Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-1

2. Die Steifigkeitsmatrix

● Freiheitsgrade der Gesamtstruktur:– Bei einem ebenen Fachwerk hat jeder Knoten zwei Frei-

heitsgrade, nämlich die Verschiebungen ux und u

y, zu

denen die Kräfte Fx und F

y gehören.

x

y

u7x

u7y

1 2 3 4

5

6 7

F6y

F6x

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-2

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Die Verschiebungen werden in der Verschiebungsmatrix und die Kräfte in der Lastmatrix zusammengefasst:

[u ]=[u1 xu1 yu2 xu2 y⋮

u7 xu7 y

] , [F ]=[F 1 xF1 yF 2 xF2 y⋮

F 7 xF7 y

]

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2. Die Steifigkeitsmatrix

● Assemblierung:– Für jeden Knoten muss das Kräftegleichgewicht erfüllt sein.– Am Knoten greifen die Stabkräfte sowie die äußeren Kräfte

an.– Die Stabkräfte können über die Elementsteifigkeitsmatrizen

aus den Verschiebungen berechnet werden.– Dazu müssen zunächst die Verschiebungen an den beiden

Knoten des Stabelements aus der Verschiebungsmatrix extrahiert werden.

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2. Die Steifigkeitsmatrix

– Beispiel: Element 2

x

y

u3x

u3y

1 2 3 4

5

6 7

u2y

u2x

1 2 u3x

u3y

u2y

u2x

2

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-5

2. Die Steifigkeitsmatrix

[u2 ]=[u2 xu2 yu3 xu3 y

]=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

] [u1 xu1 yu2 xu2 yu3 xu3 yu4 xu4 yu5 xu5 yu6 xu6 yu7 xu7 y

][a2 ]

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-6

2. Die Steifigkeitsmatrix

– In Matrix-Schreibweise gilt:

– Nun können die am Stabelement angreifenden Kräfte be-rechnet werden:

– Das sind die Kräfte, die die beiden Knoten auf das Stab-element ausüben.

– Diese Kräfte werden nun zu den Kräften, die die beiden Knoten auf die anderen angeschlossenen Stäbe ausüben, addiert.

[uE ]=[aE ] [u ]

[F E ]=[kE ] [uE ]

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2. Die Steifigkeitsmatrix

– Beispiel: Element 2

x

y

F3x

F3y

1 2 3 4

5

6 7

F2y

F2x

1 2F2

1x

F2

1y

F2

2x

F2

2y+

2

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2. Die Steifigkeitsmatrix

[00F 2 x2

F 2 y2

F 3 x2

F 3 y2

00000000

] = [0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

] [F 1 x2

F 1 y2

F 2 x2

F 2 y2 ]

– In Matrix-Schreibweise gilt für die Kräfte, die die Knoten auf die Stäbe ausüben:

– Die Matrix

ist die Steifigkeitsmatrix der Ge-samtstruktur.

[F S ]=∑E

[a E ]T[F E ]

=∑E [aE ]T[k E ] [aE ] [u ]=[K ] [u ]

[K ]=∑E

[aE ]T[k E ] [aE ]

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-9

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur beschreibt eine lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen der Knoten und den Kräften, die die Knoten auf die Stäbe aus-üben.

– Die Kräfte, die die Stäbe auf die Knoten ausüben, sind ent-gegengesetzt gleich groß wie die Kräfte, die die Knoten auf die Stäbe ausüben.

– Sie müssen im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften sein:

−[F S ][F ]=[0 ] [F S ]=[F ] [K ] [u ]=[F ]

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2. Die Steifigkeitsmatrix

– Die praktische Assemblierung der Steifigkeitsmatrix erfolgt durch direkte Addition der Elemente der Elementsteifig-keitsmatrizen zu den entsprechenden Elementen der Stei-figkeitsmatrix der Gesamtstruktur:

x

y

1 2 3 4

5

6 7

1

2

5

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2. Die Steifigkeitsmatrix

1

1

2

2

2 6

2

6[k5 ]

[K ]

1x 1y 2x 2y2x / 3 2y / 4 6x / 11 6y / 12

1x 2x / 3 ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 11) ( 3, 12)1y 2y / 4 ( 4, 3) ( 4, 4) ( 4, 11) ( 4, 12)2x 6x / 11 ( 11, 3) ( 11, 4) ( 11, 11) ( 11, 12)2y 6y / 12 ( 12, 3) ( 12, 4) ( 12, 11) ( 12, 12)

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-12

2. Die Steifigkeitsmatrix

● Eigenschaften:– Aus der Symmetrie der Steifigkeitsmatrizen der Stab-

elemente folgt, dass auch die Steifigkeitsmatrix der Ge-samtstruktur symmetrisch ist.

– Die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur ist in der Regel dünn besetzt, d.h. jede Spalte enthält nur wenige Elemente, die von null verschieden sind.

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2. Die Steifigkeitsmatrix

● Interpretation:– Multiplikation der Steifigkeitsmatrix mit einer vorgegebenen

Verschiebungsmatix ergibt die Kräfte, die nötig sind, um der Struktur diese Verschiebungen aufzuprägen:

[F ]=[K 11 K 12 K 1n

K 21 K 22 K 2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

K n1 K n2 K nn][u1u2⋮

un]=[

K 11

K 21

⋮

K n1]u1[

K 12

K 22

⋮

K n 2]u2[

K 1n

K 2n

⋮

K nn]un

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2. Die Steifigkeitsmatrix

– Eine Spalte der Steifigkeitsmatrix enthält die Kräfte, die nö-tig sind, um dem entsprechenden Freiheitsgrad eine Einheitsverschiebung aufzuprägen, wenn alle anderen Ver-schiebungen null sind:

x

1

2

3 4

5 6 7

y

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-15

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Eine Spalte der Steifigkeits-matrix enthält nur in den Zei-len von null verschiedene Werte, die Knoten entspre-chen, die mit dem zu der Spalte gehörenden Knoten durch einen Stab verbunden sind.

– Die Steifigkeitsmatrix ist da-her dünn besetzt.

[u ]=[00010000000000

]mm , [F ]=[000742400003712−3712−3712−371200

]N1 x1 y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 y6 x6 y7 x7 y

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2. Die Steifigkeitsmatrix

● Starrkörperbewegungen:– Verschiebungen, bei denen keine elastischen Kräfte auftre-

ten, werden als Starrkörperbewegungen bezeichnet.– Für Starrkörperbewegungen gilt:– Translationen:

● Wird das Fachwerk als ganzes in x- oder y-Richtung ver-schoben, treten keine elastischen Kräfte auf, da sich die Längen der Stäbe nicht ändern.

– Rotationen:● Wird das Fachwerk als ganzes in der xy-Ebene gedreht, tre-

ten ebenfalls keine elastischen Kräfte auf, da sich die Längen der Stäbe nicht ändern.

[K ] [ur ]=[0 ]

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-17

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Mechanismen:● Bei einem Mechanismus bewegt sich nur ein Teil des Bauteils

wie ein starrer Körper.● Bei dem dargestellten Fachwerk kann sich z.B. der Stab zwi-

schen den Knoten 1 und 2 um den Knoten 2 drehen:

x1

2 3 4

5 6 7y

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-18

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Linearisierte Rotationen:● In einer linearen Rechnung werden Verschiebungen und Dre-

hungen als klein angenommen.● Bei einer Drehung bewegen sich die Knoten daher in erster

Näherung auf Tangenten an die Kreisbahn.● Das ist zu berücksichtigen, wenn Mechanismen durch Lager

verhindert werden sollen.● Bei einer linearisierten Drehung um Knoten 2 bewegt sich

Knoten 1 auf einer senkrechten Linie in y-Richtung.● Um diesen Mechanismus zu verhindern, muss die y-Ver-

schiebung von Punkt 1 durch ein Lager unterdrückt werden.

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-19

2. Die Steifigkeitsmatrix

● Elastische Energie:– Dem Fachwerk wird die zeitabhängige Verschiebung

aufgeprägt.– Von der Funktion wird gefordert:

● Die Funktion ändert sich so langsam mit der Zeit, dass Träg-heitskräfte vernachlässigt werden können. Dann befindet sich das Fachwerk zu jedem Zeitpunkt im statischen Gleichge-wicht.

●

[u t ]=[u0 ] f t

f t

f 0=0 und f T =1

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-20

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Für die Leistung gilt:

PE=v1t F 1t v2t F 2t vnt F nt

=[v1t v2t vnt ] [F 1t F 2t ⋮

F n t ]=[ v t ]

T[F t ]

= f t [u0 ]T

[K ] [u0 ] f t =[u0 ]T

[K ] [u0 ] f t f t

Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.2-21

2. Die Steifigkeitsmatrix

– Für die in der Zeit von 0 bis T verrichtete Arbeit gilt:

– Diese Arbeit ist gleich der im System gespeicherten elastischen Energie:

– Die elastische Energie ist immer positiv. Sie ist null für Starrkörperbewegungen.

W E=∫

0

T

PE t dt=[u0 ]T

[K ] [u0 ]∫0

T

f t f t dt=12

[u0 ]T

[K ] [u0 ]

E E=W E=12

[u0 ]T

[K ] [u0 ]≥0