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Christina Birkenhake Algebraische Geometrie - Ein Einblick Die algebraische Geometrie ist eine faszinierende mathematische Disziplin. Da sie auf zahlreiche, erst im Hauptstudium gelehrte mathematische Gebiete aufbaut, gilt sie als ¨ außerst schwierige und allenfalls nur f¨ ur wenige Experten zug¨ angliche mathematische Disziplin. In diesem Artikel soll ein Versuch gemacht werden, einen kleinen m¨ oglichst anschaulichen Einblick in diese Materie zu vermitteln. Der Artikel erhebt keinerlei Anspruch auf Vollst¨ andigkeit. F¨ ur ein weiteres Studium der Inhalte sowie f¨ ur die exakten Voraussetzungen der vorgestellten S¨ atze verweise ich auf die weitergehende Literatur, einige Standardwerke findet man in den Literaturhinweisen. Der Name algebraische Geometrie besagt, dass mit algebraischen Methoden Geometrie gemacht wird. Wir m¨ ussen also erst einmal grob kl¨ aren, was Algebra und Geometrie bedeuten. Beide Begriffe sind aus der Schulmathematik bekannt. Die Algebra asst sich recht einfach charakterisieren: Hier werden algebraische Gleichungen (also Po- lynomgleichungen) untersucht. Die Grundaufgabe der Algebra lautet: L¨ osen dieser algebraischen Glei- chungen. Nun, das lernt man ja schon in der Schule: Die L¨ osungen von linearen bzw. quadratischen Gleichungen sind gerade die Nullstellen der entsprechenden linearen bzw. quadratischen Funktionen. In Spezialf¨ allen findet man mit der Schulmathematik auch die L¨ osungen (Nullstellen) von Gleichungen oheren Grades. In der algebraischen Geometrie werden dagegen algebraische Gleichungen als algebraische R¨ aume, also als Kurven, Fl¨ achen etc., betrachtet. Damit kommen wir zu dem zweiten Begriff, der Geometrie. Wir alle haben eine Vorstellung von Geometrie, da Geometrie ja zum Schulstoff geh¨ ort. In der Schule wird euklidische Geometrie gelehrt. Hier untersucht man verschiedenste geometrische Figuren und lernt, deren Fl¨ achen bzw. Volumina zu berechnen. Aber auch das xy-Koordinatensystem, in dem Graphen von Funktionen dargestellt werden, ist ein Modell der euklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie wird in der Schule als Modell des uns umgebenden Raumes dargestellt. Der Alltag lehrt uns aber, dass die euklidische Geometrie nicht ausreicht, unsere Welt zu beschreiben. Nur ein Beispiel: L¨ angen- und Breitengrade sind jedem Sch¨ uler z. B. aus dem Erdkundeunterricht oder vom Blick auf das GPS im Auto der Eltern bekannt. Hierbei handelt es sich um ein Koordinatensystem der zweidimensionalen sph¨arischenGeometrie. Dass es auf einer Kugeloberfl¨ ache Zweiecke, Dreiecke etc. gibt, und dass es die sph¨ arische Trigonometrie gibt, um diese zu berechnen, ist leider ”kein Bestandteil heutiger mathematischer Schul- und Allgemeinbildung mehr” (vgl. [SS] p.253). Dies soll nur ein kleiner Hinweis darauf sein, dass es außer der euklidischen Geometrie noch viele weitere Geometrien gibt. ur die algebraische Geometrie stellt die projektive Geometrie den zweckm¨ aßigen Rahmen dar. Man onnte sie sozusagen die Mutterdisziplin aller klassischen Geometrien nennen (vgl. [SS] p.445). Der vorliegende Artikel versucht, anhand von ebenen algebraischen Kurven, insbesondere der ellipti- schen Kurven, einige Methoden der algebraischen Geometrie anschaulich zu erkl¨ aren. Dazu werden in Abschnitt 1 der reelle projektive Raum, Kegelschnitte und ebene Quadriken erkl¨ art. Dieses sollte f¨ ur interessierte Sch¨ uler der Sekundarstufe II verst¨ andlich sein. Abschnitt 2 diskutiert den komplexen pro- jektiven Raum und verschiedene Aspekte der elliptischen Kurven auf anschaulichem Niveau. Der dritte Abschnitt schließlich stellt einige klassische S¨ atze der Geometrie algebraischer Kurven und abelsche Variet¨ aten f¨ ur den tiefer interessierten Leser vor. Ab Abschnitt 2.5 werden vermehrt Begriffe aus der komplexen Analysis und der algebraischen Geometrie verwendet, die nicht alle an dieser Stelle erkl¨ art werden sollen oder k¨ onnen. Die Definition oder Erkl¨ arung vieler dieser Begriffe ist aber f¨ ur ein Verst¨ andnis des gesamten Textes nicht immer n¨ otig. Begriffe oder Abschnitte, die in diesem Sinne einfach ¨ uberlesen werden k¨ onnen, werden mit (zwVnn) ( = z um w eiteren V erst¨ andnis n icht n ¨ otig) gekennzeichnet.

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Christina Birkenhake

Algebraische Geometrie - Ein Einblick

Die algebraische Geometrie ist eine faszinierende mathematische Disziplin. Da sie auf zahlreiche, erstim Hauptstudium gelehrte mathematische Gebiete aufbaut, gilt sie als außerst schwierige und allenfallsnur fur wenige Experten zugangliche mathematische Disziplin.In diesem Artikel soll ein Versuch gemacht werden, einen kleinen moglichst anschaulichen Einblick indiese Materie zu vermitteln. Der Artikel erhebt keinerlei Anspruch auf Vollstandigkeit. Fur ein weiteresStudium der Inhalte sowie fur die exakten Voraussetzungen der vorgestellten Satze verweise ich auf dieweitergehende Literatur, einige Standardwerke findet man in den Literaturhinweisen.

Der Name algebraische Geometrie besagt, dass mit algebraischen Methoden Geometrie gemacht wird.Wir mussen also erst einmal grob klaren, was Algebra und Geometrie bedeuten. Beide Begriffe sind ausder Schulmathematik bekannt.Die Algebra lasst sich recht einfach charakterisieren: Hier werden algebraische Gleichungen (also Po-lynomgleichungen) untersucht. Die Grundaufgabe der Algebra lautet: Losen dieser algebraischen Glei-chungen. Nun, das lernt man ja schon in der Schule: Die Losungen von linearen bzw. quadratischenGleichungen sind gerade die Nullstellen der entsprechenden linearen bzw. quadratischen Funktionen.In Spezialfallen findet man mit der Schulmathematik auch die Losungen (Nullstellen) von Gleichungenhoheren Grades.In der algebraischen Geometrie werden dagegen algebraische Gleichungen als algebraische Raume, alsoals Kurven, Flachen etc., betrachtet. Damit kommen wir zu dem zweiten Begriff, der Geometrie.Wir alle haben eine Vorstellung von Geometrie, da Geometrie ja zum Schulstoff gehort. In der Schulewird euklidische Geometrie gelehrt. Hier untersucht man verschiedenste geometrische Figuren und lernt,deren Flachen bzw. Volumina zu berechnen. Aber auch das xy-Koordinatensystem, in dem Graphen vonFunktionen dargestellt werden, ist ein Modell der euklidischen Geometrie. Die euklidische Geometriewird in der Schule als Modell des uns umgebenden Raumes dargestellt.Der Alltag lehrt uns aber, dass die euklidische Geometrie nicht ausreicht, unsere Welt zu beschreiben.Nur ein Beispiel: Langen- und Breitengrade sind jedem Schuler z. B. aus dem Erdkundeunterricht odervom Blick auf das GPS im Auto der Eltern bekannt. Hierbei handelt es sich um ein Koordinatensystemder zweidimensionalen spharischen Geometrie. Dass es auf einer Kugeloberflache Zweiecke, Dreiecke etc.gibt, und dass es die spharische Trigonometrie gibt, um diese zu berechnen, ist leider ”kein Bestandteilheutiger mathematischer Schul- und Allgemeinbildung mehr” (vgl. [SS] p.253). Dies soll nur ein kleinerHinweis darauf sein, dass es außer der euklidischen Geometrie noch viele weitere Geometrien gibt.Fur die algebraische Geometrie stellt die projektive Geometrie den zweckmaßigen Rahmen dar. Mankonnte sie sozusagen die Mutterdisziplin aller klassischen Geometrien nennen (vgl. [SS] p.445).Der vorliegende Artikel versucht, anhand von ebenen algebraischen Kurven, insbesondere der ellipti-schen Kurven, einige Methoden der algebraischen Geometrie anschaulich zu erklaren. Dazu werden inAbschnitt 1 der reelle projektive Raum, Kegelschnitte und ebene Quadriken erklart. Dieses sollte furinteressierte Schuler der Sekundarstufe II verstandlich sein. Abschnitt 2 diskutiert den komplexen pro-jektiven Raum und verschiedene Aspekte der elliptischen Kurven auf anschaulichem Niveau. Der dritteAbschnitt schließlich stellt einige klassische Satze der Geometrie algebraischer Kurven und abelscheVarietaten fur den tiefer interessierten Leser vor.Ab Abschnitt 2.5 werden vermehrt Begriffe aus der komplexen Analysis und der algebraischen Geometrieverwendet, die nicht alle an dieser Stelle erklart werden sollen oder konnen. Die Definition oder Erklarungvieler dieser Begriffe ist aber fur ein Verstandnis des gesamten Textes nicht immer notig. Begriffe oderAbschnitte, die in diesem Sinne einfach uberlesen werden konnen, werden mit (zwVnn) ( = zum weiterenVerstandnis nicht notig) gekennzeichnet.

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1. Kegelschnitte

1.1 Der reelle projektive Raum

Aus der Schule sind der ein-, zwei- und dreidimensionale euklidische Raum bekannt: die reelle Zahlenge-rade, auch mit R bezeichnet, die xy-Koordinatenebene R2 und das dreidimensionale xyz-Koordinatensystemals Modell fur R3:

x x

y

z

x

y

R R2 R3

Die Elemente dieser Raume sind im eindimensionalen Fall Zahlen x ∈ R, Zahlenpaare oder Punkte(x|y) ∈ R2 bzw. Zahlentripel oder Punkte (x|y|z) ∈ R3. Im Folgenden werden wir statt (x|y) bzw.(x|y|z) die Notation (x, y) bzw. (x, y, z) verwenden.Die Idee des projektiven Raumes ist eng verbunden mit der Idee der Perspektive und Zentralprojek-tion. Die Perspektive wurde erst in der Renaissance entwickelt - erstaunlich spat, wenn man bedenkt,dass unsere optische Wahrnehmung vielmehr der Zentralperspektive als der Euklidischen Geometrieentspricht.Jeder Punkt, den wir sehen, entspricht einem Sehstrahl. Dawir nicht nach hinten schauen konnen, reprasentiert dieserSehstrahl (bzw. Punkt) eine Gerade durch unser Auge. Umdieses mathematisch zu beschreiben, stellen wir uns ein xyz-Koordinatensystem, dessen Ursprung in unserem Auge liegt,vor. Nun sind die Punkte dieses neuen Raumes die Geradendurch den Ursprung (Auge).Bekanntlich sieht man mit einem Auge nur zweidimensional.Der oben beschriebene Raum ist dementsprechend ebenfallszweidimensional: der zweidimensionale projektive Raum, auchprojektive Ebene genannt. Sie wird mit P2 abgekurzt, dasMengen-P steht fur projektiv und der Exponent gibt die Di-mension an. Es gilt also:

z

x

y

P2 ={

Geraden durch 0 in R3}.

Projektive Raume gibt es in jeder Dimension, allgemein definiert man den n-dimensionalen projektivenRaum als:

Pn ={

Geraden durch 0 in Rn+1}.

Die Elemente eines projektiven Raumes sind Geraden durch den Nullpunkt, kurz Ursprungsgeraden.Das ist naturlich gewohnungsbedurftig. Wir sind es gewohnt, dass Elemente von geometrischen RaumenPunkte sind. Deswegen spricht man auch bei Elementen projektiver Raume von Punkten (obwohl sie jaeigentlich Geraden sind).Um dieses besser zu verstehen, betrachten wir zunachst deneindimensionalen projektiven Raum, auch projektive Geradegenannt. P1 ist nach Definition die Menge aller Ursprungsgera-den der euklidischen Ebene R2. Was lehrt die Schulmathematikuber Geraden durch (0, 0) in R2? Jede solche Gerade (ausge-nommen der y-Achse) hat eine Gleichung der Form y = mxmitder Steigung m = y2−y1

x2−x1= ∆y

∆x . Umgekehrt, jede Zahl m ∈ Rlegt eine Ursprungsgerade, namlich die Gerade y = mx, fest.Aus der Zahl m ∈ R wird somit ein Punkt (genauer die Ge-rade y = mx) auf der projektiven Gerade P1. Auf diese Weisekann man sich die reelle Zahlengerade R als Teilmenge derprojektiven Gerade P1 vorstellen.

(x ,y )1 1

(x ,y )2 2

x

y

Δ

Δ

x

y

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Mathematiker sagen dazu, die Zuordnung R 3 m nach {y = mx} ∈ P1 definiert eine Einbettung

R ↪→ P1, m = ∆y∆x 7→ Gerade y = mx. (1)

Bemerkung 1. Eine Einbettung ist eine injektive Abbildung, d. h. zu jedem Wert gehort genau einUrbild. Einbettungen werden durch den Zuordnungspfeil ↪→ gekennzeichnet.

Was ist nun mit der y-Achse? Hier gibt es keine Steigung derForm m = y2−y1

x2−x1= ∆y

∆x , denn ∆x ware gleich 0 und man darfja nicht durch 0 teilen. Nahern sich die Geraden aber der y-Achse an, werden also immer steiler wie in der nebenstehendenGraphik, so wird ihre Steigung immer großer und im Grenz-wert (auch das kennen wir aus der Schule) wird die Steigungunendlich:

my-Achse = lim∆x→0

∆y∆x =∞ x

y

Wenden wir uns wieder der Einbettung R ↪→ P1 zu, so sehen wir, dass das Bild von R in P1 (also dieWertemenge) alle Punkte des P1 erfasst bis auf den einen Punkt, der der y-Achse mit der Steigung ∞entspricht. Damit gilt mengentheoretisch, dass

R ∪ {∞} = P1.

Das lasst sich nun wieder sehr gut anschaulich vorstellen: Gleich einem Maßband, das die reelle Zahlen-gerade darstellt, ist so die projektive Gerade das an beiden Enden zusammengeklebte Maßband und ∞ist der Klebepunkt:

m=-1

m=0

m=1

m=-1

m=0

m=1

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R ⇒ {∞} ∪ R = P1

In diesem Bild ist P1 eine geschlossene Kurve, hat also keinen Anfang und kein Ende. Mathematikersagen dazu: ”Die projektive Gerade P1 ist kompakt.“ Analoges gilt ubrigens fur alle projektiven Raume.

Wenden wir uns nun dem zweidimensionalen Fall zu: Die pro-jektive Ebene P2 ist als Menge der Geraden durch den Ur-sprung im Raum R3 definiert. Das ist am Anfang schwer be-greiflich. Stellen wir uns dazu eine beliebig aufgestellte Lein-wand in R3 vor, d. h. die Leinwand darf nicht den Ursprungenthalten. Stellen wir uns diese Leinwand als die reelle Ebe-ne R2, also unendlich ausgedehnt, vor. So schneiden, wie ne-benstehend dargestellt, fast alle Urprungsgeraden diese Ebe-ne R2 in genau einem Punkt. In der zweiten nebenstehendenGraphik ist zusatzlich die zur ersten Leinwand parallele Ebe-ne durch Null eingezeichnet. Die Ursprungsgeraden in dieserEbene schneiden die erste Leinwand nicht. Die Gesamtheit derUrsprungsgeraden in der zweiten Ebene ist wie zuvor als eineindimensionaler projektiver Raum P1 zu interpretieren. So-mit kann man sich den zweidimensionalen projektiven RaumP2 (also die Menge der Ursprungsgeraden in R3) als reelle Ebe-ne R2 (namlich die Schnittpunkte der Ursprungsgeraden mitder ersten Leinwand) zusammen mit einer projektiven GeradeP1 vorstellen. Diese projektive Gerade wird in diesem Zusam-menhang die ∞-ferne Gerade genannt.

P1 ∪ R2 = P2

R2

P1

P2

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1.2 Homogene Koordinaten

Wie rechnet man mit Punkten in projektiven Raumen? Dazu braucht man homogene Koordinaten, diein diesem Abschnitt erklart werden sollen.Beginnen wir mit den homogenen Koordinaten des P1. Die allgemeine Geradengleichung in R2 lautetAx+By = C, mit A,B,C ∈ R. Bei einer Ursprungsgeraden, also einer Geraden durch den Nullpunkt,muss C = 0 gelten. Durch Umstellen und Umbenennen der Koeffizienten (a = B, b = −A) erhalten wirdie Gleichung

ay = bx, (2)

wobei entweder a 6= 0 oder b 6= 0. Jede Ursprungsgerade, also jeder Punkt des P1, kann so beschriebenwerden. Dabei sind die beiden Koeffizienten a und b aber nicht eindeutig, sie konnen mit jeder reellenZahl α 6= 0 multipliziert werden, denn die Gleichung αay = αbx beschreibt die gleiche Gerade. EineKurzschreibweise fur diesen Sachverhalt bieten die homogenen Koordinaten, mit einem Doppelpunktgetrennte Zahlenpaare:

ay = bx ↔ (a : b) ∈ P1 (3)

Der Doppelpunkt bedeutet, dass mit einer beliebigen Zahl α 6= 0 multipliziert werden darf:

(a : b) = (αa : α b) (4)

In dieser Terminologie lasst sich auch die Einbettung (1) beschreiben. Die Gerade ay = bx hat, fallsa 6= 0, die Steigung may=bx = b

a und somit gilt:

R ↪→ P1

may=bx = ba

7→ (a : b) = (1 : ba ) = (1 : may=bx)

Jetzt konnen wir die Geradengleichung (2) und die Koeffizienten a und b zur Seite legen und, wenn wirnur mit den folgenden Großen arbeiten, wird es ubersichtlicher: Eine Zahl m ∈ R wird auf den Punkt(1 : m) ∈ P1 abbgebildet, umgekehrt entspricht der Punkt (X0 : X1) ∈ P1 der Zahl X1

X0∈ R, falls X0 6= 0.

Ist aber X0 = 0, so gilt nach der Regel (4), dass (0 : X1) = (0 : 1) und dieser Punkt entspricht demPunkt ∞:

R ∪ {∞} ' P1

R 3 m ↔ (1 : m) ∈ P1

X1X0

← (X0 : X1)

∞ ↔ (0 : 1)

Die homogenen Koordinaten des P2 werden analog definiert. Ein beliebiger Punkt von P2 wird dargestelltdurch:

(x0 : x1 : x2) = (αx0 : αx1 : αx2) ∈ P2,

wobei wieder x0, x1 und x2 nicht gleichzeitig null sein durfen, das Tripel (x0 : x1 : x2) aber mit jederreellen Zahl α 6= 0 multipliziert werden darf. Wir verwenden fur die homogenen Koordinaten den P2

Kleinbuchstaben, um sie nicht mit den homogenen Koordinaten des P1 zu verwechseln.Den Sachverhalt P1 ∪ R2 ' P2 kann man folgenderma-ßen wiedererkennen: Die Teilmengen R2 und die ∞-ferneGerade P1 sind die Bilder (also Wertemengen) der Ein-bettungen

R2 ↪→ P2, (x, y) 7→ (1 : x : y), und

P1 ↪→ P2, (X0 : X1) 7→ (0 : X0 : X1).

Ublicherweise wird die projektive Ebene durch die neben-stehende Graphik skizziert. Die horizontale Achse ent-spricht der x-Achse des R2 ⊂ P2 und wird durch dieGleichung {x2 = 0} beschrieben, die vertikale Achse ent-spricht der y-Achse und hat die Gleichung {x1 = 0}. Die-se beiden Achsen schneiden sich im Punkt (1 : 0 : 0), demBild des Ursprungs (0, 0) von R2. Die∞-ferne Gerade hat

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )0 1

( 0 : x : x )

1

2( x

: 0

: x )

02

(1:0:0)

(0:0:1)

(0:1:0)

♞♖

♔ ♚

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hier die Gleichung {x0 = 0}. Als Geraden in P2 sind die x- bzw. die y-Achse selbst wieder projektiveGeraden und sind je durch einen ∞-fernen Punkt geschlossen. Der ∞-ferne Punkt der x-Achse ist derPunkt (0 : 1 : 0), derjenige der y-Achse ist (0 : 0 : 1). Als Punkte im Unendlichen mussen diesebeiden Punkte auf der ∞-fernen Geraden liegen, diese ist deswegen in der Graphik als die Geradedurch diese beiden Punkte skizziert. Leider spiegelt die Graphik nicht die Tatsache wider, dass die dreiKoordinatenachsen jeweils geschlossen sind. Deswegen wurden hier die beiden Enden jeder Geradenje mit einem weißen bzw. schwarzen Schachsymbol gekennzeichnet. Die Geraden muss man sich angleichen Symbolen, jeweils schwarz mit weiß, verklebt denken. Wurde man in dieser Graphik die Endender Geraden verbinden, so erhielte man weitere Schnittpunkte.Diese Problematik wird klarer bei der Betrachtung der beiden nachfolgenden Photos, die ein Modell derreellen projektiven Ebene, aus zwei Perspektiven aufgenommen, zeigen.

Aufgabe 1.2.1:

Zeige, dass parallele Geraden in R2 einen gemeinsamen Fernpunkt haben.

Aufgabe 1.2.2:

Zeige, dass sich zwei verschiedene Geraden in P2 genau in einem Punkt schneiden.

Aufgabe 1.2.3:

Eine 2× 2-Matrix(a bc d

)mit Determinante ad− bc 6= 0 definiert eine sogenannte Projektivitat

P =(a bc d

): P1 7→ P1, die auf den homogenen Koordinaten durch Multiplikation wirkt:

Da(a bc d

) (X0X1

)=(aX0+cX1bX0+dX1

), gilt P (X0 : X1) = (aX0 + cX1 : bX0 + dX1).

Finde die Projektivitaten, die die rationalen Funktionen a) x 7→ x + c, b) x 7→ c · x,c) x 7→ − 1

x , d) x 7→ 1 + 1x und e) x 7→ x

x−1 fortsetzen.

Aufgabe 1.2.4:

Ein Fixpunkt einer Projektivitat P : P1 7→ P1 ist ein Punkt p mit P (p) = p.

a) Bestimme die Fixpunkte von P =(

1 22 −1

).

b) Zeige, dass eine nicht triviale Projektivitat, also P 6=(

1 00 1

), hochstens zwei Fixpunkte

haben kann.

c) Finde eine Projektivitat des P1 mit Fixpunkt (1 : −1), welche die Punkte (0 : −1) und(2 : 0) vertauscht.

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Aufgabe 1.2.5:

Fur Punkte A = (a0 : a1 : a2), B = (b0 : b1 : b2) und C = (c0 : c1 : c2) ∈ P2 sind aquivalent:

i) A,B und C sind kollinear.

ii) Die Geraden GA : a0xx + a1x1 + a2x2 = 0, GB : b0xx + b1x1 + b2x2 = 0 undGC : c0xx + c1x1 + c2x2 = 0 schneiden sich in einem Punkt.

iii) det( a0 a1 a2b0 b1 b2c0 c1 c2

)= 0

Aufgabe 1.2.6:

Zwei Punkte a, b ∈ Rn (hier konnen wir einfach n = 1 oder 2 annehmen, es geht aber auchallgemeiner) definieren eine Gerade G := ab in R2. Ein Punkt x auf dieser Geraden lasst sichfolgendermaßen schreiben

x = a+ t(b− a) = (1− t)a+ tb mit einem eindeutig bestimmten t ∈ R.

Das Teilverhaltnis von x bezuglich a und b ist definiert durch

TV (x ; a, b) :=t

t− 1.

Falls t = 1 oder aquivalent x = b, so definiert man TV (b ; a, b) =∞.

a) Bezeichne mit ∞G den ∞-fernen Punkt der Geraden G. Zeige, dass sich TV zu einerBijektion TV : G ∪ {∞G} → P1 fortsetzen lasst.

b) Zeige, dass

TV (b ; a, x) = 1− TV (x ; a, b) , TV (x ; b, a) =1

TV (x ; a, b),

TV (a ; b, x) = 1− 1TV (x ; a, b)

, TV (a ;x, b) =TV (x ; a, b)

TV (x ; a, b)− 1.

c) Zeige, dass fur drei paarweise verschiedene Punkte x, a, b ∈ R gilt

TV (x ; a, b) · TV (a ; b, x) · TV (b ;x, a) = −1 .

d) Zeige, dass fur vier paarweise verschiedene Punkte x, a, b, c ∈ R gilt

TV (x ; a, b) · TV (x ; b, c) · TV (x ; c, a) = 1 .

1.3 Kegelschnitte

Die allgemeine quadratische Funktion lautet:

f(x) = ax2 + bx+ c

mit reellen Zahlen a 6= 0, b und c. Aus der Schule ist bekannt, dass der Graph von f eine Parabel in R2

ist, die die x-Achse keinmal, einmal oder zweimal schneidet. In der algebraischen Geometrie betrachtetman statt der Funktion f(x) = ax2 + bx+ c die algebraische Gleichung in den zwei Variablen x und y

y = ax2 + bx+ c. (5)

Statt des Graphen von f betrachtet man des Weiteren die so genannte affine algebraische Kurve von(5) in R2: {

(x, y) ∈ R2

∣∣∣∣ y = ax2 + bx+ c}. (6)

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Nun wird mittels der Einbettung R2 ↪→ P2 mit:

R2 3 (x, y) =(x1x0, x2x0

)7→ (1 : x : y) =

(1 : x1

x0: x2x0

)= (x0 : x1 : x2) ∈ P2

die algebraische Kurve (6) als Kurve im projektiven Raum P2 angesehen und moglicherweise mit ∞-fernen Punkten vervollstandigt. Man sagt dazu, die Kurve wird in P2 eingebettet bzw. man betrachtetihren projektiven Abschluss. Dazu homogenisieren wir die Gleichung (5); wir setzen x = x1

x0und y = x2

x0

und multiplizieren mit x20, um die Nenner zu entfernen:

x0x2 = ax21 + bx0x1 + cx2

0 (7)

Diese Gleichung ist nun homogen, dass heißt, jedes Monom (also jeder Summand) hat denselben Grad.Erfullt ein Punkt (x0, x1, x2) ∈ R3 die Gleichung (7), so auch jedes Vielfache (αx0, α x1, α x2). Damitmacht es Sinn zu sagen, dass der Punkt (x0 : x1 : x2) ∈ P2 die Gleichung erfullt. Also beschreibt (7)eine projektive algebraische Kurve in P2:{

(x0 : x1 : x2) ∈ P2∣∣x0x2 = ax2

1 + bx0x1 + cx20

}Da die Gleichung (7) vom Grad zwei ist, wird die Gleichung, aber auch die projektive Kurve selber,Quadrik genannt. Im Fall der Normalparabel f(x) = x2 erhalt man auf diese Weise die homogeneGleichung

x0x2 = x21 (8)

und die zugehorigen Kurven in R2 und P2 sehen ungefahr so aus:

x(0, 0)

y

affine Parabel in R2

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )0 1

( 0 : x : x )

1

2( x

: 0

: x )

02

(1:0:0)

(0:0:1)

(0:1:0)

projektive Kurve in P2

Da, wie oben erwahnt, das Modell des P2 fehlerhaft ist, erscheint hier der projektive Abschluss der Nor-malparabel verzerrt. Deshalb gibt uns dieses Bild nicht Aufschluss uber die Form der projektiven Kurvesondern nur uber die Schnittpunkte mit der ∞-fernen Gerade. Diese berechnet man durch Einsetzender Gleichung {x0 = 0} in die Gleichung x0x2 = x2

1. So erhalt man die Gleichung

0 = x21.

Das bedeutet, dass die ∞-ferne Gerade die projektive Kurve x0x2 = x21 genau im Punkt (0 : 0 : 1)

schneidet. Da aber die Gleichung 0 = x21 quadratisch ist, ist die Gerade {x0 = 0} Tangente an die Kurve

in (0 : 0 : 1) und der Schnitt hat die Vielfachheit 2.Die affine Parabel wurde hier also durch Hinzufugen des ∞-fernen Punktes (0 : 0 : 1) projektiv abge-schlossen. Besonders fallt auf, dass die projektive Kurve x0x2 = x2

1 geschlossen, also kompakt ist. Dasgilt fur alle projektiven Kurven.Ein weiterer Vorteil der algebraisch-geometrischen Vorgehensweise ist, dass man auch Kurven betrachtenkann, die zu keinen Funktionen gehoren, also nicht in der Form y = f(x) mit einer Funktion f geschriebenwerden konnen. Um bei den Kegelschnitten zu bleiben, betrachten wir dazu nun das Beispiel der Ellipse.Die affine bzw. die homogene Gleichung lautet:

affine Gleichung:x2

a2+y2

b2= 1, homogene Gleichung:

x21

a2+x2

2

b2= x2

0

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Die zur homogenen Gleichung gehorige projektive Kurve schneidet die ∞-ferne Gerade {x0 = 0} nicht(siehe Aufgabe 1.3.7). Der Grund dafur ist naturlich, dass die Ellipse schon in R2 geschlossen undvollstandig sichtbar ist:

x

y

(0, 0)

affine Ellipse in R2

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )0 1

( 0 : x : x )

1

2( x

: 0

: x )

02

(1:0:0)

(0:0:1)

(0:1:0)

projektive Kurve in P2

Um die Liste der nicht ausgearteten Kegelschnitte vollstandig zu machen, wenden wir uns nun denHyperbeln zu. In der Schule lernen wir die Hyperbeln als Graphen der gebrochen rationalen Funktionf(x) = 1

x kennen. Die entsprechende affine bzw. homogene Gleichung lautet:

affine Gleichung: y =1x, homogene Gleichung:

x2

x0=x0

x1⇔ x1x2 = x2

0

An der aquivalenten zweiten Darstellung der homogenen Gleichung erkennen wir, dass es sich hier, wiebei der Parabel und Ellipse, wieder um eine quadratische Gleichung (Quadrik) handelt. Die affine Kurveist bekannt, das Bild der projektiven Kurve konnte in unserem Modell der projektiven Ebene ungefahrso aussehen:

x(0, 0)

y

affine Hyperbel in R2

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )0 1

( 0 : x : x )

1

2( x

: 0

: x )

02

(1:0:0)

(0:0:1)

(0:1:0)♚

projektive Kurve in P2

Rechnerisch (siehe Aufgabe 1.3.7), aber auch in der Graphik, erkennt man, dass die projektive Hyperbeldie ∞-ferne Gerade {x0 = 0} in den beiden Punkten (0 : 0 : 1) und (0 : 1 : 0) schneidet.Warum erscheint sie nun nicht geschlossen wie die projektiven Kurven zuvor? Das liegt wieder an derFehlerhaftigkeit des Modells der projektiven Ebene. Wie am Ende von Abschnitt 1.2 erklart, sind dieKoordinatenachsen als Geraden in P2 geschlossene Kurven. Ebenso muss man sich die Hyperbelastemiteinander verklebt denken, jeweils sind schwarze und weiße Symbole zu verbinden.

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Eine andere Moglichkeit ist, die Ansicht soweit zu verschiebenund zu verzerren, dass der linke Hyperbelast nicht mehr links,sondern auf der anderen Seite sichtbar wird. Wie das aussehenkonnte, wird in der nebenstehenden Graphik gezeigt.Zusammenfassend sehen wir nun, dass der so genannte projek-tive Abschluss der nicht-ausgearteten Kegelschnitte Parabel,Ellipse und Hyperbel jeweils eine kompakte Quadrik in P2 ist,die die ∞-ferne Gerade in einem, keinem oder zwei Punktenschneidet.Ellipse, Parabel und Hyperbel sind in P2 projektiv aquivalent(vgl. Aufgabe 1.3.8).

8- ferne Gerade

( x : x : 0 )0 1

( 0 : x : x )

1

2( x

: 0

: x )

02

(1:0:0) (0:1:0)

(0:0:1)

Aufgabe 1.3.7:

Berechne die Schnittpunkte und ihre Vielfachheiten von a) der Ellipse x21a2 + x2

2b2 = x2

0 undb) der Hyperbel x1x2 = x2

0 mit der Geraden {x0 = 0}.

Aufgabe 1.3.8:

Sei P =(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)eine 3 × 3 - Matrix mit Determinante detP 6= 0. Diese definiert eine

Projektivitat P : P2 → P2, die auf den homogenen Koordinaten durch Multiplikation mit derMatrix P wirkt: Da (

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)(x0x1x2

)=( a11x0+a12x1+a13x2a21x0+a22x1+a23x2a31x0+a32x1+a33x2

),

gilt

P (x0 : x1 : x2) = (a11x0 + a12x1 + a13x2 : a21x0 + a22x1 + a23x2 : a31x0 + a32x1 + a33x2).

Zwei Quadriken Q1 = 0 und Q2 = 0 in P2 heißen projektiv aquivalent, wenn es eine Projekti-vitat P mit

Q1

(P (x0 : x1 : x2)

)= Q2(x0 : x1 : x2)

gibt. Zeige, dass die Quadriken QParabel(x0 : x1 : x2) = x0x2 − x21 = 0, QEllipse(x0 : x1 :

x2) = x21a2 + x2

2b2 −x

20 = 0 und QHyperbel(x0 : x1 : x2) = x1x2−x2

0 = 0 projektiv aquivalent sind.

Aufgabe 1.3.9:

Untersuche, ob die Quadriken Q1(x0 : x1 : x2) = x20 − x2

1 − x22 = 0 und Q2(x0 : x1 : x2) =

x21 − x2

2 = 0 projektiv aquivalent sind.

2. Elliptische Kurven und der komplexe projektive Raum

In der Schule werden auch Funktionen hoheren Grades untersucht. Betrachten wir als Beispiel dieFunktion dritten Grades f(x) = x3−x. Nun ersetzen wir die Funktion wieder durch die affine Gleichungund betrachten die affine Kurve

{(x, y) ∈ R2 | mit y = x3 − x

}.

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Verandern wir nun die Gleichung y = x3 − x, indem wir y durch sein Quadrat ersetzen, so treten wiraus der Schulmathematik heraus. Die so erhaltene Kurve ist eine affine elliptische Kurve

{(x, y) ∈ R2 | mit y2 = x3 − x

}.

Wie wir im Folgenden sehen werden, verbirgt sich hinter den elliptischen Kurven eine Fulle von inter-essanter Geometrie. Anhand dieser elliptischen Kurven sollen nun verschiedenste Methoden der alge-braischen Geometrie erklart werden.

2.1 Der komplexe projektive Raum

Um ein vollstandiges Bild eines geometrischen Objektes, wie zum Beispiel einer affinen Kurve, zu erhal-ten, haben wir im vorangegangenen Abschnitt die Kurve gemeinsam mit dem sie umgebenden RaumR2 projektiv abgeschlossen. Wir haben also die ganze Situation im projektiven Raum P2 betrachtet.Diese Maßnahme reicht aber in vielen Fallen nicht aus, um alle Eigenschaften einer Kurve zu entdecken.Ein weiterer Schritt zur Vervollstandigung des Bildes ist der algebraische Abschluss. Das heißt hier,man ersetzt die reellen Zahlen R durch ihren so genannten algebraischen Abschluss, den Korper derkomplexen Zahlen C. Der Grund fur diese Maßnahme liegt an der folgenden Tatsache:

Hauptsatz der AlgebraEin Polynom vom Grad n uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper hat genau n Nullstellen.

Diese Nullstellen sind naturlich mit Vielfachheiten zu berechnen. (So hat zum Beispiel das Polynom(x+ 1)(x− 1)2 = 0 insgesamt drei Nullstellen, bei x = −1 eine Nullstelle der Vielfachheit 1 und beix = +1 eine Nullstelle der Vielfachheit 2.) Uber den komplexen Zahlen schneidet deshalb jede Parabeldie x-Achse in 2 Punkten und jede Kubik hat genau 3 Nullstellen. Aus dem Satz folgt aber auch, dassjede andere Gerade eine Parabel bzw. eine Kubik in genau 2 bzw. 3 Punkten schneidet.Die komplexen Zahlen C lernt man manchmal in der Schule, spatestens aber im Studium kennen (fureine Einfuhrung in die komplexen Zahlen siehe auch [M1] und [M2]).Als Vektorraum ist C isomorph zur reellen Ebene R2. Die x-Achse von R2 entspricht dabei der reellenAchse Re und die y-Achse der imaginaren Achse Im. Eine komplexe Zahl x+ iy ∈ C stellt man sichals Punkt (x, y) oder Vektor

( xy

)∈ R2 vor. Man sagt zu C deshalb auch komplexe Zahlenebene. Der

projektive Abschluss der komplexen Zahlenebene, der eindimensionale komplexe projektive Raum P1(C),ist die Riemannsche Zahlenkugel :

1

ix1

iiy

Re

x+iy

Im

8

Komplexe Zahlenebene Riemannsche Zahlenkugel

C � � π // C ∪ {∞} = P1(C) = P1

Analog wie im Reellen gibt es hier genau einen ∞-fernen Punkt und eine Einbettung C ↪→ P1(C) derkomplexen Zahlen in den projektiven Raum.Man kann den Zusammenhang zwischen Riemannscher Zahlenkugel und der komplexen Zahlenebeneauch mittels der stereographischen Projektion verstehen. Dabei ist die komplexe Zahlenebene genau dasBild der stereographischen Projektion der Riemannschen Zahlenkugel mit dem Punkt ∞ als Projekti-onszentrum (zur stereographischen Projektion siehe [M3]).

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Die Riemannsche Zahlenkugel P1(C) ist auch ein Beispiel einer algebraischen Kurve. Darauf werdenwir spater weiter eingehen.Naturlich gibt es wie im Reellen auch komplexe projektive Raume hoherer Dimension:

Pn(C)

Leider kann man sich aber schon P2(C) nicht mehr bildlich vorstellen, da dieser Raum die reelle Di-mension 4 hat. Rechnerisch andert sich aber nicht viel. Fur die komplexen projektiven Raume geltendieselben Regeln der homogenen Koordinaten

(Z0 : Z1) ∈ P1(C) und (z0 : z1 : z2) ∈ P2(C),

mit Z0, Z1, z0, z1, z2 ∈ C wobei wieder (Z0, Z1) 6= (0, 0) und (z0, z1, z2) 6= (0, 0, 0). Um auf die Verwen-dung der komplexen Zahlen hinzuweisen, wurde hier und wird im Folgenden die Variable x bzw. xidurch z bzw. zi ersetzt. Wie zuvor wird mittels Groß- und Kleinschreibung zwischen den homogenenKoordinaten von P1(C) und P2(C) unterschieden. Da von nun an nur noch uber den komplexen Zahlengearbeitet wird, schreiben wir

Pn(C) = Pn.

Aufgabe 2.1.10:

Eine Funktion f(z) := αz+βγz+δ mit komplexen Zahlen α, β, γ und δ mit αδ − βγ 6= 0 heißt

Mobius-Transformation (siehe auch [M4]). Der Definitionsbereich von f ist Df = C\{− δγ }

und der Wertebereich ist Wf = C\{αγ } (falls γ 6= 0), andernfalls Df = C und Wf = C. f kannzu einer bijektiven Abbildung f : P1 → P1 fortgesetzt werden, indem man f

((γ : −δ)

):= (0 :

1) und f((0 : 1)

):= (γ : α) setzt. Zeige, dass die Mobius-Transformation f eine Projektivitat

ist.

Aufgabe 2.1.11:

Sind x, y, a, b komplexe Zahlen, so ist ihr Doppelverhaltnis definiert durch

DV (x, y, a, b) :=(x− a)(x− b)

:(y − a)(y − b)

=(x− a)(y − b)(x− b)(y − a)

.

a) Zeige, dass DV (x, y, a, b) = TV (x;a,b)TV (y;a,b) .

b) Das Doppelverhaltnis lasst sich zu einer Abbildung DV : P1 → P1 fortsetzen.

c) Zeige, dass das Doppelverhaltnis unter Mobius-Transformationen invariant ist.

Aufgabe 2.1.12:

Beweise: Zu je drei verschiedenen komplexen Zahlen z1, z2, z3 und v1, v2, v3 gibt es genau eineMobius-Transformation f mit f(zi) = vi fur i = 1, 2, 3.

Aufgabe 2.1.13:

Beweise: Zwei Quadrupel x, y, a, b und x′, y′, a′, b′ komplexer Zahlen sind genau dann projektivaquivalent, wenn ihre Doppelverhaltnisse gleich sind.

Aufgabe 2.1.14:

Finde die Mobius-Transformation f , die die Punkte 1, i, −1 auf 0, 1, ∞ in der gegebenenReihenfolge abbildet.

Aufgabe 2.1.15:

Seien x, y, a, b paarweise verschiedene komplexe Zahlen. Man sagt, das Punktepaar x, y trenntdie Punkte a, b harmonisch, wenn DV (x, y, a, b) = −1. Zeige, das x, y das Paar a, b genaudann harmonisch trennt, wenn es eine Mobius-Transformation gibt, die a, b fixiert und x, yvertauscht.

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2.2 Elliptische Kurven in P2

Eine elliptische Kurve ist nach Definition eine singularitatenfreie (zwVnn) ebene Kurve vom Grad 3.Die allgemeine Gleichung einer affinen elliptischen Kurve ist (vgl. [Si] p.46)

y2 = az3 + bz2 + cz + d.

Durch eine Koordinatentransformationen kann diese Gleichung auf die Weierstraßsche Normalform

y2 = 4z3 − g2z − g3 (9)

gebracht werden (vgl. Aufgabe 2.2.16).

Bemerkung 2. Die Bezeichnung der Koeffizienten g2 und g3 beruht auf dem Zugang zu elliptischenKurven via der Weierstraßschen ℘ -Funktion. Hierbei sind die Koeffizienten die Eisensteinreiheng2 = 60G4 und g3 = 140G6 und hangen ausschließlich vom Periodengitter der ℘ -Funktion ab. Hieraufsoll im Folgenden nicht weiter eingegangen werden. Naheres dazu findet man in [FB].

Durch Homogenisieren von (9) erhalten wir den projektiven Abschluss der affinen elliptischen Kurve,also die Kubik:

E : z0z22 = 4z3

1 − g2z20z1 − g3z

30

Nach dem Hauptsatz der Algebra schneidet eine Kubik jede Gerade genau dreimal. Insbesondere schnei-det die elliptische Kurve E die ∞-ferne Gerade dreimal. Rechnerisch erhalten wir Folgendes:

E ∩∞-ferne Gerade ={z0z

22 = 4z3

1 − g2z20z1 − g3z

30

}∩{z0 = 0

}={

(0 : z1 : z2)∣∣ 0 = 4z3

1

}= {(0 : 0 : 1)}

Das bedeutet, die elliptische Kurve E schneidet die ∞-ferne Gerade in dem Punkt (0 : 0 : 1). Da sichaber dieser Punkt als Losung der Gleichung 0 = 4z3

1 ergibt, hat dieser Schnittpunkt die Vielfachheitdrei.In der algebraischen Geometrie sagt und schreibt man (zwVnn), dass

D := E ·{z0 = 0

}= 3 (0 : 0 : 1)

ein Divisor vom Grad drei auf E ist. Die Schreibweise E ·{z0 = 0

}bedeutet etwa ”Durchschnitt mit

Vielfachheit”. Divisoren und Linearsysteme werden in Abschnitt 3.2 diskutiert.

Aufgabe 2.2.16:

Finde die Koordinatentransformation, die die allgemeine Gleichung y2 = az3 + bz2 + cz + deiner elliptischen Kurve auf die Weierstrasssche Normalform bringt.

Aufgabe 2.2.17:

Zeige, dass der projektive Abschluss der affinen Kubik K : y = x3 − x geometrisch zurNeilschen Parabel mit der affinen Gleichung y2 = x3 aquivalent ist (siehe auch Aufgabe2.5.20) .

2.3 Die Uberlagerung E −→ P1

Wie zuvor erwahnt ist neben E auch P1 eine algebraische Kurve. Anhand dieser Kurven kann man dasPhanomen der Uberlagerung erklaren. Genauer, die elliptische Kurve E ist eine doppelte Uberlagerungvon P1. Das sieht man am einfachsten so: Die elliptische Kurve E ist mengentheoretisch die Mengeder Losungen (z, y) der affinen Gleichung (9) zusammen mit dem ∞-fernen Punkt (0 : 0 : 1). Nundefiniert man die Abbildung Vergiss y: (z, y) 7→ (1 : z) und bildet gleichzeitig den ∞-fernen Punkt(0 : 0 : 1) ∈ P2 auf den ∞-fernen Punkt (0 : 1) ∈ P1 ab. Da in der Gleichung (9) die Variable y nur als

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Quadrat vorkommt, gibt es zu jedem Punkt (z, y) ∈ E auch noch den Punkt (z,−y) ∈ E und unter derAbbildung Vergiß y werden diese beiden Punkte auf denselben Punkt (1 : z) ∈ P1 abgebildet:

Vergiss y :

{y2 = 4z3 − g2z − g3

}∪ {∞} = E

2:1

��

(z,±y)_��

(0 : 0 : 1)_��

z = (1 : z) (0 : 1) P1

Die Abbildung E −→ P1 ist damit vom Grad 2, dass heißt, (fast) jeder Bildpunkt hat zwei Urbilder inE. Die 3 Nullstellen p1, p2 und p3 von 4z3 − g2z− g3 definieren Punkte P1 = (1 : p1), P2 = (1 : p2) undP3 = (1 : p3) ∈ P1, die wie auch der Punkt ∞ = (0 : 1) jeweils nur ein Urbild haben. Man sagt: E isteine doppelte Uberlagerung von P1, verzweigt in den vier Punkten P1 P2, P3 und (0 : 1). In Abschnitt3.4 werden wir diese Uberlagerung topologisch betrachten und so ein anschauliches Bild erhalten.

2.4 Das Additionstheorem

Unter den algebraischen Kurven nehmen die elliptischen Kurven eine Sonderstellung ein, denn sie habendie Struktur einer abelschen Gruppe. Aus geometrischer Sicht beruht dieses auf dem

A

B

C

A + B = - C

Additionstheorem:Drei Punkte A,B und C auf einer ellip-tischen Kurve haben genau dann die Sum-me Null, wenn sie auf einer Geraden liegen:

A+B + C = 0.

Das Additionstheorem lasst sich auch rein analytisch mit Hilfe der Weierstraßschen ℘ -Funktionbeweisen (siehe dazu [FB]). In der vorliegenden Arbeit soll diese Gruppeneigenschaft geometrisch be-grundet werden. Dazu mussen wir uns eingehender mit den vielfaltigen Eigenschaften elliptischer Kurvenbeschaftigen. Zunachst betrachten wir dazu Thetafunktionen.

2.5 Thetafunktionen

Die klassische Riemannsche Thetafunktion ist die Funktion:

ϑ(v) = ϑ(v, z) =∑k∈Z

ekπi(kz+2v) (10)

mit komplexen Zahlen v und z, wobei z einen positiven Imaginarteil hat: Im z > 0. ϑ ist komplexdifferenzierbar in v und z (zwVnn). Bei der Summendarstellung der Funktion handelt es sich um eineFourierreihe (zwVnn). Ausschlaggebend fur die Eigenschaften der Thetafunktion ist die Periodizitat derExponentialfunktion e : C→ C:

e2πi·k = 1, fur alle k ∈ Z. (11)Damit lassen sich die folgenden Funktionaleigenschaften der Thetafunktion nachweisen (fur Beweisesiehe Aufgabe 2.5.18 oder [BL2] Abschnitte 3.2 und 8.5):1. ϑ ist periodisch bezuglich Z ⊂ C:

ϑ(v + n) = ϑ(v) fur alle v ∈ C und n ∈ Z und (12)

2. ϑ ist semiperiodisch bezuglich der ganzzahligen Vielfachen der komplexen Zahl z:

ϑ(v + nz) = e−πi(n2z+2nv)ϑ(v) fur alle v ∈ C und n ∈ Z. (13)

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Aus der Riemannschen Thetafunktion leiten sich die so genannten Thetafunktionen mit Charakteristik[mn

]ab. Wir benotigen nur die drei Thetafunktionen mit den Charakteristiken

[00

],[

130

]und

[230

].

Dazu ersetzt man in Definition (10) k durch (k + c3 ) mit c = 0, 1 oder 2 und erhalt:

ϑ[ c

30

](v) :=

∑k∈Z

e(k+ c3 )πi(

(k+ c3 )z+2v

)fur c = 0, 1, 2.

Nach Definition ist die Thetafunktion ϑ[

00

]identisch zur Riemannschen Thetafunktion ϑ. Diese drei

neuen Thetafunktionen haben ebenfalls die Funktionalgleichungen (12) und (13) (vgl. Aufgabe 2.5.19):

ϑ[ c

30

](v + n1z + n2 3) = e−πi(n

21z+2n1v)ϑ

[ c30

](v) fur alle n1, n2 ∈ Z und v ∈ C. (14)

Bei der Definition der Riemannschen Thetafunkti-on wurde vorausgesetzt, dass die komplexe Zahl zeinen positiven Imaginarteil hat. Das heißt, z liegtin der so genannten oberen Halbebene der komple-xen Zahlenebene. Deshalb spannen die ganzzahligenVielfachen von z und 3, also alle komplexen Zahlender Form n1 z + n2 3 mit n1, n2 ∈ Z, ein Gitter

Zz + Z 3 ⊂ C

in der komplexen Zahlenebene auf (siehe nebenste-hende Graphik). Re

Im

3

z

0

Wir betrachten nun die Abbildung:

φ : C 3 v 7→(ϑ[

00

](v) : ϑ

[130

](v) : ϑ

[230

](v))∈ P2 (15)

Da die drei Thetafunktionen derselben Funktionaleigenschaft (14) genugen und da bei homogenen Ko-ordinaten gleiche Faktoren gekurzt werden konnen, ist diese Abbildung periodisch bezuglich des GittersZz + Z3. Das heißt:

φ(v + w) = φ(v) fur alle v ∈ C und alle w ∈ Zz + Z 3.

Die Abbildung φ induziert eine projektive Einbettung des Quotientenraumes C/(Zz + Z3):

C φ

,,YYYYYYYYYYYYYYYY

π

��P2

C/(Zz + Z3)% �

ϕ22fffffffffff

Der Quotient C/(Zz + Z 3) wird im nachsten Abschnitt genauer besprochen. Mehr zu der Einbettungϕ findet man in Abschnitt 3.3.

Aufgabe 2.5.18:

Beweise die Funktionaleigenschaften (12) und (13) der Riemannschen Thetafunktion ϑ. Hin-weis: Benutze die Reihendarstellung von ϑ.

Aufgabe 2.5.19:

Beweise die Funktionaleigenschaft (14) der Thetafunktionen ϑ[ c

30

].

Aufgabe 2.5.20:

Bestimme die affine und homogene Gleichung der Bildkurve der Abbildung ϕ1 : P1 → P2 mit(Z0 : Z1) 7→ (Z3

0 : Z0Z21 : Z3

1 ). Um welche Kurve handelt es sich und was sind die ∞-fernenPunkte? Zeichne die affine Kurve, was fallt auf?

Aufgabe 2.5.21:

Bestimme die affine und homogene Gleichung der Bildkurve der Abbildung ϕ2 : P1 → P2 mit(Z0 : Z1) 7→ (Z3

0 : Z0Z21 − Z3

0 : Z31 − Z2

0Z1). Um welche Kurve handelt es sich und was sinddie ∞-fernen Punkte? Zeichne die affine Kurve, was fallt auf?

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17

2.6 Thetarelationen

Das Bild projektiver Einbettungen (wie oben definiert) wird durch Thetarelationen beschrieben. Dieklassischen Riemannschen Thetarelationen (zwVnn) lauten:

2g · ϑ[a](v1, Z) · ϑ[a+ b1](v2) · ϑ[a+ b2](v3, Z) · ϑ[a− b1 − b2](v4, Z) =∑c∈ 1

2 Z2g/Z2g

e4πi(at1c2−a

t2c1) · ϑ[c](v1 + v2 + v3 + v4, Z) · ϑ[c+ b1](v1 + v2 − v3 − v4, Z)

· ϑ[c+ b2](v1 − v2 + v3 − v4, Z) · ϑ[c− b1 − b2](v1 − v2 − v3 + v4, Z)

mit Z ∈ Hg, der Siegelschen oberen Halbebene der Dimension g, v1, . . . , v4 ∈ Cg, und a, b1, b2 ∈ 12Z2g

(siehe [K]). Hier benotigen wir die kubischen Thetarelationen (zwVnn) (vgl. [BL1]):

Θ(y1,y2),ρ(0) ·∑z∈Z6

ρ(z) · ϑLy′1+y′2+y3+2z · ϑLy′1−y′2+y3+2z · ϑL−2y′1+y3+2z

= Θ(y′1,y′2),ρ(0) ·

∑z∈Z6

ρ(z) · ϑLy1+y2+y3+2z · ϑLy1−y2+y3+2z · ϑL−2y1+y3+2z

Hiervon benotigen wir nur den Spezialfall der Dimension g = 1 und mit dem Geradenbundel L = O(3)zuvor. In diesem Fall reduzieren sich die kubischen Thetarelationen zu der folgenden Gleichung (vgl.[BL2] Exercise 7.(8)) (zwVnn):

ϑ[

00

]3 + ϑ[

130

]3+ ϑ

[230

]3= 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)ϑ[

00

]ϑ[

130

]ϑ[

230

](16)

Der Term 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0) ist eine komplexe Konstante 6= 0, die sich mit gewissen Thetafunktionen berechnenlasst, fur uns hier aber nicht von Bedeutung ist. (16) ist eine Relation zwischen den Komponenten derAbbildung (15). Ersetzt man hier ϑ

[00

], ϑ[

130

]und ϑ

[230

]durch die homogenen Koordinatenfunktionen

z0, z1 und z2 von P2, so erhalten wir die Gleichung

z30 + z3

1 + z32 = 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)z0z1z2. (17)

Dies ist die Gleichung der Bildkurve von φ bzw. ϕ. Da dieses eine Gleichung vom Grad 3 ist, ist φ(C) eineelliptische Kurve, die wieder mit E bezeichnet werden soll. Da ϕ : C/(Zz + Z3) ↪→ P2 eine Einbettungist, ergeben sich die folgenden Identifikationen:

E ' C/(Zz + Z3) '{

(z0 : z1 : z2)∣∣ z3

0 + z31 + z3

2 = 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)z0z1z2

}⊂ P2

Aufgabe 2.6.22:

Berechne die Schnittpunkte der elliptischen Kurve E : z30 + z3

1 + z32 = 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)z0z1z2 mitder ∞-fernen Gerade z0 = 0.

2.7 Die elliptische Kurve E als komplexer Torus

Betrachten wir zunachst den Quotienten C/(Zz+Z3). Wie in Abschnitt 2.5 gezeigt wurde, ist Zz+Z3 einGitter in C. Der Quotient C/(Zz+Z3) ist nach Definition die Menge aller Nebenklassen v := v+Zz+Z3mit v ∈ C (vgl. Aufgabe 2.7.23). Anschaulich kann man sich den Quotienten folgendermaßen vorstellen:Man betrachtet im Gitter Zz + Z3 das von den vier Eckpunkten 0, 3, z und z + 3 gebildete Fundamen-talparallelogramm und identifiziert gegenuberliegende Seiten. So entsteht ein komplexer Torus:

b=da=c

c

d b

a

z

0 3

¼

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18

Hierbei ist π die Projektion:

π : C −→ C/(Zz + Z3) = E mit v 7→ v := v + Zz + Z3

Die komplexen Zahlen C sind als Korper insbesondere auch eine abelsche Gruppe. Diese Gruppen-struktur induziert eine Gruppenstruktur auf dem komplexen Torus E = C/(Zz + Z3) und wir erhaltendie geometrische Erklarung des Additionstheorems.Fassen wir zusammen: Die elliptische Kurve E wird durch die algebraische Gleichung

z30 + z3

1 + z32 = 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)z0z1z2

beschrieben, ist also eine projektive algebraische Kurve. Damit ist aber auch der komplexe Torus E =C/(Zz + Z3) algebraisch. Als algebraischer komplexer Torus der Dimension 1 ist E schließlich eineprojektive algebraische Kurve vom Geschlecht 1 (siehe auch Abschnitt 3.1).

Aufgabe 2.7.23:

Seien u und v ∈ C und n ∈ Zz + Z3. Zeige, dass in E = C/(Zz + Z3) gilt:

a) u = v genau dann, wenn u− v ∈ Zz + Z3.

b) n = 0.

c) u+ v = u+ v.

3. Einige Satze uber algebraische Kurven

In diesem letzten Teil sollen einige klassische Aussagen und Satze der algebraischen Geometrie, insbeson-dere der Kurventheorie, vorgestellt werden. Unter Kurve verstehen wir hier immer eine glatte, das heißtsingularitatenfreie Kurve (zwVnn). Beispiele fur Kurven mit Singularitaten findet man in Aufgaben2.5.20 und 2.5.21.

3.1 Das Geschlecht einer algebraischen Kurve

Eine projektive algebraische Kurve C vom Geschlecht g kann man sich topologisch als eine kompakteFlache mit g Lochern vorstellen:

+2g¸+1g¸

2¸1¸

g2¸

Neben dieser anschaulichen Erklarung kann das Geschlecht g einer Kurve C z. B. auch uber die Dimen-sionen bzw. Ordnungen der folgenden Kohomologie bzw. Homologiegruppen definiert werden:

H0(C,O(K)) ' Cg, H1(C,Z) ' Z2g.

Die Kohomologie H0(C,O(K)) wird im nachsten Abschnitt erklart. Die Elemente der HomologiegruppeH1(C,Z) sind Aquivalenzklassen von geschlossenen Zykeln, also reell eindimensionalen geschlossenenKurven auf C. Zwei solche Zykel sind aquivalent, wenn sie stetig ineinander deformierbar sind. So sindbeispielsweise die in der obigen Graphik eingezeichneten Zykel λ1 und λ2 nicht aquivalent, da sie sichum verschiedene Locher winden. Die Zykel λ1, . . . , λ2g sind Reprasentanten eines Erzeugendensystemsfur H1(C,Z) ' Z2g. An dieser Definition bzw. der Graphik erkennt man sofort, dass die Kurven P1 dasGeschlecht 0 (da kein Loch) und E das Geschlecht 1 (da ein Loch) haben.

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3.2 Divisoren

Ein Divisor D auf einer Kurve C ist eine formale endliche Summe von Punkten auf C:

D = n1P1 + · · ·+ nkPk, mit ni ∈ Z und Pi ∈ C.

Der Grad des Divisors istdegD := n1 + · · ·+ nk.

Beispiel 1. Am Ende von Abschnitt 2.2 haben wir schon einmal einen Divisor kennengelernt, denDivisor

D := E ·{z0 = 0

}= 3 (0 : 0 : 1)

auf der elliptischen Kurve E ={z0z

22 = 4z3

1 − g2z20z1 − g3z

30

}.

Jede rationale Funktion f auf C definiert einen Divisor. Dazu berechnet man die Nullstellen N von fund ihre Ordnungen νN (wie man es aus der Schule kennt). Ebenfalls berechnet man alle Pole P von fund ihre Ordnungen νP . Die Pole sind hierbei gerade die Nullstellen des Nenners. (So hat beispielsweisedie Funktion z 7→ 1−z

z2 bei z = 1 eine Nullstelle der Ordnung 1 und bei z = 0 einen Pol der Ordnung 2.)Der Divisor der Funktion f ist nun

(f) =∑

N Nullstelle von f

νNN −∑

P Pol von f

νPP.

Die Divisoren (f) heißen Hauptdivisoren. Rationale Funktionen auf einer algebraischen Kurve bedurfeneigentlich einer genaueren Definition, wir wollen es hier bei einer Erklarung mittels eines Beispielsbelassen:

Beispiel 2. Rationale Funktionen auf C = P1 sind Quotienten p(Z0,Z1)q(Z0,Z1) mit homogenen Polynomen

p und q in Z0 und Z1 und deg p = deg q. Betrachten wir beispielsweise f(Z0, Z1) := Z1Z0

. f hat in(1 : 0) eine einfache Nullstelle und in ∞ = (0 : 1) einen einfachen Pol. Der Hauptdivisor von f ist also(f1

)= (1 : 0)− (0 : 1) und deg

(f)

= 1− 1 = 0.

Wie in diesem Beispiel gilt allgemein fur den Grad von Hauptdivisoren: deg(f)

= 0.

Beispiel 3. Ein weiteres Beispiel fur einen Divisor ist der Verzweigungsdivisor der doppelten Uber-lagerung Vergiss y : E 7→ P1 aus Abschnitt 2.3. Die vier Verzweigungspunkte bilden den so genanntenVerzweigungsdivisor R = P1 + P2 + P3 + (0 : 1) auf P1.

SindD1 =

∑P∈C

nPP und D2 =∑P

mPP

Divisoren auf einer Kurve C (nach Definition sind in dieser Darstellung nur endlich viele KoeffizientennP 6= 0 bzw. mp 6= 0), so definiert man die Addition

D1 +D2 =∑P

(nP +mP )P

und die Ordnungsrelation

D1 ≥ D2, falls nP ≥ mP fur alle P ∈ C.

Die rationalen Funktionen f auf C, deren Hauptdivisor(f)

in diesem Sinne ≥ −D ist, bilden bezuglichder Addition von Funktionen und der Skalarmultiplikation, also der einfachen Multiplikation mit einerkomplexen Zahl, einen komplexen Vektorraum. Dieser Vektorraum stimmt mit der 0-ten KohomologieH0(C,O(D)) des Divisors D uberein. Es gilt also:

H0(C,O(D)) :={f∣∣ f ist eine rationale Funktion auf C mit

(f)≥ −D

}.

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Bei den Elementen von H0(C,O(D)) handelt es sich also um rationale Funktionen, deren Null- undPolstellen mit ihren Vielfachheiten durch den Divisor D abgeschatzt werden. Dazu ein Beispiel:

Beispiel 4. Sei D := 2∞ = 2(0 : 1) auf C = P1. Eine rationale Funktion f mit(f)≥ −D = −2(0 : 1)

darf also nur in∞ = (0 : 1) einen Pol haben und zwar hochstens vom Grad 2. Damit ist f von der Formf = p

Z20

mit einem homogenen Polynom p vom Grad 2. Der Vektorraum der homogenen Polynome vomGrad 2 in den Variablen Z0 und Z1 wird aber von Z2

0 , Z0Z1 und Z21 aufgespannt. Somit ist

Z20

Z20

= 1, Z0Z1Z2

0= Z1

Z0, und Z2

1Z2

0

eine Basis von H0(P1,O(2∞)).

Beispiel 5. Fur jede projektive algebraische Kurve C ist H0(C,O) der Vektorraum der rationalenFunktionen f mit

(f)≥ 0. Deshalb kann f keine Pole haben. Da aber wegen deg

(f)

= 0 die Funktionf genauso viele Nullstellen wie Pole (mit Vielfachheiten gerechnet) hat, besitzt f auch keine Nullstellenund ist somit konstant. Der Vektorraum H0(C,O) wird somit von der konstanten Funktion 1 erzeugtund ist eindimensional.

Beispiel 6. Ist der Grad eines Divisors D negativ, so gibt es keine rationale Funktion f mit(f)≥

−D, denn sonst ware 0 = deg(f)≥ deg(−D) = −degD > 0, ein Widerspruch! Somit gilt fur Divisoren

negativen Grades, dass h0(C,O(D)) = dimH0(C,O(D)) = 0.

Wie wir in diesen Beispielen sehen, ist die Kohomologie H0(C,O(D)) ein Vektorraum endlicher Dimen-sion. Die Dimension von H0(C,O(D)) wird mit h0(C,O(D)) bezeichnet.Auf einer projektiven algebraischen Kurve C vom Geschlecht g gibt es einen speziellen Divisor, denkanonischen Divisor K. Der kanonische Divisor wird mittels rationaler Differentialformen auf C definiert(zwVnn). Insbesondere ist K ein Indikator fur das Geschlecht von C, denn wie in Abschnitt 3.1 schonerwahnt gilt h0(C,O(K)) = g.Sei D ein Divisor auf einer Kurve C mit h0(C,O(D)) = n ≥ 2 und f0, . . . , fn−1 eine Basis vonH0(C,O(D)). D heißt basispunktfrei, wenn die Funktionen f0, . . . , fn−1 keine gemeinsame Nullstellehaben. In diesem Fall definiert D die Abbildung

ϕD : C → Pn−1, ϕ(P ) =(f0(P ) : · · · : fn−1(P )

).

Ist diese Abbildung zusatzlich auch noch eine Einbettung, so sagt man, der Divisor D ist sehr ampel.

Beispiel 7. (Fortsetzung von Beispiel 4) Die Funktionen Z20

Z20

= 1, Z0Z1Z2

0= Z1

Z0und Z2

1Z2

0haben offensichtlich

keine gemeinsame Nullstelle. Der Divisor D := 2∞ = 2(0 : 1) ist also basispunktfrei und definiert dieAbbildung

ϕD : P1 → P2, (Z0 : Z1) 7→ (1 : Z1Z0

: Z21

Z20

) = (Z20 : Z0Z1 : Z2

1 ).

Das Bild von ϕD genugt der Gleichung z0z2 − z21 = 0. Das ist aber genau die homogene Gleichung (8)

der projektiv abgeschlossenen Parabel (vgl. Abschnitt 1.3). Der Divisor D = 2∞ ist genau der Divisorder ∞-fernen Punkte der Parabel. Da D sogar sehr ampel ist und damit ϕD eine Einbettung, ist dieabgeschlossene Parabel eine Darstellung der projektiven Gerade P1 in P2.

An diesem Beispiel sieht man noch eine weitere Eigenschaft eines sehr amplen Divisors D und seinerzugehorigen Einbettung ϕD: Der Grad des Divisors ist gleich dem Grad der Bildkurve:

degD = degϕD(C).

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21

3.3 Der Satz von Riemann-Roch

Hierbei handelt es sich um den folgenden klassischen Satz der algebraischen Geometrie (vgl. [Ha] p.295oder [ACGH] p.7):

Der Satz von Riemann-Roch:Fur einen Divisor D auf einer projektiven Kurve C vom Geschlecht g gilt:

h0(C,O(D))− h0(C,O(K −D)) = degD + 1− g

Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz von Riemann-Roch verwendet wird:

Beispiel 8. Nach Abschnitt 3.1 gilt fur den kanonischen Divisor K einer algebraischen Kurve C vomGeschlecht g, dass h0(C,O(K)) = g. Nach dem Satz von Riemann-Roch folgt fur den Grad von K

degK = h0(C,O(K))− h0(C,O(C))− 1 + g = g − 1− 1 + g = 2g − 2.

Ist g ≥ 2 und C nicht hyperelliptisch (siehe Abschnitt 3.4), so ist K sehr ampel und definiert die sogenannte kanonische Einbettung ϕωC

: C ↪→ Pg−1 (zwVnn).

Beispiel 9. Die elliptische Kurve E : z30 + z3

1 + z32 = 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)z0z1z2 aus den Abschnitten 2.5 bis2.7 schneidet die ∞-ferne Gerade z0 = 0 in drei Punkten P1, P2 und P3 (vgl. Aufgabe 2.6.22). Diesebilden einen Divisor D := P1 + P2 + P3 vom Grad 3. Da E das Geschlecht g = 1 hat, ist der Graddeg(K − D) = degK − degD = 2g − 2 − 3 = 2 − 2 − 3 = −3 < 0. Somit gilt nach Abschnitt 3.2,Beispiel 6, dass h0(E,O(K −D)) = 0. Nach Riemann-Roch gilt:

h0(E,O(D)) = h0(E,O(K −D)) + degD + 1− g= 0 + 3 + 1− 1 = 3

Eine Basis von H0(E,O(D)) ist durch die drei Thetafunktionen{ϑ[

00

], ϑ[

130

], ϑ[

230

]}gegeben und

ϕD ist die Einbettung ϕ : E ↪→ P2 aus Abschnitt 2.5. Insbesondere ist D sehr ampel (zwVnn).

3.4 Uberlagerungen algebraischer Kurven

In Abschnitt 2.3 haben wir mit der Abbildung Vergiss y : E → P1 ein erstes Beispiel einer Uberlage-rung algebraischer Kurven kennen gelernt. Die Hurwitz-Formel (vgl. [Ha], p. 301) beschreibt, wie dieGeschlechter der Kurven einer Uberlagerung zusammenhangen.

Hurwitz-Formel:Fur eine Uberlagerung f : C n:1−→ C ′ von projektiven Kurven vom Geschlecht g und g′ und Verzwei-gungsdivisor R (auf C ′) gilt:

2g − 2 = n(2g′ − 2) + degR

Beispiel 10. Wir wenden diesen Satz auf die in Abschnitt 2.3 behandelte Uberlagerung der elliptischenKurve von P1 an. Wir hatten gesehen, dass die Uberlagerung E→P1 vom Grad 2 war, deshalb mussnach der Hurwitz-Formel der Verzweigungsdivisor den Grad

degR = 2gE − 2− 2(2gP1 − 2) = 2 · 1− 2− 2(2 · 0− 2) = 4

haben.

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Dieses bestatigt unsere Beobachtung, dass die Uberlagerungin 4 Punkten verzweigt ist. Diese 4 Verzweigungspunkte wer-den auch durch das topologische Bild in der nebenstehendenGraphik deutlich: Hier sind auf der Riemannschen Zahlenku-gel P1 die vier Verzweigungspunkte markiert. Entlang von jezwei Punkten wird P1 aufgeschlitzt, das ist rechts unten inder Graphik dargestellt. Von dieser aufgeschlitzten Zahlenku-gel betrachtet man zwei Kopien (links unten in der Graphik).Diese beiden Flachen werden entlang der Schlitze miteinanderverklebt. Das liefert den Torus E. Die Abbildung E → P1 istnun durch Identifikation sich entsprechender Punkte auf denbeiden Kopien definiert.

1PI

E

Kurven beliebigen Geschlechtes, die wie elliptische Kurven doppelte Uberlagerungen von P1 sind, wer-den hyperelliptische Kurven genannt. Ebene hyperelliptische Kurven werden durch Gleichungen derfolgenden Form beschrieben:

C = { (z, y) | y2 = f(z) } ⊂ P2

Hier ist f ∈ C[z] ein Polynom und der Querstrich uber der Mengenklammer bedeutet den projektivenAbschluss. Das Geschlecht von C ist abhangig vom Grad des Polynoms f :

g = deg f−12 , wenn deg f ungerade, und g = deg f

2 − 1, wenn deg f gerade.

Genau wie bei den elliptischen Kurven in Abschnitt 2.3 definiert die Zuordnung Vergiss y: (z, y) 7→ z

eine doppelte Uberlagerung C 2:1−→ P1. Nach der Hurwitz-Formel gilt fur den Verzweigungsdivisor

degR = 2g − 2− 2(2gP1 − 2) = 2g + 2 = 2(g + 1).

Analog wie bei der doppelten Uberlagerung E → P1

ist auch die topologische Darstellung dieser Uber-lagerung zu verstehen: Der Verzweigungsdivisor Rbesteht aus g+1 Paaren von Punkten. Unten in derGraphik ist der entlang dieser Punktepaare aufge-schlitzte P1 abgebildet. Daruber sieht man die zwei,entlang dieser Schlitze verklebten Kopien, die aufdiese Weise eine kompakte Riemannsche Flache mitg Lochern bilden.

3.5 Jacobische Varietaten

Sei C eine algebraische Kurve vom Geschlecht g. Die Kohomologiegruppe H0(C,O(K)) des kanonischenGeradenbundels ist der Vektorraum der holomorphen Differentiale auf der Kurve C. Ist C hyperelliptisch:

C = { (z, y) | y2 = f(z) } ⊂ P2,

so kann man einfach eine Basis von H0(ωC) angeben:

ω1 := dz√f, ω1 := z dz√

f, . . . , ωg := zg−1 dz√

f

So wie man in der Funktionentheorie lernt, holomophe Funktionen in Bereichen der komplexen Zahlen-ebene zu integrieren, so kann man das auch mit Differentialen auf C. Nach dem Cauchyschen Integral-satz sind Integrale holomorpher Funktionen bzw.Differentiale wegunabhangig, allerdings nur auf ein-fach zusammenhangenden Gebieten. Aufgrund derLocher trifft das fur C nicht zu. Deshalb ist das In-tegral

p

0p

∫ p

p0

ωi

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nur modulo der Integrale∫λωi, mit λ ∈ H1(C,Z) bestimmt. Damit definiert die Zuordnung

C 3 p 7→

R p

p0ω1R p

p0ω2

...R pp0ωg

∈ Cg

eine Abbildung C ↪→ Cg/H1(C,Z). Der Quotient Cg/H1(C,Z) ist ein algebraischer kompakter komple-xer Torus der Dimension g, die Jacobische Varietat der Kurve C:

Jac(C) := Cg/H1(C,Z)

(vgl. [BL2] Chapter 11). Die Jacobische Varietat Jac(C) ist ein Beispiel fur eine abelsche Varietat.

3.6 Abelsche Varietaten

Abelsche Varietaten sind nach Definition algebraische komplexe Tori. Ein komplexer Torus ist einQuotient:

X = Cg/Λ, mit einem Gitter Λ ⊂ Cg, Λ ' Z2g.

Der komplexe Torus X heißt algebraisch, wenn es eine projektive Einbettung X ↪→ Pn gibt. Das istbei den Jacobischen Varietaten immer der Fall. Ein erstes Beispiel fur eine abelsche Varietat habenwir in Abschnitt 2.7 mit den elliptischen Kurven schon kennen gelernt: Eine elliptische Kurve ist einkomplexer Torus der Dimension 1:

E = C/(Zz + Z3)

Da es die projektive Einbettung ϕ : E ↪→ P2 gibt, ist E eine projektive algebraische Kurve. Andererseitssagt die Einbettung ϕ : E ↪→ P2, dass der komplexe Torus E = C/(Zz + Z3) ein algebraischer Torus,also ein abelsche Varietat ist. Die algebraische Kurve E ist identisch mit ihrer Jacobischen Varietat:

Jac(E) = E

3.7 Prymvarietaten

Ein weiteres Beispiel von abelschen Varietaten, diein engem Zusammenhang zu Kurven stehen, sinddie Prymvarietaten. Dazu betrachte man eine un-verzweigte doppelte Uberlagerung projektiver Kur-ven

π : C 2 : 1−→ C ′. C'

C

¼

Nach der Hurwitz-Formel hangen die Geschlechter der beiden Kurven folgendermaßen zusammen:

g(C ′) = g + 1 ⇒ g(C) = 2g + 1.

Die Uberlagerung π : C 2 : 1−→ C ′ induziert einen Homomorphismus von Homologiegruppen

π∗ : H1(C,Z) −→ H1(C ′,Z)

und dieser wiederum einen Homomorphismus abelscher Varietaten, die so genannte Normabbildung

Nπ : Jac(C) −→ Jac(C ′).

Der Kern der Normabbildung, also das, was auf null abgebildet wird, besteht in diesem Fall aus zweiZusammenhangskomponenten. Da Nπ aber auch ein Gruppenhomomorphismus ist, ist der Kern wie-der eine abelsche Gruppe, und insbesondere ist die Komponente, die die Null enthalt, eine abelscheVarietat, die Prymvarietat der Uberlagerung π : C 2 : 1−→ C ′:

Prym(C,C ′) =(

kerNπ)

0= Cg/H1(C,Z)−

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(vgl. [BL2] Chapter 12). Jacobische Varietaten und Prymvarietaten erben bzw. spiegeln wider eineFulle geometrischer Eigenschaften der zugrunde liegenden Kurven. So spielen diese abelschen Varietateneine wichtige Rolle in der Theorie der algebraischen Kurven und umgekehrt werden die algebraischenKurven bei der Untersuchung abelscher Varietaten benutzt.Abelsche Varietaten spielen aber auch in anderen mathematischen Disziplinen eine große Rolle, hiernur einige Hinweise:

• A.c.i. Systeme (algebraic completely integrable systems): A.c.i. Systeme sind spezielle DynamischeSysteme, bei denen die abelschen Varietaten eine Rolle spielen. (vgl. [AMV]).

• Zahlentheorie: Beweis zum Satz von Fermat.

• Kryptographie, Fehlerkorrigierende Codes.In diesem Zusammenhang wurde sogar ein Patent auf die Dissertation von S. Sessler vergeben(vgl. [Se]). Ihre Idee war, endliche Gruppen mit hinreichend großem Primfaktor zu finden. EineMoglichkeit stellt die Gruppe der rationalen Punkte auf einer Prymvarietat dar.

Nicht zuletzt sind abelsche Varietaten aber auch wegen ihrer schonen Bilder im projektiven Rauminteressant:

3.8 Die abelsche Flache vom Type (1, 4) in P3

Eine abelsche Fache vom Typ (1, 4) wird birational auf eine Oktik, also eine Flache vom Grad 8, inP3 abgebildet. Diese Oktik ist eine Uberlagerung der klassischen Kummerflache. Diese ist bekannt furihre 16 Doppelpunkte, die auch in der Graphik zu erkennen sind (siehe [BLS] fur eine ausfuhrlicheDarstellung). Die folgenden beiden reellen Darstellungen dieser beiden Flachen wurden von Oliver Labs(http://www.oliverlabs.net/) mit dem Programm Surf erstellt und mir freundlicherweise zur Verfugunggestellt.

Abelsche Flache vom Typ (1, 4) Die Kummerflache

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4. Losungen

Aufgabe 1.2.1:

Zeige, dass parallele Geraden in R2 einen gemeinsamen Fernpunkt haben.

Losung: Jede Gerade in R2 kann durch eine Gleichung der Form Ax+By = C beschriebenwerden. Zwei Geraden G1 : A1x + B1y = C1 und G2 : A2x + B2y = C2 sind genau dannparallel, wenn A1B2 = B1A2. (Um das besser zu verstehen, multipliziere man die erste Ge-radengleichung mit B2 und die zweite mit B1.) Der projektive Abschluss Gi wird durch diehomogene Gleichung Aix1 +Bix2 = Cix0 gegeben. Die Fernpunkte von Gi, fur i = 1, 2, sind

Gi ∩ {x0 = 0} = { (0 : x1 : x2) |Aix1 +Bix2 = 0} = {(0 : −Bi : Ai)} fur i = 1, 2.

Falls A2 6= 0, gilt

(0 : −B1 : A1) = (0 : −B1A2 : A1A2) = (0 : −A1B2 : A1A2) = (0 : −B2 : A2),

das heißt, die Fernpunkte stimmen uberein. Insbesondere ist der Fernpunkt von Gi der Punkt(0 : −Bi : Ai) = (0 : 1 : −Ai

Bi). Die dritte Koordinate in der zweiten Darstellung dieses

Punktes, also die Zahl −Ai

Bi, ist genau die Steigung der Geraden. Man kann also Fernpunkte

einer Geraden auch als Richtungen interpretieren.Wenn A2 = 0 ist, muss B2 6= 0 sein und aus der Parallelitatseigenschaft folgt A1 = 0. Dannhaben beide Geraden (0 : 1 : 0) als Fernpunkt.

Aufgabe 1.2.2:

Zeige, dass sich zwei verschiedene Geraden in P2 genau in einem Punkt schneiden.

Losung: Sind die Geraden parallel (im Affinen, also in R2), so schneiden sie sich auf der∞-fernen Geraden, siehe Aufgabe 1.2.1. Ansonsten schneiden sie sich schon in R2.

Aufgabe 1.2.3:

Eine 2×2-Matrix(a bc d

)mit Determinante ad− bc 6= 0 definiert eine so genannte Projektivitat

P =(a bc d

): P1 7→ P1, die auf den homogenen Koordinaten durch Multiplikation wirkt:

Da(a bc d

) (X0X1

)=(aX0+cX1bX0+dX1

), gilt P (X0 : X1) = (aX0 + cX1 : bX0 + dX1).

Finde die Projektivitaten, die die rationalen Funktionen a) x 7→ x + c, b) x 7→ c · x,c) x 7→ − 1

x , d) x 7→ 1 + 1x und e) x 7→ x

x−1 fortsetzen.

Losung:

a) x 7→ x+ c schreibt sich in homogenen Koordinaten (1 : x) 7→ (1 : x+ c) und setzt sich zuder Projektivitat (X0 : X1) 7→ (X0 : X1 + cX0) fort. Die zugehorige Matrix ist P =

(1 0c 1

).

b) P =(

1 00 c

), denn P ·

(1x

)=(

1c·x).

c) P =(

0 1−1 0

), denn P ·

(1x

)=(x−1

)und (x : −1) = (1 : − 1

x ).

d) P =(

0 11 1

), denn P ·

(1x

)=(

x1+x

)und (x : 1 + x) = (1 : 1

x + 1).

e) P =(−1 1

0 1

), denn P ·

(1x

)=(x−1x

)und (x− 1 : x) = (1 : x

x−1 ).

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Aufgabe 1.2.4:

Ein Fixpunkt einer Projektivitat P : P1 7→ P1 ist ein Punkt p mit P (p) = p.

a) Bestimme die Fixpunkte von P =(

1 22 −1

).

b) Zeige, dass eine nicht triviale Projektivitat, also P 6=(

1 00 1

), hochstens zwei Fixpunkte

haben kann.

c) Finde eine Projektivitat des P1 mit Fixpunkt (1 : −1), welche die Punkte (0 : −1) und(2 : 0) vertauscht.

Losung:

a) P hat die zwei Fixpunkte (1±√

5 : 2). Diese findet man folgendermaßen: Man lose zunachstdie Gleichung

(1 22 −1

) (X0X1

)= λ

(X0X1

)fur eine Zahl λ 6= 0. Das dazu aquivalente Glei-

chungssystem lautet{

(1−λ)X0+2X1= 02X0−(1+λ)X1= 0

. Mit dem Einsetzungsverfahren ergibt die zweite

Gleichung X0 = 1+λ2 X1 und Einsetzen in die erste Gleichung fuhrt zu

( (1−λ2)+22

)X1 = 0.

X1 = 0 wurde zu X0 = 0 fuhren, was aber bei homogenen Koordinaten nicht zulassigist. Also gilt (1−λ2)

2 + 2 = 0, oder aquivalent λ = ±√

5. Diese Losungen, eingesetzt in diezweite Gleichung, liefern nun: X0 = 1±

√5

2 X1. Mit X1 = 2 folgt die Behauptung.

b) Die Fixpunkte einer Projektivitat P =(a bc d

)entsprechen den Eigenvektoren der Matrix(

a bc d

). Genauer: Es muss zunachst die Gleichung

(a bc d

) (X0X1

)= λ

(X0X1

)in λ gelost werden.

Die Gleichung ist aquivalent zu(a−λ bc d−λ

) (X0X1

)=(

00

). Da (X0, X1) 6= (0, 0), gibt es nur

eine Losung, wenn die Determinante det(a−λ bc d−λ

)= 0. Das ist aber nun eine quadratische

Gleichung, die bis zu zwei Losungen λ1/2, die so genannten Eigenwerte von P , haben kann.Zu den Eigenwerten gibt es je einen Fixpunkt. Eine 2× 2-Matrix kann also hochsten zweiEigenvektoren haben.

c) P =(

0 11 0

), beachte, dass (0 : −1) = (0 : 1) und (2 : 0) = (1 : 0).

Aufgabe 1.2.5:

Fur Punkte A = (a0 : a1 : a2), B = (b0 : b1 : b2) und C = (c0 : c1 : c2) ∈ P2 sind aquivalent:

i) A,B und C sind kollinear.

ii) Die Geraden GA : a0xx + a1x1 + a2x2 = 0, GB : b0xx + b1x1 + b2x2 = 0 und GC :c0xx + c1x1 + c2x2 = 0 schneiden sich in einem Punkt.

iii) det( a0 a1 a2b0 b1 b2c0 c1 c2

)= 0

Losung: Es gelte ii) und sei (α : β : γ) der gemeinsame Schnittpunkt. Dann genugen(a0, a1, a2), (b0, b1, b2) und (c0, c1, c2) der Gleichung αx0 + βx1 + γx2 = 0. Also liegenA, B und C auf der Geraden mit der Gleichung αx0 +βx1 +γx2 = 0 und es gilt i). Schließlichist (α, β, γ) eine nicht triviale Losung des Gleichungssystems

( a0 a1 a2b0 b1 b2c0 c1 c2

)(x0x1x2

)= 0, also folgt

iii).

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Aufgabe 1.2.6:

Zwei Punkte a, b ∈ Rn (hier konnen wir einfach n = 1 oder 2 annehmen, es geht aber auchallgemeiner) definieren eine Gerade G := ab in R2. Ein Punkt x auf dieser Geraden lasst sichfolgendermaßen schreiben

x = a+ t(b− a) = (1− t)a+ tb mit einem eindeutig bestimmten t ∈ R.

Das Teilverhaltnis von x bezuglich a und b ist definiert durch

TV (x ; a, b) :=t

t− 1.

Falls t = 1 oder aquivalent x = b, so definiert man TV (b ; a, b) =∞.

a) Bezeichne mit ∞G den ∞-fernen Punkt der Geraden G. Zeige, dass sich TV zu einerBijektion TV : G ∪ {∞G} → P1 fortsetzen lasst.

b) Zeige, dass

TV (b ; a, x) = 1− TV (x ; a, b) , TV (x ; b, a) =1

TV (x ; a, b),

TV (a ; b, x) = 1− 1TV (x ; a, b)

, TV (a ;x, b) =TV (x ; a, b)

TV (x ; a, b)− 1.

c) Zeige, dass fur drei paarweise verschiedene Punkte x, a, b ∈ R gilt

TV (x ; a, b) · TV (a ; b, x) · TV (b ;x, a) = −1 .

d) Zeige, dass fur vier paarweise verschiedene Punkte x, a, b, c ∈ R gilt

TV (x ; a, b) · TV (x ; b, c) · TV (x ; c, a) = 1 .

Losung:

a) Hier ist ∞G der unendlich-ferne Punkt der Geraden G. Dann setzt man

TV (∞G; a, b) := (1 : 1),

TV (b; a, b) := (0 : 1),

TV (x; a, b) := (t− 1 : t).

b) Aus b = (1− 1t )a+ 1

t folgt TV (b ; a, x) =1t

1t−1

= 1t = 1− t−1

t = 1− TV (x ; a, b).

Aus x = (1− (1− t))b+ (1− t)a folgt TV (x ; b, a) = 1−t1−t−1 = t−1

t = 1TV (x ;a,b) .

Aus a = (1− 11−t )b+ 1

1−tx folgt TV (a ; b, x) =1

1−t1

1−t−1= 1

t = 1− t−1t = 1− 1

TV (x ;a,b) .

Aus a = (1− tt−1 )x+ t

t−1b folgt TV (a ;x, b) =t

t−1t

t−1−1= TV (x ;a,b)

TV (x ;a,b)−1 .

c) Mit b) gilt:

TV (x ; a, b) · TV (a ; b, x) · TV (b ;x, a) = TV (x ; a, b) ·(1− 1

TV (x ; a, b))· 1TV (b ; a, x)

= TV (x ; a, b) ·(1− 1

TV (x ; a, b))· 1

1− TV (x ; a, b)= −1

d) Sei x = (1− s)b+ sc. Auflosen nach b liefert b = x−sc1−s . Einsetzen in x = (1− t)a+ tb ergibt

x =(

1− (1−s)(1−t)1−s−t

)c+ (1−s)(1−t)

1−s−t a und es folgt:

TV (x ; a, b) · TV (x ; b, c) · TV (x ; c, a) =t

t− 1· s

s− t·

(1−s)(1−t)1−s−t

(1−s)(1−t)1−s−t − 1

= 1

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Aufgabe 1.3.7:

Berechne die Schnittpunkte und ihre Vielfachheiten von a) der Ellipse x21a2 + x2

2b2 = x2

0 undb) der Hyperbel x1x2 = x2

0 mit der Geraden {x0 = 0}.

Losung:

a) Einsetzen von x0 = 0 in die Gleichung der Ellipse liefert die Gleichung x21a2 + x2

2b2 = 0. Diese

hat nur die Losung x1 = x2 = 0. Da aber mindestens eine homogene Koordinate von Nullverschieden sein muss, gibt es keinen Schnittpunkt.

b) Einsetzen von x0 = 0 in die Gleichung der Hyperbel liefert die Gleichung x1x2 = 0 unddiese wird durch x1 oder x2 = 0 gelost. Somit sind die gesuchten Schnittpunkte (0 : 0 : 1)und (0 : 1 : 0).

Aufgabe 1.3.8:

Sei P =(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)eine 3 × 3 - Matrix mit Determinante detP 6= 0. Diese definiert eine

Projektivitat P : P2 → P2, die auf den homogenen Koordinaten durch Multiplikation mit derMatrix P wirkt: Da (

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

)(x0x1x2

)=( a11x0+a12x1+a13x2a21x0+a22x1+a23x2a31x0+a32x1+a33x2

),

gilt

P (x0 : x1 : x2) = (a11x0 + a12x1 + a13x2 : a21x0 + a22x1 + a23x2 : a31x0 + a32x1 + a33x2).

Zwei Quadriken Q1 = 0 und Q2 = 0 in P2 heißen projektiv aquivalent, wenn es eine Projekti-vitat P mit

Q1

(P (x0 : x1 : x2)

)= Q2(x0 : x1 : x2)

gibt. Zeige, dass die Quadriken QParabel(x0 : x1 : x2) = x0x2 − x21 = 0, QEllipse(x0 : x1 :

x2) = x21a2 + x2

2b2 −x

20 = 0 und QHyperbel(x0 : x1 : x2) = x1x2−x2

0 = 0 projektiv aquivalent sind.

Losung: Sei P1 =(

0 1 01 0 00 0 1

)und P2 =

(0 1

212

0 a2 −

a2

b 0 0

). Dann gilt QParabel

(P1(x0 : x1 : x2)

)=

QHyperbel(x0 : x1 : x2) und QEllipse

(P2(x0 : x1 : x2)

)= −QHyperbel(x0 : x1 : x2).

Aufgabe 1.3.9:

Untersuche, ob die Quadriken Q1(x0 : x1 : x2) = x20 − x2

1 − x22 = 0 und Q2(x0 : x1 : x2) =

x21 − x2

2 = 0 projektiv aquivalent sind.

Losung: Wegen Q2 = x21−x2

2 = (x1 +x2)(x1−x2) = 0 besteht Q2 aus den sich schneidendenGeraden x1 +x2 = 0 und x1−x2 = 0. Waren Q1 und Q2 projektiv aquivalent, so musste auchQ1 eine Gerade enthalten. Das ist aber nicht der Fall, denn Q1 = 0 ist die homogenisierteGleichung des Einheitskreises.

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Aufgabe 2.1.10:

Eine Funktion f(z) := αz+βγz+δ mit komplexen Zahlen α, β, γ und δ mit αδ − βγ 6= 0 heißt

Mobius-Transformation (siehe auch [M4]). Der Definitionsbereich von f ist Df = C\{− δγ }

und der Wertebereich ist Wf = C\{αγ } (falls γ 6= 0), andernfalls Df = C und Wf = C. f kannzu einer bijektiven Abbildung f : P1 → P1 fortgesetzt werden, indem man f

((γ : −δ)

):= (0 :

1) und f((0 : 1)

):= (γ : α) setzt. Zeige, dass die Mobius-Transformation f eine Projektivitat

ist

Losung: Fur Z0 6= 0 und z = Z1Z0

gilt

f(Z0 : Z1) = f(1 : z) =(1:f(z)

)=(1: αz+βγz+δ

)= (γz + δ : αz + β) = (γZ1 + δZ0 : αZ1 + βZ0).

Weil(δ γβ α

) (Z0Z1

)=(γZ1+δZ0αZ1+βZ0

)und da nach Vorraussetzung det

(δ γβ α

)= αδ − βγ 6= 0,

entspricht f der Projektivitat mit der Matrix(δ γβ α

).

Aufgabe 2.1.11:

Sind x, y, a, b komplexe Zahlen, so ist ihr Doppelverhaltnis definiert durch

DV (x, y, a, b) := (x−a)(x−b) : (y−a)

(y−b) = (x−a)(y−b)(x−b)(y−a) .

a) Zeige, dass DV (x, y, a, b) = TV (x;a,b)TV (y;a,b) .

b) Das Doppelverhaltnis lasst sich zu einer Abbildung DV : P1 → P1 fortsetzen.

c) Zeige, dass das Doppelverhaltnis unter Mobius-Transformationen invariant ist.

Losung:

a) Seien x = a+ t(b− a) und y = a+ s(b− a). Dann gilt

x− a = t(b− a) und x− b = (b− a)(t− 1)y − a = s(b− a) und y − b = (b− a)(s− 1)

⇒ DV (x, y, a, b) =(x− a)(y − b)(x− b)(y − a)

=t(b− a)(b− a)(s− 1)(b− a)(t− 1)s(b− a)

=t

t− 1· s− 1

s=TV (x; a, b)TV (y; a, b)

.

b) Fur x = (x0 : x1), y = (y0 : y1), a = (a0 : a1) und b = (b0 : b1) setze

DV (x,y,a,b) =det(x0 a0x1 a1

)· det

(y0 b0y1 b1

)det(x0 b0x1 b1

)· det

( y0 a0y1 a1

) .Dann gilt DV

((1 : x), (1 : y), (1 : a), (1 : b)

)= DV (x, y, a, b).

c) Das ist mit b) einfacher zu zeigen: Ist P =(δ γβ α

)die Matrix einer Mobius-Transformation,

so gilt wegen des Determinanten Multiplikationssatzes

DV (P (x), P (y), P (a), P (b)) =det(P ·(x0 a0x1 a1

))· det

(P ·(y0 b0y1 b1

))det(P ·(x0 b0x1 b1

))· det

(P ·( y0 a0y1 a1

))=

det(x0 a0x1 a1

)· det

(y0 b0y1 b1

)det(x0 b0x1 b1

)· det

( y0 a0y1 a1

) = DV (x,y,a,b).

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Aufgabe 2.1.12:

Zu je drei verschiedenen komplexen Zahlen z1, z2, z3 und v1, v2, v3 gibt es genau eine Mobius-Transformation f mit f(zi) = vi fur i = 1, 2, 3.

Losung: Die Mobius-Transformation f(z) := (z−z2)·(z1−z3)(z−z3)·(z1−z2) bildet z1, z2, z3 auf 1, 0,∞ (in der

angezeigten Reihenfolge) ab. Analoges gilt fur g(z) := (z−v2)·(v1−v3)(z−v3)·(v1−v2) . Nun ist die Verkettung

g−1 ◦ f , also die Funktion g−1(f(z)

), die gesuchte Mobius-Transformation.

Aufgabe 2.1.13:

Zwei Quadrupel x, y, a, b und x′, y′, a′, b′ komplexer Zahlen sind genau dann projektiv aqui-valent, wenn ihre Doppelverhaltnisse gleich sind.

Losung:Die Richtung ′′ ⇒ ′′ folgt aus Aufgabe 2.1.11 c). Fur ′′ ⇐ ′′ sei f(z) die Mobius-Transformation, die (nach Aufgabe 2.1.12) y, a, b auf y′, a′, b′ abbildet. Es bleibt zu zeigen,dass f(x) = x′ ist. Aus

DV (x′, y′, a′, b′) = DV (x, y, a, b) = DV (f(x), f(y), f(a), f(b)) = DV (f(x), y′, a′, b′)

folgt mit Aufgabe 2.1.11 a), dass

TV (x′; a′, b′)TV (y′; a′, b′)

= DV (x′, y′, a′, b′) = DV (f(x), y′, a′, b′) =TV (f(x); a′, b′)TV (y′; a′, b′)

und aquivalentTV (x′; a′, b′) = TV (f(x); a′, b′).

Ein Punkt ist aber durch sein Teilverhaltnis eindeutig festgelegt, somit folgt dass f(x) = x′.

Aufgabe 2.1.14:

Finde die Mobius-Transformation f , die die Punkte 1, i, −1 auf 0, 1, ∞ in der gegebenenReihenfolge abbildet.

Losung: f(z) = z−1iz+i

Aufgabe 2.1.15:

Seien x, y, a, b paarweise verschiedene komplexe Zahlen. Man sagt, das Punktepaar x, y trenntdie Punkte a, b harmonisch, wenn DV (x, y, a, b) = −1. Zeige, das x, y das Paar a, b genaudann harmonisch trennt, wenn es eine Mobius-Transformation gibt, die a, b fixiert und x, yvertauscht.

Losung: Nach Aufgabe 2.1.11 a) gilt

DV (y, x, a, b) =TV (y; a, b)TV (x; a, b)

=(TV (x; a, b)TV (y; a, b)

)−1

=(DV (x, y, a, b)

)−1.

Gilt nun DV (x, y, a, b) = −1, so ist DV (y, x, a, b) = DV (x, y, a, b) und es gibt nach Auf-gabe 2.1.13 eine Projektivitat, die a, b fixiert und x, y vertauscht. Umgekehrt gibt es eineProjektivitat, die a, b fixiert und x, y vertauscht, so gilt

(DV (x, y, a, b)

)−1 = DV (y, x, a, b) =DV (x, y, a, b). Aber dann muss

(DV (x, y, a, b)

)2 = 1 sein. Ware TV (x;a,b)TV (y;a,b) = DV (x, y, a, b) =

1, so musste wegen der Eindeutigkeit des Teilverhaltnisses x = y sein, ein Widerspruch zurVoraussetzung. Also gilt DV (x, y, a, b) = −1.

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Aufgabe 2.2.16:

Finde die Koordinatentransformation, die die allgemeine Gleichung y2 = az3 + bz2 + cz + deiner elliptischen Kurve auf die Weierstrasssche Normalform bringt.

Losung: (z, y) 7→ (z − b3a , y)

Aufgabe 2.2.17:

Zeige, dass der projektive Abschluss der affinen Kubik K : y = x3 − x geometrischzur Neilschen Parabel mit der affinen Gleichung y2 = x3 aquivalent ist (siehe auchAufgabe 2.5.20) .

Losung: Die homogene Gleichung der Kubik K ist x20x2 = x3

1 − x20x1 oder aquivalent

x20(x2 + x1) = x3

1. Unter der Projektivitat P =(

0 0 10 1 01 −1 0

): (x0 : x1 : x2) 7→ (x2 : x1 : x0 − x1)

geht K in die Gleichung x22x0 = x3

1 uber.

Aufgabe 2.5.18:

Beweise die Funktionaleigenschaften (12) und (13) der Riemannschen Thetafunktion ϑ. Hin-weis: Benutze die Reihendarstellung von ϑ.

Losung:

ϑ(v + n1z + n2) =∑k∈Z

ekπi(kz+2(v+n1z+n2)

)=∑k∈Z

eπi(

[k2+2kn1]z+2kv+2kn2

)=∑k∈Z

eπi(

[k2+2kn1]z+2kv)

(weil eπi2kn2 = 1)

=∑k∈Z

eπi(

[(k+n1)2−n21]z+[2(k+n1)−2n1]v

)=∑k∈Z

eπi(

[k2−n21]z+[2k−2n1]v

)(ersetze in der Summe k durch k − n1)

= e−πi(n21z+2n1v)

∑k∈Z

eπi(k2z+2kv

)= e−πi(n

21z+2n1v)ϑ(v)

Aufgabe 2.5.19:

Beweise die Funktionaleigenschaft (14) der Thetafunktionen ϑ[ c

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].

Losung: Vollkommen analog wie der Beweis fur ϑ in Aufgabe 2.5.18.

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Aufgabe 2.5.20:

Bestimme die affine und homogene Gleichung der Bildkurve der Abbildung ϕ1 : P1 → P2 mit(Z0 : Z1) 7→ (Z3

0 : Z0Z21 : Z3

1 ). Um welche Kurve handelt es sich und was sind die ∞-fernenPunkte? Zeichne die affine Kurve, was fallt auf?

Losung: Es handelt sich um die Neilsche Parabel mit derhomogenen Gleichung z0z

22 = z3

1 (bzw. affin y2 = x3). Der∞-ferne Punkt ist (0 : 0 : 1) und hat die Vielfachheit 3. Siehat in (0, 0) eine Spitze, das ist eine Singularitat. Damit istdie Neilsche Parabel eine singulare ebene Kurve vom Grad 3.Dass heißt insbesondere, dass die Neilsche Parabel keine el-liptische Kurve ist.

y

x

Aufgabe 2.5.21:

Bestimme die affine und homogene Gleichung der Bildkurve der Abbildung ϕ2 : P1 → P2 mit(Z0 : Z1) 7→ (Z3

0 : Z0Z21 − Z3

0 : Z31 − Z2

0Z1). Um welche Kurve handelt es sich und was sinddie ∞-fernen Punkte? Zeichne die affine Kurve, was fallt auf?

Losung: ϕ1(P1) hat die homogene Gleichung z0z22 = z3

1 +z0z21

(bzw. affin y2 = x3 +x2). Der∞-ferne Punkt ist (0 : 0 : 1) undhat die Vielfachheit 3. Sie hat in (0, 0) einen Doppelpunkt, alsoeine Singularitat. Da Doppelpunkte im Englischen Node hei-ßen, wird diese Kurve auch Nodale Kubik oder NewtonscherKnoten genannt. Auch Nodale Kubiken sind als singulare ebe-ne Kurven vom Grad 3 keine elliptischen Kurven.

x

y

Aufgabe 2.6.22:

Berechne die Schnittpunkte der elliptischen Kurve E : z30 + z3

1 + z32 = 3Θ(0,0),1(0)

Θ(0,6),1(0)z0z1z2 mitder ∞-fernen Geraden z0 = 0.

Losung: Ersetzt man z0 = 0 in der Gleichung von E, so erhalt man die Gleichung z31 +z3

2 = 0.Diese zerlegt sich in Linearfaktoren z3

1+z32 = (z1+z2)

(z1− 1

2 (1+√

3i)z2

)(z1− 1

2 (1−√

3i)z2

)= 0.

Somit sind P1 = (0 : −1 : 1), P2 = (0 : 12 (1 +

√3i) : 1) und P3 = (0 : 1

2 (1 +√

3i) : 1) die∞-fernen Punkte von E.

Aufgabe 2.7.23:

Seien u und v ∈ C und n ∈ Zz + Z3. Zeige, dass in E = C/(Zz + Z3) gilt:

a) u = v genau dann, wenn u− v ∈ Zz + Z3.

b) n = 0.

c) u+ v = u+ v.

Losung:

a) u = u+ Zz+ Z3 und v = v+ Zz+ Z3. Also u+ Zz+ Z3 = v+ Zz+ Z3 genau dann, wennu− v ∈ Zz + Z3.

b) n = n+ Zz + Z3 = Zz + Z3 = 0, da n ∈ Zz + Z3.

c) u+ v = u+ Zz + Z3 + v + Zz + Z3 = u+ v + Zz + Z3 = u+ v.

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Anschrift des Autors:Prof. Dr. Christina BirkenhakeDepartment Mathematik - Universitat Erlangen-NurnbergBismarckstraße 1 1

2D-91054 [email protected]://christina.birkenhake.net

Eingereicht am 15. April 2008