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Zeitdiskrete Regelsysteme Kap. 5 _________________________________________________________________________________ 1 5. Kapitel Analyse von zeitdiskreten Regelkreisen 5.1 Problemstellungen In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Analyse und Synthese von Reglern in einigen Regelkreisstrukturen. Die zeitdiskreten Regelkreise, die wir in diesem Kapitel behandeln, bestehen aus einer zeitkontinuierlichen Regelstrecke und einem mit einem Digitalrechner realisierten zeit- diskreten Regler. Zur Anpassung der Signale der Regelstrecke an den zeitdiskreten Regler ist am Eingang der Regelstrecke ein Digital-Analog-Umsetzer erforderlich und am Ausgang der Regelstrecke, genauer am Sensorausgang (den wir hier zeitkontinuier- lich annehmen, es gibt aber Ausnahmen), ein Analog-Digital-Umsetzer (Bild 5.1). Wei- terhin gelten die grundsätzlichen Annahmen, die schon im 4. Kapitel bei der Behandlung des Abtast- und Haltevorganges gemacht wurden: Das Abtastintervall ist konstant. Die Abtastung (Umsetzung) der Ein- und Ausgangsgröße erfolgt gleichzeitig (synchron). Die durch den A/D-Umsetzer und D/A-Umsetzer erfolgte Quantisierung der einzelnen Größen wird vernachlässigt, ebenso werden die durch die endliche Arithmetik des Rechners verursachten Rechenfehler vernachlässigt. In ma- thematischer Form: Der Wertebereich aller zeitdiskreten Signale sind die reel- len Zahlen. Weisen die Umsetzer eine ausreichend hohe Auflösung auf, z.B. 12 Bit (2 12 =4096 Stufen) oder mehr, so können die Effekte, die durch die Quantisierung entstehen, häufig vernachlässigt werden. Die Verzögerungszeiten, die durch die Umsetzzeiten des A/D-Umsetzer und des D/A-Umsetzer verursacht werden, sowie die Rechenzeiten des Rechners werden zunächst vernachlässigt, können aber relativ einfach mit Hilfe der voll- ständigen z-Transformation behandelt werden (ebenso wie eine Totzeit in der Regelstrecke). An den Regelkreis werden grundsätzlich folgende Forderungen gestellt: 1. Stabilität des Regelkreises. Diese steht bei dem Reglerentwurf im Vordergrund. Die Stabilität ist eine Mindestvor- aussetzung und ist unter allen Betriebszuständen zu sichern. Im Abschnitt 5.7 werden wir die prinzipiellen Voraussetzungen für die Stabilität von Regelkreisen untersuchen. 2. Verringerung der Wirkung der von außen auf die Regelstrecke einwirkenden Störungen (äußere Störungen). Einer der Gründe, eine Regelung einzusetzen, ist die Beeinflussbarkeit des Störverhal- tens, das mit einer Steuerung nicht beeinflussbar ist. Bei den zeitdiskreten Regelkreisen mit einer abgetasteten zeitkontinuierlichen Regelstrecke kommt erschwerend hinzu, dass durch die Verletzung des Abtasttheorems durch die Störsignale die Aliaskompo- nenten zusätzliche Störsignale erzeugen, die durch die Regelung nicht kompensiert werden können. Durch die Wahl der Abtastzeit, oder durch eine entsprechende Dimen- sionierung des Antialiasingfilters (Bild 5.1) lässt sich dieser Effekt reduzieren. Der gro- ____________________________________________________________________ Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka SS 2007

5. Kapitel Analyse von zeitdiskreten Regelkreisen · thematischer Form: Der Wertebereich ... CPF Zz Lz GzG z ... Bild 5.4b (c 2=1) Die Rampenfolge

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Zeitdiskrete Regelsysteme Kap. 5

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5. Kapitel Analyse von zeitdiskreten Regelkreisen 5.1 Problemstellungen In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Analyse und Synthese von Reglern in einigen Regelkreisstrukturen. Die zeitdiskreten Regelkreise, die wir in diesem Kapitel behandeln, bestehen aus einer zeitkontinuierlichen Regelstrecke und einem mit einem Digitalrechner realisierten zeit-diskreten Regler. Zur Anpassung der Signale der Regelstrecke an den zeitdiskreten Regler ist am Eingang der Regelstrecke ein Digital-Analog-Umsetzer erforderlich und am Ausgang der Regelstrecke, genauer am Sensorausgang (den wir hier zeitkontinuier-lich annehmen, es gibt aber Ausnahmen), ein Analog-Digital-Umsetzer (Bild 5.1). Wei-terhin gelten die grundsätzlichen Annahmen, die schon im 4. Kapitel bei der Behandlung des Abtast- und Haltevorganges gemacht wurden:

• Das Abtastintervall ist konstant. • Die Abtastung (Umsetzung) der Ein- und Ausgangsgröße erfolgt gleichzeitig

(synchron). • Die durch den A/D-Umsetzer und D/A-Umsetzer erfolgte Quantisierung der

einzelnen Größen wird vernachlässigt, ebenso werden die durch die endliche Arithmetik des Rechners verursachten Rechenfehler vernachlässigt. In ma-thematischer Form: Der Wertebereich aller zeitdiskreten Signale sind die reel-len Zahlen. Weisen die Umsetzer eine ausreichend hohe Auflösung auf, z.B. 12 Bit (212=4096 Stufen) oder mehr, so können die Effekte, die durch die Quantisierung entstehen, häufig vernachlässigt werden.

• Die Verzögerungszeiten, die durch die Umsetzzeiten des A/D-Umsetzer und des D/A-Umsetzer verursacht werden, sowie die Rechenzeiten des Rechners werden zunächst vernachlässigt, können aber relativ einfach mit Hilfe der voll-ständigen z-Transformation behandelt werden (ebenso wie eine Totzeit in der Regelstrecke).

An den Regelkreis werden grundsätzlich folgende Forderungen gestellt:

1. Stabilität des Regelkreises. Diese steht bei dem Reglerentwurf im Vordergrund. Die Stabilität ist eine Mindestvor-aussetzung und ist unter allen Betriebszuständen zu sichern. Im Abschnitt 5.7 werden wir die prinzipiellen Voraussetzungen für die Stabilität von Regelkreisen untersuchen.

2. Verringerung der Wirkung der von außen auf die Regelstrecke einwirkenden Störungen (äußere Störungen).

Einer der Gründe, eine Regelung einzusetzen, ist die Beeinflussbarkeit des Störverhal-tens, das mit einer Steuerung nicht beeinflussbar ist. Bei den zeitdiskreten Regelkreisen mit einer abgetasteten zeitkontinuierlichen Regelstrecke kommt erschwerend hinzu, dass durch die Verletzung des Abtasttheorems durch die Störsignale die Aliaskompo-nenten zusätzliche Störsignale erzeugen, die durch die Regelung nicht kompensiert werden können. Durch die Wahl der Abtastzeit, oder durch eine entsprechende Dimen-sionierung des Antialiasingfilters (Bild 5.1) lässt sich dieser Effekt reduzieren. Der gro-

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ßen Bedeutung wegen werden wir an einem Beispiel diesen Effekt im Abschnitt 5.4 un-tersuchen.

3. Verbesserung des statischen Verhaltens (die statische Genauigkeit und Linea-rität wird verbessert) und des dynamischen Verhaltens. Weist z.B. eine Regel-strecke schwingendes Verhalten auf, so kann diese durch eine Regelung ge-dämpft werden, oder der Einschwingvorgang des Regelkreises soll unter ein-zuhaltenden physikalischen Grenzen der Regelstrecke (Stellgrößenbeschrän-kung, siehe auch Punkt 5) verringert werden.

Die Beeinflussung des statischen und dynamischen Führungsverhaltens ist eine Stan-dardaufgabe und wird in diesem Kapitel ausführlich durchgeführt.

4. Eine Anzahl von Regelstrecken weist ein prinzipiell instabiles Verhalten auf (z.B. ein horizontal gestreckter Roboterarm oder allgemein exotherme Prozes-se (Verfahrenstechnik)). Die Stabilisierung dieser Regelstrecken erfordert be-sondere Beachtung.

Einige der üblichen Reglerentwurfsverfahren setzen eine stabile Regelstrecke voraus, andere lassen eine instabile Regelstrecke zu. Bei den Voraussetzungen, die an das prinzipielle Verhalten einer Regelstrecke für ein Reglerentwurfsverfahren gemacht wer-den, wird eigens darauf hingewiesen. Damit hängt auch die folgende Problematik zusammen: Bei den Reglerentwurfsverfah-ren kann nicht ausgeschlossen werden, dass der Regler selbst ein instabiles Verhalten aufweist. Der einfachste Fall tritt z.B. bei einer stabilen Regelstrecke auf, bei der statio-när genaues Führungsverhalten, z.B. für eine Sprungfolge, gefordert wird. Dann enthält der Regler einen Summierer, der instabil ist. In anderen Fällen kann bei einer Regelstrecke, auch ohne die Annahmen die auf insta-bile Regler (z.B. Summierer für ein vorgegebenes Fehlerverhalten) führen, durch das Reglerentwurfsverfahren der Regler instabil werden. Hieran knüpft die Frage ob es möglich ist, in der Klasse der die Regelstrecke stabilisierenden Reglern, einen auszu-wählen, der selber stabil ist. Die instabile Regelstrecke und/oder der instabile Regler führt auf sicherheitstechnische Aspekte. Der Regelkreis sei auf Grund der Regelung stabil und durch eine Prozessstö-rung wird der Regelkreis geöffnet (z.B. Sensorausfall). Dann kommt das instabile Ver-halten der Regelstrecke bzw. das des Reglers zur Wirkung. In diesen Fällen ist eine Überwachung des Regelkreises erforderlich, und im Fall einer Störsituation muss die Regelstrecke in einen sicheren Zustand gefahren (gesteuert) werden. Im Falle eines instabilen Reglers ist zu beachten, dass der Zahlenbereich des D/A-Umsetzers von dem der Rechnerarithmetik im allgemeinen verschieden ist. Durch ent-sprechende Prozesszustände (Störgröße oder Führungsgrößenänderung) ist es mög-lich, dass die rechnerinterne Stellgröße größer ist, als die, die der D/A-Umsetzer umset-zen kann, so dass die Begrenzung durch den D/A-Umsetzer wirksam wird. Das hat im Prinzip zur Folge, dass sich der Regelkreis während der Begrenzungsphase wie ein offener Regelkreis verhält. Durch den instabilen Regler wächst die interne Stellgröße stark an und kann nur durch einen entsprechenden Regelfehler abgebaut werden. Das hat zur Folge, dass für einige Zeit die Begrenzung durch den D/A-Umsetzer wirksam bleibt. Durch sogenannte Anti-Windup-Maßnahmen kann dieser Zustand vermieden werden. Im Kapitel 6 werden wir darauf eingehen.

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5. Stellgrößenbeschränkung.

Da durch den D/A-Umsetzer die Stellgröße in jedem Fall begrenzt ist, sollte die Stell-größe für die üblichen Prozesszustände einen bestimmten Wert nicht überschreiten, um die nichtlineare Wirkung dieser Begrenzung zu vermeiden. In einigen Reglerentwurfs-verfahren lässt sich direkt oder indirekt die maximal zulässige Stellgröße berücksichti-gen.

6. Viele Regelstrecken weisen ein langsam zeitabhängiges Verhalten auf (z.B. durch Verschleiß oder Alterung) oder besitzen Unsicherheiten bezüglich ihrer Eigenschaften (z.B. unvollständige Modellierung der Regelstrecke).

Eine Regelung soll die Wirkung der Änderung der Prozesseigenschaften oder die Wir-kung von Abweichungen vom Nominalverhalten verringern (innere Störungen). Das soll heißen: Bleiben die Abweichungen einer Regelstrecke innerhalb vorgegebener Gren-zen, sollte zum einen die Stabilität des Regelkreises gesichert sein und auch zum ande-ren das Verhalten des Regelkreises in vorgegebenen Grenzen bleiben: Robustheit des Regelkreises. Dieser Punkt wird nur am Rande behandelt, er überschreitet die Ziele dieses Skriptes. 5.2 Analyse des Standard-Regelkreises 5.2.1 Bezeichnungen In diesem Kapitel betrachten wir hauptsächlich zwei Standard-Regelkreisstrukturen. Das ist erstens der gemischt zeitkontinuierliche - zeitdiskrete Standardregelkreis, der insbe-sondere die zeitkontinuierlichen Signale beinhaltet, und zweitens der zeitdiskrete Stan-dardregelkreis, der nur die zeitdiskreten Signale beinhaltet.

ReglerGC(z)

D/A-Umsetzer

A/D-Umsetzer

r(k)

y(k)

u(k)y(t)∼uH(t)

y(t)~~

da(t)~

n(t)∼

de(t)~

AntialiasingFilter GF(s)~

ProzeßGP(s)~

Bild 5.1 Der gemischt zeitkontinuierliche –zeitdiskrete Standard-Regelkreis

r(k) u(k)

de(k) da(k)

y(k)ProzeßGP(z)

e(k) ReglerGC(z)

n(k)FilterGF(z)

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Bild 5.2 Der zeitdiskrete Standard-Regelkreis

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In den Strukturen (Bild 5.1, Bild 5.2) sind:

r k( ) die zeitdiskrete Führungsgröße ~( )y t die physikalische Regelgröße ~~( )y t die gefilterte Regelgröße y k( ) die zeitdiskrete (gefilterte) Regelgröße ( )n t die zeitkontinuierliche Messstörung ( )n k die zeitdiskrete Messstörung ~ ( )d te die zeitkontinuierliche Eingangsstörung d ke ( ) die zeitdiskrete Eingangsstörung ~ ( )d ta die zeitkontinuierliche Ausgangsstörung d ka ( ) die zeitdiskrete Ausgangsstörung u tH ( ) die zeitkontinuierliche Stellgröße u k( ) die zeitdiskrete Stellgröße

~ ( )~ ( )~ ( )

G sZ sN sPP

P= die Prozess-Übertragungsfunktion (s-Bereich), bzw.

G zzz

G ss

zZ zN zP

P

P( ) P

~ ( )( )

( )( )

=−

=

1Z im z-Bereich

( )( )( )

FF

F

Z sG sN s

= das zeitkontinuierliche Antialiasing-Filter (einschließlich der

Sensor Übertragungsfunktion)

( )( )( )

FF

F

Z zG zN z

= das zeitdiskrete Antialiasing-Filter (einschließlich der

Sensor Übertragungsfunktion)

G zZ zN zCC

C( )

( )( )

= die Regler Übertragungsfunktion

( ) ( ) ( )1( ) ( )

( )P F PF

PFPF

G s G s Z zzG z zz s N

⋅−= =

Z

z

die erweiterte Prozessübertragungsfunktion (statt GPF(z) auch GP(z) falls ohne ) FG (s)

0

0

( )( ) ( ) ( )( ) C PF

Z zL z G z G zN z

= = ⋅

die Schleifenübertragungsfunktion.

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5.2.2 Die Gleichungen des Standard-Regelkreises mit einem Freiheitsgrad 5.2.2.1 Der gemischt zeitkontinuierliche zeitdiskrete Regelkreis Diese Struktur (Bild 1) ist insofern von Bedeutung, da die Regelaufgabe im allgemeinen an der zeitkontinuierlichen Regelgröße formuliert wird. Es ist daher von großem Interes-se die Effekte zu studieren, die durch die zeitdiskrete Regelschleife auftreten. Diese Ef-fekte werden in den späteren Abschnitten untersucht. Hier werden wir die zeitkontinuier-liche Regelgröße im Laplace-Bereich berechnen. Dabei tritt die eigentümliche Schwie-rigkeit auf, dass die zeitkontinuierlichen Eingangsgrößen mit diskretisiert werden müs-sen, und sich daher keine Übertragungsfunktion angeben lässt. Die Bezeichnungen sind aus dem letzten Abschnitt übernommen. Die Regelgröße sel-ber wird mit den Methoden des Abschnittes 4.7 berechnet. Regelgröße bezüglich der Führungsgröße:

**

* *

( ) ( ) ( )( ) ( )1 ( ) ( )P H C

PF C

G s G s G sY s R sG s G s

=+

(In diesem Ausnahmefall lässt sich eine Übertragungsfunktion angeben)

Regelgröße bezüglich der Ausgangsstörgröße:

**

* *

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( )P H C

a aPF C

G s G s G sY s D s D sG s G s

⊗= −+

( ) ( ) ( ) ( )a FD z D s G s z⊗ = Z

( )*( ) AsTa aD s D e⊗ ⊗=

Regelgröße bezüglich der Eingangsstörgröße:

**

* *

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )P H C

P e ePF C

G s G s G sY s G s D s D sG s G s

⊗= −+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e P FD z D s G s G s z⊗ = Z

( )*( ) AsTe eD s D e⊗ ⊗=

Regelgröße bezüglich der Sensorstörung:

**

* *

( ) ( ) ( )( ) ( )1 ( ) ( )P H C

PF C

G s G s G sY s N sG s G s

⊗=+

( ) ( ) ( ) ( )FN z N s G s z⊗ = Z

( )*( ) AsTN s N e⊗ ⊗= 5.2.2.2 Der zeitdiskrete Standard-Regelkreis Diese Übertragungsfunktionen werden gemäß Bild 2 berechnet. Führungsübertragungsfunktion:

0

( ) ( )( )( )( ) 1 ( )

C PG z G zY zT zR z G

= =+ z

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Ausgangsstörübertragungsfunktion:

0

( ) 1( )( ) 1 ( )Daa

Y zT zD z G z

= =+

Eingangsstörübertragungsfunktion:

0

( )( )( )( ) 1 ( )

PDe

e

G zY zT zD z G z

= =+

Sensor-Störungs-Übertragungsfunktion:

0

0

( )( )( )( ) 1 ( )N

G zY zT zN z G z

−= =

+

Das Führungs- und Störverhalten sind damit eng miteinander verknüpft, denn es gilt:

( ) ( ) ( ) 1 .( ) ( ) ( ) 1( )

bzwDa F

TeF

P

T z G z T zT z G z T zG z

+ =

+ =

Daher besitzt dieser Regelkreis nur einen Freiheitsgrad. Den Regelkreis mit zwei Frei-heitsgraden behandeln wir im nächsten Abschnitt. 5.2.3 Struktur und Gleichungen des Standard-Regelkreises mit zwei Freiheitsgraden Die Struktur nach Bild 5.3 ist der Standard-Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden:

r(k) y(k)

da(k)

u(k)GC(z)GV(z)

de(k)

GP(z)

GF(z)n(k)

Bild 5.3 Zeitdiskreter Standard-Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden

Das Störverhalten hat sich nicht geändert, aber das Führungsverhalten lautet nun:

0

( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 ( )

P FV

G z G zY zT z G zR z G

= =+ z

.

Damit kann das Führungsverhalten, unabhängig von dem Störverhalten, vorgegeben werden. Bei dieser Struktur wird zuerst das Störverhalten mit GC(z) festgelegt und dann das Führungsverhalten mit GV(z). Es gibt noch weitere Strukturen mit zwei Freiheitsgraden. Im 6. Kapitel wird eine wichti-ge weitere Struktur mit zwei Freiheitsgraden behandelt.

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5.2.4 Testfolgen zur Beurteilung von Regelkreisen Um das Verhalten eines Regelkreises zu beurteilen, werden stellvertretend für die rea-len, am Regelkreis auftretenden Führungs- und Störsignale, Testsignale verwendet. Als Testsignale werden üblicherweise die folgenden Folgen eingesetzt: Sprungfolge

-2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sprungfolge

Bild 5.4a (c1=1)

Die Sprungfolge wird als Testfunk-tion eingesetzt, wenn die Füh-rungs- oder Störgröße im wesentli-chen konstant ist (Festwertrege-lung) und sich nur gelegentlich än-dert. Im Regelfall ist der Ein-schwingvorgang abgeschlossen, bevor ein erneuter Sprung auftritt. Die mathematische Darstellung lautet:

r k c k R zc zz

( ) ( ) ( )= ↔ =−11

Z.

Rampenfolge

-2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Rampenfolge

Bild 5.4b (c2=1)

Die Rampenfolge wird als Test-funktion hauptsächlich dann einge-setzt, wenn die Führungs- oder Störgröße in weiten Bereichen eine konstante Geschwindigkeit besitzt (Folgeregelung). Dieser Fall tritt beispielsweise beim RADAR als Führungsgröße auf. Die mathematische Darstellung lautet:

( )r k c k k R zc zz

( ) ( ) ( )= ↔ =−22

21σ

Z.

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8

Parabelfolge

-2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Parabelfolge

Bild 5.4c (c3=2)

Die Parabelfolge wird als Testfunk-tion hauptsächlich dann eingesetzt, wenn die Führungs- oder Störgrö-ße durch die Rampenfolge nicht ausreichend gut beschrieben wird (Folgeregelung). Die mathematische Darstellung lautet:

( )

r kc k

k

R zc z zz

( ) ( )

( )( )

.

=

↔ =+

32

33

21

2 1

σ

Z

Harmonische Schwingung Viele Störgrößen lassen sich in guter Näherung durch wenige Glieder einer Fourier-Reihe darstellen, weshalb die Sinusfolge als Basisfunktion eine große Bedeutung be-sitzt (siehe Abschn. 2.1). Als Testfunktion für die Führungsgröße tritt sie seltener auf. Die mathematische Darstellung lautet:

( ) ( )r k c k k R z cz

z z( ) ( ) sin ( )

sin( )cos

= ⋅ ↔ =− +4 0 4

02

02 1σ Ω

Ω

ΩZ .

Rauschen

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Zufallsfolge

Bild 5.4d

In vielen Bereichen treten regel-lose Signale als Führungs- oder Störgröße auf. Diese Signale wer-den nicht analytisch durch die Wer-tefolge beschrieben, sondern durch ihre Wahrscheinlichkeits-dichte bzw. durch ihre Momente. Das sind im allgemeinen der Er-wartungswert, die Varianz und die Korrelationsfolgen. Die Behand-lung dieser Signale setzt einen über dieses Skript hinausgehen-den mathematischen Apparat vor-aus, der den vorgesehenen Rah-men sprengen würde.

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5.3 Führungsverhalten In diesem Abschnitt behandeln wir das Führungsverhalten unter mehreren Aspekten. Zunächst wird das asymptotische Verhalten bezüglich verschiedener Testfunktionen behandelt. Das asymptotische Verhalten ist relativ gut zu übersehen, und es spielt bei den Anforderungen an das Führungsverhalten von Regelkreisen eine wichtige Rolle. Außerdem wird bei dieser Gelegenheit das Prinzip des internen Modells formuliert, das ermöglicht die Bedingungen an die Schleifenübertragungsfunktion zu formulieren, die zu einem verschwinden des asymptotischen Regelfehlers auch für kompliziertere Füh-rungsgrößen und Störgrößen führt. Anschließend wird der Effekt behandelt, der durch die zeitdiskrete Regelschleife ent-steht. Hier wird die Bedeutung der Steifenbedingung für das Führungsverhalten klar, die im Abschnitt 4.6.1 behandelt wurde. Werden für das Führungsverhalten eines Regelkreises Anforderungen formuliert, so müssen diese in Bedingungen an die Führungsübertragungsfunktion umgewandelt wer-den. Hier wird das zeitkontinuierliche Verhalten eines Systems als Vorbild genommen und eine entsprechende zeitdiskrete Übertragungsfunktion hergeleitet. Insbesondere wird das so genannte dead-beat-Verhalten diskutiert. 5.3.1 Das asymptotische Verhalten Für bestimmte Testfunktionen - das sind im allgemeinen die Sprungfolge, die Rampen-folge und manchmal auch die Parabelfolge - wird für den asymptotischen Regelfehler ein maximaler Fehler vorgegeben. In vielen Fällen wird gefordert, dass er Null ist. Für den Standardregelkreis nach Bild 1 wollen wir hier den asymptotischen Regelfehler be-rechnen. Für weitere Regelkreisstrukturen wird diese Berechnung in den entsprechen-den Abschnitten durchgeführt. Wir setzen zur Vereinfachung die Sensorübertragungs-funktion GF(z)=1. Der Regelfehler lautet:

0

0 0

( ) 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )1 ( ) 1 ( )G zE z R z Y z R z R zG z G z

= − = − = + +

mit 00

0

( )( ) .( )

Z zN z

=G z

Der asymptotische Regelfehler wird mit dem Grenzwertsatz der z-Transformation be-rechnet:

( ) ( )1 0 1 0

0

1lim ( ) lim ( 1) ( ) lim ( 1) ( )1 ( )k z z

e e k z E z z RG z∞ →∞ → + → +

= = − ⋅ = − +

z

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10

e zN z

Z z N z

zz

zTz

T z zz

z

A

A

∞→ +

= −+

+−

lim ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

1 0

0

0 0

2

2

3

1

1

1

12 1

(Sprungfolge)

(Rampenfolge)

(Parabelfolge)

eN z

Z z N z

z

zTz

T z z

z

z

A

A

∞→ +

=+

+

lim( )

( ) ( )( )

( )

( )

1 0

0

0 0

2

2

1

1

2 1

(Sprungfolge)

(Rampenfolge)

(Parabelfolge)

Damit der Fehler Null werden kann, muss in dem Produkt von Prozess- und Reglernen-nerpolynom N0(z) der Faktor (z-1) ausreichend oft enthalten sein. Für die Ergebnisse, die in der folgenden Tabelle zusammengefasst sind, setzen wir voraus, dass in dem Produkt von Prozess- und Reglerzählerpolynom Z0(z) der Faktor (z-1) nicht enthalten ist. Wir erhalten dann: Tabelle 1 N z N z z0 0 1( ) ( ) ( )= ⋅ −∗ λ Regelfehler e∞ für die Testfunktion: Sprungfolge Rampenfolge Parabelfolge

λ=0 NZ N

0

0 0

11 1( )

( ) ( )+ ∞ ∞

λ=1 0 T NZA 0

0

11

∗ ( )( )

λ=2 0 0 T NZA2

0

0

11

∗ ( )( )

λ≥3

0 0 0

Der Faktor 1/(z-1)λ in der Schleifenübertragungsfunktion stellt λ die Anzahl der Summie-rer dar, sie sind das zeitdiskrete Gegenstück zu den zeitkontinuierlichen Integrierern.

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5.3.2 Die allgemeinen Bedingungen für das asymptotische Verschwinden des asymptotischen Regelfehlers Will man für andere als für die oben untersuchten Testfunktionen den asymptotischen Regelfehler zu Null machen, so erhält man die Forderungen an die Schleifenübertra-gungsfunktion durch folgende Überlegung:

r(k) e(k)

d(k)y(k)

G0(z)

Bild 5.5

Damit y(k)=r(k) (mit dem Regelfehler e(k)=0) und der Schleifenübertragungsfunktion G0 (z) zumindest asymptotisch möglich ist, muss r(k) eine Eigenbewegung des durch G0(z) be-schriebenen Systems sein (internal model principe)! Mit einem anfänglichen Regelfehler e(k) wird eine Eigenbewegung, die gleich Führungsgröße ist, angeregt, so dass

asymptotisch e(k)=0 ist und daher y(k)=r(k) folgt. Für die Schleifenübertragungsfunktion

00

0

( )( )( )

Z zG zN z

=

erhält man die Fehlerübertragungsfunktion bezüglich der Führungsgröße zu:

( )0 0

0 0 0,

1

( ) ( )1( )1 ( ) ( ) ( )ER n

cl kk

N z N zT zG z Z z N z z z∞

=

= = =+ + −∏

,

wobei (k=1...n) die Polstellen des Regelkreises sind, die selbstverständlich inner-halb des Einheitskreises liegen.

zcl k,∞

Sei nun die Führungsgröße:

r k R zz

z zR( ) ( )↔ =

− ∞

Z,

so lautet der Regelfehler:

( )E z

N z

z z

zz z

Ez

z zE

zz z

cl kk

nR

kcl kk

n

RR

( )( )

,,

=−

⋅−

=−

+−∞

=

∞ ∞=

∏∑0

1

1.

Bei der Partialbruchzerlegung wurde angenommen, dass alle Polstellen einfach sind und die Eingangsgröße auch nur einen Pol enthält. Durch eine etwas umfangreichere Rechnung kann man auch diese Fälle mit mehrfachen Polstellen berücksichtigen. Der Partialbruchkoeffizient zu der Führungsgröße ER berechnet sich (mit den obigen Annahmen) zu:

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12

( ) ( )E

z z

N z

z z

N z

z z

N zZ z N zR

R cl kk

nR

R cl kk

nR

R R=

→ −

=

−=

+∞ ∞

=

∞ ∞

=

∞ ∞

∏ ∏lim

( ) ( ) ( )( ) ( )

, ,

0

1

0

1

0

0 0.

Ist ER Null, was bedeutet, dass • die Führungsgröße im Regelfehler nicht mehr enthalten ist, • wegen der (angenommenen) asymptotischen Stabilität des Regelkreises der

Einschwingvorgang asymptotisch nach Null strebt, so verschwindet asymptotisch der Regelfehler. Das ist aber nach der obigen Rechnung dann der Fall, wenn das Nennerpolynom der Schleifenübertragungsfunktion die Polstel-le der Eingangsgröße als Nullstelle enthält:

N z N z z zR0 0( ) ~ ( )( )= − ∞ . Also: besitzt das System mit G0(z) als Übertragungsfunktion die Führungsgröße als Ei-genbewegung, dann ist für diese Führungsgröße der asymptotische Regelfehler Null. Enthält beispielsweise dieses System einen Oszillator mit der Frequenz Ω0, so lässt sich für eine harmonische Schwingung mit der Frequenz Ω0 der Regelfehler asymptotisch exakt zu Null machen. Auf diese Weise kann auch eine harmonische Störgröße d(k)=sin(Ω0k) asymptotisch exakt unterdrückt werden. Obwohl G0(z) einen Oszillator enthält, also instabil ist, kann durch geeignete Wahl des Reglers der Regelkreis trotz-dem stabil sein! 5.3.3 Effekt der zeitdiskreten Regelschleife auf die zeitkontinuierliche Regelgröße Die Probleme, die durch eine ungünstige Wahl der Abtastzeit auftreten können, offenba-ren sich bei der Betrachtung des gemischt zeitkontinuierlichen - zeitdiskreten Regelkrei-ses. Das folgende Beispiel demonstriert die Probleme, die durch ungünstige Wahl der Ab-tastzeit d.h. durch Verletzung der Streifenbedingung auftreten können. Beispiel:

Regelstrecke: 1

2

21( )1 2 ( / ) ( / ) 0.1

n

n n

sekG s mit

d s s dω π

ω ω

− == + + =

Polstellen: ( ) ( )2 11,2 01 2 0.1 0.995ns d j d j j sω ρ ω π∞ −= − ± − = − ± = ± ek

Abtastzeiten: TA1=0.2sek TA2=(0.2+1π/ω0)sek=0.70252

TA3=(0.2+2π/ω0)sek=1.205sek TA4=(0.2+4π/ω0)sek=2.2101sek

Bei der Abtastzeit von TA ≥ TAG=π/ω0 =0.50252sek ist die Streifenbedingung verletzt.

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13

Dieses System ist schwach gedämpft. Da die Information über die Regelgröße nur zu den Abtastzeitpunkten zur Verfügung steht, ist bei einer ungünstigen Wahl der Abtast-zeit mit einem zunächst unerwarteten Verhalten der zeitkontinuierlichen Regelgröße zu rechnen. In den folgenden Bildern ist die zeitkontinuierliche und die zeitdiskrete Füh-rungssprungantwort r(k)=σ(k) (jeweils Bild a) und die zugehörige Stellgröße (jeweils Bild b) dargestellt. Der Regelkreis ist nach einem im 6. Kapitel beschriebenen Verfahren so entworfen wor-den, dass ein dead-beat Verhalten des geschlossenen Kreises auftritt. Dabei wurde durch einen Reglerpol bei z=1 erreicht, dass der stationäre Regelfehler für eine sprung-förmige Führungsgröße Null wird. Somit erreicht die Regelgröße bei einer sprungförmi-gen Führungsgröße in jedem der 4 Fälle in exakt 2 Schritten den Endwert 1. Vorab soll bemerkt werden, dass der Entwurf auf ein dead-beat Verhalten des Regel-kreises, wie er in diesem Beispiel durchgeführt wurde, nicht unbedingt auf ein Ein-schwingvorgang der Regelgröße oder auf eine Stellgröße führt, der in der Praxis immer akzeptiert werden kann. In diesen Beispielen soll die Wirkung der Verletzung der Streifenbedingung auf den Ein-schwingvorgang der zeitkontinuierlichen Regelgröße demonstriert werden. Die Eigenfrequenz der Regelstrecke, die in der folgenden Diskussion eine Rolle spielt, beträgt

2 10 1 2 0.995n d sω ω π ek −= − = ⋅ ,

d.h. die Periodendauer der Eigenschwingung beträgt 02 / 1.005PT sekπ ω= = .

Bild 5.6a Bild 5.6b

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14

Bild 5.7a Bild 5.7b

Bild 5.8a

Bild 5.8b

Bild 5.9a

Bild 5.9b Bei der Abtastzeit von TA1=0.2sek (Bild 6) ist die Streifenbedingung nicht verletzt, und im Einschwingvorgang der Regelgröße spielt die Eigenfrequenz keine entscheidende

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15

Rolle. Die großen Stellgrößenausschläge führen zu der erkennbaren starken Regelgrö-ßenänderung, deren Wert nur in Abständen der Abtastzeit erfasst wird, was den Ein-schwingvorgang erklärt. Dieser Einschwingvorgang wird dominiert durch die Forderung nach einem dead-beat Verhalten des Regelkreises. Bei den nun folgenden Abtastzeiten ist die Streifenbedingung verletzt. Bei der Abtastzeit von TA2=0.70252sek (Bild 7) ist die Eigenschwingung der Regelstre-cke gut schon erkennbar und führt so zu dem Einschwingvorgang des Regelkreises, der durch die Eigenschwingung der Regelstrecke dominiert wird. Bei den Abtastzeiten von TA3=1.205sek (Bild 8) und TA4=2.2101 (Bild 9) ist die Eigen-schwingung der Regelstrecke stark ausgeprägt und bestimmt, wie bei der Abtastzeit TA2, wesentlich den Einschwingvorgang der Regelgröße. In diesem Fall spricht man von ‘hidden oszillation’, also einem der abgetasteten Regelgröße verborgenen Schwingvor-gang. Das Verhalten der zeitkontinuierlichen Regelgröße bei den Abtastzeiten TA2, TA3 und TA4 ist durch die Verletzung der Streifenbedingung (Abschnitt 4.6.1) begründet. Zwischen zwei Abtastwerten können sich eine halbe Periode (TA2), eine Periode (TA3) bzw. zwei Perioden (TA4) der Eigenschwingung der Regelstrecke ausbilden, ohne dass die Rege-lung eingreift. 5.3.4 Vorgabe des dynamischen Verhaltens des Regelkreises Als nächstes wird das dynamische Verhalten eines Regelkreises beurteilt. Das ge-schieht im allgemeinen an den Polstellen des Regelkreises, die sich bei einigen Ent-wurfsverfahren automatisch einstellen, z.B. bei den empirischen Einstellregeln für Reg-ler, also erst nachträglich bekannt sind, oder direkt vorgegeben werden, wie bei dem Polvorgabeverfahren, das im 6. Kapitel behandelt wird. Die Polstellen-Konfiguration des Regelkreises sollte einige Bedingungen erfüllen, damit der Regelkreis ein vernünftiges Verhalten aufweist.

t0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tr

üIms

ωn

Res-dωn

ω0=ωn 1-d2

Bild 5.10 Bild 5.11

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16

Hierzu stellen wir noch einmal die Bezeichnungen zusammen und verweisen auf die Zusammenhänge für Systeme 2. Ordnung, die auch für andere Systeme zumindest nä-herungsweise gelten:

ü ed

d=−

π

1 2 und 0.9 2 für ca. 0.3<d<0.8n rt dω ≈ + mit den Bildern 10 und 11, in denen die Kenngrößen ωn und d der s-Ebene und ü und tr der Sprungantwort des Regelkreises verdeutlichen werden.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ωn=0.1π

Ωn=0.2π

Ωn=0.3π

Ωn=0.4πΩn=0.5πΩn=0.6π

Ωn=0.7π

Ωn=0.8π

Ωn=0.9π

Ωn=π

d=0

d=0.2

d=0.4

d=0.6

d=0.8

Imz

Rez

Bild 5.12

Polstellen in der s-Ebene Kenngrößen Bezeichnungen s d j dn n∞ = − ± −ω ω 1 2 ωn

d -Kennkreisfrequenz -relative Dämpfung

s j∞ = − ±ρ ω0 ρ ω= d n ω ω0

21= −n d -absolute Dämpfung

-Schwingkreisfrequenz Polstellen in der z-Ebene Kenngrößen Bezeichnungen

z e e

e

e

s T d T j T d

d j d

j

A n A n A

n n

∞ − ±

− ± −

− ±

= =

=

=

∞ ω ω

α

1

1

2

2

0

Ω Ω

Ω

− Ωn nT

A= ω

α = d nΩ

Ω Ω021= −n d

-Normierte Kennkreisfrequenz

-Normierte absolute Dämpfung

-Normierte Schwingkreisfrequenz

• Es sollte die relative Dämpfung der Polstellen ausreichend groß sein. Aus den Bildern

10 und 12 ist zu entnehmen, dass die Polstellen mit konstanter relativer Dämpfung in der s-Ebene auf logarithmischen Spiralen in der z-Ebene liegen. Es gilt für sie:

( )e n d j dΩ − + −1 2

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17

worin Ωn die normierte Kennkreisfrequenz und zugleich der Kurvenparameter ist.

• Der Einschwingvorgang sollte relativ zur Abtastfrequenz nicht zu lange dauern. Diese Zeit wird durch die absolute Dämpfung r1=e-α ausgedrückt (z.B. r1=0.6).

• Die normierte Schwingkreisfrequenz sollte für keine der Polstellen den Wert Ω0=π überschreiten, da dann die Streifenbedingung verletzt ist, wodurch sich das Ein-schwingverhalten der zeitkontinuierlichen Regelgröße ~y(t) und der zeitdiskreten Re-gelgröße y(k) wesentlich unterscheiden (Abschn. 4.6.1 und das Beispiel im Abschnitt 5.3.3). Für ein gutes Störverhalten des Regelkreises ist häufig ein viel kleinerer Wert für Ω0 angebracht (siehe Abschnitt 5.4), z.B. Ω0≈π/10.... π/4.

Fasst man diese drei Forderungen zusammen, erhält man das im Bild 5.13 schraffierte Gebiet. Es zeigt qualitativ, in welchem Bereich die Polstellen eines Regelkreises liegen sollten, wobei noch weitere Beschränkungen möglich sind, wie z.B. durch das Störver-halten. Eine gewisse Sonderstellung nehmen Regelkreise ein, die ein FIR-Verhalten (Finite Im-pulse Response) aufweisen. Diese Regelkreise sind insofern interessant, da sie einen endlich andauernden Einschwingvorgang aufweisen. Sie werden als Regelkreise mit „Dead-Beat-Verhalten“ bezeichnet und besitzen die Führungsübertragungsfunktion:

T zZ zzRN( )( )

= .

Allerdings wird dieses Verhalten häufig mit einer physikalisch nicht möglichen oder nicht zulässigen Stellgröße erkauft, was an dem Cartoon (Bild 16) verdeutlicht werden soll.

Imz

Rezr=1

r1

r=e α-Ω0

Bild 5.13 Zulässiges Gebiet für die Polstellen des Regelkreises

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18

T

Für die Vorgabe des Führungsverhaltens gibt es eine einfache Methode, die bei realisti-schen Abtastzeiten zu einer geeigneten Führungsübertragungsfunktion des zeitdiskre-ten Regelkreises führt. Ausgangspunkt ist eine Wunsch-Übertragungsfunktion eines zeitkontinuierlichen Regelkreises. Für diesen Regelkreis werden die Polstellen bestimmt und mit der Formel (die u.a. bei der exakten Diskretisierung mit einem Halteglied 0-ter Ordnung auftritt)

z s A∞ ∞= exp( )

in Polstellen der zeitdiskreten (Wunsch-) Übertragungsfunktion transformiert. Die Nullstellen können allerdings im Voraus nicht festgelegt werden, da sie durch den Regler mit bestimmt werden. Das ist durch die folgende Rechnung einzusehen. Die Führungsübertragungsfunktion lautet (Abschnitt 5.2.2.1):

00

0

( )( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) 11 ( )

( )( )( ) , ( ) ,( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

folgt:

C P F

CPP C

P C

C P T

C P C P T

G zT z G z G z G z G zG z

Z zZ zG z G zN z N z

Z z Z z Z zT zZ z Z z N z N z N z

= =+

= =

= =+

=

Das Zählerpolynom der Regelstrecke ist bekannt, das Zählerpolynom des Reglers ist aber im vornherein nicht bekannt, so dass man über das Zählerpolynom der Regelstre-cke keine Aussage machen kann. Bei dem Entwurf lassen sich die Reglernullstellen nicht vollständig vorgeben, wie noch im 6. Kapitel gezeigt wird. Das bedeutet, dass man mit dieser Methode nur die Polstellen des Regelkreises vorgibt, also die Nullstellen von NT(z). Ein konstanter Faktor bei T(z) wird so gewählt, so dass die Verstärkung 1 wird, d.h. es ist T(1)=1. Das bedeutet, dass für eine sprungförmige Führungsgröße der stationäre Regelfehler Null ist. Damit liegt eine für den zeitdiskreten Regelkreis geeignete Führungsübertragungsfunk-tion vor, die aber in vielen Fällen noch modifiziert werden muss. Darüber wird noch be-richtet. 1. Beispiel: Zeitkontinuierliche Übertragungsfunktion des Regelkreises:

12 21 2

2 2 2 1 21 2

1( )( ) (1 )( ) ,( )( ) 2 (1 ) (1 ) 0.5

nn

n n

seks s sekT ss s s s s d s s s sek sek d

ωωω ω

−∞ ∞ −

∞ ∞ − −

=− −= = = ⇒ − − + + + + =

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19

( )( )

11

1 1

12 21

0.5 1 3 exp( ) 0.707 0.327exp( ) 0.707 0.3270.5 1 3 0.5

A

AA

s j sek z s T jz s T js j sek T sek

∞ −∞ ∞

∞ ∞∞ −

= − + = = +⇒

= = −= − − =

Damit lautet die zeitdiskrete Führungsübertragungsfunktion:

T zz z zz z z z

zz z

( )( )( )( )( )

.. .

.=− −− −

=⋅− +

∞ ∞

∞ ∞

1 1 019270 065 1414

1 2

1 22

Bild 5.14

Mit den Faktoren 1 2(1 )(1 )z z∞ ∞− −

im Zähler erreicht man, dass für eine sprungförmige Führungsgröße der asymptotische Regelfehler Null ist. Das Bild 14 zeigt den Vergleich zwischen der Sprungantwort des zeitkontinuierlichen Wunschsystems und dem so approximierten zeitdiskreten Systems. 2. Beispiel Zeitkontinuierliche Wunschübertragungsfunktion:

3 22

1 1( )( ) 2( ) 2( )

2 1 (1 )n n

T ss sek s sek s seks sd sT

ω ω

= =1⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ + +

( )( )

( )( )

1

2

3

111

12 2

1 13 3

0.606510.5 0.8660 0.7069 0.32680.5 0.8660 0.5 0.7069 0.3268

A

A

A

s T

s T

s TA

z es seks j sek z e js j sek T sek z e j sek

∞∞ −

∞ − ∞

∞ − ∞ −

= = = − = − + ⇒ = = + = − − = = = −

Damit lautet die zeitdiskrete Führungsübertragungsfunktion:

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20

3 2

0.0758( )2.0204 1.4641 -0.3679

T zz z z

=+ +

Bild 5.15

Das Bild 15 zeigt den Vergleich zwischen der Sprungantwort des zeitkontinuierlichen Wunschsystems und dem so approximierten zeitdiskreten Systems.

Bild 5.16 Die Vorzüge des dead-beat Verhaltens eines Temperaturregelkreises

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21

5.3.5 Stellverhalten bezüglich der Führungsgröße Das Stellverhalten eines Regelkreises ist eine sehr wichtige praktische Nebenbedin-gung beim Entwurf eines Regelkreises.

R(z)Regel-

Einrichtung

U(z)

Y(z)GP(z)

Bild 5.17

Für eine allgemeine Regelkreisstruktur der Form im Bild 17 lässt sich die Stell-übertragungsfunktion:

G zU zR zRU ( )( )( )

=

durch die Führungsübertragungsfunktion und die Prozessübertragungsfunktion ausdrü-cken zu:

G zU zR z

U zY z

Y zR z

T zG zRUP

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

= = ⋅ = .

Diese Stellübertragungsfunktion ist unabhängig von der Regelkreisstruktur, sie hängt nur von der Regelstrecken-Übertragungsfunktion und von der Führungsübertragungs-funktion des Regelkreises ab. 5.4 Störverhalten Die Regelstrecke, wie auch die Störgrößen sind zeitkontinuierlich. Das hierfür relevante Strukturbild zeigt das Bild 5.1. Daher ist bei dem Störverhalten der gemischt zeitkontinu-ierliche - zeitdiskrete und der zeitdiskrete Regelkreis zu betrachten. Die zeitdiskrete Regelstrecke mit der zeitdiskreten Störung kann allein betrachtet wer-den, wenn das Abtasttheorem für die Störgröße nicht (relevant) verletzt wird, d.h. ober-halb der Shannon-Grenze ωA/2 treten keine wesentlichen spektralen Anteile der Stör-größe auf. Der gemischt zeitkontinuierliche - zeitdiskrete Regelkreis muss betrachtet werden, wenn die Störgrößen das Abtasttheorem (relevant) verletzen, d.h. oberhalb der Shannon-Grenze ωA/2 treten noch wesentliche spektrale Anteile der Störgröße auf. Das Ausgangsstörverhalten eines gemischt zeitkontinuierlichen - zeitdiskreten Regel-kreises wollen wir an einem Beispiel demonstrieren. Hierzu vergleichen wir diesen Re-gelkreis mit einem zeitkontinuierlichen Regelkreis, mit gleicher Regelstrecke und je ei-nem Regler, so dass das Führungsverhalten etwa vergleichbar ist.

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22

Zuvor untersuchen wir wie bei einem Regelkreis die Verringerung der Wirkung von Stö-rungen zustande kommt. Dieser Gedankengang ist hilfreich um zu verstehen, wie das Störverhalten des gemischt zeitkontinuierlichen – zeitdiskreten Regelkreises zu verste-hen ist. Hierzu betrachten wir das Bild 18.

R=0

DX Y

G0

Bild 5.18

Zunächst berechnen wir die fiktive Ausgangsgröße X der Regelstrecke mit der Störgrö-ße D als Eingangsgröße. Dabei lassen wir das Argument der Übertragungsfunktionen und der Signale weg, setzen später s oder jω ein.

0

01GX DG

=+

(1)

Die Regelgröße lautet dann: Y D X= − (2)

0

0 0

111 1GY DG G

= − = + +

D (3)

Zur Interpretation dieser Formeln nehmen wir an, dass für das betrachtete Argument (z.B. jω) der Betrag von G0 sehr groß gegen 1 ist. Dann ist nach Formel (1) X geringfü-gig kleiner als X. Aus Formel (2) geht dann hervor, dass dann Y sehr klein sein muss. D.h., die Verringerung der Wirkung der Störung auf die Regelgröße kommt durch eine Kompensation der Störgröße D und fiktiver Regelstrecken Ausgangsgröße X zustande. Die Gleichung (3) zeigt das Ergebnis dieser Kompensation. Es ist die im Abschnitt 5.2.2.1 angegebene Formel für das Ausgangsstörverhalten.

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23

Beispiel:

Zeitkontinuierlicher Regelkreis

r(t) GC(s) GS(s)

d(t)

y(t)

Bild 5.19

~ ( )

( )

G ssT

T se

G ssTs

k

T

S

C

=+

=

=+

11

1

31

Führungsverhalten

T ssT

r t t sek( )/, ( ) (=

+= −

11 3

1σ )

Bild 5.15 Sprungantwort0 2 4 6 8 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t/sek

Bild 5.20

Störverhalten

( )

( )

( )

T ssTsT

T jT

T

d t t t sek

T j

D D

D

( )//, ( )

/

/

( ) sin ( )

( )/

/.

=+

=+

= =

=+

=

31 3

3

1 332

2

1 20844

2

1 11

1 2

ωω

ω

ω σ ω π

ωπ

π

Bild 5.16 Störverhalten0 2 4 6 8 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/sek

d=Störung

y=Ausgangs-größe

Bild 5.21

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24

Der gemischt zeitkontinuierliche - zeitdiskrete Regelkreis wird nach dem im Abschnitt 4.7 beschriebenen Verfahren untersucht.

r(k)GC(z) D/A

A/Dy(k)

y(t)~

d(t)~

GS(s)~

Bild 5.22

( )

~ ( ) ,

( ) ,

( )

( ) ,

( ) ( ) ( )

( )

G ssT

T sek T sek

G za

z aa e

G ses

G zaz az

G z G z G zz

T z z

S A

S

H

sT

C

S C

A

=+

= =

=−−

=

=−

=−

⋅−−

= =−

=

11

1 1

1

1

11 1

11

1

0

1

D / A Umsetzer

Führungsübertragungsfunktion(der Führungssprung beginnt bei k=1!)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t/sekBild 5.23

Ausgangsstörverhalten

~ ( ) ~ ( ) ( )( )

( )Y(s)=D(s)-G s G s G e

G eD sH S C

sT

sT

A

A

⋅ ⋅+

1 0

( )d t t t sek1 1 113

2( ) sin ( )= = −ω σ ω π

0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t/sek

y= Ausgangs-größe

d=Ausgangs-störung

Bild 5.24

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25

Interpretation: Auf die zeitkontinuierliche Ausgangsgröße y(t) wirkt in beiden Beispielen die Ausgangs-störung, die bei diesem zeitkontinuierlichen Regelkreis nur schwach unterdrückt wird. Bei dem gemischt zeitkontinuierlichen - zeitdiskreten Regelkreis wird offensichtlich die Störung noch verstärkt. Ursache hierfür ist der Abtastvorgang, bei dem weitere Spektral-linien im Abstand vielfacher der Abtastfrequenz entstehen. Am Ausgangsgrößenzeitver-lauf y(t) (Bild 24) ist das klar zu erkennen. Die Störschwingung hatte die Periode T1=4/3 sek (ω1=3π/2 sek-1), die Periodendauer der Ausgangsgröße ist T2=4 sek. Auf die zeit-kontinuierliche Regelgröße wirkt die Ausgangsstörung d1(t)=d sin(ω1 1t). Durch die Abtas-tung (TA=1 sek) entstehen nun weitere Frequenzen im Abstand kωA. Wir betrachten hier nur die Frequenzen, die im Bereich -ωA < ω < ωA liegen (Bild 25). Das ist die ursprüngli-che Störfrequenz ω1 und die neue Frequenz ω2=ωA-ω1=π/2 sek-1 bzw. -ω2=ω1-ωA=-π/2 sek-1(ωA=2π sek-1). Aus Bild 25 entnimmt man, dass es sich um d2(t)=-sin(ω2t) handelt.

ωωΑ−ωΑ

-ω1

ω1-ω2

ω2−ωΑ_2

ωΑ_2

−ωΑ

ωΑ

S(ω)

-jπ/TA -jπ

jπ jπ/TA sin( )ωω ω

te e

j

j t j t

=−

2

Bild 5.25 Zum Entstehen neuer Frequenzen

Für die ursprüngliche Frequenz ω1 erhält man den Frequenzgang:

~ ( )( ) ~ ( ) (

( )T j

G j G j G eG ed

H S Cj T

j T

A

A1 11 1

01

1

1

ω ω ω

ω= −⋅ ⋅+

).

Der Frequenzgang für die in den Grundbereich hineingespiegelte Störung mit der Fre-quenz ω2 lautet jedoch:

~ ( )( ) ~ ( ) (

( )T j

G j G j G eG ed

H S Cj T

j T

A

A2 22 2

0

2

21ω

ω ω ω

ω= −⋅ ⋅+

) .

Diese Übertragungsfunktion erhält man, wenn beachtet wird, daß die Spektrallinie mit der neuen Frequenz ω2 im Abtaster (D/A-Umsetzer) entsteht und nicht an der Stelle, wo die Ausgangsstörung in den Regelkreis eingreift. Damit entsteht am Ausgang (zeitkontinuierliche Regelgröße) eine zusätzliche Störung mit der Frequenz ω2 und der Amplitude ~ ( )d T j dd2 2 2= ω 1 . Die vorzeichenrichtige Überla-

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gerung beider Anteile ergibt (näherungsweise, da noch weitere Anteile auftreten) das Bild 24. Diese, bei Verletzung des Abtasttheorems in den Grundbereich hineingespiegelte Stö-rung wird nicht unterdrückt, denn die für diese Frequenz wirksame Übertragungsfunkti-on ist die negative Führungsübertragungsfunktion

~ ( ) ~( )T j T jd 2 2 2ω ω= − ( ~( )T s ist die Führungsübertragungsfunktion von nach R s∗ ( ) ~( )Y s ). Es gibt zwei Auswege. 1. Durch die Wahl der Abtastfrequenz wird gesichert, dass keine wesentlichen Störgrö-

ßen das Abtasttheorem verletzen. 2. Durch Einfügen eines Antialiasingfilters, gemäß Bild 5.1, wird gesichert, daß die Stör-

komponenten, die das Abtasttheorem verletzen, mit diesem Filter ausreichend unter-drückt werden. Nachteilig ist aber der Umstand, dass dieses Filter in der Regelschlei-fe liegt und beim Reglerentwurfsprozeß berücksichtigt werden muss.

5.5 Einfluss der Sensorübertragungsfunktion und Sensorstörungen auf den Regelkreis (Fehlt noch) 5.6 Die Stabilität zeitdiskreter Regelkreise Die Stabilität eines Regelkreises ist die wichtigste Eigenschaft, die gefordert werden muss. Wir führen zunächst im folgenden den Begriff der internen Stabilität ein. Wir zeigen wei-ter, welche Bedeutung diese Regelkreiseigenschaft besitzt, und welche grundlegenden Reglerentwurfsbedingungen sich daraus ableiten lassen. Dabei muss beachtet werden, dass die interne Stabilität für jede Regelkreisstruktur gesondert untersucht werden muss. Die Idee der internen Stabilität ist nun folgende: Da an irgendeiner Stelle des Regelkrei-ses Eingangsgrößen (Nutz- oder Störgrößen) auftreten können und an jedem Eingangs- Ausgangspaar des Regelkreises Stabilität herrschen muss, müssen alle denkbaren Übertragungsfunktionen des Regelkreises stabil sein.

Ein Regelkreis heißt intern stabil, wenn alle möglichen unabhängigen Übertra-gungsfunktionen dieses Regelkreises BIBO-stabil sind.

Wir interpretieren und untersuchen diesen Begriff als erstes am Standardregelkreis, der mit den hierfür notwendigen Ein- und Ausgangsgrößen im Bild 5.26 dargestellt ist.

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27

Anschließend untersuchen wir die interne Stabilität an einer speziellen Struktur mit zwei Freiheitsgraden, die wir dann bezüglich der internen Stabilität mit dem Standardregel-kreis vergleichen. 5.6.1 Interne Stabilität des Standard-Regelkreises

X1(z)

U1(z)

Regel-Strecke-

Regler

U2(z)

X2(z)

GC(z) GP(z)

Bild 5.26 Der modifizierte Standardregelkreis

zum Nachweis der internen Stabilität Wir stellen der Übersicht wegen die Übertragungsfunktionen des Standardregelkreises nach Bild 26 in Matrixform dar:

X zX z

G z G zG z G z

U zU z

G zG z G z G z G zG z G zG z G z

G zG z G z

U zU

P

C P C P

C P

C P

C

C P

1

2

11 12

21 22

1

2

1

2

11

1

1 1

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )(

=

=

+ +−+

−+

z)

.

Diese vier Übertragungsfunktionen stellen alle möglichen Übertragungsfunktionen die-ser Regelkreisstruktur dar. Stellvertretend für alle Regelkreisübertragungsfunktionen stehen die Übertragungsfunk-tionen, die sich durch die im Bild 26 verwendeten Ein- und Ausgangsgrößen ergeben, und zugleich alle möglichen Variationen darstellen, die in dieser Regelkreisstruktur mög-lich sind.

Mit dem Regler: G zZ zN zCC

C( )

( )( )

=

und der Regelstrecke: G zZ zN zPP

P( )

( )( )

=

folgt dann:

X zX z

N z Z zZ z Z z N z N z

N z N zZ z Z z N z N z

Z z Z zZ z Z z N z N z

Z z N zZ z Z z N z N z

C P

C P C P

C P

C P C P

C P

C P C P

C P

C P C P

1

2

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

+ +−

+−

+

U zU z1

2

( )( ) .

Dann gilt die Aussage:

Der Standard Regelkreis ist genau dann intern stabil, wenn alle Übertra-gungsfunktionen in der obigen Übertragungsmatrix BIBO-stabil sind.

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28

Als erste und wichtigste Bedingung folgt hieraus, dass das Nennerpolynom der Übertra-gungsfunktionen des Regelkreises

N z Z z Z z N z N zR C P C P( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + ein Polynom ist, bei dem alle Nullstellen innerhalb des Einheitskreises liegen. Dies ist eine notwendige Bedingung für die interne Stabilität des Standard Regelkreises, die durch das Reglerentwurfsverfahren gesichert wird. Interessant sind nun diejenigen Situ-ationen, unter denen ein Reglerentwurf trotzdem einen instabilen Regelkreis liefern kann. Die entscheidende Rolle spielen Kürzungen von Pol- oder Nullstellen der Streckenüber-tragungsfunktion, die wir nun diskutieren werden. Dabei wollen wir drei Fälle betrachten: • A. die Regelstrecke ist stabil und ist ein Minimalphasensystem (Standardfall) • B. die Regelstrecke ist stabil und ist kein Minimalphasensystem • C. die Regelstrecke ist instabil und ist kein Minimalphasensystem Diese drei Fälle werden im weiteren auch mit Fall A, B, C bezeichnet. Wegen der Unsi-cherheit der Lage der Pol- und Nullstellen durch die Unsicherheiten des Prozessmo-dells, vereinbaren wir ferner, dass eine Übertragungsfunktion ‘praktisch’ ein stabiles System darstellt, wenn für alle Polstellen gilt: z∞ < −1 ε und sie ‘praktisch’ ein Minimumphasensystem darstellt, wenn

für alle Nullstellen gilt: 0 1 0mit und kleinz ε ε< − > .

D.h., liegen die Pol- und Nullstellen außerhalb eines Kreises mit einem Radius geringfü-gig kleiner 1, so handelt es sich ‘praktisch’ um ein instabiles System, bzw. um ein Nichtminimumphasensystem. In diesem Sinne sind die drei obigen Fälle gemeint! Wie groß ε gewählt wird, kann nur durch die realen Bedingungen festgelegt werden. Es wird vereinbart, dass Polynome mit Nullstellen z z0 1, ∞ ≥ − ε als oberen Index ein + erhal-

ten und Polynome mit z z0 1, ∞ < − ε ein - Zeichen. Die Übertragungsfunktionen der Regelstrecke und des Reglers lassen sich mit dieser Vereinbarung dann folgendermaßen darstellen:

G zZ z Z zN z N zPP P

P P( )

( ) ( )( ) ( )

=⋅⋅

+ −

+ − Z z N z

Z z N zP P

P P

+ +

− −

( ), ( )

( ), ( )

Nullstellen auf oder außerhalb des Einheitskreises

Nullstellen innerhalb des Einheitskreises

G zZ z Z z Z zN z N z N zCC C C

C C C( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=⋅ ⋅⋅ ⋅

+ + −

+ + −

1 2

1 2 Z z Z z

N z N z

Z z N z

C C

C C

C C

1 2

1 2

+ +

+ +

− −

( ), ( ),

( ), ( )

( ), ( )

Nullstellen auf oder außerhalb des Einheitskreises

Nullstellen innerhalb des Einheitskreises

Hierbei treten die folgenden Polynome auf: • Polynome des Reglers mit dem oberen Index 1+ Polynome, die durch den Regle-

rentwurfsprozeß entstehen und

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29

P

• Polynome mit dem oberen Index 2+, die für die Kürzung mit entsprechenden Poly-nome der Regelstrecke vorgesehen sind.

Für die beiden interessierenden Fälle B und C führen wir folgende Kürzungen durch: Fall B (kein Minimumphasensystem): N z Z zC P2+ +=( ) ( )

Fall C (nicht stabile Regelstrecke und kein Minimalphasensystem) Z z N z N z Z zC P C2 2+ + + += =( ) ( ) ( ) ( )und

Damit lautet die Übertragungsmatrix des Regelkreises (wobei die sich theoretisch kür-zenden Polynome durch Fettdruck hervorgehoben sind): X zX z

G z G zG z G z

U zU z

N z N z z Z zN z

N z N z N zN (z

Z

C C P

R

C C P

R

C

1

2

11 12

21 22

1

2

1 1

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )~ ( )

( ) ( ) ( )~ )

=

=−

− + − − + −

N Z ( z)N ( z) Z ( z)

N ( z) N ( z)N ( z) Z ( z)

C2+

P+

C2+

C2+

C2+

P+

C2+

C2+

( ) ( ) ( )~ ( )

( ) ( ) ( )~ ( )

( )( )z Z z Z z

N zZ z Z z N z

N z

U zU zC P

R

C C P

R

1 11

2+ − − + −−

Z ( z) Z ( z)

N ( z) Z ( z)Z ( z) N ( z)

N ( z) Z ( z)C2+

P+

C2+

C2+

C2+

P+

C2+

C2+

( )

( )

mit N z Z z Z z Z z N z N z N z

N z

N z Z z Z z Z z N z N z N z

Z z N z

N z Z

R C C P C C P

R

R C C P C C P

P+

C

P+

C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ ( )

~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) (

= +

=

= +

=

=

− + − − + −

− + − − + −

+

+

1 1

1 1

2

2

Z ( z) Z ( z) N ( z) N ( z)

N ( z) Z ( z)C2+

P+

C2+

P+

C2+

C2+

z) .

Hieraus lassen sich folgende Fakten ablesen: 1. In der Übertragungsfunktion kürzt sich nicht heraus (Fall

C), der Regelkreis ist nicht mehr intern stabil! G z11( ) Z zC

2+ ( )

2. In der Übertragungsfunktion kürzt sich nicht heraus (Fall B), der Regelkreis ist nicht mehr intern stabil!

G z22 ( ) N zC2+ ( )

3. Die Übertragungsfunktion weist immer noch nichtminimalphasi-ges Verhalten auf, auch wenn nur Nullstellen mit

G z11( )

ZC z( ) zc0 1< − ε auf-

weist und nicht vorhanden sein sollte! N zC1+ ( )

4. Wird nur eine „fast“-Kürzung angenommen, sind alle weiteren Übertra-gungsfunktionen ebenfalls instabil und nichtminimalphasig.

5. Die im Regler zusätzlich angenommenen Polstellen und Null-stellen auf oder außerhalb des Einheitskreises, die möglicher-weise durch den Reglerentwurfsprozess entstehen, haben auf das Sta-bilitätsverhalten keinen Einfluß.

N zC1+ ( )

Z zC1+ ( )

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30

Der Standard Regelkreis (Bild 26) ist genau dann intern stabil, wenn

( )~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N z Z z Z z Z z N z N z N zR C C P C C P= +− + − − + −1 1 nur Nullstellen im Ein-heitskreis aufweist und dass (mit ε≥0) weder die Streckenpolstellen mit zP

∞ ≥ −1 ε noch die

Streckennullstellen mit zP0 1≥ − ε

durch entsprechende Nullstellen bzw. Polstellen des Reglers gekürzt werden (Kür-zungsverbot!). Beispiel Gegeben ist die Regelstrecke:

G zzzP ( ) =−+23

die je eine Nullstelle und eine Polstelle außerhalb des Einheitskreises aufweist. Mit dem Regler werden die Nullstelle und die Polstelle gekürzt. Der Regler lautet:

G zzz zC ( ) .( )

=+−

0532

.

Damit lautet die Übertragungsmatrix für die Struktur nach Bild 26:

X zX z

G zG z G z G z G zG z G zG z G z

G zG z G z

U zU z

z zz z

zz

z

P

C P C P

C P

C P

C

C P

1

2

1

2

11

1

1 1

23 05 050505

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )( . ) ( . )

..

=

+ +−+

−+

=

−+ + +

−+

− 05 32 05

1

2. ( )( )( . )

( )( ) .z

z z

U zU z+

− +

Der Regelkreis mit der Kürzung ist erwartungsgemäß nicht intern stabil. Die Übertra-gungsfunktionen von U2 nach X1 und von U1 nach X2 sind stabil, aber die Übertragungs-funktionen U1 nach X1 und von U2 nach X2 sind instabil. Bei diesen beiden Übertra-gungsfunktionen ist die Kürzung nicht wirksam. 5.6.2 Interne Stabilität der erweiterten Struktur mit zwei Freiheitsgraden Diese Regelkreisstruktur zeichnet sich dadurch aus, dass das Führungs- und Störver-halten völlig unabhängig voneinander vorgegeben bzw. dimensioniert werden kann. Da-bei dürfen sogar für das Führungsverhalten Polstellen der Regelstrecke, die außerhalb des Einheitskreises liegen, gekürzt werden.

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31

GM(z)

GP(z)

GC(z)

DA(z) E(z)

Y(z)

U(z)

Y(z)~

GS(z)R(z)

DE(z)_

Bild 5. 27

Wir legen die Struktur nach Bild 27 mit den dort angegebenen Eingangsgrößen R(z) der Führungsgröße, DE(z) der Eingangsstörung und DA(z) der Ausgangsstörung zugrunde. Die Ausgangsgrößen sind die Regelgröße Y(z), die Stellgröße U(z) und der Modellfehler E(z).

( )

Y zU zE z

G z G z G z G zG z G z

G zG z G z G z G z

G z G z G zG z G z

G z G zG z G z

G zG z G

P s M C

P C

P

P C P C

s M C

P C

P C

P C

C

P C

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) (

=

++ + +

++

−+

−+

1 11

1

1 1 1 zG z G z G z

G z G zG zG z G z G z G z

R zD zD z

s P M

P C

P

P C P C

E

A)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

.

−+ + +

1 11

1

Werden die Übertragungsfunktionen als Quotient zweier Polynome beschrieben:

G zZ zN z

Z z Z zN zP

P

P

P P

P( )

( )( )

( ) ( )( )

= =+ −

, Führungsübertragungsfunktion,

G zZ zN zSS

S( )

( )( )

= , Steuerglied Übertragungsfunktion,

G zZ zN zMM

M( )

( )( )

= , Modellübertragungsfunktion und

G zZ zN zCC

C( )

( )( )

= , Reglerübertragungsfunktion,

so lautet die Übertragungsmatrix, wobei aus Platzgründen die Variable z unterdrückt wird:

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32

( )( )

( )( )

( )

Y zU zE z

Z Z N N Z Z NN N Z Z N N

Z NZ Z N N

N NZ Z N N

N Z N N Z Z NN N Z Z N N

Z ZZ Z N N

Z NZ Z N N

N Z Z N Z N NN N Z

P S M C M C S

S M C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

P S M C M C S

S M C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

C S P M M S P

S M

( )( )( )

=

+

+ + +

+

+

−+

−+

( )C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

E

A

Z N NZ N

Z Z N NN N

Z Z N N

R zD zD z

+ + +

( )( )( )

.

Damit der Regelkreis intern stabil ist, muss gelten: ∆ R C P C P SZ Z N N N N= + , und M haben nur Nullstellen im Einheitskreis. Das bedeutet insbesondere, dass in der Schleifenübertragungsfunktion GC(z)GP(z) keine Kürzung von Pol- und Nullstellen vorgenommen werden dürfen, die nicht innerhalb des Einheitskrei-ses liegen. Das ist bei dem Reglerentwurf für das Störverhalten zu beachten. Zur Dimensionierung dieser Regelkreisstruktur wird GS(z) so bestimmt, dass die Füh-rungsübertragungsfunktion T(z) dieses Regekreises gleich der Modellübertragungsfunk-tion GM(z) ist. Man erhält hierfür:

( )( ) ( )( )

MM

M

Z zG z T zN z

= = und ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

SP MS

M p S

Z zN z Z zN z Z z N z−= =G z

mit ( ) ( ) ( )P P PZ z Z z Z z+ −= , wobei ( )PZ z+ Nullstellen auf und außerhalb des Einheitskreises liegt, daher dem Kür-zungsverbot unterliegt und ( )PZ z− nur Nullstellen innerhalb des Einheitskreises aufweist. Zur weiteren Untersuchung werden die Polynome für die Übertragungsfunktionen GM(z) und GS(z) in die letzte Übertragungsmatrix eingesetzt. Damit die Wirkung einer unvoll-kommenen Kürzung des Nenners bzw. des Zählers der Regelstreckenübertragungs-funktion diskutiert werden kann, werden die kürzenden Teile in GM(z) und GS(z) der Re-gelstrecke mit einem Dach versehen, also:

G z T zZ z Z zN z

Z zN zM

P M

M

M

M( ) ( )

( ) ~ ( )( )

( )( )

= = =+

G zN z Z zN z Z z

Z zN zS

P M

M p

S

S( )

( ) ~ ( )( ) ( )

( )( )

= =− .

Damit erhält man die Übertragungsmatrix:

( )( )

( )( )

Y zU zE z

Z Z N N N Z Z Z N Z

N Z N Z Z N NZ N

Z Z N NN N

Z Z N NN Z N N N Z Z Z N Z

N Z N Z Z N NZ Z

Z Z N N

P M P M C P M C M P

M P M C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

P M P M C P M C M P

M P M C P C P

P C

C P C P

( )( )( )

~ ~

~ ~

=

+

+ + +

+

+−+

+ −

+ −

( )( )

−+

+ + +

+

Z NZ Z N N

N Z N Z N Z Z N N

N Z N Z Z N NZ N

Z Z N NN N

Z Z N N

R zD zD z

C P

C P C P

C M P P M P M S P

M P M C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

E

A~ ~

( )( )( )

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33

( )( )( )( )

Y zU zE z

Z Z N N Z Z Z

N Z Z Z N NZ N

Z Z N NN N

Z Z N NN Z N N Z Z Z

N Z Z Z N NZ Z

Z Z N NZ N

Z Z N NN Z

P M P C P P C

M P C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

P M P C P P C

M P C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

C

( )( )( )

~

~

~

=

+

+ + +

+

+−+

−+

+ −

+ −

( )( )

M P P P P P

M P C P C P

P C

C P C P

C P

C P C P

E

AN Z Z Z N

N Z Z Z N NZ N

Z Z N NN N

Z Z N N

R zD zD z

( )( )( )

+ + +

+ −

.

An dieser letzten Übertragungsmatrix ist erkennbar, dass eine nicht perfekte Kürzung der zu kürzenden Teile der Regelstrecke durch den Zähler des Steuergliedes (Füh-rungsverhalten!) für die interne Stabilität keine Rolle spielt, sofern die schon oben ange-gebenen Bedingungen erfüllt sind. Das Kürzungsverbot für Polstellen der Regelstrecke besitzt also hier keine Gültigkeit. Das Kürzungsverbot für Nullstellen der Regelstrecke, die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen, bleibt jedoch bestehen. 5.7 Die Wirkung von Nullstellen der Regelstrecke außerhalb des Einheitskreises auf das Regelverhalten Die Untersuchung der internen Stabilität des Standardregelkreises führte auf das Kür-zungsverbot: Soll der Standardregelkreis intern stabil sein, so dürfen weder Pol- noch Nullstellen der Regelstrecke, die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen, durch ent-sprechende Null- bzw. Polstellen des Reglers gekürzt werden. Im Abschnitt 5.6.2 wurde für eine spezielle Regelkreisstruktur mit zwei Freiheitsgraden nachgewiesen, dass (für das Führungsverhalten) Polstellen der Regelstrecke, die nicht innerhalb des Einheits-kreises liegen, hier sehr wohl gekürzt werden dürfen. Für alle Regelkreisstrukturen bleibt aber das Kürzungsverbot für Nullstellen, die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen, erhalten. Wie im Abschnitt 4.6.2 beschrieben, entstehen bei der (exakten) Diskretisierung von zeitkontinuierlichen Systemen mit einem Differenzgrad (Nennergrad - Zählergrad) der Regelstrecke größer 1 immer Nullstellen auf oder außerhalb des Einheitskreises. Somit kann man zusammenfassen: Polstellen der Regelstrecke kann man beliebig beeinflussen, entweder durch Kürzung mit Nullstellen des Reglers (sofern zulässig) oder durch Polverschiebung durch die Wir-kung der Regelung. Nullstellen hingegen lassen sich nur durch Kürzung beeinflussen (entfernen), wobei Nullstellen, die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen, grundsätz-lich dem Kürzungsverbot unterliegen. Andererseits entstehen durch (exakte) Diskretisie-rung der zeitkontinuierlichen Regelstrecke häufig Nullstellen auf oder außerhalb des Einheitskreises. Es muss daher untersucht werden, welchen Einfluss Nullstellen auf das Verhalten des Regelkreises besitzen, wobei insbesondere die Wirkung von Nullstellen interessant ist, die nicht innerhalb des Einheitskreises liegen.

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34

k

k

Wir wollen hier nun den Einfluss der Pol- und Nullstellen des Führungsverhaltens auf den Regelfehler, genauer auf die Summe der Regelfehlerwerte, bei einer sprungförmi-gen Führungsgröße untersuchen. Die Summe der Regelfehlerwerte lautet:

S ek

10

==

∑ ( ) .

Diese Summe ist ein gutes Maß für die Qualität des Verhaltens des Regelkreises, so-fern die Regelfehlerwerte nur ein Vorzeichen aufweisen. Ist die Summe Null, so bedeu-tet das, dass ein ideales Verhalten des Regelkreises vorliegt. Bei einer Führungsgröße mit dem Wert 1 lässt sich S1 als die äquivalente Anzahl von Schritten interpretieren, bis der Regelkreis (mit einem konstanten Regelfehler 1) eingeschwungen ist. Allerdings tritt bei der Summe der Regelfehlerwerte eine Schwierigkeit auf. Besitzt der Regelfehler beiderlei Vorzeichen, so hebt sich ein Teil der Summe heraus, wodurch eine kleinere Summe vorgetäuscht wird. Günstiger wäre deshalb die Summe des quadratischen Re-gelfehlers:

S ek

22

0=

=

∑ ( ) .

Leider kann man mit S2 keinen so einfach interpretierbaren Ausdruck wie bei S1 herlei-ten, so dass man die Summe der Regelfehlerwerte zur Diskussion heranziehen muss. Allerdings lässt sich die Summe der quadratischen Regelfehlerwerte S2 zur Optimierung des Einschwingverhaltens heranziehen. Bei diesen Beispielen ist deshalb darauf zu achten, dass der Fehler nur ein Vorzeichen aufweist. Im Bild 28 und 29 sind dafür Beispiele angegeben. Die Übertragungsfunktion mit der negativen Polstelle z∞ = −05. besitzt einen alternierenden Regelfehler, wodurch eine kleinere Regelfehlersumme (S1=0.667) vorgetäuscht wird. Die tatsächliche Regel-fehlersumme (Betrag des Regelfehlers) beträgt ~S1=2 wie bei der Übertragungsfunktion mit der Polstelle bei z . ∞ = 05.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=2

Bild 5.28

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=0.66667

Bild 5.29

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35

Führungsübertragungsfunktion 0.5( )0.5

T zz

=−

Führungsübertragungsfunktion 1.5( )0.5

T zz

=+

Andererseits ist die Regelfehlersumme bei alternierendem Regelfehler eine untere Schranke für die Summe des Betrages des Regelfehlers. Damit besitzt man zumindest eine Abschätzung zur Beurteilung des Einflusses einer Nullstelle. Für die Summe des Regelfehlers wurde im Anhang 1 der folgende Ausdruck hergeleitet:

1 01 1

1 11 1

n m

v vv v

Sz z∞

= =

= −− −∑ ∑ ,

mit den Polstellen (v=1...n) und zv∞

den Nullstellen (v=1...m) der Führungsübertragungsfunktion, zv∞

wobei der Regelkreis stabil vorausgesetzt wurde und der asymptotische Regelfehler für eine sprungförmige Führungsgröße Null ist (damit die Regelfehlersumme endlich bleibt). Aus diesem Ausdruck ist klar erkennbar, dass Polstellen und Nullstellen nahe dem Punkt s=1 eine große Regelfehlersumme verursachen. Bei den Polstellen ist das unmit-telbar einzusehen, da diese das Einschwingverhalten charakterisieren. Hier sollten die Polstellen auch nicht in der Nähe des Punktes z=-1 liegen, da sie die gleiche Wirkung besitzen, wie Polstellen in der Nähe des Punktes z=1, zum Unterschied alterniert das Vorzeichen des Einschwingvorganges. Zur Veranschaulichung der Wirkung von Nullstellen, betrachten wir eine Übertragungs-funktion, bei der die Polstelle bei z∞ = 05. liegt und variieren die Nullstelle.

0

0

1 0.5( )1 0z zT zz z

− −= ⋅

− − .5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=1.6667

Bild 5.30a Nullstelle bei -2 z0 =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=1.5

Bild 5.30b Nullstelle bei z0 = -1

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36

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=1

Bild 5.30c Nullstelle bei 0 z0 =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=-2

Bild 5.30d Nullstelle bei z0 = 0.75

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=-4.6667

Bild 5.30e Nullstelle bei 0.85 z0 =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=8.6667

Bild 5.30f Nullstelle bei z0 = 1.15

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37

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=6

Bild 5.30g Nullstelle bei 1.25 z0 =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

Zeitindex k

Reg

elfe

hler

Regelfehler, Summe des Regelfehlers=3

Bild 5.30h Nullstelle bei z0 = 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Nullstelle

Sum

me

des

Reg

elfe

hler

s

Summe des Regelfehlers bei Variation der Nullstelle

Bild 5.31

Das Bild 31 zeigt für dieses Beispiel, dass eine Nullstelle in der Nähe des Punktes z=1 eine große Regelfehlersumme verur-sacht. Nullstellen innerhalb des Einheits-kreises kann man kürzen, Nullstellen au-ßerhalb des Einheitskreises jedoch nicht, da sonst die interne Stabilität nicht mehr vorhanden ist. Damit verursachen Null-stellen außerhalb des Einheitskreises einen nicht vermeidbaren Regelfehler, denn (reelle positive) Polstellen innerhalb des Einheitskreises erzeugen eine positi-ve Regelfehlersumme, (reelle positive) Nullstellen außerhalb des Einheitskreises aber auch.

Somit kann man zusammenfassen: Nullstellen außerhalb des Einheitskreises verursachen einen Regelfehler (Summe des Regelfehlers), der sich durch keine Maßnahme verringern lässt. Der Fehler ist größer, je dichter die Nullstelle an z=1 liegt.

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38

k

5.8 Aufgaben 1. Aufgabe

Berechnen Sie mit Hilfe des Grenzwertsatzes der Z-Transformation den ersten Stell-größenwert u(0) bezüglich der Führungsgröße in der Standard-Regelkreisstruktur (Bild 5.2 mit GF(z)=1):

( )u uk

( ) lim ( )00

=→

,

und drücken Sie diesen Wert durch die Koeffizienten der Führungsübertragungsfunk-tion T(z) und der Prozeßübertragungsfunktion GP(z) aus.

T zz z

z z zG z

b b z b za a z a z z

mm

mm m P

nn

nn n( ) ( )=

+ + ++ + + +

=+ + +

+ + + +−

−−

−−

−−

δ δ δγ γ γ

0 1 11

0 1 11

0 1 11

0 1 11

2. Aufgabe

Problematik der Kürzung von Pol- und Nullstellen die außerhalb des Einheitskreises liegen:

x(k) v1(k) y(k)G1(z) G2(z)

Struktur 1

x(k) v2(k) y(k)G1(z)G2(z)

Struktur 2 Die beiden Übertragungsfunktionen lauten:

G sz

G zzz1 2

12

2( ) ( )=

−=

Demnach wird in der ersten Struktur die Nullstelle der zweiten Übertragungsfunktion durch eine passende Polstelle in der ersten Übertragungsfunktion gekürzt. In der zweiten Struktur wird die Polstelle der zweiten Struktur durch eine passende Nullstel-le gekürzt. a) Berechnen Sie für die Eingangsfolge σ(k) (in beiden Fällen) die Folgen v1(k), v2(k)

und y(k). Welcher der beiden Fälle ist problematisch? b) Nun wird in der zweiten Struktur die Kürzung nicht exakt ausgeführt. G2(z) laute

nun:

~ ( )G zzz22

=− − ε

Berechnen Sie wieder v2(k) und y(k). Diskutieren Sie den Verlauf in Abhängigkeit von ε.

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3. Aufgabe

Gegeben sei die Regelkreisstruktur nach Bild 5.2 mit

G zzP ( ) = −12

, G zzzC ( ) =−−21

und G z( ) 1F = .

a) Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion T zY zR z

( )( )( )

= und die Sprungant-

wort.

b) Berechnen Sie die Eingangsstörübertragungsfunktion T zY zD zDE

E( )

( )( )

= und die

Sprungantwort.

c) Berechnen Sie die Ausgangsstörübertragungsfunktion T zY zD zDE

E( )

( )( )

= und die

Sprungantwort.

d) Berechnen Sie die Stellübertragungsfunktion T zU zR zU R/ ( )( )( )

= und die Sprungant-

wort bezüglich der Führungsgröße. e) Ist der Regelkreis intern stabil? Begründen Sie die Antwort!

4. Aufgabe (♠)

Ein Standardregelkreis (ohne Vorfilter) ist so dimensioniert worden, dass der asym-ptotische Regelfehler für eine rampenförmige Führungsgröße Null ist. Die Führungs-übertragungsfunktion laute:

~( )( )( )

T zZ zN zT

T= .

Dieser Regelkreis wird durch ein Vorfilter

G zZ zN zVV

V( )

( )( )

=

erweitert, um die Dynamik des Führungsverhaltens zu beeinflussen. Die Übertra-gungsfunktion des Standardregelkreises mit Vorfilter lautet dann:

T z G z T zZ z Z zN z N zVV T

V T( ) ( ) ~( )

( ) ( )( ) ( )

= ⋅ = .

Leiten Sie die Bedingungen an die Polynome ZV(z) und NV(z) des Vorfilters her, damit für eine rampenförmige Führungsgröße der asymptotische Regelfehler Null bleibt. Hinweis: Benutzen Sie die Bedingung:

( )P z P z zdP zdz z

( ) ( )( )*= ⋅ − ⇔ =

=1 02

1.

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40

v

Anhang 1: Berechnung der Regelfehlersumme bei einer sprungförmigen Führungsgröße (Zu Abschnitt 5.7)

Das Ziel der folgenden Überlegungen ist die Berechnung der gesamten Regelfehler-summe, also:

( )s s k ek k v

k

( ) lim ( ) lim ( )∞ = =

→∞ →∞ =∑0

.

Für den Regelfehler für eine sprungförmige Regelgröße gilt:

( )e k E z G zzz

( ) ( ) ( )↔ = −−

Z1

1.

Für die Summe des Regelfehlers:

s k e vv

k

( ) ( )==∑0

folgt im z-Bereich mit dem Summensatz der z-Transformation (Abschnitt 2.5.2):

( )s k S z G zzz

( ) ( ) ( )↔ = −−

Z1

1

2

.

Die Summe des Regelfehlers ist für k→∞ sicher dann unendlich groß, wenn der End-wert der Sprungantwort nicht exakt 1 ist. Nach dem Grenzwertsatz der z-Transformation ist der Endwert der Sprungantwort 1, wenn G(1)=1 ist. Das werden wir deshalb voraus-setzen. Die Führungsübertragungsfunktion möge nun folgende Form aufweisen:

G z Kz z z z z zz z z z z z

KZ zN z

m

n( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

=− − −− − −

=∞ ∞ ∞10

20 0

1 2,

wobei sämtliche Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen. Wegen der Bedingung G(1)=1 liegt auch die Konstante K fest:

G z KZ zN z

NZ

Z zN z

( )( )( )

( )( )

( )( )

= = ⋅11

.

Mit dem Grenzwertsatz der z-Transformation folgt nun: ( ) ( )

( ) ( )

s s k z S z

z G zzz

G zzz

k z

z z

( ) lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) .

∞ = = −

= − −−

= −

→∞ →

→ →

1

1

2

1

2

1

1 11

11

Da nun G(1)=1 ist, besitzt 1-G(z) eine Nullstelle bei 1, die sich mit der Nullstelle bei 1 im Nenner herauskürzt. Zunächst folgt:

( )

( )

s G zzz

N Z zZ N z

zz

z Z N z N Z zZ N z z

z z

z

( ) lim ( ) lim( ) ( )( ) ( )

lim( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

.

∞ = −−

= −

=−

→ →

1

2

1

2

1

2

11

111 1

1 11 1

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Mit der Regel von l’Hospital folgt weiter

( ) ( )( )

( )

sz Z N z N Z z z Z N z N Z z

Z N z z N z

Z N z N Z zZ N z

z

z

( ) lim( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

lim( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ).

∞ =− + ′ − ′

′ − +

=′ − ′

1

2

1

2 1 1 1 11 1

1 11

Im letzten Ausdruck sind alle für die Grenzwertbildung unwesentlichen Teile weggelas-sen worden. Dieser letzte Ausdruck kann nun ausgewertet werden. Exemplarisch wird die Ableitung des Nennerpolynoms gebildet:

( )

( ) ( ) ( )

( )

N z z z

N z z z z zz z

N zz z

vv

n

vvv L

n

L

N

vv

n

vv

n

vv

n

( )

( )

( ) .

= −

′ = − = −−

= ⋅−

=

=≠

=

=∞

=

∞=

∏∑ ∏ ∑

1

11 1 1

1

1

1

Damit erhält man für die Regelfehlersumme:

1

01 1

1

01 1

(1) ( ) (1) ( )( ) lim(1) ( )

1 1(1) ( ) (1) ( )lim

(1) ( )

1 1 .1 1

z

n m

v vv v

z

n m

v vv v

Z N z N Z zsZ N z

Z N z N Z zz z z zZ N z

z z

∞= =

∞= =

′ ′ −∞ =

− − − =

= −− −

∑ ∑

∑ ∑

Also: 01 1

1 1( ) .1 1

n m

v vv vz z∞= =

∞ = −− −∑ ∑s

Dieser Ausdruck ist Ausgangspunkt der Diskussion im Abschnitt 5.7 des Einflusses von Nullstellen der Regelstrecke die außerhalb des Einheitskreises liegen auf den Regelfeh-ler, bzw. auf die Summe des Regelfehlers.

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