3.3 Biegung und Normalkraft / Druckglieder - ethz.ch · • Biegemomente in Kombination mit Normalkräften treten in Stützen, Bogentragwerken, vorgespannten Trägern etc. auf •

3.3 Biegung und Normalkraft /Druckglieder

18.09.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton I 1

Biegung und Normalkraft – Allgemeines


Verhalten von Bauteilen unter Biegung und Normalkraft

• Biegemomente in Kombination mit Normalkräften treten in Stützen, Bogentragwerken, vorgespannten Trägern etc. auf

• Normalkräfte beeinflussen den Biegewiderstand, die Biegesteifigkeit und das Verformungsvermögen, d.h. das gesamte

Momenten-Krümmungs-Diagramm

• Diagramm: Einfluss einer Druckkraft N = const. < 0 auf das typische Verhalten

kreisrunder Stützen oder Pfähle:

Rissmoment wird erhöht

Nichtlineares Verhalten schon vor Fliessbeginn der Bewehrung

Verformungsvermögen wird reduziert

• Ermittlung des Trag- und Verformungsverhaltens allgemein:

siehe Biegung

• In der Praxis mit Hilfe von Computerprogrammen,

Plausibilitätskontrolle von Hand durch Anwender!

M

c

Stauchen Beton

Fliessbeginn Bewehrung

ReissenBeton

N = 0

N < 0

e0

Biegung und Normalkraft


Allgemeines

• Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte ermöglicht die Ermittlung des Tragverhaltens von Stäben bei gegebenem Baustoffverhalten (Spannungs-Dehnungs-Diagramme)

• Schnittgrössen (N, My, Mz) folgen aus den Verformungsgrössen (e0, cy, cz) einfach durch Integration, umgekehrt ist im allgemeinen eine Iteration erforderlich:

Statische Berechnung: (N, My, Mz) meist auf Hauptachsen Beton-QS bezogen, bei Berücksichtigung ideeller Querschnittswerte beachten!

ex

sx

Faser y,z

e0 cy cz

N My Mz

Ermittlung des Tragverhaltens für beliebige

Querschnittsgeometrie / Baustoffe möglich:

0

y

z

e

c c

x

A

y x

A

z x

A

N dA

M zdA

M ydA

= s

= s = s

Normalkraft-

Verlängerung

NB: Allgemein ist cy (N, Mz) 0, cz (N, My) 0

und e0 (My, Mz) 0 (auch für symmetrische QS)

Momenten-

Krümmung y

Momenten-

Krümmung z

Integration

Iteration

Biegung und Normalkraft – Verhalten


Momenten-Krümmungs-Diagramme: ungerissener Zustand

z

x, NMyy

h/2

h/2

b/2 b/2

dy

My

N x

zyi

Myi

N xi

zi

c

yi

i

i yi

MNn z

A I

s =

2yi y c

hM M N

=

• Spannungen im Querschnitt:

• Moment bezüglich ideellem Schwerpunkt:

sA

• Schnittgrössen werden in der Regel auf den reinen Betonquerschnitt bezogen

• Spannungen werden am ideellen Querschnitt ermittelt



Momenten-Krümmungs-Diagramme: gerissener Zustand

NMy

yh/2

h/2

b/2 b/2

d

My

N

x

s d xe = c

c

x/3c cE xs = c

s s sEs = e

2

02

cs s

bE xH N A E d x

c = = c

2

02 2 2 3

cy s s

bE xh h xM M A E d x d

c = = c

sA

2 2c cF bE x= c

s s sF A= se s

c xe = c

<

Ermittlung von (N, My) aus (x, c) direkt

Bestimmung von (x, c) aus (N, My) allgemein durch Lösen der beiden Gleichungen (Iteration)

2 3

h x

2

hd



Momenten-Krümmungs-Diagramme: gerissener Zustand

• Das M-χ-Diagramm ergibt sich für eine gegebene Normalkraft aus der Wahl von x und Lösen der zwei Gleichungen nach χ

und My.

• Die Dehnungsebene findet sich bei bekannten Schnittgrössen N und My im Allgemeinen iterativ aus den zwei Gleichungen.

• Wird für den Beton (und allenfalls auch für die Bewehrung) ein nichtlineares Verhalten vorausgesetzt, kann im Prinzip

gleich vorgegangen werden.

• Die Dehnungsebene ist durch die zwei Grössen x und χ eindeutig definiert.



Beispiel ([1], 3.15f), m-χ-Diagramm einer Platte (ohne Berücksichtigung der Druckbewehrung)

Rissmoment:

Bezogen auf die Hauptachsen des Betonquerschnitts resultiert:

212

20

150Ø16

240

- Stahlbetonplatte, h = 240 mm

- Beton C25/30, Betonstahl B500B

- Ideelle Querschnittswerte ([1], 2.13f):

ai = 247’819 mm2/m

iyi = 1.216∙109 mm4/m

Eiyi = 36.5 MNm2/m

ζc = 122.9 mm

nx = -1 MN/mmy

6

, ,

, 9

,

1 101 240 122.9 2.6 MPa

247 '819 1.216 10

r i r i

c inf c i ctm

i y i

m mnn z f

a i

s = = = =

, 68.9 kNm/mr im =

, , 68.9 1 (122.9 120) 66 kNm/m2

r y r i x c

hm m n

= = =




Dekompressionsmoment: Wird die Randspannung am unteren Querschnittsrand gleich null gesetzt, erhält man das

sogenannte Dekompressionsmoment:

Für den gerissenen Zustand können für angenommene Werte x die zugehörigen Krümmungen χ und Momente my ermittelt

werden:

6

,

, ,9

1 101 240 122.9 0 41.9 kNm/m

247 '819 1.216 10

dec i

c inf dec i

mm

s = = =

, 39 kNm/mdec ym =

2

2

2

aus 02

2

2 2 2 3

x cx s s

cs s

cy s s

x

n E xH n a E d x

E xa E d x

E xh h xm a E d x d

cc = = = c

c = c

1. wählen

2.

3.




x [mm] c [mrad/m] my [kNm/m]

240 1.147 38.8

212 1.483 49.3

150 3.120 78.6

120 5.243 102.8

100 8.388 132.8

90 11.367 159.4

x gewählt

Dekompression

x = d

N.B.: as = 1340.4 mm2/m

Es = 205 kN/mm2

Ec = 30 kN/mm2

d = 212 mm

h = 240 mm




c [mrad/m]

nx = 0

nx = -1 MN/m

mr = 27

mdec = 39

mr = 66

200

100

00 10 20

• Im gerissenen Zustand ergibt sich wegen

nx < 0 trotz der angenommenen linearen

Elastizität von Beton und Bewehrung ein

nichtlineares Verhalten.

• Das Rissmoment wird durch die Druckkraft

erhöht.

• Beim Dekompressionsmoment ist die

Kennlinie des gerissenen Zustands zu

jener des ungerissenen tangential.

m [kNm/m]



Biegewiderstand unter gleichzeitiger Wirkung einer Normalkraft

My,Rd

N

x

sds

s

fE

e

c

0.425xcdf

s sdfs =

0 0c sH N F F = =

0 0.425 02 2

y c s

h hM M F x F d

= =

0.85c cdF xbf=

s s sdF A f=e s

0.003ce =

0.85x

0.85 s sd

cd

A fx

f

N

b

=

,

0.850.85

2 2y Rd s sd cd

h h xM A f d xbf

=

0.85

2

h x

2

hd



Beispiel ([1], 3.20), Biegewiderstand unter einer Normalkraft (ohne Berücksichtigung von A’s)

Kontrolle der Stahldehnungen:

- Stahlbetonplatte, h = 240 mm, as = 1340 mm2/m, d = 212 mm

- Beton C25/30: fcd = 16.5 MPa, Betonstahl B500B: fsd = 435 MPa

61340 435 1 100.85 95.9 mm

1000 16.5x

= =

95.9112.9 mm

0.85x = =

3 3

(212 112.9) 0.00263 0.00212 i.O.112.9

d xx

= =

,

240 95.91340 435 212 120 95.9 1000 16.5 167.7 kNm/m

2y Rdm

= =




m [kNm/m]

c [mrad/m]

nx = 0

nx = -1 MN/mmRd = 168 kNm/m

100

00 10 20

• Der Biegewiderstand wird durch die

Druckkraft erhöht.

• Das Verformungsvermögen nimmt ab

• Kennlinie zu steif (hoch), da Beton bis

zum Bruch linear elastisch

angenommen wurde.

mRd = 113 kNm/m

150

50

mr = 66

m = 0 39 66 166 kNm/m

mdec=39

mr = 27

0 fct

e0

Biegung und Normalkraft – Interaktionsdiagramme


Allgemeines

• Bemessung resp. Nachweis des Querschnittswiderstands für kombinierte Beanspruchung erfolgt mit Interaktionsdiagrammen

• Vorgehen 1 (starr-ideal plastisch): Ermittlung aus den Fliessfiguren von Beton und Bewehrung durch (geometrische) Linearkombination

• Vorgehen 2 (SIA 262): Annahme von Dehnungsebenen (e0, cy, cz), Kombinationen

(N, My, Mz)Rd folgen durch Integration:

ex

sx

Faser y,z

(N, My, Mz) für Dehnungs-ebenen, die dem Erreichen des Querschnittswiderstands entsprechen Interaktionsdiagramme (ideal plastisch = Fliessfigur)

Flächen (N, My, Mz)Rd oder(in Praxis üblich) 2D-Kurven:

(N, My)Rd für Mz = 0(My, Mz)Rd für N = konst.etc.

0

y

z

e

c c

x

A

y x

A

z x

A

N dA

M zdA

M ydA

= s

= s = s

Integration!



Aplastischer Bereich Yc < 0, begrenzt durch FliessgrenzeYc = 0 (besteht aus zwei Parabeln)

Plastische Verzerrungsinkremente sind orthogonal zur Fliessgrenze, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz, allgemein )

,2 2 2

,2 2 2

02 2

2

m cc c yc c

c

m cc c yc c

c

cc yc c

c

m c c c

c c

Nh hN bf M N

bf

Nh hN bf M N

bf

NhY M N

bf

N Y Nh

bf Y

e = =

c

e = =

c

= =

e = =

c

Druckzone oben:

Druckzone unten:

Fliessfunktion:

Fliessgesetz:ycM

Y= grade

h/21

EO

cE

cfAB

D

C

cs

ce

sA

b

h

sA

Nx

yz

me 2 c

h N

bf

c

cf

2cbh f

0cY <

0cY =c

me

cbhf

2 8cbh f

2 8cbh f

N

M

Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung

(1) Beton allein



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, As = A’s

(2) Bewehrung allein

Aplastischer Bereich Ys < 0 ist bei zwei Bewehrungslagen ein Parallelogramm (bei symmetrischer Bewehrung As = A’sRhombus), das durch die den beiden Bewehrungslagen entsprechenden Vektoren aufgespannt wird

Kombination der beiden Bewehrungslagen grafisch durch geometrische Linearkombination(siehe Kombination von Beton und Bewehrung)

Eckpunkte: beide Bewehrungen fliessen, Seiten: eine Bewehrung fliesst

Plastische Verzerrungsinkremente sind orthogonal zur Fliessgrenze Ys = 0, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz)

h/21

,2

s s s s

hA f A f

,2

s s s s

hA f A f

s sA f h

2 s sA f2 s sA f

s sA f h

CO

yfFG

I

H se

D

sE

BA

ss

yfJ

E

M

sA

b

h

sA

Nx

yz

me 2 c

h N

bf

c

0cY = c

me

M

N

0cY <cf

sf



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, As = A’s

(3) Stahlbeton = Beton + Bewehrung

Fliessfigur des Stahlbetons durch geometrische Linearkombination

der Fliessgrenzen Yc = 0 und Ys = 0

Vorgehen: Fliessgrenze (Yc = 0) rein translatorisch mit ihrem Ursprung

entlang Fliessgrenze (Ys = 0) bewegen

(oder umgekehrt Ys = 0 entlang Yc = 0)

Resultierender Bereich Y < 0 entspricht dem aplastischen Bereich des

Stahlbetonquerschnitts, mindestens schwach konvex, Fliessgesetz

(Orthogonalität der plastischen Verzerrungsinkremente bezüglich

Fliessgrenze) gilt weiterhin

Entlang gerader Stücke der Fliessgrenze bleibt eine Bewehrung

elastisch (starr)

Vorgehen auf beliebige Bauteile und Beanspruchungen übertragbar

h/21

h/21

c

meD

C0Y =

M

N

C

AO

H

G

F

E



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch

Einfluss unsymmetrische Bewehrung, As A’s

h/21 h/2

1

,2

s s s s

hA f A f

,2

s s s s

hA f A f

N

M

h/21

d-h/21

, ( )2

s s s s

hA f A f d

, ( )2

s s s s

hA f A f d

N

M



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch

Einfluss Überdeckung



Rechteckquerschnitt – Interaktionsdiagramm für starr-ideal plastisches Verhalten

[1], Seite 3.19, Beispiel 3.8• Beton C30/37: 𝑓𝑐𝑑 = 20 MPa

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 2.9 MPa

𝐸𝑐𝑚 = 33.6 GPa

• Betonstahl B500B: 𝑓𝑠𝑑 = 435 MPa

𝐸𝑠 = 205 GPa

Vereinfachungen / Annahmen:

- Berechnung mit Bruttoquerschnitt des Betons

(inklusive an der Stelle der Längsbewehrung

nicht vorhandener Beton)

- Mittlerer Randabstand der drei äusseren Stäbe

Ø26: d’ = 62 mm (Bügel mit d3 = 4Ø abgebogen)

Bügelbewehrung Ø12

cnom = 35 mm

Längsbewehrung 8 Ø26

138

z

x, NMy

138

62

62

138 138 6262

8Ø26



Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch ([1], Beispiel 3.8)

N [kN]

My [kNm]

(-3200,0)

(-496,84) (1352,84)

(-34,275)

(-1138,351)(-2062,351)

(-3166,275)

(-4552,84)

(-5048,0)

(462,-191)

496 496

2

2

Beton reine Stauchung:400 20 3200 kN

Druckzone x = h/2:20 400 200 0.1 160 kNm

neutrale Achse = äuss. Bew:20 400 62 496 kN)

62496 (200 ) 84 kNm

2

Bewehrung reiner Zug resp. Druck:8 13 ( 435...435) 18

=

=

=

=

=

2

2

48...1848 kN

neutrale Achse bei x = h/2.:2 13 ( 435...435) 462...462 kN 2 3 13 435 (200 62) 191 kNm

Punkte 1848 496 1352 kN

1352 (1848 462) 34 kN191 84 275 kNm

1600 462 1138 kN160 191 351 kN

16

= =

=

= =

= =

00 462 2062 kN160 191 351 kN

etc.

= =

(1848,0)

(-1600,160) (462,191)



Interaktionsdiagramme mit Dehnungsbegrenzungen

(nach SIA 262)

• Interaktionsdiagramme für starr-plastisches Verhalten von Beton und Bewehrung eignen sich gut für Handrechnungen und die Kontrolle von Computerberechnungen. Sie überschätzen den Bruchwiderstand, da weder Bewehrung noch Beton ideal plastisch sind.

• Nach SIA 262 sind Dehnungsbegrenzungen für Beton (Bruchstauchung) und Bewehrung (generell Bruchdehnung, bei Druckgliedern Fliessdehnung) zu berücksichtigen.

• Interaktionsdiagramme mit Dehnungsbegrenzungen werden ermittelt, indem Dehnungsebenen (e0, cy, cz) angenommen und die zugehörigen Schnittgrössen (N, My, Mz)Rd durch Integration über die Querschnittsfläche ermittelt werden.

• Pro Dehnungsebene resultiert ein Punkt des Interaktionsdiagramms. In Handrechnungen werden wenige typische Dehnungsebenen angenommen, welche eine gute Näherung des Interaktionsdiagramms ermöglichen.

• Mit Computerprogrammen können die Interaktionsdiagramme durch Untersuchung einer Vielzahl von Dehnungsebenen genauer ermittelt werden.

• Aufgrund der Dehnungsbegrenzungen können lokal konkave Interaktionsdiagramme resultieren.



Interaktionsdiagramm mit Dehnungsbegrenzungen

Fall i: Biegung dominant (kein Einfluss 2. Ordnung)

NB: Einfluss des Verbundverhaltens

• mittlere Dehnung esm, bei welcher im Riss die Bruchdehnung esr = eud erreicht wird, kann mit dem Zuggurtmodell ermittelt werden. Abschätzung 0.4…0.5 eud in der Regel ausreichend (Einfluss auf Bruchwiderstand gering). Für B500B (eud = 45‰)z. Bsp. esm(esr = eud) 2%.

• bei esm = fsd / Es ist esr > fsd / Es (d.h. Betonstahl fliesst eigentlich schon etwas vorher), Einfluss auf Tragwiderstand gering (bei 2. Ordnung sichere Seite, da grössere Krümmung)

2

2.12‰

3‰

sd s

c d

f E =

e =

2c de sd sf E( )sm sr ud ude e = e < e

(betrachtete Dehnungsebenen

in Querschnittsprogrammen)

3’321




Fall ii: Normalkraft dominant (Druckglieder), übliche Annahmen:

NB. Druckglieder: Querschnittswiderstand Biegesteifigkeit (siehe SIA 262 4.3.7.9)

• Mit den dargestellten Dehnungsbegrenzungen für Druckglieder resultiert ein etwas kleinerer Querschnittswiderstand als mit den Dehnungsebenen für den Fall dominanter Biegung

• Bei Druckgliedern (Einfluss 2. Ordnung) wird der kleinere Bruchwiderstand durch die grössere Biegesteifigkeit im nominellen Bruchzustand in der Regel mehr als kompensiert (Systemtraglast Var. A grösser).

• Dehnungsebenen gemäss Variante A sind nur zulässig, sofern die Betonrandstauchung εc2d nicht übersteigt. Andernfalls ist Variante B anzuwenden (oft bei gedrungenen QS oder grossem d’).

sd sf Esd sf E

sd sf E2c de

2

2.12‰

3‰

sd s

c d

f E =

e =

Var. A

Var. B

(betrachtete Dehnungsebenen

in Querschnittsprogrammen)




Fall ii: Normalkraft dominant (Druckglieder), übliche Annahmen:

sd sf Esd sf E sd sf E2c de

2

2.12‰

3‰

sd s

c d

f E =

e =

Var. A

Var. B

,3

2 / 4.24‰sd sd

f E

d d d dc =

2

,3

/ 5.12‰sd s c d

d

f E

d d d d

ec =

d

d

,2

/ 2.12‰( )sd s

d

f E

d d d dc =

2

,2

3‰( )c d

dd d d d

ec =



Interaktionsdiagramm mit Dehnungsbegrenzungen (Beispiel 3.10 aus [1])

• Siehe Beispiel 3.1: Reiner Druck/Zug NRd = -4963 kN, NRd = 1878 kN

• Weitere Punkte (Druckglied, Ebenen iiB):

0

0

-1.22

-2.45

-3

-3

2.07

0

-2.07

2.12

1.26

0.39

266-21=245 (*)

693-32=661 (*)

676

676-32=644 (*)

693

273

127

2298

1360

56.4

115

138

z

x, NMy

Betonkräfte (brutto, daher Abzug As·fcd

bei Bewehrung s. unten):

0.85·(2·138+62)·0.40·20 = 2298

0.85·(138+62)·0.40·20 = 1360

Bewehrungskräfte:

As·Es·es , in der Druckzone -As·fcd

(da Betonkräfte ohne Abzug von

As gerechnet wurden)

138

62

62

138 138 6262

8Ø26

NRd = -2298-661-245

= -3204 kN

MRd = 2298·0.0564+

+661·0.138

= 221 kNm

NRd = -1360-644+676

= -1328 kN

MRd = 1360·0.115+

+(644+676)·0.138

= 339 kNm

NRd = 127+273+693

= 1093 kN

MRd = (693-127)·0.138

= 78kNm




Fall iiA (-fsd /Es, fsd /Es)

Fall iiB (-ec2d, fsd /Es)

(Fall iiB, QS-Programm)

(starr-ideal plastisch)



NRd = -3204 kN

MRd = 221 kNm

NRd = -1328 kN

MRd = 339 kNm

NRd = 1093 kN

MRd = 78kNm

100

1000

-1000

-4000

-3000

-2000

Nd [kN]

Md [kNm]

0

0

-1.22

-2.45

-3

-3

2.07

0

-2.07

2.12

1.26

0.39

266-21=245 (*)

693-32=661 (*)

676

676-32=644 (*)

693

273

127

2298

1360

56.4

115

Biegung und Normalkraft – Dehnungsebenen


Interaktionsdiagramm mit Dehnungsbegrenzungen – Wahl der Dehnungsebenen

(schematisch, für Querschnitt gemäss [1] Beispiel 3.10)

• Dehnungsbegrenzungen für den Fall iiA ergeben kleineren Widerstand als Fall iiB (und i)

• Dehnungsbegrenzungen Fall iiA ergeben kleinere Krümmung, d.h. grössere Biegesteifigkeit als iiB

• Bei schlanken Druckgliedern wird der kleinere Bruchwiderstand durch die grössere rechnerische Biegesteifigkeit ( kleinere Momente 2. Ordnung) oft mehr als kompensiert, d.h. bessere Näherung der wirklichen Bruchkraft mit Fall iiA

• Ggf. Berechnung mit beiden Dehnungsbegrenzungen, massgebend ist grösseres NRd

NEd

Nd

Md

Interaktionsdiagramme:

(aus QS-Programm)

Fall i (-ec2d, esu)



NRd NRd,iiANRd,iiB

0 1 2

2

2( )

d d d

d crd

e e e

le

c

c =

Biegung und Normalkraft – Dehnungsebenen


Interaktionsdiagramm mit Dehnungsbegrenzungen – Wahl der Dehnungsebenen

(schematisch, für Querschnitt gemäss [1] Beispiel 3.10)

• Nachweis für gegebenen Wert der Normalkraft NEd (SIA 262)

• Vergrösserung des Biegemoments NEd ·e2d proportional zu Krümmung

• Sichere Seite: Verwendung der Dehnungsebenen mit maximaler Krümmung (Fall iiA/B , Fall i )(«exakt»: Iteration bis Krümmung bei MEd = Annahme für MRd)

• MEd wird in Fall iiB grösser als in Fall iiA (schlanke Druckglieder: MEd (Fall i) >> MEd (Fall ii))

• Bei schlanken Druckgliedern mit hoher Druckbeanspruchung ist Betrachtung mit Dehnungsebenen Fall iiB (und vor allem Fall i) ungünstiger als Fall iiA.

0 1 2( )Ed Ed d d dM N e e e=

Nd

Md

NEd

MEd,iiA

MEd,iiB

NEd

0 1 2

2

2( )

d d d

d crd

e e e

le

c

c =

MEd,1

Interaktionsdiagramme

und Ermittlung e2d :

Fall i (-ec2d, esu)



Biegung und Normalkraft – Druckglieder


Druckglieder – konstruktive Durchbildung (SIA 262 5.5.4)

• Mindestabmessungen: Stützen (b/a ≤ 4) a ≥ 200 mm (Ortbeton) bzw. 150 mm (Fertigteil)

Wände (b/a > 4) a ≥ 150 mm (Ortbeton) bzw. 150 mm (Fertigteil)

• Längsbewehrungsgehalt: 0.6% ≤ ρ ≤ 8%

Bei grossen Stützenquerschnitten darf ρx,min = 0.6% auf eine Mantelfläche von mindestens 200 mm Dicke

bezogen werden.

In Wänden bezieht sich ρx,min = 0.6% auf den für die Tragsicherheit erforderlichen Betonquerschnitts

(Stababstand s ≤ 300 mm und s ≤ 2a).

Falls ρx > ρx,max = 8% verstärkte Verbügelung und spezielle konstruktive und ausführungstechnische

Massnahmen erforderlich.

Längsbewehrungsstäbe sind mit Bügeln gegen lokales Ausknicken zu sichern.

• Verbügelung: sc ≤ 15 Øx,min und sc ≤ amin und sc ≤ 300 mm

Falls die Druckbewehrung fsd erreicht, ist ausser den Eckstäben auch jeder zweite Längsbewehrungsstab mit

Haken oder Bügeln zu umschliessen.

Biegung und Normalkraft - Druckglieder


Bruchversuche an Plattenstreifen aus altem und neuem Stahlbeton unter exzentrischem Längsdruck

[Etter, S.; Villiger, S.; Marti, P. IBK-Bericht Nr. 336, ETH Zürich, 2012]



Versuchskörper A – Querschnittsgeometrie Versuchskörper N – Querschnittsgeometrie


[Etter, S.; Villiger, S.; Marti, P. IBK-Bericht Nr. 336, ETH Zürich, 2012.]

Baustoff A N

Beton Zylinderdruckfestigkeit fcc [N/mm2] 75.6 45.2

Elastizitätsmodul Ec [N/mm2] 44.5 35.7

Längsbewehrung Dynamische Fliessgrenze fsy,dyn [N/mm2] 534 510

Dynamische Zugfestigkeit fsu,dyn [N/mm2] 739 601



Versuch A Versuch N


(Etter, S.; Villiger, S.; Marti, P. IBK-Bericht Nr. 336, ETH Zürich, 2012.)

N – My – Interaktonsdiagramme:

𝜂𝑓𝑐 = 0.94𝜂𝑓𝑐 = 0.74



Druckglieder – konstruktive Durchbildung (SIA 262 5.5.4)

• Verbügelung: In Krafteinleitungszonen, Stossverbindungen und Querschnittsänderungen müssen zusätzlich Bügel

zur Aufnahme von Querzugkräften eingebaut werden.

• Verbügelung in plastischen Bereichen bei Erdbebenbemessung:

… sc ≤ 6 Øx und sc ≤ 150 mm

… ρt ≥ Max { 0.08∙fcd/fsd ; (-Nd - 0.08∙abfcd)/(4∙acbcfsd)}

… Umschnürungsbügel mit 135°-Endhaken mit Länge ≥ 10 Øc

… keine Übergreifungsstösse der Längsbewehrung (konventioneller Stoss an OK Fundament unzulässig!);

mechanische Stabverbindungen nur bei nachgewiesener ausreichender Duktilität



Druckglieder – Nachweis der Tragsicherheit

Allgemein kann der Nachweis der Tragsicherheit für exzentrisch beanspruchte Druckglieder mit nichtlinearen

Berechnungsverfahren geführt werden.

Dabei ist grundsätzlich ein inkrementelles, iteratives Vorgehen erforderlich. Das Druckglied wird in eine geeignete Anzahl

Elemente diskretisiert, und die Berechnung erfolgt auf der Basis der Momenten-Krümmungsbeziehungen der Stabelemente;

diese sind nichtlinear und von der Normalkraft abhängig.

Solche allgemeinen Berechnungen sind auch mit heutigen Computerprogrammen relativ aufwändig, und die Resultate

bedürfen in Anbetracht der diversen Annahmen, welche getroffen werden müssen, einer kritischen Interpretation. Sie lohnen

sich in der Regel nur bei schlanken, hoch beanspruchten Stützen oder bei der Beurteilung bestehender Bauwerke.

Nachfolgend wird das für Handrechnungen gut geeignete Näherungsverfahren gemäss der Norm SIA 262 beschrieben,

welches auf der Annahme einer konstanten Steifigkeit beruht. Diese entspricht der Sekantensteifigkeit im

höchstbeanspruchten (massgebenden) Querschnitt und wird aus dem Momenten-Krümmungs-Diagramm bestimmt.




Der Nachweis der Tragsicherheit berücksichtigt folgende drei Einflüsse:

• Geometrische Imperfektionen e0d

• Schnittgrössen erster Ordnung e1d

• Verformungen des Druckglieds e2d

1 20d dd dee e e=

11d

d

d

eM

N=

2

2cr

ddel

c= c

Die maximale Exzentrizität ed beträgt:

0 Max ;2 30

1 0.01 1mit ( in m)

200 300

cri

i

d

l d

ll

e

=

=

ed

e1d

e2d

e0d

-Nd

planmässige Lage

Lage mit Imperfektionen

verformte Lagelcr

cd

c

<




Geometrische Imperfektionen (für l = lcr)

Planmässige Lage (M1d: Moment erster Ordnung)

Verformungen des Druckglieds

0

0

0

4 m400

4 m 9 m200

9 m600

crd cr

cr

d cr

crd cr

le l

le l

le l

=

= < <

=

jedoch: 030

d

de

11

dd

d

Me

N=

0 1 2

1 0 2

d d d d d

d d d d

M N e e e

M N e e

=

=

2

2cr

d d

le

c= c

<




Verformung zweiter Ordnung Die Krümmung beträgt allgemein

Auf der sicheren Seite liegend darf vereinfachend mit gerechnet werden. Für genauere Berechnungen

kann die Krümmung entsprechend der Bruchkrümmung im massgebenden Querschnitt abgemindert werden (Iteration).

Langzeiteffekte können näherungsweise mit einer Vergrösserung der Krümmung um berücksichtigt werden.

Für die Bemessung werden oft normierte Interaktionsdiagramme verwendet, in denen die Langzeiteffekte mit φ = 2 bereits

enthalten sind.

2

2cr

d d

le

c= c

'

sd sdd

d d

e ec =

Md

-Nd

d'

d

dc

sde

sde

dc

sd

s

f

E

sd

s

f

E

/sd sd sd sf Ee = e =

,

c

irr dd

ec =



Ermittlung der Verformungen 2. Ordnung e2d (Grundfall)

. Rd d

d

d

d

EI const EI M EI

M x

EI

= = =

c =

2 2

2 2 2

0 0

4

4

cr crl l

cr crd d d

l lM Me dx M dx

EI

= = c = c = c

·2

40.405= =

Annahme:

Arbeitsgleichung:

0 ; sin ;2 2

crd

cr

l x xx x M x

l

= c = c =

NB: analytische Herleitung des Integrationsfaktors

2 22 2

2 2

0 0

2 2 sin 22 2

cr crl l

d cr d crd

cr

l lxM dx x dx

l

c c c = = = c

crl

x

.dEI const= 2d d

Rd

M N e x

M

=

RdM

d

d

M

EIc =

dc

var .EI

M

4

crL1Q =

VZ BZ

2de

Sinus!

Näherung mit Parabel:

5 0.41712

=( )

dN

2 2 ,max sind d

cr

xe x e

l

=

4 2

4 20

d w d wEI N

dx dx =




Verformung zweiter Ordnung

Der Integrationsfaktor c ergibt sich für eine allgemeine Belastung (aus mehreren Grundfällen i zusammengesetzt) zu

Vereinfachend darf dabei immer c = π2 gesetzt werden (SIA 262, 4.3.7.12).

Die Werte ci der einzelnen Grundfälle folgen in Abhängigkeit des statischen Systems und der Belastung durch Anwenden der

Arbeitsgleichung:

2 1 di

di

i

Mc

M

c

=

,

d

cr d

N

N =

c c c c c c c c MMMMMMMM

dc dc dc4

l4

l4

l4

l

dc l dc l dc l dc l

crl

2

ic = 8ic = 12ic = 9.6ic = 2

ic = 8ic = 12ic = 16ic =

2

2

0

crl

crd d

le Mdx

c= c = c

crl l= 2crl l=

2

, 2

dcr d

cr

EIN

l

=





Herleitung mit Vergrösserungsfaktor

2

2

12

1 1

di cr

di d i d crd

M l

e EI c le

c

c

= = =

2d d did

d

N e M

EI

c =

2 2 222

2

2

11 1d d did cr d cr di di

di di did d

i i i

N e Ml N l M Mc

M M Me EI

c c c

c = = = =

2

, 2

dcr d

cr

EIN

l

=

2

,

1 11 ... ( Vianello)

1 1 d

cr d

N

N

= =

<



Beispiel ([1], S. 3.29), Kragstütze

400

400xy

z

4

2000

32

z

x

- Stahlbetonstütze, a = b = 400 mm

- Beton C30/37, Betonstahl B500B

- 8 Längsstäbe Ø = 26 mm, Asx = 8∙531 = 4248 mm2

- Bügelbewehrung Øc = 12 mm, cnom = 35 mm

- Eigengewicht der Stütze wird vernachlässigt

Näherung SIA 262:

62

138

138

62

0

1 1

22

2 2

0 1 2

2

15.4 mrad/m0.276

200 50 mm (> d/30)

/ 4 32 / 2000 64 mm

; 99.9 mm

428 kNm

sd

sd

d cr

d d d

crd d

d d d d d

f

E

e l

e M N

lc e

M N e e e

c = =

= =

= = =

= = c =

= =

, 2000 , 428d dN M

Interaktionsdiagramm mit = kN kNm

nicht ok, Iteration (oder Erhöhung der Bewehrung)!






(Fall iiB, QS-Programm)

(starr-ideal plastisch)



0

0

-1.22

-2.45

-3

-3

2.07

0

-2.07

2.12

1.26

0.39

266-21=245 (*)

693-32=661 (*)

676

676-32=644 (*)

693

273

127

2298

1360

56.4

115

NRd = -3204 kN

MRd = 221 kNm

NRd = -1328 kN

MRd = 339 kNm

NRd = 1093 kN

MRd = 78kNm

100

1000

-1000

-4000

-3000

-2000

Nd [kN]

Md [kNm]



Beispiel ([1], 3.29), Kragstütze - Gleiches Beispiel wie auf Folie 38/39, aber genauere Untersuchung

mit Biegewiderstand unter der gegebenen Normalkraft und

zugehöriger Dehnungsebene (Dehnungsebene iterativ bestimmt)

Biegewiderstand grösser als bei Bestimmung aus Sekante zwischen

anderen Dehnungsebenen

Krümmung kleiner als mit Näherung nach SIA 262

Tragsicherheitsnachweis gerade knapp i.O. (bei Betrachtung als

einfache Biegung, Mz = 0)

305.3

-2000

0.425xx = 241.3 mm

3‰ce = 1640.9

661.0

90.6

392.5

-2.23

-0.53

1.20

ε [‰]

305.3 kNmRdM =3

12.43 mrad/m241.3

d =c =

[kN]F

400

400xy

z

4

2000

32

z

x

62

138

138

62



Beispiel ([1], 3.29), Kragstütze

0

8 m8 m 14.1 mm ( 11.3 mm )

200 200 30d

cr

cr

l dl e= = = = =

11

1

12832 4 m 128 kNm 64 mm

2000d

dd

d

eM

MN

= = = = =

Geometrische Imperfektionen

Planmässige Lage


2

2 2

, 2 2

,

305.324.56 MNm

0.01243

24.56 20003.788 MN 0.528

8 3788

Rdd

d

d dcr d

cr cr d

MEI

EI NN

l N

= = =c

= = = = = =

4

2000

32

z

x



Beispiel ([1], 3.29), Kragstütze Verformungen zweiter Ordnung

c M

dc l

2 14.1 28.2 kNmdiM = =

c M

dc l

32 4 128 kNmdiM = =

2

ic = 12ic =

2

2

2812.43 74.6 mm

10.663d

crde

l

c= c = =

2 2 2

2

28.2 1281 0.528 1 0.528 10.663 (Vergleich: 9.870)

28.2 128

12

di

di

i

Mc

M

c

= = = =

0 1 2 2000 0.0141 0.064 0.0746 305.4 kNm 305.3 kNmd Rdd d dd MNM e e e= = = <

2000 32

4

2000

32

z

x



Tragsicherheitsnachweis mit Computerprogrammen

Interaktionsdiagramm (MRdy - MRdz)

für N = Nd = -2000 kN

MRdy-cy-Diagramm für Mz = 0 und

N = Nd = -2000 kN ( cd )

Interaktionsdiagramm (MRdy-NRd)

für Mz = 0 (Tabelle: Randdehnungen cd )



Druckglieder – schlanke Stützen unter Last und Zwang

Infolge Vorspannung, Temperatureinwirkung, Schwinden des Betons, Fundamentverdrehungen, etc. erfahren Stützen ausser Lasten im

allgemeinen auch Zwängungen.

Um auf der sicheren Seite zu bleiben, muss für den Tragsicherheitsnachweis mit einem unteren Grenzwert der Steifigkeit gerechnet werden,

sonst werden die Effekte 2. Ordnung unterschätzt.

Umgekehrt sind die Effekte von Zwängungen (im Gebrauchszustand) umso grösser, je höher die Steifigkeit ist, d.h. um solche Einflüsse nicht zu

unterschätzen, muss von einem oberen Grenzwert der Steifigkeit ausgegangen werden.

Somit sind in solchen Fällen grundsätzlich zwei Nachweise zu führen:

- Tragsicherheitsnachweis für Qd und zugehörige Zwängung mit EImin

- Spannungsnachweis für ud und zugehörige Last Q mit EImax

l

h

Stützenkopfverschiebungen z.B. durch:

- Vorspannung P des Riegels

- Verkürzung αTΔT∙l des Riegels (Temperatur)

- Verkürzung εcs∙l des Riegels (Schwinden)

uQ

uQ



Druckglieder – Gesamtstabilität von Stützensystemen

Rahmensysteme sind oft längs nicht fixiert, sondern schwimmend gelagert. Die Lage des Bewegungszentrums hängt dann von den

Stützensteifigkeiten ab, und neben der Stabilität der einzelnen Stützen ist auch die Gesamtstabilität nachzuweisen.

(NB: Bei weichem Baugrund ist die Nachgiebigkeit der Fundationen zu berücksichtigen, d.h. Drehfedern statt starre Einspannung am Stützenfuss

oder entsprechende Annahme von l resp. lcr)

längs fixiert Gesamtstabilität i.O.

(bei ausreichendem Widerstand des

festen Lagers)

schwimmend gelagert Gesamtstabilität?

Nd Nd

Hd Hd

l l

u u

3

3 1

dH lu

EI

=

3

12 1

dH lu

EI

=

Nd

Hd

l

u ,2

12d cr d d

uH N N

l=

k

Allgemeiner Fall:

• k 0: oben gelenkig

• k ∞: oben eingespannt

2

,

2 34

1

dcr d

d

EIN

lEI

kl

=

,

mit d

cr d

N

N

=



Druckglieder – Gesamtstabilität von Stützensystemen

Pendelstützen haben eine treibende Wirkung, d.h. sie verursachen eine destabilisierende Kraft H:

Für den Nachweis der Gesamtstabilität des Stützensystems wird zuerst die Kopfverschiebung aus der horizontalen

Gleichgewichtsbedingung ermittelt (Berücksichtigung rückhaltende Stützen nach allgemeinem Fall, siehe vorherige Folie).

du NH

l

=

Nd

l

u

Nd

H

Besonders gefährlich sind kurze Pendelstäbe.

Sie ergeben eine grosse treibende Wirkung.

Darauf ist vor allem im Bauzustand zu achten

(Lehrgerüste SIA 262, 6.1.4: kurze

Pendelstäbe vermeiden, sonst treibende Kräfte

berechnen und zusätzlich zu den üblichen 3%

der Vertikallasten als Horizontallast ansetzen!)

,

2

120

djcr di di

d

i ji j

NN NH u u

l l

=

Hd: Horizontalkraft aus z.B. Anfahr- oder

Bremskräften, Streichwind auf Träger,

Längswind auf Stützen, Lagerreibung

(rückhaltend), Erdbeben

i: stabilisierende Stützen

j: Pendelstützen (treibende Wirkung)

Achtung: Nd,i, Ncr,di und Ndj sind negativ!

Aus der Kopfverschiebung folgt der Horizontalschub der einzelnen

Stützen. Damit ist die Beanspruchung der Stützen bekannt

(Normalkraft, Horizontalschub, Biegemomente aus Horizontalschub

sowie 2. Ordnung infolge Kopfverschiebung u), und die

Tragsicherheit der Stützenquerschnitte kann nachgewiesen werden.

Biegung und Normalkraft – Zusammenfassung


• Das Tragverhalten von Stahlbetondruckgliedern unter Biegung und Normalkraft kann aufgrund der Annahme über das

Ebenbleiben der Querschnitte unter Verwendung beliebiger Spannungs-Dehnungsdiagramme für den Beton und die

Bewehrung erfasst werden.

• Schnittgrössen (N, My, Mz) können aus gegebenen Verformungsgrössen (ε0, χy, χz) durch Integration ermittelt werden. Die

umgekehrte Aufgabenstellung im allgemeinen eine Iteration.

• Moderate Druckkräfte in Druckgliedern führen zu einer Erhöhung des Rissmoments (Dekompressionsmoments) sowie des

Biegewiderstands und zu einer Reduktion des Verformungsvermögens.

• Der Biegewiderstand von Druckgliedern wird mit M-N-Interaktionsdiagrammen beschrieben.

• Mit einer Umschnürungsbewehrung kann die axiale Druckfestigkeit des Kernbetons und vor allem die zugehörige

Stauchung wesentlich gesteigert werden. Werden diese Eigenschaften ausgenutzt, ist mit abgeplatztem

Überdeckungsbeton zu rechnen.

• Bei der konstruktiven Durchbildung von Druckgliedern sind die entsprechenden Regeln für die Bewehrungsführung

sorgfältig zu beachten.

• Beim Nachweis der Tragsicherheit von Druckgliedern sind ausser den Schnittgrössen 1. Ordnung geometrische

Imperfektionen sowie Einflüsse 2. Ordnung zu berücksichtigen.

• Bei Stützen unter Last- und Zwangsbeanspruchungen sind grundsätzlich ein Tragsicherheitsnachweis (mit unterem

Grenzwert der Biegesteifigkeit) und ein Spannungsnachweis (mit oberem Grenzwert der Biegesteifigkeit) zu erbringen.

• Bei der Untersuchung der Gesamtstabilität von Rahmensystemen sind stabilisierende und treibende Wirkungen zu

unterscheiden. Besondere Vorsicht ist bei kurzen Pendelstützen angezeigt.

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3.3 Biegung und Normalkraft / Druckglieder - ethz.ch · • Biegemomente in Kombination mit Normalkräften treten in Stützen, Bogentragwerken, vorgespannten Trägern etc. auf •