2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1 Der Skalenfaktor des Universums Roter Faden: 1.Hubblesches Gesetz: v = H d 2.Wie mißt man Geschwindigkeiten?

2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1

Der Skalenfaktor des Universums

Roter Faden:

1.Hubblesches Gesetz: v = H d2.Wie mißt man Geschwindigkeiten?3.Wie mißt man Abstände?4.Wie alt ist das Universum?5.Wie groß ist das sichtbare Universum?


Bestimmung der Geschwindigkeiten

Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung.

Rotverschiebung

Blauverschiebung

Keine Verschiebung

Vrel

Absorptionslinien


Relativistische DopplerverschiebungRelative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung.(

Quelle bewegt sich, aber Frequenz konstant. In einer Periode t´=Tvergrößert sich Abstand von λrest = cT auf λobs = (c+v)T´.

Die relativistische Zeitdilatation ergibt: T´/ T = =


Relativistische Rotverschiebung

1


Abstandsmessungen

Und SNIa, das sind Supernovaedie aus Doppelsternen entstehen,sehr hell leuchten und immer praktisch gleiche Anfangshelligkeit haben. Perfekte Standardkerzen, sichtbar auf sehr große Entfernungen


rd/2

Bestimmung der Abstände zwischen Galaxien

Trigonometrie:r = Astronomische Einheit (AE) == 1.496 108 km = 1/(206265) pc.


Einheiten

Abstand zur Sonne: 8 Lichtminuten. Nächster Stern: 1,3 pc.Zentrum der Milchstraße: 8 kpc. Nächste Galaxy: 55 kpcAndromeda Nebel: 770 kpc.

Milchstraße Cluster (1 Mpc) Supercluster (100 Mpc) Universum (10000Mpc)


Leuchtkraft L = Oberflächenhelligkeit F x Fläche πR2

oder Energieströme messen: Scheinbare Helligkeit m = gemessene Strahlungsstrom,d.h. pro Zeiteinheit vom Empfänger registrierte Energie.Absolute Helligkeit M = scheinbare Helligkeit auf Abstandvon r0 = 10 pc und m 1/4R2.

L aus Temperatur (Farbe) m messbar mit Photoplatte, digitale Kamera …..

F oder M aus a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagramb) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode)c) Supernovae Ia ( M bekannt)d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit M)e) hellsten Sterne einer Galaxie

Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie


Leuchtkraft der Sterne

Antike: 6 Größenklassen derscheinbaren Helligkeiten m,angegeben mit 1m .. 6m.

Sterne sechster Größe kaummit Auge sichtbar. Sonne: 4,75m

Man sagt: Sonne hat Größe (oder magnitude) 4.75

Leuchtkraft der SonneLS = 3.9 1026 W = 4.75m


Leuchtkraft und EntfernungsmodulDie Leuchtkraft L (engl. luminosity) eines Sterns ist die abgestrahlte Energie integriert über alle Wellenlängen. Aus der Helligkeit in unterschiedlichenFrequenzbändern (U=UV, B=Blau, V=Visuell) kann man die Leuchtkraft(oder bolometrische Helligkeit) rekonstruieren.Die bolometrische Helligkeit der Sonne wird festgelegt auf M☼ = 4,75(stimmt ungefähr mit Skale 1-6 der Antiken).

Die Helligkeit (engl. magnitude) in einem bestimmten Spektralbereich hängt vom Abstand und Durchsichtigkeit des Universums für die Strahlung ab.Man definiert die absolute Helligkeit M als die Helligkeit auf einem Abstandvon 10 pc and die scheinbare Helligkeit m (= gemessener Strahlungsstrom S, d.h. pro Zeit und Flächeneinheit vom Empfänger registrierte Energie)für einem Abstand d als m = M + 5 log (d/10pc).Der logarithmische Term m-M nennt man Entfernungsmodul (distance modulus)und kann benutzt werden um Abstände zu bestimmen, wenn m und M bekannt sind Oder man kann die Helligkeiten von Sternen vergleichen bei gleichem Abstand: M1 - M2 = 2.5 log S1/S2 , wenn die Strahlungsströme S1 und S2 bekannt sind.Eine Supernova Ia hat M= -19.6, die Sonne 4.75, so die Helligkeiten unterscheidensich um einen Faktor 10 (4,75+19,6)/ 2.5 10 Größenordnungen.


Nicht-Linearität des Hubbleschen Gesetzes parametrisieren mit Bremsparameter q0

(Taylor-Entwicklung: S(t)=S(t0)-S `(t0)(t-t0)-½ S ``(t0)(t-t0)2)

Experimentell: q=-0.6±0.02: abstoßende Gravitationskraft


Hubble Diagramm aus SN Ia Daten

Abstand aus dem HubbleschenGesetz mit Bremsparameterq0=-0.6 und H=0.7 (100 km/s/Mpc)

z=1-> r=c/H(z+1/2(1-q0)z2)= 3.108/(0.7x105 )(1+0.8) Mpc = 7 Gpc

Abstand aus SN1a Helligkeit mmit absoluter Helligkeit M=-19.6:

m=24.65 und log d=(m-M+5)/5) ->Log d=(24.65+19.6+5)/5=9.85 d = 7.1 Gpc


Absolute Helligkeit M aus: a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagramb) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode)c) Supernovae Ia ( M bekannt)d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit M)e) hellsten Sterne einer Galaxie

Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie


Herzsprung-Russell Diagramm

Oh Be A Fine Girl Kiss Me Right Now


Herzsprung-Russel Diagramm


©J. Hörandel

Siehe Astroteilchenphysik I


©J. Hörandel


Entstehung Supernova IaA giant red star (right) blowing gas onto a white dwarf star caused an explosion so violent that it could be seen 8,000 trillion miles away on Earth without a telescope on Feb. 12, 2006. (David A.Hardy/www.astroart.org & PPARC)



Geschichte der SN1987a



Cepheiden (veränderliche Sterne)


Tully-Fisher : max. Rotationsgeschwindigkeitder Spiralgalaxien prop. Leuchtkraft


Hubblesches Gesetz in “comoving coordinates”

d

D

D = S(t) dS(t) = zeitabhängige Skalenfaktor, die die Expansion berücksichtigt.Durch am Ende alle Koordinaten mit Skalenfaktor zu multiplizieren, kann ich mit einem festen (comoving) Koordinatensystem rechnen.

Beispiel:D = S(t) d (1)Diff, nach ZeitD = S(t) d (2)oderD = v = S(t)/S(t) D Oder v = HDmit H = S(t)/S(t)



Einfluss des Dichteparameters auf die Expansion

Vergleich mit einer Rakete mit U<T, U=T und U>T

Radius des sichtbaren Universum S, d.h. S(t) bestimmtZukunft des Universums!

Offenes Univ.

Flaches Univ.

Geschlossenes Univ.


Zeitabhängigkeit der Skalenfaktor S(t) bei =1

r S(t) und 1/r3


Altersabschätzung des Universum für =1

Oder dS/dt = H S oder mit S = kt2/3 2/3 k t-1/3 = H kt2/3 oder t0 = 2/(3H0) 10 . 109 a

Richtige Antwort:t0 1/H0 14 . 109 a,da durch Vakuumenergienicht-lineare Termeim Hubbleschen Gesetzauftreten (entsprechendabstoßende Gravitation).

0=1/H0, da tan α = dS / dt = S0 / t0

uni = 2 / 3H0


Wie groß ist das sichtbare Universum für =1?

Naiv: R = ct0 ist Radius des Universums.Dies ist richtig für ein statisches Universum ohne Expansion.Mit Expansion: R = 3ct0.

Beweis (mit comoving coor.): Betrachte sphärische Koor. (R,θ,,t) und mitbewegendeKoor. (,θ,,) und Lichtstrahl in Ri. =θ=0.Dann gilt: R = c t und = c , weil c = unabh. vom Koor. SystemAus R = S(t) folgt dann: R = c S(t) = ct, d.h. Zeitskaliert auch mit S(t)! Daraus folgt: = d = dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3

= c d = c1/ kt2/3dt = (3c/k) t1/3

Oder R0= S(t) = 3 c t0 = 3 x 3.108 x 14.109 x 3.107 = 3.8x1026 m=

3.8x1026/3.1x1016=12 Gpc


Beobachtungen:Ω=1, jedochAlter >>2/3H0

Alte SN dunklerals erwartet


Vakuumenergie abstoßende Gravitation

Vakuumenergie and cosmological constant both produce repulsive gravity equivalent!


Ω= ρ/ρcrit 1.0±0.04

ΩM= ρM/ρcrit

ΩCDM= ρCDM/ρcrit

ΩΛ= ρΛ/ρcrit =73%

Λ

Energie-Inhalt des Universums (später mehr)

Nur 4-5% der Energieform ist bekannt, d.h. besteht aus bekanntenTeilchen, wie Atome, Neutrinos, usw. 95% VÖLLIG UNBEKANNT.


Zum Mitnehmen:1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen

OHNE die Expansion zu berücksichtigen. Nachher werden alle Abstände und auch die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3

3. Alter des Universums für = 1 und ohne Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) 10 . 109 a

Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.

4. Größe des sichtbaren Universums für = 1: 3ct0 (ohne Expansion: ct0)

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2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1 Der Skalenfaktor des Universums Roter Faden: 1.Hubblesches Gesetz: v = H d 2.Wie mißt man Geschwindigkeiten?