AIIgemeine Integration einiger partieller Differentialgleichungen der mathematischen Physik dutch Quaternionenfunktionen Von M. EmKL~.R, G6ttingen

Einleitung 1. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist es, die yon Herrn Fueter ins

Leben gerufene Funktionentheorie einer Quaternionenvariablen yon einigen elementaren aber gleichwohl noch nicht beachteten Gesichts- punkten her zu beleuchtenl). Diesen Gesichtspunkten liegen die folgenden beiden Fragen zugrunde: 1. Welche Bedeutung haben die reguli~ren Quaternionenfunktionen ffir die Auffindung allgemeiner Integrale be- kannter partieller Differentialgleichungen der mathematischen Physik, oder was ftir Differentialgleichungen yon physikalischer Bedeutung lassen sich mittels regul~rer Quaternionenfunktionen allgemein integrieren? 2. Was f'tir Darstellungsarten yon praktischem Weft gibt es fiir Quater- nionenfunktionen in der Umgebung einer regul~ren Stelle ? Naturgem~B kann yon einer vollst~ndigen Beantwortung keiner der beiden Fragen die Rede sein; hier werden im wesentlichen nur Ans~tze aufgezeigt, die in sp~teren Ver0ffentliehungen zu vertiefen und auszuwerten sind.

Um die in den einzeinen Formeln auftretenden Symmetrien und Unsymmetrien deutlich hervorzuheben, ftihren wit die folgenden Be- zeichnungen ein: die Grundvariable z wird als Summe ihres Realteils mit einem skalaren Produkt geschrieben:

2; ----- X -~ i1• 1 ~- i2X 2 -~ i3X3 ~ X ~- i~ mit i ~ (i 1, i s, i3), ~ -~- (Zl , X2, X3) ;

im gleichen Sinne schreiben wit

F(z) = / (z ) + if (z).

Die partiellen Ableitungen nach x bezeichnen wir dutch fibergesetzte Punkte, die bekannten Differentialoperatoren grad, div, rot, A sollen sieh stets nur auf die Variablen x~, x2, x3 beziehen. Die Regulariti~tsbedin- gungen fiir eine Funktion F(z) schreiben sich nun in der Form

1= div f

i - - - - - - g r a d / • x) Eine gewisse Vertrautheit mit dem Gegenstand wird vorausgesetzt; es eriibrigt sich

dann, far die einzelnen hier benutzten Haupts~tze aus der Theorie Literaturhinweise zu b ringen.

212

wo das obere Vorzeichen im Falle der Rechtsregularit~t, das untere im Falle der Linksregulariti~t zu stehen hat.

Falls F(z) yon x nicht abhiingt, erhMt man den Spezialfall

�9 v =0, / = 0 ,

rot [ = grad ] , i = 0 . (a)

Dies sind die Differentialgleichungen des station/~ren elektromagnetischen Feldes im unmagnetischen Leiter, wenn / d a s elektrische Potential und [ die magnetische Feldst/~rke bedeutet -- Materialkonstanten sind dabei durch passende Wahl des MaBstabes auf 1 normiert.

Ehae weitere Spezialisierung erh/~lt man, wenn auch rot [ = 0 ist. Dann gibt es bekanntlich eine Funktion g so, dab [ ----- grad g i s t ; 9 muff die Gleichung

A 9' ~- 0 (2a)

erfiillen. In diesem Falle ist also

F(z) = i grad g(r) , (2b)

wo 9(t) eine Potentialfunktion ist. F(z) beschreibt jetzt ein elektro- statisches Fold. Funktionen dieser Art wollen wir statisch nennen.

Weiter unten werden wir zeigen, dab auch zeitlich ver~nderte zwei- dimensionale elektromagnetische Felder Anlal~ zur Bfldung regul~rer Quaternionenfunktionen geben (Formel (16b)).

Funktionen, die sowohl rechts- wie linksreguli~r shad, wollen wir als zweiseitig reguldr bezeichnen. Ihre Komponenten geniigen den Diffe- rentialgleichungen

] = div [

i - - - - - - - g r ad / , r o t [ = O .

ist hiernach durch den Realteil f yon F eindeutig festgelegt, F selber jedoch nur bis auf eine statische Funktion.

Fiir die Rechnung sind die Symbole grad, div, rot bisweilen nicht praktisch, wir fiihren deshalb an ihrer Stelle neue Symbole ein:

a a a

a 0 a

213

Ffir reelle ~ fallen ~ und 8 ~ zusammen. Sind fe in reelles Skalar und f ein reeller Vektor, so gilt

~ ( i f ) = -- div f + i rot f , 8~ (if) ----- -- div f -- i rot f ,

sofern die notigen Differenzierbarkeits- und Stetigkeitsvoraussetzungen erffillt sind. Die Randwertaufgabe /t~r zeitlich unverdnderliche elektromagnetische Felder.

2. Es sei (ii irgend ein beliebiges endliches Gebiet im ~-Raum, sein Rand 91 midge aus einer endlichen Anzahl glatter Fl~chen bestehen. Dann kann man die den Gleichungen (1) und (2) genfigenden Funktionen und damit ihre Komponenten durch ihre Werte auf 9t ausdrficken. Der Ausdruck, der dies leistet, ist auf einem anderen Wege yon Moisil und Th~odoreseo la) bewiesen worden; er ergibt sich durch eine leichte Rech- nung aus der Fueterschen Integrafformel.

Zur Durchffihrung dieser Rechnung bezeichnen wir mit 91i den Rand des Gebietes im (x, ~)-Raume, welches aus allen Punkten aus ffi und mit beliebiger x-Koordinate besteht. Ferner sei

t = (el, e~, e3)

der nach irmen gerichtete Einheitsnormalvektor ffir 9l; er ist gleichzeitig der Einheitsnormalvektor ffir 91/, wenn man noch als die x-Komponente 0 hirmuffigt. SehlieBlieh sei deo das Oberfl~chenelement yon 91, dann ist deodx das Oberttachenelement yon 91( Ist nun 3 irgend ein innerer Punkt yon ~i, so besagt die Fuetersche Integralformel

yt. r

wobei dZ = i r &o dr,

ist. Es ist also

91 N u n ist

h ( (x -~- [ ( ~ - - ~))-1) = __ 4 X - - I ( ~ - - ~ ) , + - -

und die Integration fiber x li~Bt sich in geschlossener Form ausftihren:

la) Gr C. Mo~sil et N. Th&~/oresco, F o n c t i o n s h o l o m o r p h e s dans l 'espace , Mathematica 5 (1931), p. 142.

214

Wegen

f ~ (x' + (~ - - 8)~) ~- = 0 ,

-boo -t-oo

f _ , f (x* + (x - - a)*)'- I~ - - 813 ( x ' + 1) *

( x * + l ) * - - 2 ( x * + l ) * - - (~*+~)* --or 0 0

d ; ~ _ 1

(x -2 + 1)* 0

erhglt man

dx (x* + ]) 2

-~-oo 1# 8=2 (t) ( i r)a(( :~ + i ( x - - 8 ) ) - l ) d x

--oo

= _1 - - / . r ( x - - 8 ) - - [ f , q (x - -8)+ i ( / [ r ,x - -~ ] - - f i r ) (x--8) + [[f,rJ,x--3]).

Es ist also im Falle des stat iongren Feldes

I x - - z 4~ I~ - -~1 ' ~ (3)

f (8 )= T _ J [ [ r , ~ - - ~ ] - - (f r) (* - - 8) + [ [ f , r ] , ~ - -~ ] d o ) 1~--813

~1: dco-- 5 rot f " + t,,,l ~

Werden [ und [ auf ~R beliebig stetig gegeben, so s ind/ (8) und [(8) Real- und Imagin~rteil einer im Inneren yon $ rechtregul~ren Quater- nionenfunktion, denn man kann die vorgenommene Integraltransfor- mation rtickgi~ngig machen und sich dann auf Bekanntes berufen.

Im Spezialfalle des statischen Feldes erhMt man

f(~) = T ~ f - - (f~) ( ~ - ~ ) + [I l~'~] ' ~ - ~ ] ~ = f'(3) + f"(~) (4)

215

mit

1 f f f r) ( t - - 3) do) - 1 grad f f' (~) C~/ j i i-----~/ ~= 1~--31

~11 (3)-~ ~--J[ [~ 'r] 'IT~ ~] do) -- 1 rot f If,r]

- - d o ) ,

- - d o ) .

(5)

Aus der ersten Formel (3) folgt noeh, weil der Realteil einer statischen Funkt ion verschwindet,

f If ,r] (~ - - ~) �9 i ~ - - ~ ] ~ do)----0 . ( 6 )

Ist wieder f auf 9~ beliebig stetig gegeben, so folgt aus (5)

div f ' (3 ) -~d iv ~"(3)----0 , rot ~'(3)----0 ,

1 f [,,r] do)_ rot ~"(3)----- ~ A 1 ~ - - 3 ~ ~ g r a d I ~ - - 3 1 3 do

1 [ If,r] (~--3) -- 4~ g r a d j I ~ -- ~ 13 do) ,

91

falls (6) erfiillt ist, stellt also sowohl It(3 ) wie [r~(3) den Imaginarteil einer im Inneren von (!i statischen Quaternionenfunktion dar.

Man zeigt mittels einer bekannten SchluBweise (vgl. Kellog, Founda- tions of Potential Theory, Berlin 1929, S. 162): n/~hert sich 3 auf der Normalen einem Punk t 3o auf ~, in welchem ~ und F----if zweimal stetig differenzierbar ist, yon innen bzw. yon aul~en, so streben die durch die Randintegrale definierten Funkt ionen F(3), f~(3), f~(3) Grenzwerten F(3o), ~1(30), ~II(3o) zu, fiir welche gilt:

F (30) = • d z ~ ( ( ~ - - i ~ o ) - l ) , 9V

- 1 1 f fr ~'(3o)'~ = • ~(3o). r - - ~ grad j ix__3ol do). r , (5a)

[f"(~o), r] = • [f(~o) , ~ ] - - ~ rot I~- -~ol do) , r ,

und die drei auf den reehten Seiten stehenden Integrale existieren trotz der Unstet igkei t der Integranden. f(3) maeht also einen Sprung an ~, und zwar n immt f'(3) die Normalkomponente und f"(3) die Tangential-

2 1 6

komponente des Sprunges auf. Infolgedessen ist die Tangentialkompo- nente yon f'(3) und die Normalkomponente yon f"(3) auf 9{ stetig.

Man kOnnte auf die Formeln (Sa) eine parallele Behandlung der beiden ersten Randwertaufgaben der Potentialtheorie grfinden : durch AuflOsung der ersten dieser Gleichungen nach f r gewinnt man in bekannter Weise (siehe etwa das genannte Buch yon Kellog) eine Potentialfunktion, deren Feld eine auf 9{ vorgeschriebene Normalkomponente hat. Dutch Auf- 10sung der zweiten Gleichung nach [f, r] wiirde man ein Feld mit vor- geschriebener Tangentialkomponente auf 9{ bekommen. Sind nun ftir eine zu konstruierende Potentialfunktion u (3) die Randwerte u (30) auf 9{ dreimal stetig differenzierbar vorgeschrieben, so bilde man den Fl~chen- gradienten yon u (30) auf 9{ und konstruiere ein Feld, dessen Tangential- komponenten gleich diesem Fl~chengradienten sind. Im Falle eines zu- sammenh~ngenden Randes 9{ 10st dann das Potential dieses Feldes die Randwertaufgabe bis auf eine Konstante. Leider muB man bei der so skizzierten LOsung der Randwertaufgabe eine Reihe yon Differenzier- barkeitsbedingungen stellen, die der Natur des Problems nicht ange- messen sind.

3. Wir leiten jetzt noch die Poissonsche Integralformel flit die drei- dimensionale Kugel her. Ihr Rand werde mit R bezeichnet, und Rr be- deute den Rand desjenigen Gebietes im vierdimensionalen (x, ~)-Raum, das aus allen Punkten dieser Kugel nfit beliebiger x-Koordinate besteht. Dann gilt wieder

F(5) : i~ (5) :

- - 8 ~ ( i f )dZA((~+i(~--5)- l)-= 2 2 i f d Z ( ~ + (~__~)2) (7) St' ~ '

mit dZ : - - r i t d e d x (rr : - - ~ ) ,

wo r den Radius yon ~ und d~ das Oberfl~chenelement der dreidimen- sionalen Einheitskugel bedeutet. Ahnlich wie bei der Iterleitung der Poissonschen Formel ffir die vierdimensionale Kugel ~) teilt man dies Integral in Summanden auf: es ist gleich

f if. ( i ~ - - i 3 ) (i3) 1 . ]~1~--]5]~ rdqdx-{ - t f r d q d x 2 ~ tf (x* + (~ - - 5)*)* ~ (** + (~ - - 5)*)*

+ i~ (x~ + (~--5}~) ~

~) R . Fueter, Z u r Theor i e der reguli~ren F u n k t i o n e n e iner Q u a t e r n i o n e n - v a r i a b l e n . Mh. Math. Phys. 48 (1939).

217

Das dritte Integral verschwindet wegen Nr. 2 nach Ausfiihrung der Inte- ragtion fiber x. Das erste ergibt das Poissonsche Integral

r~ - - I ~ I ~ fir de r 4 ~ I x - - s I ~

Das zweite wird gleich

und formt sich mittels der ftir u = i t , v = i 8 anzuwendenden Identitgt

( ~ - - G ) v lul ~(u l u l ~ Iv I ~ v)

l u - - v l ~ - , v l l u lUl~lv' ~vr um zu

( r, ) (ix) ix 18[~ i3 rde

1 r f i r r2

x + i l r2 )

I , V i~ r2 )~ r dq dx

1 r f 9 "2 = s=~ I ~ l a ( i f ) d z ~ ( ( ~ + i~ i~1 ~ i~)-0 �9

R'

Hier steht jetzt das Integral (7) fiir den Punk~ 3 z : T ~ 3, er liegt abet

auBerhalb yon $~v, mithin ist A ( ( x + i ( z - St)) -1) innerhalb yon R t linksregulgr, SoU F(8) = if(8) auch noch auf W regulgr sein, d. h. sollen die vorgeschriebonen Randwerte angenommen werden, so mul~ es iden- tisch verschwinden. Damit ist clio Poissonsche Formel

r ' - - 1 8 1 " f - - fd0 I' (8) f(8) ---- r 4 = I t - - bewiesen, a

Man weiB nun andererseits, daI3 der Poissonsche Integralausdruck die vorgeschriebenen Randwerte annimmt, wenn diese beliebig stetig auf R gegeben sind; also kann bAhauptet werden: im Falle der Kugel nimmt

2 1 8

die durch (3) bzw. (4) definierte Funktion F(3 ) = [(~) + if(~) die vor- geschriebenen Randwerte dann und nur dann an, wenn sie auBerhalb yon ffi identisch verschwindet. Dieses Kriterium gilt auch fiir ein beliebiges GebietXa), falls dieVoraussetzungen fiir die Gfiltigkeit yon (5a) erfiillt sind, wie man diesen Formeln unmittelbar entnimmt.

Zum SchluB dieses Abschnittes sei noch darauf hingewiesen, dab die im ganzen Auflenraum yon R einschlieBlich des unendlich fernen Punktes regul~re Potentiaffunktion u, die auf R dieselben Werte wie die innerhalb yon R regulate Funktion u annimmt, durch den Ausdruck

gegeben ist. Dies folgt durch doppelte Anwendung obiger Umformung. -- In dem von Herrn Fueter betrachteten vierdimensionalen Falle "~) gilt das zuletzt Gesagte in analoger Weise.

Potenzreihenentwicklungen

4. Wir gebrauchen durchweg die folgenden Bezeichnungen:

(n l , n2, 33) = 1t, (tl , t2, t3) = t (reelle Komponenten)

n ! = n l ! n~! n~! , t" --- t~' t~' t~' ,

(:) (~ (~ ~--- 31 3~ n a - - 1t! ( m - - l t ) ! '

[ t ~ ] ~ t ~ - - i t X ~ Xl t 1 ~ X2t 2 -~- X353 - - (i151 -~- i2 t2 ~ i s ta)X .

Femer schreiben wit die Fueterschen Polynome Pm n. ~. (z) als symbolische Potenzen und definieren sie, etwas abweichend yon der Fueterschen Erkl~krung 3) durch

u!

wobei tiber alle ~ versohiedenen Anordnungen der ~ zu summieren |L'.

ist und die v~ die Werte I, 2, 3 beziiglioh n,, ns, n3 mal annehmen.

a) R. F u e t e r , ~ b e r die a n a l y t i s c h e D a r s t e l l u n g d e r r e g u l ~ r e n F u n k t i o n e n e i n e r Q u a t e r n i o n e n v a r i a b l e n . Dieses Journal 8 (1936}.

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Die Abweichung wird durch gewisse Analogien zwischen den gew6hn- lichen Potenzen im Kommutat iven und den symbolischen Potenzen im Quaternionensystem gerechtfertigt, welche in den Formeln

0< t> n ! Z n

a~, (n - - r)! und besonders in

(z + w)" =

zutage tritt .

5. Die fiberall absolut konvergente Reihe

~ n - - r

<r>=o ---- < r > = o \ r )

<.> =o ~ . z"

w~z.-~ (9)

stellt eine ganze zweiseitig regulgre Funktion dar. An der Stelle z = 0 stimmen die Ableitungen aller Grade dieser Funktion nach den x v mit

regulgren den entsprechenden Ableitungen der ebenfalls zweiseitig Funktion

i t ettZl~__et~(cos I ~ [ x - - - ~ sin I~[ x)

fiberein, folglich ist [ t z ] - = i .

(10)

Aus der Reihenentwicklung und dem Additionstheorem dieser Funktion l~flt sich die ,,binomische Formel" (9) besonders einfach herleiten.

Die Gleichung (10) ist eine Zusammenfassung der Polynomidentitgten

[t z]'~ t" n! = Z z - . 0 1 )

Es gibt nun ebensoviele homogene Polynome t" in den Komponenten yon i yore Grade < u> = n, wie es Fuetersche Polynome vom Grade n gibt, ngmlich

( n + l ) ( n + 2 ) K . ~ 2 ;

alle d iese i n sind linear unabhgngig. Man kann daher K, Vektoren tl . . . . . iK, so bestimmen, dab die Determinante

It> 220

nicht verschwindet. Die Gleichungen (11), ftir alle diese tv angesetzt, lassen sich jetzt nach z n aufl0sen, es gibt also reelle c v so, dab

z- ------ X cv[tvz]~ (12)

ist; die c v h~ngen natiirlich von den iv ab.

Eine rechtsregul~re Funktion l~Bt sich deshalb auch nach gew0hn- lichen Potenzen entwickeln:

K n

F(z) = ~ X cn,v [{n, vz] n (13) n~O V=I

Diese Reihen sind Verallgemeinerungen der Reihenentwicklungen der regul~ren ,,analytischen" Funktionen. Ihre Bedeutung scheint gering zu sein, da in der Wahl der t~,v eine unendlich groBe Willkfir steckt. Au•er- dem werden die Reihen (13) i .a . nirgends absolut konvergieren; ein Beispiel hierftir liefert die Funktion

X 1 -~- X 2 F(z) =: (e ~. + e - ~ ) cos ~/---T- cos t/--- ~

x, 4-x~ sin x . a~(e~ + e-~.) cos ~ 1/~- '

auch Integralreihen

werden nirgends absolut konvergieren. Man beweist dies, indem man die Reihen (13) bzw. diese Integrale unter Annahme ihrer absoluten Kon- vergenz in eine Fourierreihe nach x entwickelt und dann das Verhalten der Koeffizienten als Funktionen yon ~ betrachtet.

6. Die symbolische Potenzreihe

F ( z ) = ~ c ,z n <,> =0

ftir eine rechtsreguli~re Funktion konvergiert bekanntlich in jeder im Regularit~tsbereich gelegenen Kugel gleichm/~l~ig absolut, d. h. ffir eine

solche Kugel t z ] < r

gibt es zwei Konstanten c, ~ so, dab ftir hinreichend groBes (n>

[cn]<c< n>, [ z n i < e (n> , c # < 1

ist. Wit setzten nun

221

x ~ x<n> z " = a . , o ( ~ ) + xa. , l (~) + --~-i(a.,~(~) -4- " " -4- <--~. a., <.> (~)

und sch~tzen die a., v ab: Es ist fiir

x = 0 , Izl = l t l < r

I a . , l (~) I < e <"> ,

I ~ ] ~x = la . x(x) I = z"-eviv < 3<n>O <">-x

. . . , . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

l ak z" - - 3~ ax �9 - - [ a . , k ( ~ ) ] < ( < k > ) 0 <">-~,

wobei e~ = (1, O, 0), e~ = (0, 1, 0), ea = (0, O, 1)

gesetzt wurde. Die Reihen

~ ( ~ ) = Z: ~a.,~(~) <.> =o

sind also gleichm/~Big absolut konvergent, und nach dem Doppelreihen- satze gilt im Sinne absoluter und gleiehm~lliger Konvergenz

~ r t

$'(z) = Z ~T, ~ . (x) . n ~ O

Man erkennt ferner, diese Reihe kann gliedweise beliebig oft naeh allen Variablen differenziert werden, da dies ftir die symbolische Potenzreihe erlaubt ist. Die Regularitatsbedingung ergibt dann die Relationen

~ . A- ~n+l : 0 ,

es gilt also in jeder im Regularit~tsbereieh gelegenen Kugel

F(z) = (-- 1)- a~F(i~) = e- 'aoF(i~) . (14) n ~ 0

Man kann diese Reihen bequem zur Berechnung der Fuetersehen Polynome ben~tzen. Es ist ni~mlieh

z n = t " ffir x = 0 ,

setzt man diese in (14) ein, so erhalt man fast ohne Rechnung

222

�9 " = z', 1)<'> ( " )

3 ( "4- ~ i v ~ X < 2 t > + l t l t - - 2 t - - e v ( - - 1) < t > + l

(15) u ~ (2r-i- ev)! <r>!

2 r + e ~ ] <2 r+e~>! r! '

die Summe ist tiber alle r > (0, 0, 0) zu erstrecken, flit welche keine negativen Variablenpotenzen auftreten4).

7. Die Theorie der reguli~ren Quaternionenfunktionen ist ein hervor- ragendes Mittel, allgemeine Siitze tiber die Integrale der Differential- gleiehungen

3 0 2 U

Z a,v 0xg 0x-----~ - - 0 (a,v ---~ avg , [a,~ I ~-- ~ 1) (16) p,,vffil

zu beweisen, wenn die a ~ konstant sind. Durch eine lineare Variablen- substitution kann man diese Gleichungen auf eine der Formen

A u = 0 , (16a)

0~ a2 a2 Ox--Tu + -~x~ U --~ Ox---~u (x---~-x3) (16b)

bringen. Im Falle der Sehwingungs- oder Wellengleichung (16b) ist es nOtig, sich auf solche Integrale zu beschr/~nken, die sich in einem gewissen Gebiet nach der Zeit x in eine Potenzreihe entwickeln lassen:

oo Xn U(Xl, X2, X) = Z ~ U n ( X l , X,) .

n ~ 0 �9

Im Falle (16a) ist F( i t ) = ~u(~) ,

im Falle (16b) 0

F(x + i t) = %-x R (u (x~, x~, x + x3 i~ t/Y) )

(17)

(18a)

(18b) - - ~ R ( u ( x l , x 2 , x + x3i31/2))

eine zweiseitig regul~re Quaternionenfunktion (R bedeutet den Realteil).

4) Die Formel weicht naturgem~fl yon der durch B. Schuler (Zur T h e o r i e d e r r e g u l ~ r o n F u n k t i o n e n e i n e r Q u a t e r n i o n e n v a r i a b l e n , diesos Journal 10 (1938)) gegebenen ab, da wir hier eine etwas andere Definition der Fueterschen Polynome zu- grunde legen. Daneben ha t aber der Imagin~rteil ein anderes Vorzeiehen erhal ten; dal3 das yon Schuler angegebene nicht r ichtig sein kann, best&tigt man auch leicht durch Priifung an der Regulariti~tsbedingung.

223

Diese Funktionen lassen sich jetzt in Potenzreihen

1 a<n> F = ~ . ! F(0)~- (19) <. > =o a~"

entwickeln, aus denen man Entwicklungen von ~eu bzw. u --- R ( F ( x +

i lxi + i2 x2)) nach homogenen Polynoml0sungen yon (16) gewinnen kann. Wir betraehten den Fall (16a) besonders. Zuni~chst erkennt man, dab

die einzelnen homogenen Bestandteile

1 0<"> L(i~) = Z F(0) z.

<.>=n lt! 01n

yon (19) die Variable x nioht enthalten k0nnen, weil F( i l ) yon x nioht abhAngt; sie mfissen also in der Form

L (i ~) = ~ u.+l (t)

durch reelle homogenen Polynome u,+l(~ ) vom Grade n + 1 darstellbar sein; diese u,+l(t ) sind Laplacesche Kugelfunktionen der Ordnung n + 1. Damit haben wit die MOglichkeit erhalten, die bekannten S~tze fiber die Entwicklung yon Potentialfunktionen nach Kugelfunktionen besonders einfach herzuleiten. Auch der geli~ufige Satz, dab auf dem Rande der Konvergenzkugel mindestens eine Singularit~t liegt, fibertri~gt sich auf die Potentialfunktionen, w~hrend dies ffir die in Reihen entwickelten L0sungen der Wellengleichung nicht zu gelten braucht, da in diesem Falle aus den Reihen (19) die Variable x a erst durch Nullsezten zu ent- fernen ist.

Die explizite Gestalt ftir die Reihenentwieklung yon Potentialfunk- tionen nach Kugelfunktionen h~ngt natfirlich yon der Wahl der Basis aller Kugelfunktionen ab. Besonders elegant sind die Entwicklungen der naehstehenden Form:

F( i t ) = ~ ( - - 1)"zanl+n~ F(0) i3(x 3 --~ i ix 2 - - i2:Vl)(nl'n2'~ ; nx,n~=O nl[ n2! ~X~ l aX~ t (20)

man erhMt diese Formel sofort aus (19), wenn man nur verifiziert, dab F( i t ) i 3 ---- (lq u (x~, x~, Xa)i3 eine reehtsregul~re FunkCion der Variablen x3 + i~ x2 -- i~ xl ist.

(Eingegangen den 4. Dezember 1939.)

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