3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos3.1. Dynamische Systeme Literatur:

z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994)

Literatur: z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994)

Beispiele:

• Hamiltonsche Systeme:

• Temperatur, Druck, Strom, Spannung, • Bevölkerungszahlen• Aktiennotierungen• Herz- und Atemfrequenz, Hirnströme

,p,qx

q

Hp,

p

Hq

Zustandsvektor des Systems:

tx,,txtx n1

Phasenraum

Kontrollparameter des Systems:

Parameter zur Steuerung der Systemdynamik

Beispiele:

• Massen, Federkonstanten, Reibungskoeffizienten

• Sensitivität auf Nahrungsangebot, Wetterschwankungen, ...

• Sensitivität auf Ölpreise, politische Krisen, ...

• Stärke der äußeren Nervenreize, ...

Stochastische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt die Wahrscheinlichkeits-verteilung des Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:

0xx,0tP0x

Deterministische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt der Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:

0tx0x

Störung durch Rauschen: 0t

tδtx0δ0x

• streng deterministisch: Das System ist unempfindlich auf Rauschen:

0 t, 0tδlim

00δ

• schwach deterministisch (potentiell chaotisch): andernfalls

Beispiel:xx

> 0 0

Kontinuierliche Systeme: „Zeit”-Variable t ℝ kontinuierlich

Wichtigste Klasse: t,txFtx t,txFtx i.a. nicht-linearF

Diskrete Systeme: „Zeit”-Variable t k ℕ0 diskret (Zählindex)

Wichtigste Klasse: ,2,1,0k,xFx k1k

,2,1,0k,xFx k1k

Autonome Systeme: Dynamik ohne explizite Zeitabhängigkeit

txFtx txFtx z.B.

Diskretisierung kontinuierlicher Systeme

a) System hat „natürliche” Periode T (z.B. Periode einer äußeren Anregung)

,T2xx,Txx,0xx 210 ,T2xx,Txx,0xx 210

0,x,,x,xtx 1n21k

b) Sukzessive Durchstoßpunkte durch (n1)-dimensionale Hyperebene im Phasenraum Poincaré-Schnittz.B.: tk sukzessive Zeitpunkte mit

ktt1n1k x,,xx

ktt1n1k x,,xx

1kk xx

Poincaré-Abbildung:

Beispiel 1: Harmonischer Oszillator 0qωqγq 2 0qωqγq 2

Kontrollparameter: 2ω,γ

Zustandsvektor: mit 21 x,xx tqtx,tqt x 21 tqtx,tqt x 21

Systemgleichung:

12

22

2

21

xωxγqωqγqxxqx

tx

tx

γω

10

txγtxω

tx

tx

txtx

2

12

212

2

2

1

txtxγω

10txtxF 2

Der harmonische Oszillator ist als zweidimensionales kontinuierliches, lineares und autonomes System darstellbar

Beispiel 2: Getriebenes dissipatives Pendel tωsinAqsinωqγq 2

0 tωsinAqsinωqγq 20

Kontrollparameter: ω,A,ω,γ 20

Zustandsvektor: mit 21 x,xx tqtx,tqt x 21 tqtx,tqt x 21

Systemgleichung:

tωsinAxsinωxγ tωsinAqsinωqγqx

xqx

1202

202

21

tωsinAtxγtxsinωtx

txtx

txt,txF21

20

2

2

1

Das getriebene dissipative Pendel ist als zweidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und nicht-autonomes

System darstellbar

Beispiel 3: Getriebenes dissipatives Pendel (Alternative)

Zustandsvektor: 321 x,x,xx

t tx,tqtx,tqt x 321 t tx,tqtx,tqt x 321

Systemgleichung:

1tx xωsinAxsinωxγtωsinAqsinωqγqx

xqx

3

31202

202

21

Das getriebene dissipative Pendel ist als dreidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und autonomes System darstellbar

1txωsinAtxγtxsinω

txtxtxF 321

20

2

tωsinAqsinωqγq 20 tωsinAqsinωqγq 20 Kontrollparameter: ω,A,ω,γ 2

0

Beispiel 4: Populationsdynamik

Zustandsvektor (1-dim): Populationszahl einer biologischen Spezies in der k-ten Generation ( k 0 , 1 , )

kk xx

Systemgleichung: kkk1k xxb1axFx

Die logistische Gleichung beschreibt ein eindimensionales diskretes, nicht-lineares System

Kontrollparameter: Vermehrungsfaktor

Dämpfungsparameter für Futtermangel0b

0a

kxb1aa

Umbenennung: kk xxb Logistische Gleichung(Verhulst-Gleichung)

4,0a,1,0x

x1xax

k

kk1k

x1xaxF x1xaxF

3.2. Spezielle Phasenraumgebiete

a) Fixpunkte: Ein Zustandsvektor heißt Fixpunkt wenn gilt:0x

kontinuierliches System:

bzw. äquivalent:

0x0x

0xF 0

0xF 0

diskretes System:

bzw. äquivalent:

k1k0k xxxx

xxF 00

xxF 00

b)Attraktoren stabile Fixpunkte

oszillatorisches Verhalten

ii) „Schwingfall”

Fixpunkt

exponentielles Verhalten

i) „Kriechfall”

Fixpunkt

c) Repulsoren instabile Fixpunkte

ii) „Schwingfall”

Fixpunkt

i) „Kriechfall”

Fixpunkt

oszillatorisches Verhaltenexponentielles Verhalten

d) Sattelpunkte semistabile Fixpunkte

Fixpunkt

(n 1)-dimensionaler Grenztorus

n-dimensionaler Phasenraum

Poincaré-Schnitte:

e) Grenzzyklen / Grenztori (bei nicht-linearen Systemen)

Grenzzyklus

2-dim. PhasenrauminstabilerFixpunkt

f) Seltsame Attraktoren: stabile aber irreguläre (chaotische) Bewegung im Attraktionsgebiet. Poincaré-Schnitte sind verschlungene selbstähnliche Figuren nicht-ganzzahliger Dimension (Fraktale).

Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.)

2-dimensionale Projektionen

Experimentelle Realisierung dieses Systems Abschnitt 3.3.6.

Poincaré-Schnitte seltsamer Attraktoren

Ikeda-System

Getriebenes Pendel mit Dämpfung

Selbstähnlichkeit des Poincaré-Schnitts des Henon-Attraktors

Einschub: Fraktale und gebrochene Dimensionen

Beispiel: Koch-Kurven: Ersetze durch ad Infinitum1

⅓

Koch-Schneeflocke kk

ClimC

C1 C2 C3 C4 C5

1

Dimension: Überdeckung von Ck mit Nk Kästchen

k31

k31

1-dimensionale Figur:

2-dimensionale Figur:

d-dimensionale Figur:k

21k N3N

kd

1k N3N

k1k N3N

Koch-Kurven: 43N4N dk1k 26,1

3log

4logd

3.3. Stabilität von Fixpunkten

a) Diskrete Systeme: Fixpunkt, d.h.Fx FF xxF

Jacobi-Matrix zu :F

Fxj

ijiji x

xFA,AA

Eigenwerte von A: 1 , 2 , , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , no.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern )

Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls i 1, und instabil, falls i 1. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: 1λ:n,,2,1i i 1λ:n,,2,1i i

Bemerkung: Im i 0 exponentielles Verhalten

Im i 0 oszillatorisches Verhalten

Beweis: Tafel

b) Kontinuierliche Systeme: Fixpunkt, d.h.Fx 0xF F

Jacobi-Matrix zu :F

Fxj

ijiji x

xFA,AA

Eigenwerte von A: 1 , 2 , , n ℂ zu Hauptachsen 1 , ... , no.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern )

Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls Re i 0, und instabil, falls Re i 0. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: 0λRe:n,,2,1i i 0λRe:n,,2,1i i

Bemerkung: Im i 0 exponentielles Verhalten

Im i 0 oszillatorisches Verhalten

Beweis: Tafel

3.4. Chaotische TrajektorienBetrachte Trajektorien, beschränkt auf endliche Bereiche (um Fixpkte.)

chaotisch

nicht chaotisch Grenztorus / Fixpunkt

tx , xk

0x

0x

tx , xk

j

ijiji x

xFA,AA

Eigenwerte:

txλtλ bzw. xλ iiki

Lyapunov-Exponent (diskreter Fall)

ikk

1

ki

0ii

0

xδlnlimmax

xlnmaxxμ

Lyapunov-Exponent (kontinuierl. Fall)

n

1kk

t0 ttλReexpln

t

1limxμ

Die Trajektorie ist chaotisch, wenn der maximale, entlang der Trajektorie gemittelte, Lyapunov-Exponent 0

Begründung: Tafel:limt,k

Nachbartrajektorie noch nicht ,,zurückgefaltet” ,,klein”

xδ

Praktische Berechnung des maximalen mittleren Lyapunov-Exponenten:

Referenz-Trajektoriet0

d0

Anfangsauslenkung nicht entlang einer

Hauptachse

t0

d1

d0

t0 2

d2

d0

t0 3

d3

d0

0

k0max d

dln

τ

1τktμ

d

d

τN

1limμ

1k 0

k

Nmax

d

d

τN

1limμ

1k 0

k

Nmax

und möglichst kleinen Abstand d0 im Phasenraum.

Wähle möglichst kleines „Zeit“-Intervall

,td

,1τ diskret

kontinuierlichHardware: Rauscheinfluss noch kleinSoftware: Rundungsfehler noch klein

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Identitätf(x)x

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

x1xaxF

x

Anschauliches Beispiel (1):in

Ein

heit

en v

on a

x0

x1

F(x0)

x1

Fixpunkt Fixpunkt ist stabil (Attraktor)

0,65a 0,65a

3.5. Die Logistische Gleichung

Identitätf(x)x

x1xaxF

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Fixpunkt

x0

Fixpunkt

79,1a 79,1a

Attraktor

Repulsor

Anschauliches Beispiel (2):in

Ein

heit

en v

on a

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Identitätf(x)x

xx0

9,2a 9,2a

Attraktor

Repulsor

Anschauliches Beispiel (3):

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

in E

inhe

iten

von

a

x1xaxF

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Repulsor

xx0

3,3a 3,3a

Grenzzyklus Periode 2

Repulsor

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

Anschauliches Beispiel (4):in

Ein

heit

en v

on a Identität

f(x)x

x1xaxF

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

5,3a 5,3a

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

Anschauliches Beispiel (5):

x1xaxF

in E

inhe

iten

von

a

Repulsor

Repulsor Identitätf(x)x

Grenzzyklus Periode 4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

6,3a 6,3a Chaotische Trajektorie(Seltsamer Attraktor)

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

Anschauliches Beispiel (6):in

Ein

heit

en v

on a Identität

f(x)x

Repulsor

Repulsor x1xaxF

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

74,3a 74,3a

Grenzzyklus Periode 5

Anschauliches Beispiel (7):

4,0a

1,0x

x1xax

k

kk1k

in E

inhe

iten

von

a x1xaxF

Repulsor

Repulsor Identitätf(x)x

Zusammenfassung der experimentellen Resultate:

Feigenbaum-Diagramm

kkxlim 0kk0

kkxlim 0k

k0

0.5

1.0

xk

a1 2 3 40

Fixpunkt 0 stabil Fixpunkt 0

instabil

neuer stabiler

Fixpunkt

a1 a2

a3

a2

Hopf-Bifurkation

Periode 2

Bifurkation

Periode 4

Chaos

stabile Inseln

• Feigenbaumdiagramme Fraktale

• Definition:

Eigenschaften:

a1

a

a2 a3

Feigenbaumkonstante

k1k

1kk

k aa

aalimδ

Theorem (Universalität des Chaos): Für glatte Systemfunktionen ist unabhängig vom System und von der Wahl des variierten Kontroll-parameters. Die Feigenbaumkonstante ist transzendent und hat den Wert:

Dies gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Systeme.

94,66920160δ 94,66920160δ

F

4,0a,1,0x ,x1xax kkk1k 4,0a,1,0x ,x1xax kkk1k

Formale Untersuchung der logistischen Gleichung:

Fixpunkte: a1

F

FFFF

1x

0xx1xax

1

0

ex. nur für a 1

Stabilität: 1xF stabil x FF

x21axF a221a1FxF

a0FxF

a2

a1

F

F

1

0

0 a 1 stabil --------

1 a 3 instabil stabil

3 a 4 instabil instabil

0Fx1Fx

Bifurkationspunkt a 3 Betrachte iterierte Systemfkt. F∘F:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

F F∘

a 2,8a 2,8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

F F∘

a 3,0a 3,0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

F F∘

a 3,2a 3,2

y

x

y

x y

x

stabil

1FF ||

labilinstabil

1FF || 1FF Wendepunkt

2 neue stabile Fixpunkte

• Fixpunkt x

• Bifurkationspunkt: F(x) 1• Wendepunkt in iterierter Systemfkt.• 2 neue stabile Fixpunkte in F∘F mit

gleicher Steigung in F F entstehen.∘• F bildet diese aufeinander ab Periode 2

Nachrechnen!Nachrechnen!

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

x

x

F∘F F∘ ∘F

Zweite Bifurkation:

4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F F F F ∘ ∘ ∘ Periode 4

Wendepunkte

labil

labilinstabil

etc. Beispiel für einen Weg ins Chaos über eine unendliche

Bifurkationsfolge. Es gibt noch viele andere Wege!

449,361a 449,361a

Bifurkationsweg ins Chaos: Eine experimentelle Realisierung (Chaos-Generator)

x2

v

L

Rm

Cm

CR

U0

U

Um

20m2 UUv

nicht-linearer Schwingkreis

V15 15V4U

mH100L

nF47CC

22000R

k3,3R

V100V2,1v

0

m

m

Kontrollparameter

Übungsaufgabe: Zeige

0UUCRUCLU

0UUvUCRUCRU

mmmmmm

20m

2mm

0UUCRUCLU

0UUvUCRUCRU

mmmmmm

20m

2mm

0UUCRUCLU

0UUvUCRUCRU

mmmmmm

20m

2mm

0UUCRUCLU

0UUvUCRUCRU

mmmmmm

20m

2mm

Umformulierung auf Systemgleichung:

UZUYUX mm

ZYUXZ

ZYXYYX

CR1

CC2

0CRv

CL1

LR

CL1

m2

m

m

m

ZYUXZ

ZYXYYX

CR1

CC2

0CRv

CL1

LR

CL1

m2

m

m

m

Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System

x2

v

L

Rm

Cm

CR

U0

U

Um

20m2 UUv

Labormessungen (T.L. 1998)

2nm

1nm

1nm

nm

RR

RR

n321

2

3

4

5

6

7

n321

2

3

4

5

6

7

V5U 0 V5U 0 V5,2U 0 V5,2U 0

nmR n-te Bifurkation

8,7,6,5,4vV10 8,7,6,5,4vV10

hohe Messgenauigkeit ,,hohe”

Bifurkationsordnung

hohe Messgenauigkeit ,,hohe”

Bifurkationsordnung

3.6. Der Lorenz-Attraktor

T1 > T2

T2

Flüssigkeit

Konvektionszellen

T T

T T

ΔδRaδεRa

X Strömungsgeschwindigkeit

Y

Z

t Zeit

Ra Rayleigh Zahl

X , Y , Z , t Zahlen

Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung (nach Lorenz)

ZbYXZ

YXrZXY

XYpX

ZbYXZ

YXrZXY

XYpX

Typische Werte der Kontrollparameter:

b 38 b 38 01p 01p

,,Rayleigh-Zahl”

2000r O 2000r O 28r 28r ,,Prandtl-Zahl”

Standard

ZbYXZ

YXrZXY

XYpX

ZbYXZ

YXrZXY

XYpX

Fixpunkte und Stabilitätsanalyse (Nachrechnen!)

Voraussetzung: p > b 1

Kritische Rayleigh-Zahl: 11bp

bp3pr k

11bp

bp3pr k

XF YF

r0

0

)0,0,0(X1F

stabil instabil

1 rk

)1r,1rb,1rb(X3,2F

stabil

instabil

Wärmeleitung Konvektion Turbulenz

ChaosEinzugsbereiche der stabilen Fixpunkte

schrunpfen

Grenzzyklen, Periodenverdopplung mit sinkendem r bei großen r ≫ rk

Elektronische Realisierung des Lorenz-Systems (Analoge Rechenschaltung mit Operationsverstärkern)

ZbYX

YXrZX

XYp

td

Zd

td

Yd

td

Xd

ZbYX

YXrZX

XYp

td

Zd

td

Yd

td

Xd

rZU

YU

X U

τt10t

1

21

21

s20V1

z

ss20

V1y

ss10

V1x

rZU

YU

X U

τt10t

1

21

21

s20V1

z

ss20

V1y

ss10

V1x

Mathematik Umrechnung auf physikalische Größen

Physik

rUUU τ

UUUτ

U2Uτ

1

2z

1y

x

s200V1b

Z10b

yxV1s

tdUd

y101

zxV1s

td

Ud

yx10p

tdUd

rUUU τ

UUUτ

U2Uτ

1

2z

1y

x

s200V1b

Z10b

yxV1s

tdUd

y101

zxV1s

td

Ud

yx10p

tdUd

Standardwerte

2500r

b

10p

38

: Zeitkonstante ( R C von Integratoren )

s1, s2: Skalierungsfaktoren

rUUU τ

UUUτ

U2Uτ

1

2z

1y

x

s200V1b

Z10b

yxV1s

tdUd

y101

zxV1s

td

Ud

yx10p

tdUd

rUUU τ

UUUτ

U2Uτ

1

2z

1y

x

s200V1b

Z10b

yxV1s

tdUd

y101

zxV1s

td

Ud

yx10p

tdUd

Standardwerte

2500r , b , 10p 38

Uy

11

10

111

0,11010 1

Ux(0)

Uy(0)

Uz(0)

V10

UU 21

V10

UU 21

121 s

b101 0,267

2s

r 1s200

V1b r 1s200

V1b

UxUx

UzUz

V10

UU yx

V10

UU zx

3.7. Anhang: Über Operationsverstärker ( OpAmp )

a) Unendliche Verstärkung: mit

d.h. Ua endlich (nicht gesättigt)

UUVU a UUVU a V V

UU UU

Ua

U

U

I

I

3.7.1. Der ideale Operationsverstärker

U , U , Ua gemessen gegen Erde

U , U , Ua U0 , U0

U0 Versorgungsspannung, typisch 15

V

b)Leistungsfreiheit: 0II 0II

3.7.2. Gegenkopplung

Ua

I 0

I 0

ZP

Z1

Z2

Zn

I1

I2

In

U 0

U1

U2

Un

IP0IIn

1kkP

0n

1kZU

ZU

k

k

P

a

Frequenzraum (Wechselstrom):

n

1kkka ωUcωU

n

1kkka ωUcωU

ωcc k

P

ZZ

kk ωcc k

P

ZZ

kk

Zeit-Darstellung:

ωdeωUt U

ωdeωUωct U

tωikk

n

1k

tωikka

ωdeωUt U

ωdeωUωct U

tωikk

n

1k

tωikka

a) Addierer

ωdeωUt U

ωdeωUωct U

tωikk

n

1k

tωikka

ωdeωUt U

ωdeωUωct U

tωikk

n

1k

tωikka

Ua

I 0

I 0

RP

R1

R2

Rn

I1

I2

In

U 0

U1

U2

Un

IP

const.c k

P

RR

k const.c k

P

RR

k

n

1kkka tUct U

n

1kkka tUct U

Ua

U1

U2

Un

c1c2

cn

Schaltsymbol

b) Integrierer

ωdeωUt U

ωdeωUωct U

tωikk

n

1k

tωikka

ωdeωUt U

ωdeωUωct U

tωikk

n

1k

tωikka

CRωi1

RZ

k kk

Pc CRωi1

RZ

k kk

Pc

Ua

I 0

I 0

C

R1

R2

Rn

I1

I2

In

U 0

U1

U2

Un

IP

n

1kkCR

1

n

1k

tωikka

tU

ωdeωUωcωitU

k

τ

t~d t~Ur0Ut U

t

0

n

1kkkaa

τ

t~d t~Ur0Ut U

t

0

n

1kkkaa

Zeitkonstante (beliebig)

CR

τr

kk

CR

τr

kk

Ua

U1

U2

Un

Schaltsymbol

r1r2

rn

Initialisierung:

Ua

I 0

I 0

C

R1

R2

Rn

I1

I2

In

U

0

U1

U2

Un

IP

Ua(0) R R

Ua

U1

U2

Un

r1

r2

rn

Ua(0)

t ≫ RC stationär, 0

R

CRωi1

R

C||RZZ P

symmetrischer Addierer

0UU aa für Initialisierungszeiten

CRtΔ Init CRtΔ Init

Physikalisch: Initialisierung bedeutet Aufladung des Kondensators mit Q C Ua(0)

c) Spannungsfolger

ia UU0Uδ

UaU 0Ui

Anwendung: Koeffizientengeber(belastungsunabhängiger Spannungteiler)

R

Ui

Ua

Rx

R Rx

c,UcU RR

iax c,UcU R

Ria

xc

Schaltzeichen

Ui Ua

Belasteter Koeffizientengeber:

UcU U iaL UcU U iaL unabhängig von RL

R

Ui

Ua

Rx

R Rx

RL UL

c RR x c RR x

R

Ui

Rx

R Rx

RL UL

Schaltung ohne Spannungsfolger:

iRR

ixLx

xLL

Uc1c1

c

UR||RRR

R||RU

L

abhängig von RL ( lastabhängig)

3.7.3. Nichtlineare Bauelemente basierend auf OpAmpsKombiniere OP-Verstärker mit Dioden, Transistoren, ... ( nicht-lineare Strom-Spannungs-Kennlinie) unbeschränkte Möglichkeiten

Beispiel 1: Vier-Quadranten-Multiplizierer

UaU1

U2

k

V1

UUkU 21

a V1

UUkU 21

a oft: 10

1k

10

1k

Aus Multiplizierern ableitbar:Quadrierer, Dividierer, Radizierer

Beispiel 2: Funktionsgeber

V1fU V1U

ae V1fU V1

Ua

e UaUef

Typische Spezialbausteine:

f abs, sign, sin, cos, tan, log, exp, ...

3.7.4. Rechenschaltung für gedämpfte Schwingungen

Problem: Gegeben: 0UωUγU 2 0UωUγU 2 U0U

U0 U

0

0

U0U

U0 U

0

0

Wahl der Zeitkonstante: 1ωCRτ 1ωCRτ

Zeit in Einheiten von : τtt~ τtt~

tUτtd

Udτ

t~d

UdtU,tUτ

td

Udτ

t~d

UdtU 2

2

22

2

2

Einsetzen 0UUU 22 τ1

τγ

τ1

τγγ~ τγγ~ Uτ0U,U0 U

0UUγ~U

00

Uτ0U,U0 U

0UUγ~U

00

Zahl ohne EinheitenU, U, U Dimension einer Spannung

Uτ0U,U0 U

0UUγ~U

00

Uτ0U,U0 U

0UUγ~U

00

Realisierung als Rechenschaltung:

t

0

0

t

0t~0 τ

t~dt~UτU

τ

t~dUU

tU0UtUU0 U0

t

0

20

t

0t~0 τ

t~dt~UτU

τ

t~dUγ~UU

U

0U

U 1

0U

UU10

γ~ 110

U

tU0UτtUτU0

U 0U

Die elektronische Differentialgleichung:

U

0U

1 U1

0U

U

U10γ~

110

U

10

γ~

10γ~010 10γ~ darstellbar mit dieser Schaltung

10γ~4

4γ~4γ~0

Schwingfall

aperiodischer Grenzfall

Kriechfall

Uτ0U,U0 U

0UUγ~U

00

Uτ0U,U0 U

0UUγ~U

00