39
8.1.2007 1 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson-Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Seminar:Stastische Software Referentin:Kathrin Lochbrunner

8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 1

Referat: Diskrete Verteilungen

Binomial-Verteilung, Poisson-Verteilung, Hypergeometrische

Verteilung

Universität Augsburg

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

Seminar:Stastische Software

Referentin:Kathrin Lochbrunner

Universität Augsburg

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

Seminar:Stastische Software

Referentin:Kathrin Lochbrunner

Page 2: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 2

Gliederung

• Allgemeines über die Verteilungen• Binomial-Verteilung in R• Poisson-Verteilung in R• Hypergeometrische Verteilung in R• Annäherung der Hypergeometrischen – Verteilung

an die Binomial -Verteilung• Anwendung für Aufgaben • Fazit

Page 3: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 3

Formeln allgemein

Binomial – Verteilung:

Poisson – Verteilung:

Hypergeometrische Verteilung:

knk ppk

npnkb

pnk

1,;

1,0;,...,1,0

!

;

,0

kekp

k

n

N

kn

KN

k

K

nKNkh ,,;

Page 4: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 4

Binomial – Verteilung in R

k = 5 , n = 3 0 , p = 1 / 3

> d b i n o m ( 5 , 3 0 , 1 / 3 ) [ 1 ] 0 . 0 2 3 2 2 4 4 5

02322,03

2

3

1

5

30

3

1,30;5

255

b

Page 5: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 5

Binomial – Verteilung in R

n = 2 0 , p = 0 .1

867,09,01,03

209,01,0

2

20

9,01,01

209,01,0

0

20)3(

173182

191200

XP

> p b in o m ( 3 ,2 0 ,0 .1 ) [ 1 ] 0 .8 6 7 0 4 6 7

Page 6: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 6

Binomial – Verteilung in R

n = 5 0 , p = 0 , 2 5 , k = ? P ( X k ) = m i n d . 9 5 %

95,075,025,050 50

kk

k n a c h k a u f l ö s e n

> q b i n o m ( 0 . 9 5 , 5 0 , 0 . 2 5 ) [ 1 ] 1 8

Page 7: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 7

Binomial – Verteilung in R

> x<-rbinom(10,50,0.5) > x [1] 24 28 35 29 19 27 22 24 21 24 > y<-seq(1,10) > barplot(x,names.arg=y)

Page 8: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 8

> x<- seq(0,10)> y<- dbinom(0:10,10,1/3)> barplot(y, names.arg=x)

Page 9: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 9

> v<- seq(0,10)> w<- dbinom(0:10,10,0.5)> barplot(w, names.arg=v)

Page 10: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 10

Kritik

Wahrscheinlichkeiten können sehr schnell berechnet werden

Graphische Darstellung ist sehr anschaulichBefehle sind leicht zu finden

- Probleme im Umgang mit den Befehlen

Page 11: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 11

Allgemeine Befehle

Für alle diskreten Verteilungen gelten dieselben Befehle: d….. Dichte p….. Verteilungsfunktion q….. Quantilfunktion r…... Zufallserzeugung Eine weitere diskrete Verteilung ist z.B. die Benford - Verteilung von der Einführung, für diese gelten die Befehle aber nicht.

Page 12: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 12

Poisson – Verteilung in R

k = 5 , = 1 0

03783,0!5

10)10;5(

510 ep

> d p o i s ( 5 , 1 0 ) | > q p o i s ( 0 . 9 5 , 1 0 ) [ 1 ] 0 . 0 3 7 8 3 3 2 7 | [ 1 ] 1 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

> p p o i s ( 3 , 1 0 ) | > r p o i s ( 5 , 1 0 ) [ 1 ] 0 . 0 1 0 3 3 6 0 5 | [ 1 ] 1 0 1 4 7 1 1 5

Page 13: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 13

λ=1> x<- seq(0:9)

> y<- dpois(0:9,1)> barplot(y, names.arg=x)

Page 14: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 14

λ=10> x<- seq(0:30)

> y<- dpois(0:30,10)> barplot(y, names.arg=x)

Page 15: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 15

λ=100> x<- seq(60,140)

> y<- dpois(60:140,100)> barplot(y,names.arg=x)

►Poisson(100)→N(100,100)►Poisson(100)→N(100,100)

Page 16: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 16

Hypergeometrische - Verteilung

k=4, N=49, K=6, n=6

h(4; 49, 6, 6)=31097,0

6

49

2

43

4

6

> dhyper(4, 6, 43, 6) | > qhyper(0.8,6,43,6) [1] 0.0009686197 | [1] 1 ____________________________________________________________________________________________________________________

> phyper(3,6,43,6) | > rhyper(5,10,10,10) [1] 0.9990129 | [1] 6 3 6 4 4

Page 17: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 17

> x<- seq(0,10)> y<- dhyper(0:10,10,10,10)> barplot(y, names.arg=x)

Page 18: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 18

Annäherung der Hypergeometrischen – Verteilung an die Binomial – Verteilung

Binomial - Verteilung: y<-dbinom(0:10,10,0.5) > y [1] 0.0009765625 0.0097656250 0.0439453125 0.1171875000 0.2050781250 [6] 0.2460937500 0.2050781250 0.1171875000 0.0439453125 0.0097656250 [11] 0.0009765625

Page 19: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 19

Annäherung der Hypergeometrischen – Verteilung an die Binomial – Verteilung

Hypergeometrische Verteilung >w1<-dhyper(0:10,10,10,10) >w2<-dhyper(0:10,20,20,10) > w3<-dhyper(0:10,40,40,10)

Page 20: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 20

Annäherung der Hypergeometrischen – Verteilung an die Binomial – Verteilung

> plot(x,w1) Kringel > lines(x,y) durchgezogene Linie > lines(x,w2,lty=2) gestrichelte Linie > lines(x,w3,lty=3) gepunktete Linie

Page 21: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 21

Annäherung der Hypergeometrischen – Verteilung an die Binomial – Verteilung

B(10, 0.5)B(10, 0.5)

H(10,10)H(10,10)

H(20, 20)H(20, 20) H(40, 40)H(40, 40)

Page 22: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 22

Poisson – Approximation der Binomial - Verteilung

H ä n g t i n e i n e m B i n o m i a l – E x p e r i m e n t d i e E r f o l g s w a h r s c h e i n l i c h k e i t p = p n d e r a r t v o n n a b , d a s s g i l t :

0lim

nn

np S o g i l t f ü r a l l e k 0 ,

);(),;(lim kppnkb nn

Page 23: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 23

Poisson – Approximation der Binomial - Verteilung

B(10, 0.6)B(10, 0.6)B(20, 0.3)B(20, 0.3)

B(60, 0.1)B(60, 0.1) Poisson(6.0)Poisson(6.0)

Page 24: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 24

Kritik

Ergebnisse von größeren Datenmengen sind schnell zugänglich

Annährung lässt sich gut graphisch darstellen

- Befehl für Hypergeometrische Verteilung ist nicht leicht zu bedienen:

h (k; N, K, n) → dhyper(k,K,N-K,n)

Page 25: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 25

Binomial – Verteilung I(aus Feuerpfeil/Heigl: „Wahrscheinlichkeitsrechnung und

Statistik, Leistungskurs“)

Aufgabe: Von einer Familie ist bekannt, dass sie sieben Kinder hat. Welche Anzahl von Mädchen ist am wahrscheinlichsten, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt 0,514 ist?

Page 26: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 26

Unterstützung in R> x<- seq(1,7)

> y<- dbinom(1:7,7,0.514)> barplot(y, names.arg=x)

Page 27: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 27

Unterstützung in R

y<- dbinom(1:7,7,0.514) [1] 0.047410963 0.150427376 0.265156622 0.280433136 0.177953866 0.062735451 [7] 0.009478548 Welche Anzahl von Mädchen ist am wahrscheinlichsten? 4 Mädchen sind am wahrscheinlichsten.

Page 28: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 28

Binomial - Verteilung II

Aufgabe1: Eine Münze wird 400 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 195 mal, aber höchstens 205 mal Zahl zu werfen?

Aufgabe 2: Wie oft erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 95% Kopf beim 20-maligen Werfen einer Münze?

Page 29: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 29

Unterstützung in R

Aufgabe 1: > x<-pbinom(205,400,0.5) > y<-pbinom(194,400,0.5) > x-y [1] 0.4176255 P(195X205)=41,76% Aufgabe 2: > qbinom(0.95,20,0.5) [1] 14

Page 30: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 30

Poisson – Verteilung I

Die Tore des FC Bayern sind poissonverteilt mit =2, die von Schalke 04 sind poissonverteilt mit =1,8. Aufgabe 1:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Mannschaft genau drei Tore zu schießen?

Aufgabe 2: Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt der FC Bayern mindestens zwei Tore?

Page 31: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 31

Unterstützung in R

Aufgabe 1: >x<- dpois(3, 2) | > y<- dpois(3, 1.8) > x | > y [1] 0.1804470 | [1] 0.1606705 > round(x, 2) | > round(y, 2) [1] 0.18 | [1] 0.16

Der FC Bayern schießt mit einer Wahrscheinlichkeit von 18% drei Tore, Schalke 04 mit einer Wahrscheinlichkeit von 16%.

Page 32: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 32

Unterstützung in R

Aufgabe 2: P(„mind. zwei Tore“)=1-P(„höchstens ein Tor“) x<-ppois(1,2) > y<-1-x > y [1] 0.5939942 > round(y,3) [1] 0.594 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 59,4% schießt der FC Bayern mindestens zwei Tore.

Page 33: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 33

Hypergeometrische – Verteilung I

In einer Klasse sind 12 Buben und 15 Mädchen. Also insgesamt 27 Schüler. In der ersten Reihe im Klassenzimmer sitzen fünf Schüler.

• Aufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen in der ersten Reihe mehr Mädchen als Buben?

Page 34: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 34

Unterstützung in R

> z<- dhyper(3:5, 15, 12, 5) > z [1] 0.37198068 0.20289855 0.03719807 > sum(z) [1] 0.6120773

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 61,21% sitzen mehr Mädchen als Buben in der ersten Reihe des Klassenzimmers.

Page 35: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 35

Hypergeometrische – Verteilung II(aus Behnen/Neuhaus: „Grundkurs Stochastik“)

Laut Liefervertrag darf in einer Firma eine Lieferung im Umfang von N=1000 Teilen höchstens 2% defekte Teile enthalten. Laut Prüfverfahren wird die Lieferung zurückgewiesen, wenn eine Stichprobe vom Umfang n=50 mindestens ein defektes Stück enthält.

Aufgabe 1: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Lieferung, die genau 2% defekte Teile enthält zurückgewiesen?

Aufgabe 2: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Lieferung, die dagegen nur 1% defekte Teile enthält, zurückgewiesen?

Page 36: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 36

Unterstützung in RAufgabe 1: > x<- dhyper(0, 20, 980, 50) > x [1] 0.3548709 > y<- 1-x > y [1] 0.6451291 > round(y,2) [1] 0.65

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 65% wird die Lieferung, die genau 2% defekte Teile enthält, zurückgewiesen.

Page 37: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 37

Unterstützung in R

Aufgabe 2: > v<- dhyper(0, 10, 990, 50) > v [1] 0.5973113 > w<- 1-v > w [1] 0.4026887 > round(w,2) [1] 0.4

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% wird die Lieferung zurückgewiesen.

Das vereinbarte Verfahren ist also sehr streng.

Page 38: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 38

Kritik

Viele Aufgaben lassen sich durch R unterstützen

Große Daten (z.B Münzaufgabe mit 400maligem Werfen), die sich sonst nur durch die Normalverteilung annähern lassen, können ohne Probleme berechnet werden

Page 39: 8.1.20071 Referat: Diskrete Verteilungen Binomial-Verteilung, Poisson- Verteilung, Hypergeometrische Verteilung Universität Augsburg Mathematisch-Naturwissenschaftliche

8.1.2007 39

Fazit

R sehr hilfreich zum Lösen von Aufgaben und zur Veranschaulichung der Verteilungen

- Poisson – Verteilung und Hypergeometrische Verteilung sind im Lehrplan nicht enthalten →Einsatz in der Schule nur begrenzt möglich

- Grundbefehle und Erklärungen für den Lehrer auf deutsch nötig