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Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-1
3. Fluid-Struktur-Kopplung
● Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkompo-nente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur überein-stimmen.
● Dadurch entstehen in dem akustischen Medium Schall-wellen.
● Umgekehrt wirkt das akustische Medium auf die Struktur zurück, indem die Struktur durch den akustischen Druck belastet wird.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-2
3. Fluid-Struktur-Kopplung
SchwingendeStruktur
Akustisches Medium
Vn
nP
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-3
3. Fluid-Struktur-Kopplung
● Die Rückwirkung des akustischen Mediums auf die schwingende Struktur muss berücksichtigt werden, wenn die vom Schalldruck verursachten Kräfte nicht klein sind gegenüber den Trägheitskräften und den elastischen Kräf-ten der Struktur.
● Das ist der Fall,
– wenn eine Struktur in einem schweren akustischen Medium wie Wasser schwingt (U-Boot, Torpedo), oder wenn
– eine sehr leichte Struktur in Luft schwingt (Solarpanels ei-nes Satelliten).
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-4
3. Fluid-Struktur-Kopplung
● In der Praxis wird oft auch dann gekoppelt gerechnet, wenn die Rückwirkung des akustischen Mediums zwar gering ist, aber durch eine gekoppelte Rechnung der Da-tenaustausch vereinfacht wird:
– Innenraumakustik bei Fahrzeugen
– Schalldurchgang:
P = ?
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-5
3. Fluid-Struktur-Kopplung
● Auswirkungen des Fluids auf die Struktur:
– Ein Fluid, das komplett von der Struktur eingeschlossen wird, erhöht die Steifigkeit. Dieser Effekt ist proportional zum Kompressionsmodul und umgekehrt proportional zum eingeschlossenen Volumen.
– Die Trägheit des Fluids erhöht die Masse der Struktur. Die-ser Effekt ist proportional zur Massendichte des Fluids.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-6
3. Fluid-Struktur-Kopplung
3.1 Bewegungsgleichung der Struktur
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM
3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-7
3.1 Bewegungsgleichung der Struktur
● Die Bewegungsgleichung der Struktur wird in der Regel mit der Methode der Finiten Elemente diskretisiert.
● Bewegungsgleichung im Zeitbereich:
– Im Zeitbereich lautet die diskrete Bewegungsgleichung:
– Matrizen:
[M ] [ u ] [D ] [ u ] [K ] [u ]= [ f ][ f p ]
[u ] Verschiebungsvektor[M ] Massenmatrix[D ] Dämpfungsmatrix[K ] Steifigkeitsmatrix[ f ] Eingeprägte Kräfte auf die Struktur
[ f p ] vom Schalldruck verursachte Kräfte
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-8
3.1 Bewegungsgleichung der Struktur
● Bewegungsgleichung im Frequenzbereich:
– Wenn die Kräfte, die an der Struktur angreifen, einen har-monischen Zeitverlauf haben, dann hat auch die Verschie-bung einen harmonischen Zeitverlauf.
– Mit folgt für die komplexe Amplitude aus der Bewegungsgleichung im Zeitbereich die komplexe Bewegungsgleichung im Frequenzbereich:
– Dabei sind und die komplexen Amplituden der Kräfte.
[u t ]=ℜ [U ]ei t [U ]
[K ]i [D ]−2 [M ] [U ]= [F ][F p ]
[F ] [F p ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-9
3.1 Bewegungsgleichung der Struktur
● Eigenschwingungen der Struktur:
– Ohne Dämpfung und äußere Kräfte lautet die komplexe Bewegungsgleichung
– Dieses Eigenwertproblem hat nur für die Werte von null verschiedene Lösungen , für die die charakteristische Gleichung erfüllt ist:
– Die Kreisfrequenzen heißen Eigenkreisfrequenzen und die Vektoren Eigenvektoren.
[K ]−2 [M ] [ x ]=[0 ]
n
[ xn ]
det [K ]−2 [M ] =0
n
[ xn ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-10
3.1 Bewegungsgleichung der Struktur
– Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix sind symmetrisch.
– Die Massenmatrix ist positiv definit und die Steifigkeitsma-trix positiv semi-definit.
– Daraus folgen die folgenden Eigenschaften für die Eigen-vektoren:
– Die Eigenvektoren werden in der Regel bezüglich der Mas-senmatrix normiert:
[ xm ]T
[M ] [ xn ]=0 für m≠n , [ xm ]T
[K ] [ xn ]=0 für m≠n
[ xn ]T
[M ] [ xn ]=1 [ xn ]T
[K ] [ xn ]=n2
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-11
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
● Schalldruck auf die Struktur:
– Es besteht eine lineare Beziehung zwischen dem Schall-druck und den daraus resultierenden Kräften auf die Struk-tur:
– Wenn der Normalenvektor vom Fluid zur Struktur zeigt, dann gilt:
– Dabei ist SK die Kopplungsfläche zwischen Fluid und Struk-
tur, die Interpolationsmatrix für die Verschiebungen und die Interpolationsmatrix für den Schalldruck.
[ f p ]=[L ] [ p ] , [F p ]=[L ] [P ]
[L ]=∫SK
[N u ]T
[n ] [N p ]dS
[N u ][N p ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-12
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
● Akustische Anregung durch die Struktur:
– Für die Normalkomponente der Verschiebung der Struktur gilt:
– Damit lautet die entsprechende Lastmatrix für das Fluid:
– Einsetzen in das diskrete Gleichungssystem für das Fluid ergibt:
U n=[n ]T
[N u ] [U ] V n=i [n ]T
[N u ] [U ]
[GK ]=i∫SK
[N p ]T
[n ]T
[N u ]dS [U ]=i [L ]T
[U ]
[H ]i [ A ]−2 [Q ] [P ]=2 [L ]T
[U ]−i [G ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-13
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
● Gekoppeltes Gleichungssystem:
– Zusammen mit der diskreten Bewegungsgleichung der Struktur ergibt sich das folgende gekoppelte Gleichungssys-tem:
– Das gekoppelte Gleichungssystem ist nicht symmetrisch.
– Die Substitution führt auf ein symmetrisches Gleichungssystem:
[P ]=i [ ]
[ [K ] [0 ][0 ] −[H ]]−i[−[D ] [L ]
[L ]T
[ A ]]−2[ [M ] [0 ]
[0 ] −[Q ]][ [U ][ ] ]=[ [F ]
[G ]]
[ [K ] −[L ][0 ] [H ] ]i [ [D ] [0 ]
[0 ] [ A ]]−2[ [M ] [0 ]
[L ]T
[Q ]][ [U ][P ] ]=[ [F ]
−i [G ]]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-14
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
● Gekoppelte Schwingungen:
– Ohne Dämpfung, Absorption und Anregung lautet das ge-koppelte Gleichungssystem:
– Aus diesem unsymmetrischen Eigenwertproblem können die gekoppelten Schwingungen berechnet werden.
– Es lässt sich zeigen, dass die Eigenwerte dieses unsymme-trischen Eigenwertproblems reell und positiv sind und dass die Eigenvektoren alle reell sind.
[ [K ] −[L ][0 ] [H ] ]−2 [ [M ] [0 ]
[L ]T
[Q ]][ [ xu ][ x p ]]=[ [0 ]
[0 ]]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-15
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
– Die Eigenvektoren werden als Rechtseigenvektoren be-zeichnet.
– Das transponierte Eigenwertproblem
hat dieselben Eigenwerte.
– Seine Eigenvektoren werden als Linkseigenvektoren be-zeichnet.
[ [K ] [0 ]
−[L ]T
[H ]]−2 [ [M ] [L ][0 ] [Q ]][ [ yu ]
[ y p ]]=[ [0 ][0 ]]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-16
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
– Rechts- und Linkseigenvektoren zu verschiedenen Eigen-werten erfüllen die Orthogonalitätsbedingungen
[ [ yum ]T
[ y pm ]T ][ [K ] −[L ]
[0 ] [H ] ][ [ xun ][ x pn ]]
=[ yum ]T
[K ] [ xun ][ y pm ]T
[H ] [ x pn ]−[ y pm ]T
[L ] [ xun ]=0 für m≠n
[ [ yum ]T
[ y pm ]T ][ [M ] [0 ]
[L ]T
[Q ] ][ [ xun ][ x pn ]]
=[ yum ]T
[M ] [ xun ][ y pm ]T
[Q ] [ x pn ][ y pm ]T
[L ]T
[ xum ]=0 für m≠n
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-17
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
● Modale Reduktion:
– Bei schwach gekoppelten Systemen ist der Einfluss der Kopplung auf die Schwingungen gering.
– In diesem Fall können die ungekoppelten Eigenvektoren der Struktur und des Fluids für die modale Reduktion verwendet werden.
– Die reduzierten Gleichungen sind über die Kopplungsmatrix und über Dämpfung und Absorption gekoppelt.
– Auf diese Weise lässt sich z.B. der Schalldruck im Innern eines Fahrzeugs berechnen.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-18
3.2 Kopplung mit akustischer FEM
– Bei stark gekoppelten Systemen müssen die Eigenvektoren des gekoppelten Systems für die modale Reduktion ver-wendet werden.
– Verschiebungen und Schalldruck werden als Überlagerung der Rechtseigenvektoren dargestellt.
– Projektion auf die Linkseigenvektoren führt auf ein Glei-chungssystem, das nur über die Dämpfung und die Absorp-tion gekoppelt ist.
– Starke Kopplung liegt vor bei einem schweren Fluid wie z.B. Wasser.
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-19
3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM
● Anwendbarkeit:
– Die indirekte Methode der Randelemente kann zur Berech-nung von gekoppelten Problemen verwendet werden, wenn sich auf beiden Seiten einer schwingenden Fläche dasselbe akustische Medium befindet.
– Beispiele: ● Schalldurchgang
durch eine elastischeSchale
● Schallabstrahlung einerschwingenden Schale
S
nPo
Pu
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-20
3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM
● Schalldruck auf die Struktur:
– Die Struktur wird durch die Differenz des Schalldrucks auf beiden Seiten belastet:
– Mit folgt:
● Akustische Anregung durch die Struktur:
– Auf der schwingenden Struktur stimmt die Schallschnelle Vn
auf beiden Seiten mit der Normalkomponente der Ge-schwindigkeit der Struktur überein:
[F p ]=[L ] [ Pu ]−[P o ]
[d ]=[P o ]−[Pu ] [F p ]=−[L ] [d ]
V n=iU n =0, [F d ]=−20 [L ]T
[U ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-21
3.3 Kopplung mit akustischer indirekter BEM
● Gekoppeltes Gleichungssystem:
– Einsetzen der Ausdrücke für die Koppelterme in die Struk-turgleichung und die Gleichung für die indirekte BEM führt auf das gekoppelte Gleichungssystem
– Die Dimension des Gleichungssystems für die Struktur kann durch modale Reduktion verringert werden.
[ [K ]i [D ]−2 [M ] [L ]
[L ]T
[B ] /20][
[U ][d ] ]=[ [F ]
[0 ] ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-22
3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM
● Zusatzmasse:
– Aus der zweiten Gleichung des gekoppelten Systems folgt
– Einsetzen in die erste Gleichung ergibt
– Die Matrix
beschreibt die zusätzliche Masse infolge der Massenträg-heit des Fluids.
[d ]=−20 [B ]
−1[L ]
T[U ]
[ [K ]i [D ]−2 [M ]0 [L ] [B ]
−1[L ]
T ] [U ]= [F ]
[M A ]=0 [L ] [B ]−1
[L ]T
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-23
3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM
● Anwendbarkeit:
– Die direkte Methode der Randelemente wird zur Berech-nung von gekoppelten Problemen verwendet, wenn sich nur auf einer Seite der Struktur ein akustisches Medium befin-det, oder wenn sich auf beiden Seiten verschiedene akusti-sche Medien befinden.
– Beispiel: Schalldurchgang durch die Wand eines U-Boots
Luft
Wasser
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-24
3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM
● Schalldruck auf die Struktur:
– Wenn die Normale vom Fluid auf die Struktur zeigt, dann gilt für die vom Schalldruck auf die Struktur ausgeübte Kraft:
● Akustische Anregung durch die Struktur:
– Die Normalkomponente der Schallschnelle auf der Struktur ist proportional zur Geschwindigkeit der Struktur:
[F p ]=[L ] [P ]
[V ]=i [T ] [U ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-25
3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM
● Gekoppeltes Gleichungssystem:
– Das Gleichungssystem für das Fluid lautet
mit
[ A ] [P ]=i0 [B ] [V ]
[ A ]=[ Akl ]=[ 12 N k x l −∫S
N k y ∂G x l , y
∂n ydS y ]
[B ]=[Bkl ]=[∫S N k y G x l , y dS y]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-26
3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM
– Die Kopplung mit der Strukturgleichung ergibt
– Die Dimension des Gleichungssystems für die Struktur kann wieder durch modale Reduktion verringert werden.
● Zusatzmasse:
– Aus der zweiten Gleichung folgt:
– Einsetzen in die erste Gleichung ergibt
[ [K ]i [D ]−2 [M ] [L ]20 [B ] [T ] [ A ]][ [U ]
[P ] ]=[ [F ][0 ] ]
[P ]=−20 [ A ]−1
[B ] [T ] [U ]
[ [K ]i [D ]−2 [M ]0 [L ] [ A ]−1
[B ] [T ] ] [U ]=[F ]
Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-27
3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM
– Die Matrix
beschreibt die zusätzliche Masse infolge der Massenträg-heit des Fluids.
– Wegen des zur Diskretisierung verwendeten Kollokations-verfahrens ist diese Matrix unsymmetrisch.
– Aus physikalischen Gründen muss die Zusatzmasse jedoch symmetrisch sein.
– Daher wird für die Berechnung der symmetrische Anteil der berechneten Matrix verwendet.
[M A ]=0 [L ] [A ]−1
[B ] [T ]