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1 8. Deterministisches Chaos Widerspruch: deterministisch <----> chaotisch Schmetterlingseffekt: • Der Flügelschlag eines Schmetterlings entscheidet über die Entwicklung eines Sturms. • Allgemein: kleinste Änderungen der Systemparameter (ggfs. unterhalb der Auflösungsgrenze von Messgeräten) haben in chaotischen Systemen drastische Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung des Systems! Deterministisches Chaos: • Kurzzeitverhalten des Systems voraussagbar (deterministisch)! • Langzeitverhalten des Systems nicht voraussagbar!

8. Deterministisches Chaos - DLR Portal · Doppelpendel ist chaotisches System! Created Date: 9/12/2004 9:31:30 PM

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8. Deterministisches Chaos

Widerspruch: deterministisch <----> chaotisch

Schmetterlingseffekt:• Der Flügelschlag eines Schmetterlings entscheidet über die Entwicklung eines Sturms.• Allgemein: kleinste Änderungen der Systemparameter (ggfs. unterhalb der Auflösungsgrenze von Messgeräten) haben in chaotischen Systemen drastische Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung des Systems!

Deterministisches Chaos:• Kurzzeitverhalten des Systems voraussagbar (deterministisch)!• Langzeitverhalten des Systems nicht voraussagbar!

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Die Bäckertransformation

Ausgangspunkt:Teigstück mit quadratischenQuerschnitt der Länge l = 1

Während jedes Iterationsschritts (Knetschritt) wird folgende Prozedurabgearbeitet:

Der Teig wird in y-Richtungauf die Hälfte zusammengestauchtund gleichzeitig in x-Richtungauf die doppelte Länge gestreckt.

y

x

1

1 2

x

Das Teigstück wird bei x = 1 durchgeschnitten

Das Stück x > 1 wird auf das andere Stück gelegt.

Mathematische Beschreibung:

Für xn < 1/2: xn+1 = 2·xny n+1 = (1/2)·yn

Für 1/2 ≤ xn < 1: xn+1 = 2·xn - 1yn+1 = (1/2) ·(yn + 1)

x

1

y

1

1 2

2

y

1

1 2

3

3

Ergebnis von 15Bäckertransformationen.Das markierte VolumenDer Kantenlänge 0.02Wurde in ≈ 104 im TeigVerstreute Teilchen zerteilt.

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Anwachsrate des Fehlers (Lyapunov Exponent): ln(2)

Eigenschaften der Bäckertransformation• Die Bäckertransformation ist deterministisch

- aus (xn, yn) folgt in eindeutiger Weise (xn+1, yn+1)- aus (xn, yn) läßt sich auch in eindeutiger Weise (xn-1, yn-1) bestimmen.

Fortpflanzung des Positionsfehlers in x0:x0 = x‘ + εx(0)xn = xn

‘ + εx(n)Bei jedem Streckvorgang des Teigs verdoppelt sich der Fehler:

εx(n) = εx(0)·2n = εx(0)·en·ln(2)

Anwachsrate des Fehlers (Lyapunov Exponent): ln(2)

Beispiel:Positionsfehler zu Beginn: εx(0) = 2-33 m ≈ 10-10 m (atomare Auflösung)==> Positionsfehler nach 33 Transformationen: εx(33) ≈ 1m

Position (xn, yn) ist bei großem n aufgrund unvermeidbarer Messfehler von (x0, y0) nicht vorhersehbar!==> Deterministisches Chaos

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Die Logistische AbbildungIteration: xn+1 = λ·xn ·(1-xn); nichtlineare rückgekoppelte Abbildung!

Wertebereich: 0 ≤ λ ≤ 4 und 0 ≤ x ≤ 1 ==> 0 ≤ x ≤ 1

λ< λ1 = 3:

• Folge konvergiert gegen einen Fixpunkt (Attraktor)! xAttr. = (λ - 1)/λ

λ1 = 3 < x < λ2 = 1 + 61/2 ≈ 3.449:

• Aufspaltung (Bifurkation) des Fixpunktes in zwei Attraktoren.• Folge oszilliert zwischen den Attraktoren (Periode: 2)!

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λ2 < x < λ3:

• Weitere Bifurkation der beiden Attraktoren

• Periode der Oszillation: 4

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Die logistische Abbildung bei großem λVergrößerung von λ ==> weitere Bifurkationspunkte λn Oszillationsperiode: 2n

Abstand der Bifurkationspunkte:λn+1 - λn = (λn - λn-1)/δFeigenbaumkonstante: δ ≈ 4.669: (universell für alle nichtlinearenAbbildungen mit qudratischem Maximum)

n → ∞: λ∞ ≈ 3.5699456; λ > λ∞:

• „chaotische“ Bewegung der Trajektorien• Periodische Bewegung in bestimmten Intervallen von λ (z.B. λ ≈ 3.83)• Trajektorien definieren einen seltsamen Attraktor• seltsamer Attraktor bildet Cantor Satz - Cantor-Staub - nicht verbundenes Fraktal der fraktalen Dimension df = log2/log3

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Die logistische Abbildung

Bifurkationswege

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Die Mandelbrotmenge

Iteration: zn+1 = zn2 + c (zn = an + i·bn) mit z1: = 0 ==> z2 = c

Frage: Wohin konvergiert die Folge zn für n→∞?

Mandelbrotmenge:Alle Punkte c in der komplexen Ebene, für die die Folge zn gegen einenEndlichen Wert konvergiert!

Vereinfachte, schematischeDarstellung derMandelbrotmenge.

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Trajektorien

c = 0.4 + i·0.34

• Punkt 1 (innerhalb der Mandelbrot menge)• Konvergenz der Folge gegen den Attraktor, ZATTR. ≈ 0.0816 + i ·0.4171• Attraktor liegt innerhalb der Mandelbrotmenge

c = 0.4 + i·0.34

• Punkt 3 (innerhalb der Mandelbrot- menge aber in Randnähe)• Lansamere Konvergenz der Folge gegen einen Attraktor im inneren der Mandelbrotmenge

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c = 0.24 + i·0.59

• Punkt 4 (außerhalb der Mandelbrot menge)• Folge konvergiert gegen ∞

c = 0.24 + i·0.54965

• Punkt 5 (am Rand der Mandelbrot- menge)• nach n = 100 Iterationen keine eindeutige Aussage über Konvergenz der Folge möglich!• Trajektorie könnte bei größeren n ins unendliche laufen!

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Untersuchung des Randes der MandelbrotmengeFrage:Wieviel Iterationen n werden benötigt, bis eine Trajektorie einen erreicht, für den |zn| > 2?• Falls für irgendein n |zn| > 2 gilt, wird die Folge ins Unendliche laufewn!• Die Zahl der benötigten Iterationen wird in der komplexen Ebene durch verschiedene Farben gekennzeichnet!

Remin = -2Remax = 0.5Immin = -1.2Immax = 1.2Nmax = 10 000

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Vergrößerte Ausschnitte aus dem Apfelmännchen

Remin = -1.5; Remax = -1.2;Immin = -0.1; Immax = 0.1Nmax = 10 000

Remin = -1.28; Remax = -1.22;Immin = -0.045; Immax = 0Nmax = 10 000

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Remin = -1.25Remax = - 1.249Immin = -0.02375Immax = -0.02225Nmax = 10 000

Eigenschaften der Mandelbrotmenge

• Rand der Mandelbrotmenge ist eine fraktale Struktur!• Selbstähnlichkeit• Alle Punkte der Mandelbrotmenge sind verbunden!

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JuliamengenGleiche Iterationen wie bei Mandelbrotmenge: zn+1 = zn

2 + cAber: c = const; z1 variabelJuliamengen:Die Punkte z1, für die die Folge zn bei festem c gegen einen endlichenWert (innerhalb der Mandelbrotmengen) konvergiert! Verbundene Juliamengen

Verbundene Juliamengen treten auf, falls c innerhalb der Mandelbrotmenge liegt!

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Fatou Staub (nicht verbundene Juliamengen)

c = -0.5 + i c = 0.5

Fatou Stäube treten auf, wenn c außerhalb der Mandelbrotmenge liegt!

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Das Doppelpendel

Bewegungsgleichungen:dxdt

= y

dydt

=−cν 2 ⋅ sin(x − u) − y2 ⋅ sin(x − u) ⋅ cos(x − u) + b ⋅ sin(u) ⋅ cos(x − u) − abc ⋅ sin(x)

ac − cos2 (x − u)dudt

= ν

dνdt

=ay2 ⋅ sin(x − u) + ν 2 ⋅ sin(x − u) ⋅ cos(x − u) + ab ⋅ sin(x) ⋅ cos(x − u) − ab ⋅ sin(u)

ac − cos2 (x − u)

x: Auslenkungswinkel des großen Pendelsy: Winkelgeschwindigkeit des großen Pendelsu: Auslenkwinkel des # kleinen Pendelsν: Winkelgeschwindigkeit des kleinen Pendelsa, b, c: Konstanten (abhängig von der Pendelmasse und -länge)

Doppelpendel ist chaotisches System!