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3.4 Brücke mit Dehnungsmessstreifen (DMS) Sachworte: Ausschlag-Widerstandsmessbrücke, Brückenspannung, widerstandsab-

hängige Sensoren, Dehnungsmessstreifen, Messung von Dehnungen

Eine Brückenschaltung wird von einer von einer Gleichspannungsquelle UV (Bild 1) oder von einer Gleichstromquelle IV (Bild 2) gespeist.

Ud

R1R2

R3R4

A

B

UV

Ud

R1R2

R3R4

A

B

IV

Bild 1 Bild 2

a) Berechnen Sie für die Brücke nach Bild 1 die Brückendiagonalspannung Ud im Leerlauf abhängig von R1, R2, R3, R4 und U1.

Im Buch wurde in Kapitel 3.3.1 die allgemeine Formel (3.14) für eine Widerstandsbrücke im Leerlauf abgeleitet, wobei die rechte Masche 1 über R1 und R3 verwendet wurde.

( )( )−

= =+ +

2 3 1 4d V

1 2 3 4

R R R RU ( I 0 A ) UR R R R

(1)

Ud

R1R2

R3R4

A

B

UV

U2

U3U4

U112

Bild 3

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Zur Übung soll nun Gl. (1) unter Einbeziehung der linken Masche 2 nochmals hergeleitet werden.

Am Widerstand R2 wird die Teilspannung U2

22 V

1 2

RU UR R

=+

(2)

und am Widerstand R4 die Teilspannung U4

44 V

3 4

RU UR R

=+

(3)

abgegriffen. Aus der Maschengleichung

d 4 2U U U 0+ − = (4)

berechnet sich die Diagonalspannung Ud im Leerlauf zu

d 2 4

42d V V

1 2 3 4

U U URRU U U

R R R R

= −

= −+ +

und auf einen gemeinsamen Nenner gebracht zu:

( ) ( )( )( )

2 3 4 4 1 2d V

1 2 3 4

R R R R R RU U

R R R R+ − +

=+ +

( )( )2 3 1 4

d V1 2 3 4

R R R RU UR R R R

−=

+ + (5)

Offensichtlich sind die Ergebnisse von Gl. (1) und (5) identisch.

b) Berechnen Sie für die stromgespeiste Brücke (Bild 2) die Brückendiagonal-spannung Ud im Leerlauf abhängig von R1, R2, R3, R4 und IV.

Die Herleitung von Ud, die auch im Buch in Kapitel 3.32 Formel 3.22 zu finden ist, soll hier nochmals gezeigt werden.

Der Speisestrom IV bewirkt an der Brücke eine Speisespannung Uv

( ) ( ) ( )( )1 2 3 4v 1 2 3 4 V V

1 2 3 4

R R R RU R R R R I I

R R R R+ +

= + + ⋅ =+ + +

(6)

Damit lässt sich Gl. (6) in die für eine spannungsgespeiste Brücke berechnete Formel (1) oder (5) einsetzen mit dem Ergebnis:

( )( )2 3 1 4 2 3 1 4

d V V1 2 3 4 1 2 3 4

R R R R R R R RU U IR R R R R R R R

− −= =

+ + + + + (7)

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c) Erklären Sie die Begriffe „Viertelbrücke“, Halbbrücke“ und „Vollbrücke“.

Die Begriffe beziehen sich auf die Zahl der eingesetzten Sensoren, je nachdem ob von den Sensoren 1, 2 oder alle 4 der möglichen 4 Brückenpositionen belegt werden.

Viertelbrücke 1 Sensor

Halbbrücke 2 Sensoren

Vollbrücke 4 Sensoren

Nachfolgend werden als widerstandsabhängige Sensoren Dehnungsmessstreifen (DMS) in die Brückenschaltung eingesetzt. Damit sollen an einem Biegebalken die Normalspannungen ε erfasst werden. Es können zugbeanspruchte „+DMS“ sowie druckbeanspruchte „-DMS“ eingesetzt werden. Zur Ergänzung der Brücke bei Viertel- und Halbbrücken sind Widerstände der Größe R zu verwenden.

d) Was versteht man unter einem „zugbeanspruchten“ und einem „druckbe-anspruchten“ DMS?

Bei einer auf einen Biegebalken (Bild 4) angreifenden Kraft F wird die Balkenoberseite durch die entstehende Zugkraft um Δl (Dehnung ε = Δl/l > 0) gedehnt und entsprechend die Balkenunterseite durch die wirkende Druckkraft um -Δl (Dehnung ε = -Δl/l < 0) ver-kürzt, d.h. gestaucht. Ein auf der Balkenoberseite platzierter „+DMS“ wird also zugbean-sprucht, ein auf der Balkenunterseite platzierter „-DMS“ wird druckbeansprucht.

1: zugbeanspruchter DMS 2: druckbeanspruchter DMS

+DMS

-DMS

Bild 4

Damit lassen sich die Widerstände Rx der DMS (Grundwiderstand R; k-Faktor k) ange-ben:

zugbeanspruchter „+DMS“ x xR R(1 k ) R R R R kε Δ ε= + ⇒ = − = + ⋅ (8)

druckbeanspruchter „-DMS“ x xR R(1 k ) R R R R kε Δ ε= − ⇒ = − = − ⋅ (9)

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e) Geben Sie die mögliche Schaltungsvarianten an, um mit zug- und/oder druckbeanspruchten DMS Viertel-, Halb- sowie Vollbrücken aufzubauen. Die Tabelle zeigt die 8 möglichen Varianten, um DMS zu einer Brücke zu verschalten. Ein „+“ kennzeichnet einen zugbeanspruchten DMS, ein „-“ kennzeichnet einen druckbean-spruchten DMS. Die Varianten 1 bis 3 stellen eine Viertelbrücke (1 Sensor), die Varianten 4 bis 7 ein Halbbrücke (2 Sensoren) und Variante 8 eine Vollbrücke (4 Sensoren) dar.

Die Ergebnisse für die Leerlauf- Diagonalspannung Ud wurden mit Hilfe der Gl. (1) oder (5) bzw. (7) ermittelt und sind ggf. Näherungen für ΔR/R << 1. Dabei sind nicht mit DMS besetzte Positionen mit Widerständen der Größe R besetzt. Zu beachten ist, dass in den angegebenen Formeln die Widerstandsänderung ΔR sowie die Dehnung ε stets positiv einzusetzen sind. Das bei einer Druckbeanspruchung zu berücksichtigende Vorzeichen bei ΔR < 0 bzw. ε < 0 ist in den angegebenen Formeln bereits berücksichtigt.

Ud bei Speisung mit Uv Ud bei Speisung mit Iv

1 12

4

+

VU R4 R

Δ≈ VU k

4ε≈ ⋅ VI R

4Δ≈ VI Rk

4ε≈ ⋅

2 12

4

+

VU R4 R

Δ≈ − VU k

4ε≈ − ⋅ VI R

4Δ≈ − VI Rk

4ε≈ − ⋅

Vie

rtelb

rück

e

3 12

4

-VU R4 R

Δ≈ − VU k

4ε≈ − ⋅ VI R

4Δ≈ − VI Rk

4ε≈ − ⋅

4 12

4

+

+VU R2 R

Δ≈ VU k

2ε≈ ⋅ VI R

2Δ= VI Rk

2ε= ⋅

5 12

4

+

-

VU R2 R

Δ≈ VU k

2ε≈ ⋅ VI R

2Δ= VI Rk

2ε= ⋅

6

VU R2 R

Δ= VU k

2ε= ⋅ VI R

2Δ= VI Rk

2ε= ⋅

Hal

bbrü

cke

7

2VU R

4 RΔ⎛ ⎞≈ − ⎜ ⎟

⎝ ⎠≈ − ⋅2 2VU

k4

ε VI R R4 RΔ Δ= − 2 2VI Rk

4ε= − ⋅

Vol

lbrü

cke

8 V

RURΔ

= VU k ε= ⋅ VI RΔ= VI Rk ε= ⋅

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f) Diskutieren Sie die Schaltungsvarianten von e) hinsichtlich

• der Brückenempfindlichkeit E = Ud / UV • der Linearität der Brückenspannung Ud • des Temperatureinflusses der DMS auf die Brückenspannung Ud.

Die Tabelle in e) zeigt, dass sich die Brückenempfindlichkeit E bei einer Halbbrücke (Va-riante 4 bis 7) gegenüber einer Viertelbrücke (Variante 1 bis 3) verdoppelt und sich wie-derum bei einer Vollbrücke (Variante 8) gegenüber einer Halbbrücke verdoppelt. Somit weist eine Vollbrücke die 4-fache Empfindlichkeit gegenüber einer Viertelbrücke auf.

Eine exakte Linearität zwischen der Widerstandsänderung ΔR zw. der Dehnung ε zeigen nur bestimmte Varianten der Halbbrücken (alle stromgespeisten Varianten 4 bis 7 und die spannungsgespeiste Variante 6) sowie die Vollbrücke (Variante 8).

Durch Temperatureinflüsse ändert sich der Widerstand Rx eines DMS zusätzlich zu dem durch die Dehnung hervorgerufenen Messeffekt ΔR(ε) um ΔR(ϑ) aufgrund des Tempera-turkoeffizientes des DMS-Widerstandes. Einflüsse aufgrund unterschiedlicher Längenaus-dehungskoeffizienten von DMS und Balkenmaterial kommen hinzu, werden aber nachfol-gend nicht betrachtet.

zugbeanspruchter „+DMS“ Rx = ΔR(ε)+ΔR(ϑ) (10)

druckbeanspruchter „-DMS“ Rx = -ΔR(ε)+ΔR(ϑ) (11)

Die Auswertung der Formeln (1) und (4) bzw. (6) ergibt folgende Situation für die Brü-ckenspannung Ud:

Viertelbrücken werden durch Temperaturänderungen des DMS beeinflusst.

Die Halbbrücken der Variante 5 und 6 sowie die Vollbrücke (Variante 8) sind unempfind-lich gegenüber Temperatureinflüssen der DMS. Dieser Sachverhalt ergibt sich auch durch die einfache Überlegung, dass eine Spannungsteilung zwischen zwei sich gleichmä-ßig um ΔR(ϑ) vergrößerten Widerständen davon unberührt konstant bleibt.