4. Differentialrechnung - Hochschule Darmstadt | Main ...balogh/uploads/Main/Differentialrechnung.pdf · Differentialrechnung Literatur: [SH, Kapitel 6] 4.1. Steigungen von Kurven

Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-1

4. Differentialrechnung Literatur: [SH, Kapitel 6]

4.1. Steigungen von Kurven

4.2. Ableitung, Tangenten

4.3. Notationen für Ableitung von y = f(x)

4.4. Exkurs zu Grenzwerten

4.5. Ableitungsregeln

4.6. (Streng) Monotone Funktionen

4.7. Änderungsraten einer Funktion y = f(x)

4.8. Ableitungen höherer Ordnung


4.1. Steigung von Kurven

Steigung einer Kurve y = f(x) im Punkt (x0, f(x0))

= Steigung der Tangente an die Kurve in (x0, f(x0))

= Ableitung f´(x0)

Abbildung 17: Steigung von Kurven [SH]

f‘(1) = ___ f‘(4) = ___ f‘(7) = ____

1

1 1

1/2

f‘(x0) = ____


4.2. Ableitung, Tangenten (1)

Sekante PQ wird zur Tangente T, wenn Q P

Steigung der Sekante wird zur Steigung der Tangente.

Abbildung 18: Sekante, Tangente [SH]



Differenzenquotient (Steigung der Sekante):

Abbildung 19: Differenzenquotient [SH]

x

)x(f)xx(flim)(xf' Ableitung

x

)x(f)x(xfPQ Sekante der Steigung

00

0x0

00



Abbildung 20: f(x) = x2 [SH]

Beispiel: Ableitung von f(x) = x2 in einem Punkt x

x

)x(xx2 20

x

)xx2(x 0

xx2 0

Grenzwert für x0:

000x

0 x2)xx2(lim)x('f

Steigung der Sekante:

x

x)x(xx2x

x

)x(f)xx(f 20

20

2000


4.3. Notationen für Ableitung y = f(x)

Woher kommt die Notation?

"alquotientDifferenti"dx

dy

0)x für oben x( xvon gVeränderun kleine )unendlich(dx

oben) )x(f)xf(x(y von gVeränderun everursacht dadurchyd 00


4.4. Exkurs zu Grenzwerten (1)

Tabelle 3: Werte von f(x) = (ex1)/x, wenn x nahe bei 0 ist. [SH]

x

1e)x(f

x

). Ergebnis(""0

0

Beispiel:

Für x=0 ist die Funktion nicht definiert, da dann ex1 0 und x 0

Was passiert aber, wenn man x immer näher an Null herankommen lässt (ohne

sie zu erreichen)?

Offenbar nähert sich f(x) immer näher der Eins, wenn man sich x = 0 von beiden

Seiten nähert.



Man schreibt:

Abbildung 21: f(x) = ex1/x [SH]

0 x,1x

1e oder 1

x

1elim

xx

0x



Definition (Grenzwert). Allgemein heißt

dass f(x) beliebig nahe an A werden kann, für alle x, die sich hinreichend nahe an x0

befinden (aber nicht gleich x0 sind).

Rechenregeln:

A, f(x) lim0xx

(1) )x(glim)x(flim))x(g)x(f(lim000 xxxxxx

(2)

)x(glim)x(flim))x(g)x(f(lim

000 xxxxxx

(3)

)x(glim

)x(flim

)x(g

)x(flim

0

0

0xx

xx

xx

(4)

r

xx

r

xx)x(flim))x(f(lim

00



Beispiel:

)x5(lim)xx(lim)x5x(lim2x2x

2

2x

2

2x

5

2x

2

2x

2

2x

2

2xxlim5limxlimxlim)x5x(lim

)2(5)2)(2()x5x(lim 2

2x

6)x5x(lim 2

2x


4.5. Ableitungsregeln (1)

4.5.1. Konstante

Abbildung 22: Konstante Funktion [SH]

Steigung ist Null, da Funktion konstant.



4.5.1. Konstante (Fortsetzung)

Abbildung 23: Parallele Graphen [SH]

Die Graphen der Funktionen sind parallel und die Funktionen haben in jedem Punkt

dieselbe Ableitung.



4.5.1. Konstante (Fortsetzung)

Herleitung:

x

)x(g)xx(glim)x('g

0x

x

)x(fA)xx(fAlim)x('g

0x

x

)x(f)xx(flimA)x('g

0x

)x´(fA)x('g

)x(fA)x(g

Folie B4-14


4.5.2. Potenzregel

Beispiele:

(a)

(b)

(c)

5xy

8x3y

100100

x100

1

100

xy

_______________y

_______________y

_______________y

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4.5.3. Summenregel

Beispiele:

(a)

(b)

(c)

2xxy

45 x2x3y

x2x8y 4

_______________y

_______________y

_______________y



4.5.4. Produktregel

Beispiel:

)xx5()xx()x(f 243

_________________________________________)x('f

_________________________________________)x('f

_________________________________________)x('f

)x(h

g(x)



4.5.5. Quotientenregel

Beispiel:

2x

5x3)x(f

_________________________________________)x('f

_________________________________________)x('f

)x(h

g(x)



4.5.6. Kettenregel

Die wichtigste Regel um beliebig komplizierte Funktionen abzuleiten!

Ansatz: Die abhängige Variable y hängt „indirekt“ von x ab.

äußere Funktion:

innere Funktion:

Trick: Ich muss nur wissen, wie die (einfacheren) Ableitungen dy/du und du/dx gehen.

)g(x)f(y )x(gu

)u(fy

u


Beispiele:

(a)


53 )x1(y

_______________________du

dy

_______________________dx

du

________________________________________dx

du

du

dy

dx

dy

:Funktion innere

:Funktion äußere


Beispiele (Fortsetzung):

(b)


2/122 )1x(1xy

_______________________du

dy

_______________________dx

du

________________________________________dx

du

du

dy

dx

dy

:Funktion innere

:Funktion äußere



4.5.7. Ableitung von natürlichen Exponentialfunktionen

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion selbst!

Herleitung:

x

eelim

x

)x(f)xx(flim)x(f

xxx

0x0x

x

1

x

0x

xx

x

0xe

x

1elime

x

1eelim)x(f


Beispiele:

(a)


)x(gey

_______________________du

dy

_______________________dx

du

________________________________________dx

du

du

dy

dx

dy

:Funktion innere

:Funktion äußere


Beispiele (Fortsetzung):

(b)


1xx2

ey

_______________________du

dy

_______________________dx

du

________________________________________dx

du

du

dy

dx

dy

:Funktion innere

:Funktion äußere



4.5.8. Ableitung allgemeiner Exponentialfunktionen

Herleitung: x)aln(x)aln(x eea)x(f

)aln(a)aln(e)x(f xx)aln(


Beispiele:

(a)

(b)

(c)


x5y

x2xy

x32y

_______________y

_______________y

_______________y



4.5.9. Ableitung von Logarithmus-Funktionen

Herleitung: 1

dx

)xln(de

dx

ed )xln()xln(

x

1

dx

dln(x)


Beispiele:

(a)

(b)

(c)


xlnxy 3

xlnxy 2

x

xlny

_______________y

_______________y

_______________y


4.6.1. Wiederholung

Abbildung 24: (Streng) Monoton wachsende und fallende Funktionen [SH]

x2 x1

f(x1)

f(x2)

x1 x2

f(x1)=f(x2)

x1 x1 x2 x2

f(x1)=f(x2) f(x1)

f(x2)

Beispiele:

4.6. (Streng) Monotone Funktionen (1)


4.6.2. Zusammenhang mit Ableitungen

Wenn für alle x Df

4.6. (Streng) Monotone Funktionen (2)


Absolute Änderung von y, wenn sich x um eine kleine Einheit erhöht:

Relative Änderung (Änderungsrate) von y, wenn sich x um eine kleine Einheit er-

höht

4.7. Änderungsraten einer Funktion y = f(x)

)x(fdx

dy

)x(f

)x(f

ydx

dy

dx

y

dy

Beispiel: Bildungsrendite

Lohn w = f(educ), wobei educ = Ausbildungsjahre, prozentualer Anstieg des Lohns

dw/w bei Änderung der Ausbildungsjahre um 1 Jahr:

)educ(f

)educ('f%10

11.000

100

.B.z)educ(d

w

dw


Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung, die dritte die Ableitung der

zweiten usw.

4.8. Ableitungen höherer Ordnung (1)



Beispiele:

x2x3x2)x(f 35

dx

dy)x('f

2

2

dx

yd)x(''f

3

3

dx

yd)x('''f

4

4

dx

yd)x(''''f

5

5

dx

yd)x('''''f



Konvexe und konkave Funktionen

Die zweite Ableitung ist die Ableitung ist die Steigung der Steigung.

Beispiel: Quadratische Funktionen:

Wenn

a2)x(''f

bax2)x('f

cbxax)x(f 2



Konvexe und konkave Funktionen (Fortsetzung)

Abbildung 25: Die Steigung der Steigung [SH]



Man sagt:

Konvexe und konkave Funktionen können auch monoton sein.

Abbildung 26: Abbildung zu konvex und konkav [SH]


Ende

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