1

5 Mechanik starrer Körper

Warum gibt es Atome ?

5.1 „Starre Körper“

Viele Massenpunkte, deren Relativkoordinaten zeitlich konstant sind.

Bei hinreichend großer Zahl von Massenpunkten betrachtet man dasObjekt als „starren Körper“ mit kontinuierlicher Massenverteilung.

Durch die Festlegung der Relativkoordinaten werden die Freiheitsgrade des starren Körpers auf 6 reduziert:

3 Komponenten der Schwerpunktsgeschwindigkeit3 Komponenten des Drehimpulses

Bewegungen starrer Körper werden zerlegt in Translation und Rotation.

2

5.1 Schwerpunkt

Für die Translation des Schwerpunktes gelten die bisher gelernten Gesetze.

Schwerpunkt

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

S

m

rmr

1

1

r

r massengewichtete Durchschnittskoordinate

Erinnerung:

Übergang zu kontinuierlicher Massenverteilung

MassendichteVd

Md=ρ

Gesamtmasse ( )∫=K

dVrMrρ

Schwerpunktsvektor ∫=K

S dMM

rr

rr

5.1 Schwerpunktsbewegung

Der Schwerpunktsbewegung kann noch eine Rotation überlagert sein, wobei jedoch nur Drehachsen durch den Schwerpunkt möglich sind.

Der Schwerpunkt bewegt sich auf einer Parabel (schiefer Wurf)

Gleichzeitig wird eine Drehung ausgeführt

HochsprungSchwerpunkt bleibt unter der Latte

3

5.2 Trägheitsmoment und Rotationsenergie

( ) 2

212

21 rdMvdMEE dM

kindMrot

rr ×=== ω

Rrr ωαωω ==× sinrrrr

2221 RdME dM

rot ω=

Verallgemeinerung für starren Körper: Drehachse

rr

αsinrRr= dM

αωr

Trägheitsmoment eines Massenpunktes 2mrJ = Ursprung in Bewegungsebene !

Dies gilt für starren Körper nicht mehr !

( ) 222

2

1

2

1 ωρω J

J

dVrREK

rot =

=

= ∫43421

rRotationsenergie

( )∫=K

dVRrρJ 2rTrägheitsmoment

5.2 Versuch: Fallmaschine

Geschwindigkeitsmessung mit Lichtschranke

Gewicht100 g

Drehbalken

Potentielle Energie des Gewichtes → Rotationsenergie des Balkens

4

5.2 Versuchsauswertung

hgmJ =2112

1 ω hgmJ =2222

1 ω

mm

∑=

+=2

1

2

iiiBalken RmJJ

21 JJ <

21 ωω >im im

LSLSLS

BalkenLS ttm

m

tR

s

R

vRrv

Jmsmkghgm

∆∆∆∆ωωω 166.0

3.0

05.0

196.02.081.91.0 2

====⇒=×=

=⋅⋅= −

rr

5.2 Trägheitsmoment eines Zylinders

RVd

221

421

0

3

2

max

2

2

max

max

R

V

RM

Rhρπ

dRRhρπ

dV

dRhRπRρJ

=

=

=

=

∫

∫ 43421

hRM 2maxπρ=Gesamtmasse: Zylinderachse = Drehachse

Trägheitsmoment:

5

5.2 Trägheitsmoment einer Kugel

25

0

4

0 0

34

0 0

34

0 0

2

0

2

2

22

2

5

2

53

42

3

42

sin2

sin2

sinsin

RMR

drr

drdr

drdr

drddrr

dVRJ

R

R

R

R

Kugel

Kugel

drdbdadVR

==

=

=

=

=

=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

=

ρπ

ρπ

ϑϑρπ

ϑϑρπ

ϑϕϑϑρ

ρ

π

π

π π

44 344 2143421

R

5.2 Rollen auf der schiefen Ebene

ωrv =

222

22

2

1

2

12

1

2

1

ωω

ω

Jrm

JvmEkin

+=

+=

Jrm

hgmrv

hgmJrm

EE potkin

+=

=+

=

2

222

2

2

1

2

1

∆

∆ωω

∆

Endgeschwindigkeit ist bei gleicher Masse und Abrollradius nur vom Trägheitsmoment abhängig

6

5.2 Steinerscher Satz

Ist das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt

bekannt, ergibt sich für eine andere dazu parallele Achse:

Achse durchSchwerpunkt

andere Achse

ar

iRr

iR′r

∑∑∑

∑

∑

∑

+

=

′+′=

′+′⋅+=

′+=

=

iii

iii

ii

iii

i

iii

iii

maRmaRm

RRaam

Ram

RmJ

22

22

2

2

0

2

)2(

43421

rr

rr

rr

Das Trägheitsmoment bezüglich der neuen Achse:

2aMJJ S += a : Abstand der Achse vom Schwerpunkt

5.3 Drehmoment

ωωω rr ⋅== JJErot 212

21 Rotationsenergie

ωωJ)ωωωω(Jtd

dErot r&r&rrr&r ⋅=⋅+⋅= 21

td

dωJtd

dErot ϕr&r ⋅=

ϕr&r dωJdErot ⋅=

{∫ ⋅

=

= ϕrr&r d

M

ωJErot

:

ω&rr

JM =

{∫ ⋅= sd

F

vmEkin

r

r&ranalog zu:

Aktionsprinzip, analog zu: amvmFr&r

r==

Drehmoment:

7

5.3 Drehmoment und Kraft

ϕrd

rr ϕd s

rd

Achse

Mr

Fr

erhält man ( )rdFdErrr

×⋅= ϕ

( ) ϕrrr

dFrdE ⋅×=

FrMrrr

×=

∫ ⋅= ϕrr

dMErotRotationsenergie

ϕrr

dMdE ⋅=somit gilt:

sdFdErr

⋅=Außerdem gilt

rdsdrrr ×= ϕmit

Kreuzprodukt! Es gilt folglich ebenso:

Somit:

5.3 Gleichgewicht

indifferent

labil

Ein statisches Gleichgewicht ist immer dann vorhanden, wenn ein Körper über längere Zeit seine Lage und seine Form beibehält.

stabilDazu müssen folgende zwei Beziehungen erfüllt sein:

1. Die Summe der Kräfte muss verschwinden

0...1

21 ==+++ ∑=

n

iin FFFFrrrr

2. Die Summe der Momente muss verschwinden

0...1

21 ==+++ ∑=

n

iin MMMMrrrr

→ Hebelgesetze

8

5.4 Drehimpuls eines starren Körpers

prLrrr

×=Drehimpuls einer PunktmasseL

r

[ ] sJsmkgL 11 12 == −r

Drehimpuls eines starren Körpers

Drehimpuls L im allgemeinen nicht parallel zu ω !→ →

( )

( )

( )( )∫

∫

∫

⋅⋅−⋅=

=

××=

×=

V

V

V

dMrrr

Ld

dMrr

dMrvrL

rrrr

44 344 21 r

rrr

rrrr

ωω

ω

2

5.4 Berechnung des Drehimpuls

Drehimpuls Masse m1

SpiegelsymmetrischeMasse m2=m1

Gesamtdrehimpuls ist parallel zu ω.

→

Für Körper die spiegelsymmetrisch zu einer Ebene in der die Drehachse liegt ist der Drehimpuls L parallel zur

Winkelgeschwindigkeit ω.→

→

( ) ( )( ) ( )( )

211

122

11

112

11

11111

sin

cossin

cos

Rm

rrm

Lrrm

LrrmL

ωωω

ωωω

ωω

=

∠=

∠∠=

∠××=

rr

rrrr

rrrrrr

Gesamtdrehimpuls für symmetrischen Körper ( ) JdVRrLV

ωρω == ∫ 2r

9

Bewegungsgleichung für Drehimpuls

5.4 Drehimpuls und Drehmoment

MLr&r =

( ) ( ) MFrFrpvdt

pdrp

dt

rd

dt

Ld rrrrrrrr

rrrr

=×=×+×=

×+

×=

Für Punktmasse auf Kreisbahn gilt:

Für rotierenden starren Körper:

2

2

1 ωJErot = Rotationsenergie

( )dt

dJJ

dt

dJ

dt

dErot ϕωωωωr

&r&rr === 2

2

1Kettenregel, Vektoren !

ϕω r&r dJdErot = ·dt

{∫= ϕω r

r&r d

M

JErot ∫

5.4 Drehimpulserhaltung

Analog zu der Schreibweise des Newtonschen Aktionsprinzips der

Translation:

ergibt sich für Rotation um feste Achse:

Wenn kein äußeres Drehmoment wirkt, bleibt der Drehimpuls

erhalten:

vtd

md

td

vdm

td

pdF

rrrr

+==

ωtd

Jd

td

ωdJ

td

LdM

rrr

r+==

const.LMtd

Ld =⇒==rr

r

0Drehimpulserhaltungssatz

10

5.6 Drehimpuls eines starren Körpers

( )

( )

( )( )

( )∫∫

∫

∫

∫

⋅⋅−⋅=

⋅⋅−⋅=

=

××=

×=

VV

V

V

V

dMrrdMr

dMrrr

Ld

dMrr

dMrvrL

rrrr

rrrr

44 34421 r

rrr

rrrr

ωω

ωω

ω

2

2

Vektorgleichung in Komponenten zerlegen

≠=

=

−=∑ ∫∫

= ji

jimit

J

dMrrdMrL ijjj

ij

V

ji

V

iji 0

1:

3

1

2 δωδ4444 34444 21

Definition: Trägheitstensor ( )∫ −=V

jiijij dMrrrJ 2δ

5.6 NR: Trägheitstensor

( )

ωωωω

δωδ

ωω

ωω

ωω

r

44 344 21

r

4444 34444 21

rr

J

J

JJJ

JJJ

JJJ

L

ji

jimit

J

dMrrdMr

dMrrdMr

dMrrdMr

dMrrdMrL

ijjj

ij

V

ji

V

ij

j V

jij

V

i

V jjji

V

i

V

i

V

ii

ˆ

ˆ

0

1:

3

2

1

333231

232221

131211

3

1

2

3

1

2

3

1

2

2

=

=

≠=

=

−=

−=

−=

⋅⋅−=

∑ ∫∫

∑ ∫∫

∫ ∑∫

∫∫

=

=

=

Trägheitstensor verknüpft Drehachse und Drehimpuls

11

5.6 Beispiel: Trägheitstensor eines Quaders

+−−−+−−−+

=

−= ∫

22

22

22

2

ˆ

yxyzxz

zyzxxy

zxyxzy

j

dM

j

rrrJV

ij

jiijij 43421δ

( )

+=

+=+= ∫ ∫ ∫

− − −12121212

22222

2

2

2

2

2

2211

cbM

cbcbadzdydxzyJ

c

c

b

b

a

a

ρρ

++

+=

22

22

22

00

00

00

12ˆ

ba

ca

cbM

JTrägheitstensor eines Quaders mit homogener Dichte

z

yx

ωL→

→

5.6 Drehung eines Quaders um Raumdiagonale

kgMmcmbma 2,1,3,2 ====

2

22

22

22

1300

050

0010

12

2

00

00

00

12ˆ mkg

ba

ca

cbM

J

=

++

+=

1

1

3

2−

= sradωr

sJJsL

=

=

13

15

20

12

1

1

3

2

1300

050

0010

12

1r

Drehimpuls ist nicht parallel zu Drehachse

Drehimpuls bewegt sich auf einem Kegel

12

5.6 Trägheitsellipsoid

Das Ellipsoid hat drei

Hauptachsen (die senkrecht

zueinander stehen).

Die Trägheitsmomente in

diesen Richtungen nennt man

„Hauptträgheitsmomente“.

Trägheitstensor erlaubt nun die Berechnung des

Drehimpulses für jede Drehachse durch den Schwerpunktωr

rJL ˆ=

Trägt man für jede mögliche Achse durch den

Schwerpunkt auf, erhält man einen Ellipsoid.

J1

ωr

rL

J =

Beispiel: Quader

5.6 Hauptträgheitsmomente

Mit einem kartesischen Koordinatensystem

entlang der Hauptachsen ist der

Trägheitstensor diagonal

Ja, Jb und Jc sind die Hauptträgheitsmomente.

=

c

b

a

J

J

J

J

00

00

00ˆ

Oblates Trägheitsellipsoid

Ein großes und zwei kleine

Hauptträgheitsmomente

Prolates Trägheitsellipsoid

Zwei große und ein kleines

Hauptträgheitsmoment

13

5.6 Freie Achsen

Nach Freigabe der Achse erfolgt die Drehung

um die Richtung von Lr

0d

d =t

Lr

Kräfte wirken nur noch entlang der

Stange (innere Radialkräfte).

Auf die Achse wirkt kein Drehmoment.

Solche Achsen bezeichnet man als

„freie Achsen“

Die eingezeichnete Drehachse kann nur durch

Kräfte auf die Achse beibehalten werden, denn

0d

d ≠t

Lr

Achse

ωr

2m

1m

Lr

kräftefreieAchse

ωr

2m

1m

Lr

5.6 Freie Achsen und Hauptträgheitsmomente

und somit . Lrr

||ω

Der Vektor hat nur eine Komponente, z.B ),0,0( cωω =rωr

Achsen in Richtung der Hauptachsen des Trägheitsellipsoids sind

freie Achsen.

),0,0( ccJL ω=r

oder

Also ist die Achse kräftefrei.

⋅

=

cc

b

a

c

b

a

J

J

J

L

L

L

ω0

0

00

00

00

damit folgt

14

5.6 Stabilität Freier Achsen

Rotationen um die Achse mit dem größten und mit dem kleinsten

Trägheitsmoment sind stabil.

Rotation um die Achse mit dem mittleren Trägheitsmoment ist nicht

stabil.

(kleine Störungen führen zum Torkeln).

5.7 Kreisel

Definition: Ein Kreisel ist ein an einem Punkt P festgehaltener

rotierender starrer Körper

Die Bewegung des Kreisels ist bestimmt durch

seine Massenverteilung (Trägheitstensor)

die Art und Lage des Unterstützungspunktes P

(d.h. durch die auf den Kreisel wirkenden Kräfte )

Daher werden unterschieden:

symmetrischer und unsymmetrischer Kreisel

kraftfreier und schwerer Kreisel

unsymmetrischer Kreisel: 3 unterschiedliche Hauptträgheitsmomente

symmetrischer Kreisel: mindestens 2 gleiche Hauptträgheitsmomente

15

5.7 Versuch: Kugelkreisel

Bewegungsformen mit angeschraubter Achse (schwerer Kreisel):

- langsame Drehung der Drehachse um vertikale Mittelachse

- überlagerte schnelle Kreisbewegung der Drehachse nach „Stoß“

Bewegungsformen ohne Achse (kräftefreier Kreisel):

- Drehachse der Kugel bleibt in Ruhe

- schnelle Kreisbewegung der Drehachse nach „Stoß“

5.7 Kräftefreier symmetrischer Kreisel

symmetrischer Kreisel: o.B.d.A. cba JJJ ≠= → Figurenachse c

kräftefreier Kreisel:

zwei Beispiele zur kräftefreien Lagerung eines Kreisels

reibungsfreie und frei beweglicheUnterstützung der Figurenachse in zwei Punkten die Kräfte (z.B. Schwerkraft) auf Kreisel genau ausgleicht

→ Gyroskop

reibungsfreie direkte Unterstützung des Schwerpunktes

→ Kreisel nach Rozé, „Kleinscher Kreisel“

16

5.7 Nutation des symmetrischen Kreisels

Durch kurze äußere Einwirkung wird ein

Drehimpuls um eine beliebige Achse

übertragen

Richtungen von Drehimpuls,

momentaner Winkelgeschwindigkeit

und Figurenachse sind verschieden

Nach Drehimpulserhaltung ist neuer

Drehimpuls raumfest

Ausgangszustand: seFigurenachωrrL

Figurenachse

ωrLr

aaa JL ω=

ccc JL ω=

a

c

Schwerpunkt

5.7 Nutation

Figurenachse

ωrLr

a

c

Nutationskegel

Rastpolkegel

Die Richtung der Figurenachse kreist um die Drehimpulsrichtung

→ Nutation (Figurenachse bewegt sich auf dem Nutationskegel)

Die Richtung der momentanen Drehachse kreist um die

Drehimpulsrichtung (Rastpolkegel)

Die Bewegung ist notwendig, um Drehimpuls und Energie zu erhalten.

17

Schwerpunkt

5.7 Präzession

Ein Kreisel, auf den äußere Drehmomente (Kräfte) wirken, präzediert.

Insbesondere meint man Drehmomente auf die Figurenachse, die die

Richtung, aber nicht den Betrag des Drehimpulses ändern.

Gewicht GFr

rr

Mr

LMrr

⊥

Lr

dtMLrr

+M

td

Ld rr

=

Bewegung des

Drehimpulses

gemäß

5.7 Präzessionsfrequenz eines sym. Kreisels

( )tLr

Ldr

( )dttL +r

αd

In der Zeitspanne dt hat sich

um dα gedreht, daraus ergibt sich

die Präzessionsfrequenz:

Lr

dt

dP

αω =

Mit wird:L

dLd =α

ωω

ω

ω

J

ML

Mdt

dL

L

P

P

P

=

=

⋅= 1

18

5.8 Zusammenfassung Kapitel 5

5 Mechanik starrer Körper6.1 „Starre Körper“6.2 Trägheitsmoment und Rotationsenergie6.3 Drehmoment6.4 Drehimpuls eines starren Körpers6.5 Anwendungen6.6 Drehimpuls eines starren Körpers6.7 Kreisel

5.8 Literatur

KreiselDavid Himmel,„Theorie und Experimente zum mechanischen Kreisel als Grundlage eines Versuchs im Anfängerpraktikum“ ZulassungsarbeitZulassungsarbeit, 1998, Kölnhttp://www.paehler.org/tim/archiv/extern/david/

Der Stehaufkreisel

http://www.physik.uni-augsburg.de/~wobsta/tippetop/index.shtml.de

Der Büroklammerkreisel – Sakai-Kreisel

Christian Ucke, „Kreisel aus Büroklammern“Physikalische Blätter 54 (1998), 440-442