6. Vektoren, Matrizen und Determinanten file6. Vektoren, Matrizen und Determinanten 6.1 Vektoren Historisch waren „Vektoren a“ Strecken mit Pfeilen, mit deren Hilfe wir kompakt

6. Vektoren, Matrizen und Determinanten

6.1 Vektoren

Historisch waren „Vektoren a“ Strecken mit Pfeilen, mit deren Hilfe wir kompakt die Stärke

und Aktionsrichtung einer Naturgröße angeben können: Die Streckenlänge |a| („Absolutbe-

trag |a|“) entspricht dabei der Stärke und der Pfeil gibt die Richtung an. Solche „Vektoren a“

können gut das Verhalten der Geschwindigkeit v, des Impulses p, des Impulsmomentes

(Drehimpuls) w ... wiedergeben. Der Absolutbetrag der Geschwindigkeit ist die auch auf dem

Tachometer ablesbare Schnelligkeit v = |v|, und jener des Impulsmomentes W die in der

Quantenmechanik so bedeutsame Wirkung(sgröße) W =|W|.

6.1-1 Grundlagen. Da wir mit unseren Messinstrumenten einzig und alleine nur reelle Zah-

lenwerte direkt ermitteln können, müssen wir für die Angabe der Aktionsrichtung dieser rich-

tungsabhängigen Naturgrößen in unserer Lebenswelt zu konstruktiven Hilfsmassnahmen

greifen. Das Baugerüst dazu heißt „mathematischer Raum“. Von diesem mathematischen

Fachbegriff ist der Anschauungsraum unserer Lebenswelt zu unterscheiden. Alles Ausge-

dehnte hat für uns ja Längen x, Breiten y und Höhen z - also Ausdehnung in drei unter-

schiedliche Raumrichtungen, die nicht in einer Ebene liegen. Eine vereinfachte, systemati-

sierte Schreibweise erhalten wir, wenn wir die Namen der drei Ausdehnungsrichtungen ein-

fach durchnummerieren: x = x1, y = x2, z = x3.

Der mathematische „Raum“ macht erst Sinn, wenn wir uns in ihm ebenso orientieren

können wollen wie in unserem Lebensraum. Jeder mathematische Raum benötigt also eine

Struktur, die „Koordinatensystem“ genannt wird samt Verhaltensregeln wie wir dieses benüt-

zen können. Das Ganze heißt „Geometrie“ (oder: „Raumgeometrie“). Das Koordinatensys-

tem besteht aus einer Zahlenachse („Koordinatenachse“) in jeder Raumdimension, wobei

der Abstand zwischen den Marken „0“ und „1“ „Einheit“ genannt wird.

Der euklidische Raum etwa hat drei aufeinander senkrecht stehende gerade Koor-

dinatenachsen (x-, y- z-Achse oder eben einfach k-Achsen (k=1, 2, 3)), von denen immer

zwei in einer Ebene liegen. Er ist daher ein 3-dimensionaler, „ebener“ und „senkrechter“

Raum. Sein Koordinatensystem heißt auch „kartesisch“ (nach seinem Erfinder René Des-

cartes (1596-1650), der latinisiert Cartesius hieß). Spannen die Koordinatenachsen schiefe

Winkel auf, dann erhalten wir einen ebenen, aber schiefwinkeligen Raum. Es können daher

3 beliebige Koordinatenachsen, die nicht in einer Ebene liegen, als Koordinatensystem be-

nutzt werden.

© J.Tomiska 2011: Mathematikskizzen Teil 6 1

6.1-2 Koordinaten. Mit Hilfe eines solchen Koordinatensystems können wir unschwer die

Lage eines jeden Raumpunktes P angeben: Wir legen dazu durch den Punkt P drei Ebenen,

die parallel zu den drei Ebenen sind, die von jeweils zweien der drei Koordinatenachsen auf-

gespannt werden. Die Entfernungen des Nullpunktes von den Schnittpunkten dieser drei Pa-

rallelebenen mit den jeweils freien Koordinatenachsen heißen „Koordinaten des Punktes P“:

Die x1-Koordinate ist also die Entfernung des Nullpunkts vom Schnittpunkt der x1-Achse mit

der Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist. Die x2- und x3-Koordinaten erhalten wir entspre-

chend als Entfernungen des Nullpunkts von den Schnittpunkten der x2-Achse (x3-Achse) mit

der zur x3-x1-Ebene (x1-x2-Ebene) parallel ist.

Haben wir nur zwei Raumrichtungen, so reduziert sich unser Koordinatensystem auf

2 Achsen (x1, und x2) und die Ebenen zu Geraden. Dieser vereinfachte Fall ist im Bild für

zwei Koordinatensysteme (blau und rot) eingezeichnet: Die Entfernungen der Schnittpunkte

der gestrichelten Linien mit den Koordinatenachsen liefern die jeweiligen Punktkoordinaten

(blau und rot). Damit die Zuordnung auch ohne Farbverwendung eindeutig ist, wurden die

Indizes des blauen Systems nicht unten sondern oben geschrieben. Jeder Punkt A wird also

- wie ersichtlich - mit Hilfe eines Zahlenpaares (a1,a2) bzw. (a1,a2) charakterisiert.

6.1-3 Punkte und Vektoren. Wie unser Bild zeigt, kann jede Raumrichtung mit Hilfe der

Verbindungslinie zweier Punkte fixiert werden, von denen der eine Ausgangspunkt (An-

fangspunkt) und der andere Endpunkt genannt wird. Wird der Nullpunkt als Ausgangspunkt


benützt, dann charakterisieren die Koordinaten des Endpunktes gleichzeitig auch die Raum-

richtung. D.h., sowohl Raumpunkte als auch Vektoren werden in der Ebene durch ein Zah-

lenpaar (vgl. mit Bild) und im R3 durch ein Zahlentripel angegeben. Bei Punkten spricht man

dabei von „Koordinaten“ und bei Vektoren von „Komponenten“. In der moderneren Mathema-

tik werden demnach die Vektoren der Ebene (R2) als Zahlenpaare und die des 3-

dimensionalen Raumes R3 als Zahlentripel definiert.

6.1-4 Vektoren im n-dimensionalen Raum Rn. Die durchnummerierte Schreibweise ist

besonders geeignet zur Charakterisierung der Koordinatenachsen von Räumen Rn mit belie-

big vielen Dimensionen n (n = 1,2,3,...). Da jede Koordinatenachse eine eigenständige Di-

mension repräsentiert, darf keine einzige Koordinatenachse eines n-dimensionalen Raums

durch irgendeine Kombination der anderen Achsen entstehen können. Daher sprechen wir

davon, dass alle diese n „Raumdimensionen“ von einander „linear unabhängig“ sein müssen.

Im n-dimensionalen Raum müssen Punkte A durch n Koordinaten, also durch n-

Dupel von Zahlen fixiert werden (A = (a1,a2,...,an)). Dementsprechend werden auch die Vek-

toren a in den n-dimensionalen Räumen Rn durch n-Dupel von Zahlen (Komponenten) defi-

niert (a = (a1,a2,...,an)). Vorstellbar sind für uns allerdings nur Gebilde mit maximal 3 Raum-

dimensionen, wie schon bei Kant nachzulesen ist (Zeit und Raum sind für uns Menschen

Anschauungsformen a priori, also uns vor jeglicher Erfahrung eingeprägte Denkkorsette).

Höher dimensionale (n>3) Gebilde können wir zwar durch formale Erweiterungen un-

serer gewohnten geometrischen Objekte definieren, sie sind aber bloß rechnerisch zu erfas-

sen und haben nichts mehr mit unseren vertrauten geometrischen Objekten zu tun - außer,

dass sich Letztere aus den n-dimensionalen Gebilden durch Reduktion auf die 3 Raumdi-

mensionen unseres Lebensraumes ergeben.

6.1-5 „Norm ||a||“ und „reziproke Koordinatensysteme“.

Die „Absolutbeträge“ der Vektoren firmieren in unserer Denkwelt gerne als Streckenlänge

zwischen Ausgangs- und Endpunkt des Vektors. So bestimmen wir denn auch im euklidi-

schen den Absolutbetrag (die „Länge“) der Vektoren a aus den Vektorkomponenten (a1, a2,

a3) mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes (|a|² = a1² + a2² + a3²).

Diese Zuordnung hat allerdings Schönheitsfehler: (1) Die Skalen unserer Koordina-

tenachsen sind allerdings willkürlich gewählt: Wir fixieren uns mit Hilfe der zwei Marken „0“

und „1“ unsere Abstandseinheit („Einheit“) und markieren uns mit ihrer Hilfe die verschiede-

nen Vielfachen dieser „Einheit“. Die Koordinaten oder Komponenten sind also Maßzahlen,

die uns sagen, wie viele „Einheiten“ wir benötigen, um an die markierte Stelle zu gelangen.

Die so gewonnenen „Absolutbeträge“ sind in ihren Zahlenwerten von den willkürlich gewähl-


ten „Einheiten“ der einzelnen Koordinatenachsen abhängig. (2) Diese Zuordnungstechnik

kann bei schiefwinkeligen Koordinatensystemen nicht angewendet werden. (3) Es gibt in hö-

herdimensionalen Räumen selbstverständlich keine „Strecken“.

In der moderneren Mathematik wird daher der „Absolutbetrag“ durch den neutralen

Begriff „Norm“ ersetzt, die überdies so definiert wird, dass ihr Wert unabhängig von den will-

kürlichen Achsen-„Einheiten“ und in allen Koordinatensystemen völlig gleich berechnet wird.

Die beiden Koordinatensysteme des Bildes wurden mit Bedacht so ausgewählt: Bei

genauerer Betrachtung bemerken wir, dass die (rote) x2-Achse senkrecht auf die (blaue) x1-

Achse steht und entsprechend die (rote) x1-Achse senkrecht auf die (blaue) x2-Achse. Solche

zwei Koordinatensysteme heißen zueinander „reziprok“. Im 3-dimensionalen Raum gilt die

entsprechende Erweiterung: die (rote) x1-Achse steht senkrecht auf die Ebene, die von den

(blauen) x2- und x³-Achsen aufgespannt wird, ...

Charakterisieren wir unseren Vektor a mit Hilfe der Komponenten mit den hoch ste-

henden (blauen) Indizes (ak), dann heißt er „kontravariant“, bei Verwendung der Komponen-

ten mit den unten stehenden (roten) Indizes (ak) hingegen „kovariant“. Um es noch deutlicher

zu machen, schreiben wir die Komponenten häufig auch unterschiedlich auf:

(i) als Kontravarianter Vektor (auch: „Spaltenvektor“) a = ak =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

³²

1

aa

a

(ii) als Kovarianter Vektor (auch: „Zeilenvektor“) a = ak = (a1,a2,...,an).

Merksatz: „Spaltenvektoren haben daher „viele Zeilen“ und Zeilenvektoren „viele Spalten““.

Die „Norm ||a||“ der Vektoren a wird nun einfach definiert als Quadratwurzel aus der Summe

der Produkte seiner kontravarianten Komponenten ak mit den entsprechenden kovarianten

Komponenten ak:

||a||2 = ak.ak = (a1, a2,..., an). = a1.a1 + a2.a2 + ... + an.an.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

³²

1

aa

a

Aus dem Bild erkennen wir unschwer, dass die roten Einheiten umso größer werden,

je kleiner die blauen sind und umgekehrt. Dieses Wechselspiel sorgt dafür, dass die Norm

||a|| eines Vektors a in allen Koordinatensystemen denselben Zahlenwert hat. Da im euklidi-

schen Raum die ko- und kontravarianten Komponenten eines Vektors identisch werden, wird


dort das Quadrat der Norm zur Summe der Komponentenquadrate - aber nur im euklidi-

schen Raum!

6.1-6 Vektoralgebra.

(1) Identität zweier Vektoren: a = b, falls ak = bk für alle k∈(1,2,...,n)

(2) Addition zweier Vektoren: a ± b = c = (a1±b1,..., an±bn) = (c1,..., cn)

Kommutativgesetz: a + b = b + a

Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c)

(3) Nullvektor 0 = (0,...,0): a + 0 = a

(4) Multiplikation eines Vektors a mit einem Skalar λ:

Kommutativgesetz: λ.a = a.λ = (λa1, ..., λan)

Assoziativgesetz: λ.(μ.a) = (λ.μ).a

Distributivgesetz I: (λ+ μ).a = λ.a + μ.a

Distributivgesetz II: λ.(a + b) = λ.a + λ.b

(5) Normierter Vektor aE (auch: „Einheitsvektor“): Jeder Vektor mit der Norm ||aE||= 1; al-

so jeder durch seine Norm ||a|| dividierte Vektor a: aE = a /||a||.

(6) Skalarprodukt (inneres Produkt, Punktprodukt) im Rn.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ergibt einen Skalar s (daher der Name)

und ist analog zur Norm ||a|| der Vektoren a definiert. Wir ersetzen bloß entweder die

kontravarianten Komponenten des Vektors a durch die entsprechenden des Vektors

b (Merksatz: „Summe der Komponentenprodukte des Zeilen- mit dem Spaltenvek-

tors“).

s = ak.bk = (a1, a2,..., an). = a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

³b²b

b1


(7) Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) im R3.

c = a x b = = (a1,a2,...,an) x (b1,b2,...,bn) = ;

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

³²

1

cc

c

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

1221

3113

2332

babababababa

c = a x b = (c1,c2,...,cn) = x = (a2.b3 - a3.b2, a3.b1 - a1.b3, a1.b2 - a2.b1).

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

³²

1

aa

a

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

³²

1

bb

b

Das Vektorprodukt zweier Zeilenvektoren ergibt einen Spaltenvektor und dasjenige

zweier Spaltenvektoren einen Zeilenvektor. Der Produktvektor c steht senkrecht auf

die a-b-Ebene; es gilt die „rechte Hand Regel“.

Merksatz: „Immer „1,2,3,1,2,3,...“ und jede Vertauschung der Reihenfolge („Permuta-

tion“) erzeugt ein (-1)“.

(i) „Orthogonal“ stehen zwei Vektoren zueinander, wenn ihr Skalarprodukt verschwin-

det.

(ii) Lineare Unabhängigkeit: Zwei oder mehrere Vektoren sind linear unabhängig (l.u.),

wenn keiner von ihnen durch Linearkombination der anderen hervorgeht.

(iii) Kroneckersymbol δ: δik = δik = 1 für alle i = k und δi

k = δik = 0 für alle i ≠ k.

(iv) „Basis“ im Rn: n linear unabhängige Vektoren vi.

- Normierte Basis: Alle n Basisvektoren vi haben die Norm 1 (||vi || = 1).

- Orthogonale Basis: Alle n Basisvektoren vi stehen zueinander orthogonal.

- Orthonormierte Basis: Eine normierte, orthogonale Basis

(vi . vk = δik (= 0 falls i ≠ j und = 1 falls i = j).

6.1-7 Vektorielle Charakterisierung von geometrischen Gebilden.

(1) Punkt: p = (p1,p2,p3) = (p1,p2,p3).

(2) Gerade: x = (p + λ.rE)

rE (Einheits-)Vektor in der Geradenrichtung (auch: Richtungsvektor).

(3) Ebene: x = (p + λ1.rE1 + λ2.rE2)

rE1, rE2 zwei l.u. (Einheits-)Vektoren der Ebene.


(4) Gerade oder Ebene: Mit Hilfe des Skalarproduktes n.(x - p) = 0.

n (Einheits-)Vektor, der normal auf die Gerade bzw. Ebene steht (auch: „Normalvek-

tor“). Ist n der Einheitsvektor, dann heißt diese Gl. „Hesse’sche Normalform“.

In Ebene: Geradengleichung: n1.(x1 -p1) + n2.(x2 - p2) = 0;

=> n1.x1 + n2.x2 = c;

Im R3: Ebenengleichung: n1.(x1 -p1) + n2.(x2 - p2) + n3.(x3 - p3) = 0;

=> n1.x1 + n2.x2 + n3.x3 = c.

(5) Abstand s eines Punktes x von einer Geraden (Ebenen): Den Punkt x einsetzen in

die Hesse’sche Normalform: n.(x - p) = s.

(6) Winkel φ: Der Winkel φ den zwei Vektoren a und b einschließen ist gegeben durch:

cos φ = (a.b) /(||a||.||b||).

(7) Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b kann als Projektion des Vektors b auf

den Vektor a interpretiert werden.

(8) Flächeninhalt eines Parallelogramms: Die Norm des Vektorproduktes ||a x b|| der

beiden das Parallelogramm aufspannenden Vektoren a und b.

(9) Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten ak eines Vektors a und

seinen Polarkoordinaten:

(i) In der Ebene (Polarkoordinaten: r = ||a||; ϑ = 0...2π):

a1 = r. cos ϑ

a2 = r. sin ϑ.

(ii) Im R3 (Polarkoordinaten: r, ϑ, φ = -π/2...π/2):

a1 = r. cos ϑ . sin φ

a2 = r. sin ϑ . sin φ

a3 = r. cos φ.

6.2 Matrizen und Determinanten


6.2-1 Matrizen.

Unter einer Matrix A verstehen wir die Anordnung von m*n Zahlen(„Elementen“) in m Zeilen

und n Spalten (Zwecks leichteren Merkens der späteren Multiplikationsregeln nennen wir

schon jetzt immer die Zeilen vor den Spalten)

A = = aik = (ai

k) = {aik},

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mn

mmm

ik

n

n

aaaaa

aaaaaaaa

...............

...

...

321

223

22

21

113

12

11

(i = 1,2,...,m; k = 1,2,...,n). Wir erkennen, dass die oberen Indizes die i-te Zeile charakterisie-

ren und die unteren die k-te Spalte.

Diese Nomenklatur findet erst zaghaft Eingang in die Literatur, obwohl sie in der The-

oretischen Physik seit Jahrzehnten in Gebrauch ist. Vielfach werden die Matrixelemente mit

zwei unteren Indizes versehen (aik), wobei der erste unbedingt die Zeile charakterisieren soll-

te, ansonsten vielfach Verwirrung entstehen kann.

Eine Matrix mit nur einer Zeile(Spalte) heißt Zeilen-(Spalten-)Vektor. Wir können da-

her die Matrizen auch mit Hilfe von m Zeilenvektoren ai = ar i = (ai1, ai

2,..., ain) oder von n

Spaltenvektoren ak = ar k (haben m Zeilen mit den Komponenten a1k, a2

k,... , amk):

A = =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mn

m3

m2

m1

ik

2n

23

22

21

1n

13

12

11

a...aaa...a.........a...aaaa...aaa

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ma

aa

r

r

r

...

2

1

= ( ar 1, ar

2,..., ar

n).

o Quadratische Matrix: Gleich viele Zeilen m wie Spalten n (m = n).

o Reelle (Komplexe) Matrix: Die Elemente aik sind reelle (komplexe) Zahlen.

o Konjugierte Matrix A* (auch: A ): Alle Elemente aik werden durch ihre konjugiert

komplexen a*ik ersetzt. Es gilt stets: (A*)*= A.

o Transponierte Matrix AT: Die Zeilen werden mit den Spalten vertauscht: AT = aki. Bei

quadratischen Matrizen entspricht dies der Spiegelung an der rechts nach unten wei-

senden Diagonale. Es gilt stets: (AT)T = A.

o Transjungierte Matrix AH: Transponiert und konjugiert (auch: hermitesch adjungiert).

Die Zeilen werden mit den Spalten vertauscht und durch ihre konjugiert komplexen

Elemente ersetzt:

AH = AT* = (AT)*= (A*)T = a*ki.

6.2-2 Determinanten.


Eine Determinante ist eine in einem quadratischen Schema (gleich viele Zeilen wie Spalten)

notierte Summe. Sie stellt daher einen konkreten Zahlenwert dar - reell oder komplex. In ih-

rer Darstellung - aber nur in dieser - ist die Determinante einer quadratischen Matrix ähnlich.

Der einzige Unterschied in ihren Schaubildern ist der, dass die Determinante mit senkrech-

ten Begrenzungsstrichen gekennzeichnet ist: |aik|. Alternativ dazu kann sie auch durch das

Schreiben von „det“ vor dem Zahlenschema angegeben werden: |aik| = det (ai

k).

A = det A = det = |aik| =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

.

o Berechnung der Determinanten

(1) n = 2: A = det A = a11 a2

2 - a21 a1

2.

Merksatz: „Produkt der Hauptdiagonale - Produkt der Nebendiagonale”.

(2) n > 2: Zwei Möglichkeiten:

Hilfreich: Wir schreiben die Determinante rechts nochmals an, dann können wir die

Terme leichter erstellen:

33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

(2-1) Entwicklung nach Unterdeterminanten („Minoren“):

A = det A = 33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

= a11. 3

332

23

22

aaaa

+ a12. 3

133

21

23

aaaa

+ a13. 3

231

22

21

aaaa

(2-2) Verallgemeinerung von (1):

Regel von Sarrus: Summe über alle Produkte der Hauptdiagonalen - Summe über al-

le Produkte der Nebendiagonalen.

33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

= a11 a2

2 a33 + a1

2 a23 a3

1 + a13 a2

1 a32 - a3

1 a22 a1

3 - a32 a2

3 a11 - a3

3 a21 a1

2.


o Eigenschaften der Determinanten (1) Für das Rechnen mit Determinanten gelten die entsprechenden Regeln der Matri-

zenalgebra (vgl. 6.2-3).

(2) Die Determinante einer transponierten reellen Matrix AT hat denselben Wert wie die

der ursprünglichen reellen Matrix A: det AT = det A.

(3) Ersetzt man die Elemente einer Determinante A = det A durch die konjugiert komple-

xen Elemente, so wird ihr Wert ebenfalls konjugiert komplex.

(4) Addition des Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) ändert

nichts am Wert der Determinante.

(5) Det A = 0, wenn einer der folgenden Fälle erfüllt ist:

(5-a) Zwei Zeilen (Spalten) proportional;

(5-b) Nicht alle Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) voneinander linear abhängig sind;

(5-c) Alle Elemente einer Zeile (Spalte) verschwinden;

(5-d) Durch elementare Zeilen-/Spaltenoperationen zwei gleiche Zeilen oder

Spalten entstehen.

6.2-3 Matrizenalgebra.

(1) Identität zweier Matrizen: A = B, falls aik = bi

k für alle i∈(1,2,...,m) und k∈(1,2,...,n).

(2) Addition zweier Matrizen: A ± B = C = (aik ± bi

k)= (cik)

für alle i∈(1,2,...,m) und k∈(1,2,...,n).

Kommutativgesetz: A + B = B + A;

Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C);

(3) Nullmatrix 0 = (oik=0) für alle i,k: A + 0 = A.

(4) Multiplikation Matrix A mit einem Skalar λ:

Kommutativgesetz: λ.A = A.λ = (λ aik) für alle i,k.

Assoziativgesetz: λ.(μ.A) = (λ.μ).A.

Distributivgesetz I: (λ+ μ).A = λ.A + μ.A.

Distributivgesetz II: λ.(A + B) = λ.A + λ.B.

(5) Produkt zweier Matrizen A und B:

Zwei Matrizen können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Spalten-

zahl der linken Matrix (A) mit der Zeilenzahl der rechten Matrix (B) übereinstimmt; Er-

gebnis: Matrix C mit mA Zeilen und nB Spalten.


A . B = C = (cil) = (ai

k bkl) = = (ai

1 b1l + ai

2 b2l + ... + ai

nA bnAl). ∑

=

=

BA mn

1k

kl

ik b.a

Merksatz: „Summe der Komponentenprodukte der i-ten Zeile von A (hat nA Spal-

ten) mit der l-ten Spalte von B (hat mB Zeilen)“. Geht also nur, wenn nA = mB!

o Das Produkt zweier Matrizen ist nicht vertauschbar: A . B ≠ B . A.

o Transponierte Produktmatrix CT = (A.B)T = BT.AT.

o Assoziatives Gesetz: (A . B1) . B2 = A (B1 . B2) = C.

Beispiel: ____________________________________________________

a) (a11, a1

2,..., a1n). = a1

k.bk1

= a1.b1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

31

21

11

bbb

1 + a2.b21 + a3.b3

1 = c11 = c.

b) .(a1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

31

21

11

bbb

1, a12,..., a1

n) = mit cin = bi

k.akn.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

33

32

31

23

22

21

13

12

11

ccccccccc

____________________________________________________________

(6) Produkt einer Matrix mit der Summe zweier Matrizen:

o Linksmultiplikation: A . (B1 + B2) = A . B1 + A . B2 = CL.

o Rechtsmultiplikation: (A + B1) . B2 = A . B2 + B1 . B2 = CR.

(7) Rang der Matrix A:

Eine (m,n) Matrix A (m Zeilen, n Spalten) ist vom Rang r, wenn r die höchste Ord-

nung einer nicht verschwindenden Unterdeterminante ist, die aus Elementen der Mat-

rix gebildet werden kann.


6.2-4 Quadratische Matrizen

Eine quadratische Matrix A heißt „regulär“, falls ihre Determinante A = det A ≠ 0 ist.

(1) Einheitsmatrix E = (δik ) = .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

10...0......

0...100...01

(2) Die Multiplikation der Einheitsmatrix E mit jeder gleichrangigen Matrix A ist ver-

tauschbar: E . A = A . E.

(3) Inverse Matrix A-1: A . A-1 = A-1 . A = E.

Berechnung aus obiger Gleichung oder kompliziert: A-1 = (aik)-1 := Ak

i /(det A), „Alge-

braisches Komplement“: Aki = (-1)i+k . ∆ k

i; ∆ ki erhalten wir durch Streichung der k-ten

Zeile und i-ten Spalte der Matrix A.

(4) Diagonalmatrix D = (ci.δik) = .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

2

1

c0...0......

0...c00...0c

(5) “Dreiecksmatrix”: Unter- oder oberhalb der Diagonalelemente stehen lauter Nullen.

(6) Symmetrieeigenschaften:

Reelle Matrizen Komplexe Matrizen

Symmetrisch: A = AT,

(aik) = (ak

i)

Hermitesch: A = A*T := AH

(aik) = (ak

i)*

Orthogonal: A-1 = AT

(aik)-1 = (ak

i)

Unitär: A-1 = AH

(aik)-1 = (ak

i)*

Anti- oder

schiefsymmetrisch: A = -AT

(aik) = -(ak

i)

Anti- oder

schief-hermitesch: A = -A*T

(aik) = -(ak

i)*

(7) Jede quadratische Matrix A kann als Summe einer symmetrischen Matrix Asym und

einer antisymmetrischen Matrix Aanti dargestellt werden:

A = Asym + Aanti, mit: Asym = (aik + ak

i) /2; Aanti = (aik - ak

i) /2.


6.3 Anwendungen

6.3-1 Lineare Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem von m Gleichungen mit n Unbekannten (Variablen) xi als Matri-

zengleichung:

A . X = B.

A (m.n)-Koeffizientenmatrix, X n-dimensionaler Variablenvektor, B m-dimensionaler Lö-

sungsvektor. Lösungsgleichung (i) in Matrizenform (wegen A-1.A.X = E.X = A-1.B):

X = A-1.B;

(ii) In Komponentenform: a11.x1 + a1

2.x2 +...+ a1n.xn = b1

a21.x1 + a2

2.x2 +...+ a2n.xn = b2

. . .

am1.x1 + am

2.x2 +...+ amn.xn = bm

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht, wenn (i) Gleichungen ver-

tauscht werden oder (ii) ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addiert wird.

o Eindeutigkeit (r = n). Ein Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn

der Rang der Koeffizientenmatrix, r, gleich der Variablenzahl n ist. In diesem Fall stellt

jede Gleichungszeile eine von allen anderen völlig unabhängige Bestimmungsglei-

chung dar. Es handelt sich also um n = m linear unabhängige Gleichungen für die n

Variablen xi.

o „Überbestimmtheit“ (r > n). Ist der Rang der Koeffizientenmatrix, r, größer als die

Variablenzahl n, dann gibt es mehr linear unabhängige Gleichungen als Variable xi.

Das Gleichungssystem ist daher „überbestimmt“, da widersprüchlich. Es gibt keine

Lösung für ein solches Gleichungssystem. Wir können für die n Variablen nur noch

Werte suchen, die mit der Überzahl an Forderungen „möglichst gut verträglich“ sind.

Die Suche solcher Werte ist Aufgabe der „Ausgleichsrechnung“ (auch: „Regressions-

rechnung“). In unserem Messalltag haben wir zumeist solche Regressionsprobleme

zu lösen.


o „Unterbestimmtheit“ (r < n). Ist hingegen der Rang der Koeffizientenmatrix, r, klei-

ner als die Variablenzahl n, dann gibt es zu wenige linear unabhängige Gleichungen,

um sämtlichen Variable xi eindeutige Zahlenwerte zuordnen zu können. Das Glei-

chungssystem ist daher „unterbestimmt“, da (n - r) Variable xk unbestimmt bleiben.

Jede unbestimmte Variable xk kann jeden beliebigen Wert annehmen, es gibt für sie

also unendlich viele Lösungen. Unser Gleichungssystem hat also (n - r) unendlich

viele Lösungen.

Lösungsweg: Wir schieben einfach alle (n-r) Variablen auf die rechte Seite

und erhalten damit ein Gleichungssystem von r Gleichungen für die verbleibenden r

Variablen xi (i = 1, ..., r):

a11.x1 +...+ a1

r.xr = b1 - a1r+1.xr+1 -...- a1

n.xn = b’1

a21.x1 +...+ a2

r.xr = b2 - a2r+1.xr+1 -...- a2

n.xn = b’2

...

ar1.x1 +...+ ar

r.xr = br - arr+1.xr+1 -...- ar

n.xn = b’2

mit dem neuen Lösungsvektor b’. Der weitere Lösungsweg erfolgt genauso wie bei

einem eindeutig bestimmten Gleichungssystem. Der einzige Unterschied ist der, dass

hier der Lösungsvektor b’ nicht eindeutig bestimmt ist, sondern von den (n-r) Variab-

len xk (k = r+1, ..., n) abhängig ist. Diese unbestimmt verbleibenden Variablen xk wer-

den daher oft „Parameter“ genannt und gerne auch mit griechischen Buchstaben ge-

schrieben (xr+1 = λ; xr+2 = μ; ...).

o Lösungstechniken für eindeutig bestimmte Gleichungssysteme (r = n):

(1) Intuitiv durch geschickte Umformungen.

(2) Cramer’sche Regel.

Lösungen sind die Quotienten aus zwei Determinanten: Der Nenner ist stets die Koef-

fizientendeterminante, die Zählerdeteminante Ai der Variablen xi erhalten wir, indem

wir die i-te Spalte der Koeffizientendeterminante A durch den Lösungsvektor b erset-

zen: xi = Ai / A.

o Bei 3 Variablen: a1

1.x1 + a12.x2 + a1

3.x3 = b1

a21.x1 + a2

2.x2 + a23.x3 = b2

a31.x1 + a3

2.x2 + a33.x3 = b3


A = det A = 33

32

31

23

22

21

13

12

11

aaaaaaaaa

x1 = A1/A = 33

32

3

23

22

2

13

12

1

aabaabaab

/ det A;

x2 = A2/A = 33

331

23

221

13

111

abaabaaba

/ det A; x3 = A3/A = 33

231

222

21

112

11

baabaabaa

/ det A.

Beispiel: __________________________________________________________ Gleichungssystem: I 2x1 + 3x2 = 7

II 3x1 - x2 = 4

(i) Intuitiv: I + II.3: 11x1 = 19 → x1 = 19/11;

in II eingesetzt: x2 = 3.19/11 - 4 = (57 -44)/11 = 13/11.

(ii) Cramer’sche Regel: A = det A =13

32−

= -11

x1 = A1/A = 14

37−

/(-11) = -19/(-11) = 19/11; x2 = A2/A = 4372

/(-11) = -13/(-11) = 13/11;

________________________________________________________________________

(3) Gauss’sches Eliminationsverfahren.

Wir formen die Koeffizientenmatrix A sukzessive in eine Dreiecksmatrix U um:

A.X = B → U. X = B.

In Komponentenform: a11.x1 + a1

2.x2 +... + a1n.xn = b1

u22.x2 +... + u2

n.xn = b’2

...

unn.xn = b’n → xn = b’n / un

n.

Die Werte der anderen xi erhalten wir durch sukzessives Einsetzen von unten her.


Beispiel: __________________________________________________________ I: a1

1.x1 + a12.x2 + a1

3.x3 = b1

II: a21.x1 + a2

2.x2 + a23.x3 = b2

III: a31.x1 + a3

2.x2 + a33.x3 = b3

1. Schritt:

I: a11.x1 + a1

2.x2 + a13.x3 = b1

I-II.a11/ a2

1: u22.x2 + u2

3.x3 = b’2 (u22 = a2

2.a11/a2

1; u23 = a2

3.a11/a2

1; b’2 = b2.a1

1/a21)

I-III.a11/ a3

1: v32.x2 + v3

3.x3 = v’3 (v32 = a3

2.a11/ a3

1; v33 = a3

3.a11/a3

1; v’3 = b3.a1

1/a31)

2. Schritt:

I: a11.x1 + a1

2.x2 + a13.x3 = b1

II: u22.x2 + u2

3.x3 = b’2

II-III.u22/ v3

2: u33.x3 = b’3 (u3

3 = v33.u2

2/v32; b’3 = v’3.u2

2/v32)

3. Schritt:

x3 = b’3/u33;

x2 = (b’2 - x3)/u22;

x1 = (b1 - a12.x2 + a1

3.x3)/ a11.

________________________________________________________________

6.3-2 Koordinatentransformation Xalt → X.

In Matrizenform (A Transformationsmatrix, Xalt ursprüngliche Koordinaten, X neue Koordina-

ten):

A.Xalt = X.

Umkehrung (A-1.A = E): A-1.A.Xalt = A-1.X → Xalt = A-1.X.

o 2-dimensionale Beispiele: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

alt,222alt,1

21

alt,212alt,1

11

2

1

alt,2

alt,122

21

12

11

x.ax.ax.ax.a

xx

xx

.aaaa

(i) Streckung von x1,alt: x1 = p1.x1,alt

x2 = x2,alt

=> A1 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛100p1


(ii) Stauchung von x2,alt: x1 = x1,alt

x2 = q2.x2,alt

=> A2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2q001

(iii) Kombination (i) + (ii): x1 = p1.x1,alt

x2 = q2.x2,alt

=> A1+2 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

q00p

(iv) Spiegelung am 0-Punkt: x1 = -x1,alt

x2 = -x2,alt

=> A4 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−10

01

(v) Drehung um φ: x1 = x1,alt.cos φ + x2,alt.sin φ

x2 = -x1,alt.sin φ + x2,alt.cos φ

=> A5 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕϕϕ−ϕ

cossinsincos


6.4. Das Eigenwertproblem

6.4-1 Lineare Operatoren. „Operator“ nennen wir Abbildungen (Funktionen) χ→L(χ) beson-

ders dann gerne, wenn wir darauf hinweisen wollen, dass wir „etwas tun müssen“, um aus

den Elementen χ ihrer Definitionsmengen die Bildpunkte L(χ) zu erhalten.

Ein Operator L heißt „linear“, wenn er 3 Bedingung erfüllt: Er muss „beschränkt“, „ho-

mogen“ und „additiv“ sein.

o „Beschränkt“ ist ein Operator L grob gesprochen dann, wenn das Ergebnis seiner

Anwendung auf ein Element χ seiner Definitionsmenge (für Interessierte: ein linearer

Raum R) immer das Produkt dieses Elementes χ mit einer Zahl c (reell oder komplex)

ergibt:

L(χ) = c.χ.

o „Homogen“ heißt ein Operator L dann, wenn seine Anwendung auf (c. χ) genau das

c-fache seiner Anwendung auf χ ergibt:

L(c.χ) = c.χ.

o „Additiv“ bedeutet, dass die Anwendung des Operators L auf eine Summe (χ1+χ2)

dasselbe ergibt wie die Summen seiner Anwendungen auf jeden Summanden χi:

L(χ1+χ2) = L(χ1)+ L(χ2).

Beispiele linearer Operatoren:

(i) Differentialoperator D := ∂/∂x mit x als unabhängige Variable;

(ii) Matrizen A, die bei Anwendung auf Vektoren x eines Raumes wieder zu Vektoren x

desselben Raumes führen.

6.4-2 Formulierung des Problems. Unter dem Begriff "Eigenwertproblem" verstehen wir

allgemein die Fragestellung nach den Lösungen einer Operatorgleichung der Form

L(χ) = λ.χ, (1a)

wo L ein „linearer Operator“ für die Elemente χ ist, und λ reelle/komplexe Zahlen sind. Die

Elemente χ können dabei ebenfalls reelle/komplexe Zahlen sein, aber auch Vektoren, Matri-


zen oder selbst Funktionen. Häufig werden solche „Operatorgleichungen“ auch in folgender

Form geschrieben:

L χ = λ.χ. (1b)

6.4-3 Erklärung und Definitionen. Das Eigenwertproblem ist also nichts anderes, als die

Frage, unter welchen Umständen es möglich ist, dass die Anwendung des „linearen Opera-

tors L“ auf ein Element χ (des Raumes R) nichts anderes ergibt, als die Multiplikation dieses

Elements χ mit einer reellen/komplexen Zahl λ. Es ist evident, dass wir nicht verlangen kön-

nen, dass dies im Allgemeinen möglich ist, sondern, dass es nur für ganz bestimmte Zahlen

λ mitsamt den genau dazupassenden Elementen χ erfüllt werden kann.

o Jeder Zahl λk, für die eine nicht-triviale Lösung χk der Gl. (1) existiert (χk ≠ 0), be-

zeichnen wir als „Eigenwert“ λk des Operators L.

o Die Menge aller Eigenwerte λk der Gl. (1) heißt „Spektrum“ des Operators L.

o Die Lösungen χk der Gl. (1) selbst heißen „Eigenlösungen“.

o Oft wird das Wort „Lösung“ durch den mathematischen Typus derselben ersetzt.

o Sind die Eigenlösungen Vektoren xk, dann heißen sie oft „Eigenvektoren xk“.

o Sind die Eigenlösungen Funktionen fk(x), dann sprechen wir von „Eigenfunktionen

fk(x)“, ...

6.4-4 Praktische Anwendungen. Eigenwertprobleme treten in vielen Bereichen der Chemie

und Physik auf. Besonders hohe Bedeutungen kommen ihnen bei der Matrizenrechnung und

in der Quantenmechanik zu, da die Lösung der fundamentalen Schrödinger-Gleichung (eine

Differentialgleichung) ein „Eigenwertproblem“ darstellt: Quantenmechanische Gebilde wie

Elektronen, ... können mit ihrer Umgebung nicht beliebige Energiemengen austauschen,

sondern nur solche, die der digitale Charakter der Wirkungsgröße zulässt. Die grundsätzli-

chen Austauschmöglichkeiten der Energie des Gebildes werden in dessen Energiefunktion

zusammengefasst, die hier „Hamiltonoperator H“ heißt. Das Gebilde selbst ist in seiner „Wel-

lenfunktion Ψ“ charakterisiert und E sind die konkreten Energiemengen, die das Gebilde aus

der Umgebung aufnehmen oder in sie abgeben kann. Damit ist die Schrödinger-Gleichung

tatsächlich ein Eigenwertproblem (L = H; χ = Ψ; λ = E):

H Ψ = E.Ψ.


Die konkreten Energieaustauschwerte Ek, ergeben sich als „Eigenwerte“ der Schrö-

dinger-Gleichung, und die Charakterisierungsfunktionen Ψk der Gebilde sind deren Eigen-

funktionen. Das Lichtspektrum eines Atoms stellt demnach nichts anderes dar, als die Ge-

samtheit der „Energie-Eigenwerte“ der Schrödinger-Gleichung dieses Atoms - also das

Spektrum der Eigenwerte dieser Gleichung (Für Interessierte sei auf mein Buch „Die Werk-

statt der Natur“ verwiesen).

6.4-5 Eigenwertproblem bei Matrizengleichungen. Ist der Operator L in Gl. (1) eine

(n,n)-Matrix A, dann sind die Elemente χ Vektoren, die hier gerne als x bezeichnet werden,

und Gl. (1) wird zu:

A.x = λx. (2a)

Multiplizieren wir Gl.(2a) von links mit der Einheitsmatrix E, dann erhalten wir wegen E.A = A

und E.λ = λE:

A.x - λE.x = (A - λE).x = 0. (2b)

Die Determinante der Differenzenmatrix (A - λE) heißt „charakteristisches Polynom P(λ)“:

P(λ) : = det(A - λE), (3)


und die Nullstellen von P(λ), λk, sind die Eigenwerte der Gl. (2). Entsprechend gilt für die Ei-

genvektoren xk:

(A - λk.E). xk = 0. (4)

Beispiel: ________________________________________________________________

Gesucht sind die Eigenwerte λk und Eigenvektoren xk für A.x = λx mit A = . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

3254

(i) Bestimmung der Eigenwerte λk:

P(λ) : = det(A - λE) = det = (4-λ).(-3-λ) - 2.(-5) = λ² - λ - 2 = 0; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−−

−λ−32

54

=> λ1 = -1; λ2 = 2;

(ii) Bestimmung der Eigenvektoren xk:

(A - λk.E).xk = .xk = . = 0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−−

−λ−

k

k

3254

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−−

−λ−

k

k

3254

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2,k

1,k

xx

=> I: (4- λk).xk,1 - 5.xk,2 = 0 II: 2.xk,1 - (3+λk).xk,2 = 0 a) für λ1 = -1:

I: 5.x1 = 5.x2 → x1 = x2; II: 2.x1 = 2.x2 → x1 = x2;

=> Eigenvektor x1 = (c, c), mit beliebigem c.

b) für λ2 = 2:

I: 2.x1 = 5.x2; → x2 = 2.x1/5; II: 2.x1 = 5.x2;

=> Eigenvektor x2 = (c, 2.c/5), mit beliebigem c.

_______________________________________________________________________

o Eigenschaften des Eigenwertproblems bei Matrizengleichungen

(1) Jede Matrix A hat dieselben EW wie ihre transponierte Matrix AT.

(2) Der EW λk heißt n-fach entartet, wenn λk eine n-fache Wurzel des charakteristischen

Polynoms P(λ) = det(A - λE) ist.

(3) Die zu verschiedenen EW gehörigen Eigenvektoren sind linear unabhängig.


(4) Jede quadratische Matrix Q kann durch eine geeignete Transformation zumindest auf

Dreiecksform gebracht werden. Die Diagonalelemente sind dann die EW von Q.

(5) Die zu verschiedenen EW einer symmetrischen (hermiteschen) Matrix gehörigen Ei-

genvektoren sind orthogonal (unitär).

(6) Zu jedem EW einer symmetrischen (hermiteschen) Maxtrix gibt es genau so viele li-

near unabhängige Eigenvektoren wie die Entartung des EW beträgt.

(7) Jede symmetrische (hermitesche) Matrix H kann durch eine orthogonale (unitäre)

Transformation auf Diagonalform gebracht werden. die Diagonalelemente sind dann

genau die EW von H, und die Spalten der Transformationsmatrix sind die Eigenvekto-

ren.


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6. Vektoren, Matrizen und Determinanten file6. Vektoren, Matrizen und Determinanten 6.1 Vektoren Historisch waren „Vektoren a“ Strecken mit Pfeilen, mit deren Hilfe wir kompakt