2. Mathematische Grundlagen

Erforderliche mathematische Hilfsmittel:

• Summen und Produkte

• Exponential- und Logarithmusfunktionen

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2.1 Endliche Summen und Produkte

Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an ∈ R. Die Summe derZahlen notiert man wie folgt:

a1 + a2 + . . . + an =n

∑

i=1ai =

∑

i∈Iai

Bezeichnungen:

• i heißt Summationsindex

• I = {1, . . . , n} heißt Indexmenge

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Bemerkungen:

• Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlensein (I ⊂ Z), z.B. I = {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3}. Fur dieSumme gilt dann:

∑

i∈Iai =

3∑

i=−4ai = a−4 + a−3 + a−2 + a−1 + a0 + a1 + a2 + a3

• Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Fur dieSumme definiert man dann

∑

i∈Iai = 0.

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Fragen:

• Warum ist das Summenzeichen wichtig?

• Wie kann man formal mit Summen rechnen?

Antworten:

• Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der ge-samten Statistik

• Es gibt Rechenregeln fur Summen, die allesamt formal be-wiesen werden mussen(Aufgabe der Mathematik)

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Rechenregeln fur endliche Summen: [I]

Dazu seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen

• Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt:n

∑

i=1(α · ai + β · bi) =

n∑

i=1α · ai +

n∑

i=1β · bi

= α ·n

∑

i=1ai + β ·

n∑

i=1bi

• Falls a1 = a2 = . . . = an ≡ a, so folgt:n

∑

i=1ai =

n∑

i=1a = n · a

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Rechenregeln fur endliche Summen: [II]

• Fur jedes (ganzzahlige) m mit 0 ≤ m ≤ n gilt:

n∑

i=1ai =

m∑

i=1ai +

n∑

i=m+1ai

• Fur jedes ganzzahlige m gilt:

n∑

i=1ai =

n+m∑

i=1+mai−m

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Spezielle endliche Summen: [I]

•n

∑

i=1i = 1 + . . . + n =

n · (n + 1)2

•n

∑

i=1i2 =

n · (n + 1) · (2n + 1)6

•n

∑

i=1i3 =

n2 · (n + 1)2

4

27

Spezielle endliche Summen: [II]

• Es seien a1, b ∈ R, ai = a1 + (i − 1) · b fur i = 2, . . . , n. Dannheißt a1, a2, . . . , an endliche arithmetische Folge 1. Ordnungund es gilt:

n∑

i=1ai =

n2· (2a1 + (n− 1) · b)

• Es seien a1, q ∈ R, ai = a1 · qi−1 fur i = 2, . . . , n. Dann heißta1, a2, . . . , an endliche geometrische Folge und es gilt fur q 6=1:

n∑

i=1ai = a1 ·

qn − 1q − 1

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Doppelsummen: [I]

• Es sei

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m... ... . . . ...

an1 an2 · · · anm

eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen

29

Doppelsummen: [II]

• Die Summe uber alle diese Zahlen notiert man als Doppel-summe:

n∑

i=1

m∑

j=1aij = a11 + a12 + . . . + a1m

+ a21 + a22 + . . . + a2m...

+ an1 + an2 + . . . + anm

• Es gilt:n

∑

i=1

m∑

j=1aij =

m∑

j=1

n∑

i=1aij

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Weiteres Beispiel fur eine Doppelsumme:

n∑

i=1

n∑

j=iaij = a11 + . . . + . . . + . . . + a1n

+ a22 + . . . + . . . + a2n

+ a33 + . . . + a3n

...

+ ann

(Der Laufbereich des 2. Index hangt vom 1. Index ab)

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Endliche Produkte

Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an ∈ R. Mit der IndexmengeI = {1,2, . . . , n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt:

a1 · a2 · . . . · an =n∏

i=1ai =

∏

i∈Iai

Bemerkung:

• Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Furdas Produkt definiert man dann

∑

i∈I ai = 1

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Rechenregeln fur endliche Produkte:

Es seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen

• Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt:

n∏

i=1α · ai · β · bi = αn · βn ·

n∏

i=1ai ·

n∏

i=1bi

• Falls a1 = a2 = . . . = an ≡ a, so folgt:

n∏

i=1ai =

n∏

i=1a = an

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2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus

Zwei wichtige mathematische Funktionen:

• Naturliche Exponentialfunktion

• Naturlicher Logarithmus

Hier:

• Mathematische Definition und Eigenschaften

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Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.B.

• in der Wachstumstheorie (VWL)

• in Mikro- und Makromodellen (VWL)

• im gesamten Finance-Bereich (BWL)

• im Operations-Research (BWL)

• in der Statistik / Okonometrie

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Definition der Exponentialfunktion: [I]

• Betrachte die unendliche Reihe∞∑

k=0

xk

k!= 1 + x +

x2

2+

x3

6+

x4

24+ · · ·

(k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, alsok! = 1 · 2 · . . . · k)

• Man kann zeigen, dass die Summe fur jedes x ∈ R gegen eineendliche Zahl konvergiert

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Definition der Exponentialfunktion: [II]

• Fur jedes x ∈ R definiert man

exp(x) =∞∑

k=0

xk

k!

• Die Funktion exp : R → R heißt naturliche Exponentialfunk-tion

37

Graph der naturlichen Exponentialfunktion

38

0

5

10

15

20

25

-2 -1 0 1 2 3

x

exp(

x)

Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I]

• Es gilt:

exp(0) = 1exp(1) = e ≈ 2.71828 (Eulersche Zahl)

• Fur alle x ∈ R gilt:

exp(x) > 0

• Fur alle x ∈ R gilt:

exp′(x) ≡d exp(x)

d x= exp(x)

(Ableitung ist gleich der Funktion selbst)

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Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II]

• Die Funktion exp ist streng monoton wachsend

• Fur beliebige x, y ∈ R gilt die Beziehung:

exp(x + y) = exp(x) · exp(y)

(Funktionalgleichung)

• Fur alle x ∈ R gilt

exp(x) = limn→∞

(

1 +xn

)n

(Aquivalente Darstellung zur Summendefinition)

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Jetzt:

• Die exp-Funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunk-tion

• Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0,∞)

Definition des naturlichen Logarithmus

Die Umkehrfunktion der naturlichen Exponentialfunktion

exp : R→ (0,∞)

heißt naturlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit

ln : (0,∞) → R

41

Graph des naturlichen Logarithmus

42

-6

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10

x

ln(x

)

Eigenschaften des naturlichen Logarithmus:

• Die Funktion ln ist streng monoton wachsend

• Fur x > 0 gilt:

ln′(x) =d ln(x)

d x=

1x

• Fur beliebige x, y > 0 gilt die Beziehung

ln(x · y) = ln(x) + ln(y)

(Funktionalgleichung)

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Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I]

• Die allgemeine Potenz ist fur alle x > 0, y ∈ R definiert durch

xy = exp(y · ln(x))

Insbesondere ist fur x ∈ R

ex = exp(x)

• Es sei a > 0 und a 6= 1. Der allgemeine Logarithmus vonx > 0 zur Basis a ist definiert durch

y = loga(x) ⇐⇒ x = ay

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Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II]

• Es gelten die folgenden Beziehungen:

ln(x) = loge(x)

ln(x) = loga(x) · ln(a)

loga(x) =ln(x)ln(a)

• Es sei f : R → (0,∞) eine differenzierbare Funktion. Furjedes x ∈ R heißt die Ableitung

(ln(f(x))′ =d ln(f(x))

d x=

f ′(x)f(x)

die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x(auch: stetige Wachstumsrate)

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