25.05.2007Vortrag Perkussionsinstrumente 3. Membranen, Platten und Schalen Analogien: 1-D-System2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife

25.05.2007 Vortrag Perkussionsinstrumente

3. Membranen, Platten und Schalen

Analogien:

1-D-System 2-D-System

ideale Saite ideale Membran

steife Saite steife Membran

Stab Platte

gekrümmter Stab Schale, Glocke

Knotenpunkt Knotenlinie


3.1. Membranen

Massendichte:

Spannung: T ds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran

Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ):

constdydx

dmσ

1zyx,

2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung (Transversalschwingung)

x

yz

Einspannung

y

z

x

z

t

z

c

1

2

2

2

2

2

2

2

φ

z

r

1

r

zr

rr

1

t

z

c

12

2

22

2

2

Rechteckmembran Kreismembran

σ

Tc

σ

Tc


θ

T ds

FStatische Auslenkung:

dssinθTF

L

Membran widersteht keiner Kraft mit AngriffspunktMembran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt

SaiteMembran

= 0 für Angriffspunkt


Schwingungsmoden von Rechteckmembranen:

x

yz

Lx

Ly

2y

2

2x

2

mn

yx

tωimn

L

n

L

m

σ

Tπω

L

yπnsin

L

xπmsineAz mn

2y

2

2x

2

mn

yx

tωimn

L

n

L

m

σ

Tπω

L

yπnsin

L

xπmsineAz mn

m = 1 n = 1 m = 2 n = 1

m = 1 n = 2 m = 2 n = 2

m = 3 n = 1 m = 3 n = 2Quadratische Membran Lx = Ly

Entartung ωmn = ωnm

Modenüberlagerung möglich


Schwingungsmoden von Kreismembranen:

σ

T

R

ξω

RrξJeeAz

mnmn

mnmimφtωi

mnmn

σ

T

R

ξω

RrξJeeAz

mnmn

mnmimφtωi

mnmn

m = 0 n = 1 m = 1 n = 1

m = 2 n = 1 m = 3 n = 1

m = 0 n = 2 m = 3 n = 2

2R

x

yz

ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm

2,405ξ01 2,405ξ01


Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:


Kreismembran Applet

• http://www.falstad.com/mathphysics.html


3.2. Dünne isotrope Platten

x

yz

frei / einfach unterstützt / eingespannt

h

Massendichte:

constdV

dmρ

a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung

„Unendliches“ Medium (rel. zu λ)

2L ν1ρ

Ec

„Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten

2ν1ν1ρ

ν1Ec

2

L


Massendichte:

constdV

dmρ

b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben)

„Unendliches“ Medium oder „unendlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)

L

typisch

T c60%ρ

Gc

x

yz


h


x

yz


hMassendichte:

constdV

dmρ

c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung)

Wellengleichung:

Dispersionsrelation: (nichtlinear)

Phasengeschwindigkeit:

Gruppengeschwindigkeit:

φg

LLφ

2L

222

L2

2

v2k

ω v

ωω12

hck

12

hc

k

ω v

k12

hckω

0z12

hc

t

z

zkzΔ

ωit

42


Beispiel: Die dünne Rechteckplatte

y)z(x,ky)z(x,yx

2yx

422

4

4

4

4

4

z

h

Lx

Ly

• Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran

• Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,...

Freie Platte:

( i.A. schwieriges Problem )

(x,y) – Kopplung(x,y) – Kopplung


Messung an freier Aluminiumplatte

Messung an freier Aluminiumplatte

Lx / Ly

Lx = const.

Lx = const.

(x,y) – Kopplung bei Lx Ly:

Ringmode

Diagonal-Mode (X-Mode)

ModenaustauschModenaustausch


Fundamentalmoden quadratischer Platten:

frei ( ν = 0,3 ) einfach unterstützt eingespannt

( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )

L

hc3,717ω

2L

11 L

hc3,717ω

2L

11 L

hc5,698ω

2L

00 L

hc5,698ω

2L

00 L

hc10,39ω

2L

00 L

hc10,39ω

2L

00

L

hc22,79ω

2L

11 L

hc22,79ω

2L

11 L

hc31,28ω

2L

11 L

hc31,28ω

2L

11


Moden quadratischer Platten:

frei ( ν = 0,3 )

eingespannt


Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand

m = 0 n = 1

Fundamentalmode

• Qualitativ wie starre Kreisplatte

• Effizienter Strahler

• Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J0( k r' )

m = 0 n = 2 m = 0 Moden:

• Verbleibende Netto-Monopolkomponente

• Schwache Strahler

m = 1 n = 1

m = 2 n = 1 m = 3 n = 1

m = 3 n = 2

m > 0 Moden:

• Keine Monopolkomponente

• Völlig ineffiziente Strahler


Perkussionsinstrumente -Trommeln


Perkussionsinstrumente -Trommeln: Geschichte

• Trommeln sind praktisch so alt wie die Menschheit. Ausgenommen die menschliche Stimme stellen Sie die ältesten Musikinstrumente dar!

• Die ersten Trommel waren wahrscheinlich Holzstücke über Erdlöchern und etwas später hohle Baumstümpfe!

• Die ältesten bekannten Trommeln mit Membranen sind 5000 Jahre alt. Die Membran bestand aus Fischhaut oder Wildleder.

• In der Kulturgeschichte des Menschen spielten Trommeln in der Musik allgemein vor allem aber in religiösen Ritualen und Festen eine wichtige Rolle!


Perkussionsinstrumente -Trommeln : Kategorisierung

• Alle Trommeln lassen sich grob in 2 Hauptkategorien einteilen: Solche die ein gutes Gefühl für die Tonhöhe vermitteln und solche, die das nicht tun.

• Zur ersten Gruppe gehören z.B. kettledrums und tabla.• Zur zweiten Gruppe gehören bass drum, snare drum,

tom-toms, bongos, congas…• Als schwingungsfähige Systeme unterteilt man

Trommeln in 3 Gruppen: solche mit von der Membran abgeschlossenem Resonanzkörper (kettledrums), solche mit Luft zu beiden Seiten der Membran (tom-toms, Tambourine) und solche mit einem durch 2 Membranen isolierten Hohlraum (bass drum und snare drum).


Perkussionsinstrumente -Trommeln

• kettledrums oder timpani sind die wichtigsten Trommeln in modernen Orchestern. Ihre Bedeutung resultiert vor allem aus den Einstellungsmöglichkeiten.

• Eine timpani kann in etwa eine Quinte (5 Töne) je nach Membranspannung abdecken. Über die Pedale kann der Spieler einen weiteren Ton hinzufügen.

• Die Moden einer idealen Membran sind nicht harmonisch. Eine gut eingestellte timpani einen Grundton und nur 2 oder 3 Obertöne. Der Grundton stammt dabei von der 1,1 mode.


Aufbau einer Kesselpauke

SeitenansichtAufsicht


Energieverlust

• Es gibt vier hauptsächliche Ursachen für den Energieverlust einer Membran in einer Trommel:

1. Schallabstrahlung

2. Mechanische Verluste in der Membran

3. Wärmeverlust der eingeschlossenen Luft

4. Mechanische Verluste in den Außenwänden


Schallabstrahlung


Schallabstrahlung


Das Schlagzeug

Bass-Drum

Snare

TomsHi Hat

Crashbecken



Elektronisches Drumset


Bass Drums

• Erzeugt die höchste Leistung aller Instrumente in einem Orchester (bis zu 20W)

• Normaler Durchmesser 80-100cm• Meist 2 Membranen, unterschiedlich stark gespannt• Mylarmembranen (Polyester), manchmal auch Kalbsfell

für große Konzertbassdrums• Schlagfell (batter) ist stärker gespannt als das

Resonanzfell (carry) (Unterschied von bis zu 75%), Sound erscheint verstärkt und klingt schneller ab• Für Soli wird auch das Gegenteil empfohlen, bzw. beide

auf gleiche Spannung


Bass Drums

• Moden sind überraschend nahe einer harmonischen Serie

• Ab 200Hz entstehen viele unharmonische Anteile (ca. 160)

• Interessante Kopplungseffekte für die niedrigsten Moden

• Bei gleicher Spannung 0,1 einfacher 2-Massen-Oszillator mit:

• f1=f0

• f2=sqrt(f0^2+2fc^2)• fc: Kopplungsfrequenz, die von der

Beschaffenheit des Luftvolumens und der Membranmassen abhängt

• fc= 67 Hz für 0,1

Moden Carry bei kleinerer Spannung

Gleiche Spannung Batter und Carry

0,1 39 44 , 104

1,1 80 76 , 82

2,1 121 120

3,1 162 160

4,1 204 198

5,1 248 240


Bass Drums• Entfernt man das Resonanzfell, ändert sich nur wenig gegenüber

den Frequenzen bei Carry auf kleinerer Spannung• Abklingraten ca. 3-9 dB/s• Steigt auf 6-11 dB/s, wenn man Spannungen von Carry und Batter

angleicht• Ohne Carry: 3-8 dB/s• Oberflächenspannung einer Membran steigt beim Schwingen mit

einer endlichen Amplitude• ΔT ~ d2

• f ~ √(T0+ΔT) ~ √(T0+ d2) daher hat jede Mode eine höhere Frequenz, im Moment des

Anschlags, die dann mit Abklingen der Amplitude kleiner wird• Typische Amplitude 6mm Frequenz – Shift von 10%, was

ungefähr einem ganzen Ton entspricht


Snare Drums

• Typische Maße: 35cm Durchmesser, 13-25cm Tiefe

• An der unteren Membran befinden sich gespannte Metalldrähte ergeben typischen Snaresound

• Bei Anschlag der oberen Membran, schwingen die Snareseiten gegen die Membran

• Kopplungen der Membranen wie bei Bass

• Eingeschlossene Luft und/oder das Gehäuse Paare von Moden


Snare Drum

• Bei ersten beiden Moden schwingen Batter und Snare gleich oder entgegen (kann wiederum mit einem simplem 2-Massen Modell beschrieben werden)

• Bei Mode 3 und 4 sind Berechnungen wesentlich komplizierter

• Offensichtlich muss die Luft jedoch bei Mode 3 einen größeren Weg zurück legen als bei Mode 4, was den Frequenzunterschied erklärt


Snare Drum


Snare Action

• Kopplung zwischen Snare und Membran hängt von der Masse der Federkonstante der Snares

• Bei genügend großer Anschlagamplitude lösen sich die Snares von der Membran ab einem bestimmten Zeitpunkt im Schwingungszyklus und schwingen die Membran zurück charakteristischer Snare Sound

• Je größer die Spannung der Snares, umso größer ist die dazu benötigte Amplitude

• Zu Beginn verhält sich die Geschwindigkeit der Snare sinusförmig, wobei Periodendauer größer als die der Membran ist

• Dadurch kehrt die Membran erst ihre Richtung um und verliert dann den Kontakt zur Snare

• Anschließend schlagen beide stark zusammen bei der Rückwärtsbewegung charakteristischer Snare Sound


Snare Action


Snare Action


Tom Toms

• Durchmesser 20-45cm, 20-50cm Tiefe• Eine oder zwei Membranen• Toms mit Verstärkung im Zentrum geben klarere Töne,

was daran liegt, dass die niedrigen Frequenzen harmonischer liegen

• Außerdem vergrößern die Verstärkungen die Abklingzeiten aller Moden

• Wie bei Bass Drum erzeugen 2 Membranen wieder 2 Frequenzen in der (0,1)-Mode

• Wieder Effekt der Tonerhöhung bei starkem Anschlag


Tom Toms


Onset und Decay

• Wird die Membran zentral angespielt größter Teil der Energie geht in kreissymmetrische Moden (0,1) und (0,2)

• Zum Ende der 1. Sekunde enthält das Spektrum viele weitere Moden über die Kopplung zu (0,1) und (0,2)

• Abklingzeit:– Art der Membran– Spannung– Kesselgewicht und –material– Halterung des Toms

• Bsp.: Die Änderung der Länge des Armes, der das Tom hält, kann die Zerfallszeit von 5.5s auf 0.6 ändern


Onset und Decay


Perkussionsinstrumente -Trommeln: Indian Drums

• Die beiden wichtigsten Trommeln aus Indian sind die Tabla:


Indian Drums

• und die mrdanga aus Nord- und Südindien:


Indian Drums

• Beide Trommeln produzieren harmonische Obertöne durch Verwendung bestimmter Materialien, wie Gummi oder Speisestärke im Trommelkopf (Paste).

• Der Kopf der Tabla besteht aus drei Lagen Tierhäuten, die an den Enden zusammen geflochten sind und durch einen Lederring befestigt sind.

• Die Spannung kann durch die Position kleiner Holzzylinder auf der Oberfläche der Außenwände variiert werden.

• Mittels eines Hammers kann der Lederring nach oben oder unten verschoben werden, was eine noch feinere Einstellung erlaubt.


Indian Drums

• Im Zentrum der Membran befindet sich ein runder schwarzer Fleck einer aus Reis und Eisenoxid hergestellten Paste, welche die Dichte erhöhen soll. (*)

• Die ersten vier Obertöne der Tabla sind harmonische über der Fundamentalen, welche von (0,1) mode erzeugt wird.

• Die Obertöne werden durch unterschiedliche Mode, welche dieselbe Frequenz erzeugen produziert.

• Zweite (1,1); Dritte (2,1) und (0,2); Vierte (3,1) und (1,2);

Fünfte (4,1), (0,3) und (2,2)


Indian Drums


Indian Drums

• Abb 18.15 (Verschiedene Moden produzieren gleiche Frequenzen)

Die meiste Energie ist eingeschlossen im Trommelkopf.


Indian Drums

• Der Trommelkopf ist im wesentlichen in drei konzentrische Bereiche aufgeteilt, die es dem Spieler ermöglichen drei deutlich unterschiedlich Töne hervorzubringen.

• „tun“ Mitte; „tin“ nicht gedämpfter Bereich und „na“

Rand.• Erwähnenswert ist auch noch, dass die verschiedenen

Moden umso eher gleiche Frequenzen erzeugen je größer die Anzahl dünner Schichten an Paste ist.


Indian Drums

Abb. 18.16


Japanese Drums

• Viele verschiedene Trommeln wie die O-daiko,

turi daiko und die kotodumi. (Abb. 18.18)


Japanese Drums


Japanese Drums

• Die o-daiko besteht aus einem Holzzylinder von ca. 50-100cm Durchmesser über dessen Enden eine Membran aus Kuhhaut gespannt ist.

• Sie wird mit großen, fellüberzogenen Schlägern angeschlagen und produziert eine tiefen, donnernden Ton. Ihr ursprünglicher Einsatzzweck waren religiöse Feste in Tempeln und bei heiligen Schreinen.

• Die Moden der o-daiko sind denen der bass drum sehr ähnlich.

• Dämpfung durch Luft wichtig bei großen Membranen. Die Frequenzen der o-daiko stimmen sehr gut mit den theoretischen Werten ohne Luft überein die Membranspannung und Masse sind groß!


Japanese Drums

• Die turi-daiko ist eine kleine Hängetrommel, die im klassischen japanischen Theater und Orchester verwendet wird.

• Der Trommelkörper besteht aus einem ausgehöhlten Baumstamm. Durchmesser ca. 30 cm Länge 7 cm.

• Die (0,1) mode liefert eine Frequenz von 195 Hz welche sich verringert, wenn man die Länge der Trommel erhöht.


Japanese Drums

• Die kotodumi besteht aus einem Holzkörper an dessen Enden Eisenringe befestigt sind, über die eine Membran gespannt ist. Hanfseile erlauben es dem Spieler die Spannung der Membran zu variieren.

• Die kotodumi produziert vier verschiedene Klänge: `ta`, `ti`, `pu` und `po`, abhängig von der gewählten Spannung.

• `ta` und `ti` Klänge beruhen auf hoher Membran-spannung. `pu und `po` Klänge werden erzeugt in dem bei hoher Membranspannung angeschlagen wird und unmittelbar nach dem Schlag die Spannung der Membran verringert wird, was den Klang zu tieferen Frequenzen hin verschiebt.


Latin American Drums



• Die Wurzeln dieser Trommeln liegen Afrika. • In heutigen Tanz Orchestern und Jazz Ensembles findet

man hauptsächlich bongos, congas und timbales.• Die Trommelkörper der Congavorläufer bestand aus

einem ausgehöhlten Baumstamm. Heute wird die Conga aus Holzleisten zusammengesetzt (Durchmesser ca. 23-30cm).

• Die Tonhöhe variiert von 131 Hz – 262 Hz.• Unterschiedliche Klänge werden hauptsächlich durch die

Schlagposition und Technik bestimmt.



• Bongos produzieren die höchsten Frequenzen unter den Lateinamerikanischen Trommeln (Durchmesser 15-25cm).Die Außenhaut besitzt konische Gestalt.

• Ursprünglich wurde die Membran festgenagelt, heute werden aber Schrauben zum Regulieren der Spannung angebracht.

• Timbales waren ursprünglich aus Holz werden heute aber aus Metall gefertigt (Durchmesser ca. 30-35 cm).

• Die Außenhaut ist entweder am Boden offen oder es existiert nur eine handgroße Öffnung. Gespielt werden timbales mit Holzschlägern, mit denen unter um Umständen auch die Außenhaut angeschlagen wird.


Das Xylophon

• Beispiel einer quadratischen Platte siehe Theorieteil.• Das Wort „Xylophon“ leitet sich aus dem Griechischen

ab und bedeutet soviel wie „Holzklang“.• Decken in etwa 3- 3 1/2 Oktaven ab f=349-4186 Hz).• An der Unterseite bogenförmig angeschnitten.• Grund: Dies verändert (verringert) die Frequenzen,

welche von den Moden erzeugt werden, die das Torsionsmodul beanspruchen.

• Der erste Oberton liegt in der Frequenz in etwa dreimal höher als die Fundamentalfrequenz (Grundton).

• Das Holz wirkt auf diesen Oberton wie ein Resonator was den Klang „verbreitert“ siehe Fig.5.6.


Das Xylophon• Manchmal wird dem ganzen Instrument noch ein

Resonator zugefügt. Oder die Xylophonhölzer (bars) werden über einem kastenartigen Hohlraum montiert, der den Klang „dehnt“, indem er Interferenz reduziert, die aus Schallabstrahlung der Hölzerenden resultiert.


Quellen

• Skript Physik der Musikinstrumente (Vorlesung SS 2007)• „The Physics of Musical Instruments“ (Springer Verlag, 2000)• google• Wikipedia• http://home.comcast.net/~scottxs/piezogyro/applet/index.html

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