()Ag As .fc As

DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2 _________________________________________________________________________________________________________

ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

64

9. DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO 9.1 Introducción Los elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de compresión se conocen con el nombre genérico de columnas o pilares. Cuando hay presencia de flexión y esta es importante se le denomina “ viga- columna “. En el primer caso se tienen como ejemplo típico los bloques de hormigón a compresión y los pedestales; en estos no hay presencia de flexión y la columna trabaja prácticamente a carga axial. En el segundo caso se tienen los elementos verticales típicos en los edificios “ columnas “ las cuales pueden ser cortas si su resistencia es controlada por las dimensiones de la sección y la capacidad mecánica de sus materiales o esbeltas si la resistencia es controlada por sus deformaciones laterales ( pandeo ). En el estudio de la flexión del hormigón armado se introdujo el concepto de sección transformada fisurada y no fisurada y para ello se utilizo el ejemplo de las columnas cargadas axialmente. El lector debe revisar nuevamente este concepto para entender la metodología de trabajo en el diseño de columnas de hormigón armado. De la revisión de los temas anteriores se concluye que: La resistencia de una columna cargada axialmente se determina con la ecuación 9.1, con la inclusión de un factor de reducción de resistencia “ Φ “. Los factores que afectan la resistencia de las columnas son mas bajos que los de vigas ya que las columnas, a diferencia de estas, son parte vital de la estabilidad de una estructura ( la falla de una viga es localizada y no produce colapso de la estructura, por el contrario la falla de una columna la afecta parcial o totalmente con una alta posibilidad de colapso).

( ) yscsgn fAfAAP ...85.0 ´ +−= ( 9.1 ) Ya que es poco probable en la practica encontrar columnas en donde la excentricidad sea nula se recomienda realizar su diseño para una excentricidad mínima que varia de acuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene amarres rectangulares la excentricidad mínima es del 10% de la dimensión de su sección en la dirección perpenticular al eje de la flexión. Si tiene amarre en espiral es de un 5%. Con el fin de simplificar y garantizar un diseño confiable de columnas con excentricidad mínima el código ACI ( NSR ) especifica una reducción del 20 % de la carga axial para columnas con amarres y un 15% para columnas con espirales. En estos casos las ecuaciones de diseño son la 9.2 y la 9.3. Columnas con amarres:

( )( )yssgcn fAAAfP ..85.0.80.0. ´ +−= φφ ( 9.2 ) Columnas con espiral:

( )( )yssgcn fAAAfP ..85.0.85.0. ´ +−= φφ ( 9.3 )



65

En donde el valor de “ Φ “ depende de como es el comportamiento de la columna en la falla. Si controla la compresión “ εt < 0.002 “ => “ Φ = 0.65 “ en columnas con amarres y “ Φ = 0.70 “ en columnas con espiral. Si controla la tracción “ εt > 0.005 “ => “ Φ = 0.90 “ en ambos casos. Para zonas de transición ( es decir hay agotamiento simultaneo por compresión y tracción ) “ 0.002 < εt < 0.005 “ el valor de “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con amarres y “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con espiral. El valor de la deformación “ εt “ es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la sección. 9.2 Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente Cuando una columna corta con amarres transversales se somete a una carga de compresión axial cercana a la falla ( caso típico de las cargas inducidas por sismos o fuertes impactos ), parte del hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero longitudinal queda por tanto sin confinamiento lateral permitiendo así su pandeo y el posterior colapso de la columna. Este fenómeno conocido como “ descascaramiento “ puede evitarse si los amarres transversales están dispuestos de tal forma que su bajo espaciamiento evite el pandeo lateral del elemento. Si se considera ahora una situación similar a la anterior pero ya la columna tiene amarres en espiral, el hormigón del recubrimiento también se desprenderá pero el núcleo de hormigón continuara vertical y si la espiral tiene bajo espaciamiento la columna continuara soportando carga adicional superior a la que produce el desprendimiento del recubrimiento. Esta situación demuestra la efectividad de la espiral correctamente espaciada para confinar el hormigón en la columna y lo que es mas importante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez se desprenda el recubrimiento.

Figura 9.1 Comportamiento bajo carga axial de columnas con amarres y en espiral

Comportamiento con amarres transversales

Comportamiento con baja cuantía de espiral

Comportamiento con alta cuantía de espiral

Comportamiento con cuantía del ACI

Carga

Acortamiento

Desprendimiento del recubrimiento



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La practica que se ha difundido a nivel general es despreciar cualquier aumento de resistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento ya que una vez se presente este fenómeno la columna pierde su confiabilidad en servicio, afirmación importante de los propietarios y usuarios de los edificios, a pesar de que aun funcione y continué funcionando bien por un determinado tiempo de servicio. Por esta razón recomienda diseñar la espiral para lograr una resistencia de la columna justo por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendo así mantener en posición la columna y permitir grandes deformaciones sin producir colapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcan sobrecargas excepcionales en la estructura.

Figura 9.2 Definición de variables en columnas con espiral

La ecuación que define la cantidad optima de refuerzo en espiral recomendada en los códigos de construcción tiene en cuenta las recomendaciones anteriores y su deducción es la siguiente: la resistencia de la capa de hormigón que recubre el refuerzo esta dada por la expresión: ( )cgc AAf −..85.0 ´ en donde “ Ac “ es el área del núcleo cuyo perímetro esta definido por el borde exterior de la espiral. Se puede demostrar que la resistencia de la espiral de cuantía “ ρs “ es: ycs fA ...2 ρ . Igualando las dos tensiones y resolviendo para

hallar la cuantía de la espiral se obtiene: y

c

c

gs f

fAA

´1425.0

−=ρ . Para mantener mayor

seguridad en “ ρs “ se recomienda usar la siguiente expresión:

y

c

c

gs f

fAA ´

145.0

−=ρ ( 9.4 )

Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su diámetro y espaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones:

nucleo

espirals V

Vspasoelparahormigondenucleodelvolumen

espiralladevueltaunadeVolumen ==).(.......

......ρ

db

D

dc

s



67

( )( )

( )22 .

.4.4/.

..

c

bcesp

c

bcesps ds

ddAsdddA −

=−

=ππ

ρ ( 9.5 )

En estas formulas “ Aesp “ es el área transversal del refuerzo en espiral, “ dc “ es el diámetro del núcleo de hormigón, “ db “ el diámetro de refuerzo en espiral como se indica en la figura 9.2. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un diámetro para la espiral y se halla el paso requerido “ s “. Si los resultados no son adecuados se puede ensayar otro diámetro hasta lograr los valores correctos. 9.3 Requisitos constructivos en columnas de hormigón armado Los códigos y normas de construcción ( ACI-318 y NSR-98 ) especifican algunas limitaciones en dimensiones, refuerzo, restricción lateral y otros conceptos relativos al diseño de las columnas de los edificios. A continuación se presentan las que son mas importantes para el diseño estructural. El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del área total

de la columna “ ρmin = 0.01 Ag “. Se ha comprobado que columnas que tienen cantidades de refuerzo menores del 1% fallan súbitamente en forma similar a una columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre también problemas de tensiones internas debidas a la fluencia y la retracción del hormigón en servicio. En algunos casos se permiten cuantías inferiores al 1% si por razones arquitectónicas o constructivas las dimensiones son tales que prácticamente con ellas se soporta holgadamente toda la carga aplicada. Sin embargo se especifica que en ningún caso la cuantía sea inferior al 0.5% de Ag.

El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la sección total de la columna. Con esto se previene la congestión del refuerzo y las dificultades en el acabado final del hormigón. En la practica se han encontrado los problemas anteriores aun con cuantías del 5% y 6%. El uso de cuantías altas no solo afecta la apariencia final del hormigón sino también su capacidad de carga. Cuando se van a utilizar empalmes al traslapo es recomendable no superar la cuantía del 4%. En ningún caso se deben usar paquetes de barras para altas cuantías de refuerzo.

El numero mínimo de barras longitudinales en una columna es de 4 para secciones con amarres rectangulares o circulares, 3 para amarres triangulares y 6 para secciones con espiral. La disposición de las barras afectara la resistencia a flexión de las columnas cargadas excéntricamente.

Por lo general no se especifica una sección mínima de columna, sin embargo para dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que las mínimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios es aconsejable disminuir las dimensiones al máximo para lograr mayores espacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros.

Cuando se utilizan columnas con amarres, estos no deben tener diámetros menores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usar amarres # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado con áreas equivalentes.



68

El espaciamiento centro a centro de los amarres no debe ser mayor que: a) 16 veces el diámetro de las barras longitudinales b) 48 veces el diámetro de los amarres y c) la menor dimensión de la columna.

Figura 9.3 Separación de los amarres en columnas

Los amarres deben estar dispuestos de tal forma que en cada esquina de la sección una barra longitudinal sirva de soporte lateral al amarre para este sujetarse de el con un gancho menor o igual a 135°. Se recomienda que ninguna barra longitudinal sea colocada a una distancia libre mayor de 150 mm de cada barra de soporte lateral. La figura 9.4 ilustra este requisito gráficamente para diferentes secciones de columna. Las secciones de la figura 9.4 con amares adicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barras longitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar también amarres circulares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente. El ACI permite diseñar columnas sin amarres cuando por ensayos y análisis estructural se comprueba que estos no son necesarios sin afectar la resistencia y facilidad de construcción. Ya que existe poca evidencia experimental sobre el comportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras de refuerzo el ACI especifica colocar amarres adicionales en cada extremo del empalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones donde los empalmes son cercanos a la base de la columna. Los amarres no deben

16 db S < 48 de Min. ( b , h )

h

b



69

colocarse a mas de la mitad de su separación en la parte superior de las zapatas o losas de piso ni mas de la mitad de su separación por debajo de las losas.

El código ACI y la norma NSR recomiendan que la separación mínima de espirales sea de 25 mm y la máxima de 75 mm. Cuando sean necesario empalmar barras longitudinales se debe usar soldadura o traslapo.

Figura 9.4 Disposición típica de amarres en columnas

Max.150 mm

Max. 150 mm Max. 150 mm

> 150 mm > 150 mm > 150 mm

Max. 150 mm Max. 150 mm



70

Ejemplo 9.1 Diseñar una columna corta con amarres transversales cargada axialmente con un Pu = 2800 kN. Considerar fć = 28 MPa y fy = 350 MPa. Solución: El procedimiento mas rápido es asumir una cuantía inicial de refuerzo y determinar con ella las dimensiones requeridas. Sea ρ = 0.02 ( Por lo general se asume un valor entre 0.01 y 0.03 ) Si Pu ≥ Φ Pn despejando Ag de la ecuación 9.2 se tiene:

( )35002.02802.085.02885.080.070.0102800 3

×+××−××××≥gA

22 .160000.400:.164886 mmAmmhbrSeleccionammA gg =⇒==⇒≥∴

Para esta sección la cantidad de refuerzo se debe determinar nuevamente con 9.2 =>

( )2885.0350

101602885.080.070.0

102800 33

×−

×××−

××

≥stA 2.3654 mmAst ≥

Con barras # 9 ( 645 mm2 ) => 3654 / 645 = 5.7 barras => 6 # 9 Ast = 3870 mm2 Si se asumen amarres transversales # 3 16 x 28.7 = 459 mm 48 x 9.5 = 456 mm Menor dimensión de columna = 400 mm

Figura 9.5 Sección transversal de columna del ejemplo 9.1

h = 400 mm

b = 400 mm

70 mm

70 mm

260 mm

70 mm 260 mm 70 mm

Estribos # 3 @ 400 mm

=> Usar amarres # 3 cada 400 mm



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Ejemplo 9.2 Una columna de hormigón armado soporta en servicio una carga axial muerta y viva de Psd = 820 kN y Psv = 1360 kN. Determinar su refuerzo longitudinal la cuantía de la espiral y el diámetro de su sección si f c = 28 MPa y fy = 420 MPa. Solución: Pu = 1.2 x 820 + 1.5 x 1360 = 3024 kN Si ⇒= 02.0ρ

( )42002.02802.085.02885.085.075.0103024 3

×+××−××××≥gA 2.149525 mmAg ≥

El diámetro de la columna es: mmD .4361495254 =×=π

Usar D = 450 mm

Para este diámetro la columna tiene una sección de: 22 .1590434/450 mmAg =×= π

El refuerzo requerido es: ( )2885.0420

1590432885.085.075.0

103024 3

×−

××−

××

≥stA => 2.2419 mmAg ≥

Con barras # 7 ( 387 mm2 ) se tienen: 2419 / 387 = 6.25 barras => Usar 8 # 7 que equivalen a un Ast = 3096 mm2. El Φ.Pn = 3195 kN > Pu = 3024 kN => Cumple! Considerando un recubrimiento libre de hormigón de 40 mm => El área del núcleo de la columna es: Ac = π ( 370 )2 / 4 = 107521 mm2

La cuantía mínima de espiral es: 0144.0420281

10752115904345.0min =×

−=ρ

Si se asume un espiral de diámetro igual a la barra # 3 => despejando “ s “ de 9.5:

( ) mms .523700144.0

5.93707142 =

×−××= Usar espiral # 3 con paso de 50 mm.

Figura 9.6 Sección de columna del ejemplo 9.2

450 mm 370 mm

Espiral # 3 con paso de 50 mm



72

9.4 Columnas sometidas a compresión y flexión uniaxial 9.4.1 Generalidades Las columnas sometidas solo carga axial son excepcionalmente escasas en el diseño estructural, por lo general siempre existe la posibilidad combinar la carga axial con flexión aun cuando esta no sea producida por acción externa alguna. La flexión se presenta por la continuidad de las estructuras que permite la transmisión de tensiones entre las diferentes componentes de la edificación. Por ejemplo la carga vertical y lateral en un edificio inicialmente actúa en las losas de piso, estas la transmiten a las vigas las cuales a su vez la llevan a las columnas para finalmente desplegarla en la cimentación. Esta secuencia en la transmisión de tensiones es la que da origen a la interacción de las diferentes solicitaciones en el interior de una estructura. Las losas pueden recibir la carga y transmitirla en una o en dos direcciones, las vigas pueden estar sometidas a flexión uni o biaxial mas cortante y torsión igualmente las columnas columnas con la particularidad de que en estas la carga axial es importante. Es requisito fundamental en el diseño de una columna considerar la flexión aunque el análisis de tensiones indique esta no esta presente o su magnitud no es importante; la razón de esto es que siempre existen desfases en la construcción que inevitablemente introducirán excentricidades adicionales a las inicialmente consideradas en los cálculos. Cuando un elemento de hormigón armado se somete a una combinación de carga axial mas flexión ( Mu , Pu ) como se indica en la figura 9.7 es conveniente reemplazar el sistema por uno estáticamente equivalente que representa la carga axial aplicada a una determinada distancia del eje de la columna. Esta distancia, llamada “ e: excentricidad “, se determina como la relación entre el momento y la carga axial: “ e = M / P “.

Figura 9.7 Excentricidad equivalente en columnas Las columnas se pueden clasificar en función de la excentricidad equivalente, aquellas cuyo valor de “ e “ es pequeño se conocen como columnas sometidas principalmente a carga axial y su falla se iniciara por agotamiento del hormigón a compresión. De otra parte cuando “ e “ es alto la flexión controla el comportamiento y la falla se iniciara por la fluencia del refuerzo en la cara mas traccionada de la sección.

P

M P

e = M / P



73

En el estudio de las columnas, a diferencia de las vigas, el comportamiento antes de alcanzar la resistencia del elemento no es importante desde el punto de vista del diseño. La fisuración del hormigón aun en casos de altas excentricidades y las deflexiones laterales bajo cargas de servicio generalmente no son factores determinantes en su diseño estructural. Sin embargo para continuar una metodología de trabajo ya iniciada en el caso de la flexión se presentara aquí una resumen del comportamiento de las columnas excéntricas antes de alcanzar su resistencia estructural. El lector puede continuar con el numeral 9.4.5 si a su juicio lo considera conveniente. 9.4.2 Comportamiento de columnas bajo carga excéntrica Los primeros intentos por tratar de modelar el comportamiento de las columnas excéntricas mostraron grandes dificultades en la adopción de expresiones adecuadas que permitieran a los ingenieros interpretar matemáticamente el problema. Solo el análisis elástico y el principio de superposición permitió encontrar una expresión racional para la flexión y la carga axial. Las tensiones por flexión y fuerza axial en cualquier punto de una columna se pueden representar por la ecuación 9.6:

( )

±=±=±= 2

.1...r

yeAP

IyeP

AP

IyM

APfc ( 9.6 )

En donde “ r2 = ( I / A ) “. Cuando la excentricidad es nula => fc = P / A y se tiene la columna concéntrica. El signo positivo es tracción y el negativo compresión. Para encontrar la excentricidad que produce tensión de compresión nula en una de las caras de la columna => de la ecuación 9.6 “ fc = 0.0 “ y se despeja el valor de “ e “

yre

rye

AP 2

2

.10 =⇒

−=

Esta excentricidad es la distancia del centroide de la sección al punto donde termina teóricamente la compresión, este punto se conoce como “ punto Kern “. Si el proceso se repite para cada eje de la sección se encuentra una región o área interior de la columna la cual se denomina “ Área Kern “. Cualquier carga aplicada dentro de esta región solo produce tensiones de compresión en la columna, si la carga se aplica fuera de esta área se producirá tracción en la cara opuesta a la donde se plica la carga. Por ejemplo para una sección rectangular de b = h = 400 mm el área Kern es la indicada en la figura 9.8.

mme .67.6620012

400200

40040012400400

2

3

=×

=

××

×

=

Este valor es aproximadamente el 17 % de la dimensión de la sección. Considerando las otras caras y hallando el área Kern se encuentra que el tercio medio de la sección representa la región donde solo hay tensiones de compresión. En otras palabras si la excentricidad “ e < h / 6 “ se puede concluir que la sección no tiene tensiones de tracción en ningún de sus puntos y esta sometida solo a compresión.



74

Figura 9.8 Área Kern en una columna En las primeras ediciones del código ACI se indicaba que si la relación “ e / h ≤ 1.0 “ se podía utilizar en los cálculos la sección elástica sin fisurar. En opinión de muchos investigadores de la época esta recomendación no solo era imprecisa sino poco realista respecto al comportamiento real de la columna ya que para esta cantidad la fisuración en la cara traccionada de la columna debía ser severa. En ediciones posteriores el ACI reconoció el hecho y propuso utilizar la sección sin fisurar si “ e / h ≤ 2 / 3“. Sin embargo aun para esta condición la fisuración era severa y muchos diseños realizados con esta especificación fueron adecuados no por la limitación en “ e / h “ sino por la aplicación de los factores de minoración de resistencia que permitían lograr altos márgenes de seguridad. 9.4.3 Columnas excéntricas sometidas a bajas excentricidades Los ensayos realizados en la Universidad de Illinois por los investigadores Richart y Olson en el año de 1938 mostraron que la capacidad de carga de las columnas de hormigón armado no disminuye tan rápidamente a medida que aumenta la excentricidad tal como lo había predicho el método anterior al calcular fc. Sobre estas bases el ACI nuevamente modifico la expresión de diseño de las columnas y adopto una ecuación

h = 400 mm

b = 400 mm

Área Kern

133 mm

Si la carga se aplica en esta zona no se produce tracción en la columna



75

consistente con los nuevos resultados experimentales. La expresión indica que la relación entre las tensiones axiales reales por compresión ( fa ) y las admisibles ( Fa ) mas la relación entre las tensiones axiales por flexión real ( fb ) y las admisibles ( Fb ) deben ser menor o igual a la unidad, expresada matemáticamente es la 9.7.

0.1≤+b

b

a

a

Ff

Ff ( 9. 7 )

Los valores de “ fa “ y “ fb “ se obtienen de las cargas, Fa = γ ( 0.225fć + fs.ρg ) donde γ es igual a 1.0 para columnas en espiral y 0.80 en otros casos. Fb = 0.45.fć. La forma de la ecuación 9.7 es similar a la que se usa en el diseño de estructuras

metálicas. En el limite superior cuando 0.1=+b

b

a

a

Ff

Ff es la ecuación de una línea recta

la cual se muestra en la figura 9.9. Se debe resaltar que en la practica es este limite superior es el que se usa en el diseño y el campo de aplicación de 9.7 esta limitado a relaciones “ e / h ≤ 2 / 3“.

Figura 9.9 Tensiones admisibles en columnas a compresión excéntricas ACI-318-56 Por ejemplo si una columna de hormigón armado de b = h = 400 mm y una cuantía del 0.02 con f c = 28 MPa y fy = 420 MPa esta sometida a una carga axial de 1000 kN y un momento de 75 kN.m => se verifica que:

Cumpleheme ⇒<==⇒== 3/21875.0

400.0075.0.075.0

100075

1.0

1.0

fb / Fb

fa / Fa

Zona admisible

( pa / Pa )

mb / Mb



76

MPafa .25.6400400101000 3

=××

= MPaFa .70.1402.042028225.0 =×+×=

MPafb .03.712/400400

20010753

6

=×

××= MPaFb .60.122845.0 =×=

La relación de tensiones es: Cumple⇒<=+=+ 0.1983.0558.0425.060.1203.7

70.1425.6

Se concluye que la columna es satisfactoria para las condiciones de carga impuestas. Si por ejemplo la carga es de 1500 kN y el momento es de 100 kN.m esta misma columna no es correcta y se debe modificar su diseño. Llama la atención la similitud de la grafica de la figura 9.9 con lo que mas adelante se denominaran los diagramas de interacción para el diseño de columnas. Si por ejemplo se multiplican los valores de las ordenadas de la figura 9.9 por “ Ag / Ag “ se obtiene la relación carga axial aplicada sobre carga axial admisible. Igualmente si se multiplican las abscisas por la relación “ I / A “ se obtiene la relación momento aplicado sobre momento admisible. Se tiene así un grafico de relaciones unitarias de P y M. La figura 9.10 muestra la sección transversal de una columna rectangular cargada excéntricamente, lo mismo que su sección transformada y el perfil de cargas aplicadas, donde “ P “ esta localizada a una distancia “ e “ del centro de gravedad de la sección transformada. Si “ As = A´s “, hipótesis muy frecuente en columnas, la excentricidad se puede medir desde el centroide de la sección.

Figura 9.10 Comportamiento de columnas en rango elástico no fisurado La carga axial produce tensiones uniformes de magnitud “ fa = P / At “ mientras el momento flector produce tensiones máximas de magnitud “ fb = ( M.y ) / It. Si se sustituye “ y = h / 2 “ las tensiones en la sección quedan:

ttc I

hMAPf

.2.min).(max ±= ( 9.8 )

e

P

( n – 1 ) As

( n – 1 ) A´s

h

b

As

A´s



77

Las tensiones dadas por la expresión 9.8 se indican en la figura 9.11. Dependiendo del valor de “ fc,min “ la sección puede estar totalmente comprimida ( fc > 0.0 ) o traccionada ( fc < 0.0 ). En este ultimo caso si “ fc,min “ es menor que el modulo de rotura del hormigón “ fr “ la sección esta en rango elástico no fisurado y los cálculos de las tensiones internas se pueden hacer utilizando el concepto de la sección transformada. En caso contrario la sección esta fisurada.

Figura 9.11 Tensiones en columnas excéntricas en rango elástico no fisurado Por medio de la ecuación 9.8 se puede determinar aquel valor de la excentricidad para la cual la sección esta fisurada. Este valor de se denomina excentricidad limite y se determina igualando las tensiones resultantes en la cara traccionada al valor “ fr “.

ttttrc I

hePAP

IhM

APff

.2..

.2. −=−=−=

( ) ( )hP

IfAPe trt

...2lim +=∴ ( 9. 9 )

Por ejemplo para una columna de b = h = 400 mm con fć = 28 MPa y sometida a una carga axial P = 1000 kN la excentricidad limite es:

( ) ( ) ( ) mme .102400101000

12/4002862.010160/101000.2lim 3

433

=××

××+××=

El resultado indica que la sección se mantiene en rango elástico sin fisurar si el momento flector no supera el valor de 1000 x 0.102 = 102 kN.m. Este calculo se realizo sin considerar la presencia del acero de refuerzo, en el siguiente ejemplo se muestra como son los cálculos completos. Ejemplo 9.3 Se requiere determinar la excentricidad limite de una columna de hormigón armado de dimensiones b = 300 mm y h = 500 mm la cual esta sometida a una carga de compresión P = 1500 kN. La sección esta reforzada con 4 # 8 colocadas simétricamente como se indica en la figura 9.12. Utilizar fć = 21 MPa y fy = 420 MPa.

+ = = P

M

fa fb fa + fb

fc max



78

Solución: Para determinar la “ elim. “ se requiere conocer las propiedades de At e It de la sección transformada no fisurada


2.150000500300 mmAg =×= 929.9214790

204000 ≈==n

2.16632081608160150000 mmAt =++=

462

3

1037782008160212

500300 mmIT ×=××+

×=

MPafr .8.22162.0 =×=

mme .119500101500

1037788.2166320

1015002(lim) 3

63

=××

××

+×

=

Si la columna se somete a momentos flectores M ≤ 1500 x .119 = 179 kN.m se puede concluir que la sección trabaja elásticamente sin fisurar. 9.4.4 Columnas sometidas a grandes excentricidades Si la excentricidad en una columna supera el valor de “ e ( lim) “ nuevamente, al igual que en vigas, parte de la sección se hace ineficaz para soportar las tensiones generadas por las cargas y la situación cambia totalmente respecto al caso anterior. La figura 9.13 muestra la sección de una columna sometida a una carga axial con gran excentricidad si se define “ kt “ como la altura de la zona comprimida, “ dc “ la distancia del borde mas

( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2

( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2

200 mm

200 mm

300 mm

500 mm



79

comprimido al eje central de la columna y “ ds “ la distancia del borde mas traccionado al eje central de la columna se tiene por cálculos estáticos lo siguiente:

Figura 9.13 Tensiones en columnas excéntricas fisuradas Del equilibrio de la sección y tomando momentos respecto al eje de la carga =>

( ) ( ) 0.03

´ =+−−

−+−+ ddeCdekCedT csc

tcs

Ahora por semejanza de triángulos: ( )t

s

t

c

kdnf

kf

−= c

t

ts fk

kdnf .−=

−==t

tcsss k

kdfAnfAT .... ( ) ct

tss f

kdkAnC ...1.2

´´

−−= bfkC ctc .

2.=

Reemplazando en la ecuación de equilibrio se obtiene:

( ) 0.02

....1223

..2.

2.... ´

´´´ =

−+

−−−

−+−

+−

− hedfk

dkAnhekbfkedhk

kdfAn ct

ts

tct

t

tcs

Sean:

+−= edhfAn cs

´

2...α ( )

−+−=

2...12 ´´ hedfAn csψ

2. cfb=β

y 2he −=γ Se obtiene una expresión mas simplificada para resolver “ kt “:

0.0.3

...´

=

−−

+−

−

t

ttt

t

t

kdkkk

kkd ψγβα

Esta es una ecuación cúbica para hallar el valor de “ kt “, organizando términos

e

P

kt dc

ds

d

dĆs

Cc

n.As

( 2n – 1) A´s

T

fc

fs / n d - kt



80

( ) ( ) 0.0......3

´23 =+−+++ ddkkk ttt ψαψαγββ

Una vez conocido el valor de “ kt “ se determinan las tensiones en el hormigón “ fc “ y en las dos capas de acero para finalmente determinar la carga admisible. Ejemplo 9.4 Una columna de b = h = 450 mm esta reforzada con seis barras # 9 como se indica en la figura 9.14. Determinar la carga axial admisible en rango elástico fisurado para una excentricidad e = 480 mm. fć = 21 MPa y fy = 280 MPa.

Figura 9.14 Sección de columna del ejemplo 9.4 Solución: Inicialmente se determinara la posición del eje neutro “ kt “ y luego las cargas internas “ T “, “ Cc “ y “ Cs “ para finalmente calcular “ Padm “.

929.9214790

204000 ≅==n As = A s = 3 x 645 = 1935 mm2

2.1741519359 mmAt =×= ( ) 2´ .328951935.192 mmAt =−×=

La tensión admisible a compresión del hormigón es: fc = 0.45 x 21 = 9.45 MPa

+−= edhfAn cs

´

2...α = 9 x 1935 x 9.45x ( 225 – 60 + 380 )=90 x 106

( )

−+−=

2...12 ´´ hedfAn csψ =(18 – 1 ).1935 x 9.45 x ( 60 + 380 – 225 ) =67 x 106

2. cfb

=β = ( 450 x 9.45 ) / 2 = 2126

2he −=γ = ( 380 – 225 ) = 155

60 mm

60 mm

450 mm

450 mm

P (adm)

380 mm

390 mm



81

( ) ( ) 0104010351.10671090.1552126.3

2126 886623 =×+×−×+×+×+ ttt kkk

0105517.221543.465 423 =×−++ ttt kkk

Al resolver la cúbica se encuentra que la raíz correcta es “ kt = 168 mm “.

⇒<=×

−

= ys fMPaf .5.0.11245.9168

1683909 As en rango elástico

( ) ⇒<=×

−×−×= ys fMPaf .5.0.10345.9

16860168192´ A´s en rango elástico

Se concluye que las tensiones en ambos aceros cumplen los limites admisibles.

NCc .3572104502

45.9168 =××=

( ) NCs .19983745.9168

601681935192 =×

−

××−×=

NT .21747045.9168

16839019359 =×

−

××=

kNNP .340.339577217470199837357210 ==−+=∴

La carga admisible para una excentricidad de “ e = 380 mm “ es “ P = 340 kN ”. 9.4.5 Comportamiento a nivel de resistencia . Refuerzo en dos capas ( As y A´s ) Cuando las cargas externas se incrementan a valores tales que la resistencia del acero tiende a “ fy “ y la del hormigón a “ fć “ se presenta una redistribución no lineal de tensiones entre los dos materiales. Este proceso no solo es complejo sino que solo se puede interpretar mediante una correcta formulación de un modelo matemático racional ajustado a la evidencia experimental. En principio se puede considerar para el análisis la columna de la figura 9.15 sometida a una carga axial “ Pn “ localizada a una distancia “ e´ ” del centroide del refuerzo a tracción. Para mayor generalidad se asume que las dos capas de acero tienen áreas diferentes “ As ≠ A´s “ que obliga a localizar su eje centroidal en un punto diferente al eje geométrico de la sección. De forma similar al diseño a flexión en vigas y losas, se puede presentar una falla a tracción o una falla a compresión dependiendo de si el acero a tracción alcanza o no la tensión de fluencia. Sin embargo, contrario a lo de vigas, en este caso no se puede evitar una falla a compresión limitando la posición del eje neutro respecto a la altura efectiva de la sección tal como se procede en esos casos ya que el tipo de falla depende es de la



82

magnitud de la carga axial. Por lo general el acero a compresión en columnas excéntricas llevadas a la falla alcanza la tensión de fluencia, excepto cuando: a) el nivel de carga axial es bajo, b ) se utiliza acero de alta resistencia y c) cuando las dimensiones de la columna son tales que “d´ ” es grande. En la practica es frecuente suponer que “ A´s “ esta en fluencia y luego por relaciones geométricas de las deformaciones comprobar esta hipótesis. Cs Figura 9.15 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas Del equilibrio de fuerzas horizontales en la figura 9.15 se tiene:

0=−−− TCCP csn 0....85.0. ´´´ =+−− sscssn fAabffAP

sssscn fAfAbafP .....85.0 ´´´ −+=∴ ( 9.10 ) Por lo general el acero a compresión esta en fluencia => f s = fy Tomando momentos alrededor del acero a tracción se obtiene:

( ) 02

... ´´ =

−−−− adCddCeP csn

( )´´´´´ ..2

...85.0. ddfAadbafeP sscn −+

−⋅= ( 9.11)

Las expresiones 9.10 y 9.11 definen la capacidad a flexión y carga axial de columnas excéntricas con refuerzo asimétrico. Sin embargo estas ecuaciones en la practica no son útiles porque se acostumbra referenciar la excentridad al eje central de la columna “ e “. Para lograr mayor aplicación a las anteriores ecuaciones es necesario referir la excentricidad a un punto denominado el “ centroide plástico de la sección “. Este punto esta localizado de tal forma que la carga externa produce una condición de falla solo por

d

e´

Pn

d

b

h

As

A´s

εc

ε´s

εs

c

T

Cs

Cc a

Cs

Cc

T

0.85.fć



83

carga axial. La figura 9.16 ilustra la forma de ubicar el centroide plástico en una columna con refuerzo asimétrico de dimensiones “ b “ y “ h “.

Figura 9.16 Localización del centroide plástico de una sección de columna

De la definición: ystcco fAAfP ..85.0 ´ += : Carga axial en la columna Por sumatoria de momentos respecto al eje del refuerzo a tracción se tiene:

( ) "..2

. ´21 dPddChdC o=−+

−

Reemplazando valores y despejando “ d´´ “ se obtiene:

( ) ( )( ) yssc

ssc

fAAhbfddfAhdhbfd ´´

´´´´´

..85.0..2/...85.0

++−+−= ( 9.12 )

Cuando la sección esta reforzada simétricamente “ As = A´s “ y el valor de la ecuación 9.12 se reduce considerablemente convirtiéndose en la 9.13.

2)(. ´

´´ ddd −= ( 9.13 )

De nuevo considerando la figura 9.15 pero ahora realizando sumatoria de momentos respecto al centroide plástico de la sección se obtiene:

( ) ´´´´´´´ ....2

...85.0. dfAdddfAdadbafeP sssscn +−−+

−−= ( 9.14 )

Reemplazando 9.13 en 9.14 para columnas con refuerzo simétrico

C2

C1

C3

Po

Carga localizada en el centroide plástico

A´s

As

b

h

d"

d´

d

h / 2



84

Figura 9.17 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas

−+

−+

−=

2..

2..

22...85.0. ´´´´ hdfAdhfAahbafeP sssscn ( 9.15)

Las ecuaciones 9.10, 9.14 y 9.15 son las relaciones de equilibrio básicas para columnas rectangulares sometidas a flexo-compresión. En estas ecuaciones es necesario recordar que parte del hormigón de la zona comprimida ha sido desplazado por el acero y esto no se ha considerado en las anteriores ecuaciones por el pequeño efecto que tiene en los resultados; sin embargo para cuantías altas, mayores al 4 %, su efecto es importante y es necesario considerarlo en los diseños. Lo que se hace es reemplazar el valor de “ f s “ por “ ( f´s – 0.85.fć ) “ logrando así compensar la carga de la misma manera como se ha disminuido el valor de la resistencia a compresión. Para una determinada columna la carga axial determinada con la ecuación 9.10 no debe ser mayor que la obtenida con la 9.2. Dependiendo de la magnitud de la excentricidad se pueden considerar tres tipos de comportamientos en las columnas: Cuando la excentricidad de la carga axial es alta, la falla se inicia por fluencia

del acero a tracción ( fs = fy ). El acero a compresión puede estar en fluencia ( f s = fy ) dependiendo de la deformación del hormigón a compresión (εc = 0.003) hipótesis que se debe comprobar por compatibilidad de deformaciones.

Cuando la excentricidad es baja el hormigón alcanza inicialmente su máxima deformación (εc = 0.003) antes de que el acero a tracción inicie la fluencia. En estos casos la sección de la columna estará totalmente comprimida.

Cuando la rotura se produce por la acción simultanea de fluencia del acero a tracción y máxima deformación del hormigón a compresión se llega a la condición intermedia.

Las ecuaciones de compatibilidad para comprobar si el acero en ambas caras de una columna esta o no en fluencia se obtienen del perfil de deformaciones de la figura 9.17. Por semejanza de triángulos se obtiene:

d´

e

Pn

d

b

h

A´s

εc

ε´s

εs

c

T

Cs

Cc a

Cs

Cc

T

0.85.fć

d"

C.P



85

Despejando “ εs “ , “ ε´s “ y reemplazando “ fs = Es. εs “ ,“ fs = Es. εs “

( )yscs f

ccdEf ≤−= ..ε ( 9.16 )

( )

yscs fc

dcEf ≤−

=´

´ ..ε ( 9.17 )

Para una columna rectangular con refuerzo simétrico el análisis de su comportamiento a nivel de resistencia se logra utilizando las ecuaciones 9.10 y 9.15 comprobando las hipótesis de las deformaciones con 9.16 y 9.17. Por lo general para una determinada excentricidad “ e “ o una carga axial “ Pn “ son datos del problema: las dimensiones de la sección, la cantidad y distribución del refuerzo, el recubrimiento y la resistencia de los materiales ( b, h, d, d´, As, A´s, fć, fy ) las incógnitas son : la profundidad del eje neutro “ c “, las tensiones en los aceros “ fs y f´s “ y “ Pn “ o “ e “. El procedimiento de análisis para una sección y excentricidad conocidas es el siguiente: inicialmente se asume una profundidad del eje neutro “ c “. Se determina luego la altura del bloque de Whitney usando la expresión “ a = β1.c “, se calculan las tensiones en los aceros a tracción y a compresión con 9.16 y 9.17 y luego la carga axial “ Pn “ con la ecuación 9.10, calcular finalmente la excentricidad correspondiente a esta carga usando la ecuación 9.15 y comparar este valor con la “ e “ inicial. Si son aproximadamente iguales se tiene la capacidad de carga axial de la columna, en caso contrario se deben repetir los cálculos anteriores usando un nuevo valor de “ c “. Si la excentricidad obtenida es mayor que la indicada se debe asumir un valor mayor de “ c “ y viceversa. Este proceso converge rápidamente y es muy simple con la ayuda de una calculadora programable o una hoja de calculo. Ya que el procedimiento anterior es largo y laborioso mas aun cuando no se dispone de eficientes herramientas de calculo como las calculadoras programables de gran capacidad y computadores portátiles, es practico utilizar tablas o gráficos que resuelvan

εs

εc

ε´s

d

c

d´ Para el triangulo OAB =>

( )cdcsc

−= εε

Para el triangulo OCD =>

( )´

´

ddcsc

−= εε

O

A B

C D



86

rápidamente el problema. De estas ayudas la mas conocida es el “ diagrama de interacción de columnas “ los cuales son gráficos similares al mostrado en la figura 9.18 y donde se relacionan los momentos y las cargas axiales para diferentes:

a) Disposiciones en la colocación del refuerzo ( en dos o cuatro caras ) b) Resistencia de los materiales ( f c y fy ) c) Dimensiones de recubrimientos ( d y d´ ) d) Secciones de columna ( rectangular y circular)

Figura 9.18 Forma típica del diagrama de interacción y perfiles de deformación Ejemplo 9.5 Se requiere analizar el comportamiento de la columna de la figura 9.19 utilizando un hormigón de fć = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.


Pn

Mn = Pn.e

Columna sin excentricidad, solo compresión ( e = 0 )

Columna con excentricidad pequeña. Controla la compresión

Condición intermedia

Columna con grande excentricidad

Zona a compresión

Zona a traccion

h = 400 mm

b = 400 mm

d´= 65 mm

d´= 65 mm

4 # 9

4 # 9



87

Solución: primero se determina la capacidad de la sección sometida a compresión pura con la ecuación 9.2. Luego se asumen diferentes valores de “ c “ determinando los puntos que definen el diagrama de interacción de la columna . a) Capacidad de la columna solo a carga axial “ e = 0 “.

( ) ( ) kNNPno .6774.106774420645864584004003585.0 3 =×=××+×−×××=

El valor expresado en términos de tensiones: MPaAP

g

no .42400400106774 3

=××=

El valor adimensional es: 21.135400400

106774 3

´ =××

×=× cg

no

fAP

b) Determinación de los valores de “ Pn “ y “ Mn “ para diferentes valores de “ c “. Este procedimiento se facilita con un programa o una hoja de calculo como se indica a continuación. Ya que el valor de “ c “ puede variar desde “ 0.0 “ hasta infinito ( cuando la columna es una viga ) se asumirán valores arbitrarios hasta lograr que Mn ≈ 0.0 para así graficar los puntos del primer cuadrante del diagrama. Las figuras 9.20, 9.21 y 9.22 muestran los tres tipos de gráficos de interacción mas utilizados. Para c = d´= 65 mm f´s = 0.0

( ) MPaMPafss 420.254201246.020400001246.0

33565335003.0 >=×=⇒=−×=ε

kNNCc .619106194006580.03585.0 6 =×=××××=

kNNT .10841010844202580 6 =×=×=

kNPn .4651084619 −=−=

( ) mkNmmkNM n .254.102542003351084)2/6580.0200(619 3 =×=−×+×−×=

Este es el primer punto de la tabla 9.1 y corresponde “ e = 254 / - 465 = - 0.55 m ”. Para c = h / 2 = 200 mm

( ) MPaMPafss 420.413002025.0204000002025.0

200200335003.0 <=×=⇒=−×=ε

( ) MPaMPafss 420.413002025.0204000002025.0200

65200003.0´ <=×=⇒=

−×=ε

kNNCc .190410190440020080.03585.0 6 =×=××××=



88

kNNTCs .10651010654132580 6 =×=×==

kNPn .1904106510651904 =−+= ( ) ( ) mkNM n .5166520010652003351065)2/20080.0200(1904 =−×+−×+×−×=

Este es el cuarto punto de la tabla 9.1. Corresponde a un “ e = 0.27 m ” Para c = d = 335 mm fs = 0.0

( ) MPaMPafss 420.494002420.0204000002420.0

33565335003.0´ >=×=⇒=−×=ε

kNNCc .318910318940033580.03585.0 6 =×=××××=

kNPn .427342025803189 =×+=

( ) mkNmmkNM n .356.10356652001084)2/33580.0200(3189 3 =×=−×+×−×=

Este es el punto # 7 y corresponde a un “ e = 356 / 4273 = 0.08 m “.

Tabla 9.1 Resumen de los resultados en los cálculos de la columna del ejemplo 9.5

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS

DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´( mm ) = 65 As(mm2) = 2580 ec= 0.003 d ( mm ) = 335 A´s(mm2) = 2580 B1= 0.80

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION p = 0.03225 Punto c fs f´s Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )

(mm) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 420 0 254 -465 3.97 -2.91 0.113 -0.083 2 110 420 250 397 610 6.20 3.81 0.177 0.109 3 155 420 355 474 1309 7.40 8.18 0.211 0.234 4 200 413 413 516 1904 8.07 11.90 0.230 0.340 5 245 225 420 462 2836 7.23 17.72 0.206 0.506 6 290 95 420 411 3599 6.43 22.50 0.184 0.643 7 335 0 420 357 4273 5.57 26.71 0.159 0.763 8 380 -72 420 295 4888 4.60 30.55 0.132 0.873 9 425 -130 420 223 5464 3.48 34.15 0.099 0.976

10 470 -176 420 139 6012 2.17 37.57 0.062 1.073 11 515 -214 420 42 6538 0.66 40.86 0.019 1.168 12 560 -246 420 -67 7049 -1.05 44.06 -0.030 1.259



89

010002000300040005000600070008000

0 200 400 600

Mn ( kN.m)

Pn (

kN )

Figura 9.20 Diagrama de interacción dimensional de la columna del ejemplo 9.5

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10Mn / ( Ag h ) ( MPa )

Pn /

Ag

( MPa

)

Figura 9.21 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.5

( 610, 397 )

( 516, 1904 )

( 357, 4273 )

( 0, 6774 )

e = 0.08

e = 0.27

e = 0.55



90

0.000.200.400.600.801.001.201.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25Mn / ( Ag h fć )

Pn /

( Ag

fć)

Figura 9.22 Diagrama de interacción adimensional de la columna del ejemplo 9.5 Si se repiten los cálculos dela tabla 9.1 para las ocho cuantías de columnas se obtiene una familia de diagramas muy útiles en el diseño estructural y que se presentan en todos los manuales y ayudas de diseño. La figura 9.23 los ilustra para el ejemplo 9.5.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000Mn ( kN.m)

Pn (

kN)

Figura 9.23 Familia de diagramas de interacción del ejemplo 9.5

ρ = 0.01

e / h = 0.20

e / h = 0.68

ρ = 0.08 Mn



91

9.4.6 Comportamiento a nivel de resistencia. Refuerzo en todas las caras Cuando se presentan altos momentos flectores es mas económico concentrar parte o todo el refuerzo en las dos caras paralelas al eje de la flexión como se indica en la figura 9.24. Sin embargo para pequeñas excentricidades es decir alta carga axial y bajos momentos flectores y cuando por razones arquitectónicas se requieran disminuir al máximo las dimensiones de la sección transversal de la columna es practico distribuir el refuerzo en forma uniforme alrededor del perímetro de la sección.

Figura 9.24 Distribución del refuerzo en columnas en dos y cuatro caras En este caso, al existir varias capas de refuerzo, es probable que cuando se alcance la resistencia de la sección las barras de las capas intermedias no estén en fluencia aspecto que se debe tener en cuenta cuando se analiza el comportamiento de la sección, figura 9.25. Utilizando los principios explicados en el numeral anterior se pueden construir los diagramas de interacción de estas secciones aplicando las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. Estos diagramas son la base fundamental del diseño de las columnas con refuerzo en todas las caras. La construcción de estos se explicara mejor con el siguiente ejemplo.

Figura 9.25 Tensiones y deformaciones en columnas con refuerzo en todas las caras

b

h

b

hMu Mu

εc

εs1

εs2

εs3

εs

Ts4

Ts3

Cs1 Cc

Cs2 c

As1

As2

As3

As4



92

Ejemplo 9.6 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las cuatro caras.

Figura 9.26 Sección de columna del ejemplo 9.6 Solución: El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior. En la tabla 9.2 y figuras 9.27 a 9.30 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 9.2 Resultados del análisis de la columna del ejemplo 9.6

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS

DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45

h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1935 ec= 0.003 d´2( mm ) = 200 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 d´3(mm) = 335 As3(mm2) = 1935

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION Punto c fs1 fs2 fs3 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )

# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 0 420 420 217 -736 3.4 -4.6 0.10 -0.13 2 110 250 420 420 338 177 5.3 1.1 0.15 0.03 3 155 355 178 420 406 1121 6.3 7.0 0.18 0.20 4 200 413 0 413 444 1904 6.9 11.9 0.20 0.34 5 245 420 112 225 406 2855 6.3 17.8 0.18 0.51 6 290 420 190 95 366 3635 5.7 22.7 0.16 0.65 7 335 420 247 0 320 4320 5.0 27.0 0.14 0.77 8 380 420 290 72 264 4945 4.1 30.9 0.12 0.88 9 425 420 324 130 197 5527 3.1 34.5 0.09 0.99

10 470 420 352 176 117 6081 1.8 38.0 0.05 1.09 11 515 420 374 214 24 6612 0.4 41.3 0.01 1.18 12 560 420 393 246 -82 7127 -1.3 44.5 -0.04 1.27 13 605 420 410 273 -204 7629 -3.2 47.7 -0.09 1.36 14 650 420 420 297 -339 8116 -5.3 50.7 -0.15 1.45

h = 400 mm

b = 400 mm

d´= 65 mm

d´= 65 mm

8 # 9 135 mm

135 mm



93

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000Mn (kN.m)

Pn(k

N)

Figura 9.27 Diagrama de interacción de la columna 9.6

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0Mn / ( Ag h ) ( MPa)

(Pn

/ Ag

) (M

Pa)

Figura 9.28 Diagrama de interacción de la columna del ejemplo 9.6



94

0.000.200.400.600.801.001.201.401.601.802.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40[ Mn / (Ag.h.fć)]

[Pn

/ (Ag

.fć)

]

Figura 9.29 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.6

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000Mn ( kN.m)

Pn (

kN)

Figura 9.30 Diagrama completo de interacción del ejemplo 9.6

Mn



95

Ejemplo 9.7 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las dos caras laterales.

Figura 9.31 Sección de columna del ejemplo 9.7 Solución: El procedimiento también es similar al ejemplo 9.5. En la tabla 9.3 y figuras 9.32 a 9.35 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 9.3 Resumen de los resultados para la columna del ejemplo 9.7

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS COLUMNA TIPO L

DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45

h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1290 ec= 0.003 d´2( mm ) = 155 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8 d´3(mm) = 245 As3(mm2) = 1290 d´4(mm) = 335 As4(mm2) = 1290

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION p = 0.0323

Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )

# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.

1 65 0 420 420 420 230 -1007 3.6 -6.3 0.10 -0.18 2 110 250 250 420 420 319 -36 5.0 -0.2 0.14 -0.01 3 155 355 0 355 420 359 934 5.6 5.8 0.16 0.17 4 200 413 138 138 413 388 1904 6.1 11.9 0.17 0.34 5 245 420 225 0 225 363 2874 5.7 18.0 0.16 0.51 6 290 420 285 95 95 333 3670 5.2 22.9 0.15 0.66 7 335 420 329 164 0 293 4367 4.6 27.3 0.13 0.78 8 380 420 362 217 72 243 5001 3.8 31.3 0.11 0.89 9 425 420 389 259 130 179 5591 2.8 34.9 0.08 1.00 10 470 420 410 293 176 103 6150 1.6 38.4 0.05 1.10 11 515 420 420 321 214 12 6676 0.2 41.7 0.01 1.19 12 560 420 420 344 246 -93 7176 -1.5 44.9 -0.04 1.28 13 605 420 420 364 273 -213 7665 -3.3 47.9 -0.10 1.37 14 650 420 420 381 297 -348 8146 -5.4 50.9 -0.16 1.45

h = 400 mm

b = 400 mm

d´= 65 mm

d´= 65 mm

8 # 9

90 mm

90 mm

90 mm



96

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 100 200 300 400 500

Mn (kN.m)

Pn(k

N)

Figura 9.32 Diagrama de interacción dimensional columna del ejemplo 9.7

0.05.0

10.015.020.025.030.035.040.045.050.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Mn / ( Ag h ) ( MPa)

(Pn

/ Ag

) (M

Pa)

Figura 9.33 Diagrama de interacción dimensional de columna del ejemplo 9.7



97

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

[ Mn / (Ag.h.fć)]

[Pn

/ (A

g.fć

)]


0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000Mn ( kN.m)

Pn (

kN)

Figura 9.35 Familia de diagramas de interacción columna del ejemplo 9.7

Mn



98

9.4.7 Comportamiento a nivel de resistencia. Columnas circulares El método anteriormente descrito para determinar por compatibilidad de deformaciones el comportamiento de los tres tipos de columnas rectangulares mas frecuentes en los edificios de hormigón armado ( R, E y L ) se puede aplicar al caso de columnas de forma circular ( C ). La figura 9.36 muestra como se determina “ c “ en estos casos considerando el mismo perfil de deformaciones visto en los ejemplos anteriores. De forma similar la profundidad del bloque comprimido es “ a = B1 c “.

Figura 9.36 Perfil de tensiones y deformaciones para una columna circular La principal característica de esta sección es que la zona a compresión es un segmento de circulo de altura “ a “ del cual se debe conocer su área y posición del centroide para determinar la fuerza de compresión en el hormigón y el momento resultante de esta fuerza respecto al centro de gravedad de la columna. De la geometría se obtiene que tanto el área como la posición del centroide se pueden obtener a partir del ángulo “ θ “ que hace la base del segmento con el radio como se muestra en la figura 9.36. El valor del ángulo “ θ “ depende de la altura del bloque comprimido de la sección así: Si “ a < h / 2 “ θ < 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.18:

−= −

22cos 1

hahθ ( 9.18 )

Si “ a > h / 2 “ θ > 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.19:

−−= −

22cos180 1

hhaθ ( 9.19 )

El área del segmento circular se expresa en función de “ θ “ mediante la ecuación 9.20 donde “ θ “ esta en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la

c

εc =0.003

εs

Cc

Cs

T1

T2

θ



99

columna se indica con la ecuación 9.21. Con estos parámetros se puede determinar el diagrama de interacción de la columna circular.

−

=4

cos..2 θθθ senhA ( 9.20 )

A

senhy

=12

.3

3 θ

( 9.21 )

En donde ” y “ es el valor de la distancia del centroide del área comprimida al eje neutro. La forma del diagrama de interacción de una columna circular se ve afectada por el numero de barras y su orientación relativa respecto al eje neutro. Por ejemplo en la columna de la figura 9.36 la capacidad de momento en dirección x-x es menor que la obtenida en dirección y-y efecto que debe tener muy en cuneta el diseñador de la estructura. Se recomienda que el diseño de columnas circulares se realice con el diagrama de la dirección mas desfavorable debido al poco control que se tiene durante la construcción de la edificación. Para casos donde el numero de barras es mayor de ocho ( 8 ) el problema se reduce considerablemente por la disposición circular del refuerzo a flexión de la columna. Ejemplo 9.8 Analizar en un diagrama de interacción el comportamiento de una columna circular de diámetro “ Φ = 400 mm “. Usar los mismos datos de los ejemplos anteriores para las propiedades de lo materiales, As = 8 # 9.

Figura 9.37 Sección de la columna del ejemplo 9.8

Solución: La metodología nuevamente es similar a la presentada en los ejemplos de columnas rectangulares. Inicialmente se determina la capacidad de la columna sometida a carga axial pura y luego se asumen varias posiciones de eje neutro y por compatibilidad y equilibrio se obtienen las parejas de puntos ( Mn , Pn ).

400

65 mm 132.5 mm

200 mm

267.5 mm 335 mm



100

Capacidad a carga axial pura Excentricidad: e = 0.0

( )( ) kNPn 5752420516051601256643585.0 =×+−××=

Para c = 65 mm εs1 = 0.0 y fs1 =0.0

( ) MPaMPafss 42063400311.020400000311.065

655.132003.0 22 >=×=⇒=−×=ε

( ) MPaMPafss 420127100623.020400000623.0

6565200003.0 23 >=×=⇒=−×=ε

( ) MPaMPafss 420190700935.020400000935.0

65655.267003.0 24 >=×=⇒=−×=ε

( ) MPaMPafss 420254201246.020400001246.0

6565335003.0 25 >=×=⇒=−×=ε

Se comprueba que todas las capas de acero están en fluencia cuando “ c = 65 mm “. Las fuerzas resultantes en cada capa son: Capa 1 => F1 = 0.0 Capa 2 => F2 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN Capa 3 => F3 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN Capa 4 => F4 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN Capa 5 => F5 = 645 mm2 * 420 MPa = 271 kN La resultante a compresión del hormigón es:

kNNCc .2911029197683585.0 3 =×=××=

θ

Cc 200 mm

a = 0.80 x 65 =52 mm

o27.42200

52200cos 1 =

−

= −θ

22 .97684

74.067.074.0400 mmA =

×−×=

y



101

La fuerza axial resultante es: Pn = 291 – 3 ( 542 ) – 271 = -1606 kN (tracción ). Para obtener “ Mn “ se toman momentos respecto al centro de gravedad de la columna

( )

mm

sen

y .1669768

1227.42

4003

3

=

×

=

Momento del bloque de hormigón: M1 = 291 x 166 = 48306 kN.mm = 48.3 kN.m Momento de las capas de acero: M2 = 0.0 M3 = 542 x ( 200 – 132.5 ) = 36.6 kN.m ; M4 = 542 x ( 200 – 200 ) = 0.0 kN.m M5 = 542 x ( 267.5-200 ) = 36.6 kN.m ; M6 = 271 x ( 335 – 200 ) = 36.6 kN.m El momento resistente es: Mn = 48.3 +36.6 + 36.6 + 36.6 = 158.1 kN.m La capacidad a flexión de esta columna para “ c = 65 mm “ es ( 158 kN.m , -1606 kN ).

Tabla 9.4 Resumen de cálculos de comportamiento columna ejemplo 9.8

COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS CIRCULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS

DATOS DE LA SECCIÓN INCR." c "= 35 D ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 fy (MPa) = 420

ec= 0.003 d´2( mm ) = 132.5 As1(mm2) = 645 B1= 0.8 d´3(mm) = 200 As2(mm2) = 1290

A(mm2)= 125664 d´4(mm) = 267.5 As3(mm2) = 1290 d´5(mm) = 335 As4(mm2) = 1290 As5(mm2) = 645

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION

Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag # (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) 1 65 0 420 420 420 420 158 -1611 2.5 -10.1 2 100 214 199 420 420 420 190 -941 3.0 -5.9 3 135 317 11 295 420 420 213 -159 3.3 -1.0 4 170 378 135 108 351 420 247 676 3.9 4.2 5 205 418 216 15 187 388 256 1520 4.0 9.5 6 240 420 274 102 70 242 246 2283 3.8 14.3 7 275 420 317 167 17 134 231 2938 3.6 18.4 8 310 420 350 217 84 49 209 3514 3.3 22.0 9 345 420 377 257 137 18 181 4029 2.8 25.2

10 380 420 399 290 181 72 148 4488 2.3 28.1 11 415 420 417 317 218 118 111 4891 1.7 30.6 12 450 420 420 340 248 156 72 5216 1.1 32.6 13 485 420 420 360 274 189 39 5459 0.6 34.1 14 500 420 420 367 285 202 31 5522 0.5 34.5



102

01000200030004000500060007000

0 100 200 300Mn ( kN.m )

Pn (

kN )

Figura 9.38 Diagrama de interacción de la columna circular del ejemplo 9.8

05

10152025303540

0 1 2 3 4 5Mn / (Ag x h ) ( MPa)

Pn /

Ag

( MPa

)

Figura 9.39 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.8



103

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.05 0.10 0.15Mn / (Ag x h x fć )

Pn /

( Ag

x fć

)


0100020003000400050006000700080009000

0 100 200 300 400Mn ( kN.m )

Pn (

kN )

Figura 9.41 Diagramas de interacción para columna circular del ejemplo 9.8



104

9.4.8 Diseño a flexión y carga uniaxial de columnas cortas En columnas, al igual que en vigas y losas, el diseño de los elementos debe cumplir con unos márgenes de seguridad adecuados. Estos están indicados en las normas y códigos establecidos. Las cargas o tensiones externas de servicio se deben amplificar utilizando los factores “ γ “ y la resistencia se debe disminuir utilizando los coeficientes “ Φ “. Lo anterior significa que si una columna esta bien diseñada se debe cumplir:

un PP ≥.φ y un MM ≥.φ ( 9.22 ) Utilizando el método de las deformaciones limites se pueden definir diferentes valores para el coeficiente “ Φ “ de acuerdo al comportamiento resistente de la columna. Cuando controla la tracción se cumple que: “ εt > 0.005 y c / dt < 0.375 “ y el valor de “ Φ = 0.90 “ para cualquier columna. Si controla la compresión se tiene que si: “ εt < 0.002 y c / dt > 0.600 “ => “ Φ = 0.75 “ para columna con espirales y “ Φ = 0.65 “ en otros casos. Finalmente si las condiciones que controlan la resistencia de la columna son intermedias se cumple que “ 0.002 < εt < 0.005 y 0.375 < c / dt < 0.600 “ y el valor de “ Φ “ se obtiene por interpolación lineal con las siguientes expresiones:

Columna con espiral: tεφ .6757.0 += o ( )tdc20.037.0 +=φ

Columna con amarre: tεφ .8348.0 += o ( )tdc25.023.0 +=φ

Si se aplican estos coeficientes a los diagramas “ Mn , Pn “ obtenidos en el numeral anterior se pueden obtener los diagramas “ ΦMn , ΦPn “ que son en definitiva los diagramas de interacción para el diseño estructural de columnas. Ejemplo 9.9 Se requiere determinar el diagrama de interacción de diseño de la columna del ejemplo 9.5. fć = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.


h = 400 mm

b = 400 mm

d´= 65 mm

d´= 65 mm

4 # 9

4 # 9



105

Solución: El procedimiento es similar al realizado en el ejercicio 9.5 pero ahora se considera el coeficiente “ Φ “ en los cálculos respectivos. La tabla 9.5 y la grafica 9.43 presenta los resultados obtenidos.

Tabla 9.5 Resultados del diseño de la columna del ejemplo 9.9

DISEÑO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS COLUMNA E

DATOS DE LA SECCIÓN b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45 h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 2580 ec= 0.003 d´2( mm ) = 335 As2(mm2) = 2580 B1= 0.8 p= 0.03225 Pn (max)= 3522

DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION p = 0.03225

Punto c Φ fs1 fs2 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )

# (mm) coef. ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens. 1 20 0.90 420 420 296 -1779 4.6 -11.1 0.13 -0.32 2 65 0.90 0 420 229 -418 3.6 -2.6 0.10 -0.07 3 110 0.90 250 420 357 549 5.6 3.4 0.16 0.10 4 155 0.77 355 420 365 1008 5.7 6.3 0.16 0.18 5 200 0.65 413 413 335 1235 5.2 7.7 0.15 0.22 6 245 0.65 420 225 300 1840 4.7 11.5 0.13 0.33 7 290 0.65 420 95 267 2335 4.2 14.6 0.12 0.42 8 335 0.65 420 0 231 2772 3.6 17.3 0.10 0.49 9 380 0.65 420 72 191 3171 3.0 19.8 0.09 0.57

10 425 0.65 420 130 144 3522 2.3 22.0 0.06 0.63 11 470 0.65 420 176 90 3522 1.4 22.0 0.04 0.63 12 515 0.65 420 214 27 3522 0.4 22.0 0.01 0.63 13 560 0.65 420 246 -44 3522 -0.7 22.0 -0.02 0.63 14 605 0.65 420 273 -124 3522 -1.9 22.0 -0.06 0.63

Por ejemplo si la columna indicada esta sometida a las siguientes cargas externas mayoradas ( Mu = 350 kN.m , Pu = 1250 kN ) se tiene: Excentricidad: e = ( 350 / 1250 ) = 0.28 m e / h = 0.28 / 0.40 = 0.70 > 0.2

Mu / ( bh2 fć ) = ( 350 x 106 / ( 400 x 4002 x 35 )) = 0.16

Pu / ( bh fć ) = ( 1250 x 103 / ( 400 x 400 x 35 )) = 0.22 Si se entra a la grafica de la figura 9.43 se encuentra que esta pareja de puntos esta por fuera del diagrama de interacción y la columna no es adecuada. Se debe aumentar el refuerzo para lograr seguridad estructural. En la grafica 9.44 se encuentra que una cuantía de 0.038 es adecuada para esta columna.



106

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200

fi.Mn / ( bh^2fć)

fi.Pn

/ ( b

hfć

)

Figura 9.43 Diagrama de interacción de diseño de columna del ejemplo 9.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35FMn / ( bh^2fć)

FPn

/ ( b

hfć

)

Figura 9.44 Diagrama de interacción adimensional de diseño de columnas tipo E

Tipo: E fć = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.675

P = 0.038

Tipo: E fć = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.675



107

De la misma forma se procede con otros valores de momento y carga axial. En general para cualquier columna sea tipo E, R, L o C se disponen de juegos de diagramas de interacción que ayudan a seleccionar rápidamente las cantidades de acero requeridas manejando las variables: recubrimientos, fć, fy. La practica en nuestro medio es la que utilizan en los Estados Unidos de América. Los gráficos se encuentran definidos con la siguiente nomenclatura: Tipo de grafico: fć : fy : γ. Por ejemplo la columna definida con la referencia: E4.60: 60 equivale a un tipo E ( acero en las dos caras normales al eje de la flexión ), hormigón de 4 ksi ( 28 MPa ), refuerzo de 60 ksi ( 420 MPa ) y coeficiente de separación del refuerzo 0.60. Si se expresa en el sistema internacional de unidades E28.420: 60. El valor de “ γ “ se determina con la ecuación 9.23 y permite definir que tanto recubrimiento se le ha dado a las capas de refuerzo mas cercanas a las caras de la columna. Si “ γ “ es bajo se tiene altos recubrimientos y viceversa. Por lo general para los valores típicos de trabajo “ γ “ varia entre 0.60 y 0.75.

hdh ´.2−

=γ ( 9.23 )

Para los siguientes ejemplos se utilizaran los diagramas de interacción de las figuras 9.45 a 9.53. Se recomienda al lector no utilizar diagramas de otras referencias porque no están convenientemente actualizados. En resumen, el diseño de una columna corta de hormigón armado sometida a flexo-compresión uniaxial se puede realizar de varias formas: Cuando se asumen las dimensiones ( b, h ) y se debe hallar el refuerzo ( Ast ) Cuando se asume el refuerzo para hallar las dimensiones Cuando no se conoce ni dimensiones ni refuerzo.

El primer procedimiento es prácticamente el mas utilizado ya que el análisis estructural precede al diseño, y para realizar el análisis se debe dimensionar la edificación con el fin de obtener los desplazamientos y esfuerzos internos. Por lo general se procede así:

Datos : b, h, fć, fy, d, d´, Pu y Mu. El primer paso es hallar la excentricidad “ e = Mu / Pu “. Luego se determina la excentricidad relativa “ e / h “. Si “ e / h < 0.1 “ se

recomienda usar una columna tipo C. Si “ 0.1 < e / h < 0.2 ” usar una columna tipo R y si “ e / h > 0.2 “ usar tipo E. La columna tipo L se usa cuando la relación entre h / b es mayor de 4.0 es decir la columna es mas una pantalla o muro estructural.

Seleccionado el tipo de columna se busca el diagrama de interacción correspondiente en las ayudas de diseño y se procede a determinar la cuantía de refuerzo a flexión.

Finalmente se determinan los amarres o espirales necesarios.



108

Ejemplo 9.10 La columna del primer piso de un edificio de dos plantas soporta las cargas axiales en servicio indicadas en la figura 9.46. Determinar el refuerzo requerido en la columna “ Ast “ si por razones arquitectónicas las dimensiones deben ser: b = 400 mm y h = 500 mm. Usar fć = 28 MPa y fy = 420 MPa.

Figura 9.46 Esquema del ejemplo 9.10 Revisar además si el refuerzo obtenido es adecuado cuando no esta presente la carga viva en la cubierta. Solución: El diseño se realizara primero actuando toda la carga axial y luego se revisara si este refuerzo cumple la condición de carga viva indicada.

kNPu .23269706.16452.1 =×+×=

mkNMu ..4131726.11152.1 =×+×=

me .18.02326413 == 20.036.0

50.018.0 >==

he Se recomienda columna tipo E

Sea d´= 65 mm 75.074.0500

652500 ≈=×−=γ Utilizar el diagrama: E 4.60: 75.

Para hallar la cantidad de acero se pueden resolver simultáneamente las ecuaciones de diseño 9.22, 9.10 y 9.15 o usar los diagramas de interacción previamente construidos como se indico anteriormente. El primer método es sin embargo un proceso largo por lo cual se prefiere el uso de los diagramas en lugar de utilizar las ecuaciones. Del grafico de la figura 9.47 obtenido con la ayuda de una hoja de calculo se marca el punto de coordenadas ( Mu / bh2 fć , Pu / bh fć ) ( 0.15, 0.42 ). Y se obtiene por interpolación la cuantía de refuerzo requerida que en este caso esta entre 0.03 y 0.04. Se asumirá un valor intermedio de 0.035.

Pm = 645 kN Pv = 970 kN

Mm = 115 kN.m Mv = 172 kN.m

Pv = 482 kN



109

La cantidad de acero es => Ast = 0.035 x 400 x 500 = 7000 mm2. Utilizando barras # 10 este refuerzo equivale a: 7000 / 819 = 8.5 barras => se prefiere combinar con barras # 8 y por tanteos se llega a: 6 # 10 + 4 # 8 = 6954 mm2 p = 0.035

00.20.40.60.8

11.21.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4Mn / ( bh^2 fć)

Pn /

( bh

fć )

Figura 9.47 Diagrama de interacción de diseño. Columna del ejemplo 9.10

Para los amarres se asumen barras # 3 con el siguiente espaciamiento: 16 x db = 16 x 31.8 = 509 mm 48 x de = 48 x 12.7 = 610 mm La menor dimensión de la columna => 400 mm


COLUMNA E 28.420: 74

3# 10 + 2# 8

3# 10 + 2# 8

500 mm

400 mm

65 mm

435 mm



110

Cuando la carga axial no tiene el aporte de la carga viva de la cubierta =>

( ) kNPu .15554829706.16452.1 =−×+×=

mkNMu ..413=

me .27.01555413 == 20.054.0

50.027.0 >==

he Se recomienda columna tipo E

Para entrar al diagrama de interacción de la figura 9.47 se requiere:

15.028500400

10413.2

6

´2´2 =××

×==c

u

c

n

fbhM

fbhMφ

28.028500400

101555. 3

´´ =××

×==c

u

c

n

bhfP

bhfPφ

Con estas coordenadas se encuentra en la figura 9.47 una cuantía “ ρ = 0.025 “ la cual es menor que la obtenida cuando actúa toda la carga axial por lo que se concluye que el diseño es satisfactorio. Ejemplo 9.11 Se requiere diseñar una columna rectangular para que soporte una carga axial mayorada de 2350 kN y un momento mayorado de 735 kN.m. Los materiales a utilizar son: fć = 28 MPa y fy = 420 MPa. Por razones económicas la cuantía de acero debe ser menor o igual al 3 %. Determinar las dimensiones optimas de la sección. Solución: El procedimiento es iterativo, se comienza asumiendo un valor de “ h “ el cual se va modificando a medida que se obtienen los resultados. Un primer ensayo es hallar el área de la sección con la expresión aproximada:

( )( )( )

23

´ .12862642003.02845.0

102350..45.0

mmff

PAyc

ug =

×+××=

+≥

ρ

Sin embargo, a diferencia de las vigas, aquí la excentricidad es importante y se debe tener en cuenta en la selección de las dimensiones. Ya que “ e = 735 / 2350 = 0.31 m “ se concluye que la columna esta controlada por la flexión y en estos casos es recomendable usar una sección tipo E. Sea h = 600 mm => e / h = 0.52 > 0.20 y se comprueba que es una columna tipo E. Sea d´= 75 mm => γ = 0.75. Si se dispone del diagrama de interacción E 28.420.75 se puede encontrar el valor de “ Pu / bhfć “ conocidos “ e / h = 0.52 “ y “ p = 0.03 “. Este diagrama se presenta en la figura 9.49. De la figura 9.49 se concluye que el valor de “ Pu / ( bh fć ) = 0.30 “. Si se despeja el valor del ancho de la columna se tiene: b = 466 mm el cual se aprox. a 450 mm.



111

00.20.40.60.8

11.21.41.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Mu / ( bh^2 fć )

Pu /

( bh

fć )

Figura 9.49 Diagrama de interacción columna E 28.420:75 Ejemplo 9.11 El refuerzo para esta columna esta constituido por: Ast = 0.03 x 450 x 600 = 6750 mm2 que se pueden reemplazar por 8 # 9 para obtener una cuantía de p = 0.024 < 0.03. Ejemplo 9.12 Determinar el refuerzo longitudinal y los amarres respectivos para las dos siguientes columnas: a) rectangular que debe soportar las siguientes cargas mayoradas: Pu = 1600 kN y Mu = 150 kN.m y Vu = 73 kN. fć = 21 MPa y fy = 420 MPa y b) Una circular : Pu = 2550 kN, Mu = 85 kN.m, fć = 28 MPa y fy = 420 MPa Solución: a) En este caso solo se conocen las tensiones que producen las cargas externas mayoradas y se debe encontrar las dimensiones y el refuerzo de la columna. Por criterios prácticos y económicos se asumirá una cuantía de p = 1.5 % ( por lo general este valor esta entre el 1 % y el 2 % ).

( )2

3

.130240420015.02145.0

101600 mmAg =×+×

×≥

La excentricidad es de: e = 150 / 1600 = 0.09 m la cual indica que es una columna donde controla la carga axial. En estos casos el tipo R es adecuado por lo cual se asumirá inicialmente una sección cuadrada con b = h = ( 130240 )0.5 ≈ 360 mm. Sea b = h = 400 mm que representa un Ag = 160000 mm2 > 130240 mm2 => cumple. La excentricidad relativa es: e / h = 0.09 / 0.40 =0.225 > 0.20 => Columna tipo E. Sea d´= 65 mm γ = 0.675 por lo tanto se puede interpolar linealmente los valores de la cuantía obtenidos en los diagramas de interacción “ E 21.420:60 “ y “ E 21.420:75 “. Se usan los siguientes datos: Pu / (bhfć ) = 0.48 y Mu / ( bh2fć ) = 0.11

e / h = 0.52 P = 0.03



112

00.20.40.60.8

11.21.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Mu / ( bh^2 fć )

Pu /

( bh

fć )

Figura 9.50 Diagrama de interacción E 21.420:75

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Mu / (bh^2fć)

Pu /

(bhf

ć)

Figura 9.51 Diagrama de interacción E 21.420.60 La cuantía de refuerzo para esta columna es => p = ( 0.022 + 0.018 ) / 2 = 0.020. El refuerzo es: Ast = 0.020 x 400 x 400 = 3200 mm2 que equivalen a 4 # 9 + 2 # 7 para un Ast real = 4 x 645 + 2 x 387 = 3354 mm2 => Cumple.

Grafico E 21.420:75

Grafico E 21.420:60

p = 0.022

p = 0.018



113


Verificando la capacidad máxima de carga axial de la columna se tiene: ( ) ( )( ) kNNPn .2187102187420335433541600002185.065.080.0. 3

.max =×=×+−××××=φ Esta capacidad es superior a la carga axial externa indicada de 1600 kN. Para los amarres usar barras # 3 @ 400 mm que en este caso controla. Para la cortante se tiene de la ecuación 5.33:

kNNVc .134101341600001.14

10160013354002117.075.0. 33

=×=

×

×+×××××=φ

En este caso “ Vu = 73 kN “ es mayor que “ kNVc .672. =φ “ y se debe colocar un refuerzo transversal mínimo. Verificando con estribos # 3 cada 150 mm que representan la cantidad mínima de estribos se tiene:

kNNVs .10010100400

33542014275.0. 3 =×=×××=φ

La capacidad a cortante de la columna se incrementa a: kNVn .234100134. =+=φ la cual es suficiente para atender con un alto margen de confiabilidad la cortante externa.

2 # 9 +1 # 7

2 # 9 + 1 # 7

400 mm

400 mm

65 mm

65 mm

270 mm

# 3 @ 150 mm



114

b) Para una primera estimación del diámetro de la columna se asumirá una cuantía de refuerzo del 1.5% =>

( )2

3

.165210420015.02845.0

102550 mmAg =×+×

×= mm.4601416.31652104

=×

=φ

Se considera por tanto una columna de 500 mm de diámetro. La excentricidad es de “ e = 85 / 2550 = 0.033 m “ y “ e / D = 0.066 “ valor menor que 0.1 y se confirma que la columna es del tipo C. Si se asume un recubrimiento de 62.5 mm => 75.0=γ y el grafico de interacción es: C 28.420:75 representado en la figura 9.53.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Mu/(bh^2 fć)

Pu/(b

h fć

)

Figura 9.53 Diagrama de interacción de la columna C 28.420:75 Si se entra al diagrama de la figura 9.53 con “ Pu / Ag.fć = 0.55 “ y “ Mu / Ag.D.fć = 0.046 “ => la cuantía da aprox. 1 % => se puede disminuir la sección o considerar que el diseño es correcto. Ast = 0.01 x 165210 = 1652 mm2 los cuales equivalen a 8 # 5. Para los amarres en espiral se pueden utilizar # 3 con paso de 75 mm.

Columna C 28.420:75



115

e/h=0.1

e/h=0.2

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40Mu/(bh^2 fć)

Pu/(b

h fć

)

Figura 9.54 Diagrama de interacción E21.420:60

e/h=0.1

e/h=0.2

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50Mu/(bh^2 f c)

Pu/(b

h fć

)




116

e/h=0.1

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=0.2

e/h=2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30Mu/(bh^2 fć)

Pu/(b

h fć

)


e/h=0.2

e/h=0.5

e/h=1.0

e/h=2.0

e/h=0.1

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40Mu/(bh^2 f c)

Pu/(b

h fć

)




117

e/h =0.1

e/h =0.2

e/h =0.5

e/h =1.0

e/h = 2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30Mu / (Ag.h.fć)

Pu /

( Ag.

fć)

Figura 9.56 Diagrama de interacción R21.420:60

e/h = 0.1

e/h =0.2

e/h =0.5

e/h =1.0

e/h =2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35Mu / (Ag.h.fć)

Pu /

(Ag.

fć)




118

e/h = 0.1

e/h =0.2

e/h =0.5

e/h =1.0

e/h =2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Mu / ( Ag.h.fć)

Pu /

( Ag.

fć)


e/h =0.1

e/h =0.2

e/h =0.5

e/h =1.0

e/h =2.0

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30Mu / ( Ag.h.fć)

Pu /

(Ag.

fć)


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