AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +

AC Analyse

2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Sprungantwort

)(th )(* tU out

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

)()( isCi UI

)()(

)()( s

sQ

sPs inout

* UU

sthS /1)}({


DC

)(th )(* tU out


AC

)(th )(* tU out


Sprungantwort

)(tf

)()(')(0

it

i tthttftf

0

*

0

* )()(')()(')( dtufttuttftu it

outiout

)(tuout)(th )(* tu out


AC Analyse eines Verstärkers mit RK

T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signalgain am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti



h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)()1...()()1...( 0*1

1 thDbAtuDaDa mmout

nn



)(* tu out

0)()1...( *11 tuDaDa out

nn



h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)(~)( 0*2

2 thDbAtuDa mmout

)(~)( 2

20

* thDa

bAtu mm

out

2m

1m

0m

2x integrieren



)(1

1)(

11

22

10

* thDaDa

DbAtu out

0112

2 aa

011* 21)()( AeCeCthtu ttout

0/1

/1

* 21)()( AeCeCthtu ttout

22

1112

1,

1

))(()( 0/

1*

211 AeCthtu t

out 12211 /, aaa

h(t))(* tu out

)()1)(1(

1)(

12

10

* thDD

DbAtu out

Polynom in D

Charakteristische Gleichung

Partikulare Lösung

Wurzel sind Realzahlen



T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signaldämpfung am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1

)1()(

212

21

*0

DD

DADA zOL

OL

1

)1()(

212

21

0

DD

DTDT z

Annahme: System zweiter Ordnung


Testschaltungen für Feedbackanalyse

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

RK FF

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

T

AAFFA OLOL

F

1

21



111

1

1)(

0

0212

0

21

*

0

0

D

T

TD

T

D

T

ADA

z

zOLF

)(1

)()(

DT

DADA OL

F


Lösung der DG zweiter Ordnung

111

1

1)(

0

212

0

210

D

TD

TT

ADA OL

F

011

0

2

0

Q

2212112 41

22Q

11

1

1)(

0

2

0

0

D

QDT

ADA OL

F

21

00210 ,1

QT

2211 /1,/1

)14sin()14cos()()( 21

21

* tQCtQCethtu tout

Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)

Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte

Das charakteristische Polynom

Die Lösung


Stabilität

2212112 41

22Q

ttout eCeCtu 11

21* )(

21

0210 ,1

QT

5,0Q

UQ

Q

14

22

2

707,0Q

707,0Q

Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell

Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger

Antwort mit RK ist schneller für Größere T


Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung

707.0)1(

21

21

T

Q

1212 5.0 T

12

5.0 T

2112 )(

5.0zT

T


Verstärker 2ter Ordnung mit RK

ω1ω2

λ1, λ2

T0 steigt

Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen



)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1)(

1

0

D

ADA OL

OL

1)(

1

0

D

TDT

11

1

1)(

0

10

DT

T

ADA OL

F 01 T

AA OL

DCF

00

1

11 TTOL

F

Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter

Zeitkonstante verbessert sich um 1+T

Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant



)(1

)()(

DT

DADA OL

F

111)(

321

0

DDD

ADA OL

OL

111)(

321

0

DDD

TDT

ω1ω2

λ1, λ2

ω3

λ3

Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,

wird kleiner

T steigt

Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…

Das System kann bei großer T instabil werden


Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uGNur R



uC1

uC2

uG

+

+

C2

C‘2

uG

+

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren



uC1

uC2

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111


+

+

Matrix Form

Lineare Form



uC1


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uC2


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uG


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uC1

uC2

uGNur R

dt

tduCti

)()(

+


GCCC uducuci 22221212 +

+

Ersetzen wir i durch CDu



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GC

C ud

d

u

u

cDCc

ccDC

2

1

2

1

22221

12111

)(

)(

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC DUUC

GC DUCU 1

2

22

dt

dD

dt

dD

t

dD0

1

10

1

t

ddt

dDD

10

1 t

dd

dDD

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

11

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC uDaDa

DbAu

1

1''

12

2

12

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

1

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

h(t)

δ(t)

)(t

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

(1)



)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(t

)(th

)(tuCP)(tuCH

0

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant



))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

(1)

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

(2)

(3)

(4)



Aecect to

to 21

21)(

0112

2 aa 0)(

)(

22221

12111 cCc

ccC

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)



uC2

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



uC1+

+

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…



Aecect to

to 21

21)(

Aecect to

to 21 /

2/

1)(

0112

2 aa

Aececthtu to

toC 21 /

2/

1)()(

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

wird

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

0112

2 aa


Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 010

11 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden


Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

110

212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1


DC AC

Ohne RK

RK

inout VRR

RV

21

1

outVinV

1R

2R

)(1

)1()(

12

2

1 tAuDaDa

Dbtu Gout

)()( ssCUsI

Ω

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

2112 )(

5.0zT

T


Tiefpass 2. Ordnung (Beispiel)

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

Aececthtu to

toC 21 /

2/

12 )()(

)()( thtuG

Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren

DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31

Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion

Die Lösung hat die Form (Seite 38)


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

1A

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

1V

Finden wir A (DC Verstärkung)

Es fließen keine Ströme

durch C

VuC 1)(2 weil


Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

210

11 RCRCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a1


Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

2111 RCRCa 212

0 RRR

Messung von R02

Formel

Ergebnis

)( 212111 RRCRCa



Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

10

212 RRCCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis



Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

1212 RRCCa 22

1 RR

Messung von R12

Formel

Ergebnis

21212 RRCCa



Tiefpass 2. Ordnung

GC uDD

DbAu

)1)(1(

)1(

21

12

121221 , aa

1121 a 122 / aa

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

1A

(1)

(2)

Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)

Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)


Tiefpass 2. Ordnung

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

11 a 212 / aa

Bis jetzt hatten wir

Co1 und Co2 = ?

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

dt

tduCti

)()(

+

0)0(2 Cu

0i0u

0t

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

10 21 oo cc

Erste Anfangsbedingung:


Tiefpass 2. Ordnung

C1

R1

C2

R2

uC

t

2211 //0 oo cc

dt

tduCti

)()(

+

0)0(1

)0( 22

2 CC i

Cu

+

uG

0t

0i

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

Zweite Anfangsbedingung:


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

0t

So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten

So verhält sich unsere Schaltung


Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!


Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)

Rx


Beispiel (2)

GC uDaDa

Dbu

1

1

12

2

12

220

110

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

C

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

R1

R2

C1

C2

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

02121

10

2 CCRRa

(1)

Lösung der Gleichung (1)

220

110

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…


Anfangsbedingung (1)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

t = 0+

∞

∞

021

10

12

22 /1/1

/1)0( U

CC

CU

DCDC

DCuC

Großer Strom


Endzustand

R1

R2

U0h(t)

t = ∞

021

22 )0( U

RR

RuC

uC

t

021

2 URR

R

021

1 UCC

C

))||)(/(( 2121 RRCCte

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