2. Mathematische Grundlagen - uni- ?· 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel:…

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    17-Sep-2018

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<ul><li><p>2. Mathematische Grundlagen</p><p>Erforderliche mathematische Hilfsmittel:</p><p> Summen und Produkte</p><p> Exponential- und Logarithmusfunktionen</p><p>21</p></li><li><p>2.1 Endliche Summen und Produkte</p><p>Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an R. Die Summe derZahlen notiert man wie folgt:</p><p>a1 + a2 + . . . + an =n</p><p>i=1ai =</p><p>iIai</p><p>Bezeichnungen:</p><p> i heit Summationsindex</p><p> I = {1, . . . , n} heit Indexmenge</p><p>22</p></li><li><p>Bemerkungen:</p><p> Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlensein (I Z), z.B. I = {4,3,2,1,0,1,2,3}. Fur dieSumme gilt dann:</p><p>iIai =</p><p>3</p><p>i=4ai = a4 + a3 + a2 + a1 + a0 + a1 + a2 + a3</p><p> Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Fur dieSumme definiert man dann</p><p>iIai = 0.</p><p>23</p></li><li><p>Fragen:</p><p> Warum ist das Summenzeichen wichtig?</p><p> Wie kann man formal mit Summen rechnen?</p><p>Antworten:</p><p> Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der ge-samten Statistik</p><p> Es gibt Rechenregeln fur Summen, die allesamt formal be-wiesen werden mussen(Aufgabe der Mathematik)</p><p>24</p></li><li><p>Rechenregeln fur endliche Summen: [I]</p><p>Dazu seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen</p><p> Mit den beliebigen reellen Zahlen , gilt:n</p><p>i=1( ai + bi) =</p><p>n</p><p>i=1 ai +</p><p>n</p><p>i=1 bi</p><p>= n</p><p>i=1ai + </p><p>n</p><p>i=1bi</p><p> Falls a1 = a2 = . . . = an a, so folgt:n</p><p>i=1ai =</p><p>n</p><p>i=1a = n a</p><p>25</p></li><li><p>Rechenregeln fur endliche Summen: [II]</p><p> Fur jedes (ganzzahlige) m mit 0 m n gilt:n</p><p>i=1ai =</p><p>m</p><p>i=1ai +</p><p>n</p><p>i=m+1ai</p><p> Fur jedes ganzzahlige m gilt:n</p><p>i=1ai =</p><p>n+m</p><p>i=1+maim</p><p>26</p></li><li><p>Spezielle endliche Summen: [I]</p><p>n</p><p>i=1i = 1 + . . . + n =</p><p>n (n + 1)2</p><p>n</p><p>i=1i2 =</p><p>n (n + 1) (2n + 1)6</p><p>n</p><p>i=1i3 =</p><p>n2 (n + 1)2</p><p>4</p><p>27</p></li><li><p>Spezielle endliche Summen: [II]</p><p> Es seien a1, b R, ai = a1 + (i 1) b fur i = 2, . . . , n. Dannheit a1, a2, . . . , an endliche arithmetische Folge 1. Ordnungund es gilt:</p><p>n</p><p>i=1ai =</p><p>n2 (2a1 + (n 1) b)</p><p> Es seien a1, q R, ai = a1 qi1 fur i = 2, . . . , n. Dann heita1, a2, . . . , an endliche geometrische Folge und es gilt fur q 6=1:</p><p>n</p><p>i=1ai = a1 </p><p>qn 1q 1</p><p>28</p></li><li><p>Doppelsummen: [I]</p><p> Es sei</p><p>a11 a12 a1ma21 a22 a2m... ... . . . ...</p><p>an1 an2 anm</p><p>eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen</p><p>29</p></li><li><p>Doppelsummen: [II]</p><p> Die Summe uber alle diese Zahlen notiert man als Doppel-summe:</p><p>n</p><p>i=1</p><p>m</p><p>j=1aij = a11 + a12 + . . . + a1m</p><p>+ a21 + a22 + . . . + a2m...</p><p>+ an1 + an2 + . . . + anm</p><p> Es gilt:n</p><p>i=1</p><p>m</p><p>j=1aij =</p><p>m</p><p>j=1</p><p>n</p><p>i=1aij</p><p>30</p></li><li><p>Weiteres Beispiel fur eine Doppelsumme:</p><p>n</p><p>i=1</p><p>n</p><p>j=iaij = a11 + . . . + . . . + . . . + a1n</p><p>+ a22 + . . . + . . . + a2n</p><p>+ a33 + . . . + a3n</p><p>...</p><p>+ ann</p><p>(Der Laufbereich des 2. Index hangt vom 1. Index ab)</p><p>31</p></li><li><p>Endliche Produkte</p><p>Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an R. Mit der IndexmengeI = {1,2, . . . , n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt:</p><p>a1 a2 . . . an =n</p><p>i=1ai =</p><p>iIai</p><p>Bemerkung:</p><p> Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Furdas Produkt definiert man dann</p><p>iI ai = 1</p><p>32</p></li><li><p>Rechenregeln fur endliche Produkte:</p><p>Es seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen</p><p> Mit den beliebigen reellen Zahlen , gilt:n</p><p>i=1 ai bi = n n </p><p>n</p><p>i=1ai </p><p>n</p><p>i=1bi</p><p> Falls a1 = a2 = . . . = an a, so folgt:n</p><p>i=1ai =</p><p>n</p><p>i=1a = an</p><p>33</p></li><li><p>2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus</p><p>Zwei wichtige mathematische Funktionen:</p><p> Naturliche Exponentialfunktion</p><p> Naturlicher Logarithmus</p><p>Hier:</p><p> Mathematische Definition und Eigenschaften</p><p>34</p></li><li><p>Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.B.</p><p> in der Wachstumstheorie (VWL)</p><p> in Mikro- und Makromodellen (VWL)</p><p> im gesamten Finance-Bereich (BWL)</p><p> im Operations-Research (BWL)</p><p> in der Statistik / Okonometrie</p><p>35</p></li><li><p>Definition der Exponentialfunktion: [I]</p><p> Betrachte die unendliche Reihe</p><p>k=0</p><p>xk</p><p>k!= 1 + x +</p><p>x2</p><p>2+</p><p>x3</p><p>6+</p><p>x4</p><p>24+ </p><p>(k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, alsok! = 1 2 . . . k)</p><p> Man kann zeigen, dass die Summe fur jedes x R gegen eineendliche Zahl konvergiert</p><p>36</p></li><li><p>Definition der Exponentialfunktion: [II]</p><p> Fur jedes x R definiert man</p><p>exp(x) =</p><p>k=0</p><p>xk</p><p>k!</p><p> Die Funktion exp : R R heit naturliche Exponentialfunk-tion</p><p>37</p></li><li><p>Graph der naturlichen Exponentialfunktion</p><p>38</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>-2 -1 0 1 2 3</p><p>x</p><p>exp(</p><p>x)</p></li><li><p>Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I]</p><p> Es gilt:</p><p>exp(0) = 1exp(1) = e 2.71828 (Eulersche Zahl)</p><p> Fur alle x R gilt:</p><p>exp(x) &gt; 0</p><p> Fur alle x R gilt:</p><p>exp(x) d exp(x)</p><p>d x= exp(x)</p><p>(Ableitung ist gleich der Funktion selbst)</p><p>39</p></li><li><p>Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II]</p><p> Die Funktion exp ist streng monoton wachsend</p><p> Fur beliebige x, y R gilt die Beziehung:</p><p>exp(x + y) = exp(x) exp(y)</p><p>(Funktionalgleichung)</p><p> Fur alle x R gilt</p><p>exp(x) = limn</p><p>(</p><p>1 +xn</p><p>)n</p><p>(Aquivalente Darstellung zur Summendefinition)</p><p>40</p></li><li><p>Jetzt:</p><p> Die exp-Funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunk-tion</p><p> Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0,)</p><p>Definition des naturlichen Logarithmus</p><p>Die Umkehrfunktion der naturlichen Exponentialfunktion</p><p>exp : R (0,)heit naturlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit</p><p>ln : (0,) R</p><p>41</p></li><li><p>Graph des naturlichen Logarithmus</p><p>42</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>0 2 4 6 8 10</p><p>x</p><p>ln(x</p><p>)</p></li><li><p>Eigenschaften des naturlichen Logarithmus:</p><p> Die Funktion ln ist streng monoton wachsend</p><p> Fur x &gt; 0 gilt:</p><p>ln(x) =d ln(x)</p><p>d x=</p><p>1x</p><p> Fur beliebige x, y &gt; 0 gilt die Beziehung</p><p>ln(x y) = ln(x) + ln(y)</p><p>(Funktionalgleichung)</p><p>43</p></li><li><p>Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I]</p><p> Die allgemeine Potenz ist fur alle x &gt; 0, y R definiert durch</p><p>xy = exp(y ln(x))</p><p>Insbesondere ist fur x R</p><p>ex = exp(x)</p><p> Es sei a &gt; 0 und a 6= 1. Der allgemeine Logarithmus vonx &gt; 0 zur Basis a ist definiert durch</p><p>y = loga(x) x = ay</p><p>44</p></li><li><p>Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II]</p><p> Es gelten die folgenden Beziehungen:</p><p>ln(x) = loge(x)</p><p>ln(x) = loga(x) ln(a)</p><p>loga(x) =ln(x)ln(a)</p><p> Es sei f : R (0,) eine differenzierbare Funktion. Furjedes x R heit die Ableitung</p><p>(ln(f(x)) =d ln(f(x))</p><p>d x=</p><p>f (x)f(x)</p><p>die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x(auch: stetige Wachstumsrate)</p><p>45</p></li></ul>

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