Adjungierte Extremalfl~tchen im vierstufigen Raume. Yon

Lothar Koschmieder in Br~m~).

Bei den Minimalfl/ichen des dreistufigen Raumes R s hat sich der Begriif zweier ~ju~ier ter Fi~chen dieser Art aIs fruchtbar erwiesen. Es gelang Haar, ihn auf die Extremalen eines recht allgemeinen, iiber ein Fliichenstiick im R s erstreckten Doppelintegrals H zu /ibertragen2): Er stellt einem solchen Yariationsproblem u ein ~weites ~ aIs adjun~ertes zur Seite (das im Fa]le der Minimalfl~chen mit v zusammenf~llt); die Extremalen e yon v sind dann die adjuogierten Fl~ichen zu denen r yon v. Zwischen e und e gibt es eine Fiille geometrischer Beziehungen. Den von Haar ~) angegebenen hat Berwald ~) weitere wesentliche hinzugefiigt, namentlich so]che, die yon den zweiten Ableitungen der Koordinaten eines F1/ichenpunktes abh~ingen.

Die vorliegende Arbeit setzt es sich zum Ziele, entsprechende Ergebnisse bei dem Variationsproblem ~ eines Doppelintegrals J zu gewinnen, das tiber ein zweistufiges Fl~chenstiick des v/erstufigen Raumes R, ers~reckt 4) und ~hnlich gebaut ist wie H i m Rs; die Willkiirlichkeit des Integranden schr~inken wir allerdings noch dadurch ein, dab wit ihn einer partie]len Differentialgleichung unterwerfen 5).

Zun/ichst erkli~ren wit zu einer Extremale ~ yon ~ eine adjungierte Fliiche ~ (w 1). Diese erweist sich (w 3) als Extremale eines aus ~B her- leitbaren Variationsproblems ~B, das wir das zu ~ adjungierte (w 2) nennen. Die Beziehung zwischen ~ und ~ ist umkehrhar; etwas Verwandtes gilt flit das Verh~ltnis yon ~ zu ~ (w 3, End@ Die zwischen diesen Fl/ichen zustandekommende Abbildung, bei der zusammengeh6rige Linienelemen~ aufeinander senkrech~ stehen (w 1), hat folgende Haupteigenschaft (w 4): Sie stellt sich aIs lrerbiegur~ dar, wenn man auf �9 und ~ dutch eine geeignete quadratische Differentialform eine Ma~bestimmung ~J{ einfiihrt.

l) Ober den Inhalt dieser Arbeit hat Verf. beim 11. Deutschen Mathematikertag in Stuttgart am 24. September 1935 vorgetragen.

~) A. Haar, Math. Annalen 100 (1928), S. 481--502. 3) L. Berwald, Monatsh. f. Math. u. Phys. 88 (1931), S. 89--108. ~) Wir fiihren also Haars Gedanken hier nicht in dem Sinne weiter, dab wir

ein dreifacbes Integral iiber eine ~berfl~che des R 4 betrachteten. �9 5) [Zusatz bei der Druckprobe.] Tats~chiich liegt hierin keine wesentliche

Einschr~nkung; siehe FuBnote 11).

44 L. Kosohmieder.

Die aufgez~hlten Ergebnisse bedeuten eine ziemlich weir reichende Verallgemeinerung yon S~tzen, die man in dem n~hstliegenden Sonder- falle, dem der Minimalfl~chen (~n de~ R4, kennt6). Dieser ist in unserm Begriffsgebiete dadureh ausgezeichnet, daft das zugeh~rige Variations- problem sich selbst adjungiert ist.

Das Vorbild yon ~ , das Berwald dutch seine Maflbestimmung m auf e,~ gegeben hat, kann man, wie dieser zeigtT), aus einem Linien- elemente herleiten, das ich auf einer beliebigen Fl~iehe f i m Zusammen- hange mit einem allgemeinen tiber sie erstreckten Doppelintegrale erklart habeS). Ob man aus einem aligemeinen Doppelintegrale tiber irgendeine Fl~che ~ de~ R~ eine Maflbestimmung a u f ~ gewinnen kann, als deren Sonderfall auf ~ sich ~ auffassen liel3e, bleibt noch dahingestellt. Wie auf diese, so hoffe ieh sp~iter auf eine zweite naheliegende Frage zuriick- zukonunen: Gibt es im R 4 Gegenst~icke zu Berwalds genannten Siitzen ? -- also zu S~itzen, die die Eigenschaften zweiter Ordnung yon e, e betreffen und z. B. den Satz yon Bonnet verallgemeinern, nach dem sich die Kriimmungslinien einer Minimalfl~che auf die Asymptotenlinien der adjungierten abbilden. Um die Antwort zu finden, mul~ man au~ den schon hervorgebobenen und im Scbrifttum ~,ingehend behandelten Sonder- fall der Fl~eben ~0 ~) zuriiekgreifen. Es k~me darauf an, die bei ihnen erzieTten geometrischen Ergebnisse mit den yon Konunere]l geschaffenen fliichentheoretischen Hilfsmittel~ lo) zu vervollst~indigen nnd den allgemeineren Extremalen ~ nutzbar zu maehen.

w

Die zu einer Extremale adjungierte Fl~ehe.

Haar ~) nimmt an, daft der Integrand yon H nur yon den drei Funktionaldeterminanten abh~ngt, die man yon den drei Koordinaten der Punkte einer. Fl~che des R 3 naeh deren Parametern bildet. Um im R~ einen entsprechenden Ansatz zu gewinnen, bezeichnen wir dort mit x, y, z, w

';) Die S~tze fiber die (~o sind von L. Pf. Eisenhart aufgestellt, Amer. Journal of Math. 34 (1912), S. 215--236.

7) BerwaldS), S. 90, 102-105. s) Koschmieder, Proc. Akad. van Wetensch. Amsterdam 81 (1928), S. 473--475. 9) Vgl. aul]er 6) A. R. Forsyth, Geometry of four dimensions II (Csmbridze 1930),

S. 312--3.'0. -- Zu den (~0 geh6ren gewisse funktionei~heoretiseh bedeutsame Fl~chen ; siehe: K. Kommerell, Math. Annalen 60 (1905), S. 586--589; Eisenharte). S. 228--230; K. Reinhardt, Jahresber. d. Deutschen .Math.-V, er. 38 (1927), S. 193--197.

10) Kommerellg), S. 548--568; Die Kr~mmung der zweidimensionalen Gebilde im ebenen Raum yon vier Dimensionen, Diss. Tiibingen 1897.

Adjungierte E x t r e m a l f l ~ h e n in, vierstufigen Raume. 45

rechtwinldige Punktkoordinaten. Einer F]~che ~ des R~ kommt eine Darstellung durch zwei Parameter u, v zu, die etwa laute:

(1.1) x = X ( u , v ) , y = Y(u,v), z = Z ( u , v ) , w = W(u,v).

Wir setzen

o (x, Y) o (x, z) o (x, w) = 0~,

(1.2) o(z,w) = 0,, olw, r) a(r,z) o(u,v) = Ps, o(u,~) = P~, = 0~, O(u,~) = ~'~ = 0,;

zwischen diesen p,~ -- -- ~ , besteht die Pliickersche Identit~t

(1.3) Pl, Ps, + 1ola P,! + P,, l~,s ---- 0.

Das Grundintegra] besitze die Gestalt

(1.4)

Hierin sei �9 eine yon den Koordinaten ffeie positive Funktion der In, ~, geniigend oft nach diesen ableitbar und in ihnen positiv-homogen yon erster Stufe, so daft

(1.5) X p"o,,--; = X r

ist; J ist dann parameterinvariant. Ferner geniige die Grundfunktion der partiellen Differentialgleichung

(1.6) 0~ o~ + 0@ 0~ _~ 0@ ~ u);

11) [ Z u s a t z be i d e r D r u c k p r o b e (siehe FuBnoteB)]. Her r H. Kneser-Oreifs- wald, der meinen Vo~rag 1) angehSrt hatte, teilte mir am 8. Oktober 1935 freundlicher- weise mit, dab ~ dutch die Vorausso~zu~zg (1.6) nich~ weaent'ich eingeschr~nk~ wird, wenn �9 unter der Annahme (!. 3) allein fiir 01 . . . . . 0e = 0 versehwindet. Er begriindet dies wie folgt: ~ (q) sel eine Funkt ion yon 6 Ver~nderliohen q~, in ihnen positiv-homogen yon erster Stufe. Es werde

~(q) = 2:. q.q,,§ *~ y~q, ~ ~,,~.+a

ge~etzt; Zeiger sind rood. 6 zu veratehen. Gibt es oine Funkt ion ~0 (q), in den q~ positiv-homogen yon erster Stufe und v o n d e r Art, dab A (~,) ---- 0 ist und ~ ffir % - ~,,, d. h. auf der ~ber f l i ehe D (0) ---- 0 des r s die p heiBe, mit i~bereinstimmt ? Diese Frage wird dutch folgende Erw~gungen bejaht :

I . Leieht ist A (~o) = 0 auf p zu erreiehen: ~ = ~o . . . . . D.

IL E s s e i also ,4 (~) = 0 auf p. Dann ermit teln wir die Charakteristiken

46 L. Kosehmieder.

im iibrigen bleibt sie willkiirlioh ~g). -- Die Extremalen

(1.7) x = r (u, v), y = ~ (u, v), z = ~ (u, v), w = o~ (u, v)

des zu dem Grundintegrale (1.4) gehSrigen Variationsproblems

(1.8) ~ f f O ( p , ~ ) d u d v = 0

best immen sich aus den Eulerschen Gleichungen o o ~ o o ~ o o ~ ~ o ~

= -b o--~ ~ - = O, Ou O~,, + Ov 0 ~ O, Ou 0 % % (1 .9) o O # 0 0 ~ o o ~ + s O ~ = o "

== O, Ou Oo~ u 0o,~ Ou 0~, 4- Ov d ~

der Differentialgleiehung A (~) = 0 und ordnen jedem Punkte Q (q.) der Umgebung yon p den Schni t tpunkt der Kurve ~ dureh Q mi t p zu, J e t z t setzen wir

(g) = q, (0).

Um das im einzelnen zu er6rtern, bilden wit die Differentialgleichungen der Kurven ~,

d ~,r OA OA d ga O A d ~p O A 2 A : O, ~,,,, ~-~ : O. d---/- = ~ = v,, + ::, -3-( = ,e ~ a v ~ - 3 T - O q,,

Sie geben integriert ~o = const., ~a -~ const., qr = 0a -}- Wa + :~ t;

als Anfangswerte sind dabei q~ = 0~, W ~ 9 o (0), Wa == ~ (0) gewr~hlt ~ Werte auf p, die die Gleichung A (~) --= 0 befriedigen. Die Kurven E bedecken die Umgebung jedes Punktes O yon p (auBer dem genannten Nullpunkt yon ~ ) einfach. Das ist erwiesen, sobald die Funktionaldeterminante D O der

q,, = o , , + ~, ,+. ,(o)t

naoh 0~, �9 . . , 05, t [wegen (1 .3 ) ist O, = - - (Oa O~ + 03 Oa) O~ ~] in O, d. h. ffir t = 0 als ==~ 0 erkannt ist. U m sich davon zu iiberzeugen, bedenke man, dab man dutch eine geeignete lineare Einsetzung, die Q und A in sich iiberfiihrt, den Punkt O in die bequeme Lage g (0, 0, 1, 0, o. 0) bringcn kann. In E, also fiir t - 0 wird dann

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

D ~ 0 0 0 1

0 0 0 0

0 - - Os 0.~ 1 0 - - 05 O~ 1 0 (01 04 + 030~)0~ 3 0 - - 01 O~ 1 ! - - 03 0"~ 1

~4 ~ 9O6 9Ol ~3 ~3

= ( 0 4 9O4 + 06 9~ + OG 9O~ + 01 9ol + O.z 9o3) O~ l ~ 9O~ --= 9O 0.~ l =~ 0.

I I I . Die Homogenit~t der Funkt ion ~p ergibt sieh daraus, dab dem Punkte (2 q.) der Punkt (~. 0a) zugeh6rt; daher ist

12) Welchen Vorrat yon IntegrMen der Ansatz (1.4) m f a B t , ermiBt man nach einem allgemeinen Satze yon W. GroB fiber parameterinvariante Integrale [Monatsh. L Math. u. Phys . 27 (1916), S. 81--84], der ira vorliegenden Falle folgendes besagt: H~ngt die GrundfunKtion - - auBer yon den Koordinaten - - nur yon deren ersten Ableitungen ab, so treten diese in ihr nach Riicksicht auf (1.3) nur in den Ver- bindungen l~x.~, P l s , P ly , Pa~, P4~ auf.

Adjungierte Extremalfl~chen im vierstufigen Raume. 47

Nach Haars Vorgang beim Problem ~ H = 0 kann man sie, indem man vier Hilfsfunktionen ~, ~, ~, ~ yon u, v einfiihrt, dutch folgendes System roy Differentialgleichungen erster 0rdnung ersetzen:

a~ =L' a~.=-~-' o-,~.=~', o , , - &, ( I . I0) am = ~ , , am am am _

Dieses regt dazu an, auch im R, die Variationsrechnung dex Doppelintegrale in der yon Haar bezeichneten Richtung ~) welter zu entwickeln -- also ohne die h6heren als ersten Ableitungen der Extremalfunktionen als vor- handen vorauszusetzen; doch gehe ich bier daratff nicht ein.

.&us (1.10) ergeben sich als Werte der I)ifferentiale d~ . . . . , d ~

~ = L ~ + ~ = - ~ + ~ a , us~.

In ihnen fiihren wit die Ableitungen yon �9 nach den -- fortan au[ bezogenen -- GrSflen P ~ dutch die Formeln ein

(I. II) am am am am

dann erhalten wit

(1.12)

. - ap~---~ a~,,; '7 * + or,---7 da ' ,

Dutch die Werte (1.12) ist eine Fl~che

(1.13) x = ~ ( u , v ) , y = ~(u,v), z ---- ~ (u, v), w - - ~ ( u , v )

bis auf ParalMverschiebungen eindeutig bestimmt; wie in (1.12) die in den Pi~ yon 0-ter Stufe homogenen Gr61~en Oq~/Opik, ist sie yon der Wahl der Parameter u, v unabh~ingig. Sie heiBt die zu ~ (1.7) in bezug au] (1.8) ad~ungierte Fl2iche ~.

Zu einer Minimalfl&che ~o hat Eisenhart a. a. 0."), S. 233 eine adjungierte Fl~iche -~o erklKrt; man best~tigt leiehtl'), daft ~_o auch in unserm Sinne zu ~o adiungiert ist.

aa) Haar, Abh. aus d. Math. Sere. d. Hamburgischen Univ. 8 (1930), S. 1--27, bes. w

14) Wie, zeigen wir unten im Anschlufl an (4. 12), (4. 13).

48 L. Koschmleder.

Aus (1.12) entspringt eine Abbi~dung yon ~ auf ~, bei der wir solche Punkte dieser Fliichen einander zuordnen, die zu denselben Wertepaaren u, v gehSren. Ents'wechende Linienelemente yon ~ und -~ stehen aufeinander ~enkrecht; denn aus (1.12) folgt

(1.14) d~ d~ + drld ~ + d~ d~ + dcod~ = O.

Auf ~ wird man sich naeh (1.2) der Bezeichnung bedienen

(1. ~5) o (~, #)

wir wollen diese GrSflen dutch die p ~ ausdriicken. D azu bemerken wit, daft sich P~2 nach (1.12) als Produkt zweier Matrizen darstellen liiflt,

ao 8o ao

P~ ~ =

Op~ x Op~ Op.~

seine Entwicklung nach den Produkten ihrer entspreehenden zweireihigen Determinanten gibt

i o ~ l , a~ o v o v a~ Opxs O~s Oi~ OPaa

0 0 0 0 #0 0~b ( 0 0 OO 0 0 0_~.)

I-Iier greift die Voraussetzung (1.6)11) ein: kraft ihrer njmmt die Vorzahl

yon pa ~ im letzten Gliede rechts den Weft 0 �9 o �9 an, und daher findet opts op~

man mit Rticksicht auf (1.5)

= Op~s.

En~spreehend wird a|]gemein in der zweifaehen Sehreibweise (1.2)

ao (1.17) O~ = �9 ~-o~,. - . (1.16) ~ - - �9 O ~ t ,

ttieraus folgt naeh (1.6 i, entsprechend (1.3),

w

Das adjungiertr Variationsproblem.

Adjungierten wir soeben der Fl~iche @ eine andere ~, ~o adju_ ngieren wir nunmehr dem Variationsproblem $ (1..8) selbst ein anderes

Adjungierte gxtremalflgehen im vierstufigen Raume. 49

dessen Grundfunktion ~ so entsteht: Man 16st die Gleichungen (1.17) nach den 0= au[ und setzt die so erhaltenen Funktionen der 0716) in ~b flit die 0= ein,

(2.3) r (0=) = r (0=), kurz r = r

ist in den 0= homogen yon erster 8rule. Die Umkehrung der Formelu (1.17) gelingt wie folgt16): Setzt man sie

mit 0= zusammen, so finder man nach (1.5)

(2. 4) r = 0= ~ ,,);

hieraus ergibt sich ftir q~, 0,, 0~ ah Funktionen yon u,

(2.5) 2 r 1 6 2 = 0=d6= + 0=d0~.

Nun schliel~t man aber aus (1.17), dal~

(2.5a) ~= d 0= - - r d r

ist; folglich vereinfacht sich (2.5) zu

oder wegen (2. 3) zu

0 0 a

Entfernt man d 0e mit Hilfe der aus (1.18) folgenden Beziehnng �9 1,6 _

0= d 0= + s = 0 (Zeiger rood. 6 zu verstehen) tg

lind vergleicht dann auf ~eiden Seiten yon (2.5b) die Vorzahlen der unabhiingigen d 0 v . . . , d 05, so erhglt m a n

0=----~ a~_ H--MO=+8 a Ua

mit noch unbestimmtem M. DaB entsprechend (1.6) auch gelte

(2.6) 0 r 0 r q _ ~ 0_r 0 r 0 ~ : 0,

bewirkt man gerade durch die Bestlmmung M-----0; sie maoht

(2.7) 0= = ~ 0 ~ , oder (2.8) ?~k ----- ~ 0 ~ o

Damit sind die O= durch die 0# dargestellt, und zwar durch Formeln von demselben Bau wie (1.17), (1.16). So ist folgende Einsicht gewonnen:

z~) Griechiache Zeiger laufen wie achon in (1.5) yon 1 his 6. is) Wit bleiben bei der homogenen Form; dies w&~e natiirlich auch bei dem

Integrale H mSgfich, bei dem Haar a. a. 0.~), S. 486--488 zu der unhomogenen Form zurttckkehrt .

z~) t~ver doppe]t auftretende Zeiger wird hler und weiterhin in w 2 summiert. M a t h e m a t i s c h e Z e i t s e h r t f t . 41. 4

50 L Kcschmieder.

Das zu 93 (]. 8) adjut~tierte FariatbmsFoblem 93 (2.1) ist mit 93 duwh die B e z i d t t t ~ (1.16), (2.3), (2. 8)is) verbund~n; diese zeigen zugleich, da~ das zu ~ adjutvie~ Va~fationsproblem wiederum 93 ist.

Es ist ftir manehe Zwecke vorteilhaft, iihn!ich wie Berwald a.a.O.S), S. 91 beim Integrale H i m R~ verfahren ist, hier im R 4 die 8echservektoren

0o (2.10) 0-~ = ~~ (2.9) #" = �9 (0~)' �9 (0~--~

einzufiihren. Dann ist wegen der HomogenitKt der Funktion ~, deren Argumente wit nun wieder ansch~eiben,

(2. 11) ~ (v%) .=- 1,

ferner nach (2.4) und (2. 3) auch (2.12) ~ , ~ , = 1. Hieraus erhiilt man (2.13) v~ d ~ -4- ~--~d0~.= 0. Nun folgt aus (2. 5a) wegen (2. 9), (2.12)

~ d [~ (0,) ~.] = d �9 (0~),

(2.14) ~ d~o = o;

mithin ist nach (2.13) auch (2.15) o ~ d ~ o = o.

Indem wit die geometrische Deutung der zwischen den Vektoren 0~, ~, gefundenen Beziehungen hier beiseite lassen, vermerken wit noch die Aus- drticke der ~ dutch die 0~ bzw. der O, durch die 0~: Nach (1.17), (2.7) ist

_ o ~ (%) (2.17) ~ = (2. 16) v~ : ao~ ~ ao~, '

die rechten Seiten sind in den O~ bzw. O~ homogen yon O-ter Stufe.

w

als Extremale yon ~. Die Bedeutung der beiden clureh die ~berschriften v o n w 1 und 2

bezeichneten Begriffe beruht darauf, dab sie zueinander in folgende Be- ziehung treten:

is) Diese bflden die yon Haar beim Integral H benutzte .Transformation [2), (13)~ (14), (13--)] welter. Wir brauchen hier nicht den Zusammenhang zU er- 6rtern, in dem die obigen bei der Adjunktion entstandenen Verwandiungen zu den umfassenderen Formeln stehen, dutch die C. Carath~odory die Legendresohe Tratis- formation veraligemeinert hat [Acta Litt. ac Scient. Univ. Szeged 4 (1928/29), S. 193--216].

Adjungierte Extren~lflltehen im vierstuflgen l~ume. 51

Die zu einer Extremale ~ des Variationsproblems Y8 (1.8) ad, junf/e~e

Flddte ~ ist Extremale des zu ~8 adjungierten Va~i~tionsTyroblems r (2.1).

Zum Beweise dieses Satzes zeigen wit, dab ~ den Eulerschen Gleichungen geniigt, die zu ~3 geh6ren. Wir bilden gemgl~ (1.12) mit ~lilfe von (2. 7)

---- W1 Ii__ d8 EP, k #p,~--~162 q_ ~ a ~ (ps, dE _k p, xd~ q_ p13doj)

Nun verschwinden abet die drei runden Klammern rechts sgmtlich, denn es hat z.B. die erste yon ihnen nach (1.2) den Weft

E~ du Jr- ~dv ~ d u -k ~,dv co,,du -k co, dr ~ ~ oJ. = O.

E~ L 0,,

Da ferner das erste Glied in der eckigen Klammer nach (1.5) gleich - ~ dE ist, so bleibt yon (3. 1)

(~. 2)

die drei ]etzten Formeln ]eitet man ebenso her wie soeben die flit -- dE. Verwendet man in (3.2) Teilableitungen statt der Differentiale trod ver- einfaeht entspreehend (1. I lL so findet man

- e , f f i

daher stell~ sich das iihnlich wie (1.10) gebaute System ein:

(~. 5)

4*

52 L. Koschmieder.

Wenn man etwa ~ aus (3.3), (3. 4) entfemt, indem man (3. 3) nach v," (3.4) naeh u ableitet und abzieht, erhiilt man

a "a~ a a ~ _ _ o usw., a~ a~---~ + a,, a~o

also in der Tat die zu ~ geh6rigen Eulerschen Oleichtmgen, w. z. b. w. Die zu ~ in bezug auf (2.1) adjungierte Fl~iche ~, dargestellt

dutch x = ~=(u, v) usw., beffiedigt nach (1.10) die Gleichungen

~,, a~ = a,~ ~:w - - USW. a #,,' a :~,,

Der Vergleich mit (3. 5) lehrt, dab

i~t. Danach ist ~ das Spiegelbfld yon �9 hinsichtlich des Koordinaten- Ursprungs, also gleichfalls Extremale yon ~.

w

Die Liingentreue der Abbildung zwischen ~ und ~.

Es gibt auf ~ eine quadratische Differentialform d~ ~, die mit der auf ~ entsprechend gebildeten d S ~ in zugeordneten Punkten (1.13) iiber- einstimmt: Das ist die Form

d S 2 = E d u '~ --~ 2 F d u . d v ~ Gdv ~ (4. 1) ,~ (o,~)

- - ~ (edu g + 2 t d u d v + 9dr2),

in der mit den Bezeichntmgen (2. 9), (2.10) 1,6 ~0' 1,8 "200aO~a 1 a ~ , ( ~ 0~a 0 " F'0a ) Z 0 0 ~ 00a

( 4 . 2 ) e = ~ au a u ' ] = Y a~ a~ + ~ - 4 ~-~ ' 9 - - ~ a~ a,,

ist und h ~ e 9 - ? t 0 angenommen werde19). Au( ~ detzen wir d S 2 : E d u ~ + 2 F d u d v ~ -G d v 2

(~. a) �9 (o\) - - ~ - ] ~ t (edu~ + 2 / d u d v + 9dv2).

In der Tat erweisen sich diese dem Ansatze von Berwald auf r i 2~ von uns flit ~, ~ nachgebfldeten Linlenelemente wegen (2.3) sofort als gleich, (~. 4) d ~ ~ ---- dE n. Bei dieser Maflbestimmunq ~ ist also die Abbildung zwischen �9 und "~ eine

Verbiegu~q.

19) Beim Gebrauche reeller Parameter ist d82 mater tier Annahme h ~ 0 im Falle e ~ 0 entschieden positiv, im Falle e ~ 0 entsohieden negativ.

~o) BerwaldSL S. 100; vgL dazu ~), s).

Adjungierte Extremalfl~hen im vierstufigen l~ume, 5~

Ferner ist der zu ~1~ geh~rige nivhtmu~lidisc, he $'l#mheni~l~al~ eines Sttickes ~* yon ~ ~e/vh dem tiber ~* erstreckten Grund/nte~a/e:

Ebenso gilt auf

Die Haupteigenschaft von ~ (4.1) ist folgende: Bei der n~chs~- liegenden Aufgabe der Art (1.8), beim Problem der Minimalfltlvhen ~o des R,, dessen G rundintegrai (l. 4) der Fl~cheninhalt

(4.5) Jo=~o(O ,~ )dudv , (4.6) ~o(O=) (~0~)�89

is t~) , geht d8 ~ in das geu~hnliche Bogenelemen~ ds~ auf ~o ~er. Dem Bewelse hierfiir schicken wit die Bemerkung. voraus, daft das

Variationsprobiem ~Jo = 0 im Sinne des w 2 sich selbst adjungiert ist; es ist nw nach (1.17), (4. 6), (2. 10)

a ~o = o~, (4. 8) ~o = ~ , (4 .7) ~ = ~o ~ :

daher nach (2. 3) auch 1 , 6 ~ 2 "~

�9 o ( ~ ) = ~o(~o) = (2: o~)~.

Verm6ge (4.8) vereinfachen sich bei (4.5) wie bei jedem sich selbst adjungierten Var iationsproblem die Gr6Ben (4. 2) zu

'2 (4.9) eo ~ ~' ~'~ a~ a~o ( a ~ : \ a ~ J ' J o : a~ a ~ ' g o : ~-a-6-/"

Um zu zeigen, dab dS ~ auf ~o, kurz d8~ - : - ds~ wird, fiihren wir auf ~o als Parameterlinien du = 0, dr = 0 die Kurven da -- 0, dT = 0. yon der L~inge 0 ein~g); wenn (lama ~o dutch die Formeln z = ~o(a, 3) usw. dargestellt wird, vereinfacht sich ds~ zu

a~o aCOo (4.10) ds~ = 2Fdadv, wo (4. 11) z~ = 02o 020 + . . H- �9 0~ 0r " 0~ 0r

Wit schieben bier die dutch 1') angekiindigte Bestiitigung ein. Eisenhart gibt a. a. 0.~2), (35) die Funktionen ~o . . . . ,mo in der Gestalt

(4. 12) ~o (a, 3) : ~1 (a) H- ~s (T), ~/~ (a, z) : ~h (a) -t- ~72 (3) usw. an, wobei mit den Abkiirzungen d ~ / d a ' d

(4. 13) ~? --F ~]',' H- ~'? -{- co'," = ~') H- ~/~: -{- ~'~,' --F'm',' = 0 ist. Hieraus und aus Eisenharts Formeln"), S. 232, (66) fiir _~o

- i [~, (~) - ~, (~)] usw. folgt unmittelbar, dab ~o und -~o den Beziehungen (1.10) gentigen; _~o ist also zu ~o adjungiert im Sinne des w 1.

21) Man entnimmt diesen Wert des Fl~che,~bsltes aus Forsyth~) I, S. 354. 2~) VgL Eisenhart e), S. 223; Forsyth 9), S. 31~.

54 L Kosohmieder.

Zu unserm Nachweise zurii~kkehrend, berechnen wit dE~ aus (4. 1); dabei haben wit e, t, g dutch die Ausdriicke (4.9) und i n diesen u, v dutch a, w zu ersetzen. Die Werte der ~a auf 6 o iibernehmen wit yon Eisenhart ~), S. 231 zu

1 2" v"

= L ( , , - ~

O. = ~- ~ + ~ § -~,,

~ . "~ ' O , = l + a ~ " ~'~ '

' ( ~--~ ~'.) 0 ~ = ~ ~+, ,~+ ~ , 1( a + r + y r )

mit folgenden~uderungen der Schreibweise: Die dort mit u, %; P~ s, . - . , Ps~; �9 , ~, ~0, ~o ~8); ~ , ~ , ~a bezeichneten GrSflen heil~en bier a, v; ~ . . . . , ~6;

2(a) , p (a ) , ~(~), Q(~); W~, ~2, ~s ; dabei ist

(4.15) ~ , = ~ " ~ " + f f ' e " , ~ g = ~ " d ' + K ' r ~ s - - ~ " d ' - K ' ~ " , wo Striche die Ableitungen nach der jeweiligen Unabh~ngigen bedeuten. Aus (4. 14) finder man, wenn man kurz

Y"~ ~" V" t,, ~'" K' - - ):' i f" : ~ , - - ~o : 2:

set~zt, 0 ~1 r v" -0~ - - (I + a~)~ 0" ~ '

O ~ i 1 + w ~ i ,, Og - - 2 ( l + a w ) ' a ~ - 2 (~ -~" ~O"s)~'

0 ~a 1 1 -- w ~ 1

( 4 . 1 6 ) - ~ = 2 0 + a z ) ~ 0"~ - - 0 " ~ ) ~ '

o--a = ~1 + or) - - - - - - ~ ~ ' 08~ i 1-~-w ~ " . ~ , o--~= ~0+o~)~ + ~ (~''~ + e ~ ' 0 ~o 1 1 - - w ~ 1 ~-~ = 2 (1 + a~)~ ~ (~"'~ _ O"~) ~,

0 0 z el , , .

0--7- ----- (1 + o~)~ 2 /~ 2:,

0a~ i l § s i ( 2 . ~ -OZ'-~ = 2 (1 + o"r) ~ 2 " -~- ~ " ~ ) ~ '

0 0 ~ 1 I - - a ~ 1 o--7- = - - ~ (~ + o~)~ (;t"~ - ff'~) ~'

(4.17) 0 ~ a 2"

-- (1 +-a~)~ ff'~:' 0 ~ i 1 + a s i - ~ - - 2 ( l + a w ) ~ ~ (~t"~-~-/z"~) ~ ,

0 ~ 1 1 - - a ~ 1 = 2 ( 1 + a'r) ~ (]~"~ - - ~ " ~ 1 ~ "

~) Wegen des Zusammenhanges dieser Gr~l~en mit den in (4. 12) roeht~ aul- tretenden siehe Eisenhart e), S. 224.

Adjungierte Extremalfl~chen im vierstufigen Raume. 55

Um jetzt eo (4. 9) zu ermitteln, quadriert man die sechs Ausdriicke 0 0~ / 0a (4.16) als Binome. Beim Zusammenzghhn gibt die Summe der Quadrate der ersten Glieder Null, desgleichen die Summe der Quadrate der zweiten Glieder; die doppelten Produkte heben sich paarweise weg. Daher er- h~]t man e o ----- 0, and an Hand yon (4. 17) ebenso go = 0. Mithin zieht sich der Ausdruck (4. 1) auf ~o zu

dSo s = 2 ~ o (0~,) d~dT

zusammen; da nun in der Bezeichnung (4. 11)

r (0o) = ist~'), so wird

d~o = 2~ dadT.

Das ist aber nach (4. 10) gerade dSo ~. In dem besonderen Falh (4. 5), (4. 6) spricht unser Satz (4. 4) die

gew6hnliche Abwickelbarkeit yon ~o auf ~-o aus; diese Eigenschaft ad- jungierter Minimalflgchen hat Eisenhart a. a. O. 6), S. 233 angegeben.

24) Vgi. Forsythg), S. 312.

(Eiugegangen am 25. August 1935.)