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§20 Der Rang einer Matrix

(20.1) Definition: Der Spaltenrang von A ist

Bemerkung: Sei (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V, sei (e1, e2, ... , em) die Standardeinheitsbasis von Km und sei f = f(A,b,e) die durch A definierte lineare Abbildung von V nach Km .

wobei

Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein n-Tupel von Spaltenvektoren geschrieben werden:

)A(A

)A,...,A,A(A n21

.n,1,2,fürK

A

A

A

:A m

m

2

1

srg(A) := rg {A1, A2, ... , An} = dim Span {A1, A2, ... , An} .

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Kapitel IV, §20

srg A = dim Span {A1, A2, ... , An} = dim Im f = rg f ,

.m,,,fürK)A,,A,A(:Amit n21 21 1xn

Dann gilt f(bj) = Aj . Denn wegen ist

eXA)bX(f

da Span {A1, A2, ... , An} = Im f .

Analog: Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein m-Tupel von Zeilenvektoren geschrieben werden:

)A(A

m

2

1

A

AA

A

Also ist der Spaltenrang von A gleich dem Rang der linearen Abbildung f :

.AeA)b(f jjj

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Kapitel IV, §20

(20.2) Definition: Der Zeilenrang von A ist

zrg(A) := rg {A1, A2, ... , Am} = dim Span {A1, A2, ... , Am} .

Als wichtiges Hilfsmittel und auch für andere Zwecke wird die Transponierte AT zu einer Matrix benötigt:

Wir werden zeigen, dass für eine Matrix A stets srg(A) = zrg(A) gilt, dass man also von dem Rang einer Matrix sprechen kann.

A:)A( T

Beispiel: Ein Spaltenvektor X aus Km mit den Komponenten Xj aus K ist in der Matrixnotation auch als Element von Kmx1 aufzufassen.

)A(A (20.3) Definition: Sei eine (m,n)-Matrix über dem Körper

K . Die zu A transponierte Matrix AT – eine (n,m)-Matrix – ist durch

definiert.

XT = (X1, X2, ... , Xm) ist dann der entsprechende Zeilenvektor in K1xm, wie schon gelegentlich benutzt.

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(20.5) Satz: srg(A) = zrg(A)

Kapitel IV, §20

,AA,KK:T Tmnnm (20.4) Satz: Die Abbildung

ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus. Es gilt (AT)T = A .

Zu dem Beweis brauchen wir den Hilfssatz:

(20.6) Hilfssatz: Sei A eine (m,n)-Matrix. A* gehe aus durch eine Vertauschung von zwei Spalten oder von zwei Zeilen hervor.Dann gilt: srg(A) = srg(A*) und zrg(A) = zrg(A*) .

(20.7) Definition: Der Rang rg(A) einer (m,n)-Matrix A ist der Spaltenrang oder der Zeilenrang von A. Kurz: rg(A) := srg(A) = zrg(A)

(20.8) Korollar: Für eine (m,n)-Matrix A gilt:.)n,mmin()A(rg

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Kapitel IV, §20

(20.9) Definition: Elementare Umformungen. Sei A eine (m,n)-Matrix. Zu den elementaren Umformungen von A gehören:

1o Addition einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A.2o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null

verschiedenen Skalar aus K.3o Addition einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A.

Eine elementare Umformung von A ist jede Hintereinanderaus-führung von endlich vielen der Umformungen 1o-4o.

4o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K.

Zu den elementaren Umformungen von A gehören insbesondere die Vertauschungen von Spalten und damit beliebige Permutationen. Ebenso: Permutationen von Zeilen.(20.10) Satz: Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang einer Matrix nicht.

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Kapitel IV, §20

000E(r)

Bemerkung: Der Rang einer Matrix ist inbesondere für lineare Gleichungssysteme von Bedeutung, vgl. die Sätze 16.5 – 16.8 !

Mit diesem Invarianzsatz hat man ein wichtiges und effektives Rechenverfahren zur Ermittlung des Ranges einer Matrix zur Hand.

(20.11) Satz: Jede (m,n)-Matrix A kann durch elementare Umformungen auf die Form

gebracht werden mit r = rg(A).

Hier wird die „Kästchenschreibweise“ benutzt; und E(r) ist die (r,r)-Matrix mit lauter „Einsen“ in der Diagonalen und lauter „Nullen“ sonst.