30
3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) 3.2.1 AR(p)-Prozesse Definition: Ein stochastischer Prozess (X t ) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p [AR(p)-Prozess], wenn er der Beziehung (3.2.1) genügt. (U t ) ist darin ein reiner Zufallsprozess (White-Noise-Prozess). Anm.: X t wird hierbei als Abweichung vom Mittelwert μ vorausgesetzt. p 1 i 0 t i t i t p t p 2 t 2 1 t 1 t 1 mit U X U X ... X X X p p 2 2 1 t t B ... B B 1 ) B ( mit U X B ' 1 . 2 . 3 oder t t 0 i t t i 2 t t 2 1 t t X X B X X B ... X X B X X B operator) /lag (backshift B

3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) 3.2.1 AR(p)-Prozesse · 3.2.1 AR(p)-Prozesse Definition: Ein stochastischer Prozess (X t) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p [AR(p)-Prozess],

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3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle)3.2.1 AR(p)-Prozesse

Definition:

Ein stochastischer Prozess (Xt) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p[AR(p)-Prozess], wenn er der Beziehung

(3.2.1)

genügt. (Ut) ist darin ein reiner Zufallsprozess (White-Noise-Prozess).

Anm.: Xt wird hierbei als Abweichung vom Mittelwert µ vorausgesetzt.

p

1i0titi

tptp2t21t1t

1mit UX

UX...XXX

pp

221

tt

B...BB1)B(mit

UXB'1.2.3

oder

tt0

itti

2tt2

1tt

XXB

XXB

...

XXB

XXB

operator) /lag(backshift B

Page 2: 3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) 3.2.1 AR(p)-Prozesse · 3.2.1 AR(p)-Prozesse Definition: Ein stochastischer Prozess (X t) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p [AR(p)-Prozess],

Anmerkungen:

- Gl. (3.2.1) entspricht formal einem multiplen Regressionsmodell. Die unabhängigenVariablen (erklärenden Variablen) sind hier jedoch ausschließlich zeitlich verzögerteVariablen der abhängigen Variablen.

- Prozesse dieses Typs werden erstmals von G.U. Yule (1920) eingeführt.

Allgemein ist ein AR(p)-Prozess durch

(3.2.2)

gegeben, wobei δ ein konstantes Glied ist, das mit dem Mittelwert µ des Prozesses inBeziehung steht. Für einen mittelwertstationären Prozess muss

gelten, so dass µ aus

bestimmt werden kann:

(3.2.3)

tptp2t21t1t UX...XXX

)X(E...)X(E)X(E pt1tt

p21 ...

p21 ...1

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Da µ endlich sein muss, ist zu fordern, dass die Ungleichung

(3.2.4)

erfüllt ist. (3.2.4) ist zugleich eine notwendige Bedingung für die Stationarität einesAR(p)-Prozesses. Notwendige und hinreichende Stationaritätsbedingungen werdenspäter aufgezeigt.

1... p21

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Spezielle AR(p)-Prozesse

· AR(1)-Prozess

1

t1t1t

1

UX X.lgAl

(3.2.5)

Anm.: Xt ist im Folgenden als Abweichung vom Mittelwert µ des Prozesses gemessen. Stationarität wird zunächst vorausgesetzt.

- Varianz von Xt:

2210

20

210

t1t21t1t1t0

)1(

)U(Var)X(Var)UX(Var)X(Var

1 2

1

2

0

1oder 1 :nRestriktio 1

21

tt1

t1t1t

UX)B1(

UXX

)B(

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- Autokovarianzfunktion (ACVF):

=1:

1t

tt

t 1t

t1t

21t

1-t

21t1

1tt

1tt

t1t

t1t2

1t1t1t

1tt1t1t

Xnichtaber

,XlusstinfbeeU

sindrt unkorrelie

UundX da

,0

)UX(E

XE

XVar

wegen

,0

)X(E

XXE

X,XCov

wegen

,1

)XX(E

UXXXX

XUXX

21

21

0111

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=2:

allg.

21

221

1121

0,1,2,...τ,1

σγ

21

2τ1

τ

.

t2t1t2t1t2t

t2t1t2t1t2t

2tt1t1t

sindrtunkorrelie

tU und 2tX da

,0

)UX(E

abhängt

Lag nur vom

kovarianz

-Auto die da

,1

)XX(E

2

)XX(E

UXXXXX

XUXX

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212

1

2

21

221

0

22

121

2

21

21

0

11

11 :2

11 :1

,2,1,0,1

11

01

01

- Autokorrelationsfunktion (ACF)

allg.

Da ist, ist die Autokorrelationsfunktion eines AR(1)-Prozesses eine exponentiell

abnehmende Funktion des Lags . Für verläuft sie dabei im positiven Bereich,

während es sich für um eine alternierende Folge handelt.

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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7 8

t1tt1 UX8,0X8,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,8 0,64 0,512 0,410 0,328 0,262 0,201 0,168

(a)

Abbildung 3.4: Autokorrelationsfunktionen versch. AR(1)-Prozesse

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0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 2 3 4 5 6 7 8

t1tt1 UX5,0X5,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,016 0,008 0,004

(b)

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-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 -0,7 0,49 -0,343 0,240 -0,168 0,118 -0,082 0,058

t1tt1 UX7,0X7,0 (c)

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-Darstellung des AR(1)-Prozesses in Abhängigkeit von den Zufallsvariablen Ut:

(3.2.6)

Ersetzen von Xt-1 durch

ergibt

Entsprechendes Ersetzen von Xt-2 durch

führt zu

.

t1t1t UXX

1t2t11-t UXX

2t211t1t

t1t2t11t

XUU

U)UX(X

Invertierbarkeit und Stationarität

2t3t12t UXX

3t312t

211t1t

2t3t1211t1tt

XUUU

)UX(UUX

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Führt man die Substitution k-mal durch, so ergibt sich

.

Für k→ erhält man die spezielle Form

(3.2.7)

des allgemeinen linearen Prozesses

(3.2.8)

Die Restriktion

(3.2.9)

1kt1k

1ktk12t

211t1tt XU...UUUX

0t1

2t211t1tt

U

...UUUX

.mit ,1

,U...UUUX

10

0t2t21t1tt

0 0

21

2

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ist nur dann erfüllt, wenn ist. Die Bedingung

(3.2.10)

wird daher auch als Stationaritätsbedingung bezeichnet. Unter Berücksichtigung dieser Stationaritätsbedingung kann ein AR(1)-Prozess in einen äquivalenten Moving-Average-Prozess unendlicher Ordnung [MA()-Prozess] überführt werden und um-gekehrt. Man sagt aus, dass Gl. (3.2.7) die MA-Darstellung des AR(1)-Prozesses (3.2.6) ist.

Da der AR(1)-Prozess bei Gültigkeit der Stationaritätsbedingung (3.2.10) in einen MA()-Prozess invertierbar ist, kennzeichnet (3.2.10) zugleich die Invertierbar-keitsbedingung. Analog kann gezeigt werden, dass ein MA(1)-Prozess in einen AR()-Prozess invertiert werden kann, wenn ist.

Die allgemeine Bedingung für die Stationarität eines AR-Prozesses, dass die Wurzeln z1, z2,..., zp des charakteristischen Polynoms

außerhalb des Einheitskreises liegen müssen, führt im Falle des AR(1)-Prozesses un-mittelbar zur oben begründeten Stationaritätsbedingung :

11

11

11

0z...zz1 pp

221

11

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Die Wurzel liegt nämlich genau dann außerhalb des Einheitskreises, wenn der absolute Wert von kleiner als eins ist ( ).

bei komplexen Zahlen :

1z 0z1 111

11

z

11

1 11

ibaz

b(Imaginärteil)

a(Realteil)

b1

a1

ibaz 111

außerhalb des Einheitskreises:

1b,1a 11

1-1

-1

1

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• AR(2)-Prozess

(3.2.11)

Anm.: Xt als Abweichung vom Mittelwert µ vorausgesetzt

Allg. (3.3.12)

- Autokovarianzen und Autokorrelationen

21

t2t21t1t

1

UXXX

tt2

21

t2t21t1t

UX)BB1(

UXXX

)B(

0

)UX(E

1

)XX(E

0

)X(E

1

)XX(E

UXXXXXX

XUXXX

t1t2t1t22

1t1t1t

t1t2t1t22

1t1t1t

1tt2t21t1t

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(3.2.12)

(3.2.13)

Allg. (3.2.14)

Bezieht man die Autokovarianzen auf die Varianz des AR(2)-Prozesses, so erhält man

(3.2.15)

und

12011

0

)UX(E

0

)X(E

1

)XX(E

2

)XX(E

UXXXXXX

XUXXX

t2t2

2t21t2t1t2t

t2t2

2t21t2t1t2t

2tt2t21t1t

02112

2211

12112112011 )1(2

11

1

0

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(3.2.16) Einsetzen von aus (3.2.15):

Allg. (3.2.17)

Die Gleichungen (3.2.14) und (3.2.17) heißen Yule-Walker-Gleichungen. Aus (3.2.17)

lassen sich Autokorrelationskoeffizienten des AR(2)-Prozesses für rekursiv

bestimmen.

- Varianz von Xt:

unabh. zw. Xt-1 und Ut und zw. Xt-2 und Ut

21102112 2

11

1

22

112

1

2

2221

21

)1(

... 1,2, ,2211

2

)U(Var)XX(Var

)UXX(Var)X(Var

UXXX

t2t21t1

t2t21t1t

t2t21t1t

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Stationarität

(3.2.18)

Yule-Walker-Gleichung für

(3.2.19)

Lösung nach 0 ergibt:

(3.2.20)

Herleitung:

Aus (3.2.18) folgt:

)U(Var)X,X(Cov

2)X(Var)X(Var

t2t1t

212t221t

21

21210

220

210 2

12011

2 Gleichungen in den beiden Unbekannten 0 und 1 (können simultan gelöst werden).

2u1210

220

21 2

:1

21

222

22

0)1()1(

)1(

21210

220

210 2

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Aus (3.2.19) folgt:

Wird in die erste Gleichung eingesetzt, ergibt sich

woraus man nach weiterer Umformung (3.2.20) erhält.

102

1 für 1

,2)1)(1(

)1(

)1()1

21(

12

221

22

212

22

0

22

2

2212

2210

20

2

1210

220

210

02

11012101121

1)1(

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Charakteristische Gleichung:

[z1 und z2 müssen außerhalb des Einheitskreises liegen, wenn (Xt) ein stationärerProzess ist.]

Je nachdem, ob die Wurzeln z1 und z2 reell oder konjugiert-komplex sind und in Abhängigkeit des Vorzeichens der Parameter ergeben sich unterschiedliche charakteristische Verläufe der Autokorrelationsfunktion.

Normalform 01

zz

0zz1

22

12

221

=a =b

2

2

2

1

2

12

211

22b

2

a

2

az

2211

221 4

2

1z

Invertierbarkeit (und damit auch Stationarität )Stationaritätsbedingungen:

21 und

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- Reelle Wurzeln: Diskriminante

ACF sinkt exponentiell bei Stationarität.

- Komplexe Wurzeln:

ACF verläuft mit gedämpften Schwingungen bei Stationarität.

- Stationarität

falls

a)

Aus folgt

04 221

04 221

1z,1z 21

2

22

22

21

1bb

4

a

4

a

b2

a

2

ab

2

a

2

azz

1z,1z 21

,111

damit und 1zz 22

21

2

1

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woraus man die Stationaritätsbedingung (a1) erhält.

b) Eine weitere Stationaritätsbedingung bezüglich der Koeffizienten des AR(2)-Modells lässt sich aus

herleiten: , d.h.

11

11

12

1

und 11 2

1

>0 wegen (a1) >0 wegen (a1)

)1)(1( 21 21 1

121 121)2b(

1oder1 1221 )1b(

11 2

11 2

11

11 2

1

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Anmerkung: (b1)

(b2)

d.h. die rechte Seite von (a1) wird durch (b1) und (b2) impliziert, so dass die Stationaritätsbedingungen für die Koeffizienten auch durch

oder

(S)

wiedergegeben werden können.

21 und

1,1,1 21122

1,1,1 21212

11 2121

,122

111

22

2221

1

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Trägt man die Stationaritätsbedingungen (S) in einem -Koordinatensysten ein,so erhält man ein sog. „Stationaritätsdreieck“, innerhalb dessen die zulässigen Paare( ) liegen. Die Parabel

trennt dagegen die zyklischen und nicht zyklischen Verläufe: unterhalb der Parabelliegt der -Bereich für einen zyklischen Verlauf, oberhalb der -Bereich füreinen nicht zyklischen Verlauf.

21, 21,

04 221

21,

21,

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Abbildung 3.5: Stationaritäts- und Schwingungsbedingungen („Stationaritätsdreieck“ und Parabel)

-1

-11

1

21

2

0

042

2

1

121

121

12=

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Beispiel eines AR(2)-Prozesses

tt2

t2t1tt

UX)B1,0B7,01(

UX1,0X7,0X

- Überprüfen der Stationarität (Invertierbarkeit):

Charakter. Gleichung:

(ACF sinkt exponentiell)

0z1,0z7,01 2

5,15,34

40495,3

102

75,3b

2

a

2

az

22

21

5z2z 21

010z7z2

=a =b

[Normalform]

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Allg. AR(p)-Prozess

tptp2t21t1t UX...XXX

Bestimmung der Autokorrelationsfunktion

)XU(E)XX(E...)XX(E)XX(E)XX(E tttptpt2t2t1t1tt

iti-t )XE(X Es gilt

und (3.2.21) , da

(3.2.22)

(3.2.23)

Die Autokorrelationsfunktion eine AR(p)-Prozesses hat für p>2 einen mit derjenigen ei-nes AR(2)-Prozesses vergleichbaren Verlauf. Insbesondere ist es eine exponentiell ab-nehmende Funktion, was monoton oder in gedämpften Schwingungen erfolgen kann.

0für 0)XE(U tt

02xpp2211 :...

0,... pp2211

abhängt. ... ,UU,UvonnurX 2t,1t-t -t

[Yule-Walker-Gleichungen]

Page 28: 3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) 3.2.1 AR(p)-Prozesse · 3.2.1 AR(p)-Prozesse Definition: Ein stochastischer Prozess (X t) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p [AR(p)-Prozess],

Die Yule-Walker-Gleichungen erlauben eine iterative Berechnung des ACFs.

Ausführliche Schreibweise von (3.2.23):

Matrizenschreibweise (unter Berücksichtigung von ):

=1

=1

=1

p

2

1

3p2p1p

2p11

1p21

p

2

1

1

1

1

(3.2.24)

0p2p21p1p

2pp02112

1pp12011

...

...

Page 29: 3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) 3.2.1 AR(p)-Prozesse · 3.2.1 AR(p)-Prozesse Definition: Ein stochastischer Prozess (X t) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p [AR(p)-Prozess],

kompakte Schreibweise:

(3.2.24) ist ein lineares Gleichungssystem (p Gleichungen, p Unbekannte), aus dem bei

linearer Unabh. der p Gleichungen die p ACFs bestimmt werden können.

Daraus lassen sich die ACFs iterativ bestimmen.

[Anm.: Bei der Schätzung eines AR(p)-Modells wird der umgekehrte Weg beschritten:

bei gegebenem Schätzern der Autokorrelationskoeffizienten

werden aus (3.2.24) Schätzer für die Koeffizienten ermittelt:

].

p21 ,...,,

,p,

p21 ,...,, p21 ˆ,...,ˆ,ˆ

p21 ˆ,,ˆ,ˆ p21 ,...,,

1pxpxp1px

Ρρ

1pxpxp

1

1px

ˆˆˆ ρΡ

Page 30: 3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) 3.2.1 AR(p)-Prozesse · 3.2.1 AR(p)-Prozesse Definition: Ein stochastischer Prozess (X t) heißt autoregressiver Prozess der Ordnung p [AR(p)-Prozess],

Varianz von Xt

)XU(E)XX(E...)XX(E)XX(E)X(Var)X(E

(.)E,XUX...XXX

tttptpt2t2t1t1t2t

.2.1

ttptp2t21t1t

22

2211

)(

)...()(

ut

tptpttttt

UE

UXXXUEXUE

Unabhängigkeit zw. Ut und Xt-1, Xt-2, ..., Xt-p

)...1(

)...1(

)...(

...

...

pp2211

2u

0

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