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Zufallsmatrizen
Simone Warzel
Zentrum Mathematik, TUM
9 Vorlesungen: Dez. 2017
I. Einleitung Historisches und 2 Beispiele
1 Mathematische Statistik (≥ 1930)
Datenmatrix N empirischer Messungen von je M Zufallsvariablen (ZV):
Y =
y11 . . . y1M...
...yN1 . . . yNM
Empirisches Mittel der k ten Variable: k = 1, . . . ,M
yk =1N
N∑j=1
yjk
Empirische Kovarianzmatrix: Q = (Qlk )l,k=1,...,M
Qlk =1N
N∑j=1
(yjl − y l) (yjk − yk )
i.e. Q =1N(Y − Y
)T (Y − Y
)
Historisches und 2 Beispiele
Paradebeispiel einer Verteilung:
Die Zeilen der M × N-Matrix X (= Y − Y ) seien unabhänging undnormalverteilt mit Mittelwert 0, d.h., die Warscheinlichkeitsdichte einesZeilenvektors ist von der Form:
p(x) =1
(2π)N/2(det Σ)1/2 exp(−1
2〈x,Σ−1x〉
).
wobei Σ eine positiv definite M ×M-Matrix ist. (Kovarianzmatrix)
Die M ×M-Matrix
Q =1N
X T X
nennt man dann eine Zufallsmatrix des Wishart Ensembles.
Historisches und 2 Beispiele
2 Kernphysik (Wigner, Dyson ≥ 1950)
Statistische Erklärung der (hohen) Energiezustände von großen Kernen
(Aus Metha’s Buch)
Beobachtung: Lokale Statistik der Energieniveaus, die zur selbenSymmetrieklasse (Spin, . . . ) gehören, sind identisch verteilt wie dieEigenwerten einer Zufallsmatrix in dieser Symmetrieklasse.
Historisches und 2 Beispiele
(Aus Metha’s Buch)
Historisches und 2 Beispiele
Die Einträge der reellen, symmetrischen N × N-Matrix X seien (bis auf dieSymmetrie) unabhänging und normalverteilt mit Mittelwert null, E (Xjk ) = 0,und Varianzen
E(
X 2jk
)=
1 für j < k ,
2 für j = k .
Dann nennt man die N × N-Matrix
H =1√N
X
eine Zufallsmatrix des Gaußschen Orthogonalen Ensembles (GOE).
Interessante Fragen und Größen
1 Verteilung der Eigenwerte (EW) auf einer globalen Skala?
Histogramm der EW einer 1000× 1000-GOE Matrix(geeignet skaliert)
Grenzverteilung für N →∞?
(vgl. Wigner’s Halbkreisgesetz - Kap. II)
2 Verteilung der Eigenwerte auf einer lokalen Skala?
Beispiel: Eigenwerte λ1 ≤ · · · ≤ λN einer GOE-MatrixGrenzverteilung der Eigenwertabstände von GOE für Energien im’Bulk’, z.B. für k ≈ N/2:
limN→∞
ddt
P (N(λk+1 − λk ) < t) = fGOE (t)
(vgl. Bild auf Folie 5 und Kap. III)
3 Verhalten der Eigenvektoren?
Lokalisierte vs. Delokalisierte Eigenvektoren.
Universalität
Auftreten eines makroskopischen Gesetzes, welches unabhänging von denmikroskopischen Details des (physikalischen) Systems ist.
Paradebeispiel:
Theorem (Zentraler Grenzwertsatz)
Seien X1, . . .XN unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mitMittelwert µ ∈ R und Varianz σ2 ∈ (0,∞). Dann konvergiert
SN :=1√N σ
N∑j=1
(Xj − µ)
für N →∞ in Verteilung gegen eine Standard-Normalverteilung N (0, 1),d.h., für alle t ∈ R:
limN→∞
P (SN < t) =
∫ t
−∞e−ξ
2/2 dξ√2π
.
Allgemeineres Phänomen: Maßkonzentration (vgl. Kap. I)
Universalität
Unabhängigkeit von Details der Verteilung der Einträge – Beispiel:
Für reelle, symmetrische N × N-Matrizen H mit Einträgen, welche (bis aufSymmetrie) unabhängig, identisch verteilt sind, sind folgende Größen nichtvon den Details der Verteilung abhänging:
1 Empirische Eigenwertverteilung (Wigner 1955)
2 Verteilung des größten Eigenwerts (Soshnikov 1999)
3 Lokale Verteilung der Eigenwerte im ’Bulk’(Schlein, Erdös, Ramirez, Yau, Yin, Tao, Vu > 2008)
Systeme, die sich ’wie Zufallsmatizen verhalten’ – Standardvorgehen:
Gegeben ein Datensatz (ak ). Reskaliere Daten ak := α (ak − A) so, dass
E(Anzahl der ak pro Einheitsinterval
)= 1
Vergleiche diesen reskalierten Datensatz mit den analog reskaliertenEigenwerten einer Zufallsmatrix.
Universalität
1 Zahlentheorie: Riemannsche Zetafunktion
ζ(z) =∞∑
k=1
1k z =
∏p∈Primes
(1− p−z)−1
, Re z > 1
(mittels analytischer Fortsetzung auf Re z ≤ 1) und ihre nichttrivialenNullstellen z = 1
2 + iγk .
Numerische Evidenz für die Gleichheit derreskalierten Abstandsverteilung γk+1 − γkund der Eigenwertabständsverteilung vonGUE Matrizen.
Universalität
2 Quantenchaos: Energieeigenwerte eines freien Quantenteilchens ineinem Billiard: H = −∆ auf L2(B).
Numerische Evidenzfür GOE-Eigenwertstatistik.
Bohigas-Giannoni-Schmit conjecture
3 Kombinatorik und Statistische Mechanik: In einer Reihe vonkombinatorischen Problemen und Problemen aus der StatistischenMechanik tritt die Verteilung des größten Eigenwerts von GOE/GUE auf.
Beispiele: größte aufsteigende Teilfolge in zufälligen Permutationen,Wachstumsmodelle (Polynukleares Wachstum, Ising-Droplets, . . . )
Literatur
G.W. Anderson, A. Guionnet, O. Zeitouni,An Introduction to Random Matrices,Cambridge University Press 2010.
P. J. Forrester,Log-Gases and Random Matrices,Princeton University Press 2010.
M. L. Metha,Random Matrices (third edition),Elsevier 2004.
T. Tao,Topics in Random Matrix Theory,AMS 2012.
(+ Vorlesungsnotizen)