196 Kleine Mittei

Netz fur n = 6 dar ; liier weist die isoptisclie Kiirve fur i = 2,4 einen dreifachen Punkt auf, wlhrend jene fur i = 3 zu einem doppelt uberdeckten Kreis ausgeartet ist.

Nebenbei bemerkt, handelt es sich bei uns um das D i a g o n a l k u r v e n n e t z des von H. G r a f und R. S a u e r (,,Uber dreifache Geradensysteme in der E bene, welche Ureieckanetze bilden", Sitzgsb. d. bayr. Akad. d. W. 1924) angegebenen Netzes, das aus Tangenten der S t e i n e r schen Zykloide gebildet wird. E s sind daher umgekelirt die Diagonalkurven des Trochoidennetzes T a n g e n ~

t e n der H u l l z y k l o i d e . Wie man aus .4bb. 2 sieht, wo dieselben gestrichelt vermerkt wurden, gestatten sie eine einfache Kontrolle der Zeichnung.

Die Fliiche der Zykloide wird durcli die Netz- kurven (1) in n2 M a s c h e n zerlegt; die Anzahl der K n o t e n i s t (n+i) ( n + 2 ) , wobei die 3 Spitzen und die 3 (n- 1) Beruhrpunkte mit- gezlhlt sind. Das Diagonalnetz bestelit aus 311 T a n g e n t e n .

Wien. W a l t e r W u n d e r l i c h . 761

Ableitung Filonscher Antiplanspannungen aus dam Dreifunktionenansatz.

I? i 1 o n l j hat durch Nullsetzen von Spannungs- komponenten, welcbe einer Ebene, sagen wir der 2, y-Ebene (in kartesischen Koordinaten x, Y, Z) zugeordnet sind, den als ,,antiplan" bezeichneten Zustand definiert, wobei sich neben bekannten El len - wie reiner Zug, reine Biegung, Biegung mit Querkraft, reine Verdrehung - ein bemerkens- rverter und bisher offenbar nicht beachteter Zu- stand mit

Iierausstellte. Dabei ist C Konstsnte und 97 = rp (x, Y) eine harmonische Funktion der x, u-Ebene. Dieszr Zustand betrifft beispielweise die Spannungs- verteilung eines prismatkchen Kiirpers (z. R. eincs Bolzens), der durch Uberwinden von Oberfllcheii- reibung in ein Loch getrieben wird; die Reibungs- krlfte (Schubspannungen) sind dabei in Richtung der Erzeugenden konstant. Nan kann daher den gesamten antiplanen Zustand auch anschaulicher als p r i s m a t i - s c h e n S p a n n u n g s z u s t a n 13 kennzeichnen.

Im folgenden zeige ich, wie sich das zugehtirige Gleichungssystem leicht aus meinem allgemeinen riiiiimlichen Dreifunktionenansatz herleiten 1Ll3t. Ich Geschrlnke mich dabei auf den nicht-trivialen Fall

den v e r a l l g e m e i n e r t e n

mit oz = C . Z. Entsmechend dem Dreifunktionenansatz *I gilt fur

die Verschiebnngen E , . 7, z und die Span~ungen o,, rzy .usw. in kartesischen Koordinaten z, u, z allgemein:

1) F i l o n , L. N. G . : h o e . Roy. So?. Londor~ A 180, 137

2) N e u h e r H.: ,,Kerbspanriung9lehre" Berlin (1037), bis 154 (1937).

Absrhnitt 1II;'ferner ZAMM 11 (1934), S. 2 6 3 bis 212.

Hierin bedeuten

n=2--22/?n. . . . . . (3)

F = G , + . r . r l , , i - ? / . @ , t Z . ~ 3 . . . (4). und

@*, #,, @,, sind harmonische Funktionen, also Liisungen der Gleichung

n (1, = 0 . . . . . . . ( 5 ) .

Icli behaupte, daB der mit den GI. (1) wieder- gegebene F i 1 o n sche Zustand folgendermal3en aus dem Dreifunktionenansatz gewonnen werden kann:

Man setzt

5 - 2 " C f 12 (4 - a )

1 @, = 0, G2= 0, (P. - - 9

$ - (1

C + 4 ( 4 - a )

Wie man sieh leicht uberzeugt, sind die Funktionen

I 23 - 3 22 z - 3 g2 z), I cf, ---zq- 1 -'--.-C(O

I u-

I@)- (0 ,$ - x? - ?,2)

2 x3 - 3 x? z 3 ,y= z

2 2 2 - x2 - .?/2 und

liarmonisch, ebenso anch 297, nachdem 97 als har- monische Funktion der 2, u-Ebene vorausgesetzt ist. ixfriedipt. Durch Einsetzen dieser husdriicke in die Bez?ehnng (4) ergibt sich

Damit ist die Bedingung (5) fur @,, und

Aus (2) folgt schlieBlich

w. z. b. w. Braunschweig. H. N e u b e r . 791