Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 1 Eigenschaften der OLS-Schätzer a Erinnerung: OLS-Schätzer a und b werden anhand der Zufallsvariable

Alexander SpermannUniversität Freiburg

3. Sitzung

1

Eigenschaften der OLS-Schätzer

a

Erinnerung: OLS-Schätzer a und b werden anhand der Zufallsvariable y ermittelt (Ann.: u und y normalverteilt)

a und b sind ebenfalls Zufallsvariablen und unterliegen dann

ebenfalls Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz

Was sagen Erwartungswert und Varianz von a und b aus? Man kann zeigen, dass E(a) = und E(b) = ß, d.h. dass die OLS-Schätzer erwartungstreu (unverzerrt) sind, was bedeutet, dass der Durchschnittswert der Schätzer beim wahren Wert und liegt


3. Sitzung

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Eigenschaften der OLS-Schätzer

Systematische Unterschätzung(biased estimator),

wobei der wahre Wert und b der

Schätzer sind

Wah

rsch

einl

ichk

eit

b

Verteilung des Schätzers b

Erwartungstreuer OLS-Schätzer (unbiased estimator)

bb

Wah

rsch

einl

ichk

eit

b


3. Sitzung

3

Eigenschaften der OLS-SchätzerW

ahrs

chei

nlic

hkei

t b

Wah

rsch

einl

ichk

eit

bb b

Inefficient Estimator

Weiterhin kann man zeigen, dass gilt: Der OLS-Schätzer ist ein

effizienter Schätzer = varianzminimaler Schätzer

Efficient Estimator

Quelle: Pindyck; Rubinfeld


3. Sitzung

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Gauss-Markov Theorem (BLUE)

Unter OLS-Annahmen sind OLS-Schätzer a und b beste, lineare, unverzerrte Schätzer

Best: Minimum-Varianz

= effizienter Schätzer

Linear: a und b sind Linearkombinationenaus x und y

Unbiased: unverzerrt E(B) = ß, E(a) =

Estimator: Schätzer


3. Sitzung

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4. Sitzung: Hypothesentest

Schätzgleichung:

y= + ßx+u

„Wahre“ Parameter und ß sind unbekannt, wie kann von Schätzwerten a und b auf wahre Parameter geschlossen werden?

H0: NullhypotheseH1: Alternativhypothese

H0 : ß = ß0

H1 : ß ≠ ß0

ß0 kann hierbei beliebigen Wert annehmen (wichtiger Fall: ß0 = 0)


3. Sitzung

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Type I Error (-Fehler)

Definition: Wahre Nullhypothese wird verworfen.

Die Wahrscheinlichkeit P für diesen Fehler soll üblicherweise minimiert werden.

Beispiel: P = 0,05

Gesucht: Verteilung für Schätzer b unter der Annahme, dass Nullhypothese wahr ist, also ß = ß0

b normalverteilt, bei bekannter Varianz Var(b) kann b derart normiert werden, so dass auf tabellierte Standard-Normalverteilung N(0,1) zurückgegriffen werden kannProblem: Var(b) nicht bekannt, sondern muss geschätzt werden!

)( 2 ,


3. Sitzung

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t-Test (zweiseitig oder two-tailed)Man kann zeigen, dass folgender Ausdruck t-(oder „student“)-verteilt ist:

wobei s.e.(b) = geschätzte Standardabweichung vom Schätzer b

Wie kommen Werte t0,025 = - 2 und t0,975 = 2 zustande? Quantile hängen

normalerweise von der Anzahl der Beobachtungen und der erklärenden Variablen

ab: -2 und 2 gelten approximativ für großes n (Stichprobengröße).

Faustregel: H0 wird abgelehnt, wenn | t | > 2 .

).(.)(ˆ bes

b

braV

bt

00

t


3. Sitzung

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t-Test (zweiseitig oder two-tailed)

Intuition:

bedeutet, dass

Differenz zwischen Schätzwert b und ß0 relativ groß ist, je größer diese Differenz, desto eher wird natürlich H0 abgelehnt

s.e.(b), d.h. geschätzte Standardabweichung von b relativ klein ist: Je genauer der Schätzwert b, desto weniger wird Abweichung zwischen b und ß0 „toleriert“ und desto eher wird H0 abgelehnt

20

).(. bes

bt

t


3. Sitzung

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t-Test

Beispiel: H0 : ß = 0

H1 : ß ≠ 0

Dieser Wert wird üblicherweise von Standard-Statistik-Software im Regressionsoutput automatisch ausgegeben.

H0 („Schulbildung hat keinen Einfluss auf Lohn“) wird abgelehnt

).(. bes

bt

55890080

076000.

.

.

).(.).(.

bes

b

bes

bt


3. Sitzung

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4. Sitzung: Hypothesentest


3. Sitzung

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t-Test

Anderes Beispiel:

H0: = 1

H1: ≠ 1

H0 wird nicht verworfen

669,0105886.0

0708.0

).(.

10708,1

).(.

0

aesaes

at


3. Sitzung

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Type I Error (-Fehler)

Definition: Wahre Nullhypothese wird verworfen.

Intuition: Je geringer das Signifikanzniveau, desto unwahrscheinlicher ist das

Risiko eines Typ I Fehlers.

Also ist z.B ein 0.1%-iges Signifikanzniveau sicherer in bezug auf den Typ I

Fehler.

Interpretation für ß0 = 0: Wenn „wahres“ ß = 0 ist, dann wird mit nur 0,1%-iger Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise geschlossen,

dass ß von Null verschieden ist


3. Sitzung

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Signifikanzniveau

Intuition: Je geringer das Signifikanzniveau, desto höher ist die Hürde, die Nullhypothese zu

verwerfen.

0.1%Extrem hohe Hürde

1%Verschärfung

5%Standard

Signifikanzniveau - Wahrscheinlichkeit


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Type II Error (-Fehler)

Definition: Falsche Nullhypothese wird nicht verworfen.

Intuition: Je geringer das Signifikanzniveau, desto wahrscheinlicher ist das Risiko eines Typ II Fehlers, weil die Anforderungen an das Verwerfen der Nullhypothese steigen.

trade-off zwischen Typ I und Typ II Fehler

Graphische Intuition:

je geringer das Signifikanzniveau, desto größer ist die Akzeptanzregion für die Nullhypothese, desto wahrscheinlicher ist ein Typ II Fehler

Quelle: Pindyck, Rubinfeldt


3. Sitzung

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Einseitiger Test (one-tailed test)Hypothesen:

H0: ß < (>) ß0

H1: ß > (<) ß0

Faustregel:

H0: ß < ß0 wird abgelehnt, wenn (siehe Grafik)

H0: ß >ß0 wird abgelehnt, wenn

Quelle: Pindyck, Rubinfeldt

671950

0,~

).(. ,

tbes

bt

671050

0,~

).(. ,

tbes

bt


3. Sitzung

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Einseitiger Test (one-tailed test)

z.B. Hypothese:

H0: ß < 0

H1: ß > 0

Ökonomische Begründung: negative Werte des Regressionskoeffizienten machen ökonomisch keinen Sinn.

Vorteil: Bei gleichem Signifikanzniveau sinkt der kritische Wert tcrit. Das heißt, die Nullhypothese wird eher verworfen als bei einem zweiseitigem Test.

Achtung: Das Risiko eines Typ I Fehlers bleibt gleich, nämlich 5%,

weil das Signifikanzniveau unverändert bleibt.Aber das Risiko eines Typ II Fehlers sinkt, weil die

Nullhypothese eher verworfen wird als beim two-tailed test.

Quelle: Pindyck, Rubinfeld

t


3. Sitzung

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Konfidenzintervall

Konfidenzintervall : Gegenstück zum Hypothesentest

P [-2 < t < 2] = P [-2 < < 2] = 0.95

P [b - 2· s.e.(b) < ß0 < b + 2 ·s.e.(b)] = 0.95

t

).(. bes

b 0

t


3. Sitzung

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Berechnung des Konfidenzintervalls

untere Grenze: obere Grenze:

Bei Signifikanzniveau von 5%:

Konfidenzintervall: [0,060 ; 0,092] Wert ß0 = 0 nicht enthalten

0920

200797300760ts.e.(b)b

0600

200797300760ts.e.(b)-b

2

crit

crit

,

,,:

,

,,:

~

Obergrenze

eUntergrenz

tcrit

crittbesb ).(.

crittbesb ).(.


3. Sitzung

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KonfidenzintervallDas Konfidenzintervall ist durch das gewählte Signifikanzniveau festgelegt.Beispiel:

Die Endpunkte des Konfidenzintervalls werden durch den Schätzer b und seine Standardabweichung bestimmt untere und obere Konfidenzintervallgrenzen sind Zufallsvariablen

Richtige Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Konfidenzintervall den wahren Wert 0 enthält, ist 95 %.

Falsche Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit ist 95 %, dass der wahre Wert in diesem Intervall liegt. Nein, diese Wahrscheinlichkeit ist entweder 0 oder 1.

99,9 %0,1 %

99 %1 %

95 %5 %

Signifikanzniveau Konfidenzintervall P 1- P

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