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Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.3-1 3. Fluid-Struktur-Kopplung Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkompo- nente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur überein- stimmen. Dadurch entstehen in dem akustischen Medium Schall- wellen. Umgekehrt wirkt das akustische Medium auf die Struktur zurück, indem die Struktur durch den akustischen Druck belastet wird.

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3. Fluid-Struktur-Kopplung

● Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkompo-nente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur überein-stimmen.

● Dadurch entstehen in dem akustischen Medium Schall-wellen.

● Umgekehrt wirkt das akustische Medium auf die Struktur zurück, indem die Struktur durch den akustischen Druck belastet wird.

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3. Fluid-Struktur-Kopplung

SchwingendeStruktur

Akustisches Medium

Vn

nP

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3. Fluid-Struktur-Kopplung

● Die Rückwirkung des akustischen Mediums auf die schwingende Struktur muss berücksichtigt werden, wenn die vom Schalldruck verursachten Kräfte nicht klein sind gegenüber den Trägheitskräften und den elastischen Kräf-ten der Struktur.

● Das ist der Fall,

– wenn eine Struktur in einem schweren akustischen Medium wie Wasser schwingt (U-Boot, Torpedo), oder wenn

– eine sehr leichte Struktur in Luft schwingt (Solarpanels ei-nes Satelliten).

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3. Fluid-Struktur-Kopplung

● In der Praxis wird oft auch dann gekoppelt gerechnet, wenn die Rückwirkung des akustischen Mediums zwar gering ist, aber durch eine gekoppelte Rechnung der Da-tenaustausch vereinfacht wird:

– Innenraumakustik bei Fahrzeugen

– Schalldurchgang:

P = ?

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3. Fluid-Struktur-Kopplung

● Auswirkungen des Fluids auf die Struktur:

– Ein Fluid, das komplett von der Struktur eingeschlossen wird, erhöht die Steifigkeit. Dieser Effekt ist proportional zum Kompressionsmodul und umgekehrt proportional zum eingeschlossenen Volumen.

– Die Trägheit des Fluids erhöht die Masse der Struktur. Die-ser Effekt ist proportional zur Massendichte des Fluids.

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3. Fluid-Struktur-Kopplung

3.1 Bewegungsgleichung der Struktur

3.2 Kopplung mit akustischer FEM

3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM

3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM

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3.1 Bewegungsgleichung der Struktur

● Die Bewegungsgleichung der Struktur wird in der Regel mit der Methode der Finiten Elemente diskretisiert.

● Bewegungsgleichung im Zeitbereich:

– Im Zeitbereich lautet die diskrete Bewegungsgleichung:

– Matrizen:

[M ] [ u ] [D ] [ u ] [K ] [u ]= [ f ][ f p ]

[u ] Verschiebungsvektor[M ] Massenmatrix[D ] Dämpfungsmatrix[K ] Steifigkeitsmatrix[ f ] Eingeprägte Kräfte auf die Struktur

[ f p ] vom Schalldruck verursachte Kräfte

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3.1 Bewegungsgleichung der Struktur

● Bewegungsgleichung im Frequenzbereich:

– Wenn die Kräfte, die an der Struktur angreifen, einen har-monischen Zeitverlauf haben, dann hat auch die Verschie-bung einen harmonischen Zeitverlauf.

– Mit folgt für die komplexe Amplitude aus der Bewegungsgleichung im Zeitbereich die komplexe Bewegungsgleichung im Frequenzbereich:

– Dabei sind und die komplexen Amplituden der Kräfte.

[u t ]=ℜ [U ]ei t [U ]

[K ]i [D ]−2 [M ] [U ]= [F ][F p ]

[F ] [F p ]

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3.1 Bewegungsgleichung der Struktur

● Eigenschwingungen der Struktur:

– Ohne Dämpfung und äußere Kräfte lautet die komplexe Bewegungsgleichung

– Dieses Eigenwertproblem hat nur für die Werte von null verschiedene Lösungen , für die die charakteristische Gleichung erfüllt ist:

– Die Kreisfrequenzen heißen Eigenkreisfrequenzen und die Vektoren Eigenvektoren.

[K ]−2 [M ] [ x ]=[0 ]

n

[ xn ]

det [K ]−2 [M ] =0

n

[ xn ]

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3.1 Bewegungsgleichung der Struktur

– Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix sind symmetrisch.

– Die Massenmatrix ist positiv definit und die Steifigkeitsma-trix positiv semi-definit.

– Daraus folgen die folgenden Eigenschaften für die Eigen-vektoren:

– Die Eigenvektoren werden in der Regel bezüglich der Mas-senmatrix normiert:

[ xm ]T

[M ] [ xn ]=0 für m≠n , [ xm ]T

[K ] [ xn ]=0 für m≠n

[ xn ]T

[M ] [ xn ]=1 [ xn ]T

[K ] [ xn ]=n2

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

● Schalldruck auf die Struktur:

– Es besteht eine lineare Beziehung zwischen dem Schall-druck und den daraus resultierenden Kräften auf die Struk-tur:

– Wenn der Normalenvektor vom Fluid zur Struktur zeigt, dann gilt:

– Dabei ist SK die Kopplungsfläche zwischen Fluid und Struk-

tur, die Interpolationsmatrix für die Verschiebungen und die Interpolationsmatrix für den Schalldruck.

[ f p ]=[L ] [ p ] , [F p ]=[L ] [P ]

[L ]=∫SK

[N u ]T

[n ] [N p ]dS

[N u ][N p ]

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

● Akustische Anregung durch die Struktur:

– Für die Normalkomponente der Verschiebung der Struktur gilt:

– Damit lautet die entsprechende Lastmatrix für das Fluid:

– Einsetzen in das diskrete Gleichungssystem für das Fluid ergibt:

U n=[n ]T

[N u ] [U ] V n=i [n ]T

[N u ] [U ]

[GK ]=i∫SK

[N p ]T

[n ]T

[N u ]dS [U ]=i [L ]T

[U ]

[H ]i [ A ]−2 [Q ] [P ]=2 [L ]T

[U ]−i [G ]

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

● Gekoppeltes Gleichungssystem:

– Zusammen mit der diskreten Bewegungsgleichung der Struktur ergibt sich das folgende gekoppelte Gleichungssys-tem:

– Das gekoppelte Gleichungssystem ist nicht symmetrisch.

– Die Substitution führt auf ein symmetrisches Gleichungssystem:

[P ]=i [ ]

[ [K ] [0 ][0 ] −[H ]]−i[−[D ] [L ]

[L ]T

[ A ]]−2[ [M ] [0 ]

[0 ] −[Q ]][ [U ][ ] ]=[ [F ]

[G ]]

[ [K ] −[L ][0 ] [H ] ]i [ [D ] [0 ]

[0 ] [ A ]]−2[ [M ] [0 ]

[L ]T

[Q ]][ [U ][P ] ]=[ [F ]

−i [G ]]

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

● Gekoppelte Schwingungen:

– Ohne Dämpfung, Absorption und Anregung lautet das ge-koppelte Gleichungssystem:

– Aus diesem unsymmetrischen Eigenwertproblem können die gekoppelten Schwingungen berechnet werden.

– Es lässt sich zeigen, dass die Eigenwerte dieses unsymme-trischen Eigenwertproblems reell und positiv sind und dass die Eigenvektoren alle reell sind.

[ [K ] −[L ][0 ] [H ] ]−2 [ [M ] [0 ]

[L ]T

[Q ]][ [ xu ][ x p ]]=[ [0 ]

[0 ]]

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

– Die Eigenvektoren werden als Rechtseigenvektoren be-zeichnet.

– Das transponierte Eigenwertproblem

hat dieselben Eigenwerte.

– Seine Eigenvektoren werden als Linkseigenvektoren be-zeichnet.

[ [K ] [0 ]

−[L ]T

[H ]]−2 [ [M ] [L ][0 ] [Q ]][ [ yu ]

[ y p ]]=[ [0 ][0 ]]

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

– Rechts- und Linkseigenvektoren zu verschiedenen Eigen-werten erfüllen die Orthogonalitätsbedingungen

[ [ yum ]T

[ y pm ]T ][ [K ] −[L ]

[0 ] [H ] ][ [ xun ][ x pn ]]

=[ yum ]T

[K ] [ xun ][ y pm ]T

[H ] [ x pn ]−[ y pm ]T

[L ] [ xun ]=0 für m≠n

[ [ yum ]T

[ y pm ]T ][ [M ] [0 ]

[L ]T

[Q ] ][ [ xun ][ x pn ]]

=[ yum ]T

[M ] [ xun ][ y pm ]T

[Q ] [ x pn ][ y pm ]T

[L ]T

[ xum ]=0 für m≠n

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

● Modale Reduktion:

– Bei schwach gekoppelten Systemen ist der Einfluss der Kopplung auf die Schwingungen gering.

– In diesem Fall können die ungekoppelten Eigenvektoren der Struktur und des Fluids für die modale Reduktion verwendet werden.

– Die reduzierten Gleichungen sind über die Kopplungsmatrix und über Dämpfung und Absorption gekoppelt.

– Auf diese Weise lässt sich z.B. der Schalldruck im Innern eines Fahrzeugs berechnen.

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3.2 Kopplung mit akustischer FEM

– Bei stark gekoppelten Systemen müssen die Eigenvektoren des gekoppelten Systems für die modale Reduktion ver-wendet werden.

– Verschiebungen und Schalldruck werden als Überlagerung der Rechtseigenvektoren dargestellt.

– Projektion auf die Linkseigenvektoren führt auf ein Glei-chungssystem, das nur über die Dämpfung und die Absorp-tion gekoppelt ist.

– Starke Kopplung liegt vor bei einem schweren Fluid wie z.B. Wasser.

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3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM

● Anwendbarkeit:

– Die indirekte Methode der Randelemente kann zur Berech-nung von gekoppelten Problemen verwendet werden, wenn sich auf beiden Seiten einer schwingenden Fläche dasselbe akustische Medium befindet.

– Beispiele: ● Schalldurchgang

durch eine elastischeSchale

● Schallabstrahlung einerschwingenden Schale

S

nPo

Pu

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3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM

● Schalldruck auf die Struktur:

– Die Struktur wird durch die Differenz des Schalldrucks auf beiden Seiten belastet:

– Mit folgt:

● Akustische Anregung durch die Struktur:

– Auf der schwingenden Struktur stimmt die Schallschnelle Vn

auf beiden Seiten mit der Normalkomponente der Ge-schwindigkeit der Struktur überein:

[F p ]=[L ] [ Pu ]−[P o ]

[d ]=[P o ]−[Pu ] [F p ]=−[L ] [d ]

V n=iU n =0, [F d ]=−20 [L ]T

[U ]

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3.3 Kopplung mit akustischer indirekter BEM

● Gekoppeltes Gleichungssystem:

– Einsetzen der Ausdrücke für die Koppelterme in die Struk-turgleichung und die Gleichung für die indirekte BEM führt auf das gekoppelte Gleichungssystem

– Die Dimension des Gleichungssystems für die Struktur kann durch modale Reduktion verringert werden.

[ [K ]i [D ]−2 [M ] [L ]

[L ]T

[B ] /20][

[U ][d ] ]=[ [F ]

[0 ] ]

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3.3 Kopplung mit indirekter akustischer BEM

● Zusatzmasse:

– Aus der zweiten Gleichung des gekoppelten Systems folgt

– Einsetzen in die erste Gleichung ergibt

– Die Matrix

beschreibt die zusätzliche Masse infolge der Massenträg-heit des Fluids.

[d ]=−20 [B ]

−1[L ]

T[U ]

[ [K ]i [D ]−2 [M ]0 [L ] [B ]

−1[L ]

T ] [U ]= [F ]

[M A ]=0 [L ] [B ]−1

[L ]T

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3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM

● Anwendbarkeit:

– Die direkte Methode der Randelemente wird zur Berech-nung von gekoppelten Problemen verwendet, wenn sich nur auf einer Seite der Struktur ein akustisches Medium befin-det, oder wenn sich auf beiden Seiten verschiedene akusti-sche Medien befinden.

– Beispiel: Schalldurchgang durch die Wand eines U-Boots

Luft

Wasser

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3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM

● Schalldruck auf die Struktur:

– Wenn die Normale vom Fluid auf die Struktur zeigt, dann gilt für die vom Schalldruck auf die Struktur ausgeübte Kraft:

● Akustische Anregung durch die Struktur:

– Die Normalkomponente der Schallschnelle auf der Struktur ist proportional zur Geschwindigkeit der Struktur:

[F p ]=[L ] [P ]

[V ]=i [T ] [U ]

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3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM

● Gekoppeltes Gleichungssystem:

– Das Gleichungssystem für das Fluid lautet

mit

[ A ] [P ]=i0 [B ] [V ]

[ A ]=[ Akl ]=[ 12 N k x l −∫S

N k y ∂G x l , y

∂n ydS y ]

[B ]=[Bkl ]=[∫S N k y G x l , y dS y]

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3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM

– Die Kopplung mit der Strukturgleichung ergibt

– Die Dimension des Gleichungssystems für die Struktur kann wieder durch modale Reduktion verringert werden.

● Zusatzmasse:

– Aus der zweiten Gleichung folgt:

– Einsetzen in die erste Gleichung ergibt

[ [K ]i [D ]−2 [M ] [L ]20 [B ] [T ] [ A ]][ [U ]

[P ] ]=[ [F ][0 ] ]

[P ]=−20 [ A ]−1

[B ] [T ] [U ]

[ [K ]i [D ]−2 [M ]0 [L ] [ A ]−1

[B ] [T ] ] [U ]=[F ]

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3.4 Kopplung mit direkter akustischer BEM

– Die Matrix

beschreibt die zusätzliche Masse infolge der Massenträg-heit des Fluids.

– Wegen des zur Diskretisierung verwendeten Kollokations-verfahrens ist diese Matrix unsymmetrisch.

– Aus physikalischen Gründen muss die Zusatzmasse jedoch symmetrisch sein.

– Daher wird für die Berechnung der symmetrische Anteil der berechneten Matrix verwendet.

[M A ]=0 [L ] [A ]−1

[B ] [T ]