8 Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik)hakenesch.userweb.mwn.de/aerodynamik/K8_Folien.pdf · Aerodynamik des Flugzeugs Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik) Folie 3

Aerodynamik Gasdynamik 1___________________________________________________________________________________________________________________

1. Einleitung

2. Strömungssimulation in Windkanälen

3. Numerische Strömungssimulation

4. Potentialströmungen

5. Tragflügel unendlicher Streckung in inkompressibler Strömung

(Profiltheorie)

6. Tragflügel endlicher Streckung in inkompressibler Strömung

7. Aerodynamik der Klappen und Leitwerke

8. Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik)

9. Hochgeschwindigkeits‐Aerodynamik

10. Stabilität und Steuerbarkeit

Aerodynamik Gasdynamik 2___________________________________________________________________________________________________________________

8. Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik)

8.1 Historischer Rückblick

8.2 Thermodynamische Grundbegriffe

8.3 Isentrope Strömungen

8.4 Kompressionsströmungen im Überschall

8.5 Expansionsströmungen im Überschall

8.6 Diffusorströmung

8.7 Messung der Strömungsgeschwindigkeit

8.8 Geschwindigkeitsbezeichnungen

Aerodynamik Gasdynamik – Historischer Rückblick 3___________________________________________________________________________________________________________________

8.1 Historischer Rückblick

Fünfte Volta Konferenz, September 1935 in Rom

Wichtigste Themen Auswirkung der Kompressibilität bei höheren Geschwindigkeiten Temperatureffekte infolge der mit der Geschwindigkeit quadratisch

zunehmenden Energie Bedeutung thermodynamischer Prozesse Adolf Busemann stellt das Pfeilflügelkonzept zur Widerstandsreduzierung

bei transsonischen Geschwindigkeiten vor

Aerodynamik Gasdynamik – Thermodynamische Grundbegriffe 4___________________________________________________________________________________________________________________

8.2 Thermodynamische Grundbegriffe8.2.1 Absolute und spezifische Größen

Größe Bezeichnung Einheit Größe Bezeichnung EinheitVolumen V m³ spezifisches

Volumenv m³/kg

Wärme Q J spezifische Wärme

q J/kg

Arbeit W J spezifische Arbeit

w J/kg

Energie E J spezifische Energie

e J/kg

Innere Energie

U J spezifische innere Energie

u J/kg

Enthalpie H J spezifische Enthalpie

h J/kg

Entropie S J/K spezifische Entropie

s J/kgK


8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ System und Systemgrenze

Thermodynamisches System und Systemgrenze Relevant sind nicht die technischen Abläufe innerhalb der Maschine,

sondern lediglich die Energie‐ und Masseströme, die die Systemgrenze überschreiten

Werden diese erfasst, lässt sich daraus das Leistungsvermögen der Maschine berechnen ohne irgendwelche Details der Maschine zu kennen


8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ System und Systemgrenze

Definition Systemgrenze

Bestimmung Eintretende Masseströme Eintretende Energieströme Austretende Masseströme Austretende Energieströme

Elektrische Leistung

angesaugteLuft Abgasstrahl

ZapfluftKabineninnendruck

ZapfluftEnteisung Kerosin

Systemgrenze

Systemgrenze

,

,

,

,

,

,,

,

,


8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ Energieanteile

TransportenergienEnergieanteile, die über die Systemgrenze transportiert werden spezifische Wärme q12

spezifische technische Arbeit wt,12

spezifische dissipierte, also die Verlustenergie ediss

SystemenergienEnergieanteile, die sich innerhalb der Systemgrenze verändern können spezifische kinetische Energie 1/2(c2

2-c12)

spezifische potentielle Energie g(z2-z1) spezifische innere Energie u2-u1

spezifische Druckenergie p2v2- p1v1


8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ‐ Energieerhaltungssatz

Summe der spezifischen Transportenergien,

Summe der spezifischen Systemenergien12 ∙ ∙ ∙ ∙

Es gilt

also

, ∙ ∙

∙ ∙


8.2.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik – Energieerhaltungssatz

Energiebilanz erster Hauptsatz der Thermodynamik

Summe der Transportenergien = Summe der Systemenergien

, ∙ ∙∙ ∙


8.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik – Ideales Gas

Zustandsgleichung des idealen Gases korreliert die Zustandsgrößen eines Gases Druck p Temperatur T Dichte

∙ ∙ ∙spezifisches Volumen v

1

∙ ∙

∙ ∙mit

R [J/kgK] spezifische Gaskonstante



Luft als reales Gas (Schneider, 1996)



spezifische Wärme bei konstantem Druck

cp 1004,5 J/kgK

spezifische Wärme bei konstantem Volumen

cv 717,5 J/kgK

spezifische Gaskonstante

R = cp - cv 287,05 J/kgK

Isentropenexponent = cp/cv 1,4 ‐

Näherungswerte für Luft, kalorisch perfektes Gas


8.2.4 Innere Energie und Enthalpie

Spezifische inneren Energie uEntspricht dem Energieanteil, der sich infolge der Temperatur ergibt

∙

Spezifische Enthalpie hZusammenfassung der Energieanteile innere Energie und Druckenergie

∙



Kalorische Zustandsgleichungen und spezifische Wärmekapazitäten cp, cvSpezifische Enthalpie h

∙ ∙

Spezifische isobare Wärmekapazität cp [J/kgK]

∙ ,

Spezifische innere Energie u

∙ ∙

Spezifische isochore Wärmekapazität cv [J/kgK]

∙ ,



Enthalpie und innere Energie fester und flüssiger PhasenVernachlässigung der Kompressibilität Spezifische isobare und die spezifische isochore Wärmekapizität fallen

zusammen

Zustandsänderung von einem Ausgangspunkt (1) zu einem Endpunkt (2) Änderung der spezifischen inneren Energie u

∙

Änderung der spezifischen Enthalpie h, , ∙ ∙



Enthalpie und innere Energie idealer GaseDruckabhängigkeit der spezifischen Wärmen entfällt

Isochore Wärmekapazität cv

∙

Änderung der spezifischen inneren Energie u

∙



Enthalpie und innere Energie idealer GaseIsobare Wärmekapazität cp

∙

Änderung der spezifischen Enthalpie h

∙

Spezifische Gaskonstante RTemperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmen ist identisch

.



Enthalpie und innere Energie idealer GaseZustandsänderungen, die über einen großen Temperaturbereich verlaufen Kenntnis der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten

unabdingbar

Kleine Temperaturänderungen cp und cv als konstant angenommen werden Änderung der spezifischen inneren Energie

∙ Änderung der spezifischen Enthalpie

∙


8.2.5 Entropie und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Erster Hauptsatz der Thermodynamik Beschreibt das Prinzip der Energieerhaltung in einem System Wie lässt sich Energie von einer Form in eine andere Form umwandeln Es wird keine Aussage darüber getroffen, ob dieser Prozess überhaupt

stattfinden kann oder nicht



Prozess AEin Flugzeug fliegt in einer Höhe von H = 12.000 m mit einer Geschwindigkeit M = 0,82 (V = 242 m/s).Betrachtet wird ein Flugzeugbauteil, das sich dem Flugzeug löst und auf die Erde fällt und sich beim Aufprall nicht verformt

Annahmen Es tritt keine Verformungsenergie auf Die Gesamtenergie kann sich ausschließlich in Wärme umwandeln Die spezifische Wärmekapazität von Aluminium beträgt c = 945 J/kgK Die Temperatur in 12 km Höhe beträgt 216,65 K (= ‐56,5°C) und am Boden

auf Meeresniveau 288,15 K (= 15°C). Die Luftreibung wird vernachlässigt (ediss = 0)



Energiebilanz für Prozess A entsprechend dem ersten Hauptsatz,12 ∙ ∙ ∙ ∙

mit

, 0, ∙ ∙ 0, 0 und 0folgt

012 ∙ ∙

012 ∙ ∙ ∙ ∙

12 ∙ ∙ ∙ 1

2 ∙ 242 9,81 ∙ 12.000 945 ∙ 216,65945

372 K 99°C



Prozess BDas inzwischen abgekühlte Bauteil wird am nächsten Tag auf eine Temperatur von T2 = 99°C erwärmt, steigt darauf hin auf eine Höhe von H = 12.000 m und beschleunigt auf eine Geschwindigkeit von M = 0,82 (V = 242 m/s) und kühlt dabei auf die Temperatur von T1 = ‐56,5°C ab

Energiebilanzen für Prozess B und Prozess A sind identisch Trotzdem kann die Eintrittswahrscheinlichkeit von Prozess B als klein

angenommen werden Warum?



Prozess der Energieumwandlung unterliegt Einschränkungen Arbeit und mechanische Energie können immer in innere Energie

umgewandelt werden Umkehrung dieses Prozesses ist jedoch nicht möglich Dieses Grundprinzip wird beschrieben durch den zweiten Hauptsatz der

Thermodynamik

Die Wärmeübertragung unter Temperaturgefälle ist ein nicht umkehrbarer Vorgang (Geller, 2000)

Alle Prozesse bei denen Reibung auftritt, sind nicht umkehrbar (Max Planck)

Alle natürlichen Prozesse sind nicht umkehrbar (Baehr, 1981)



Entropie S Relevant ist nicht die absolute Größe der Entropie, sondern ihre

Veränderung bei einer Zustandsänderung von (1) nach (2) Änderung der Entropie dS

Für reale (= reibungsbehaftete) Prozesse gilt immer0

Änderung der Entropie in einem geschlossenen, adiabaten System

0



Entropie S Natürliche Prozesse sind immer dadurch gekennzeichnet, dass die

Entropie zunimmt Entropieabnahme ist nur durch Wärmeentzug möglich Berechnung der Entropieänderung ermöglicht eine Aussage, ob ein

Prozess möglich ist oder nicht



Entropie und Eintrittswahrscheinlichkeit

Quantitativ lässt sich die Entropie S über die Boltzmann‐Planck‐Beziehung aus der Eintrittswahrscheinlichkeit W bestimmen:

∙mitk = 1,3806621023 J/K (Boltzmann‐Konstante)



Entropieänderung bei idealen GasenVollständiges Differential der spezifischen Enthalpie

∙ ∙

Eingesetzt in die differentielle Form des ersten Hauptsatzes

∙ ∙

Integration dieser Gleichung liefert zwei Schreibweisen für die Entropieänderung

∙ ∙

bzw.

∙ ∙


8.2.6 Zustandsänderungen

Berechnung der Zustandsänderungen: Skript Tab. 8‐4: Isochore, isobare, isotherme und isentrope Zustandsänderungen Tab. 8‐5: Polytrope Zustandsänderung

Bezeichnung Zustandsgrößeisochor dV = 0isobar dp = 0isotherm dT = 0adiabat dq = 0reversibel ds = 0isentrop dq = 0 und ds = 0polytrop allgemeine Form einer Zustandsänderung

Aerodynamik Gasdynamik – Isentrope Strömungen 29___________________________________________________________________________________________________________________

8.3 Isentrope Strömungen

Isentrop0

Zusammenfassung zweier Eigenschaften einer Zustandsänderung Prozess verläuft adiabat, d.h. kein Austausch von Wärme mit der

Umgebung (dq = 0) Prozess verläuft verlustfrei, also reversibel (ediss = 0) Idealisierte Prozessführung Beschreibt keine realen oder natürlichen Prozesse (ediss > 0)


8.3.1 Eindimensionale, isentrope Strömung

Annahmen ds = 0 Strömungsgrößen können sich ausschließlich in Richtung der

Hauptströmung verändern Veränderungen der Strömungsgrößen quer zur Hauptströmungsrichtung

werden vernachlässigt Betrachtet werden nur konstante oder kleine Querschnittsänderungen

xz

y

u u

A = const., dA = 0 A const., dA 0


8.3.1 Eindimensionale, isentrope Strömung

Geschwindigkeitskomponenten in x, y und z‐Richtung

cx = u 0, cy = v = 0 und cz = w = 0

Änderung der Zustandsgrößen Druck p, Dichte und Temperatur T

dp/dx 0, dp/dy = 0 und dp/dz = 0

d/dx 0, d/dy = 0 und d/dz = 0

dT/dx 0, dT/dy = 0 und dT/dz = 0


8.3.2 Statische Größen und Totalgrößen

Statische Größen Größen, z.B. Druck p, Temperatur T, Dichte oder Enthalpie h, die ein

Beobachter spüren würde, sofern er sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Moleküle selbst mit Strömung mitbewegt

Totalgrößen Isentropes Abbremsen der Strömung auf die Geschwindigkeit null (z.B. im

Staupunkt) Statische Größen erhöhen sich entsprechend der Geschwindigkeit, von der

sie abgebremst werden Totalenthalpie H0

Totaltemperatur T0

Totaldruck p0


8.3.2 Statische Größen und Totalgrößen

Spezifischen Totalenthalpie h0

Kalorisch perfektes Gas: Enthalpie ist lediglich eine Funktion der Temperatur

Totaltemperatur T0

Totaldruck p0 (inkompressibel, M < 0,3)

2 ∙

.constuhh 2

2

0

2

2

00uTcTch pp

.constT 0


8.3.3 Kesselgleichungen

Beschreibung des Zusammenhangs zwischen statischen Größen und Totalgrößen als Funktion der Machzahl entlang einer Stromlinie

Spezifische Totalenthalpie h0 .

2

∙ ∙ 2mit

c∙1

folgt

1 2 ∙ ∙ 1∙ 1

2 ∙ ∙ ∙


8.3.3 Kesselgleichungen ‐ Temperatur

1 2 ∙ ∙ 1∙ 1

2 ∙ ∙ ∙

mit∙ ∙

folgt

11 ∙

2 ∙bzw.

11

2 ∙


8.3.3 Kesselgleichungen – Druck, Dichte

Einsetzen von

11

2 ∙

in die isentropen Beziehungen für Dichte und Druck

liefert den Zusammenhang zwischen statischen Größen und Totalgrößen für Dichte und Druck


8.3.3 Kesselgleichungen – Druck, Dichte und Temperatur

Parameter FunktionDruck

11

2 ∙

Dichte

11

2 ∙

Temperatur1

12 ∙

Aerodynamik Gasdynamik – Kompressionsströmungen im Überschall 38___________________________________________________________________________________________________________________

8.4 Kompressionsströmungen im Überschall ‐Mach‘scher Kegel

Msin 1


8.4 Kompressionsströmungen im Überschall ‐ Doppler‐EffektUnterschiedlichen Abstände der Wellenfronten (= Frequenz) werden in Abhängigkeit davon ob sich die Quelle auf den Beobachter zu bewegt oder entfernt, als unterschiedliche Frequenzen wahrgenommen

Frequenzverschiebung

Geschwindigkeit der Quelle

w Geschwindigkeit der Quellec lokale Schallgeschwindigkeitf von der Quelle ausgesandte Frequenzf' vom Beobachter wahrgenommene, verschobene Frequenz

cw

f'f

1

1

'ffcw


8.4 Kompressionsströmungen im Überschall ‐ Doppler‐Effekt

Frequenzverschiebung tritt nicht nur bei Schallwellen auf, sondern bei allen Formen der Wellenbewegung, z.B. auch bei Licht in seiner Form als elektromagnetische Welle

Bewegt man sich auf eine rote Lichtquelle zu, so wird bei der Lichtquelle eine Verschiebung ins blaue Farbspektrum, also zu einer höheren Frequenz wahrgenommen


8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Schlierenoptik

Dichteabhängigkeit der Lichtbrechung ermöglicht Sichtbarmachung von Verdichtungsstößen

Schlierenoptik: Durchgangs‐ und Koinzidenzverfahren (Dubs, 1975)


8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Schlierenoptik

Schlierenaufnahme eines Profils (Truckenbrodt, 1969)


8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Interferenzmethode Treffen zwei Wellen gleicher Frequenz, jedoch mit entgegengesetzter

Phase aufeinander, so tritt Auslöschung ein Abbildung dunkler Interferenzstreifen

Doppelspalt‐Interferometer Aufspaltung von kohärentem Licht in zwei Teilstrahlen, ein Teilstrahl wird

durch die ungestörte Luft und der zweite Strahl durch die Messstrecke Cgeschickt

Nach dem Zusammenführen der beiden Strahlen treten auf dem Beobachtungsschirm Interferenzstreifen auf Dichteänderung

Doppelspalt‐Interferometer (Dubs, 1975)


8.4.2 Strömungssichtbarmachung ‐ Interferenzmethode

Interferogramm einer Überschallströmung um ein Profil (Dubs, 1975)


8.4.3 Schallgeschwindigkeit und Kompressibilität

Zustandsgrößen der Luft vor dem Eintreffen der Welle: p, T und hinter der Welle: p+dp, T+dT und +d

p p+dpT T+dT +d

c


8.4.3 Schallgeschwindigkeit und Kompressibilität

Definition der Kompressibilität

mit v = 1/ und v = ‐ /²

Wegen a² = (p/ )s folgt

bzw.

Für ein inkompressibles Fluid (s = 0) geht die Schallgeschwindigkeit agegen unendlich

ss p

vv

1

s

ss pp

112

21as

s

a

1


Kompressibilität ‐ Geschwindigkeitsberechnung

inkompressibel

2 ∙

2∙

kompressibel

11

2 ∙

11

2 ∙

1 ∙2 ∙

1

inkompressibel

kompressibel


8.4.4 Charakteristische Größen

Totalgrößen (gedankliche) isentrope Verzögerung eines Fluidelements auf die

Geschwindigkeit null

Charakteristische Größen (gedankliche) isentrope Beschleunigung eines Teilchens von einer

Unterschallgeschwindigkeit auf die Schallgeschwindigkeit oder Verzögerung eines Teilchens von einer Überschallgeschwindigkeit auf die

Schallgeschwindigkeit Zustandsgrößen werden als sogenannte charakteristische Größen

bezeichnet Charakteristische Temperatur T*

Charakteristische Schallgeschwindigkeit ∗ ∙ ∙ ∗


8.4.4 Charakteristische Größen – charakteristische Machzahl M*

Spezifische Totalenthalpie h0 entlang einer Stromlinie

.

mit ∙ folgt

∙ 2 ∙ 2

Spezifische Wärme bei konstantem Druck∙

Einsetzen in die spezifische Totalenthalpie∙ ∙ ∙ ∙



1 2 1 2

Punkt (1) = Ausgangspunkt Punkt (2) = Punkt, bei dem die Schallgeschwindigkeit erreicht wird D.h. c2 = a*, Beziehung zwischen der Strömungs‐Schallgeschwindigkeit a

und der charakteristischen Schallgeschwindigkeit a*

Indizes (1) und (2) können entfallen.

1 2

∗

1

∗

2bzw.

∗ 2 ∙ ∙ 11



Charakteristische Mach‐Zahl M* als Funktion der Strömungs‐Mach‐Zahl M

∗∗

1 ∙2 1 ∙

Allgemein giltM < 1 M* < 1M = 1 M* = 1M > 1 M* > 1

M M*

Beziehungen für senkrechten Verdichtungsstoß und für Laval‐Düse


8.4.5 Senkrechter Verdichtungsstoß

Bekannte Zustandsgrößen vor dem Stoßp1, 1, T1, M1, u1, p0,1, h0,1, T0,1, s0,1

Zu berechnende Größen hinter dem Stoßp2, 2, T2, M2, u2, p0,2, h0,2, T0,2, s0,2

Stoß selbst liegt innerhalb des Kontrollvolumens

Annahmen Strömung ist stationär, alle zeitabhängigen Derivativa verschwinden Strömung ist adiabat, es findet kein Wärmeaustausch statt Strömung ist reibungsfrei, es treten keine viskosen Effekte auf

(1) (2)p1

1

T1

c1

h1

s1

p0,1

T0,1

M1 M2

p2

2

T2

c2

h2

s2

p0,2

T0,2

Stoß



Annahmen: Adiabate Strömung, konstanter Strömungsquerschnitt System aus fünf Gleichungen Kontinuitätsgleichung

∙ ∙ Impulsgleichung

∙ ∙ Energiegleichung

2 2 Spezifische Enthalpie (kalorisch perfekten Gas)

∙

Zustandsgleichung des idealen Gases ∙ ∙



Parameter Beziehung Veränderung hinter dem Stoß

Mach‐Zahl1 1

2 ∙

∙ 12

sinkt

Geschwindigkeit

1 ∙2 1 ∙

sinkt

Dichte 1 ∙2 1 ∙

steigt

statische Temperatur 1

2 ∙1 ∙ 1 ∙

2 1 ∙1 ∙

steigt

statischer Druck 1

2 ∙1 ∙ 1

steigt



Parameter Beziehung Veränderung hinter dem Stoß

spezifische Entropie

∙ 12 ∙

1 ∙ 1

∙2 1 ∙

1 ∙

∙ 12 ∙

1 ∙ 1

steigt

Totaldruck ,

,

sinkt

Total‐temperatur

, , konstant



Veränderung der Strömungsgrößen bei einem senkrechten Verdichtungsstoß


Übung 8‐2 Zur Geschwindigkeitsmessung in einer Überschallströmung verwenden Sie das in der Skizze dargestellte Prandtl‐Rohr. Bei der Berechnung können Sie Luft als ideales Gas betrachten. Mit Ihrem Luftdatensystem erfassen Sie folgende Messgrößen:‐ Statischer Druck p2 = 1,059105 Pa‐ Totaldruck p0,2 = 1,299105 Pa‐ Statische Temperatur T2 = 402,29 K‐ Totaltemperatur T0,2 = 426,38 K

Gesucht ist die Strömungsgeschwindigkeit c1 vor dem Stoß (= Flugge‐schwindigkeit. Der Verdichtungsstoß, der sich vor der Sonde bildet, ist zwar abgehoben und gekrümmt, in dem Bereich der Staupunktstromlinie liegt jedoch ein senkrechter Verdichtungsstoß vor.

M2M1

senkrechter Stoß

Staupunkt: c = 0

(2)

2

p0,2

T2

p2

T0,2

c2

1

(1)

p0,1

T1

p1

T0,1

c1


8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß Senkrechter Verdichtungsstoß stellt lediglich einen Sonderfall dar Strömung wird in sich selbst gedreht Stromlinien rücken enger zusammen Strömung wird parallel zur Wandkontur umgelenkt Strömungswinkel entspricht dem Rampenwinkel Winkel des schrägen Stoßes wird auf die Richtung der freien

Anströmung bezogen

(2)

1

(1)

p0,1

M2

M1T1

p1

T0,1

2

p0,2

T2

p2

T0,2

schräger Stoß

Kompressionsrampe

c1

c2


8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß

Zerlegung der Geschwindigkeit c und der Mach‐Zahl M vor und hinter dem Stoß in ihre Normalkomponenten u, Mn und Tangentialkomponenten w, Mtzur Stoßfront

Tangentialkomponenten erfahren beim Stoßdurchgang keine Veränderung

, ,

Einzige Änderung ergibt sich bei den Normalkomponenten u, Mn

, ,

Problem des schrägen Stoßes wird auf das Problem des senkrechten Stoßes zurückgeführt


8.4.6 Schräger Verdichtungsstoß Normalkomponente der Mach‐Zahl auf der Zuströmseite

, ∙ Berechnung der Strömungsgrößen hinter dem schrägen Stoß erfolgt

analog zum senkrechten Stoß Zuström‐Mach‐Zahl M1 ist durch Normalkomponente Mn,1 zu ersetzen

M1, c1

Mn,1, u1Mt,1, w1

M2, c2

Mn,2, u2Mt,2, w2

schräger Stoß

Kompressionsrampe



Dichteverhältnis1 ∙ ,

2 1 ∙ ,

Temperaturverhältnis

12 ∙

1 ∙ , 1 ∙2 1 ∙ ,

1 ∙ ,

Statisches Druckverhältnis

12 ∙

1 ∙ , 1

Spezifische Entropie

∙ 12 ∙

1 ∙ , 1 ∙2 1 ∙ ,

1 ∙ ,

∙ 12 ∙

1 ∙ , 1



Normalkomponente der Abström‐Mach‐Zahl

,1 1

2 ∙ ,

∙ ,1

2 Abström‐Mach‐Zahl

,

mit1



Totaldruckverhältnis,

,

Totaltemperatur, ,

Zusammenhang zwischen Zuström‐Mach‐Zahl M1, Umlenkungswinkel und Stoßwinkel

2 ∙ ∙∙ 1

∙ 2 2


Stoßwellendiagram, Teil 1(NACA Report 1135, 1953)


Stoßwellendiagram, Teil 2(NACA Report 1135, 1953)



Eigenschaften schräger Verdichtungsstöße Für jede Zuström‐Mach‐Zahl M1 existiert ein maximaler Umlenkungswinkel

max für den ein schräger Stoß entstehen kann Maximaler Umlenkungswinkel wird mit zunehmender Zuström‐Mach‐Zahl

stetig größer, konvergiert jedoch für M1 gegen den Grenzwert max = 47° Übersteigt der Krümmungswinkel der Kontur diesen Grenzwert, so kann sich

kein anliegender Stoß mehr bilden Bildung einer abgelösten Stoßfront Für jede Zuström‐Mach‐Zahl M1 existieren zwei Lösungen, also zwei

Stoßwinkel Stoß mit dem kleineren Winkel = schwacher Stoß Stoß mit dem größeren Winkel = starker Stoß



M1

anliegender Stoß

abgelöster Stoß

M1

maxmax

Anliegender und abgelöster Stoß



M1

schwacher Stoß

Kompressionsrampe

starker Stoß

Starker und schwacher Stoß


Übung 8‐3Ein Überschalleinlauf soll für eine Fluggeschwindigkeit von M = 3,0 so ausgelegt werden, dass die Mach‐Zahl vor dem Verdichter bei M < 0,6 liegt. Ihre Firma steht dabei in Konkurrenz zu dem Unternehmen „Wir machen’s billiger“. Diese bietet einen sehr einfachen Einlauf an, bei dem die Strömung durch einen einzigen senkrechten Stoß auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst wird (Variante A). Ihr Entwurf ist deutlich komplexer und siehtähnlich dem Triebwerkseinlauf der Lockheed SR71einen axial verschiebbaren Kegel im Einlauf vor, der zunächst eine schräge Stoßfront mit einem Winkel von = 40° erzeugt, gefolgt von einem senkrechten Verdichtungsstoß (Variante B).Mit welchen Argumenten könnten Sie den Kundentrotz der höheren Kosten aufgrund des komplexeren Aufbaus von den Vorteilen Ihres Entwurfs überzeugen? Lockheed SR‐71


Übung 8‐3 Fluggeschwindigkeit M = 3,0 Mach‐Zahl vor dem Verdichter M < 0,6 Variante A

Senkrechter Stoß Variante B

Axial verschiebbarer Kegel, schräger Stoß = 40°, senkrechter Stoß

M1

senkrechter Stoß

M1

schräger Stoß

senkrechter Stoß

Variante A Variante B


Übung 8‐ 4 In der Messstrecke Ihres Windkanals untersuchen Sie das Strömungsfeld um einen keilförmigen Körper mit einem Halbwinkel von = 15°. Die Mach‐Zahl in der Düsenaustrittsebene und der Messstrecke beträgt Me = 3,0.

1.Welchen Winkel erwarten Sie für den anliegenden, schrägen Stoß an dem Keil?2. Berechnen Sie den dimensionslosen Druckbeiwert cp an der Oberfläche des Keils.

M1

anliegender Stoß

Aerodynamik Gasdynamik – Expansionsströmungen im Überschall 72___________________________________________________________________________________________________________________

8.5 Expansionsströmungen im Überschall 8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion

Umströmung einer konkaven Ecke Strömung wird in sich hineingedreht und komprimiert Verkleinerung des Strömungsquerschnitts Schräger Verdichtungsstoß Unstetiger Prozess

Umströmung einer konvexen Ecke Strömung aus sich herausgedreht Vergrößerung des Strömungsquerschnitts Expansion in einem Verdünnungsfächer Stetiger Prozess


8.5.1 Prandtl‐Meyer Expansion

M1

vordere Mach-Linie

hintere Mach-Linie

Verdünnungsfächer

(1)

(2)p1

1

T1 M2 > M1

p2 < p1

2 <

T2 < T1

Umströmung einer konvexen Ecke



Verdünnungsfächer entspricht einer unendlichen Anzahl von Mach‐Linien Diese bilden mit der lokalen Strömung den Machwinkel Begrenzung durch vordere und hintere Machlinie Winkel 1 wird auf die Anströmrichtung bezogen Winkel 2 wird auf die Abströmrichtung bezogen

Stetige Expansion in dem Verdünnungsfächer Keine Entropiezunahme Kein Totaldruckverlust Isentrope Expansion

11

1M

arcsin2

21

Marcsin



Prandtl‐Meyer‐Funktion Beschreibt den Zusammenhang zwischen den Mach‐Zahlen M1, M2 und

dem Umlenkungswinkel

mit

11 ∙

11 ∙ 1 1

Sind die Zuström‐Mach‐Zahl M1 und der Umlenkungswinkel bekannt, kann die AbströmMach‐Zahl M2 implizit aus der Prandtl‐Meyer‐Funktion bestimmt werden

Keine Zunahme der Entropie Totaltemperatur und Totaldruck bleiben konstant



Berechnung von Druck, Temperatur und Dichte über die Kessel‐Gleichungen für isentrope Zustandsänderungen

, ,

, ,

, ,



Berechnung von Druck, Temperatur und Dichte über die Kessel‐Gleichungen für isentrope Zustandsänderungen

1 12 ∙

1 12 ∙

1 12 ∙

1 12 ∙

1 12 ∙

1 12 ∙


Übung 8‐5Luft strömt um eine Expansionsrampe mit einem Rampenwinkel von = 20°. Vor der Umlenkung betragen der statische Druck p1 = 4,5 bar und die statische Temperatur T1 = 200 K. Nach der Umlenkung messen Sie eine Totaltemperatur von T0,2 = 560 K. Luft kann als ideales Gas angenähert werden. Die Expansion erfolgt isentrop (ds = 0).1.Wie groß ist die Zuström‐Mach‐Zahl M1?2. Berechnen Sie die Winkel 1 und 2 der vorderen und hinteren Mach’schen Linie des Expansionsfächers.3. Bestimmen Sie den statischen Druck p2, die statische Temperatur T2 und die Dichte 2 nach der Expansion.

M1

vordere Mach-Linie

hintere Mach-Linie

Verdünnungsfächer

(1)

(2)p1

1

T1 M2 > M1

p2 < p1

2 <

T2 < T1


8.5.2 Düsenströmung

Zweck Umwandlung von Druckenergie in kinetische Energie

Annahmen Stationäre Strömung, alle zeitlichen Derivativa /t verschwinden Eindimensionale Strömung Spezifische Totalenthalpie h0 bleibt längs der Stromlinie konstant

2 2 .

Isentrope Strömung, reibungsfrei (ediss = 0) und adiabat (q12 = 0)



Zusammenhang zwischen Querschnittsänderung, Geschwindigkeitsänderung und Mach‐Zahl

Kontinuitätsgleichung

∙ ∙ ∙ ∙ .

differentielle Form

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0

bzw.

0



Impulsgleichung für ein bewegtes Kontrollvolumen in differentieller Form Euler‐Gleichung

∙ ∙ ∙1∙

Annahmen‐ Stationäre Strömung: u/t = 0‐ Eindimensionale Strömung: u/y = 0 und u/z = 0

Vereinfachung der Euler‐Gleichung

∙1∙



Impulsgleichung

∙1∙

Eindimensionale Strömung:

also

∙1∙

bzw.∙ ∙



Mach‐Zahl

Schallgeschwindigkeit (Laplace – Form)

Eingesetzt in die Mach‐Zahl

Einsetzen der Euler‐Gleichung

∙ ∙

oder

∙



Einsetzen von

∙

in die differentielle Form der Kontinuitätsgleichung

0

ergibt

∙ 0

bzw.

∙ 1

Querschnittsflächen‐Geschwindigkeits‐Beziehung



Querschnittsflächen‐Geschwindigkeits‐BeziehungZusammenhang zwischen einer Querschnittsänderung dA und einer Änderung der Geschwindigkeit dc

∙ 1

Unterschallströmung M < 1 Querschnittsverkleinerung: dA/A < 0

∙ Querschnittserweiterung: dA/A > 0

∙Überschallströmung M > 1 Querschnittsverkleinerung: dA/A < 0

∙ Querschnittserweiterung: dA/A > 0

∙



M < 1Geschwindigkeitszunahme Geschwindigkeitsabnahme

M > 1Geschwindigkeitszunahme Geschwindigkeitsabnahme


8.5.3 Laval‐Düse

Benannt nach Laval, Carl Gustav Patrik de, Schwedischer Ingenieur Kombination einer konvergenten Unterschalldüse mit einer divergenten

Überschalldüse Erstmalige Anwendung 1888 zur Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit

in Dampfturbinen Querschnittsflächen‐Geschwindigkeits‐Beziehung

∙ 1

Beschreibt erforderlichen Querschnittsverlauf zur Beschleunigung einer Strömung auf Überschallgeschwindigkeit


8.5.3 Laval‐Düse

Beispiel Raketentriebwerk Brennkammer Hoher Druck, hohe Temperatur, Geschwindigkeit null (= Kesselbedingungen) Expansion des komprimierten Heißgas im konvergenten Teil der Schubdüse Beschleunigung von der Geschwindigkeit null bis M = 1 im Düsenhals Konvergenter Querschnitt erlaubt keine weitere Beschleunigung Beschleunigung über M = 1 erfordert divergenten Querschnittsverlauf


8.5.3 Laval‐Düse

M < 1 M > 1

p0

T0

0

c = 0

M = 0

AH = A* Aa

Ma

x

M* = 1

(1) (a)(*)

pa

Ta


8.5.3 Laval‐Düse

Auslegung des Düsenquerschnitts erfordert eine Beziehung, die den Zusammenhang zwischen lokalem Querschnitt und lokaler Mach‐Zahl beschreibt

Strömungszustände im Düsenhals entsprechen den kritischen oder auch charakteristischen Größen (*)

Kontinuitätsgleichung für den Düsenhals und einen weiteren Querschnitt∗ ∙ ∗ ∙ ∗ ∙ ∙

bzw.

∗

∗∙

∗ ∗∙ ∙

∗


8.5.3 Laval‐Düse

DüsenhalsM = M* = 1 und c* = a*

Kesselgleichung

∗ 11

2bzw.

∗ 21

Beliebiger Punkt in der Düse

11

2 ∙


8.5.3 Laval‐Düse

Kritische Mach‐Zahl M*

∗∗

1 ∙2 1 ∙

Flächenverhältnis A/A*

∗

∗∙ ∙

∗

21 ∙ 1

12 ∙ ∙

2 1 ∙1 ∙

Querschnittsflächen‐Mach‐Zahl Beziehung

∗1∙

21 ∙ 1

12 ∙


8.5.4 Angepasste‐Düse

Gedankenexperiment: Aufbau eines Überschall‐Windkanals Konzept

Vakuum‐PumpeDüse Meßstrecke

p0



11

22

2

211

121

MMA

A

52802

110

120 ,ppM

pp

83302

110

20 ,TTM

TT



Schritt 1: Düse auf der Zuströmseite zur Umgebung hin offen Ruhedruck = Umgebungsdruck p0 = 1 bar Ruhetemperatur = Raumtemperatur T0 = 15°C Geschwindigkeit vor dem Eintrittsquerschnitt c = 0 Es liegen Kesselbedingungen vor

Schritt 2: Leichte Absenkung des Druck in der Messtrecke Leichte Durchströmung der Düse, keine Überschallströmung Warum?



Schritt 2: Konvergenter Teil der Düse: Verringerung des Strömungsquerschnitts führt

zu einer Beschleunigung der Strömung Im Düsenhals wird jedoch noch nicht M = 1 erreicht Im Düsenhals liegen noch keine charakteristischen Bedingungen vor, es gilt

also noch nicht AH = A*

Strömung tritt mit M < 1 in den divergenten Teil der Düse ein Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit



Schritt 3: Weiteres Absenken des Drucks in der Messtrecke erzeugt stärkeres

Druckgefälle in Strömungsrichtung Massestrom steigt mit zunehmendem Druckgefälle an Geschwindigkeit und Mach‐Zahl im konvergenten Teil der Düse nehmen zu Druckverhältnis, ab dem im Düsenhals die Schallgeschwindigkeit erreicht

wird, wird durch die Kesselgleichung bestimmt, wenn dort M = 1 eingesetzt wird

∗ 11

2 ∙ 11

2

Für Luft mit einem Isentropenexponent von = 1,4 ergibt das ein Druckverhältnis von p*/p0 = 0,528 (= kritisches Druckverhältnis)



Schritt 3: Zu hoher Gegendruck im Düsenaustrittsquerschnitt

‐ kein kritische Druckverhältnis im Düsenhals‐ keine Schallgeschwindigkeit im Düsenhals

Strömung tritt mit Unterschallgeschwindigkeit in den divergenten Teil der Düse ein

Strömung wird wieder verzögert Abnahme von Geschwindigkeit und Mach‐Zahl Zunahme des statischen Drucks Unterschallströmung in der gesamten Düse



Schritt 4: Weitere Absenkung des Gegendrucks im Austrittsquerschnitt Kritisches Druckverhältnis im Düsenhals p*/p0 = 0,528 Im Düsenhals wird Schallgeschwindigkeit erreicht Keine Informationsübertragung stromaufwärts mehr möglich Massestrom durch die Düse ist fixiert und kann nicht weiter gesteigert

werden.



Problem bei zu hohem Gegendruck im Austritt Kritisches Druckverhältnis wurde zwar erreicht, Austrittsdruck liegt jedoch

über dem Druck entsprechend isentroper Expansion Senkrechter Verdichtungsstoßes im divergenten Teil der Düse Statischer Druck steigt an, Mach‐Zahl verringert sich zu M < 1 Unterschallströmung stromabwärts des Stoßes bewirkt

Geschwindigkeitsabnahme und weitere Druckerhöhung Druck steigt im divergenten Teil der Düse hinter dem Stoß soweit an, bis er

im Austrittsquerschnitt wieder den Wert des Gegendrucks erreicht Weiteres Absenken des Gegendrucks im Austrittsquerschnitt bewirkt, dass

der Stoß weiter stromabwärts an den Austrittsquerschnitt wandert Bei Erreichen des Gegendrucks pa = pa,isentrop verschwindet der Stoß Angepassten Düse



Laval‐Düse mit Stoß im divergenten Teil


8.5.5 Nicht‐angepasste‐Düse

Überexpansion Strömung expandiert im Austrittsquerschnitt auf einen Druck, der unter

dem Umgebungsdruck liegt, pa < p Strahl versucht den Druck zu erhöhen Schräge Stöße Strahleinschnürung

Unterexpansion Strömung expandiert im Austrittsquerschnitt auf einen Druck, der über

dem Umgebungsdruck liegt, pa > p Strahl versucht den Druck zu verringern Verdünnungslinien (Prandtl‐Meyer‐Expansion)


8.5.5 Nicht‐angepasste‐Düse Strahlrand

Stoß

Strahlrand

Strahlrand

Verdünnungslinien

a)

b)

c)c) Unterexpansion

b) IsentropeExpansion

a) Überexpansion


8.5.6 Verdichtungs‐ und Verdünnungswellen in Überschallfreistrahlen

Strahlrand

Stoß

a)

b)

VerdichungswellenVerdünnungswellen Verdünnungswellen

VerdichungswellenVerdünnungswellen Verdünnungswellen

Überexpansion

Unterexpansion


8.5.6 Verdichtungs‐ und Verdünnungswellen in Überschallfreistrahlen

Raketentriebwerk: T = 1500 K, c = 2200 m/s, M = 3 (Dubs, 1975)


8.5.7 Ausströmgeschwindigkeit

Verhältnis der beiden Kessel‐Gleichungen für Druck und Dichte

∙1 1

2 ∙

1 12 ∙

11

2 ∙

bzw.

11

2 ∙ ∙

Zustandsgleichung des idealen Gases p/ = RT

Schallgeschwindigkeita2 = RT



Verhältnis der Kesselbedingungen

12 ∙ ∙

Ausströmgeschwindigkeit

2 ∙1 ∙

Formel von Saint–Venant und Wantzel

2 ∙1 ∙ ∙ 1



Theoretisch maximale Ausströmgeschwindigkeit cmax ergibt sich beim Ausströmen gegen Vakuum, also p = 0

2 ∙1 ∙

Crocco‐Zahl CrVerhältnis der Ausströmgeschwindigkeit c zur maximalen Ausström‐geschwindigkeit cmax

1



Mach‐Zahl Me im Austrittsquerschnitt Ae der Düse wird durch das Flächenverhältnis Ae / A* festgelegt

Querschnittsflächen‐Mach‐Zahl Beziehung

e∗

1e∙

21 ∙ 1

12 ∙ e

Statische Temperatur Te im Abgasstrahl ergibt sich aus der Kesselgleichung über die Brennkammertemperatur T0

11

2 ∙

Ausströmgeschwindigkeit ∙ ∙ ∙

Aerodynamik Gasdynamik – Diffusorströmung 110___________________________________________________________________________________________________________________

8.6 Diffusorströmung

Zweck Umwandlung von kinetischer Energie in Druckenergie Einsatzbereiche: Druckrückgewinnung in einem Windkanal beim

Verzögern der Strömung auf Unterschall vor dem Kompressor Auslegung von Düsen und Diffusoren mittels der Methode der

Charakteristiken

schräge Stöße

M1 > 1

p0,1

M2 < 1

p0,2 < p0,2

schwacher senkrechter Stoß

Überschalldiffusor

Aerodynamik Gasdynamik – Diffusorströmung 111___________________________________________________________________________________________________________________

Übung 8‐6 Auslegung eines Überschallwindkanals

Auslegungsmachzahl: Me = 2.5Konische Düse, Austrittsdurchmesser: De = 1 mUmgebungsluftdruck: p = 1 bar

1. Berechnen Sie unter der Annahme einer angepassten Düse und für Luft als ideales Gas den Durchmesser D* des Düsenhalses A*2. Berechnen Sie für die folgenden Konstruktionsvarianten den erforderlichen Kesseldruck p0 vor der Expansion in der Düse und den statischen Druck pe in der Meßstreckea) Der Kanal soll über eine offene Meßstrecke verfügen, die Düse expandiert direkt in die freie Umgebungb) An das Düsenende wird ein zylindrisches Segment (Meßstrecke) angefügt. Anschließend strömt die Luft in die freie Umgebung. Am Ende des zylindrischen Segments steht ein senkrechter Stoß

Aerodynamik Gasdynamik – Messung der Strömungsgeschwindigkeit 112___________________________________________________________________________________________________________________


Unterschallströmung, inkompressibel (M < 0,3)

p1p0,1

Pitot‐Rohr Messung des Totaldrucks in einer Unterschallströmung

.constpVp , 12

1110 21

1

1101

2

ppV ,



Unterschallströmung, kompressibel (M > 0,3) Berücksichtigung des Einflusses der Kompressibilität Kessel‐Gleichungen

121

1

10

211

Mpp ,

11

21

1

102

11

ppaV ,



Überschallströmung, kompressibel (M > 1) Berücksichtigung des senkrechten Stoßes vor dem Pitot‐Rohr Rayleigh‐Gleichung: Kombination der Stoßbeziehung mit Kessel‐Gleichung

p1p0,2p0,1

Pitot‐Rohr in einer Überschallströmung

121

1241 2

11

21

21

2

1

20

MM

Mp

p ,

Aerodynamik Gasdynamik – Geschwindigkeitsbezeichnungen 115___________________________________________________________________________________________________________________


Indicated Airspeed (IAS), angezeigte Geschwindigkeit Am Fahrtmesser abgelesene Geschwindigkeit Fahrtmesser sind auf die Bedingungen der Standard‐Atmosphäre (ISA) auf

Meereshöhe kalibriert Fahrtmesser zeigt nur auf der Höhe h = 0 bei ISA‐Bedingungen unter

Vernachlässigung der Systemfehler (Instrumenten‐ und Einbaufehler) die wahre Eigengeschwindigkeit (TAS) an



Calibrated Airspeed (CAS), berichtigte Geschwindigkeit Korrektur der angezeigten Geschwindigkeit (IAS) um die Systemfehler

ergibt berichtigte Geschwindigkeit (CAS) Messgenauigkeit der Prandtl‐Sonde nimmt bei hohem Anstellwinkel

infolge der Staupunktverschiebung ab (Landeanflug) Abweichung zwischen IAS und CAS nimmt mit zunehmendem

Anstellwinkel zu Bei höheren Geschwindigkeiten (Klappen eingefahren, kleiner

Anstellwinkel) ist die Abweichung in der Regel vernachlässigbar



True Airspeed (TAS), wahre Eigengeschwindigkeit Druck und Dichte nehmen mit zunehmender Höhe ab Angezeigte Geschwindigkeit (IAS) ist immer kleiner als die wahre

Eigengeschwindigkeit (TAS) Fahrtmesser zeigt näherungsweise pro 1000ft Höhe um 2% zu wenig an In 10.000 ft Höhe liegt die TAS um 20% über der angezeigten

Geschwindigkeit



Umrechnung True Airspeed (TAS) zur Calibrated Airspeed (CAS) Statisches Druckverhältnis

Statisches Temperaturverhältnis

Θ

mit,

folgt

Θ ∙1 1

1 1



Equivalent Airspeed (EAS), äquivalente Geschwindigkeit Bei niedrigen Geschwindigkeiten (M < 0,3), das heißt bei Vernachlässigung

der Kompressibilität, wird die angezeigte Geschwindigkeit mit der Dichte auf Meereshöhe MSL korrigiert.

Verhältnis von TAS zu EAS

Θ



Ground Speed (GS), Geschwindigkeit über Grund Geschwindigkeit, die sich aus der Projektion des Flugwegs auf den Boden

beziehungsweise aus der Messung mittels GPS oder einer Radar‐Erfassung ergibt

Fluggeschwindigkeit, die um den Windeinfluss korrigiert ist Bei einer Windgeschwindigkeit von null gilt GS = TAS


Übung 8‐7 Überschall‐Verkehrsflugzeug

Ein Überschallverkehrsflugzeug erhält die Freigabe auf FL360 zu steigen. Zum Zeitpunkt der Freigabe werden von dem Luftdatensystem folgende Größen gemessen:‐ Statischer Umgebungsdruck: p = 160 hPa‐ Statische Umgebungstemperatur: T = ‐53,9 °C‐ Totaltemperatur vor dem Triebwerkseinlauf: T0 = 159 °C

‐ Luft kann als ideales Gas angenommen werden‐ Temperaturgradienten entsprechen ISA


Übung 8‐7 Überschall‐Verkehrsflugzeug

1. Liegen an diesem Punkt ISA‐Bedingungen vor? Kurze Begründung!2. Berechnen Sie mit den Angaben des Luftdatensystems das QNH (Luftdruck, bezogen auf Meeresniveau), wenn die statische Temperatur am Flugplatz beim Start T = ‐34,85 °C betrug und der Platz auf einer Höhe von h = 615 m liegt.3. Berechnen Sie die Flugmachzahl M aus den Werten des Luftdatensystems.4. Berechnen Sie den Totaldruck pt. vor dem Luftdatensystem.5. Berechnen Sie den Druck p0,2, der am Pitot‐Rohr des Luftdatensystems anliegt.6. Im Einlaufkanal steht Ihnen zwischen den Ebenen AE und Ax eine regelbare Rampe zur Verfügung. Welchen Rampenwinkel müssen Sie einstellen, damit in der der Ebene Ax die Normalkomponente der Machzahl vor dem Stoß Mn,1 = 1,414 beträgt?7. Berechnen Sie die Machzahl Mx in der Ebene Ax.8. Wie groß muss das Flächenverhältnis AE/Ax sein?

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8 Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik)hakenesch.userweb.mwn.de/aerodynamik/K8_Folien.pdf · Aerodynamik des Flugzeugs Kompressible Strömungsmechanik (Gasdynamik) Folie 3