Folie 1

Bekanntlich ist eine Linearform auf einem K-Vektorraum V eine lineare Abbildung f von V nach K .

(25.1) Lemma: Sei V K-Vektorraum mit der geordneten Basis b = (b1, b2, ... ,bn) .

§ 25 Bilinearformen und spezielle Koordinaten

Wir beginnen mit Linearformen.

Als erstes wollen wir feststellen, dass Linearformen auf einem endlichdimensionalen K-Vektorraumes V sich – nach Festlegung einer geordneten Basis b –

Der Dualraum Hom(V,K) wird auch mit V* = Hom(V,K) bezeichnet.

wobei der letzte Term das Matrixprodukt von Y aus K1xn mit X aus Knx1 bezeichnet.

Für f aus V* sei Y der Zeilenvektor mit den Komponenten Yj := f(b j) . Y ist (1,n)-Matrix und es gilt:

,YXXYYX)bX(f)X(f

mittels des Produkts von Zeilenvektor mit Spaltenvektor beschreiben lassen.

Folie 2

Kapitel IV, §25

also,XX:)bX(*b,KV:*b

Diese Beschreibung der Linearformen entspricht der Festlegung einer geordneten Basis b* auf V* in der Weise, dass f aus V* die Komponenten Yj = f(bj) bezüglich der Basis b* hat:

.)X(*b)b(fX)b(f)b(fX)bX(fwegen*b)b(ff

Andere Schreibweise:

.)v(f:v,f)v,f(,KV*V:,

(25.2) Definition: Unter der natürlichen Paarung zwischen V und V* versteht man die Abbildung

Damit ist .*Vffür*bb,ffundb,*b

tedieaufbXvonojektionPrdiealskannKV:*b

Komponente aufgefasst werden.

Folie 3

Kapitel IV, §25

Man geht aus von einer „Parametrisierung“

eines Bereiches U durch die Parameter q = (q1,q2, ... ,qn) aus Q .

(25.3) Definition: b* = (b*1,b*2, ... ,b*n) heißt die duale Basis zu b .

Hinweis: In Geometrie und Physik ergeben sich Basen mit zugehöriger dualer Basis auf folgende Weise:

,Q,UQ: nR

Dann liefert,n1,2,,

q:b

X:)q

X(dq

wird die duale Basis gegeben.

eine Basis des „Tangentialraumes“. Durch die „1-Formen“

Nun zu den Bilinearformen:

Folie 4

Kapitel IV, §25

so dass für alle w aus V die beiden Abbildungen

Quadriken sind verallgemeinerte Kegelschnitte. Sie lassen sich entsprechende auf affinen Räumen definieren.

Die zugehörige quadratische Form ist q(v) := σ(v,v) .

(25.4) Definition: Eine Bilinearform auf einem K-Vektorraum V ist eine Abbildung

,KVV:

,)w,v(v,KV:)w,( ,)v,w(v,KV:),w(

Linearformen sind.

Zu den wesentlichen Aufgabe der affinen Geometrie gehört die Klassifikation der Quadriken und ihre einfache Beschreibung.

Das Nullstellengebilde von q ist dann eine Quadrik: q-1(0) . Eine allgemeine Quadrik in Kn ist definiert als

,}c)X(f)X(q:KX{Q n wobei q quadratische Form, f Linearform und c Konstante aus K.

Folie 5

Kapitel IV, §25

Bezüglich einer geordneten Basis b von V hat eine Bilinearform σ stets die Darstellung

,bYY,bXX,YX)Y,X(

Umgekehrt definiert jede (n,n)-Matrix eine Bilinearform.

.b mit einer eindeutig bestimmten (n,n)-Matrix

Wichtig ist hier die Relation von Bilinearformen zu Skalarprodukten.

(25.5) Definition: Die Matrix σb heißt die Fundamentalmatrix von σ in Bezug auf b .

Ohne Bezug auf eine Basis definiert eine Bilinearform σ stets eine lineare Abbildung

.)v(ˆ:)v,(v,*VV:ˆ

Diese hat bezüglich einer geordneten Basis b und der dualen Basis b* die Matrixdarstellung durch die Fundamentalmatrix:

.*b),b(ˆ,*bX)bX(ˆ)X(ˆ

.iplikationMatrixmultalsYXY)X()Y,X(Also Tb

TTb

Folie 6

Kapitel IV, §25

Deshalb gilt:

1o Der Nullraum ist V0 := {v aus V : σ( ,v) = 0} , also der Kern von .̂

,ˆrgVdimnrg 0

musIsomorphisistˆ0ˆKer}0{V

ausgeartetnicht

0

2o Der Rang rgσ von σ ist der Rang der Fundamentalmatrix.

Offensichtlich ist

Erinnerung: (Vgl. 11.2) Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine symmetrische Bilinearform σ , zu der es eine Zerlegung von V der Form V = V+ + V– gibt mit:

(25.6) Definition: Sei σ eine Bilinearform auf V , dimV = n .

3o σ heißt nicht ausgeartet, wenn rgσ = n.

Eine Bilinearform σ heißt symmetrisch, wenn stets σ(v,w) = σ(w,v).

σ(v,v) > 0 für v aus V+\{0} und σ(v,v) < 0 für v aus V–\{0} .

σ ist daher symmetrisch, wenn σT = σ für die Matrix σ = σb.

Folie 7

Kapitel IV, §25

Der nächste Satz klärt, welche Bilinearformen Skalarprodukte sind:

.nrg für0s undrg1 für0s

Dann existieren eine geordnete Basis d = (d1,d2, ... , dn) von V und Elemente s1,s2, ... , sn aus K, so dass die Fundamental-matrix von σ in Bezug auf d die Gestalt diag(s1,s2, ... , sn) hat. Dabei ist diag(s1,s2, ... , sn) die Matrix (δijsj) .

(25.7) Satz: (Hauptachsentransformation, schwache Form) Sei σ eine symmetrische Bilinearform auf V , dimV = n , und sei charK > 2 .

σ ist genau dann Skalarprodukt, wenn σ nicht ausge-artet ist. Die Wahl von d und s kann so getroffen werden, dass

d und s können so gewählt werden, dass .

(25.8) Korollar: Sei σ symmetrische Bilinearform auf V , dimV = n , und sei K = R.

.nj für-1s undj1 für1s

Beweis durch Induktion nach n .

23.01.02

Folie 8

Kapitel IV, §25

j = j(σ) heißt der Index von σ .

Die von Null verschiedenen sj können alle als 1 gewählt werden.

(25.9) Korollar: Sei σ eine symmetrische Bilinearform auf V , dimV = n , und sei K = C .

Dabei ist r = rgσ .

(25.10) Klassifikation der Quadriken: Über dem Körper R = K der reellen Zahlen haben die quadratischen Formen bei geeigneter Koordinatenwahl die folgenden Normalformen:

1r

2r21p2p2221

2X10

)X()X()X()X()X()X(q

Im Falle j(σ) = n handelt es sich um ein euklidisches Skalarprodukt.

Wir kommen abschließend zur Beschreibung von speziellen Koor-dinaten und Bezugssystemen mit ihrem Transformationsverhalten:

21.01.02

Folie 9

Kapitel IV, §25

Für den Rest des Paragrafen sei K = R . Und es sei σ ein Skalarprodukt auf dem n-dimensionalen R-Vektorraum V .

σ = diag(1,1, ... , 1,–1, ... , –1)

Aufgrund der vorangehenden Resultate gibt es eine geordnete basis b von V , für die die Fundamentalmatrix σ = σb die Form

hat, - mit p = j(σ) Einträgen gleich 1 und n – p Einträgen gleich –1 in der Diagonalen.

Wie kann man die Menge aller Orthonormalsysteme beschreiben?

(25.11) Definition: Eine solche Basis heißt Orthonormalsystem bezüglich des Skalarprodukts. Es gilt

.)b,b(

Wir schreiben deshalb auch für diese Fundamentalmatrix.poder

Folie 10

Kapitel IV, §25

Zu einem weiteren Orthonormalsystem d findet man wie zuvor eine Transformationsmatrix B aus Rnxn mit Aus.dBb

.)BB(B)d,d(B)dB,dB()b,b( T

ergibt sich σ = BTσB für die Matrix .p

σ(X,Y) = σ(f(X),f(Y)) gilt.

(25.12) Definition: Eine lineare Abbildung f aus Hom(V,V) heiße invariant bezüglich der Bilinearform σ , wenn für alle X,Y aus V

,pnq,}AA:A{:),q,p(O pTpnn RR

Die σ-invarianten linearen Abbildungen sind automatisch bijektiv. Wenn die Matrix A aus Rnxn die Abbildung darstellt bezüglich der Basis b, so bedeutet die Invarianz wegen

σ(X,Y) = XTσY und σ(f(X),f(Y)) = σ(AX,AY) = XTATσAY gerade σ = ATσA . (25.13) Satz: Orthonormalbasen werden durch σ-invariante Abbildungen ineinander transformiert. Die Menge der Matrizen

Folie 11

Kapitel IV, §25

beschreibt diese Transformationen, parametrisiert also die Orthonormalbasen.

O(p,q,R) ist eine Gruppe, die orthogonale Gruppe.O(n,R) = O(n,0,R) ist die orthogonale Gruppe.O(3,1,R) oder O(1,3,R) ist die Lorentzgruppe.

Ein euklidischer Raum ist bekanntlich (siehe 11.7) ein affiner Raum (A,V,g) über R zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum V der Translationen. (25.14) Definition: Ein kartesisches Koordinatensystem eines euklidischen Raumes ist ein affines Bezugssystem O,b , wobei b Orthonormalsystem ist. (25.15) Satz: Die Transformationen, die die kartesischen Koordina-tensysteme ineinander überführen sind genau die Transformationen der Form T = B + w , mit B aus O(n,R) und w aus Rn . Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte euklidische Gruppe E(n) .

Folie 12

Kapitel IV, §25

Zur Komposition in E(n) : Die euklidischen Transformationen sind Paare (B,w) , die man auch als Blockmatrizen

Die euklidische Gruppe E(4) ist eine wichtige Untergruppe der Galileigruppe, der Invarianzgruppe der klassischen Mechanik.

10wB

darstellen kann. Die Gruppenoperation schreibt sich dann als Matrixprodukt:

Diese Notation gibt natürlich auch schon für die im letzten Paragrafen eingeführte affine Gruppe Sinn,

10vAwAB

10wB

10vA

wie auch für die Lorentzkoordinaten, die durch die affine Version der Lorentzgruppe parametrisiert werden.

Bemerkung: Orientierungserhaltende Transformationen werden später behandelt.