4. VERSCHIEBUNGSGRÖßENVERFAHREN (VV, WGV) · vorlesungsmanuskript baustatik i, ii (unvertieft) 1

VORLESUNGSMANUSKRIPT BAUSTATIK I, II (UNVERTIEFT) 1

4. VERSCHIEBUNGSGRÖßENVERFAHREN (VV, WGV) Im Verschiebungsverfahren (eigentlich Verformungsgrößenverfahren) werden die Knoten-verformungen (Verschiebungen und Verdrehungen) als unbekannte Größen eingeführt. Es gibt verschiedene Bezeichnungen für das Verschiebungsverfahren (VV):

Weggrößenverfahren (WGV) Formänderungsgrößenverfahren Deformationsmethode Steifigkeitsmethode

Bemerkung: Werden als Verformungsgrößen nur Knotendrehwinkel und Stabdrehwinkel gewählt, dann spricht man vom Drehwinkelverfahren (Das Thema wird in der Vorlesung nicht behandelt, siehe Literaturangaben). Das Drehwinkelverfahren gilt nur für ∞=EA , d.h. nur für dehnstarre Stäbe und es kann nur die M-Linie bestimmt werden, die V-Linie und N-Linie müssen dann nachträglich mit Hilfe der M-Linie bestimmt werden.

4.1 Prinzipielle Vorgehensweise und Vergleich mit dem KGV Am Beispiel eines Einfeldträgers wird die Vorgehensweise des VV erläutert. Ursprüngliches System mit Belastung:

l

q

EA = ∞

A B

1. Schritt: Umwandlung in ein geometrisch bestimmtes Grundsystem (durch Einfügen von Festhaltungen bzw. Festeinspannungen an jedem Knoten).

=

1K1

1D ϕ=

A B Dabei wird der Drehwinkel D (bzw. die Verdrehung ϕ) ausgeschaltet bzw. gesperrt. 2. Schritt: Nullzustand NZ ( 1

1 0D ϕ= = , VK II beachten!)

q

A B+

− −

20 01 12B

pK M= = −2

0 01 12A

pK M= = −0M

Stand: 21.12.2007


Durch die eingefügte Festhaltung wird ein Moment 01K hervorgerufen. Somit ist das Gleich-

gewicht dort verletzt! 01K

B0BM

0 01:B BM K M=∑

3. Schritt: Einheitsverschiebungszustand EZ

1 1D =

A B1

+

−

1 11

4B

EIK M= =

11K

B1BM

1 11:B BM K M=∑

4. Schritt: Gleichgewichtsbedingung

0110 =⋅+= BBB MDMM oder 011

1011 =⋅+= KDKK

31

1 48pD

EIϕ→ = =

5. Schritt: Superposition (Endzustand)

A B+

−M

A B

31

48 BpD

EIϕ= =

w

Das obige Beispiel zeigt, dass das VV (WGV) gewisse Ähnlichkeit zum KGV hat. Ein Vergleich beider Verfahren ist in den nachfolgenden Tabellen angegeben. Die durch den Einbau zusätzlicher Festhaltungen entstandenen Kraftgrößen ( )0 1

1 1 1, K K und K nennt man Versteifungskräfte, Festhaltekräfte oder Zwangskräfte. Diese Kräfte sind im Originalsystem nicht vorhanden und müssen daher aus der Gleichgewichtsbedingung eliminiert werden (im Beispiel 01 =K !).

0 1 1w w D w= +

110 MDMM +=


4.1.1 Gegenüberstellung von Kraft- und Verschiebungsgrößenverfahren

Festhaltungen


4.1.2 Vorgehensweise von Kraft- und Verschiebungsgrößenverfahren

iD

kD

kD

kD


4.2 Geometrisch bestimmtes System: Ein statisches System ist geometrisch bestimmt, falls alle Knotenverformungsgrößen bekannt (d.h. diese Verformungen sind in der Regel Null) sind. Beispiele:

∞≠EA

1D

2D

2-fach geometrisch unbestimmt! (2 unbekannte Verformungen)

1K

2K

geometrisch bestimmt (unbekannte Verformungen gesperrt)

∞=EA

1D

1-fach geometrisch unbestimmt! (1 unbekannte Verformung)

1K

geometrisch bestimmt (unbekannte Verformung gesperrt)

Bemerkungen:

- Ein geometrisch bestimmtes System ist grundsätzlich statisch unbestimmt! - Das KGV ist sehr anschaulich und eignet sich für die Handrechnung. Es ist aber

schwierig zu programmieren bzw. zu automatisieren. - Das VV ist weniger anschaulich aber sehr formal. Es ist leichter zu programmieren

bzw. zu automatisieren. Die meisten Rechenprogramme verwenden das VV (auch die FEM verwendet das VV).


Beispiel zur Wahl des Rechenverfahrens:

9-fach statisch unbestimmt! (9 unbekannte Kraftgrößen beim KGV)

∞≠EA

1D

2D

3D

3-fach geometrisch unbestimmt! (3 unbekannte Verformungen beim VV)

∞=EA

1D

1-fach geometrisch unbestimmt! (1 unbekannte Verformung beim VV)

Bei diesem Beispiel ist das VV vorteilhafter, da weniger Unbekannte im VV auftreten.


4.3 Grad der geometrischen Unbestimmtheit Geometrisch bestimmtes System: Bei einem geometrisch bestimmten System sind alle Knotenverformungen bekannt, in der Regel gleich Null. Grad der geom. Unbestimmtheit gn = Anzahl der unbekannten Knotenverformungsgrößen. Die unbekannten Knotenverformungsgrößen werden als geometrisch Unbekannte oder Überzählige bezeichnet. Ein geometrisch bestimmtes System wird auch als Starrsystem oder Volleinspannsystem bezeichnet. Allgemein gilt: Vg nnn += ϕ dabei: ϕn - Anzahl der unabhängigen Knotendrehungen Vn - Anzahl der unabhängigen Knotenverschiebungen gn = Anzahl der Unbekannten im VV. Je größer gn , desto mehr Unbekannte, desto mehr Rechenaufwand.

4.3.1 Dehnbare Stäbe (EA ≠ ∞) EA ≠ ∞ → Längsverformung der Stäbe möglich! Bei ebenen Tragwerken besitzt jeder Knoten 3 Freiheitsgrade (FG, zwei Verschiebungen u, w und eine Verdrehung ϕ). Um ein geometrisch unbestimmtes System geometrisch bestimmt zu machen werden künstliche Festhaltungen eingeführt. Die unbekannten Knotenverformungsgrößen kD werden dadurch ausgeschaltet. An den künstlichen Festhaltungen entstehen somit künstliche Versteifungskräfte k

iK . Sie stellen die Widerstandskräfte oder Steifigkeiten eines Systems gegen die Einheitsverschiebungszustände dar. Last- oder Nullzustand: 00k

iD K= ⇒ Einheitszustand: 1k k

iD K= ⇒

1. Beispiel

1 ...1,D K

2 ...2,D K

6 ...6,D K

4 ...4,D K

5 ...5,D K

3 ...3,D K

6gn =

: Festhaltung gegen Verdrehung

: Festhaltung gegen Horizontalverschiebung

: Festhaltung gegen Vertikalverschiebung


2. Beispiel

3 ...3,D K

1 ...1,D K

2 ...2,D K

4 ...4,D K

GE II

4gn =

3gn =

3. Beispiel

6gn =

4. Beispiel

GE II

4gn =

3gn =


4.3.2 Dehnstarre Stäbe (EA = ∞) Bei dehnstarren Tragwerken ist keine Längsverformung (Längenänderung) der Stäbe möglich Diese Annahme ist bei den meisten in der Praxis vorkommenden biegebeanspruchten Tragwerken mit ausreichender Genauigkeit zutreffend. Die Annahme EA = ∞ kann die Anzahl der unbekannten Knotenverschiebungsgrößen drastisch reduzieren. Entscheidend dabei ist die Bestimmung der Anzahl der unabhängigen Knotenverschiebungen, da einige Knotenverschiebungen von den unabhängigen Knotenverschiebungen abhängen können. Bestimmung der Anzahl der unabhängigen Knotenverschiebungen vn : Anzahl der unabhängigen Knotenverschiebungen = Grad der Kinematik der Gelenkfigur = Anzahl der anzubringenden Stäbe oder Festhaltungen, um die Gelenkfigur unverschieblich zu machen!

1. Beispiel

2nϕ =

ψ ψ

Gelenkfigur

( )1 abhängig ( )1 unabhängig

1vn =

2 1 3g vn n nϕ= + = + =

EA = ∞


2. Beispiel

1 ...1,D K

1nϕ =

Gelenkfigur 0vn =

1gn =

3. Beispiel

2nϕ = 0vn =2g vn n nϕ= + =

1 ...1,D K ...2

2,D K


Abhängige Verschiebungen: Bei abhängigen Knotenverschiebungen erhält man einen systemabhängigen Zusammenhang. Nur eine davon ist unabhängig oder frei wählbar:

1l

2l3l 1ψ

2ψ 3ψ

1u 2u 3u u=

1 2, u gegeben u u u= =

11

ul

ψ = 22

ul

ψ = 33

ul

ψ =

1vn = 1 2 und sind abhängige Knotenverschiebungen!

1v

u un

⇒=

Abhängige Knotenverdrehungen: Bei starren Scheiben oder biegestarren Stäben können die Knotenverdrehungen von den Knotenverschiebungen abhängen.

4.3.3 Behandlung statisch bestimmter Tragwerksteile Für die Handrechnung ist es sinnvoll, statisch bestimmte Tragwerksteile durch ihre Wirkung auf das Restsystem zu eliminieren und nicht als geometrisch unbestimmte Tragwerksteile einzuführen. Dies ist zwar nicht notwendig (z.B. bei Computerrechnungen), reduziert aber den Rechenaufwand bei Handrechnungen.


• Beispiel Kragarm

F

a

F a⋅

F

• Beispiel Pendelstütze

F

l2

l2

EA ≠ ∞

StützeF

Stütze

EAcl

=

F

l2

l2

EA = ∞

/ 2F

/ 2F

• Beispiel Fachwerk

w

l

2w l⋅


4.4 Bestimmung der Steifigkeiten kiK

kiK - Versteifungskräfte 0iK - Last- bzw. Nullzustand ( 0kD = ) kiK - Einheitsverschiebungszustände ( 1kD = )

Die Steifigkeiten kiK können aus dem Knotengleichgewicht bestimmt werden:

kK1

kK2

kK3

ϕ

z

xy

}

1

2

3

00

0

k

k

k

H KKräfte

V K

M K Moment

⎫∑ = → ⎪⎬

∑ = → ⎪⎭

∑ = →

Bemerkung: Bei EA = ∞ können die Versteifungskräfte 1

kK und 2kK mit dem PvV bestimmt werden.

Damit kann man komplizierte Komponentenzerlegungen der Längs- und Querkräfte bei schrägen Stabanschlüssen vermeiden.

kK1

kK2

kK3

kK1 aus PvV kK2 aus PvV kK3 aus M∑

Als virtuelle Verschiebungsfigur kann die verschobene Gelenkfigur verwendet werden.


EA = ∞




Andere Möglichkeit zur Bestimmung von kiK :

Lastzustand:

0=kD :

02K

01K

8

2p

81Fh

−

0

01K

PvV:

14

−

02K

F12

0

10

10

11

( )0 02 2

1 1 11 10 10 0 10 2 4 4 2

FK F K kN⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ − + − ⋅ − = ⇒ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Hinweis: nur Stabendmomente und äußere Lasten leisten Arbeiten!

01K über 0=∑M 02K über PvV

0=∑M : 2 2

0 01 11 10 35

8 8 8 8p h p FhK F K kN⎛ ⎞− − − ⋅ = ⇒ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠


Einheitsverformungszustände: 11 =D :

11K

sEI

sEI

sEI sEIKM 3:0 1

1 ==∑ PvV:

14

−

12K 11

sEI

sEI

sEI

12 sEI⋅

13

ssss EIKEIEIEIK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅+⋅

31

830

31

41

41

211 1

212

12 =D : Analog!


4.5 Bestimmung der Verläufe der Schnittgrößen Aus dem VV erhält man die Knotenmomente (Stabendmomente). Aus den Knotenmomenten können die Verläufe der Schnittgrößen Q und N bestimmt werden. Hier für den Lastfall „konstante Streckenlast“ bzw. „Gleichlast“.

Biegemomente (VZ nach VK II!!) Superposition: Stabendmomente + Momente am Balken auf 2 Stützen

ijM−jiM

i j

p

+

2

8pl

+

ijM−jiM

i j=

−

2

8pl

+

− −

l

(Einhängen der 8

2p - Parabel)

Querkräfte (VZ nach VK II!!)

jiMijM

ijQ jiQ

i j

l

Verlauf der Querkräfte: Stabendquerkräfte + Verlauf der Querkräfte am Balken auf 2 Stützen

i j

p

+

i j

=

l2pl

2pl

−

+

−

++

ijQ− jiQ

Stabendquerkräfte jiij

ij

MMQ

+−=

jiij

ji

MMQ

+=


}

Normalkräfte (VZ nach VK II!!) Die Normalkräfte werden aus dem Knotengleichgewicht bestimmt.

i j

k

ijN

kjN

ijQ

kjQ

4.6 Bestimmung der Verläufe der Verformungsgrößen Aus dem VV erhält man die Knotenverformungsgrößen. Falls diskrete Verformungsgrößen an einer beliebigen Stelle zu bestimmen sind, kann der Reduktionssatz bzw. das PvK verwendet werden. Falls die Verläufe der Verformungsgrößen zu bestimmen sind, kann die ω -Tabelle verwendet werden: aus ω -Tab. beim Verformungslastfall

( )xV 0 : Verformungsgrößen am geometrisch bestimmten Hauptsystem ( )xV M : elastische Verformungsgrößen (Änderungen gegenüber dem geom. bestimmten

Hauptsystem)

} ( ) ( ) ( )xVxVxV M 0+=

ijNH ⇒=∑ 0

kjNV ⇒=∑ 0

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