~ dureh p", ~ttr ~ - dutch p ' " usw., so erh~lt man wieder E e4, die mathematische Er-

wartung des Fehlers e~. Is t bei unserer Bestimmung der empirischen Ann~herung ~ an die wahre GrSBe Mi kein systematischer Fehler unterlaufen, so werden sieh die Fehler im gewogenen Durchschnitte derselben nach dem Gesetze der groBen Zahlen ungef~hr kompensieren. Der Gedanke liegt daher nahe, fiir diesen Fall aueh die Beziehung Ee4=O z u p o s t u l i e r e n ~). Wir definierten oben den Fehler e4 dureh die Gleichung e 4 = ~ s - Ms. Letztere l~Bt sich aueh als

~ = M s + e i (9) schreiben. Sind zwei zuf~llige Variable unter allen Umst~nden einander gleich, so werden auch ihre mathematischen Erwartungen gleich sein, und folglich ist E ~ = E (Ms ~ e~).

Aus der Theorie der mathematischen Erwartungen ist es bekannt, dab die mathematisehe Erwartung einer Summe immer gleich der Summe der mathematischen Erwartungen ihrer Summanden ist. t t ieraus ergibt sieh:

E ~ s = E Ms+E es.

Die mathematisehe Erwartung einer konstanten GrSBe, deren mathematisehe Wahrseheinliehkeit offenbar Ms 1 anzusetzen ist, ist gleieh dieser GrSBe selbst. Auflerdem haben wir soeben angenommen, dab E e~ gleieh O ist. Somit verwandelt sich unsere Gleiehung einfaeh in

E~Y~=Ms. Die mathematisehe Erwartung unserer empirisehen Ann~herung an

die ,,wahre" Geldmenge Ms erweist sieh als gleieh dieser Geldmenge. Wir kSnnen unseren Satz aueh umkehren und folgende Forclerung

aufstellen: E i n e g u t e e m p i r i s e h e A n n ~ h e r u n g a n d ie g e s u e h t e

1) Eine Urne enthalte m weil]e und ~ schwarze Kugeln. Es seien aus ihr im ganzen 10 Kugeln gezogen worden, wovon 7 sieh als weil~ und 3 als

schwarz erwiesen. Dann ist ~0 die e m p i r i s e h e H ~ u f i g k e i t einer w e i ~ e n

Kugel bei unserem Experiment, ihre ma~hematische Wahrscheinlichkeit wird

hingegen dureh den Brueh ~--~-~ dargestellt.

~) Wie es sieh weiter unten erweisen wird, ist ffir uns auch jener Fall unseh~lieh, wo Eel nieht gleich Null, sondern ffir die ganze Beoba~ht~ngs- reihe blol] konstant bleibt.

Page 20: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

542 O. Anderson:

G e l d m e n g e Mi i s t e ine s o l c h e G r 6 B e ~ , d e r e n m a t h e m a t i s e h e E r w a r t u n g g e n a u d e n W e f t Mi e r g i b t .

Wenden wir uns jetzt dem Preisindex Pi zu. Oben auf Seite 533 haben wir uns iiberzeugt, daB, w e n n die einzelnen Giiter nicht in Meter, Kilogramm, Liter usw. gemessen werden, sondern immer nur solehe MaBeinheiten gebraucht werden, die in der Basenperiode genau eine Geldeinheit (einen Dollar, einen Leva usw.) kosteten, man dann fiir den Preisindex Irving F i s h e r s die einfache Formel erhglt:

Zpq P~= r,q"

Hierbei beziehen sieh die Preise p ebenfalls immer nur auf solche Mengen, die in der Basenperiode eine Geldeinheit kosteten. Im Bulgarischen Basenjahr 1914 kosteten z. B. 100 kg Weizen im GroBhandel 19,70 Leva.

100,O0 Unsere MaBeinheit wird sich somit als ~ kg---5,08 kg &geben,

denn soviel Weizen kostete damals genau 1 Leva. Im September 1930 kosteten hingegen 1O0 kg 313,00 Leva. Start dieser 313,00 Leva miissen

313,00 313,00 wir als Preis unserer neuen Einheit die Summe lo0,o0 "5,08 --- 100,-----~ ×

100,00 15,89 Leva in die Indexformel einsetzenl). Durch diese Trans- × 19,7-----0-=

formation erh~lt die Summe 2:q einen logischen Sinn: sie wird zu einer Gesamtanzahl yon Dingen, jedes yon welchen im Basenjahre genau eine Geldeinheit kostete, d. h. zu einer Anzahl yon Geldwerten, oder letzten Endes zu einer G e l d s u m m e .

In entwiekelter Form lgBt sich dann die Preisindexformet wie folgt darstellen:

q~ q3 = + + + . . t ~

wobei die Summierung sich auf alle Giitermengen q und alle Preise p er-

streckt, die in die Summe 2:/~/iiberhaupt eingingen. Die Quotienten q~ q~ ,vq, z~q ,

q.~ usw. besitzen hier den Charakter yon mathematisehen W a h r s e h e i n -

l i e h k e i t e n , q2 ist z . B . die Wahrseheinliehkeit dafiir, unter den

Einheiten, die zusammen Xq bilden, eine Einheit zu treffen, die den

Preis P2 besitzt; mit anderen Worten, ~a ist in diesem Sinne die Wahr-

scheinlichkeit des Vorkommens yon p~. Da die Gesamtheit der in Pi eingehenden p-s alle Preise enthglt, die in der entsprechenden Periode in derjenigen Warengruppe vorkamen, welehe zur Bereehnung des Preis-

1) Um die traurige Lage zu verstehen, in der sieh die bulgarisehe Land- wirtschaft zur Zeit befindet, miissen wit berficksichtigen, dab die Parit~t des heutigen Leva gegeniiber dem Vorkriegsleva 26,71 ausmacht: der Weizen- produzent erhielt also im September v. J. nut 59,5% des normalen Vorkriegs- preises. Und im November betrug der Weizenpreis nut noch 49,2% des Goldpreises yon 1914!

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Is t die Quantit/4tstheorie statistiseh nachweisbar~, 543

indexes fiberhaupt hinzugezogen wird, so entpuppt sieh Pi offenbar als eine mathematische Erwartung su i generis des Preises T1). In die empirischen Ann/iherungen an den wahren Index Pi gehen demgegeniiber durchaus nicht aUe faktisch realisierten Preise ein. Der Preis Pl sei z. B. n lmal registriert, P~ n~mal usw. Der empirische Index ergibt sich dann am einfachsten aus der Formel

~I ~2 ~b3 ~ i = P l ~ + P2~-W + P s ~ + . . -

Die echten Brfiche nl n2 na 2:n' 2:n' 2:n usw. sind offenbar empirische Haufig-

keiten, die den mathematischen Wahrscheinlichkeiten ql q~. q3 .F,q' X q ' Xq usw.

bei wa~hsendem ~:n zustreben. Somit ist es in der Ta t erwiesen, dab die mathematische Erwartung einer derartigen (guten) empirischen Annaherung ~ an den wahren Index P eben mit demselben identisch ist. Anderseits, wenn wir wiederum

?~i = P i + ei (10)

setzen, so ergibt sich hieraus:

E ~ = E (~3i - - P i ) = E ~ i - - P i = P , - P i = O .

Die mathematisehe Erwartung des Bestimmungsfehlers yon Pi ist gleieh NullS).

1) Um diesen Satz zu beweisen, kann man aueh direkt yon der Formel

Pq ausgehen. Es ist ja: 2:Po q

_2_._P. P" P"q"o P" P"o q"' P i = 2:p______qq = 2 : Po Poq _ P' __P'oq' + P"o + P 'o - - + "'" X po q X po q P'o X Po q Z po q ,V, Po q

po{i)q (i) . . . . . . . Die Quotienten veto Typus ~ kSnnen eoenmus als Wahrseheinliehkeiten

interpretiert werden: Pi ist dann die mathematisehe Erwartung der Index-

zahl P Po"

~) In unserer Konstruktion bezieht sich die mathematisehe Erwartung auf e inen b e r e i t s vol l s t /~ndig v o r h a n d e n e n T a t s a e h e n k o m p l e x : im Laufe des beobaehteten Zeitintervalls (Monat, Jahr) wurden wirklieh aUe jene Giiterverk/~ufe abgeschlossen, die in die Verkehrsgleiehung eingehen. Und ein Teil yon diesen wurde hierauf auch noeh zur Berechnung der empi- rischen Ann/~herung an den Preisindex benutzt. Veto Standpunkte der Wahrscheinliehkeitsrechnung kann man die Saehe so auffassen (oder ge- gebenenfalls den empirisehen Index so konstruieren), dab die ganze Prozedur einem ,,Urnenexperiment" genau entsprieht. Man denkt sieh eine Urne mit vielen Zetteln, auf denen je einer der faktisch vorgekommenen Preise jeder Einheit aufgeschrieben ist, und stellt sich vet, dag hieraus jene Zettel gezogen werden, die zur Berechnung des Preisindexes benutzt werden. Bei einer solehen Konstruktion ist sehwerlieh ein prinzipieller Einwand gegen die Einffihrung des Begriffes der mathematisehen Erwartung miiglich.

Page 22: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

544 O. Anderson:

Wit sind also zu folgenden Ergebnissen gelang~: W i i n s e h e n w i r e m p i r i s e h e A n n ~ h e r u n g e n a n d i e GrSl3en M1, Mz, M z . . . . u n d P1, Pc, P a , - - . zu f i n d e n , so i s t es v o r t e i l h a f t , s i c d e r a r t

Etwas anders erseheint die Sache im Falle der Bestimmung der empi- rischen Ann~herung an Mi. Doeh auch bier genfigt, naeh unserer Meinung, der Hinweis darauf, daI3 ffir das gegebene (verflossene) Zeitintervall eine genau definierbare mittlere Geldmenge M~ tats~chlich bestanden hat. Die Sachlage ist, veto Standpunkte der t~ehlertheorie gesehen, genau dieselbe wie bei jeder Bereehnung einer physikalischen GrSfle, die mit Beobachtungs- fehlern verbunden ist. Der Umstand, daft ftir jedes einzeIne Mi nur eine einzige Bestimmung gemaeht wird (worauf L o r e n z besonders hinweist; vgl. seinen Artikel ,,Der Begriff der mathematisehen Erwartung in Statistik und KonjunkhL~forsehung" in den Jahrbfiehern for NationalSkonomie und Statistik, 77. Bd., 6. Heft, S. 832 bis 843. Juni. 1930), ist dabei ganz irrelevant, denn aueh bei physikalisehen Messungen kann derartiges nieht selten vor- kommen. Praktis th wiehtig ist, da~ aueh wit tiber eine R e i h e yon ver- schiedenen !~/ (und folglich auch tiber eine R e i h e yon verschiedenen e/) verffigen.

Die Konzeption der mathematischen Erwar~ung l~i3t aber aueh eine tiefere Deutung zu. Gegeben sei eine Urne mit M weiflen und Z r schwarzen

M Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit einer weiBen Kugel ist gleich dem Brueh M÷------~"

Aus der Urne seien m weiBe und n schwarze Kugeln gezogen worden. Der

Bruch ~ - - ~ ergibt dann offenbar die empirische H~ufigkeit einer weii3en

Kugel bei unserem Experiment, die ihrerseits als eine empirische Ann~herung M

an die ~rahrscheinliehkeit ~ angesehen werden kann. Wiederholen wir

abet das Experiment und ziehen aus den bereits gezogenen m+n.Kugeln

nochmals m" weii3e und n" sehwarze Kugeln, so ist dann ~ ebenfalls eine

empirische Hiiufigkeit und als die ihr entsprechende mathematische Wahr-

scheinliehkeit ~ritt jetzt offenbar ~ auf, denn man hat die Kugeln nut

aus der Gruppe (m + n) gezogen. Letzterer Brueh kann folglleh je naoh den Umsti~nden bald als empirische H~ufigkeit, bald als mathematisehe Wahr-

~ r scheinlichkeit auftreten, und die empirisehe H~ufigkeit ~ kann ihrerseits

m M als empirische Ann~herung sowohl an ~ als auch an ~ angesehen

werden. Ein ebensolches Dol)pelschema vermag man aueh ftir die mathema- ¢ische Erwartung aufzubauen. Gegeben sei cine Urne mit _h r numerierten Zetteln. Der arithmetische Durchsehnitt aus allen Nummern der Urne ist offenbar gleich der mathematisehen Erwartung einer Nummer. Zieht man aus der Urne n Zettel, so ist ihr arithmetiseher Durchschnitt blo13 eine empirische Ann~herung an obige mathematisehe Erwartung. Wenn man jedoch aus den gezogenen n Zetteln wiederum n" Zettel zieht und ihren Durehsehnitt berechne~, so ist gegeniiber diesem der vorige Durehsehnitt sehon eine mathematische Erwartung.

Um auf unseren Fall zurfickzukehren: aueh uns steht veto Standpunkte der Mathema~ik niehts im Wege, wenn wir unser PI, an welches wit eine

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Ist die Quantithtstheorie statistisch naehweisbar ? 545

ZU k o n s t r u i e r e n , d a b i h r e m a t h e m a t i s e h e n E r w a r t u n g e n die g e s u e h t e n Gr S l ] en e r g e b e n . Es sei gerne zugegeben, dab die Ein- fiihrung dieser Konzeption eine gewisse ,Sti l isierung" der Wirklichkeit darstellt. I n der Praxis ist die Auswahl der Formeln, die zur Berechnung yon M und insbesondere yon P angewandt werden kSnnen, sehr groB, und es ist wirklieh keine leichte Aufgabe, in jedem konkreten Falle nachzuweisen, dab die mathematische Erwartung der yon uns gewi~hlten Formel tatsiiehlich das gewiinschte Resultat ergibt. Doeh auf derartigen ,,Stilisierungen" beruhen ja i iberhaupt fast alle praktisehen Anwendungen der exakten Wissenschaften: bei Feldmessungen berufen wir uns z .B. ruhigen Herzens auf Theoreme der Geometrie, obgleich wir in Wirk- liehkeit keine einzige gerade Fl~ehe und keine einzige geometrische Linie vor uns haben; wir ffihren den Begriff des Differentials (oder sogar des ,,statistisehen Differentials") in die mathematisehe National- 5konomie ein, obgleieh wir dort i iberhaupt keine infinitesimalen GrSl~en besitzen usw. Der Gewinn, den wir dureh die E ~ u n g des Begriffes der mathematischen Erwartung erzielen, besteht haupts~chlich in der

empirische Ann~herung in ~i gefunden haben, selbs~ als e'me variable GrSBe ansehen, die ihrerseits eine mathelnatische Erwartung besitzt. Im Laufe der gegebenen Beobachtungsperiode seien insgesamt L~ r verschiedene Preise realisiert worden, die alle in die Formel der Verkehrsgleichung einbezogen sind. Die atlgemeinen Ursachen, die damals auf die Preise einwirkten, kSnnten aber bei anders ausgefallenen ,, StSrungen" auch andere Preise bewirkt haben. Somit k S n n t e n aueh andere Preise vorgekommen sein, k S n n t e n aueh andere Waren in anderen Mengen zum Verkaufe gelangt sein. Die zuf~llige Konstella¢ion der ,,stSrenden Einfliisse" hat die tats~chlieh zustande ge- kommene Kombination 2:pq hervorgebraeht. Mit dieser sin4 aber aUe gewesenen MSgliehkeiten nieht erschSpft gewesen, denn es bestand damals fiir sie ein breiterer S p i e l r a u m .

Welehe Auffassung der mathematischen Erwartung fiir den gegebenen Fall besser paBt, ob die ,,oberfl~chliehere" oder die ,,tiefere", hat der national- 5konomisehe Theoretiker zu entseheiden, und zwar haulats~ehlieh woht im Zusammenhange damit, welche Auffassung sich als die fruchtbarere erweist und zu theoretiseh interessanteren Resultaten flihrt. Die wissenschaftliche Forschung kann ja mit einem Spaziergang in einem Irrgarten vergliehen werden: man weiB niemals im voraus, wie wei~ man auf einem beschrittenen Wege gelangt und ob nieht gerade der unseheinbarste Steg sehlieBlich zum Ausgange hinausfiihrt.

Fi i r u n s e r e w e i t e r e n A u s f i i h r u n g e n genf ig t j e d e n f a l l s die , , o b e r f l ~ e h l i c h e r e " K o n z e p t i o n v o l l k o m m e n .

Zum SehluB sei noch ganz kurz bemerkt, dat~ der Umstand, dab bei uns die mathematische Erwartung mit der Zeit evolutioniert, versehiedene Verallgemeinemmgen des Begriffes der mathematisehen Erwartung zul~Bt: einerseits kann man yon einer g l e i t e n d e n m a t h e m a t i s c h e n E r w a r t u n g spreehen (als Analogon der gleitenden Korrelation vgl. ,,Korrelations- rechnung", S. 86), anderseits aueh dureh best~ndiges Verkftrzen des Zeit- raumes, auf den sieh die mathematisehe Erwartung (z. B. des Preisindexes) bezieht (ein Jahr, ein Monat, eine Woehe, ein Tag usw.), zum Begriffe der m a t h e m a t i s e h e n E r w a r t u n g im Z e i t d i f f e r e n t i a l gelangen.

zeitschr, f. NationalSkonomie, II. Bd., 4. H. 35

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546 O. Anderson:

M6gliehkeit, alle mathematischen Bereehnungen leiehter, eleganter und sicherer zu machen, und dieser Gewinu ist so betr~ehtlieh, dab die ,,Stilisierung" rtflfig mit in den Kauf genommen werden karm.

Wit vermSgen jetzt zu der vereirffaehten Form der Verkehrsgleiehung zurfickzukehren, die wit oben in Formel (7) aufstellt~n:

M f = K P~+vi.

Wie wit wissen, hat diese Gleiehung nut dann einen klaren volkswirt- sehaftliehen Sinn, wenn die Annahmen Irving F i s h e r s fiber die Kausal- zusammenh~nge zwisehen den einzelnen Elementen seiner Verkehrs- gleiehung tats~ehlieh zutreffen, denn nut dann karm die komplizierte Funktion yon V, V', M', R, T, P, T' und P ' , die wit oben in Formel (6) dutch das Symbol ~ bezeiohneten, als .eine Art , ,St6rung" oder, wenn man will, ,,Beobaehtungsfehler" angesehen werden. Es folgt aus dem allgemeinen Geiste unserer Ausffihrungen fiber die Konzeption der mathematisehen Erwartung, dab wit die Annahme machen, die mathema- tische Erwartung dieser , ,St6rung" sei Null: E~?~=0. Wie leicht er- sichtlich, wfirde dies dann der Fall sein, wenn die mathematischen ]~r- wartungen der Elemente r~, r'i, r"i und Rt in ~?i ebenfalls versehwinden, d. h. wenn:

e e .

Er~ = E Mi Vi

Er'~ = E P" i T'i P~T~ b ' = 0 , (11)

E r " , = E ~ - - b " = O ,

ER~ = E (E"i - - E ' " i + mi Ir~ +m' t V'O = O.

Der Sinn dieser Bedingungsgleiehungen wiirde in folgenden An- nahmen resultieren:

a) Es existiert fiir den ganzen Zeitabsehnitt, w~hrend welehem wit die Bewegung der Geldmengen und der Preise beoba~hten, ein

t t ° M~V~ konstantes Verh~ltnis ~ , das yon der Ordnungsnummer i unabh~ngig

ist; die Abweichungen yon diesem VerhMtnis werden nut dureh zuf~llige St6rungen hervorgerufen 1) ;

~ i . p.

b) es existiert daselbs¢ auch ein konstantes VerhMtnis Pi T~' Ti

c) desgleiehen ein konstantes VerhMtnis --if:.; v~ d) was das Restgtied anbetrifft, so daft es nut zuf/fllige S e h w ~ u n g e n

um 0 oder um eine konstante GrSBe enthalten. Die Bedingung a) ist z. B. dann erffillt, wenn bei konstanten Umlaufs-

geschwindigkeiten V und V' auch ein konstantes Verh~ltnis zwischen

1) Diese Formulierung gilt fOx den Fall der ,,oberfl~chlieheren" Kon. M'~ V'~ M'V'

zeption der mathematisehen Erwartung, wo wit einfa~h ~ Mi V~ -- M V

annehmen. Die ,,tiefere" gibt uns noeh einen gewissen weiteren Spielraum.

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Ist die Quantit~tstheorie statistiseh nachweisbar ? 547

M' und M existiert: vgl. oben auf 8eite 535 den ersten 8atz Irving Fishers . Die Bedingung e) entsprieht dem fiinften Satz Irving Fishers . Die Bedingung b) ist erffillt; wenn der Preisindex P und sein Korrelat T gpt gew~hlt, d. h. in jenem Sinne ,,repr~sentativ, sind, dab ihr Produkt P T strikt die Bewegungen der voUen Summe 2:/x/ wiedergibt, oder, was dasselbe ist, einen konstanten Bruehtefl yon 2:pq ausmaeht. Die Be- dingung d) wird dann v o l l k o m m e n erfiillt sein, wenn w~hrend jedes einzelnen Zeitabsehnittes die Seh6pfung der Buehkredite E" gleieh ihrer AuslSsehung E'" bleibt (was ffir eine statische oder stagnierende Volkswirtsehaft wohl angenommen werden kann) und wenn auBerdem in den Umlaufsgeschwindigkeiten V und V" die Nenner genau mit den Z~hlern korrespondieren, was man in der Theorie immer imstande ist zuzulassen.

Unsere Annahmen werden desto eher zutreffen, je kfirzer der yon uns gew~hlte Zeitabsehnitt ist (wobei wir freilieh mit in den Kauf nehmen miissen, dal3 fiir kurze Zeitr~ume die Differenz E " - - E " ' einen relativ gr6Beren Wert annehmen kann). Anderseits dfirfen jedoch die Be- obachtungsreihen nicht zu kurz werden, da sonst die Anwendung der feineren mathematiseh-statistischen Methoden gegenstandslos wiirde. Dies ist der Grund, weshalb ~ es aueh geboten ist, nach l~ISgtiehkeit yon Jahres- zu Monatsbeobachtungen fiberzugehen.

Es ergibt sich somit, dab die Forderung E ~i--0 mit der Annahme gleiehbedeutend ist, eine Anzahl derjenigen kausalen Beziehungen, die Irving F i she r in seinem VIII. Kapitel (vgl. oben S. 535) nut als ,,normal", nut als ,,Tendenzen" darstellt, tr~fen in Wirklichkeit ganz genau zu und w~ren kausal zwingend. Eine gewisse ()bergangs- per iode ist aber natfirlich hierbei durehaus nicht ausgeschlossen, da sie nur einen entsprechenden ,,Lag" hervorrufen wfirdel). Wenn jedoch E ~i----0 ist und die GrSBen M und P a l s mathematisehe Erwartungen aufgefaBt werden, so besteht zwischen ihnen eine l ineare Beziehung, da wir K als eine Konstante eingesetzt haben. Mit anderen Worten, aus einer mathematischen Zuspitzung der Formel Irving F i shers folgt dann in der Tat, daft der Preisindex P der Geldmenge M proportional ist und umgekehrt. In Wirkliehkeit bleiben uns die wahren M und P unbekannt: start ihrer verfiigen wir nut fiber ihre empirisehen An- n~herungen ~ und ~; die verschiedenen ,,St6rungen", die die Ab- weichungen ~7 hervorrufen, sind ebenfalls recht betr~chtlieh und bedingen bedeutende absolute Werte derselben. Es entsteht daher die Frage, wie man den GesamteinfluB dieser Beobachtungsfehler und St6rungen messen k6nnte. Hierdureh wfirde ja auch die M6glichkeit dazu gegeben, festzustellen, bis zu welehem Grade in versehiedenen Volkswirtschaften und zu verschiedenen Zeiten die hypothetische lineare Beziehung zwischen

i) Wirwerdenwei~er untensehen, wiesieh die Saehevom mathematisehen Standpunk~ aus darste l l t , w e n n wit die Annahme zulassen, ~t sei yon Mi doch nicht ganz unabh~ngig und seine mathematisehe Erwartung differiere e t w a s y o n Null.

35*

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548 0. Anderson:

Preis und Geldmenge dureh stSrende Einfliisse iiberdeekt und verdr~ngt wird.

Unsere Fragestellung ist die folgende. Gegeben seien zwei Reihen aus je N Gliedern: ~1, ~2, ~ 3 , - - . ~ N , und ~ , $2, ~s, . . . ~N, wobei ~l~=,M~+e4, ~ = P~ = ~, fiir ein beliebiges i, und E e~ = E ~ = 0 . AuBerdem sei bekannt, dab entweder M~=K Pg oder wenigstens Mg = = K P ~ + ~ ffir ein beliebiges i sei, wobei ebenfalls die Beziehung E # ~ = 0 angenommen wird. Setzt man diesen Ausdruek fiir Mg in die Gleichung

fiir ~ , so erh~lt man die Beziehung: ~ M ~ ~ Bezeiehnet v c = - K -~e~ K " ~i man noch K durch a und e4 - - ~ - durch e i, wobei, wie leicht ersichtlich,

aueh E e '¢=0, so ergeben sich endgfiltig folgende zwei Reihen:

~ 1 = M1 + el ~ 2 = M2 + e~ ~ 3 = M8 + e~ . . . , . , o . , . . ,

~ = MN + eN

und

~1 = a M 1-~-e' 1 ~ = a M2 + e'~ Us = a M 3 + e' 3

~N = a MN +e' lv

(12)

Es wird ferner noeh angenommen (was nach allem, was oben gesagt wurde, recht plausibel erseheint), dab die Werte, welche die einzelnen e, e' und M i m Laufe der Beobachtungsperiode erhalten, im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung voneinander vollkommen unabh~ngig sind I). Gefragt wird nach einem MaBe dafiir, bis zu welehem Grade die lineare (und kausa le )Verbundenhe i t zwischen M und a M sieh in der Ta t durchsetzen kann und bis zu welchem sie yon den , ,StSrungen" e und e' iiberdeckt wird; mit anderen Worten: es ist zu bestimmen, bis zu welehem Grade die innere Verbundenheit zwischen ~ff~ und ~ wirklieh , ,stratum" ist (wir gebrauchen bier einen Ausdruek yon A. A. T s e h u p r o w ) . Bes~Ben wir nur ein einziges Beobachtungspa~r, z. B. ~ 1 und ~1, und wiirde dabei die Komponente e 1 zufiflligerweise ganz fehlen, so liefle sich diese , ,St rammhei t" dureh den Quotienten

ganz gut messen. W~re aueh die Komponente e I vorhanden, so kSnnte die , ,S t rammhei t" offenbar im Produkt

M ~ . a 2~___~ = ~ t I ~ a ~ 1 - - ~ - 1 - -

ein einfaehes und rationales Mall erhalten. Es ist hierbei nut notwendig, die ,,Fehler" e~ und e' 1 nach ihren absoluten Werten, d. h. mi t dem Vor- zeiehen + , in die Formel einzusetzen. I)er ma~m~le Wer t des Produktes ist dann + 1 und er wird nur in dem Fall erreioht, wenn die Kom- ponenten e~ u n d e ' I ganz fehIen. Der minimale Wef t is~ 0 und wit erhalten

~) ,,Stoehastiseh unabh~ingig", wie der technisehe Ausdruek lautet; vgl. ,,Korrelationsrechnung", S. 23.

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Is t die Quantit~tstheorie statistiseh naehweisbar ? 549

ihn nur dann, wenn entweder die Komponente M 1 gar nicht vorhanden oder a ~ 0 ist. Unser Ma~ besitzt jedoch einen gro~en Fehler: es kann auf keine Weise aus einem einzelnen Beobachtungspa~r ~1 und $1 herausgeholt werden und es miissen daher R e i h e n yon solchen Be- obachtungspaaren zur Betrachtung gezogen werden.

Als relativ einfachstes apriorisches Charakteristikum einer stati- stischen Reihe, welches ihre Variabilit~t in Betracht zieht, erscheint der ,,mittlere Fehler" derselben, der yon den Engl~ndern ,,standard deviation" genannt wird und als die Quadratwurzel aus dem sogenannten ,,zweiten Moment" definiert werden kann. Wir bezeichnen diese Gr6Be fiir die Reihen der M , ~ , a M und ~ bzw. dutch a M , a ~ , a a M , a~ 1). Somit erh~lt unser Ma$ fiir die , ,Strammheit" der Verbundenheit zwischen ~J~ und ~ die folgende Gestalt:

H = a M {~aM o~ a~ (13)

Diese MeBzahl ist , , a p r i o r i s c h " , d. h. ihr genauer Wert ist nieht bestimmbar, und es entsteht daher die Frage, wie eine empirisehe Ann~herung an sic zu finden sei. Als empirische Ann~herung an H, oder ihren Pr~sumtiv- weft, betrachten wir hierbei wiederum eine solche Funktion der gegebenen l~eihen der ~)~ und der ~, deren ma~hematisehe Erwartung den Wer t H e rg ib t~) . .Es kann nun nachgewiesen werden, d a b e ine s o l c h e An- n ~ h e r u n g a n H i m e m p i r i s c h e n K o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n b e i d e r R e i h e n zu l i n d e n ist3).

1) Vgl. hierzu ,,Korrelationsrechnung", S. 102. Die h~ufigen Hinweise auf diese Monographie erkl~ren sieh dadurch, dab die vorliegende Arbeit sich in vielem an sie anlehnt. Jedenfalls besitzen ihre Formeln jene Gestalt, die ffir unsere Zwecke am besten 1)aBt.

~) Is t dies unmSglich, so soll die mathematische Erwartung dieser Funktion den Wer~ H wenigstens als l i m e s bei unbegrenzt zunehmendem 5V ergeben.

3) Im allgemeinen Falle, wenn M mit P nicht linear, sondern durch eine b eli e b ig e Funktion verbunden ist (die abet im Laufe der B eobachtung ihre Parameter nieht ver~ndern darf), ergibt sich die empirische Ann~aerung an H i m Produkt der beiden empirischen Korrelationsverh~iltnisse (c~rrela$ion ratio) K. P e a r s o n s (der Beweis hierfiir fiudet sich im§ 6 a der franz6sischen ~J'bersetzung der ,,Korrelationstheorie", die jetzt in Vorbereitung ist). Die

• Ableitung des im Texte gegebenen Theorems kann bier nur ganz gedr~ngt wiedergegeben werden und wird wohl nur fiir den Fachmann vollkommen v e r s ~ d l i e h sein.

Gegeben seien die zusammengeh6rigen Wertepaare x 1 und Yl, x~ und Yz, xs und Y8 usw., die zwei zuf~llige Variable x und y bei N Versuehen ergeben hahen, und es sei angenommen, dai3 in diesen sieh Elemente ~ und ~ befinden, die miteinander l i n e a r verbunden sind, so dab xd=~i+ed, y i : y ~ - ~ - e 4 mad yu~-- a + b ~i. Es sei ferner angenommen, dab alle Reihonkomponenten zu homogenen Reihen geh6ren, so dab E ~lh ----. E ~ h _~ E ~ah . . . . ~ ~Nh; E elh = ~ e2h = E eah . . . . E eNh ;

E £1 h = E ~2 h = E $3 h . . . . E SN h

bei beliebigem h.

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550 O. Anderson:

Ieh muB gestehen, dab ieh reich gegentiber den Anwendungsm6g- l ichkeiten des gew6hnliehen Korrelat ionskoeff izienten auf Zeitreihen recht reserviert verhal te : babe ieh doeh dieser Frage eine spezielle Mono-

Die Formel ffir den apriorisohen Korrelationskoeffizienten yon x und y

p ( x Y)V~ ., wobei ist die folgende: r t/p (x)~P(Y)2

p ( x y ) l h = E l ( x i - - E x ) ( y i - - E y ) } , l~ (x )~=E(x~- -Ex ) ~, p ( y ) s = E ( y - - E y ) ~ .

Es ist nun : (x y)l/1 = E I [ ( ~ - - E ~ ) + (e~-- E e)] [ ( ~ i - - / ~ ) + (8~- -E~)]I =

(wean man Bezeichnungen einftihrt, die der Formel fftr p (x Y)'h analog s ind) .

Ferner ergibt sieh:

= b ~p (~e)~ . ~p (~)~. Anderseits:

P (~)s = E [ (a + b ~i) ~ E (a -t- b ~t)]~ = E [b (~i - - E ~)]~ = b 2 p (~)~;

oder: ]/p (Y~)2 = [b[ ~p (~)~

(die beiden vertikaten Striehe bei b bedeuten, dab bier nur der absolute, positive Weft yon b genommen wird), und folglich:

(das Zeichen + oder - - hang~ davon ab, ob b positiv oder nega t iv i s t ) . Setzt man die erhaltenen Werte yon p (x Y)~h und p (~)~h in den

Ausdruek fiir r, so erh~lt man:

r = ~: ]/ # (~)~ " V P (~))~ -I- P (e~)v~ + P (~)~h + p (e~)'h (14) ][P (x)2 P (Y)2 ] / ~u (X)2 ~ (y)z

Wenn e, e und ~ gegenseitig stoehastiseh unabh~ngig sind, so ist p (e ~)~i~ = = p (e ~)'h=P (e Q,h=O, und das zweite Glied der reehten Seite ver- sehwindet ganz. Falls wit noch die Quadratwurzel aus dem zweiten Moment p~ durch das gew6hnliche Symbol des mittleren FeMers ~ ersetzen, so erhalt~n wir endgfiltig:

o" x (~y

Im allgemeinen Falle, we ein gewisser stochastiseher Zusammenhang zwischen e, e und ~ besteht, wird der zweite Tefl tier rechten Seite in (14) nicht verschwinden. Man kann jedoeh gewShnlich ruhig annehmen, dab sein Wef t im Vergleieh mit demjenigen des ersten Gliedes der rechten S e i t e gering ausf~illt, so dab er als eine Art Restglied in der Formel angesehen werden kann.

Falls e yon ~ stochastisch unabh~ngig ist, so ist g z ' = g ~ - g e ~. Wenn auch ~ yon ~ unabh~ngig ist, so ergibt sieh auBerdem die Beziehung: g y ' = =g~,~ + ge ~. Und hieraus erhalten wir noch folgenden Ausdruek:

r = :1: °~ ~ + ae ~ a ~ + as ~ ~ 1 - - - -6z ~ • 1 --- --.gs,~ (15)

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar? 551

graphic gewidmet! Doch in d i e s e m Falle, we die Beziehung zwischen M und P a l s l i n e a r angesehen werden kann, s teht dem Korrelations- koeffizienten prinzipiell niehts im Wege, umsomehr als sein Wert, wie wir eben gesehen haben, eine sehr einfache Interpretierung zul~Bt. Aber auch dann, wenn die Komponenten e' (in welche, wie wir wissen, aueh das Restglied ~ eingeht), e und M gegenseitig nicht vollkommen unab- h~ngig w~ren oder werm das Verh~ltnis yon M zu P in der Zeit nicht vollkommen stabil bliebe, k6nnte der Korrelationskoeffizient noch als e r s t e A n n ~ h e r u n g und als u n t e r e G r e n z e des wahren Wertes yon H e i n e gewisse Bedeutung behalten. Es ist jedoch selbstverst~ndlieh, dab bei einem systematiseh zunehmendem ~ oder bei einem K, das sieh sehnell in einer best immten Richtung ~ndert (vgl. oben Formel 7), die Anwendung des gewShnliehen Korrelationskoeffizienten schon iUusoriseh wiirde und man zu anderen Methoden fibergehen mfiBte. Ferner spielt der Korrelationskoeffizient eine nieht zu unterseh~tzende Rolle bei der Untersuchlmg des , ,Lag" und ist die Grundlage fiir die Berechnung des , ,mehrfachen" (multiple) Korrelationskoeffizienten. SehlieBlich sei noch erw~hnt, dab die Theorie uns auch erm6glicht, den Fehler unserer empirisehen Ann~herung an den apriorischen Kor- relationskoeffizienten in allen F~llen abzusch~tzen.

I I

Wie wir sehon oben auf Seite 536 bemerkt haben, wird die Aufgabe der statistischen Verifizierung der Quantit~tstheorie (in unserem Sinne) nur dann als endgiiltig gel6st erscheinen, wenn der Geldumlauf und

Unsere Ableitung bewegt sich ungef~hr in denselben Bahnen, die seiner- zeit Sewall W r i g h t gewiesen hat: vgl. seine Monographie ,,Correlation and Causation" im ,,Journal of Agricultural Research", 20; 557 bis 585. 1921 (ich zitiere nach dem mir einzig zug~nglichen Arfikel yon Ralph J. W a t k i n s ,,The use of Coefficients of Net Determination in Testing the ]~eonomie Validity of Correlation Results" im ,,Journ. Amer. Star. Assoc." No. 170, June 1930, S. 191 bis 197). Die Konzeption der mathematisehen Erwartung scheint jedoch W r i g h t unbekannt geb]ieben zu sein, wie auch sonst unsere Ableitungen nieht in allem gegenseitig ftbereinstimmen, was nicht zu ver- wundorn ist, da sic ganz unabh~i~gig voncinander entstanden sind.

Im Falle, den wir hn Tex~ untersuehen, sind M und a M selbst mathema- tische Erwartungen und die e und e" k 6 n n e n zuweflen aueh nieht ganz homogen sein. Dessenungeachtet blciben unsere Formeln (13) bis (15) aueh bier bestehen, nut dal] an Stelle yon/~ (e)~ dann der arithmetischeDurchsehnitt

[hr] tier /~ (e) s der einzelnen Reihenglieder treten muB, den wir dutch /~ (e)2

IN] bezeichnen wollen, und desgleiehen /~ (e')~ fftr ~ (e'),. Die GrSt3e aMs wird

I N 1 N aus der Formel ~M ~--N~=~X' ( M t - - M I N I )~' bestimmt, wobei M[N1 ~ -~-i=12: ~f~.

Die Formel fiir ~aM iSt analog aufgebaut. D e r e m p i r i s c h e K o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t wird nach Formel (14)

der ,,Korrelationsrechnung" (S. 550)berechne~.

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552 O. Anderson:

die Preise in allen L~ndertypen genfigend statistiseh durehleuchtet sein werden. Diese Aufgabe kann offenbar nut yon Forschungsinstituten bew~ltigt werden, um so mehr als fiir versehiedene L~nder auch versehiedene Forsohungsmethoden angewandt werden mfissen. Doeh um ein konkretes Beispiel ffir die Anwendung der oben entwickelten statistischen Ver- fahren zu geben, wollen wir immerhin den Versuch maehen, ffir die Jahre 1924 bis 1929 den Zusammenhang zwischen der zirkulierenden Geldmenge und dem Gro~handelsindex in Bulgarien zu analysierenl). Die Wahl des Beispiels wird dureh folgende ~berlegungen begrfindet. Bulgarien besitzt seit dem Kriege eine Papiergeldw£hrung, die sich jetzt gerade im letzten ~bergangsstadium zu einer Goldkernw~hrung befindet. Dementspreehend existiert hier ein Devisenmonopol der Nationalbank, welches zur Zeit freilich allm~thlich abgebaut werden soll, aber noeh immer ziemlieh weir yon einer freien EinlSsbaxkeit der Banknoten entfernt ist. Die Geldzirkulation Bulgariens befindet sich infolgedessen in einem verh~ltnism~Big sehwachen Zusammenhange mit der Geldzirkulation anderer Staaten. Das Wirtsehaftsleben ist ziemlieh primitiv und seit dem Kriegsende stagnierend, die Statistik hingegen gut und zuverl~ssig. Das alles erlaubt, die vereinfa~hte Form der Verkehrsgleichung auf den Fall anzuwenden, worauf es uns gerade ankommt.

Zum besseren Verst~ndnis des Naehfolgenden sei hier noeh eine kurze ~Ybersicht der wiehtigsten Ereignisse in der Entwieklung des heutigen Geldsystems gegeben~). Sehon dureh das Gesetz vom 30. Juni 1922 wurde der Banknoteninflation in Bulgarien ein Riegel vorgesehoben, doch konnte der Notenkurs erst seit dem Sommer 1924 endgfiltig auf dem Niveau yon rund 139 Leva = 1 $ stabilisiert werden. I)ieses Verh~ltnis wurde naeh 4½ Jahren dureh das Gesetz yore 3. Dezember 1928 fiber die Stabilisierung des Leva auch rechtlieh fixiert. Die Kaufkraf t des Leva im Auslande wurde seit 1924 strenge an alle Bewegungen des Dollars gebunden, w~hrend im Innern ihre Entwicklung oftmals eigene Wege wandelte. Die Anpassung des inneren Preisniveaus an den erreiehten Stand des Levas erfolgte etwa in der zweiten tt~ifte des Jahres 1924. Das, was die letzte, nun sechsj~hrige Periode bulga- rischer stabilisierter Papierw£hrung fiir die Quantit~tstheorie besonders interessant macht, ist der Umstand, dab in dieser Zeit die im Umlaufe befindliehe Geldmenge sieh mehrmals betr~chtlieh ~nderte, und zwar

1) Die Periode 1890 his 1924 wird im Buche: J. P e t k o f , Prix, CireulaiSon e~ Change en Bulgarie de 1890 k 1924, Paris 1926, un~ersucht, doeh sind die dor~ angewandten sta~is¢isehen Methoden nicht immer befriedigend und zuweflen sogar einfach irrefffl~rend.

Manehe nfitzliehe Kenntnisse fiber das Geldwesen und die Staatsfinanzen Bulgariens im 20. Jahrhundert finder der Leser in der gleichnamigen Disserta- tion yon Dr. J. U s u n o f f . Berlin. 1927.

~) Vgl. hierzu das yon Dr. A. T s e h a k a l o f f veffaflte Buch ,,Jubfl/~ums- sammtung der Bulgarischen Nationatbank, 1879 bis 1929", Sofia. 1929 (bulgariseh).

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar ? 553

inlolge von Umst/mden, d ie n i e h t au f d e r W a r e n s e i t e t a g e n (der Einbrueh der niedrigen Welt-Getreidepreise erfolgte erst seit Sommer 1930). Das Gesetz veto 30. Juni 1922 bestimmte das Emissionsrecht der Butga- risehen Nationalbank als gleieh der zw61ffaehen Summe der metallischen I~eserven der Bank plus die Summe, welehe an den Staat vorgesehossen war und den Betrag von 4700 Millionen Leva nieht iibersteigen durfte. Aber bereits 2 Jahre sp/~ter, durch das Gesetz veto 14. MArz 1924, wurde das Emissionsreeht der Bank blog auf das Dreifaehe ihrer Goldreserven festgesetzt, wobei zu diesen Reserven auch die Golddevisen im Besitze der Bank zugez/~hlt wurden. Die naehfolgenden Bankgesetze vom 20. November 1926 und 4. Oktober 1928 haben im groBen und ganzen diese Deekungsregel beibehalten, bloB dab jetzt nicht nnr die Noten, sondern fiberhaupt alle kurzfristigen Verbindliehkeiten tier Dank zu ½ dureh Gold und Golddevisen gedeckt werden sollten. Obgleieh diese Deekung erst seit Ende des Jahres 1928 tats/~chlieh aufrechterhalten werden konnte, war doeh im Laufe der ganzen Zeit seit 1924 die Serge um die geniigende Deckung der Noten das bei weitem wiehtigste Motiv in der Geldpolitik der Nationalbank. Im Jahre 1924 fiel die Zahlungs- bilanz Bulgariens recht gfinstig aus, die Bank konnte ihren Devisen- stock aufrechterhalten und es wurden gleichzeitig neue Noten emittiert. Im Jahre 1925 war hingegen die Zahlungsbflanz um 551 Millionen Leva passiv (schleehte Ernte des Jahres 1924, Stoekung im Tabakexport, niedrige Getreidepreise) und es wurde ein betr~chtlicher Tell der Noten aus der Zirkulation gezogen, obgleieh die innere Marktlage dies sicherlieh nicht erforderte (ein Riiekgang um 20% im Lanfe yon 11 Monaten!). Im Jahre 1926 bildete sich in der Zahlungsbilanz ein neues Defizit yon 815 Millionen Leva aus und die Devisenvorriite der Nationalbank waren schlieBlieh ganz erseh6pft. Eigentlich ret tete damals nut die ,,Fliiehtlingsanleihe" yon Ende 1926 den Leva. Entspreehend den besseren Deckungsm6glichkeiten des Jahres 1927 wurde hingegen die Emission dieses Jahres nicht unerheblich erh6ht. Trotz der starken Passivititt der Handelsbflanz und der schlechten Ernte wurde diese Politik aueh im Jahre 1928 flott fortgesetzt. Den Grund hierzu bildeten haupts~tchlich die hohen Hoffnungen, die auf die grebe ,,Stabilisierungs- anleihe" des Jahres 1928 gesetzt wurden. Im Oktober 1928 belief sich daher die Summe der emittierten Banknoten bereits auf 4610 Millionen Leva. Es entstand etwas, was man sehon eine Kreditinflation nennen k6nnte. Die Anleihe wurde nicht als ein Mitre1 zur St£rkung der Reserven der Nationalbank, sondern eher als ein Mittel zur allgemeinen Kredit- erweiterung angesehen. Die Nationalbank setzte am 15. Dezember ihren Diskont auf 9% zuriick und pumpte gewissermaBen Noten auI dem Kreditweg in den Verkehr. Der Kapitalmarkt war damals in einer Um- schiehtung begriffen, die durch die Stabilisierungsreformen infolge des VSlkerbund-Planes verursacht wurde. Diese bedingte aueh einen erhShten Zuftut] ausliindischer kurzfristiger Gelder. Das neue Geld land jedoeh keine gesunden Placierungsm6gliehkeiten und diente haupts~chlieh zur Finanzierung des erh6hten Import~s. Die Handelsbilanz wurde er-

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554 O. Anderson:

schreckend passiv, die Reserven der Nationalbank fingen an, zusammen- zuschmelzen, und die Notendeekung ging aUm~hlich zuriick: Am 31. Dezember 1928 betrugen die ausl~ndischen Golddevisen der National. bank 2252 Mitlionen Leva und am 31. August 1929 - - nur noch 1111 Millionen oder weniger als die H~Ifte des Dezemberstandes; am 31. Dezember 1928 war die Notendeokung 49,53% und am 31. August sehon 42,47%. Das konnte nicht so weitergehen, und Anfang Juli 1929 sail sich die Bank gezwungen, den Diskont auf 10% heraufzusetzen und den Kredit seharf zu restringieren. Es folgten einige schwere Bankerotte, hierauf eine Panik, und eine Krise brach aus. Am 31. Oktober 1929 betrug die Deckung noeh 42,55 ~o bei einem Notenstand yon 4255 Millionen Leva. Seit diesem Datum war jedoch die Aufrechterhaltung der Deckuug nur durch eine scharfe Herabsetzung des Notenumlaufs miiglich. Die Noten, die im Austausch gegen Devisen und aus anderen Quellen zu- flossen, wurden nun yon der Bank unerbittlich aus der Zirkulation gezogen - - trotz der grol~en H~rten, die diese Mal3regel selbstverst~ndiich hervorrief. Am 30. November 1929 betrug der Notenumlauf 3900 Mil. lionen, am 31. Dezember 1929 3609 Millionen, am 31. Januar 1930 3260 Millionen und am 28. Februar - - blo6 3148 Millionen. In nut 4 Monaten g inge r folglich um ganze 1107 MiUionen, oder um volle 26%, zuriick, was eine ziemliehe Leistung darstellt! Trotzdem betrug das Golddevisen-Portefeuille der Bank am 28. Februar 1930 bloB noch 351,6 MJllionen Leva und die Deckung war auf 38,16% zusammen- geschmolzen. Seit jener Zeit hat sich die Lage hauptsAchlich infolge eines auBerordentlichen Riiekganges des Imports etwas gebessert, sie bleibt aber trotzdem noch immer gespannt genug: Am 31. Oktober vorigen Jahres betrug z. B. der Notenumlauf 3656 Millionen Leva, an Golddevisen waren noch 402 Millionen vorhanden, und die Deekung machte blo6 36,81% aus. Die Brutalit~t dieser Bankpolitik veranlaBte Prof. D. M i s e h a j k o f f N den heutigen Handelsminister - - , sie in seiner Parlamentsrede veto 9. April 1930 als einfach ,,orieutaliseh" zu be- zeichnen.

Auch die Zirkulation der Scheidemfinzen wurde in der betreffenden Periode 1924 his 1930 dureh stSrende Einwirkungen beeinflul3t: im Jahre 1925 wurden n~mlich gr56ere Mengen neuer Nickelmfinzen zu 1 und 2 Leva in den Verkehr gepumpt; mit ihnen wurde sogar ein groBer Teil der Beamtengeh~lter ausgezahlt. Natiirlich strSmte das unbequeme Geld sofort in die Kassen der Nationalbank zurfiek; dennoch abet vermochte sich die umlaufende Menge des Scheidegeldes nicht un- betr~ehtlich zu erhShen.

Es ist bisher Ieider kein Versueh gemacht worden, die einzelnen Elemente der Verkehrsgleichung fiir Bulgarien zu berechnen, obgleieh die Nationalbank sich eigentlich die nStigen Unterlagen h~tte beschaffen kSnnen. Doch eins steht lest und wird wohl yon niemandem, der die hiesigen Verh~ltnisse kennt, bestritten werden kSnnen: die Fishersohe Komponente M' spielt in Bulgarien eine unvergleichlich geringere RoUe ~ls in den Vereinigten Staaten. Man kann sogar armehmen, dab sie

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t s t die Quantit~itstheorie s ta t is t iseh naehweisbar ? 555

be t r~eh t l i eh k le iner als M anzuse tzen i s t l ) . Demzufolge kSnnen wi t h ier ge rade den Para l l e l i smus in den Bewegungen yon P u n d M zum O b j e k t unserer Un te r suehung machen.

Die H a u p t m a s s e des z i rku l ie renden Geldes b i lden in Bulgar ien die N o t e n der N a t i o n a l b a n k , die noeh i m m e r hall) und ha lb als Pap ie rge ld angesehen werden kSnnen. Die im Umlauf bef indl iche Seheidemiinze m a e h t e bis zum H e r b s t e 1930 k a u m 4 % der e r s te ren aus, zur Zei t werden jedoeh neue, hShere Mfinzen dem Verkehr i ibergeben und demni~ehst d i i r f te s ieh dieses Verh~l tnis be t r~eh t l i eh versehieben. F i i r be ide Geld- so r t en l i nden wir im franzSsiseh erseheinenden , ,Bul le t in mensue l" der Bulgar i schen N a t i o n a l b a n k sehr genaue D a t e n : fi ir den 7., 1 5 , 23. und l e tz ten Tag eines j eden ]~onats erseheinen Ausweise fiber die in Z i rku la t i on (d. h. auBerhalb der Na t i ona lbank ) bef indl iehe N o te nme nge u n d fi ir j eden l e tz ten Tag des Monats - - aueh f iber die Menge der umlau fenden Seheidemiinze. Le t z t e r e wi rd auf die Weise berechnet , d a b m a n yon der Summe der f i be rhaup t ve f fe r t ig ten Miinzen den W e r t der s ieh a m S t ieh tage in den Kassen der B a n k bef indl ichen Miinzen abzieht~). D a in der Verkehrsg le iehung I r v i n g F i s h e r s M die Menge des gesamten z i rku l ie renden Geldes bedeu te t , so miissen wir die D a t e n fiir N o t e n und Seheidemiinze summieren , was, wenn m a n die ganze Ze i tper iode

1) Das geht zum Tefl auch aus den Ums~tzen der Clearing-Abteflung der Nat ionalbank (Chambre de Compensation) hervor, dureh die - - n e b e n a n d e r e m M a t e r i a l - - auch der gr5~ere Teil der als Zahlungsmittel zirku- lierenden Sehecks geht. Die gesam~en Jahresumsi~tze der Abtei lung betrugen: 1925 :6757 Millionen Leva, 1926 :6299 Miltionen, 1927 :10454 Millionen, 1928:15271 Millionen, 1929 : 16548 Millionen. Das J ah r 1930 ha t betr~chtlieh wem'ger ergeben (13129).

3) Dank der Liebenswiirdigkeit des Bulg. Statist . Landesamtes erhielt ich folgenden Ausweis fiber Monatsdurehschnit te des Ende 1929 und Anfang 1930 zirkulierenden Scheidegeldes, die aus den t ~ g l i e h e n Angaben der Nat ionalbank errechnet wurden (in M i l l i o n e n L e v a ) :

Mfinzen zu Miinzen zu Am Letzten 1 Leva 2 Leva Scheidemiinzen des ~Ionats

Jahr und Monat ~ zu 0,01, 0,02, Zu- laut Auswcis Alu- . . . ~ A"A'~u-" ~ 0,05, 0,10 und sammen tier Bulg.

minium r~lc~:el minium Nickel 0,20 Leva Nationalb. 1929. November . 25,2 29,1 24,5 39,3 30,5 148,5 142,7 1929. Dezember . . 25,3 30,6 24,3 39,7 30,5 150,4 142,8 1930. Januar . . . . 25,3 31,2 24,7 40,6 30,6 152,4 142,9 1930. Februar . . . 25,0 30,9 24,3 31,0 30,4 141,7 142,4

Die A]uminiummiinzen wurden im Jahre 1923 in den Verkehr gese~zt, die Kupfer-Niekel-Sti ieke erst ira Jahre 1925. Was die ]deinen Sehei4e- mimzen im Wer te unter 1 Leva betrifft , so s tammen sie noch aus der Zeit vor dem Kriege und diirften in ~Virklichkeit zum grSBten Teil verniehtet sein oder sieh au~erhalb des Verkehrs befinden. In tier Zirkulation tr i ff t man nur noeh auf geringe Mengen der Miinzen zu 0,I0 und 0,20 Leva, die zur Begleiehung des Brotpreises und als Almosen verwendet werden. Die Aluminiummiinzen soften bis zum 31. Marz 1931 ganz aus dem Verkehr gezogen werden, da sie sich nieht als widerstandsf~hig genug erwiesen haben.

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556 0. Anderson:

im Auge hat, nut ftir jeden letzten Tag eines Monats mSglich ist. Somit bedeutet bei uns F~ keine Durehsehnittszahl, sondern nur die Zirkulation eines bestimmten Tages. Doeh kann man immerhin dieses ~)~ als eine empirisehe Ann~herung an M ansehen. Sein Fehler e besteht aus zwei Elementen: a) aus der Abweiehung der Geldmenge eines bestimmten Tages yon der betreffenden durchsehnittliehen Umlaufsmenge des Monats; die mathematisehe Erwartung dieser Abweiehung kSnnen wir als 0 annehmen; und b) aus einem systematisehen Fehler, der dadureh entsteht, da~ nieht alles Geld, welches als au~erhalb der Kassen der Nationalbank befindlieh gilt, wirklieh im Laufe des betreffenden Monats zirkuliert: die Summe des vernichteten und verlorenen Geldes diirfte ja nieht besonders ins Gewieht fallen, da sowohl Noten als auch vier Fiinftel der Miinzen erst nach dem Kriege in den Verkehr gesetzt wurden, doch die Menge des thesaurierten Geldes wird in Bulgarien als nicht unbetr~chtlieh angenommen (besonders bei der LandbevSlkerung) und auch die im Auslande befindlichen Noten sind nicht zu vergessen. Ge- nauere Angaben fiber diese Mengen und deren Ver~nderungen im Laufe der Zeit fehlen nattirlieh g~nzlich. Somit daft in unserem Falle die mathematische Erwartung yon e nieht gleieh Nul l gesetzt werden. Man kann jedoch, um die weitere mathematisehe Reehnung zu erleichtern, wohl die Annahme wagen, B e sei eine positive und gleichzeitig, ffir die gesamte gew~hlte Zeitperiode, eine k o n s t a n t e GrS~e. Der Fehler, welcher dutch diese Annahme bedingt wird, diirfte jedenfalls nieht sehwer ins Gewicht fallen. I s t dem so, so kSnnen wir

e4 = E e ~ d ' i und E e " i = 0

sehreiben, ferner ~ = M i + E e ÷ e"i

setzen und hieraus die folgende Beziehung ableiten:

~ - - E ~ ) ~ = M i - ~ E e + e " i - - M i - - E e - - O = e " i ,

woraus noch die Gleichung

E ( ~ - - E Y&) = 0

folgt. Da in den Formeln des mittleren Fehlers, des Korrel~tionskoeffi- zienten und anderer deraxtiger Durehschnittsehaxakteristiken der Reihen nur Abweiehungen yon den mathematischen Erwartungen bzw. yon den arithmetischen ])urehsehnitten der betreffenden GrSBen auftreten, so wird ffir uns die Existenz eines k o n s t a n t e n Fehlers E e ganz un- seh~dlieh bleiben: diese GrSBe wird ja fiberhaupt in keine der obigen Charakteristiken eingehen.

Was die GrSBe P anbetrifft, so verfiigen wir in Bulgarien seit 1924 fiber einen GroBhandelsindex, der yon der Nationalbank bereehnet und ebenfalls im ,,Bulletin mensue1" publiziert wird. Er ist nach der Formel yon Joseph L o w aufgebau¢1):

1) Die Wahl der Indexform scheint dutch Dr. S1. S a g o ro f f beeinfluilt worden zu sein. Die Argumente, welehe ffir die Lowsche Formel sprechen,

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Ist die Quantit~tstheorie statistiseh naehweisbar ? 557

p ~ = P ' i q ~ + P " i q t ' + P ' ~ q ' ~ ' + . . .

poq" " + p " o q " - ~ p " o q " ÷ . . . "

Hier bedeuten pi', p " i , p ' " i . • • die Preise yon 39 verschiedenen Waren im i ten Monat, P'o , P " o , P ' " o . • • d i e Preise derselben Waren im Basenjahrc 1914 und q ' , q " , q" " . . . - - k o n s t a n t e , , M e n g e n g e w i e h tsfaktoren" der betreffen - den Waren, die als ihren mittleren Jahresumsatzwerten proportional kon- struiert werden und faktisch aus den Umsatzen der 5ahre 1922 bis 1924 berechnet smd. Die Preise werden ftir Waren registriert, die in Art, Sorte und Qualit~t genau definiert sind (z. B. Nr. 20 der Liste: Baum- wollgarn, ungef~rbt, ungeweiBt, Nr. 12 bis 30, pro Kilogramm, oder Nr. 31 der Liste: Eiscnsehienen, 3 bis 5 ~ em breit, 8 bis 15 cm dick, pro Doppelzentner), doch die Gewiehte entsprechen dem Gesamtumsa~z aUer jener Sorten der betreffenden Warengattung, deren Preisbewegungen einander mehr oder weniger parallel verlaufen (d. h. betr'achtlich positiv korreliert sind). Aueh die Anzaht der ,,H~nde", die eine Ware in ihrer Bewegung yore Produzenten zum Konsumenten durchl~uft, wurde, wie es scheint, bei der Bestimmung der ,,Gewichte" nicht ganz un- berficksiehtigt gelassen. Somit ergab sich ein Index, weleher immerhin als eine befriedigend gute Stichprobe des ,,wahren Indexes" fiir den grSBeren Teil des Warenumsatzes Bulgariens gelten kann. Sollte er sich yon jenem dureh einen konstanten Fehler (oder auch durch einen konstanten Multiplikator) unterscheiden, so wird das, wie wir schon wissen, fiir unsere Zwecke ganz unsch~dlich bleibenl). Einen betr~eht-

finden sich in seiner tiefschiirfenden Studie ,,Theorie der Indexzahlen fox die allgemeine Bewegung der Preise", Sofia. 1929 (bulgariseh). Vgl. des- gleichen S. 207 bis 211 in den ,,Naehrichten der Bulgarisehen National- bank", 1928. Jahrg. Nr. 8 bis 9, wo einige Erkl~rungen zur Konstruktion des Indexes gegeben werden (butgariseh).

1) Der Index wird ffir die Preise der folgenden 39 ~Varen berechnet (die eingeklammerten Zahlen bedeuten die mittleren ,,Gewiehte" der Waren im Jahre 1930, die auf 100 bezogen werden; im Original ist die Summe der konstanten ,,Mengengewiehtsfaktoren" natfirlieh ganz anders):

I. Gruppe : vegetabilische Nahrungsmittcl: 1. Weizen (13,03), 2. Gerste (2,91), 3. Mais (6,20), 4. Bohnen (1,715, 5. Kartoffeln (0,32), 6. Reis (0,625, 7. Zueker (4,17), 8. ~1 (0,44); Gesamtgewieht der Gruppe: 28,80%;

II. Gruppe : animatische Nahrungsmittel: 9. Rindfleiseh (2,40), 10. Sehweincfleiseh (1,27), 11. Butter (2,78), 12. Sehweinesehmalz (1,90), 13. K~se ,,Sirene" (3,48), 14. K~se ,,Kasehkawal" (1,84), 15. Eier (2,21); Gesamt- gewicht clef Gruppe: 15,88~/o;

III. Gruppe : Textilien. 16. Wolle (2,46), 17. Baumwolle (0,13), 18. Hanf (0,065, 19. Seidenkokons (0,51), 20. Baumwollgarn (2,47), 21. WoUgarn (0,51); Gesamtgewicht der Gruppe: 6,14%;

IV. Gruppe : Brennstoffe: 22. Steinkohle (5,12), 23. Holzkohle (0,38), 24. Holz (4,17), 25. Petroleum (1,275, 26. Spiritus (0,82); Gesamtgewieht der Gruppe: 11,76~o;

V. Gruppe : Baumaterialien: 27. Bretter (13,73), 28. Zmgel (0,32), 29. Dachziegel (0,51), 30. Zement (0,70), 31. Eisen (1,08); Gesamtgewicht der Gruppe: 16,34~/o;

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558 O. Anderson:

lichen Naehteil des Indexes bildet hingegen der Umstand, dal~ die Ge- wiehte den mittleren J a h r e s u m s ~ t z e n der Waren proportional sind und ffir alle M o n a t e gleich bleiben. Hierdurch erh~lt der Index eine S a i s o n k o m p o n e n t e , die statistisehen Ursprunges ist und den wirk- lichen Tatsachen vielleicht gar nicht entspricht: unter den 39 Waren des Indexes befinden sich ngmlich nieht wenige, die entweder iibor- haupt nur einige Monate im Jahre in gr6•eren Mengen umgesetzt werden (verschiedene Baumaterialien, Brennstoffe, Eier usw.) oder wenigstens eine so elastische I~aehffage anfweisen, dab ihr Umsatz bei hSheren Preisen bedeutend einsehrumpft.

Die Daten fiber den Geldumsatz und die Preisindexe Bu2gariens finden sieh in der folgenden Tabelle (vgl. auch Diagramm Nr. 1).

Obgleieh der Preisindex seit dem Januar 1924 bereehnet wird, haben wir im weiteren die Daten fiir denselben nur angefangen vom Juli 1924 zu den Reehnungen hinzugezogen, weft der auswgrtige Kurs des Levas erst seit dem Juni jenes Jahres endgiiltig stabilisiert wurde. Da hingegen die Inflation noeh vor 1924 abgebremst wurde, so werden, wo dies mSglieh ist, die Daten ffir die Geldmengen aueh in den ersten seehs Monaten 1924 mit beriicksiehtigt. Unsere Rechenarbeit war in der Hauptsache sehon zu jener Zeit abgesehlossen, als die Daten nur bis Februar 1930 vorlagen. Es fragt sich nun, ob es Sinn h~tte, alle Koeffi- zienten nochmats unter Hinzuziehung der bis jetzt bekannten Zahlen des Jahres 1930 umzurechnen. Da sei~ Sommer 1930 der allgemeine Preissturz ganz katastrophale Dimensionen angenommen hat, die often- sichtlich dureh auBerhalb Bulgariens tiegende Ursachen hervorgerufen sind, so kann man auch annehmen, dab die Wirtsehaftsperiode, die seit der faktisehen Geldstabilisierung ihren Anfang nahm, nunmehr zu einem gewissen Absehlu~ gelangt ist und dab die Hinzuziehung der Daten des Jahres 1930 fi~ uns kaum von l~utzen wgre. Das Beispiel Bulgariens wurde j a a u s jenem Grunde gew~hlt, weft hier die inhere Kanfkraf t des Geldes bisher relativ unabhgngig y o n den Bewegungen der Weltpreise verlief und wir nachprfifen wollten, ob die ziemlieh will- kfirliehen Sehwankungen in der Menge des zirkulierenden Geldes sieh im Preisindex entsprechend der Quantit~tstheorie widerspiegeln oder nieht. Der Preissturz der letzten Monate bedeutet im Grunde genommen den Einbrueh eines neuen und hierbei heterogenen Ursaehenkomplexes, dessen Wirkungen im selben Grade wie der Quantitgts- so aueh der

VI. Gruppe : Diversa: 32. Tabak (14,11), 33. Kaffee (0,44), 34. Salz (2,21), 35. Leder (i,14), 36. Kalbsh~ute (0,44), 37. Papier (0,37), 38. Soda kaust. (0,06), 39. MaschinenS1 (1,71); Gesamtgewieht der Gruppe: 20,48~o. Summe der Gewiehte der Gruppen = 100,00%. Trotz ihren hohen ,,Ge- wiehten", ist die relative Bedeutung der IV. und V. Gruppe nicht gro0, da sie sehr preisstabfle Elemente enthalten.

Es steht zu erwarten, dab demn~ehst auch das Bulgarische Statistische Amt einen GroBhandelsindex zu ver6ffentliehen beginnt. Letz~erer ist eben- falls nach der Lowsehen Formel aufgebaut, doeh enth~lt er bedeutend mehr Waren und die ,,Mengengewiehtsfaktoren" sind nell revidiert.

Page 37: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

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Page 38: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

560 O. Anderson:

Banking-Theorie zuwiderlaufen. Die Daten des Jahres 1930 werden uns weiter unten nur dazu dienen, um an ihnen die M6glichkeiten einer Wirtschaftsprognose zu exemplifizieren.

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Abb. 1

Wle aus Diagramm Nr. 1 ersichtlich, ist ein gewisser Parallelismus in den Bewegungen der Geldmenge und des Grol]handelsindex unver- kennbar. Nach dem, was ira ersten Abschnitt gesagt wurde, k6nnen wir eine Ann/~herung an das MaB dieses Parallelismus im empirischen Korrelationskoeffizienten beider Reihen erblicken. Wenn wir die Korre- lationskoeffizienten mit verschiedenen ,,Lags" der Preise gegeniiber den Geldmengen berechnen, so kSnnen wir auch feststellen, bei wetcher Kombination die (~bereinstimmung die relativ beste istl).

i) Der empirische Korrelationskoeffizient wurde nach der Formel yon S. 137 der ,,Korrelationsrechnung" berechnet. Als ~x nahmen wir den mittleren

Page 39: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar ? 561

Wenn wit den Korrelationskoeffizienten mit dem Buchstaben r bezeichnen und durch den Index rechts unten die jedwede Kombinat ion ffir den , ,Lag" angeben, so erhalten wir ~olgende Resultate:

r 40 r---3o r--2o r ~ l o 7'01 ro2

~- 0,30 + 0,30 ÷ 0,32 + 0,41 + 0,49 + 0,55

ro3 to4 to5 ro6 rot ros + 0,59 + 0,60 ÷ 0,57 + 0,53 + 0,46 + 0,36

Hier bedeutet r01 den Korrelationskoeffizienten zwischen der Geld- menge am Letzten eines Monats und dem Index des darauffolgenden Monats (z. B. Geldmenge am 30. Juni und Juliindex desselben Jahres), ro~ den KorrelationskoeHizienten zwischen der Geldmenge am Letzten eines Monats und dem Index des z w e i t e n darauffolgenden Monats (z. B. Geldmenge am 30. Juni und Augustindex desselben Jahres) usw. Ander- seits bedeutet r--10 den Korrelationskoeffizienten zwischen der Geld- menge am Letzten eines Monats und dem Index dieses selben Monats (z. B. Geldmenge am 30. Juni und Juniindex), r - -~ den Korretations- koeffizienten zwischen der Geldmenge am Letzten eines Monats und dem Index des v o r h e r g e h e n d e n Monats (z. ]3. Geldmenge am 30. Juni und Maiindex) usw. Somit entsprechen die r mit positiven Indexen der Fragestellung der Quantitiitstheorie und die r mit negativen Indexen

derjenigen des Banking-Prinzips. Infolge des inneren Zusammen- hanges zwisehen den sukzessiven Reihengliedern einer jeden l~eihe wiirden die erhaltenen KoeHizienten auf dem Diagramm.eine glat t ver- taufende , ,Kurve" bilden. Das Maximum ergeben r0a und ro~ , d. h. die Korrelationskoeffizienten zwischen der Geldmenge und den nach zwei bzw. drei vollen Monaten f o l g e n d e n Preisindexen, - - eine Feststellung, die wohl zugunsten der Quantit~tstheorie spricht. Wiirden wit die Reihe der r noch um einige Glieder naeh beiden Seiten fortsetzen, so kSnnten wit hSchstwahrseheinlich - - zeitweilig - - ein schwaehes Zunehmen derselben feststellen, was mit einer gewissen saisonm~Bigen Periodizit~t der Preise und der Geldmengen zusammenh~ngt.

Der maximale Wert in der Reihe der Korrelationskoeffizienten, r0~ =0,60, bedeutet eine an und fiir sieh reeht groBe StSrung in der Proportionatiti~t zwischen der Geldmenge und den Preisen. In der Tat, wenn wit die Formel (13) anwenden, so ist

ro4 = + 0,60 ~ a~ ~

Uns interessiert in diesem Falle der Quotient a. u Sein maximaler a~ mSglieher Wert ÷ 1 ergibt sich (da beide Quotienten positiv und nieht

grSBer als + 1 sein kSnnen) aus der Annahme: a~ = 0,60. I m Gegenteil, a ~

Fehler der Geldmenge ffir die ganze Periode seit Januar 1924 bis Februar 1930 inklusive an, als ay figurierte der mittlere Feh]er der lndexe fiir die Zeit yore Juli 1924 ebenfalls bis Februar 1930.

Zeitschr. f. Nat ionalSkonomie, II . Bd., 4. H. 36

Page 40: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

562 O. Anderson:

wenn ~ gleieh + 1 angenommenwerdenkann, soergibtsichdasMinimum

fiir as ~ im Betrage yon +0,60. Tats~chlich ist der Fehler unserer aS

empirisehen Ann/~herung ~ an die ,,wahre" Geldmenge M sieher be- deutend kleiner als die StSrtmg in der Proportionalit/~t zwischen M

und P. Somit ist anzunehmen, dal3 der Quotient a,~ in Wirkliehkeit aS

nicht viel mehr als 0,60 ausmachen kann. Hierbei wird noeh gar nicht bertieksichtigt, dab u~ser r04 ebenfaUs nur eine empirische Ann~herung an die ihm entspreehende apriorisehe GrSBe darstellt. Is t das ,,Ab- hi~ngigkeitsgesetz" beider Reihen ,,normal" (vgl. ,,Korrelationsrechnung", S. 104), so berechnet sich der mittlere :Fehler des Korretationskoeffizienten

in erster Ann/~herung aus der Formel - - ~ - , wobei r = 0,60 und hr = 68

zu setzen sind, d. h. er ergibt sieh als ~-0,078. Die Fehlergrenzen: ___ 3 mittlere :Fehler oder, in unserem Falle, ~= 0,23 befinden sich immerhin noch im Bereiehe des MSgliehen, und somit kSnnte der wahre Quotient schlieBlich sogar aueh nicht viel mehr als +0,60 1 0,23 = +0,37 aus- machen. Bleiben wir jedoch bei seiner r e l a t i v w a h r s c h e i n l i c h s t e n GrSl3e +0,60 stehen, so kSnnen wir unser vor l /~uf iges Ergebnis folgendermaBen formutieren: I n d e r Z e i t p e r i o d e J u t i 1924 bis F e b r u a r 1930 k S n n e n e t w a s echs Z e h n t e l in d e n V a r i a t i o n e n des G r o B h a n d e l s i n d e x e s aus d e n V a r i a t i o n e n d e r G e s a m t - u m l a u f m e n g e des G e l d e s d r e i M o n a t e f r i i h e r erkl /~r t w e r d e n . Hierbei sei noeh besonders unterstriehen, dat~ sich unsere Feststellung nur auf die V a r i a t i o n e n des Indexes bezieht, die dutch den mittleren Fehler gemessen werden. Der absolute Betrag der Komponente des Indexes, die durch den Geldfaktor bedingt wird, ist hierdureh durehaus nieht tangiert, da er im Korrelationskoeffizienten nicht beriieksiehtigt wirdl).

Der ni~ehste Sehritt in unserer Analyse besteht darin, dab wit an- nehmen, ein gegebenes P werde nieht yon einem, sondern yon mehreren ihm vorhergehenden M beeinfluBt. Die Theorie kann, wie wir wissen, hier die Existenz verschiedener Mechanismen voraussetzen, die yon der Geldseite her auf die naehfolgenden Preise einwirken und hierbei , ,Lags" yon verschiedener Zeitdauer ergeben. :Fast immer aber denkt man sich die Einwirkungen der Geldmengen der einzelnen Monate als solche, die naeh einem linearen Gesetze erfolgen, so dab man den Zu- sammenhang zwischen einem ~t u n d d e n ibm gleiehzeitigen und vorher- gehenden M sich in folgender Gestalt vorstellt:

?~ = a 1 M~ ÷ a 2 M~--l-t-a3 M - - ~ + a 4 M ~- -3+ . . . +e'"~.

1) Bei Anwendung der Formel (15) wiirde es sieh ergeben, dab in unserem Falle ae':ap=8:6. Dies wi~re jedoeh kein korrektes Verfahren, da in den Ausdruck ffir ap nicht ae', sondern das Q u a d r a t dieser GrSBe eingeht, was ihre Bedeutung stark beeinfluBt.

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Ist die Quan~i$/i~stheorie s~a~istisch nachweisbar ? 563

I-Iierbei sind al, a2, a3, a4 . . . gewisse Koeffizienten (Parameter), die sieh im Verlaufe unserer Beobaehtung nieht/~ndern und sowohl positiv als auch negativ sein k6nnen; e'"i ist die Resultante aller st6renden Einfliisse. Vergleichen wit diese Formel mit Formel (12), so ersehen wir, dab letztere nur einen Sonderfall der ersteren darstellt, der dadurch entsteht, dab wit

e't = as Mi--1 + a8 Ml--~ A- a4 Mt--s + . . • + e'"i

setzen. Hieraus folgt, daI3 man eine bessere Ann/~herung an Pi erhalten w~de , wenn man star t a~ M~ die Summe a:t Mi-t-as Mi--1 bestimmen kSnnte; eine noeh bessere, wenn man start al Mi A- as Mi--1 die Summe a i Mi + as Mt--i -b as Mi--s berechnen wiirde usw. Die Voraussetzung ist aber, dab tats/iehlieh eine solche Beziehung besteht, die dureh obige Formel dargestellt werden kann, und dal3 hierbei die Konstanten ag_, as, a4 . . . nieht verschwindend klein werden, was bei einer faktisehen Un- abhingigkeit der Gr6Be Pi yon Mi--1, Mt-2 usw. der Fall wire. Bei den yon uns oben eingefiihrten Annahmen ist der Korrelationskoeffizient zwisehen ?~i und a i Mi A- as Mi--1 + . . . , oder, allgemeiner gesagt, zwischen ~i und ~i--~ '"i , dutch den sogenannten m e h r f a e h e n ( m u l t i p l e ) K o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n gegeben (vgl. ,,Korrelationsrechnung", S. 96ff. und 132ff.).

Im Sirme des Banking-Prinzips stiinde hingegen die Annahme folgender Beziehung:

~ = a ' i Pi+a'~ Pi--l+a'a Pc--s+. • • +e ' " i ,

die ebenfalls auf einen mehrfaehen Korrelationskoeffizienten zwischen ~ i und Pi, Pt 1, P i - -2 . . . hinausl/~uft.

Wit k6nnen jetzt naehprfifen, in welehem Falle sich ein besseres Resultat, d. h. ein h6herer Weft flit den Korrelationskoeffizienten, ergibt. Um diese Koeffizienten zu erreehnen, miissen noeh die einfaehen Korrela- tionskoeffizienten zwisehen den Naehbargliedern jeder Reihe gefunden werden, d . h . einerseits zwischen ~ i und ~/+1, ~J~i und ~i+2, ~¢J~i und ~Jh+a usw. und anderseits zwisehen ~ und ~i+1, ~i und ~i+,, ~i und ~i+a usw. ~¥ir wollen sie bzw. dureh rx2 , rxa , r~, usw. bezeiehnen:

r ~ rla r14 rl~ r16 t i t r18 Geldzirkulation: + 0,89 + 0,72 + 0,54 ~- 0,43 -b 0,37 + 0,33 + 0,26 Preisindex: +0,91 ÷0,80 +0,69 +0,60

Die einzelnen Glieder der Preisreihe sind untereinander etwas enger verbunden als diejenigen der Geldreihe, was vielleieht damit zusammen- hi~ngt, da]3 letztere nut Daten ftir je einen Stiehtag darstellen, w~hrend erstere Durchsehnittszab_len sind.

Bezeichnen wit dutch r0.1s den mehrfachen Korrelationskoeffi- zienten zwischen einem Preisindex und den Geldmengen an den letzten Tagen der beiden ihm unmittelbar vorausgehenden Monate, ferner durch ro..,a den mehrfaehen Korrelationskoeffizienten zwischen einem Preis-

36*

Page 42: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

564 O. Anderson:

index und den be iden Getdmengen, die u m einen Monat zur i iekgeschoben sind usw., so erhMten wir folgende WerteX):

r~.x~ ro . ~a t o . as ro.a~ ro. ~a ro.a, r o . ~ s

~- 0,55 + 0,59 ÷ 0,61 + 0,61 + 0,57 + 0,53 + 0,47

Wfi rden wir im Gegentei l den Zus~mmenhang zwisehen den Ge ldmengen und den gleichzei t igen oder den vorhergehenden I n d e x e n zweier Monate durch mehrfaehe Korre l~t ionskoeff iz ienten einzusch~tzen suehen, so wi i rden wi t bei dense lben Bezeichnungen folgende R e s u l t a t e e rhMten :

r _ o. ** r--o. ~a r--0. ~a

+ 0,43 + 0,32 + 0,31

Es h~t keinen Zweck, die Koeff iz ienten fl i t wel te r zur i ickl iegende Monate zu bes t immen, d~ auch im Sinne des B~nking-Pr inz ips die Preise, welche in einem gewissen Monate fak t i sch reMisier t werden, sehwerl ich einen groBen EinfluB ~uf die Geldmengen en t fe rn te r zuki inf t iger Mon~te ~ustiben kSnnten .

Aus unseren be iden Koeff iz ien tenre ihen is t zweierlei zu ersehen: Er s t ens en t sprechen sie besser den K o n s t r u k t i o n e n der Qu~nt i t~ts- theor ie als denjen igen des B~nking-Pr inz ips : der Unte r seh ied in der G r 5 ] e der be t re f fenden Korre la t ionskoef f iz ien ten i s t j~ n ieh t besonders be- t r~cht l ich, doeh t r i t t e r sys t emat i sch in al len F~l len auf, w~s seine Be- deu tung e rhSht ; und zweitens f iberzeugen wir uns, d~g der Gewinn, der dureh die Ber i ieks icht igung je zweier , ,verursuehender" Mon~te en t s teh t , als sehr ger ing e inzusch~tzen is t . I m Vergleich m i t den W e r t e n der gewShnlichen Korre la t ionskoef f iz ien ten h a b e n sich unsere Ergebnisse hSchstens u m 1 bis 2 H u n d e r t s t e l gebessert . Es wiirde ~uch zu nichts f i ihren, wenn wir diesen Versuch wel ter for t se tzen und s t a r t 2 je 3 Mon~te

~) Ich berechne den mehrfachen Korrel~tionskoeffizienten nicht naeh der Formel ] / 1 - - K ~ o . l e . ~ . . . n , wo . K o . l ~ a . . . n den sogenannten ,,multiple alienation coefficient" bedeutet , sondern n~ch der genauen Formel (vgl. , ,Korrelationsre~hnung", S. 135, Formel 132):

ro.,.,~ • •. ,~ = rio1. ~:~'- ~ to, + ~o'~ -~.~- --, ro~ +/~o-~-,~- -~ ro,~ + . . + ~ o ~ . , ~ " ( , ~ - - , ) ro,~

~ o , .2.~'. "~-, fl o~' ,3 '" .n + f l~o3.12. . 'n + . . . . + ~ o ~ " 12.~ . . . . ( ~ - I )

+ . . . ÷ 2 flo~" ~ ' - - ~flo~" 12~-. - In- 1) r ,~÷ 2 flo2. ~'- 'nflo3" 12--. ~r,~3 ÷ 2 r

÷ - • • ÷ 2flo in-t). 1~3- - - nf lo~" iP.3" " • ( n - l ) r(n-1)n, wobei die Koeffizienten fl sogenannte part iel le Regressionskoeffizienten sind und nach einem rekurrenten System berechnet werden. Es ist z. B.:

r i ~ . - - t i e r e k ; f l i l , : • e m = - - ~-- //,:l.:. e=- l - - r,~k r k e 1 - - f l e k . ~n f i ~ e . m 1 - - f l m k . ~, f l k m . ~ usw.

Fi i r ro.l~ ergibt sieh hieraus die einfaehe Formeh

to- i2 -- /- 2 ..... ? ~ - ~ . . . . . . . . . . . ] 1 - - r~rz

Page 43: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

Ist die Quantit/~tstheorie statistisch nachweisbar ? 565

gleiehzeitig beriicksichtigen wiirden. So ergibt z. B. der lnehrfache Korrelationskoeffizient zwischen dem Preisindex und den Geldmengen an den letzten Tagen dreier Monate, deren letzter noch um 2 Monate zurfiekhegt (also die relativ am meisten versprechende Kombination), bloB folgendes Resultat :

ro.~4s = + 0,626.

Einfaeh r0~ ergab hingegen + 0,60, also um nicht volle 3 Hundertstel weniger !

Es erscheint somit naehgewiesen, dab auf den kausalen Zusammen- hang zwischen Geldmenge und Preis in den Jahren 1924 bLs 1929 eine starke S t f r u n g einwirkte, die nicht direkt dureh monet/~re Einfliisse erkl/~rt werden kann. Es fragt sich nun, wie man dieser StSrung bei- kommen kSnnte. Unsere Ausfiihrungen beruhen die ganze Zeit darauf, dab wir i n ~ff~ und ~ je zwei Komponenten unterseheiden: einerseits M und _P, die wir als mathematisehe Erwartungen von ~)~ und ~ be- trachten, und andererseits die F e h l e r ~0~--M und ~ - - P , die fiir uns eigentlich nu t einen iiberfliissigen Ballast darstelten. Der Gedanke liegt nahe, den Versueh zu machen, diese Fehler aus den Reihen der

und der ~ nach MSglichkeit zu eliminieren, um bessere Azm~herungen an die uns einzig interessierenden M und P zu erhalten. In der ,,Korre- lationsreehnung" babe ich nun nachgewiesen, daB, w e n n d ie R e i h e de r M (bzw. de r P) e i n e n , , g l a t t e n " , d. h. s t e t i g e n V e r l a u f h a t und die einzelnen Fehler einer jeden Reihe gegenseitig unabh/~ngig sind, man zur Eliminierung derselben ein besonderes Verfahren anwenden daft, welches schliel~lich auf die S h e p p a r d s e h e n Formeln der Reihen- ausgleichung hinausl/~uft, i n unserem Falle entsprieht das Material, wie leicht ersichtlieh, diesen beiden Voraussetzungen. Ohne auf die Einzelheiten der Rechnungen einzugehenl), wolten ~4r hier nur die end- giiltigen Resultate mitteilen. Es erweist sieh, da$ die empirische An-

~) Man unterwirft beide Reihen der sogenannten ,,endliehen Differen- tiation" und berechnet nach den Formdn der ,,Korrelationsrechnung" (S. 54ff.) die ,,empirisehen Streuungen" s~, ~2, ~2, %2 . . . . der einzelnen Differenzen. Man erh/ilt hierbei folgende Resultate:

Gr12

Geldumlauf 31. I. 1924--28. II . 1930 Preisindex VII. 1924---II. 1930 . . . .

Geldumlauf 31. I. 1924--28. H. 1930 Preisindex VII. 1924--1I. 1930 . . . .

0.2 2 O~ 2

139 450,03 13 069,84 5 459,64 4 244,57 36645,70 2 588,66 1 320,31 1 088,17

0.4 2 0"5 2 0.6 2

3 964,57 3 951,39 4 010,60 976,93 921 ,57 896,81

Ferner unter Beriicksich~igung der Tabelle I I in ,,Korrelationsreehnung", S. 57:

G e l d u m l a u I 0.12 _ ~ 2 ~2'-' - - ~J 2 % 2 _ _ ( r 2

Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . - - 126 380,19 - - 7 610,20 - - 1 215,07 Mittlere Fehler derselben . . . . 4- 1 539,44 4- 300,28 ~= 165,54

Di~ferenz Verh~ttnis 82,1 25,3 7,3

Mittterer Fehler

Page 44: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

566 O. Anderson:

n~herung an den mi t t l e r en Feh le r der zuf~lligen S t6rung der Reihe der Ge ldmengen 62,96, oder 16,9 % des mi t t l e r en Feh le r s von ~D~, aus- mach t , u n d fiir d ie Re ihe der Pre i s indexe e rg ib t sich dieselbe GrS~e als 31,26 oder 16,3 % des mi t t l e r en Fehlers yon ~ . Wie auch zu e rwar t en s t and , i s t keiner le i Kor re l a t i on zwischen den S t6 rungen yon M und yon P zu bemerken . Infolgedessen k6nnen die empir i schen Ann~herungen ~n die versch iedenen Kor re la t ionskoef f i z ien ten zwischen M u n d P sich ganz le icht nach der F o r m e l 79 der , ,Kor re l a t ions rechnung" be s t immen (wobei d o r t / ~ t / ( N = 0 gesetz t wird). Es erweis t sich, dab hierzu nur not - wendig is t , atte Koeff iz ien ten der urspr i ingl ichen Reihe der r (siehe oben S. 561) r u n d u m 2,8 % zu vergr6gern. W i r e rha l t en d a n n folgende e m - p i r i s c h e A n n £ h e r u n g e n a n d i e K o r r e l a t i o n s k o e f f i z i e n t e n z w i s c h e n M u n d P :

r---,~o r--so r--~o r--lo rot ro~. ros ro~

+ 0 , 3 1 +0 ,31 + 0 , 3 3 + 0 , 4 2 + 0 , 5 0

To~ ro~ To7

+ 0,59 + 0,55 + 0,48

~4 2 - - 0~3 ~

Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . - - 280,00 Mitt lere Fehler derselben . . . . ~ 122,90

Differenz Verh~ltnis 2,3

Mitt lerer Fehler

P r e i s l n d e x a x ~ - - a ~

Dffferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . - - 34 057,04 Mitt lere Fehler derselben . . . . ± 315,82

Differenz Verh~ltnis Mitt lerer Fehler 107,84

a42 - - aa~ Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . - - 111,24 Mitt lere Fehler derselben . . . . + 31,26

Differenz Verh~ltnis Mittlerer Fehler 3,56

+ 0,57 + 0,61 + 0,62

r o s

+ 0,37.

13,18 + 59,21 :t: 102,74 :[: 92,24

0,1 0,6

f f ~ - - o-12 q 3 2 - - 0-2~

- - 1 2 6 8 , 3 5 - - 232,14 7 6 , 5 8 ± 44,61

I6,56 5,20

as~ - - a~ ae ~ as* - - 55,36 - - 24,76 :{: 24,88 :[: 23,32

2,23 1,06

Es ergibt sich somit, dab in beiden ReLhen ~5 ~ sehon geniigend nahe an ~4 ~ herankommt, um eine mehr oder weniger vollst~ndige Eliminierung der , ,g la t ten" Komponenten M und P anzunehmen. Der mltt lere Fehler ffir die Komponente e4 = ~ - - M~ (siehe oben Formet 9) ergibt sich folglich als a ] / - a 4 ~ = l / ~ = 6 2 , 9 6 und derjenlge for e~= ~ - - ~ P i (Fm~nel I0) ats 1/976,93 = 31,26. Hingegen ist der mit t lere Fehler yon ~ gleich ]/139 450,03-- ~373,43 und derjenige yon ~ gleich ~ / 3 ~ , 7 0 = 191,43.

Zwischen den Komponenten e / u n d ~i+j, bei j = 0, 1, 2, 3 . . . . besteht keine irgendwie bemerkbare Korrelation. Das ersieht man daraus, dab die Koeffizienten ~h(K) (, ,Korrelationsrechnung", Formel 99) nur folgende geringe ~¥erte erhalten, die vollkommen in den Fehlergrenzen yon E~(5) = 0 liegen:

0--4 (5) . . . . 0,12 q__a(5) ~ + 0,08 q__2(s~ = _ 0,07 q__l(5) == + 0,00 ~o(0 ~-: + 0,09 ~1(5) ~ - - 0,10 q~(5} = + 0,02 ~a(5) = ~ 0,07

Page 45: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

Ist die Quantit~tstheorie statistiseh nachweisbar ? 567

Die Korrelationskoeffizienten der Na~hbarglieder (siehe oben S. 563) ergeben dabei folgendes:

T12 r13 T14 ~r16 ~'16 r17 rib

Geldzirkulation: + 0,92 + 0,74 + 0,56 + 0,44 + 0,38 + 0,34 + 0,26 Preisindex: 40 ,93 +0,82 40,71 40,62.

Auch bei diesen Werten fiihrt die Berechnung der mehffachen Korre- lationskoeffizienten zu keinem nennenswerten Vorteil. So erhatten wit z. B. fiir den Zusammenh~ng zwischen dem Preisindex und je zwei ibm vorhergehenden Geldmengen folgende Koeffizienten:

r0.1~ = + 0,57 r0.2a = + 0,61 r0.84 = + 0,63 r0.45 = + 0,62 usw.1).

~Tir sehen uns infolgedessen gezwungen, die Zerlegung der Reihen der ~ und der ~ noch weiter fortzusetzen. Naeh der Eliminierung der Komponenten ~ - - M und ~ - - P gem£B den l~egeln der ,Korre- lationsrechnung ''~) ergeben sich folgende Resultate:

(Siehe nachfolgende Tabelle (S. 568/9) und Diagramm Nr. 1 (S. 560). Wir wiederholen, d a ] die Eliminierung der zuf~lllgen Komponente auf der Annahme beruht, die Reihe der mathematisehen Erwartungen M (oder bzw. P) weise einen stetigen, ,,glatten" Verlauf auf, was bei uns auch in der Tat zutrifft. Ferner daft man nicht vergessen, dab die erhaltenen ,,bereinigten" GrSBen ebenfalls nur gewisse Anni ihe- r u n g e n an die wahren Werte der P und der M ' darstellen. In unserem Falle (vgl. ,,Korrelationsrechnung", S. 120) betr~gt der mittlere Fehler unserer Ann£herung ~ ,175 des mittleren Fehlers der eliminierten Komponenten, reduziert ihn also ungef~hr um 58%.

Bei der Betraehtung des Diagramms Nr. 1 fi~llt es auf, dal] sowohl die Linie der a u s g e g l i e h e n e n Preisindexe als auch diejenige der aus- g e g l i c h e n e n Geldmengen einen gewissen j£hrlichen Zyklus aufweisen, der offenbar den allgemeinen Bewegungslinien beider iibergelagert ist. Wir haben oben schon bemerkt, dab der Zyklus des Preisindexes leider als mehr oder weniger fiktiv angesehen werden muG; es liegt daher der Gedanke nahe, ihn ebenfalls als stSrendes Element Bus der Reihe zu eliminieren und sozusagen nur ihre ,,Grundtendenz" iibrig zu behalten. Das geschieht am bequemsten durch Berechnung der gleitenden Durch- schnitte aus je 12 Monaten. Diese Methode ist bei einem ausgesproehenen j/~hrlichen Zyklus, der einer glatten und sich nur langsam ~ndernden

1) Ich berechne die Korrelationskoeffizienten fiberM1 nur so lange, als Aussicht auf Effolg zu winken scheint und verlasse mich dabei haupt- s~chlieh auf den ,,statistischen Instinkt". Es ist ja nicht ausgeschlossen, dal~ vielleicht hie uncl da die Erweiterung der Rechnungsgrenzen auch zu neuen interessanten Resultaten ffihren kSnnte, doch fibersteigen solehe Berechnungen schon die Krafte eines einzelnen Forschers.

2) Wir nehmen an, dab in der 4. endlichen Differenz die Komponenten M und P schon genfigend eliminiert werden und wenden hierbei die Formel der 5. Ann~iherung an, d. h. die letzte der Formeln (69) auf S. 120 der ,,Kor- relationsrechnung".

Page 46: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

568 0 . Anderson:

, ,Kurve" iiberlagert ist, noch das relat iv sieherste und jedenfalls das a m wenigsten anspruchsvolle Verfahren. Dami t beide Reihen ver- gleichbar bleiben, mul~ die Saisonkomponente aus der Geldreihe ebenfalls elimlniert werden. S o m i t v e r l i e r e n w i r d i e M S g l i c h k e i t , e i n e n Z u s a m m e n h a n g f e s t z u s t e l l e n , d e r w a h r s c h e i n l i c h z w i s e h e n d e n b e i d e n w a h r e n S a i s o n k o m p o n e n t e n b e s t e h t u n d e v e n - t u e l l a u c h d e m B a n k i n g - P r i n z i p e n t s p r e c h e n k S n n t e . Es w~re sehr zu wiinschen, dal3 wenigstens in Bulgarien, wo die nStigen Unter lagen bereits vorhanden sind, der Versueh gemacht werde, bei den Preisen fiir jeden Monat eigene Gewichte einzufiihren, u m eine Ann~hemmg an die wahre Saisonbewegung des Indexes zu bekommen.

Geldzirkulation Gro~handelsindex in Millionen Lewa

und ~Ionat Aus~e- .. _

1925: I I I I I I IV V VI

VII VII I IX X XI XI I

1926: I H H I IV V VI VII

VII I IX X XI XI I

1927 : I I I I I I IV V VI VII

VIII IX X XI XII

l glichene I werte Werte I zu 12

4547,8 4539,7 4522,5 4489,0 4438,6 4374,1 4305,2 4231,0 4158,4 4086,3 4019,5 3960,3 3908,4 3869,3 3830,4 3794,2 3761,3 3734,3 3710,3 3689,5 3670,0 3657,2 3651,1 3 6 5 2 , 6

3662,2 3677,7 3699,5 3725,5 3755,1 3784,0 3810,3 3833,5 3855,1 3875,8 3895,7 3916,3

Saison- Ausge- Kom- glichene

ponente Werte

133,6 3153,0 ~- 64,9 3191,7 ~- 4,3 3206,0

- - 39,2 3182,9 - - 39,6 3136,1 - - 7,5 3061,2 - - 33,8 2994,7 ~- 41,4 2954,5 ~- 30,1 2937,9 - - 23,8 2922,5 - - 56,7 2902,1 - - 84,2 2893,7 - - 116,9 2900,5 - - 135,2 2875,8 - - 169,0 2853,1 - - 146,6 2814,9

72,6 2768,8 -~ 9,9 2722,5 ~- 92,1 2707,7 -~ 115,7 2712,4 ~- 84,1 2724,8

10,3 2737,5 11,8 2748,4

- - 65,3 2765,4 - - 120,0 2777,0 - - 177,7 2781,4 - - 191,9 2778,2 - - 150,6 2775,6 - - 48,4 2779,3 -}- 75,1 2785,8

177,9 2798,5 -{- 233,2 2820,7 -}- 211,5 2846,6 -~ 146,5 2873,4 ~- 90,2 2903,4

- - 13,2 2950,1

Gleitende] Mittel- I Saison- werte Kom- zu 12 ponente

2996,7 -~ 156,3 3028,2 ~- 163,5 3050,9 % 155,1 3063,8 % 119,1 3066,2 % 69,9 3059,1 % 2,1 3044,7 - - 50,0 3023~7 - - 69,2 2997,3 - - 59,4 2967,9 - - 45,4 2937,2 - - 35,1 2906,6 - - 12,9 2878,4 ~- 22,1 2854,5 ~- 21,3 2 8 3 4 , 3 J r 1 8 , 8

2 8 1 6 , 6 - - 1 , 7

2 8 0 1 , 1 - - 3 2 , 3

2788,3 - - 65,8 2777,6 - - 69,9 2767,3 - - 54,9 2759,5 - - 34,7 2753,2 - - 15,7 2750,0 - - 1,6 2750,8 + 14,6 2756,1 % 20,9 2763,7 % 17,7 2772,7 ~- 5,5 2782,9 - - 7,3 2794,2 - - 14,9 2807,1 - - 21,3 2822,5 - - 24,0 2840,7 - - 20,0 2861,0 - - 14,4 2882,6 - - 9,2 2904,8 - - 1,4 2926,7 -~ 23,4

Page 47: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

Is t die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar ? 569

Geldzirkulation I Gro fihandeIsindex in Millionen Lewa

Jahr Gleitende und Monat Aus~e- ~ _

1928 : I

VII VIII

XII 1929: I

VII VIII

Ausge- Gleitend Saison- glichene Mittel- Werte w e r e

gliehene Mittel- werte

Werte zu 12

3821,0 3938,7 - - 117,7 H 3 7 5 9 , 6 3964,8 - - 205,2 I I I 3755 ,2 3993,9 - - 238,7 IV 3814 ,2 4025,3 - - 211,1 V 3953 ,8 4058,8 - - 105,0 VI 4127 ,4 4096,3 + 31,1

4301,4 4140,4 + 161,0 4415,7 4182,3 + 233,4

IX ~ , 3 4222,0 + 222,3 X 4424,4 4255,3 + 169,1 XI 4436 ,0 4281,3 + 154,7

4432,1 4300,0 -}- 132,1 4324,0 4310,4 -+- 13,6

I I 4234 ,9 4311,2 ~ 76,3 H I 4155 ,4 4300,1 - - 144,7 IV 4125 ,8 4277,I - - 151,3 V 4 1 7 8 , 2 4245,9 - - 67,7 VI 4252 ,7 4205,5 + 47,2

4310,3 4152,9 + 157,4 4282,4 4088,1 + 194,3

IX 4169 ,2 4016,5 -f- 152,7

Kom° ponente

Saison- Kom.

ponente

+ 46,6 + 56,8 + 46,8 + 32,8 + 13,5

4,7 - - 16,9 - - 23,5

28,0 - - 27,3 - - 13,7 + 25,1 + 50,8 + 82,9 + 81,1 + 60,6 + 45,6 + 30,9 + 9,7 - - 1,8 + 12,0

Die Reihen der gleitenden 12-Monat-Durchschnitte sind offenbar um die 6 ersten und die 5 letzfen Monate kiirzer als die Relhen der ur- spriinglichen Daten. Wit beginnen sie daher ers¢ mit dem Januar 1925 und schlieflen schon mi t dem September 19291).

Wenn wir yon den a u s g e g l i c h e n e n Werten des Geldumsatzes (Kol. 1 in der Tabelle auf S. 568]9; wir nehmen an, dab sie yore grSBeren Tefle der zuf'aUigen Komponente bereinigt sind) die entsprechenden gleitenden 12-Monat-Durchschnitte abziehen, yon denen wir wiederum annehmen, dab aus ihnen die Saisonkomponente mehr oder weniger eliminiert ist (daselbst Kol. 2), so erhalten wir offenbar die Ann~herungs- werte der Saiso~komponente selbst (Kol. 3). I h r ziemlich ausgesprochener periodischer Charakter geht aus dem Diagramm Nr. 2 hervor (siehe S. 570). Daselbst sind die , ,Kurven" der einzelnen Jahre im gemeinsamen

1) Es w~re theoretisch etwas korrekter, bei der Berechnung der gleitenden 12-Monat-Durchschnitte den jedweden ersten Monat zu halbieren und daffir die H~lfte des 13. Monats zuzuffigen. Dann wfLrden sich die Durchschnitte auch formal auf diesetben Daten beziehen, denen jeder siebente Monat ent- spricht, der in die Summe eingeht. Doch ist der Unterschied so klein und der Gewinn hierbei so gering, dab wir davon Abstand nahmen und einfach annahmen, tier Durchschnitt aus 12 ~Ionaten entspr'ache den Daten des siebenten Monats. ~brigens spielt diese Ungenauigkeit bei der Berechnung der Korrelationen zwischen den bere'migten Grundzahlen beider Reihen, wie leicht ersichtlich, fiberhaupt keine Rolle.

Page 48: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

570 O. A n d e r s o n :

Mal3stab aufgetragen. ])iagramm Nr. 3 bezieht sieh auf ebensolche Daten fiir die Saisonkomponente der Preisindexe. Auch bier ist die Periodizit/~t augenf/Cllig. Interessant ist, dal3 beide Saisonkomponenten ziemlich gegenl~ufig sind. ])as ersieht man besonders deutlich aus dem

+200

÷~00 = ~

0 "-

-400

-200

/ . , ~ . -'.'" ~ - ,~ .......

/ / ~ f927" "~..%

~" " ' ~ " " ~ i"'--. ~

• " . . , . , . ,

Abb. 2. Sais0nkomponenten der Geldzirkulation

÷~00 ~ , / . . . . . . . "-.. . ~ a s

+ 50 /:2 ......... .... "... ,,, " , . . .~. ",'~.~ ~J28 = "7= ~ ........ L. " : " ' ~ . . . . . .~ , .~

/927 ....

- 5 o . , ._ . j ~ ~

Abb. 3. Saisonkomponenten des Preisindexes

5 0

0

- 5 0

/

6etdziNmlafion

, /I i/, , v l v l w v. vm ~ x xl x . t •

Abbo 4. Av I t l ~e t i sohe M o ~ f ~ d ~ o h s c l m t t t e der beidon Ssiso~lcomponenten

*~0

0

- ~ 0

Page 49: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar? 571

Diagramm I~r. 4, wo die arithmetischen Durchschnitte beider Kompo- nenten aufgetragen sindZ). Unsere Feststellung w~re recht interessant, wenn eben die Saisonkomponente der Indexe nicht bloB fiktiv w~re. Der mittlere Fehler der Reihe der Saisonkomponenten der Geldmengen berechnet sich als gleich 129,97. Derjenige dex Preisindexe macht nur 52,82 aus. Wiirden wir hingegen die Abweichungen der einzelnen Monate nicht yore arithmetischen Durchschnitte der ganzen Reihe, sondern immer yore arithmetischen Durchschnitte der Werte eben dieses Monats messen, so wiirde der sich ergebende g l e i t e n c l e m i t . t l e r e F e h l e r der Saisonkomponente der Geldmengen bloB 75,97 ausmachen, und derjenige tier Indexe 32,49.

Betraehten wir auf dem Diagramm Nr. 5 die Grundkompo- nenten der Reihen der Geldmengen und der Preise, die yon der zuf~Uigen

I I I I I J l l l l l

J

PlilLLevo"'"'L . . . . . . ~ " 1 ~ ' ' ' '

4600

4 4 0 0

#200

4000

3800

O/o

3fO0

3000

2900 - %

2800

2700

2 6 0 0 , , , , , I , , , , , , . . . . I , , , , . . . . . . I , . . . . 1925 t926 4927

1,~h[,,ii, iLi,~[i,~l* I

".Bereinigte Geldzi~dot~ -

/~*-"*-"lusgegticheneP Index

~BePe 'migteP Index {~r.¢ S a l s a 3

f928 f929 Abb. 5

z) Die Daten sind die folgenden: Monate: I II I I I IV V VI

Durchschnittt. Saisonkom- ponento der Geldmengen: --41,5 - - 105,9 - - 148,0 - - 139,8 - - 66,7 -~ 31,2 Durchschnittl. Saisonkom- ponente der Indexe: -I-59,3 ~-68,4 -1-61,5 -t-40,7 -t-16,4 --11,8

Monate: VII VIII IX X XI XII Durchschnittl. Saisonkom- ponente der Geldmengen: ~-110,9 -t-163,6 -k140,1 -t-75,5 ~-44,1 ---7,7 Durchsclmittl. Saisonkom- ponente der Indexe: M30,2 - -33,9 - -24,9 - -24,4 --13,0 -~12,6

Page 50: 1st die Quantitätstheorie statistisch nachweisbar?

572 O. Anderson:

und yon der Saisonkomponente bereinigt sind, so f~llt uns die fast voll- st~ndige ~bereinstimmung ihres Verlaufes in die Augen. Aueh hier ist ein schwacher ,,Lag", d. h. eine geringe Verschiebung der Wende- punkte der Indexlinie nach rechts, im Vergleich mit denjenigen der Geldlinie, zu bemerken. Da jedoch die Reihe der Indexe bis zum Sommer 1929 eine allgemeine zunehmende Tendenz aufweist, w~hrend die Geld- reihe sich mehr um eine Horizontale bewegt, so wird der Korrelations- koeffizient zwischen beiden keine so groBen Werte aufweisen, wie es dem augenf~lligen Parallelismus des Verlaufes derselben eigentlich entspritche.

In der Tat, wenn wir die fri~eren Bezeiehnungen gebrauehen (siehe oben S. 561), so erhalten wir fiir die Korrelationskoeffizienten zwischen den Grundzahlen beider Reihen folgende Wertel):

r--ao r--2o r~o ro~ roa roa ro4 ros + 0,79 + 0,81 + 0,82 + 0,85 + 0,85 + 0,82 + 0,77 + 0,71

Wir bemerken sofort, dab der ,,Lag" der Reihen betr~ichtlich zurfick- gegangen ist: bei den urspriinglichen Daten ergab to4 das Maximum, jetzt hingegen liegt das Maximum zwischen r01 und r0v

a,~ (siehe oben S. 549) • i n r01 = r 0 2 ~-~-0,85 entsprieht der Annahme, - ~

liege in den Grenzen yon 0,85 his 1,00. Auf die S t6 rung verbleibt somit kaum 15 % der Vaxiationen yon unserem bereinigten M. Selbst wenn man in Betracht zieht, dab unsere rot und r02 nur empirische An- n~herungen an den wahren Wer~ des betreffenden Korrelationskoeffi- zienten sind, so ergibt der dreffache mittlere Fehler desselben, nach der

l - - r ~ - Formel - - ~ bereehnet, kaum 4- 0,11, die zum Bruch 0,15 hinzugez~hlt

werden kSnnen. Worin die S tS rung eigentlich liegt, ist bei Fehlen der entspreehenden statistischen Unterlagen mit Sicherheit nicht zu be- stimmen. MSgUch ist, dab hier eine relative Zunahme der KomponenCe M' gegeniiber M vorliegt (was der Zunahme der Ums~tze der Clearing- Abteilung entsprache: Siehe oben S. 555, Anmerkung), mSglich, dab die Umlaufsgeschwindigkeiten im Zunehmen begrfffen sind, mSglieh aueh, dab KreditschSpfungen ihre Rolle gespielt haben. In den beiden ersten

1 l~fillen wiirde sieh in der Gleiehung (8) eine Zunahme des Koeffizlenten -~

ergeben, im letzten - - eine Zunahme der StSrung 7, Der EinfluB der noch vorhandenen StSrung kann auch mit Hilfe

der multiplen Korrelation nieht aus de m Wege geschafft werden. Bei

I) Es w~ro ein leichims, dutch kloine Modifikationen im Rechnungs- verfahren (entsprechende Auswahl des Nenners!) die Werte allot Koeffi- zienten um ca. 20/o zu vergr6Bern. Wit haben bier mit Absicht die denkbar ungiinstigste Kombination gew~hlt, da wir geringen Unterschieden in den Korrelationskoeffizienten kein Gewicht beilegen und m6glichst vorsiehtig sein wollen.

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Ist die Quantiti~tstheorie statistisch naehweisbar*. 573

Beniitzung der friiheren Bezeiehnungen wiirden wir folgende mehrfache Korrelationskoeffizienten fiir den Zusammenhang zwisehen Index und je 2 ihm vorhergehende Geldmengen erhalten 1)

re. 13 re. ~a re- s4 ro.45

+ 0,861 + 0,851 + 0,821 + 0,773.

Fiir den Zusammenhang zwischen Goldmenge und je 2 ihr vorhergehenden Indexen hingegen:

r--o. 1~- = + 0,826; r _ o. ~a = + 0,810 usw.

Aueh hier entspricht das Material etwas besser den Annahmen der Hy- pothese der Quantit~tstheorie als denjenigen des Banking Prinzips. Die Saehlage wiirde dutch gleiehzeitige Hinzuziehung der Daten fiir je 3 Monate keine nennenswerte Ver~nderung erfahren. So ergibt z. B. der mehrfaehe Korrelationskoeffizient zwischen dem Index und den 3 ihm unmittelbar vorhergehenden Geldmengen blo6 das folgende Resultat:

ro.123 = +0,862.

I)er amerikanisehe St~tistiker, welcher in den Traditionen der Harva rdschen Trend.Ausschaltungsmethoden aufgewaehsen ist, wiirde in unserem Falle wohl ohne weiteres den ,,Trend" aus den bereinigten Grundzahlen der Preisindexe aussehalten und hierauf in der Tat einen viel grSBeren Wert flit rex oder re2 erhalten. Wie an anderer Stelle aus- gefiihrt wurde2), verhalte ieh mieh im allgemeinen zu solehen Praktiken guBerst skeptiseh, da mir ihr nationalSkonomischer Sinn nieht reeht einleuchten will. Im vorliegenden Fall kann z. B., wie wir eben gesehen haben, die allmghliche Zunahme der Grundreihe der Indexzahlen in den Jahren 1925 bis 1929 dureh mindestens eine yon 3 verschiedenen Ursaehen hervorgerufen sein, wahrscheinlich aber dutch eine Kombination mehrerer Ursaehen. Wie yon dieser Feststellung eine Briieke zur Annahme e ine r b e s t i m m t e n m a t h e m a t i s c h e n F o r m e l fiir den Zusammen- hang zwisehen ,,Zeit" und ,,Trend" gesehlagen werden kSnnte - - bleibt mir ganz unklar. Eine ,,Trendbereinigung" wi~re in unserem Falle desto weniger angebraeht als offensiehtlich im Sommer des Jahres 1929 ein sehaffer Umschlag in der aUgemeinen Tendenz der Indexzahlen einge- treten ist, da sie seit jener Zeit rapide abzunehmen anfangen und, in Gold gereehnet, im November 1930 schon bei 95% des Indexes yon 1914 angelangt sind. Das einzige, was wir noch mit reinem Gewissen tun kSnnen, besteht in einer solehenTransformation der Verkehrsgleichung,

1) Die Korrelationskoeffizienten der Naehbarglieder, die zur Errechnung dieser Koeffizienten erforderlich sin(l, ergaben folgende Werte. Geldmengen: rlz=+0,95 , rla=+0,90. Indexe: rla=+0,98, rla=+0,97.

2~ Vgl. O. Anderson, ,,Zur Problematik der empirisch.statistisehen Konjunkturforschung, Kritlsche Betraehtung der Hervard-Methoden", Bonn 1929 (VerSffentlichungen der Frankfurter Gesellsehaft fiir Konjunktur- forsehung, Heft 1).

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574 0. Anderson:

die den EinfluB derartiger systematiseher Vergnderungen in den Orund- daten m6glichst reduziert. Formel (7) ergibt uns fiir ein gewisses ~--tes J a ~ die Gleiehung: M~=K Pi+~?i. Wenn nun im darauffolgenden ( i f 1)-- ten Jahr sich der Koeffizien~ K nicht /indert, so besitzen war die Gleichung: Mi+ I = K Pi+l +~7i+i- Zieht man yon dieser die Gleichung des i---ten Jahres ab, so erh/~lt man offenbar:

(M,+~--M~) =K (P,+~-- P~) + (~,+~-- ~),

d. h. eine Verkehrsgleichung f/Jr die sogenannten e r s t e n D i f f e r e n z e n der Reihen cler Indexe und der Geldmengen. Wenn jetzt der Koeffizient K selbst nicht stabil ist, sondern sich mAt der Zeit stetig in einer gewissen Richtung ~ndert, so wird, wie aus der Theorie der endiiehen Differenzen bekannt, in den meisten F~llen diese Ver/~nderung in der Differenzen- Verkehrsgleichung weniger zu spiiren sein als in der urspr/inglichen. Dasselbe bezieht sieh aueh auf eine evolutorische Komponente in ~/i. Eine bestimmte mathemaffmche Gleichung fiir die Bewegung der K und der ~7 braucht man hierbei nicht zu supponierenl).

Der Korrelationskoeffizient fiir die ersten Differenzen der bereinigten Reihen der Geldmengen und der ihnen nach 2 Monaten folgenden Preis- indexe ergibt in der Tat den Wert :

ro~(1> = + 0,928 g).

Sogar die Beriicksichtigung der m6gliehen Fehlergrenzen unserer Be- stimmung wiirde diesen Wert nicht unter +0,87 bringen k6nnen.

Das Ergebnis unserer Untersuehung k6nnen wir je tz t wie folgt formulieren: w e n n m a n d ie R e i h e n d e r G r o B h a n d e l s i n d e x e u n d d e r u m l a u f e n d e n G e l d m e n g e n , d ie f/Jr B u l g a r i e n in d e r Z e i t z w i s c h e n J u l i 1924 u n d F e b r u a r 1930 b e r e c h n e t w u r d e n , n a c h M 6 g l i c h k e i t y o n d e r z u f ~ l l i g e n u n d y o n d e r S a i s o n k o m p o n e n t e b e r e i n i g t , so k a n n m a n f e s t s t e l l e n , d a b im D u r c h s e h n i t t e t w a 9[1 o d e r V a r i a t i o n e n d e r ve r - b l e i b e n d e n G r u n d k o m p o n e n t e de r I n d e x e s ich aus d e n i h n e n v o r h e r g e h e n d e n V a r i a t i o n e n d e r G r u n d k o m p o n e n t e d e r Ge 1 d me nge n a bleAt e n 1 a s sen. Diese Feststellung korrespondiert besser mi~ der Quantit/~tstheorie Irving F i s h e r s als mit dem Banking-Prinzip, denn erstens ist es bekannt, dab w~hrend unserer Beobachtungsperiode die umlaufende Geldmenge mehrmals ziemlich unabh~'ngig yon den Erfordernissen des Warenmarktes durch die Nationalbank ver&ndert

1) Vgl. ,,Korrelationsreehnung", 8. 48ff. s) Wir haben hierbei zur Berechnung der mittleren l~ehler beider Diffe-

renzenreihen nut diejenigen Differenzen hinzugezogen, deren Produkte im Z~hler des Korrelationskoefffizienten auftreten. H~tten war die beiden ersten Differenzen der Preise und die beiden letzten der Geldmengen nicht weg- gelassen, so erg/~be sieh fftr ~'oz(I) nur der Wer~ -t-0,868. Dies~ Beispiel beweist wiederum, wie vorsiehtig man gegenflber kleinen Differenzen in den Werten der Korrelationskoeffizienten sein muB: nieht selten k6nnen sie nut dutch Einzelheiten in der Reehnungsweise hervorgeru~en werden.

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Ist die Quanti~tstheorie statistisch nachweisbar ? 575

wurde, und zweitens konnten wir feststellen, dab die Bewegungen der Geldmengen sich aus den vorhergehenden Bewegungen der Preise s c h l e c h t e r erkl~ren lassen als umgekehrt.

Es bleibt uns nur noch eine Frage kurz zu behandeln fibrig: diejenige naeh den M6gliehkeiten einer Voraussage der zukiinftigen Preise auf Grund der Daten fiber die Geldmengen, welche zur Zeit zirkulieren. Trotz dcr etwas h6heren Korrelationskoeffizienten, die fiir die Diffe- renzen-Verkehrsgleichung erzielt werden k6nnen, sind diese ffir Prognose- zwecke ~Jcht tauglicher als diejenigen der Grundkomponenten: abgesehen yon der gr6Beren Kompliziertheit der Reehnungen, wird der Gewinn, der bier durch die besseren Korrelationskoeffizienten erreieht wird, wieder durch die breiteren Fehlergrenzen der Bestimmungen ziemlieh aufgewogen.

Unter Anwendung der Formeln (124) und (117) der ,,Korrelat, ions- reehnung" ergibt sieh ffir die Voraussage des Indexes aus den Geld- mengen der 3 unmittelhar vorhergehenden Monate folgende Formel:

P'~ = 0,261 M~_ 1 + 0,178 M~- 2 + 0,083 M~- 3 ÷ 860,0. (16)

Der mittlere Fehler dieser Bestimmung berechnet sich aus den Formeln (123) und (117) der ,,Korrelationsrechnung" und erweist sieh als gleieh:

as = 79,46.

Doch diese Formeln beziehen sich nur auf die Grundkomponenten, die yon der zuf~lligen und yon der Saisonkomponente sehon bereinigt sind. Um zu den urspriinglichen Zahlen ~ und ~ zu gelangen, mfissen die nun folgenden Operationen vorgenommen werden. Da wir bei der Bereinigung der gleitenden 12-1~Ionats-Durchschnitte gerade fiir die laufenden Monate keine ausgeglichenen Werte erhalten k6nnen und auch die Ausschaltung der zuf~lligen Komponent~ ffir diese so ungenau wird, dab sie lieber ganz unterbleibt, so k6nnen wir yon den urspriinglichen Daten fiir die Geldums~e nur die Durchschnittswerte der Saison- komponenten der entsprechenden Monate abziehen. Jede Ann~herung an die wahre bereinigte Grundzahl, die auf diese Weise erhalten wird, enth~lt zwei mittlere Fehler: einmal den mittleren Fehler der zuf~lligen Komponente ~ J~M i , den wir dureh ax bezeiehnen wollen, und dann den mittleren Fehler der subtrahierten Saisonkomponente, f ~ den wir das Symbol a s z einffihren. In unserem Falle ist ax = 62,96 (vgh oben S. 565/6, Anmerkung), und als erste Ann~herung an as x k6nnen wir den g 1 e i t e n d e n mittleren Fehler der Saisonkomponente betrachten (siehe oben S. 571): ~sx=75,97. Sind die beiden Fehlerquellen gegenseitig unabh~ngig, so ergibt sieh ihr gesamter mittlerer Fehler als y~x2 +asz 2, Diese Annahme ist in unserem Falle recht plausibel. Die so erhaltenen Ann~herungen an Mi-1, Mt-9, Mi-3 werden nun zusammen mit den ihnen anhaftenden Fehlern in die Gleichung ffir P'i eingesetzt. Jenes P'i, welches sich hieraus ergibt, ist jedoch noch mit seiner Saisonkomponente zu versehen. Aueh hier k6nnen wir nut die durchschnittliehe Monatskomponente addieren,

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576 O. Anderson:

wodureh wit wiederum einen mittleren Fehler asy einffihren. Als seine Anngherung besitzen wit die Gr6Be 32,49 (vgl. oben S. 571). Vergleieht man das sieh je tz t ergebende P" i mit dem tats/iehlich stattgefundenen Us; so daft man wiederum nieht vergessen, dat~ P"~ eine Ann£herung an die mathematisehe Erwartung Pc sein soll, yon weleher ~i sieh selbst dureh einen zuf~ttigen Fehler unterseheidet. Der mittlere Fehler dieses Fehlers soll hier dureh ay bezeiehnet werden. Oben auf Seite 566 (An- merkung) fanden wit fftr diesen den Weft ay---31,26.

Kombiniert man alle mittleren Fehler zu einer Formel und geht hierbei yon der Annahme aus, die einzelnen Fehler seien gegenseitig vollkommen unabh~ngig (was in erster Ann/~herung und bei unserer ziemlieh summarisehen Reehnungsweise wohl als reeht plausibel er- seheint), so ergib~ sieh der gesamte mittlere Fehler unserer Prognose aus der Formel:

a : ± V(0,2612 ÷ 0,1782 + 0,0838) (a~x + a28~) + a~ + a~sy ÷ a2~

Naeh Einsetzung der numerisehen Werte der einzelnen Komponenten erhalten wir hieraus: a = ± 98,41.

Der mittlere Fehler dient dazu, die mSglichen Fehlergrenzen unserer Bestimmung abzuseh£tzen. Is t das Verteilungsgesetz des Fehlers das GauBsche, so ist die Wahrsehehflichkeit eines Fehlers bis zum Betrage + a gleieh 0,683, diejenige eines Fehlers bis zum Betrage ±2 a gleich 0,954, diejenige bis zum Betrage ± 3 a gleieh 0,9973 usw. Is t das Ver- teilungsgesetz nieht das GauBsehe, so kann man immerhin noch das sogenannte T s c h e b y s o h e f f s e h e Theorem auf den Fall anwenden: die Wahrseheinliehkeit, dal3 der Fehler die Grenzen i 2 a nieht fiber- steigt, ist bei ihm jedenfalls grSBer als 0,750, diejenige flit die Grenzen ~:3 a - - sehon gr6Ber als 0,889 usw.1). Demzufolge bleibt die Auswahl der Grenzen fiir den mSgliehen Fehler der Bestimmung immer etwas wiltkiirlieh, doeh ist es jetzt beinahe allgemeiner Brauch, als solehe ± 3 a zu betraehten. In unserem Falle h~tten wir somit die Fehlergrenzen unserer Indexprognose im Bereiehe ±295 Einheiten erhalten. ])as sind so weitherzige Grenzen, dab sie hier eigentlich jede Prognose illu- soriseh maehen. J e d e n f a l l s w £ r e d e r m 6 g l i e h e F e h l e r b e d e u t e n d g e r i n g e r , w e n n wi r als v o r a u s s i c h t l i e h e I n d e x z a h l des n ~ e h s t e n M o n a t s e i n f a e h d i e j e n i g e des l a u f e n d e n M o n a t s a n s e h e n wi i rden .

Das Ergebnis tmserer Prognose naeh der Formel (16) ist in folgender Tabelle dargestellt:

Jahr 1929 1930 und Monat XII I II III IV V VI VII VIII IX X XI

Tats~chlieher 3076 3107 2990 2732 2721 2637 2514 2467 2503 2395 2373 2304 Index

seiue 3036 2971 2829 2733 2741 2742 2721 2679 2653 2702 2738 2795 ~ V o r a u s s a g e ' '

~) Vgl. ,,Korrelationsrechnung", S. 28.

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Ist die Quantit~tstheorie statistisch nachweisbar ? 577

Trotz der sehr sehleehten ~bereinstimmung beider Reihen, sind die yon uns angenommenen Fehlergrenzen so weir, dab man bis August des Jabres 1930 sich eigentlieh noch mit den erzielten Resultaten zu. friedengeben kSnnte, doeh vom n~ehsten Monat angefangen, wird die Divergenz so groG, das man an einen Brueh in der Homogenit£~ des Materials denken muG. Das ersieht man besonders gut aus dem Diagramm Nr. 6. Hier sind dureh verschiedene Sehraffierungen die einzelnen Fehler- zonen angedeu~et. Am dunkelsten ist die Fehlerzone :k ~ angezeigt. Im Falle einer GauBschen Verteilung ist, wie wir oben bemerkt haben, die Wahrseheinlichkeit eines in diese Zone faUenden Fehlers gleieh 0,683. Die hellere Sehraffierung bedeutet die beiden Zonen yon a his 2 a.

3300

3200

3fO0

3000

2900

2800

2700

2600

2500

2600

2 3 0 0 ~ ,

!

I

IV V A b b . 6

;I }

xtxi

Ihre gesamte Wahrscheinlichkeit ist, nach G a u l , 0,954--0,683 = 0,271. Die hellsten zwei Zonen liegen hingegen in den Grenzen yon 2 ~ bis 3 a, und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in diesen Grenzen ist bloB 0,997--0,954 = 0,043. Wie wir sehen, bewegt sich der tats~chliche Index bis zum August 1930 noch so ziemlich in den Grenzen eines nicht al]zu unwahrscheinlichen Fehlerbetrages.

:Folglieh kann der au~erordentliche Rfickgang des Gro6handels- indexes bis hierher noch aus der heftigen Reduzierung der umlaufenden

Zei~schr . f . N a t i o n a l 6 k o n o m i e , I I . B d . , 4. H . 37

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Gelder mehr oder weniger abgeleitet werden. Weiterhin aber ist schon der EinfluB des ungeheueren Preissturzes des Getreides auf dem Welt- markte das entscheidende Moment. Wenn bis zum Ende des Sommers 1930 die bulgarische Krise zu einem nicht geringen MaBe aus dem Im- pressionismus der befolgten Geld- und Kreditpolitik erkl~rt werden k6nnte, so ist ihr weiterer Verlau/schon durch den Einbrueh der Welt- krise bedingt. Somit ist jetzt die Homogenit~t der Entwicklungslinie, die in Bulgarien seit 5 Jahren existierte, zerstfrt und unser ,,Experiment" faktisch zu Endel Ob ein wesentllch anderes, neues anf&ngt - - wird die n~chste Zukunft lehren.

Der Fall ist insofern besonders lehrreich, als er die Gefahren klar bloBlegt, die jeder wirtschaftlichen Prognose anhaften. Die Prognose ben~ t auf der Annahme ,,rebus sic shzntib~s" und mit dieser zusammen f£llt sic. Das ist iibrigens iiberhaupt das Los einer jeden Prognose. Aueh die Prognose eines Architekten z. B., der die Lebensdauer eines neuerbauten Hauses vorhersagt, kann durch ein Erdbeben, wie in Siid- bulgarien, dureh einen Erdrutsch, wie in Lyon, oder aueh dureh eine einfache Stra~enregulierung ganz zuschande gemacht werden.

Es ist nicht zu leugnen, daB, wenn bessere und mehr fiir den Fall passende statistische Daten vorllegen (bei mls etwa - - Preisindexe mit Monatsgewichten), man auch bessere Prognosen erhalten kann, denen geringere Fehlergrenzen anhaften. Diese Fehlergrenzen miissen jedoch fiir jede Prognose festgestellt werden, und je komplizierter die Rechnung, desto gr6Bere Dimensionen nehmen sie an. Es ist vorteilhaft, sie au/ dem Diagramm nach Art unseres gestriehelten ,,Korridors" anzugeben, wobei man ffeilich nicht vergessen daft, dab die W/~nde des ,,Korridors" sozusagen elastisch sind: auch die Grenzen des 2- bis 3fachen mittleren Fehlers k6nnen zuf~llig auf kiirzere Zeit fiberschritten werden. Es bleibt die Aufgabe der Forsehungsinstitute, in jedem Falle festzustellen, ob die Voraussetzung ,,rebus slc s~zntibus" noch als zutreffend angesehen werden kann oder nieht. W~ren die Prognostiker in ihren Prophezeiungen und in ihren Aspirationen bescheidener gewesen, so wiirde vielleicht ihre Autorit~t durch ihr Versagen in der Voraussage der heutigen wirt- schaftliehen Krise weniger gelitten haben. Jedenfalls kann daffir die mathematisehe Statistik nicht verantwort|ich gemacht werden.