§2.1 Kinematik des Massenpunktes1. Koordinatensysteme:

zyx

rZ

x

y

MP

Kartesische Koordinaten

r

rMP

Kugel (Polar) Koordinaten

r

zr

MP

Zylinder Koordinaten

z

tv

zyx

r y

0

0

???

r

???

r

0

)cos()sin(

ztt

r

t

rr

0

0

0

0

ztr

Bsp:

Geradlinige Bewegung|| Y-Achse:

Kreis um z-Achse:

Schraube:

tvztt

r

z0

)cos()sin(

???

r

r 0

tz0 vz t

r

Gaub 1E1 WS14/15

dttvtr )()(

dttatv )()(

Bahnkurve

Momentangeschwindigkeit tangential zur Bahnkurve

Beschleunigung

Bsp.: Gleichförmige geradlinige Bewegung .constv

dtvtr

)(

Bsp.: konstant beschleunigte Bewegung .consta

dtatv

)(

dtvtatr 0)(

r (t)

)(tr

)()( trtv )(tv

x

zy

)()( tvta

)(ta

)(tr

0rtv

0vta

002

21 rtvta

Gaub 2E1 WS14/15

Bsp.: Freier Fall

a 00 g

;

000

0v ;

hr 0

0

0

z(t) 12gt2 h

vz (t) g t

Auftreffen bei z=0 nach

t 2h

g

Endgeschwindigkeit:

vmax 2 g h

z

h

t

-v

v g t

Bsp.: Schiefe Ebene:

15

g

at gsin g4

Gaub 3E1 WS14/15

Bsp.: Schräger Wurf:

htvgt

tvtr

z

ox

02

21

0)(

x

z

h

v0z

xv0

v 0

Waagrechter Wurf:

v0z 0 Senkrechter Wurf:

v0x 0

t x

v0x

Scheitel bei:

dzdx

0

xs v0x v0z

gmax für 45°

xw aus

z(xw ) 0

z(x) 12

gvox

2 x 2 v0z

v0x

x h

g

vox2 xs

v0z

v0x

0

cos() v0 sin() v0

g

v0

2

2gsin (2)

Gaub 4E1 WS14/15

Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung

Bsp.: Kreisbewegung

0

)sin()cos(

tRtR

r

0

)cos()sin(

tRtR

v

0

)sin()cos(

2

2

tRtR

a

v dsdtWinkelgeschwindigkeit

d

ds Rd

v (t)

v (t t)

R

y

r

ra 2 reR 2

Rddt

R

Gaub 5E1 WS14/15

Zentripetalbeschleunigung

Allgemeine krummlinige Bewegung

v ändert Richtung und Betrag

z

x

yp

dtvda

an

at Bsp.: 0na Geraden (z.B. senkrechter Wurf)

a t 0 z.B. Konstante Kreisbahn

Koordinatensystem so wählen, dass

ˆ e n

ˆ e tund in

ˆ x ˆ y -Ebene liegen

dvdt

e t vd ˆ e tdt nt aa

Approximation der Bahn durch Kreisbögen

ds d

ddt

dds

dsdt

dds

v 1

v

nt evedtdva ˆˆ

2

Vergleich konstante Bewegung

2

d

Gaub 6E1 WS14/15

0sincos

ˆ

te

0

cos

sin

ˆdtddtd

dted t

;

0

)2

sin(

)2

cos(

ˆ

ne

dˆ e tdt

ddt

ˆ e n

nn edtdva

a dvdt

ˆ e t vddt

e n dvdt

ˆ e t v2

ˆ e n

0cossin

ˆ e t

x

y

p

ˆ e n

Gaub 7E1 WS14/15

Zur Herleitung der Normalbeschleunigung

Newton‘s Mechanics

Brahe Kepler

Gallilei Bacon

Descartes Leibnitz

Stellar Orbits

Gravity

F = pddt

Actio = Reactio

Leibniz

Galilei

Gaub 8E1 WS14/15

Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen

F

Ist ein Vektor zerlegbar; superponierbar

I. Newtonsches Axiom

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.

Def: Impuls

Def: kräftefrei

vmp

0 iF

Bsp.:AuflageF

GF

Der Impuls eines freien Teilchens ist konstant

Gaub9E1 WS14/15

II. Newtonsche Axiom

Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft

dtpdF

vdtdm

dtvdmF

Falls m = const. amF

Masseneinheit: 21s

mkgF

Gaub 10E1 WS14/15

III. Newtonsches AxiomActio = Reactio

Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A

ba FF

Def.:Isoliertes System(abgeschlossenes)

Keine Wechselwirkung mit der Aussenwelt

Bsp.: BA (Wagen oder Skateboards)

ba FF

const 0dtpd

dtpd ba

ba FF

Gaub 11E1 WS14/15

Molecular Dynamics Calculations

Solving Newton‘s equation for every atom in pico second intervals

2

= const

Fi = Fi jj=1

ji

N( x ,x )

= m d x /dtFi ii22

j

i

Fi j

Fi

S.Cui, J.Yu, F. Kühner, K.Schulten, H.E. Gaub JACS (2007), Vol 129, p 14710-

Gaub 12E1 WS14/15