21.1 IV Eigenwerte und Lineare DGL-Systeme IV.1 ... acannas/MathematikI/... 21.3 Eigenwerte und Eigenvektoren

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IV Eigenwerte und Lineare DGL-Systeme IV.1. Eigenwerte und Eigenvektoren, charakteristisches Polynom Ein Eigenvektor einer quadratischen Matrix A ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor v, so dass Av und v parallel sind. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, wenn man ihn mit A multipliziert und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Matrix.
21.1
21.2
Sei A eine quadratische Matrix.
Def Eine Zahl heisst ein Eigenwert (oder "E-Wert") von A, falls es einen Vektor v = 0 gibt, so dass
A v = v gilt.
Der Vektor v heisst dann Eigenvektor ("E-Vek") zu .
Eigenvektoren dürfen nicht Null sein, da A 0 = 0 trivial ist und somit nichts aussagt.
l
l
l
l
21.3
v = 0 ist ein E-Vek
ist ein E-Wert l
lAv - v = 0
der quadratischen Matrix A
PLAN:
1 Bestimmung der Eigenwerte: Die E-Werte von A sind die Zahlen , so dass die Gleichung
A v - v = 0
nicht triviale Lösungen besitzt, also genau die Zahlen, so dass die Matrix
A - E nicht invertierbar ist,
also genau die Zahlen , so dass
det ( A - E ) = 0.
l
l
l
l
l
l
21.4
n
n
n
21.5 Def Das charakteristische Polynom der nxn Matrix A ist p ( ) = det ( A - E ).
Es ist ein Polynom n-ten Grades.
l lA
Fazit: Die E-Werte einer Matrix sind die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms.
n
Wir bestimmen die E-Werte einer Matrix, indem wir die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms bestimmen.
lAWie viele und was für Nullstellen hat p ( )?
Gemäss dem Fundamentalsatz der Algebra hat p ( ) n Nullstellen, die reelle oder komplexe Zahlen sind und nicht notwendiger- weise verschieden sind (wir berücksichtigen ihre Vielfachheit).
lA
, ,..., ,
l l l1 n 2
21.6
21.7
Bsp A = 1 2 4 3 Was sind die E-Werte? p ( ) = det (A- E ) = det 1- 2 4 3- = (1- )(3- )-2 4 = ² - 4 - 5 Die Nullstellen des char. Polynoms sind: ² - 4 - 5 = 0 <=> = -1 oder = 5.
E-Werte: -1 und 5.
l l
l l
A 2
Bsp A = 1 0 -2 1 3 1 1 0 4 Was sind die E-Werte?
p ( ) = det 1- 0 -2 1 3- 1 1 0 4- = (3- ) det 1- -2 1 4- = (3- ) ( ²-5 +6)
= (3- )² (2- )
Nullstellen: 2 & 3
einfacher E-Wert
doppelter E-Wert
l l
l
A
21.8
Eigenwerte einer Dreiecksmatrix Ist A eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix, so sind ihre E-Werte gleich den Hauptdiagonalelmente, da die Determinante einer Dreiecks- matrix gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente ist.
Bsp A = 1 -9 57 33 0 2 0.1 7 0 0 3 0 0 0 0 4 p ( ) = det 1- -9 57 33 0 2- 0.1 7 0 0 3- 0 0 0 0 4- = (1- )(2- )(3- )(4- ) => Die E-Werte sind 1, 2, 3, 4.
l l
21.9
A
21.10
Def Die Spur ("trace") der n-reihigen Matrix A ist die Summe ihrer Haupt- diagonalenelemente: Sp A = a + a + ... + a11 nn 22
Spur
Bsp A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sp A = 1 + 5 + 9 = 15
Eigenschaften der Eigenwerte
Beweis: Vergleiche die zwei folgenden Schreibweisen des charakteristischen Polynoms.
21.11
Spur
Determinante
21.12
a - a ... a a a - ... a : : : a a ... a -
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
Ap ( ) = = ( - ) ( - ) ... ( - )
l l n n-1
l l l1 n 2 l l l1 n 2
Es folgt, dass
wobei , ,..., die Nullstellen / E-Werte sind
l l l1 n 2
=> Eine Matrix A ist genau dann invertierbar (d.h. det A = 0), wenn 0 kein E-Wert von A ist!
A ist invertierbar
Die folgenden Behauptungen über eine nxn Matrix A sind äquivalent:
Zusammenfassung - Teil 2
die Spalten von A bilden eine R -Basis<=> <=>
<=> A ist invertierbarT
<=>
A hat Rang n<=>
<=>der Nullvektor ist die einzige Lösung der homogenen Gleichung Ax=0
Invertierbarkeit
Für jeden E-Wert sind die entsprechenden E-Vek die Vektoren v = 0 in
Eig = ker ( A - E ).l
l
nl
21.15
heisst der - Eigenraum von Al
Um die - Eigenvektoren zu bestimmen, lösen wir die Gleichung ( A - E ) v = 0 mittels des Gauss-Verfahrens.
l n
l
Zur Erinnerung: ker(B) kennzeichnet die Lösungsmenge der Gleichung B v = 0 und heisst Nullraum oder Kern von B.
2 Bestimmung der Eigenvektoren:
Bsp A = 1 2 4 3 Die E-Werte sind -1 & 5 (siehe früher). Bestimmung der E-Vek: E-Vek zu = -1: A-(-1)E = 1+1 2 4 3+1 = 2 2 1 1 4 4 0 0 => Eig = span 1 -1 v = 1 ist ein E-Vek -1 zu = -1.
l1
21.16
l1
2
E-Vek zu = 5: A-5E = 1-5 2 4 3-5 = -4 2 1 4 -2 0 0 => Eig = span 1 2 v = 1 ist ein E-Vek 2 zu = 5.
-1 2
21.17
Bmk: Alle anderen E-Vek von A sind Vielfache von v oder v .21
Bsp A = 5 -3 3 -1 Bestimme: 1 die E-Werte von A und 2 die E-Vek von A.
1 p ( ) = det (A- E ) = det 5- -3 3 -1- = (5- )(-1- ) + 9 = ²-4 +4 = ( ²-2)² Daher ist =2 der einzige E-Wert von A.
21.18
l
l
2 Die E-Vek zu =2 sind die nicht Null Vektoren im Kern der Matrix A-2E = 5-2 -3 3 -1-2 = 3 -3 3 -3 Das Gauss-Verfahren liefert die Stufenform 1 -1 . 0 0 Die E-Vek von A sind daher die Vektoren von der Form k 1 mit k=0. 1
21.19
2
l
21.20
Beweis im Sonderfall von 3 Vektoren:
Seien v E-Vek zu , k=1,2,3, mit , , paarweise verschieden.
Sei c v + c v + c v = 0 und zeige, dass alle c , c , c null sein müssen.
Multipliziere beide Seiten der obigen Gleichung von links mit A,
c v + c v + c v = 0,
l
l1 2 31 2 3 31
Der Beweis für beliebige Anzahl Vektoren ist ähnlich.
2
und subtrahiere die Gleichung (c v + c v + c v ) = 0.
Es ergibt: 0 + c ( - )v + c ( - )v = 0.
Mit dieser Gleichung wiederhole die obigen Schritte mit anstatt .
Es ergibt: c ( - )( - ) v = 0.
Da v =0, = , & = , muss c = 0.
Durch Umnummerierung und mit glei- chem Vorgehen kann das Verschwinden von c und c gezeigt werden.
l l
2 1 l l3 132 2 3
2 1
21.21
21
Def Eine Eigenbasis ("E-Basis") für eine nxn Matrix A ist eine Basis {v ,...,v } von R wobei A v = v
Eine Eigenbasis existiert genau dann, wenn A *n* linear unab- hängige E-Vek v ,...,v besitzt.1 n
1 n n
l kkk v ,...,v sind E-Vek und ,..., die entsprechenden E-Werte l1 ln
(k=1,...,n).
1 n
Bsp Eine E-Basis für A = 1 2 4 3 ist z.B. {v = 1 ,v = 1 }. -1 2
1 2
IV.2. Komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren einer reellen Matrix
Ist eine Matrix reell, so treten komplexe Eigenwerte als Paare von konjugiert komplexen Zahlen auf. Ist v ein Eigenvektor zu einem komplexen E-Wert, so ist v ein E-Vek zum konjugiert komplexen E-Wert.
21.23
Komplexe Eigenwerte treten stets als Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen auf.
Wieso? Weil bei reellen Polynomen komplexe Nullstellen als Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen auftreten; s. Seite 13.14.
Eigenschaften der komplexen E-Werte und E-Vektoren
Zu einem komplexen Eigenwert gehören komplexe Eigenvektoren.
Wieso? Av ist reell, wenn A & v reell sind.
Sind & konjugiert komplexe E-Werte, so treten entsprechende E-Vek auch als Paare auf (v und v).
Wieso? Aus Av= v folgt, dass Av= v.
l l
l
21.24
l
Bsp Sei A = 0 -2 . 2 0 1 Das charakteristische Polynom p ( ) = ²+4 besitzt die Nullstellen 2i und -2i (die zweiten Wurzeln von -4). =2i und =-2i sind deshalb die Eigenwerte dieser Matrix. 2 Der E-Raum zu =2i ist ker -2i -2 = ker 1 -i . 2 -2i 0 0 Wir wählen den E-Vek v = i 1 zu =2i. Dann ist v = v = -i 1 ein E-Vek zu = = -2i.
21.25
Bsp Sei A = 11 -15 . 6 -7
1 Eigenwerte Das charakteristische Polynom, p ( ) = ²-4 +13, besitzt die Nullstellen = = 2 3i. 2+3i und 2-3i sind deshalb die E-Werte dieser Matrix.
2 Eigenvektoren
Die E-Vek zu = 2+3i sind die vom Nullvektor verschiedenen Vektoren im folgenden Kern:
l lA l
9-3i -15 6 -9-3i
3-i -5 0 0
Der Kernel wird vom folgenden Vektor aufgespannt: v = 5 3-i
1
l2Die E-Vek zu = = 2-3i sind dann die Vielfachen von v = v = 5 . 3+i
l1
12
Die Lineare Algebra darf (soll) mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.
Das Gauss-Verfahren für Systeme linearer Gleichungen mit komplexen Koeff. lässt die gleichen elementaren Zeilenumformungen wie früher zu.
Die Berechnung der Determinante einer n-reihigen Matrix mit komplexen Komponenten erfolgt wie früher (Laplace-Entwicklung oder Formeln).
Die Berechnung der Inversen einer komplexen Matrix anhand des Gauss-Verfahrens oder einer Formel erfolgt wie früher.
Basis, Dimension, Eigenwerte, Eigenvektoren, etc auch wie früher!
21.28
Bsp Löse das System a + ib + (-1-i)c = 3-5i 2a -2ib + (-1-2i)c = 7-9i
Gauss-Verfahren: 1 i -1-i 3-5i 2 -2i -1-2i 7-9i 1 i -1-i 3-5i 0 -4i 1 1+i 1 0 - -i - i 0 1 - + ii
4 1 4
3 4
13 4
1 4
19 4
Lösungen: a = - i +t +i ,t C b - + i - c 0 1
c=t komplexer Parameter
13 4
19 4
1 4
1 4
i 4
3 4
Bsp Ist die Matrix A= i -1-i 1 2+i invertierbar? Falls ja, was ist ihre Inverse?
det A = i (2+i) - 1 (-1-i) = 3i = 0 Deshalb ist A invertierbar. Aus der Formel
folgt: A =
1 3i
1
Bsp Sei A = 2i 1-i . -2 1+i -2+2i 2 a) Was ist der Rang von A? b) Was ist die Dimension des Kerns von A? c) Bestimme eine Basis von ker A.
a) Das Gauss-Verfahren liefert: 2i 1-i ... 1 - - i -2 1+i 0 0 -2+2i 2 0 0 Der Rang von A ist daher gleich 1.
21.31
1 2
1 2
b) Nach dem Rangsatz gilt 2 = dim N(A) + rang A. Da rang A = 1, ist die Dimension des Kerns von A gleich 1.
c) Die Stufenform vom Teil (a) zeigt eine Basis von ker A: + i 1
21.32
IV.3. Diagonalisierung einer Matrix
22.1
22.2
A = S D S .
Diagonalisierbarkeit
Satz A ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine Eigenbasis für A existiert.
-1
Beweis Zur Erinnerung: Eine Eigenbasis (E-Basis) für eine nxn Matrix A ist eine Basis von R , die aus E-Vek von A besteht.
Sei {v ,...,v } eine E-Basis für A. Seien ,..., die entsprechenden E-Werte: A v = v . Wir definieren
S = und D = 1 l
n l0 0v 1 v n ...
l kkk
22.3
Die Matrix D ist anschaulich eine Diagonalmatrix und die Matrix S ist invertierbar, da ihre Spalten eine Basis von R bilden.
Wir brauchen also nur zu bestätigen, dass A S = S D.
S D = v ... v
22.4
1 n
1 1 n n
22.5
Und umgekehrt: ist A = S D S , so sind die S-Spalten E-Vek von A und die Diagonalelemente von D die entsprechenden E-Werte.
-1
22.6Bsp A = 1 2 4 3 Siehe Berechnung von E-Werte & E-Vek in der früheren Vorlesung.
1 E-Werte: = -1 und = 5.
2 E-Vek: v = 1 ist E-Vek -1 zu = -1, v = 1 ist E-Vek 2 zu = 5.
l l21
l1
Zur Erinnerung: 2 linear unabhängige Vektoren in R bilden eine Basis von R .
v und v sind linear unabhängige E-Vek von A. Deshalb ist {v ,v } eine Eigenbasis für A und A ist diagonalisierbar: A = S D S , wobei
1 2
1 2
2 2
D= -1 0 & S= 1 1 0 5 -1 2
Check: A S = S D.
Die Reihenfolgen , in D und v ,v in S müssen übereinstimmen!
1l l
1 2
2
22.8Bsp A = 5 -3 3 -1 1 E-Werte: p ( )=det 5- -3 3 -1- =...=( -2)² =2 ist der einzige E-Wert (doppelter E-Wert). 2 E-Vek: ker(A-2E )=ker 3 -3 3 -3 =span 1 1
l
l
l
l
2
v = 1 ist ein E-Vek. 1 Alle andere E-Vek sind Vielfachen von v. Insbesondere kann man nicht zwei linear unabh. E-Vek dieser A finden. Deshalb gibt es keine Eigenbasis für A und A ist nicht diagonalisierbar!
22.9
Aber die meisten Matrizen sind diagonalisierbar! Insbesondere sind alle nxn Matrizen mit n verschiedenen Eigenwerte diagonalisierbar.
22.10
Die Lineare Algebra ermöglicht jedoch auch die effiziente Behand- lung auch von nicht-diagonalisier- baren Matrizen in alle Dimensionen - siehe "Jordansche Normalform".
Abklärung
IV.4. Matrixpotenzen, diskretes Entwicklungsmodell Die direkte wiederholte Matrix- multiplikation einer Matrix mit sich selbst A = A A A ... A erfordert einen hohen Rechenaufwand. Um Matrixpotenzen effizient zu berechnen, kommen Eigenwerte und Eigenvektoren zum Einsatz.
22.11
N
22.12
3 Anwendungen der Eigenwerte & Eigenvektoren
Hier: Matrix Potenzieren Nachher: Differentialgleichungen
Diskretes Entwicklungsmodell Seien v(N) R die Zustände eines Systems zu den Zeitpunkten N=0,1,2,...
diskrete Zeit: Jahr/Minute/Woche/...
v R die Anfangsbedingung d.h. der gegebene Zustand am Anfang
n
v (0) = v
Wie berechnet man A ? N
In jedem Schritt wird der Zustand mit A multipliziert.
Bsp Ein Populationsmodell:
Wir betrachten das australische Ökosystem von Hasen und Füchsen bei unbeschränktem Grasangebot. Seien h(N) die Anzahl Hasen und f(N) die Anzahl Füchse zur Zeit N. Die folgenden Gleichungen für die Dynamik der Hasen- und Fuchs- populationen wurden aufgestellt: h(N+1) = 4 h(N) - 2 f(N) f(N+1) = h(N) + f(N) Die Anfangszahlen sind h(0)=100 f(0)=50. Bestimme h(33) und f(33).
22.14
h(N+1) = 4 -2 h(N) f(N+1) 1 1 f(N)
A
22.15
A
N
22.16
Ist A eine n-reihige Matrix so sind
A = E A = A A ... A (p=1,2,3,...)p
0 n
Es gelten die Potenzgesetze:
22.17
Berechnung von A N
Es gibt drei Fälle: - A ist diagonal - A ist diagonalisierbar - A ist nicht diagonalisierbar
in diesem Kurs
a weil das Produkt von Diagonalmatrizen komponentenweise erfolgt.
0 0
0 0
Falls A diagonalisierbar ist, d.h.
A = S D S wobei D diagonal und S invertierbar ist, dann ist
A = (SDS )(SDS ) ... (SDS )
wobei D einfach zu berechnen ist.
D = Diagonalmatrix mit Hauptdiagonalelementen gleich der Eigenwerte der Matrix A S = Matrix mit Spalten gleich den entsprechenden Eigenvektoren der Matrix A
N
N
-1
-1
-1
22.19
Bsp (Hasen vs. Füchse Fort.) A = 4 -2 1 1 1 E-Werte: p ( )=det 4- -2 1 1- = ²-5 +6 = 2 und = 3. 2 E-Vektoren E-Vek zu = 2: ker(A-2E )=ker 2 -2 1 -1 =ker 1 -1 = span 1 0 0 1
l
l1
2
22.20
E-Vek zu = 3: ker(A-3E )=ker 1 -2 = span 2 1 -2 1 3 Deshalb ist A = S D S , wobei D= 2 0 & S= 1 2 . 0 3 1 1 A = S D S = 1 2 2 0 -1 2 1 1 0 3 1 -1 =...= 2 3 - 2 2 -2 3 3 - 2 2 -3 Antwort: h(33) = A 100 = ...... f(33) 50 ......
l2
-1
2
-1
33
33
3333
33
IV Eigenwerte und Lineare DGL-Systeme IV.5. Systeme linearer DGL erster Ordnung mit konst. Koeffiz. Systeme linearer DGL erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten modellieren zeitabhängige Prozesse, deren weiterer Verlauf nur vom Anfangszustand, aber nicht von der Wahl des Anfangszeitpunkts abhängt. Sie sind die einfachsten "dynamischen Systeme" und dienen auch als Annäherungen für andere Systeme.
23.1
a Rij
23.2
y = a y +a y +...+a y +g (t) y = a y +a y +...+a y +g (t) : : : : : y = a y +a y +...+a y +g (t)
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
2
2
2
1
1
1
n
n
n
1
2
n
1
2
n
Eine Lösung des Systems besteht aus einem n-Tupel von Funktionen (y (t), y (t),..., y (t)), die die n linearen Differentialgleichungen (DGL) gleichzeitig erfüllen.
1 2 n
Ableitung bzgl. Zeit-Variable
Die Schwankungen des Blutzuckers (rot) und des den Blutzucker kontrollierenden Hormons Insulin (blau) beim Menschen über den Tagesablauf mit 3 Mahlzeiten.
[nach wikipedia]
Bsp 23.3
23.4Ein Diabetiker muss genau auf seinen Glukosestoffwechsel achten. Es sei z(t) die Überschusskonzentration der Glukose im Blut (in mg/dl) zur Zeit t, d.h. die Abweichung von derjenigen, die man nach mehreren Stunden Fasten misst. Ein negativer Wert von z(t) zeigt an, dass sich die Glukosekonzentration zur Zeit t unter dem Fastenwert befindet. Es sei h(t) die Überschusskonzentration des Insulins. Die Forschung hat mathematische Modelle entwickelt, die das System der Glukoseregulation beschreiben, so z.B.
Nach einem schweren Festtagsessen, misst man z(0)=30 & h(0)=0. Bestimme die Funktionen z(t) & h(t).
Aufgabe:
A = a a ... a a a ... a : : : a a ... a
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
1
2
ny
23.6
ist ein Vektor mit n (noch unbekannten) Funktionen y (t) als Komponenten, dessen Ableitung der Vektor der Ableitungen y (t) ist,
der Lösungsvektor
1
2
ng (t) Das System wird homogen gennant falls g = 0 (d.h. falls alle g (t) die Nullfunktion sind), andernfalls inhomogen. Das zu zugehörige homogene System ist
i
der Störvektor ist ein gegebener Vektor mit Funktionen als Komponenten,
y = A yH
23.7
Bsp 1 y = y - 2 y y = y + 3 y + y y = y + 4 y
1 1
y = - 5 y - 5 y y = 4 y - y + e
1 1
12 2
2 x
y = y + y y = - 4 y + 5 y 1 1
12 2
2
Hier ist A = 1 0 -2 1 3 1 1 0 4
Hier A = -5 -5 und g = 0 . 4 -1 e( )
Hier ist A = 1 1 -4 5( )
23.8
( )x
Bsp 2
Bsp 3
Anfangswertproblem (AWP)
DGL System
0
23.9
0
Satz (Sonderfall des berühmten Picard-Lindelöf-Satzes) Seien g (t), g (t),..., g (t) differenzierbare Funktionen. Dann besitzt das AWP y = A y + g y (t ) = y eine eindeutige Lösung in einer gewissen Umgebung von t , für jede Anfangsbedingung y .
0 0
1 n2
0
0
Es folgt, dass die Lösungsmenge eines Systems n linearer DGL 1. Ordnung mit konst. Koeffizienten und n gesuchten Funktionen y ,...,y (ohne Anfangsbedingung) eine n-parametrige Schar von n-Tupel (y ,...,y ) ist.
Eine Anfangsbedingung (wobei n Werte y (t ),...,y (t ) angegeben sind) legt die n Parameter fest…