Abschlussprüfung BM Mathematik Schwerpunkt TAL Teil 1 ......Abschlussprüfung BM Mathematik Schwerpunkt TAL Teil 1 Prüfungsdauer 90 Minuten, ohne Hilfsmittel Die Lösungen werden

BM Mathematik – T1 Schwerpunkt_16 / 0 - Serie Seite: 1/7

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Abschlussprüfung BM Mathematik Schwerpunkt TAL Teil 1

Prüfungsdauer 90 Minuten, ohne Hilfsmittel

Die Lösungen werden nur bewertet, wenn der Lösungsweg klar ersichtlich und sauber dargestellt ist.

Alle Lösungen müssen, falls möglich, exakt angegeben werden!

Nicht mit Bleistift schreiben.

Alle Aufgaben müssen direkt auf das Aufgabenblatt gelöst werden.

Falls mehr Platz benötigt wird verwenden Sie die Rückseite oder ein Zusatzblatt.

Alle Blätter müssen vollständig mit Name und Klasse (Zusatzblätter: Aufgabennummer) beschriftet sein.

Jede Aufgabe aus dem Prüfungsteil 1 korrekt gelöst zählt 4 Punkte.

Jede Aufgabe aus dem Prüfungsteil 2 korrekt gelöst zählt 4 Punkte.

Total Punktzahl: 48

43 Punkte ergibt die Note 6.



Aufgabe 1

I Lösen Sie die Gleichung nach x auf: 1151 +− ⋅= xx bbb

II Zerlegen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze so weit als möglich:

+⋅ vva

1

1log

III Vereinfachen Sie und fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen:

( ) ( ) ( )( )qpqpa

pa 2log2log1

log 333 −+++

Lösung 1

I Lösen Sie die Gleichung nach x auf: 1151 +− ⋅= xx bbb

1

1

15

1

1

1

1

1

15

1

1

1

++

−+− =→⋅= xxxx bbbbb

15

1

1

1

1

1

1

1

15

1

1

1=

+−

−→

++=

− xxxx

( ) ( ) 1151115

1

1

11 2

2−=+−+→=

−−−+

xxxx

xx

31130 22 =→−= xx 31±=x 1

II Zerlegen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze so weit als möglich:

+⋅ vva

1

1log

( ) ( ) ( ) ( )( )vvvv aaaa ++−=+⋅− 1loglog01log1log

( ) ( ) ( ) ( )( )=+⋅+⋅−=

++⋅− vvvv aaaa 1log5.0log1loglog 2

1

( ) ( )vv aa +⋅−⋅− 1log5.0log 1.5

III Vereinfachen Sie und fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )qpqpa

pqpqpa

pa a 22log1

log2log2log1

log 33333 −++=−+++

( ) ( )( )( )=−+ aaqpp

22

33 4loglog ( )( ) ( )

−⋅=− a aaa qppqpp 22

3

22

3 4log4log2

1.5



Aufgabe 2

I Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

( ) 02

12lnln =

−−+ xx

Lösung 2

I Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

( ) 02

12lnln =

−−+ xx 02

12: >−−xD

2

12+>x

{ }5.22

5>∈=

>∈= xRxxRxD 1.5

( ) 02

12ln0

2

12lnln =

−−⋅=

−−+ xxxx

012

121

2

12 2 =−

+−=

−−⋅ xxxx

2

45.25.2

2

45.25.2

2

45.25.2 2

2

2

1

2

2,1

+−=

++=

+±= xxx

x2 wird negativ und ist somit nicht in D:

++

=2

45.25.2 2

L 2.5



Aufgabe 3

I Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften der gegebenen Graphen.

II Bestimmen Sie die Asymptoten zu den Graphen, sofern vorhanden.

Lösung 3

I ( ) ( ) ( ) 8253 2

4

1 +−=−−= xxfxxf je 0.5

( ) ( ) ( ) 45

112log 423 +

−=+−=x

xfxxf

II ( )xf1 Keine Asymptote

( )xf2 Horizontale Asymptote bei y = 8

( )xf3 Vertikale Asymptote bei x = 2 je 0.5

( )xf4 Horizontale Asymptote bei y = 4

Vertikale Asymptote bei x = 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

f1

f2

f3

f4



Aufgabe 4

I Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Funktion ins gegebene Koordinatensystem: ( ) 322 ++⋅−= xxf

II Bestimmen Sie graphisch die Umkehrfunktion

III Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion inklusive Definitions- und Wertemenge.

Lösung 4

Spiegeln an der y = x – Achse 1.5

( ) ( )35.02322 −−=+=++⋅−= yxyxxf

( ) ( ) 2325.0325.0222 −−⋅=−⋅=+ yxyx

( ) ( ) 2325.021 −−⋅=− xxf 1.5

{ } { }yRyWxRxD ≤−∈=≤∈= 2;3 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

y



Aufgabe 5

Ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenusenlänge von 5cm hat eine Kathete von 4cm Länge.

Diesem Dreieck wird ein Quadrat einbeschrieben.

Berechnen Sie die Länge der zweiten Kathete.

Berechnen Sie die Fläche des einbeschriebenen Quadrates.

Berechnen Sie das Verhältnis, in welchem der Berührungspunkt des Quadrates die Hypotenuse teilt.

Lösung 5

cmb 345

22 =−= 1

7

12

127

4

3

22

=

=+−−

=−

x

xxx

x

x

x

x

22

49

144cmxA == 2

4

3=

a

b 1



Aufgabe 6

Gegeben sind die Vektoren a , b , c und d .

=

0

1

1

a

=

1

0

1

b

=

1

1

0

c

−

−=

1

2

9

d

I Zerlegen Sie den Vektor d nach den Vektoren a , b und c (Linearkombination),

d.h. Sie müssen r, s und t so bestimmen, das gilt: dctbsar =⋅+⋅+⋅

II Berechnen Sie den Abstand zwischen den Punkten A(2; -1;- 2 ) und B(6;-6; 2 ).

III Berechnen Sie das Skalarprodukt von a und d

Lösung 6

I Zerlegen Sie den Vektor d nach den Vektoren a , b und c (Linearkombination), d.h. Sie müssen r, s und

t so bestimmen, das gilt: dctbsar =⋅+⋅+⋅ (2P)

( )( )( )3

2

1

1

2

9

−=+

−=+

=+

ts

tr

sr

(2) – (3): ( )( )1

4

9

1

=+

−=−

sr

sr

(4) – (1): 82 =r 4=r

r = 4 eingesetzt in (1) 5=s

r = 4 eingesetzt in (2) 6−=t 2

II Berechnen Sie den Abstand zwischen den Punkten A(2; -1;- 2 ) und B(6;-6; 2 ). (2P)

−=

22

5

4

AB

( ) ( )22.22254 +−+=d

82516 ++=d

49=d 7=d 1

III ( ) ( )102191 −⋅+−⋅+⋅=⋅da 7=⋅da 1

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