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Arbeitsmaterialien (Bezeichnungen, Definitionen, atze, Beispiele, ¨ Ubungsaufgaben) zur Vorlesung Analysis I + II im SS 2007 und WS 2007/08 uberarbeitete Version des WS 1993/94 und SS 1994) FB Mathem., Univ. Siegen zusammengestellt von Prof. Dr. Hans-J¨ urgen Reinhardt

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Arbeitsmaterialien

(Bezeichnungen, Definitionen,

Satze, Beispiele, Ubungsaufgaben)

zur Vorlesung

Analysis I + II

im SS 2007 und WS 2007/08

(uberarbeitete Version des WS 1993/94 und SS 1994)

FB Mathem., Univ. Siegen

zusammengestellt von

Prof. Dr. Hans-Jurgen Reinhardt

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Inhaltsverzeichnis

1 Mengen und Abbildungen 1

1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Reelle Zahlen 6

2.1 Korperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Supremum und Infimum, das Vollstandigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Naturliche Zahlen, Prinzip der vollstandigen Induktion . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Einfache Anzahlaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7 Der Satz von Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.8 Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Der Korper der komplexen Zahlen 22

3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Der Korper C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Der Absolutbetrag in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Zahlenfolgen 25

4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Der Konvergenzbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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4.5 Wurzelberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Haufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Reihen 34

5.1 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 Die g–adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Stetigkeit 42

6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Einige Satze uber stetige Funktionen 46

7.1 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Existenz von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3 Gleichmaßig stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.4 Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunktionen . . . . . 49

7.5 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Differenzierbarkeit 52

8.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.3 Zur Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.4 Zum Newton–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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9 Einige Satze uber differenzierbare Funktionen 58

9.1 Charakterisierung von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.2 Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.3 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9.4 Anmerkung zu lokalen Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.5 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.6 Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10 Das Riemann–Integral 67

10.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.3 Ober– und Unterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.4 Riemann–Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6 Weitere Aussagen uber Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11 Integration und Differentiation 74

11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.4 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.6 Integrationsrezepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

12 Reihen von Funktionen 82

12.1 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

12.2 Gleichmaßige Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.3 Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenreihen . . . . . . . . 84

- iii -

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12.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

13 Metrische und topologische Raume 90

13.1 Metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

13.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

13.3 Stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

13.4 Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13.5 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

14 Vollstandige metrische Raume, Banachraume 98

14.1 Vollstandige metrische Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

14.2 Der Raum der beschrankten und stetigen Abbildungen . . . . . . . . . . . . 99

14.3 Normierte Raume; Banachraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

14.4 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

15 Der euklidische Raum Rn 102

15.1 Der Rn als normierter Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

15.2 Rn als euklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

15.3 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

15.4 Differenzierbare Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

16 Differenzierbarkeit im Rn 116

16.1 Hinfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

16.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

16.3 Vollstandige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

16.4 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

16.5 Die Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

16.6 Mittelwertsatze und Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

16.7 Der Taylorsche Satz und die Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

- iv -

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17 Der Satz uber implizite Funktionen 134

17.1 Der Kontraktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

17.2 Der Satz uber die inverse Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

17.3 Der Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

17.4 Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

17.5 Lagrangesche Multiplikatorenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

A Grundlagen der Aussagenlogik 152

B Theoretische Ubungsaufgaben

fur Mathematiker und Physiker zu Analysis I 156

C Theoretische Ubungsaufgaben

fur Informatiker zu Analysis I 190

D Theoretische Ubungsaufgaben zu Analysis II 204

Index 219

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Literatur

[Bla92] Blatter, C.Analysis 1, 2, Springer, 1991, 1992.

[End89] Endl, K. Analysis I, II, III. Studien-Texte Mathematik, Akadem. Verlagsges.1978,

1987, 1989.

[For01] Forster, O. Analysis 1, 2, 3. Vieweg, 1979, 1981, 2001.

[GF73] Grauert, H., Fischer, W. Differential- und Integralrechnung II. Heidelberger Ta-

schenbucher Bd 36, Springer, 1973.

[HRS93] Harbarth, K., Riedrich, T., Schirotzek, W. Differentialrechnung fur Funktionen

mit mehreren Variablen. Teubner, 1993.

[Heu02] Heuser, H. Lehrbuch der Analysis 1, 2. Teubner, 2001, 2002.

[KP93] Korber, K.-H., Pforr, E.-A. Integralrechnung fur Funktionen mit mehreren Varia-

blen. Teubner, 1993.

[KK91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 3: Differentialrechnung.

Fachbuchverlag Leipzig, 1991.

[KKr91] Kreul, M., Kreul, H. Mathematik in Beispielen. Band 4: Integralrechnung. Fach-

buchverlag Leipzig, 1991.

[Lan70] Landau, E. Grundlagen der Analysis. Wiss. Buchges., Darmstadt, 1970.

[PS93] Pforr, E.-A., Schirotzek, W. Differential– und Integralrechnung fur Funktionen mit

einer Variablen. Teubner, 1993.

[Rud98] Rudin, W. Analysis. Oldenbourg Verlag, 1998.

[SH95] Salas, S. L., Hille, E. Calculus. Einfuhrung in die Differential– und Integralrech-

nung. Spektrum, 1995.

[SGT99] Schafer, W., Georgi, K., Trippler, G. Mathematik–Vorkurs. Teubner, 1999.

[Wal04] Walter, W. Analysis 1, 2. Springer, 2002, 2004.

[WH99] Wenzel, H., Heinrich, G. Ubungsaufgaben zur Analysis 1, 2. Teubner, 1999.

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1 Mengen und Abbildungen

1.1 Aussagen

... sind entweder wahr (w) oder falsch (f) aber nicht beides.

Bezeichnungen

Junktor Sprechweise Symbol

Negation ... nicht ... ¬Konjunktion ... und ... ∧Alternative ... oder ... ∨Implikation ... wenn, dann ... =⇒Aquivalenz ... genau dann, wenn ... ⇐⇒

Akkurzungen: := , =: , :⇐⇒ , ⇐⇒:

Indirektes Beweisverfahren

(P =⇒ Q) ⇐⇒ (¬Q =⇒ ¬P )

1.2 Mengen

... sind Zusammenfassungen wohlbestimmter Objekte.

Definitionen: (A,B,C Mengen, A,B ⊂ C)

Teilmenge: A ⊂ B :⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)

Gleichheit: A = B :⇐⇒ A ⊂ B , B ⊂ AVereinigung: A ∪B := {x ∈ C|x ∈ A oder x ∈ B}Durchschnitt: A ∩B := {x ∈ C|x ∈ A und x ∈ B}Komplement: A \B := {x ∈ C|x ∈ A und x 6∈ B} (auch B′ := A B)

leere Menge: ∅ oder {}Rechenregeln (A,B,C Mengen)

(R1) A ⊂ B , B ⊂ C =⇒ A ⊂ C (Transitivitat von”⊂“)

(R2) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪ C (Assoziativgesetze)

(R3) A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C

- 1 -

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(R4) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetze)

(R5) A ∩B = B ∩A

(R6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (Distributivgesetze)

(R7) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(R8) (A,B ⊂ X) (Regeln von de Morgan)

(A ∪B)′ = A′ ∩B′, (A ∩B)′ = A′ ∪B′)

Definition: Potenzmenge P (A) (oder POT (A))

= Menge aller Teilmengen von A

einschließlich der leeren Menge ∅

Definitionen: (A,B Mengen)

(geordnetes) Paar: (a, b) mit a ∈ A, b ∈ B ;

(a, b) = (a′, b′) wenn a = a′ und b = b′ ;

Cartesisches Produkt A×B = {(a, b)|a ∈ A , b ∈ B}Rechenregel

(R9) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C) , A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

Beispiele von Mengen

N := {1, 2, 3, . . .} naturliche Zahlen

Z := {0, 1,−1, 2,−2, 3, . . .} ganze Zahlen

Z+ := N0 := {0, 1, 2, . . .}Q :=

{ab

∣∣ a, b ∈ Z, b 6= 0

}rationale Zahlen

1.3 Funktionen, Abbildungen (A,B Mengen)

f : A −→ B , A = Definitionsbereich, B = Bildbereich

Bezeichnung: f : A ∋ x 7→ f(x) ∈ B

Definition: Graph von f

graph f := {(a, b)|a ∈ A , b = f(a)}

Beispiel: A := B := Q , f : A ∋ x 7→ 12x− 1 ∈ B

Satz 1 Seien A,B Mengen, G ⊂ A×B. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

- 2 -

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-

Q

f(x)

6

x�������������������������

• (x, f(x))

a) Es gibt eine Abbildung f : A→ B mit graph f = G.

b) Zu jedem a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ G.

Definitionen: (f : A −→ B , X ⊂ A , Y ⊂ B)

Bild von X unter Abb. f : f(X) := {f(x)|x ∈ X}Urbild von Y unter Abb. f : f−1(Y ) := {x ∈ A|f(x) ∈ Y }

Rechenregeln (f : A −→ B , X1,X2 ⊂ A , Y1Y2 ⊂ B)

(R1) X1 ⊂ X2 =⇒ f(X1) ⊂ f(X2)

(R2) f(X1 ∪X2) = f(X1) ∪ f(X2)

(R3) f(X1 ∩X2) ⊂ f(X1) ∩ f(X2)

(R4) Y1 ⊂ Y2 =⇒ f−1(Y1) ⊂ f−1(Y2)

(R5) f−1(Y1 ∪ Y2) = f−1(Y1) ∪ f−1(Y2)

(R6) f−1(Y1 \ Y2) = f−1(Y1) \ f−1(Y2) , falls Y2 ⊂ Y1 .

Bezeichnungen: Quantoren

Notation Sprechweise

∀a ∈ A”fur alle Elemente a in A“

∃a ∈ A”es existiert a ∈ A“

∃!a ∈ A”es existiert genau ein a ∈ A“

∀a ∈ A(P )”fur alle a ∈ A ist P wahr“

∀a ∈ A(P )”fur alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“

∀a ∈ A : P”fur alle Elemente a ∈ A gilt Aussage P“

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Bemerkung: Unter Benutzung von Quantoren lassen sich die aquivalenten Bedingungen

von Satz 1 wie folgt formulieren:

a) ∃f : A −→ B : graph f = G

b) ∀a ∈ A ∃! b ∈ B : (a, b) ∈ G

Die letzte Bedingung b) — und damit auch a) — sagt, daß eine Abbildung immer wohl-

definiert (oder wohlbestimmt) ist, was man noch aquivalent schreiben kann als

∀a, a′ ∈ A : a = a′ =⇒ f(a) = f(a′)

oder aquivalent als

∀a, a′ ∈ A : f(a) 6= f(a′) =⇒ a 6= a′ .

Definitionen: (A,B Mengen, f : A −→ B Abb.)

f surjektiv :⇐⇒ ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f(a)

f injektiv :⇐⇒ ∀a, a′ ∈ A : a 6= a′ =⇒ f(a) 6= f(a′)

f bijektiv :⇐⇒ f injektiv und surjektiv

identische Abbildung

idA : A ∋ x 7→ x ∈ A

Hintereinander–Ausfuhrung

g ◦ f (A,B,C Mengen, f : A −→ B , g : B −→ C)

A ∋ x 7→ g(f(x)) ∈ C

Bemerkung: Die Injektivitat laßt sich auch wie folgt charakterisieren,

∀ a, a′ ∈ A : f(a) = f(a′) =⇒ a = a′ .

Man beachte den Unterschied zur Wohlbestimmtheit.

Rechenregeln

(R7) idB ◦ f = f ◦ idA(R8) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (Assoziativgesetz)

- 4 -

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Satz 2 Sei f : A −→ B Abbildung. Es gelten folgende Aquivalenzen:

f injektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A : g ◦ f = idA

f surjektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A : f ◦ g = idB

f bijektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ A :

g ◦ f = idA und f ◦ g = idB

Definition: (f : A −→ B bijektiv)

Umkehrabbildung f−1 : f−1 ◦ f = idA , f ◦ f−1 = idB Bem.: f−1

ist eindeutig bestimmt.

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2 Reelle Zahlen

2.1 Korperaxiome

In R sind zwei Operationen”Addition“ und

”Multiplikation“ erklart, d.h. jedem Paar (a, b)

von Elementen aus R ist genau ein Element a + b ∈ R (Summe) und genau ein Element

a · b ∈ R (Produkt) zugeordnet. Dabei gelten die folgenden neun Korperaxiome.

(A1) a+ (b+ c) = (a+ b) + c Assoziativitat

(A2) ∃ neutrales Element der Addition 0 ∈ R (”Null“)

mit a+ 0 = a fur alle a ∈ R.

(A3) ∀ a ∈ R ∃ additiv inverses Element (−a) ∈ R mit

a+ (−a) = 0.

(A4) a+ b = b+ a Kommutativitat

(A5) (ab)c=a(bc) Assoziativitat

(A6) ∃ neutrales Element der Multiplikation 1 6= 0 (”Eins“) mit

a · 1 = a fur alle a ∈ R.

(A7) ∀ a 6= 0, a ∈ R, ∃ multiplikativ inverses Element a−1 ∈ R mit

a · a−1 = 1.

(A8) ab=ba Kommutativitat

(A9) a(b+ c) = ab+ ac Distributivitat

Folgerung 1 Die neutralen Elemente sind eindeutig bestimmt.

Folgerung 2 Die inversen Elemente (−a) und a−1 sind eindeutig bestimmt.

Folgerung 3 Fur zwei Zahlen a, b ∈ R hat die Gleichung a + x = b genau eine Losung

x = b + (−a). Entsprechend hat die Gleichung ax = b fur a 6= 0 genau eine Losung

x = a−1b.

Folgerung 4 ab = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 01

Schreibweise:a

c:= c−1a fur c 6= 0; b− a := b+ (−a).

Regeln des Bruchrechnens:a

c+b

d=ad+ bc

cd,a

c· bd

=ab

cd,a/c

b/d=ad

bc.

Definitionen:1∨ oder ; ∧ und (s. Anhang A)

- 6 -

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(a) Sei K ein Korper. K1 ⊂ K heißt Unterkorper von K, wenn K1 mit arithmetischen

Operationen von K ein Korper ist.

(b) Seien K1,K2 Korper. Eine Abbildung ϕ : K1 −→ K2 heißt Homomorphismus, wenn

gilt:

ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y) , ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y) , x, y ∈ K .

Lemma 5 Seien K1,K2 Korper, ϕ : K1 −→ K2 Homomorphismus. Dann gilt:

(a) ϕ(0) = 0 , ϕ(−x) = −ϕ(x) ∀x ∈ K1 .

(b) Gibt es ein x ∈ K1 mit ϕ(x) 6= 0, so gilt

ϕ(1) = 1 und ϕ(x−1) = ϕ(x)−1 ∀x ∈ K∗1 ;

ferner ist ϕ dann injektiv.

2.2 Anordnungsaxiome

Es existiert eine Teilmenge P von R, genannt Menge der positiven Zahlen , mit den nach-

folgenden Eigenschaften:

(A10) Fur jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a ∈ Poder −a ∈ P oder a = 0.

(A11) Sind a und b aus P , so ist auch a+ b aus P .

(A12) Sind a und b aus P , so ist auch ab aus P .

Bezeichnung: a positiv , wenn a ∈ P ; a negativ , wenn −a ∈ P .

Definition: a > b (oder b < a), falls a− b ∈ P fur a, b ∈ R. a ≥ 0 bzw. a ≤ 0, wenn

a > 0 oder a = 0 bzw. a < 0 oder a = 0.

Bezeichnung: a heißt nichtnegativ , wenn a ≥ 0.

Trichotomiegesetz: Fur je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der drei Beziehungen

a < b, a = b, a > b .

Rechenregeln

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(R1) Aus a < b folgt −a > −b.(R2) Aus a < b folgt a+ c < b+ c.

(R3) Aus a < b folgt b < c folgt a < c (Transitivitat).

(R4) Aus a < b und c < d folgt a+ c < b+ d; aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd.

(R5) Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc; aus a < b und c < 0 folgt ac > bc.

(R6) Aus a 6= 0 folgt a2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0.

(R7) Aus a > 0 folgt 1a > 0, aus a < 0 folgt 1

a < 0.

(R8) Aus 0 < a < b folgt ab < 1, ba > 1 und 1

a >1b .

(R9) Aus a < b und 0 < λ < 1 folgt a < λa+ (1 − λ)b < b.

Bemerkungen:

1) P 6= ∅, da 1 ∈ P .

2) Es gibt außer 0 und 1 weitere Zahlen 2 := 1+1, 3 := 2+1 usw. Wegen 0 < 1 < 2 < 3

gilt 0 < 13 <

12 < 1.

Bezeichnung: Arithmetisches Mittel von a und b : 12(a+ b)

Noch eine Rechenregel:

(R10) Aus a < b folgt a < 12(a+ b) < b.

2.3 Supremum und Infimum, das Vollstandigkeitsaxiom

Definition: (∅ 6= A ⊂ R)

(a) A heißt nach oben beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : a ≤ b ;

b heißt dann eine obere Schranke von A. (Schreibweise: A ≤ b)

(b) A heißt nach unten beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : b ≤ a ;

b heißt dann eine untere Schranke von A. (Schreibweise: b ≤ A)

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(c) A heißt beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ K ∀a ∈ A : −b ≤ a ≤ b ;

b heißt dann eine Schranke von A.

Ist eine obere bzw. untere Schranke gleichzeitig Element von A, so heißt dieses maximales

Element (oder Maximum) bzw. minimales Element (oder Minimum) von A.

Beispiele:

(a) Die Menge N der naturlichen Zahlen ist nach unten beschrankt (1 ist Minimum).

(b) Endliche Teilmengen von R sind beschrankt.

Definitionen: (∅ 6= A ⊂ R)

(a) x ∈ R heißt Supremum (auch: obere Grenze) von A

:⇐⇒ i) x ist obere Schranke von A ;

ii) wenn y obere Schranke von A , dann gilt x ≤ y .

(Wir schreiben dann: x = supa∈A a oder x = supA)

(b) x ∈ R heißt Infimum (auch: untere Grenze) von A

:⇐⇒ i) x ist untere Schranke von A ;

ii) wenn y untere Schranke, dann gilt y ≤ x .

(Wir schreiben dann: x = infa∈A a oder x = inf A)

Folgerung 6 Sei ∅ 6= A ⊂ R. Supremum und Infimum sind eindeutig bestimmt, falls sie

existieren.

Definition: Der Korper der reellen Zahlen ist ein Korper (R,+, ·), in dem gilt:

(A) R ist angeordnet durch eine Menge P ;

(V) Jede nichtleere, nach oben beschrankte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.

Bemerkungen:

1. (A) heißt Anordnungsaxiom, (V) heißt Vollstandigkeitsaxiom.

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2. Aus (V) folgt: Jede nichtleere, nach unten beschrankte Teilmenge von R besitzt ein

Infimum.

3. Nach Folgerung 2 sind Supremum und Infimum eindeutig bestimmt.

Beispiel: Die Menge P der positiven Zahlen nach oben nicht bechrankt, jedoch nach

unten beschrankt. Es ist inf P = 0, jedoch besitzt P kein kleinstes Element.

Wir halten fest:

(a) 0 ∈ R Nullelement, −a Negatives von a ∈ R, 1 ∈ R Einselement,

a−1 Inverses von a ∈ R∗ := R \ {0}.

(b) Es ist definiert x > y :⇐⇒ x − y ∈ P ; damit auch ≥ , < , ≤ . Es gelten die

Rechenregeln (R1) – (R10) aus 2.2.

(c) Es sind induktiv definiert:

n · x : 1 · x := x , (n+ 1) · x := x+ n · x ,xn : x1 := x , xn+1 := x · xn .

(d) Es ist induktiv definiert (x ∈ R∗ = R \ {0} , n ∈ N0 := N ∪ {0}):

x0 := 1 , x−(n+1) := x−1 · x−n .

Definition: Vorzeichen und Absolutbetrag von a ∈ R

sgn a =

1 fur a > 0

0 fur a = 0

−1 fur a < 0

heißt Vorzeichen von a.

|a| = a · sgn a =

a fur a > 0

−a fur a < 0 .

heißt Betrag oder Absolutbetrag von a.

Fur reelle Zahlen a, b gelten die folgenden Rechenregeln:

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(R1) Fur a 6= 0 ist |a| > 0.

(R2)∣∣|a|∣∣ = |a|.

(R3) Es ist a = b genau dann, wenn |a| = |b| und sgn a = sgn b ist.

(R4) sgn a · sgn b = sgn (ab) und |a||b| = |ab|.(R5) Fur b 6= 0 ist

sgn a

sgn b= sgn

a

bund

∣∣∣a

b

∣∣∣ =

∣∣∣a

b

∣∣∣.

(R6) Dreiecksungleichung: |a+ b| ≤ |a|+ |b|und Folgerung

∣∣|a| − |b|

∣∣ ≤ |a− b|.

(R7) |a| ≤ γ ⇐⇒ −γ ≤ a ≤ γ.

Definition: Unendlich

Wir setzen supA = ∞ bzw. inf A = −∞ wenn A nicht nach oben be-

schrankt bzw. A nicht nach unten beschrankt ist.

R = R ∪ {−∞,∞}erweiterte Zahlengerade .

Rechenregeln fur −∞,∞(x ∈ R):

∞+ x =∞, −∞+ x = −∞

∞ · x =∞ fur x > 0, ∞ · x = −∞ fur x < 0

x

∞ =x

−∞ = 0

∞+∞ =∞ ·∞ =∞

Beachte, dass ∞−∞ und 0 · ∞ nicht definiert sind.

Definitionen: Intervalle (a, b ∈ R, a < b)

[a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall,

(a, b) := {x ∈ R| a < x < b} offenes Intervall,

[a, b) := {x ∈ R| a ≤ x < b} (nach rechts) halboffenes Intervall,

(a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b} (nach links) halboffenes Intervall.

(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}, [a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a}

abgeschlossene unbeschrankte Intervalle;

(−∞, a) := {x ∈ R|x < a}, (a,∞) := {x ∈ R|x > a}

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offene unbeschrankte Intervalle.

Ein Interval heißt kompakt , wenn es beschrankt und abgeschlossen ist.

Definitionen: Umgebungen

Bε(a) := (a− ε, a+ ε) ε-Umgebung von a (ε > 0)

U heißt Umgebung von a, wenn ein ε > 0 existiert mit Bε(a) ⊂ U.

Definitionen:

N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , }

Z = {z ∈ R|z ∈ N0 oder − z ∈ N0} ganze Zahlen

Q = {x ∈ R|x lost px = q mit p, q ∈ Z, p 6= 0} rationale Zahlen

Bemerkung: Q erfullt auch Korper- und Anordnungsaxiome; Q ist auch ein archimedisch

angeordneter Korper. Aber nicht jede nach oben (bzw. nach unten) beschrankte Menge in

Q besitzt ein Supremum (bzw. in Infimum) in Q.

Beispiel: A = {x ∈ Q| x2 < 2}, B = {y ∈ Q| y2 > 2}

A enthalt keine”großte Zahl“ (in Q) und A ist nach oben beschrankt (z.B. durch 2).

B enthalt keine”kleinste Zahl“ (in Q) und B ist nach unten beschrankt.

Satz 7 Es gibt keine rationale Zahl x mit x2 = 2.

2.4 Naturliche Zahlen, Prinzip der vollstandigen Induktion

Bezeichnung: (0, 1 ∈ R)

N =

1,

2︷ ︸︸ ︷

1 + 1,

3︷ ︸︸ ︷

1 + 1 + 1,

4︷ ︸︸ ︷

1 + 1 + 1 + 1, · · · ,

⊂ R

N0 := {0, 1, 2, 3, · · · , }

Definition: M ⊂ N ist induktiv , wenn 1 ∈M und, fur x ∈M , ist x+ 1 ∈M .

Bemerkung: N und N0 sind induktiv. x+ 1 heißt”Nachfolger“ von x.

Eigenschaften von N: Gilt fur M ⊂ N

- 12 -

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a) 1 ∈M und

b) x ∈M =⇒ x+ 1 ∈M

dann ist M = N.

Diese Eigenschaft heißt”Prinzip der vollstandigen Induktion“ oder

”Induktionsprinzip“ .

Darauf beruht die

”Beweismethode der vollstandigen Induktion“:

Eigenschaft E(n) ist richtig ∀ n ∈ N, wenn:

a) E(1) ist richtig (”Induktionsverankerung“ oder

”Induktionsanfang“ (IA)).

b) Fur jedes k ist unter E(k) (i.e.”Induktionsvoraussetzung“ (IV) oder

”Induktionsan-

nahme“) zu zeigen, dass auch E(k + 1) (i.e.”Induktionsbehauptung“ oder

”Induk-

tionsschluss“ (IS)) richtig ist.

Darauf beruht auch die”induktive Definitionsmethode“ :

Eine Eigenschaft E auf den naturlichen Zahlen N ist definiert, wenn:

a) E(1) ist definiert.

b) Falls E(k) definiert ist, laßt sich E(k + 1) definieren.

Beispiel: Potenzen x1 = x, xn+1 = x · xn; Fibonacci-Zahlen Fn.

Bemerkungen:

1) Das Induktionsprinzip ist aquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere Menge aus N

ein kleinstes Element besitzt.

2) Die vollstandige Induktion kann auch bei 0 oder einer anderen Zahl k0 > 0 beginnen.

Beispiele:

1) Induktiv beweist man die Summenformel : 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

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2) Nicht richtig ist die Aussage A(n) :”Sind n reelle Zahlen gegeben, so sind sie alle

gleich“. A(1) ist zwar richtig und man konnte von A(n) auf A(n+1) schließen, jedoch

ist A(1) eine leere Aussage und ohne Bedeutung; A(2) z.B. ist falsch.

Eigenschaften von N0:

(a) Es ist n = 0 oder n ≥ 1.

(b) m,n ∈ N0 =⇒ m+ n ∈ N, m · n ∈ N0.

(c) Falls m ≤ n, dann n−m ∈ N0.

(d) Zwischen n und n+ 1 liegt keine weitere naturliche Zahl.

Satz 8 N0 ist”wohlgeordnet“, d. h.

∀V ⊂ N0, V 6= ∅, ∃k ∈ V ∀x ∈ V : x ≥ k .

2.5 Einfache Anzahlaussagen

Bezeichnung: Nn = {1, . . . , n}

Definitionen: (A 6= ∅ Menge)

a) A hat n Elemente, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ Nn gibt. Wir schreiben:

card A = n oder #A = n. A heißt endliche Menge.

b) A heißt unendliche Menge, genau wenn es fur kein n ∈ N eine Bijektion f : A −→ N

gibt. Wir schreiben: #A =∞.

c) A heißt abzahlbar unendlich, genau wenn es eine Bijektion f : A −→ N gibt.

Beispiele:

1) #Nn = n

2) G := {m ∈ N|∃k ∈ N : m = 2k} gerade Zahlen

G ist abzahlbar unendlich;

Bijektion f : G ∋ 2k 7→ k ∈ N.

3) G := {a, b, c} , M := {d, e} , F = {f |f : G −→M Abb.}#F = 8

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Lemma 9 (M,N endliche Mengen). Es gelten die folgenden Aussagen:

1) ∃ Bijektion g : M −→ N =⇒ #M = #N

2) M ∩N = ∅ =⇒ #(M ∪N) = #M + #N

3) #(M ×N) = #M ·#N

Satz 10 Sei M endliche Menge, #M =: m. Dann gilt fur die Potenzmenge

#P (M) = 2m .

Definitionen: (M endliche Menge). Jede bijektive Abb. f : M −→ M heißt Permuta-

tion. Die Menge

SM := {f : M −→M |f bijektiv}

heißt symmetrische Gruppe von M .

Satz 11 Seien M,N endliche Mengen, m := #M , n := #N , und m ≤ n. Dann gibt es

genau

n · (n− 1) · · · · (n+ 1−m)

injektive Abbildungen f : M −→ N .

Definition: Produkte (induktiv)

1∏

k=1

k = 1,n+1∏

k=1

k =

(n∏

k=1

k

)

(n + 1)

Definition: n–Fakultat n!

0! = 1, 1! := 1 , (n+ 1)! := (n+ 1) · n!

Folgerung 12 (m := #M) #SM = m!

Wir bezeichnen mit I eine Indexmenge, d.h. eine endliche oder unendliche Teilmenge von

N; auch I = N ist moglich.

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Definition: (Xi ⊂ C Mengen fur i ∈ I)⋃

i∈IXi = {x ∈ C |x ∈ Xi fur mindestens ein i}

i∈IXi = {x ∈ C |x ∈ Xi fur alle i ∈ I}

Fur die Komplemente X ′i = C \Xi von Xi (in C) gelten die folgenden

”Regeln von de

Morgan“:

(⋃

i∈IXi

)′

=⋂

i∈IX ′i

(⋂

i∈IXi

)′

=⋃

i∈IX ′i

2.6 Primzahlen

Definition: m teilt n (m|n), genau wenn ∃k ∈ N : m · k = n

Rechenregeln (m,n, k ∈ N)

(R1) m|n =⇒ m ≤ n(R2) m|n , n|k =⇒ m|k(R3) m|n , m|k =⇒ m|(in + jk) ∀i, j ∈ N

Definition: p ∈ N Primzahl , falls

p 6= 1 und ∀m ∈ N gilt die Aussage: m|p =⇒ m = 1 ∨m = p .

Falls q ∈ N , q 6= 1 keine Primzahl, dann heißt q

zusammengesetzte Zahl .

Satz 13 a) Jede Zahl m ∈ N , m 6= 1, ist entweder Primzahl oder ein Produkt von

Primzahlen (”Faktorisierung in Primzahlen“)

b) Die Faktorisierung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

Satz 14 Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich.

Bemerkung: pn < 22n

, wobei pn = n–te Primzahl.

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2.7 Der Satz von Archimedes

Satz 15 (Satz von Archimedes) ∀a, b ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N : n · a > b.

Bemerkung: R ist ein archimedisch angeordneter Korper.

Folgerung 16 ∀a ∈ R , a > 0 , ∃n ∈ N :1

n< a.

Folgerung 17 ∀a, b ∈ R , a < b , ∃q ∈ Q : a < q < b.

Folgerung 18 ∀x ∈ R ∀ε > 0 ∃q ∈ Q : |x− q| < ε.

Lemma 19 (Charakterisierung eines Supremums) Sei A ⊂ R , A 6= ∅ , A nach

oben beschrankt, x ∈ R obere Schranke von A. Dann sind aquivalent:

(a) x = supa∈A a ,

(b) ∀ ε > 0 ∃a ∈ A : x− ε ≤ a.

Analog ist das Infimum einer nach unten beschrankten Menge charakterisiert durch

(a) y = infa∈A

a, (b) ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A : a ≤ y + ε .

2.8 Die Quadratwurzel

Satz 20 ∀b > 0 ∃!x ∈ R : x > 0 , x2 = b.

Bezeichnung: x = b1/2 oder x =√b (Quadratwurzel von b).

Bemerkung: Fur x := −√b gilt auch x2 = b .

Satz 21 ∀a ∈ R, a > 0, ∀n ∈ N, n ≥ 2 ∃!x ∈ R, x > 0 mit xn = a.

Bezeichnung: x := a1/n(n-te Wurzel von a).

- 17 -

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2.9 Permutationen und Binomialkoeffizienten

Frage: Wieviele Moglichkeiten gibt es, N Objekte auf r Platze zu verteilen?

Antwort: N · (N − 1) · · · (N + 1− r) =N !

(N − r)!

Frage: Wieviele Teilmengen von A , #A = N , mit r (≤ N) Elementen konnen aus-

gewahlt werden?

Antwort: in Satz 22.

Satz 22 Die Anzahl der Moglichkeiten, aus einer Menge von N Elementen Teilmengen

mit r Elementen auszuwahlen, ist gegeben durch

cN,r :=N !

(N − r)! r!

Definition: Binomialkoeffizienten

(n

k

)

:=n!

(n− k)! k! =n · (n− 1) · · · (n− k + 1)

k!

Satz 23

(n

0

)

=

(n

n

)

= 1 ,

(n

1

)

= n ,

(n

k

)

=

(n

n− k

)

,(n

k

)

=

(n− 1

k − 1

)

+

(n− 1

k

)

Ambesten be

rechnet mandie Binomialkoeffi

zienten mittels der Rekursion des vorstehenden Satzes, wo

bei man die Ergebnisse der einzelnenRekursionsschritte wie im folgenden Schema,

dem Pascalschen Dreieck , notiert:

- 18 -

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1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

(jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts daruberstehenden). Bekannt war die-

ses Dreieck schon den Arabern im 13. Jahrhundert, weiter studiert haben es insbesonders

Stiefel (1544) und Pascal (1659).

Satz 24 (Binomischer Lehrsatz) Seien a, b ∈ R , n ∈ N. Es gilt

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)

an−kbk .

Folgerung 25 (Bernoullische Ungleichung)

(1 + a)n ≥ 1 + na ∀a > −1 .

Beispiele:

1. Wahle zufallig 4mal aus den Ziffern {0, . . . , 9} eine Ziffer aus. Wie groß ist die

(Laplace–) Wahrscheinlichkeit, lauter verschiedene Ziffern zu erhalten?

Definition: Die (Laplace–)Wahrscheinlichkeit durch einen”Zufallsmechanismus“

aus einer endlichen Menge X ein Element einer Teilmenge B , B ⊂ X, auszuwahlen,

ist definiert durch

PL(B) :=#B

#X.

- 19 -

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Im Beispiel: A = {0, . . . , 9} , X = A×A×A×A,

B = {(w, x, y, z) ∈ X|w, x, y, z paarweise verschieden} .

Es gilt #X = 104 , #B = 10!/(10 − 4)! = 5040, also PL(B) = 0.504.

2. (ATP-WM) 2 Gruppen mit je 4 (Tennis–)Spielern.

Frage: Wieviele Spiele mussen pro Gruppe gespielt werden, damit jeder einmal gegen

jeden (seiner Gruppe) spielt?

Antwort:

(4

2

)

=4 · 31 · 2 = 6 .

3. Fur a = b = 1 folgt aus dem binomischen Lehrsatz

n∑

k=0

(n

k

)

= 2n .

Dies ist bekanntlich die Anzahl aller Teilmengen von {1, · · · , n}.

Definitionen: ( (R,+, ·) Korper der reellen Zahlen, aν ∈ R)

Summe

1∑

ν=1

aν := a1 ,

n+1∑

ν=1

aν :=

n∑

ν=1

aν + an+1 ,

n∑

ν=m

aν = 0 , falls n < m;

Produkt1∏

ν=1

aν := a1 ,n+1∏

ν=1

aν :=n∏

ν=1

aν · an+1 ,n∏

ν=m

aν = 1, falls n < m .

Rechenregeln (a1, . . . , am+n ∈ R, a ∈ R, b1, . . . , bm ∈ R)

(R1)

m∑

ν=1

aν +

n∑

ν=1

am+ν =

m+n∑

ν=1

(R2) a ·n∑

ν=1

aν =

n∑

ν=1

a · aν

(R3)m∑

ν=1

aν +m∑

ν=1

bν =m∑

ν=1

(aν + bν)

(R4)

(n∑

ν=1

)

·

m∑

µ=1

=

n∑

ν=1

m∑

µ=1

aν · bµ

=

m∑

µ=1

(n∑

ν=1

aν · bµ)

- 20 -

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Fur das Produkt∏

gelten analoge Regeln:

(R5)m∏

ν=1

aν ·n∏

ν=1

am+ν =m+n∏

ν=1

aν ;

(R6)

m∏

ν=1

aν ·m∏

ν=1

bν =

m∏

ν=1

(aν · bν) ;

(R7) a ·(

m∏

ν=1

)

=

m∏

ν=1

(a1/m · aν) , falls a > 0 ;

(R8)n∏

ν=m+1

aνaν−1

=anam

, falls m < n (”Teleskopprodukt“);

(R9)

n∑

ν=m+1

(aν − aν−1) = an − am , falls m < n (”Teleskopsumme“).

- 21 -

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3 Der Korper der komplexen Zahlen

3.1 Einfuhrung

Da der Korper der reellen Zahlen angeordnet ist, gibt es keine Losung a ∈ R von a2 = −1

(Quadrate mussen in angeordneten Korpern positiv sein!)

Die Losbarkeit von x2 = −1 ist aquivalent zu

x2 + 1 = 0 .

Allgemein interessiert man sich fur Nullstellen von Polynomen vom Hochstgrad n ≥ 2,

Pn :=

{

f : R −→ R

∣∣∣∣∣f(x) =

n∑

k=0

akxk , x ∈ R ,

mit a0, . . . , an ∈ R

}

.

Ziel: Erweiterung von R so, daß obige Gleichung losbar ist; Rechnen mit der imaginaren

Einheit i =√−1.

3.2 Der Korper C

Definitionen: (R2 := R× R)

Addition + : R2 ×R2 ∋ ((x, y), (u, v)) 7→ (x+ u, y + v) ∈ R2

Multiplikation · : R2 × R2 ∋ ((x, y), (u, v)) 7→ (xu− yv, xv + yu) ∈ R2

Satz 1 (R2,+, ·) ist ein Korper mit Nullelement 0 := (0, 0) und Einselement 1 := (1, 0).

Bemerkung: Das Inverse (u, v) von (x, y) 6= (0, 0) ist gegeben durch

u :=x

x2 + y2, v =

−yx2 + y2

Definition: C = Korper (R2,+, ·) ;

i := (0, 1) heißt imaginare Einheit

Folgerung 2

(a) C ist ein 2-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper R mit Addition wie oben

und skalarer Multiplikation r · (x, y) := (rx, ry). Basis: 1 = (1, 0) , i = (0, 1).

- 22 -

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(b) C ist ein 1-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper C. Basis: 1 = (1, 0).

Schreibweise: z = (x, y) ∈ C , z = x+ iy

Definitionen:

x = Re(z) Realteil von z

y = Im(z) Imaginarteil von z

Schreibweisen:

1 statt (1, 0) bzw. 1 + i · 0 ,0 statt (0, 0) bzw. 0 + i · 0 ,x statt (x, 0) bzw. x+ i · 0 ,ix statt (0, x) bzw. 0 + ix .

Folgerung 3

∀a ∈ R ∃z ∈ C : z2 + a = 0 .

Bemerkung: ι : R ∋ x −→ x+ i · 0 ∈ C ist injektiver Homomorphismus, so dass R als

Unterkorper von C aufgefasst werden kann.

3.3 Der Absolutbetrag in C

Definitionen:

(a) Zu z = x+ iy ∈ C heißt z := x− iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

(b) Die Abbildung

| · | : C ∋ x+ iy 7→ (x2 + y2)1/2 ∈ R

heißt der Absolutbetrag (Betragsfunktion) in C.

Rechenregeln

(R1) z1 + z2 = z1 + z2 , z1z2 = z1 · z2 , z = z ;

(R2) Re(z) =1

2(z + z) , Im(z) =

−i2

(z − z) ;

(R3) |z| = |z| = (z · z)1/2 ;

(R4) Re(z) ≤ |z| , Im(z) ≤ |z| .

- 23 -

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Folgerung 4 Fur |.| gilt

(a) |z| = 0⇐⇒ z = 0 (Definitheit)

(b) |zw| = |z| |w| ∀z,w ∈ C (Homogenitat)

(c) |z + w| ≤ |z|+ |w| ∀z,w ∈ C (Dreiecksungleichung)

Darstellung in komplexer Zahlenebene

(auch Gaußsche Zahlenebene genannt):

6Im

-Rex

y

-y

z

z

��

��>

ZZ

ZZ~

- 24 -

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4 Zahlenfolgen

4.1 Folgen

Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung f : N −→M .

Wir schreiben

a = (an)n∈N mit an := f(n) , n ∈ N .

Die Elemente an , n ∈ N, heißen Glieder der Folge.

Eine Folge (an)n∈N in M := R bzw. M := C heißt reelle bzw. komplexe Zahlenfolge.

Bis auf weiteres sei jede Folge eine reelle Zahlenfolge.

Beispiele:

1. an := n2 , n ∈ N : 1, 4, 9, 16, . . .

2. an := a , n ∈ N : a, a, a, . . .

konstante Folge

3. an := (−1)nn , n ∈ N : −1, 2,−3, 4, . . .

4. an := 1 + (−1)n , n ∈ N : 0, 2, 0, 2, . . .

5. an :=1

n, n ∈ N : 1,

1

2,1

3,1

4, . . .

6. a1 := 1 , an+1 :=1

1 + an, n ∈ N : 1,

1

2,2

3,3

5, . . .

7. a1 := a2 := 1 , an+1 := an + an−1 , n ∈ N : 1, 1, 2, 3, 5, . . .

Fibonacci–Zahlen

8. an :=1

(n− 1)(n − 2), n ∈ N , n ≥ 3 :

1

2,1

6,

1

12.

Diese Folge beginnt erst ab einem n0 ∈ N : an0 , an0+1, . . .

Definition: (an)n∈N heißt beschrankt

:⇐⇒ ∃b ∈ R ∀n ∈ N : |an| ≤ b .

- 25 -

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4.2 Der Konvergenzbegriff

Definitionen: Sei (an)n∈N Folge.

(a) (an)n∈N heißt konvergent gegen a ∈ R

: ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an − a| < ε.

a heißt dann Grenzwert (oder Limes) von (an)n∈N. Wir schreiben dann

a = limnan oder a = lim

n∈N

an oder an −→ a(n ∈ N) .

(b) (an)n∈N heißt konvergent, wenn (an)n∈N gegen ein a ∈ R konvergiert.

(c) (an)n∈N heißt Nullfolge

:⇐⇒ (an)n∈N konvergiert gegen 0.

Folgerung 1 Jede Folge besitzt hochstens einen Grenzwert.

Bemerkung: Konvergiert die Folge (an)n∈N gegen a, so kann man wegen Folgerung 1

sagen:

Fur jedes ε > 0 liegen nur endlich viele Glieder der Folge außerhalb von

(a− ε, a+ ε).

Oder: Fur jedes ε > 0 liegen fast alle an in (a− ε, a+ ε).

Folgerung 2 Ist die Folge (an)n∈N konvergent, so ist (an)n∈N beschrankt.

Definition: Ist eine Folge (an)n∈N nicht konvergent, so sagen wir: (an)n∈N ist divergent.

Beispiele:

1. an := n2 , n ∈ N, ist divergent, da nicht beschrankt.

2. an := a , n ∈ N, ist konvergent gegen a.

3. an := 1 + (−1)n , n ∈ N, ist divergent, da |an − an+1| = 2 ∀n ∈ N.

4. an :=1

n, n ∈ N, ist Nullfolge.

5. an := an , n ∈ N, mit |a| < 1 ist Nullfolge.

- 26 -

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4.3 Rechenregeln

Satz 3 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergente Folgen, a = limnan , b = lim

nbn, und λ ∈ R.

Es gilt:

(a) (anbn)n∈N ist konvergent, ab = limn

(anbn).

(b) (an + bn)n∈N ist konvergent, a+ b = limn

(an + bn).

(c) (λan)n∈N ist konvergent, λa = limn

(λan).

Bemerkung: Auch die Differenz konvergenter Folgen konvergiert.

Satz 4 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergente Folgen, a = limnan , b = lim

nbn. Sei b 6= 0.

Dann gilt:

(a) ∃N0 ∈ N ∀n ≥ N0 : bn 6= 0;

(b) (anb−1n )n≥N0 ist konvergent und

ab−1 = limn≥N0

anb−1n .

Beispiele:

1. Potenzsummen

n∑

k=1

kl , n ∈ N , l ∈ N0 fest, sind divergent.

2. an :=3n2 + 1

2n2 − n+ 1−→ 3

2(n ∈ N) .

3. an :=

(n

k

)

n−k −→ 1

k!(n ∈ N) , k ∈ N.

4. an :=

2n−1∏

i=n

(

1 +1

i

)

−→ 2 (n ∈ N) .

5. an := nkan , n ∈ N , k ∈ Z , a ∈ (−1, 1) : limnan = 0 .

Satz 5 Seien (an)n∈N , (bn)n∈N Folgen. Es gilt:

(a) Ist (an)n∈N eine Nullfolge und (bn)n∈N beschrankt, so ist auch (anbn)n∈N eine Null-

folge.

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(b) Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergent, und es gelte an ≤ bn ∀n ∈ N. Dann gilt limnan ≤

limnbn.

(c) Seien (an)n∈N , (bn)n∈N konvergent mit a := limnan = lim

nbn. Gilt fur eine Folge

(cn)n∈N, daß an ≤ cn ≤ bn ∀n ≥ N0, dann konvergiert auch (cn)n∈N und a = limncn

(”Sandwich–Theorem“).

Bemerkung zu (b): Wenn an < bn ∀n ∈ N, dann gilt auch (nur) limnan ≤ lim

nbn.

Beispiel:

6. Fibonacci–Zahlen

F1 := F2 = 1 , Fn+1 := Fn + Fn+1 .

Man beweist induktiv, daß

Fn =1√5

(τn − (−τ)−n

), n ∈ N , mit τ :=

1

2(1 +

√5) .

Daraus folgt

FnFn+1

=1

τ

1 + (−τ)−2n(−1)n

1− (−τ)−2n(−1)n−→ 1

τ= τ − 1 ≈ 0.618 .

Die Folge an = Fn/Fn+1, n ∈ N, erhalt man auch durch

a1 := 1, an+1 :=1

1 + an, n ∈ N .

Konvergiert diese Folge – was spater bewiesen wird – und gilt a := lim an 6= −1,

dann folgt a = 1/(1 + a) ⇐⇒ a =√

1− a, und fur die positive Wurzel erhalt man

a =1

2(√

5− 1) ≈ 0.618 (”goldener Schnitt“).

4.4 Konvergenzkriterien

Definitionen: Eine Zahlenfolge (an)n∈N heißt

(a) monoton wachsend, falls an ≤ an+1 ∀n ∈ N ;

(b) monoton fallend, falls an ≥ an+1 ∀n ∈ N ;

(c) streng monoton wachsend, falls an < an+1 ∀n ∈ N ;

(d) streng monoton fallend, falls an > an+1 ∀n ∈ N .

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Beispiele:

1. an :=

(n

k

)

n−k , n ∈ N , ist streng monoton wachsend fur jedes k ∈ N.

2. an :=

(

1 +1

n

)n

, n ∈ N , ist streng monoton wachsend.

3. (endliche geometrische Reihe). Fur q 6= 1 sei an :=∑n

k=0 qk. Man zeigt induktiv:

an =1− qn+1

1− q .

Satz 6 Jede beschrankte, monoton wachsende (fallende) Folge ist konvergent.

Beispiel: an :=

(

1 +1

n

)n

ist monoton wachsend und beschrankt,

2 <

(

1 +1

n

)n

≤ 3 .

Damit ist (an)n∈N konvergent und fur den Limes gilt

2 ≤ limn

(

1 +1

n

)n

≤ 3 .

Definition: e := limn

(

1 +1

n

)n

heißt Eulersche Zahl.

Definition: Sei (an)n∈N eine Folge und (µk)k∈N eine streng monoton wachsende Folge

naturlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (aµk)k∈N Teilfolge von (an)n∈N.

Folgerung 7 Sei (an)n∈N konvergent und (aµk)k∈N eine Teilfolge. Dann ist auch (aµk

)k∈N

konvergent und es gilt

limkaµk

= limnan .

Satz 8 (Satz von Bolzano–Weierstrass) Jede beschrankte Folge enthalt eine konver-

gente Teilfolge.

Definition: Eine Folge (an)n∈N heißt Cauchy–Folge, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N : |an − am| < ε.

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Satz 9 Eine Folge (an)n∈N ist dann und nur dann konvergent, wenn sie Cauchy–Folge

ist.

Bemerkungen:

1. Jede Cauchy–Folge ist beschrankt.

2. Das Vollstandigkeitsaxiom (V) kann man ersetzen durch das Axiom: Jede Cauchy–

Folge konvergiert.

3. Die Aussage von Satz 9 heißt auch das Cauchysche Konvergenzkriterium.

Beispiel 1: (vgl. Beispiel 6 in 4.3)

Betrachte die induktiv definierte Folge

a1 := 1 , an+1 :=1

1 + an, n ∈ N .

(an)n∈N ist Cauchy–Folge.

Beispiel 2: an =

n∑

k=0

1

k, n ∈ N, ist keine Cauchy-Folge, also divergent.

4.5 Wurzelberechnung

Satz 10 Seien b > 0 , q ∈ N , q ≥ 2. Dann existiert genau ein x > 0 mit xq = b und fur

die induktiv definierte Folge

a1 > 0 mit aq1 ≥ b , an+1 :=

(

1− 1

q

)

an +1

q

b

aq−1n

gilt: x = limnan .

Schreibweise: x = q√b oder x = b1/q.

Bemerkung: Fur q = 2 lautet die Vorschrift:

a21 ≥ b , an+1 :=

1

2an +

1

2

b

an.

- 30 -

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4.6 Haufungswerte

Definition: a ∈ R heißt Haufungswert der Folge (an)n∈N

:⇐⇒ ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N : |an − a| < ε .

Bemerkung:

1. a ∈ R ist Haufungswert von (an)n∈N, genau wenn fur jedes ε > 0 in (a − ε, a + ε)

unendlich viele Glieder an liegen.

2. Man beachte den Unterschied von 1. zu konvergenten Folgen (dort:”fast alle an in

(a− ε, a+ ε)“).

Satz 11 Sei (an)n∈N Folge und a ∈ R. Dann sind aquivalent:

(a) a ist Haufungswert von (an)n∈N.

(b) Es gibt eine konvergente Teilfolge (aµk)k∈N von (an)n∈N mit a = lim

kaµk

.

Folgerung 12 Jede beschrankte Folge besitzt einen Haufungswert.

Folgerung 13 Sei (an)n∈N konvergente Folge und a := limnan. Dann ist a der einzige

Haufungswert von (an)n∈N.

Beispiele:

1. an := (−1)n , n ∈ N , hat Haufungswerte 1 und -1 .

2. an :=

1 , n ungerade ,

n , n gerade .1 ist einziger Haufungswert von (an)n∈N, aber die Folge

(an)n∈N ist divergent.

Folgerung 14 Ist (an)n∈N eine beschrankte Folge, dann ist die Menge der Haufungswerte

von (an)n∈N nichtleer und beschrankt.

Definition: Sei (an)n∈N eine beschrankte Folge und H := {a ∈ R|a Haufungswert von

(an)n∈N}. Wir setzen:

limn

an := lim supn∈N

an := supa∈H

a Limes superior

limn

an := lim infn∈N

an := infa∈H

a Limes inferior

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Folgerung 15 Sei (an)n∈N beschrankte Folge. Dann sind limnan und lim

nan Haufungs-

werte von (an)n∈N.

Folgerung 16 Sei (an)n∈N beschrankte Folge und H die Menge ihrer Haufungswerte.

Dann sind fur a ∈ R aquivalent:

(a) (an)n∈N konvergiert gegen a.

(b) H = {a}.

(c) a = limnan = lim

nan.

Folgerung 17 (s. Forster 1 [For01], Satz 9.4) Sei (an)n∈N beschrankte Folge.

a = limnan dann und nur dann, wenn

i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≤ a+ ε

ii) ∀ ε > 0∀n ∈ N ∃m ≥ n : am ≥ a− ε

Analog: a = limnan dann und nur dann, wenn

i) ∀ ε > 0∃N ∈ N ∀n ≥ N : an ≥ a− ε

ii) ∀ ε > 0∀n ∈ N∃m ≥ n : am ≤ a+ ε

Wir geben noch folgende Charakterisierung von lim und lim an (vgl. Forster 1 [For01],

§9):Satz 18 (Charakterisierung von lim und lim)

Sei (an)n∈N beschrankte Folge, und

bn := inf{ak|k ≥ n}, n ∈ N ,

cn := sup{ak|k ≥ n}, n ∈ N .

Dann ist (bn)n∈N beschrankt und monoton wachsend bzw. (cn)n∈N beschrankt und mono-

ton fallend und

limnbn = lim

nan, lim

ncn = lim

nan .

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4.7 Anmerkungen zu komplexen Zahlenfolgen

Konvergenz–Aussagen konnen analog auf komplexe Zahlenfolgen ubertragen werden, wenn

der Absolutbetrag in R durch den in C ersetzt wird. Wegen

|z| = (Re(z)2 + Im(z)2)1/2 , z ∈ C ,

konvergiert eine Folge (zn)n∈N in C gegen ein z ∈ C, genau wenn (Re(zn))n∈N gegen Re(z)

und (Im(zn))n∈N gegen Im(z) konvergieren. Aussagen, die sich auf die Anordnung in R

beziehen, sind in C nicht formulierbar.

- 33 -

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5 Reihen

5.1 Konvergenz von Reihen

Wir nennen∑∞

k=1 ak eine Reihe und

(sn)n∈N , sn :=n∑

k=1

ak , n ∈ N ,

die Folge der zugehorigen Partialsummen.

Definition: Die Reihe∑∞

k=1 ak heißt konvergent genau dann, wenn die Folge (sn)n∈N

ihrer Partialsummen konvergiert; s = limnsn heißt Summe (oder Wert) der Reihe. Wir

schreiben

s :=

∞∑

k=1

ak .

Wenn∑∞

k=1 ak nicht konvergiert, dann heißt die Reihe divergent.

Beispiele:

1.

∞∑

k=1

1

k2ist konvergent, da die Folge der Partialsummen monoton wachsend und be-

schrankt ist.

2. Geometrische Reihe: Sei a ∈ R , |a| < 1.

sn =

n∑

k=0

ak =1− an+1

1− a , limnsn =

1

1− a =

∞∑

k=0

ak .

Fur |a| ≥ 1 ist

∞∑

k=0

ak divergent.

3. Die harmonische Reihe

∞∑

k=1

1

kist divergent.

Bemerkung:

1. Zu einer Folge (an)n∈N kann man durch b1 := a1 , bn := an−an−1 , n ≥ 2, eine Reihe∑∞

k=1 bk so konstruieren, so daß an =∑n

k=1 bk.

2. Fur den Grenzwert einer Folge spielen endliche viele Glieder keine Rolle; andert

man endlich viele Glieder von an, n ∈ N, so kann sich allerdings der Wert der Reihe

andern.

- 34 -

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3. Analog zu Reihen konnen unendliche Produkte als Folgen von Partialsummen end-

licher Produkte definiert werden.

Rechenregeln Seien∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk konvergent.

(R1)

∞∑

k=1

(ak ± bk) =

∞∑

k=1

ak ±∞∑

k=1

bk ;

(R2)∞∑

k=1

(λak) = λ∞∑

k=1

ak .

5.2 Konvergenzkriterien

Satz 1 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Die folgenden Bedingungen sind aquivalent:

(a)∞∑

k=1

ak konvergiert;

(b) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n,m ≥ N , n ≥ m :

∣∣∣∣∣

n∑

k=m

ak

∣∣∣∣∣< ε .

Folgerung 2 Ist∑∞

n=1 an konvergent, so ist (an)n∈N eine Nullfolge.

Bemerkung: Die Umkehrung von Folgerung 2 gilt nicht (siehe harmonische Reihe)!

Satz 3 (Leibniz–Kriterium fur alternierende Reihen)

Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert∑∞

k=1(−1)kak, und es gilt

s2n+1 ≤ s ≤ s2n ,

wobei

sn :=

n∑

k=1

(−1)kak , s :=

∞∑

k=1

(−1)kak .

Beispiel:

1. Die alternierende harmonische Reihe

∞∑

k=1

(−1)k1

kist konvergent.

2. Die Reihe mit an := 1/k, falls n gerade bzw. an = 1/(2(k − 1)), falls n ungerade,

divergiert. Was ist im Hinblick auf das Leibniz-Kriterium nicht erfullt?

- 35 -

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Definition: Eine Reihe∑∞

k=1 ak heißt absolut konvergent genau dann, wenn∑∞

k=1 |ak|konvergiert.

Folgerung 4 Jede absolut konvergent Reihe ist konvergent.

Satz 5 (Majoranten–Kriterium)

Seien (an)n∈N , (bn)n∈N Folgen mit |an| ≤ bn , n ∈ N. Ist∑∞

k=1 bk konvergent, so ist∑∞

k=1 ak absolut konvergent, und es gilt:

∞∑

k=1

ak ≤∞∑

k=1

|ak| ≤∞∑

k=1

bk .

Beispiele:

2.∞∑

k=1

1

k3ist (absolut) konvergent.

3.∞∑

k=1

1√k

ist divergent.

Satz 6 (Quotientenkriterium)

Fur die Reihe∑∞

k=1 ak gelte:

(a) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an 6= 0 ;

(b) ∃q ∈ [0, 1) ∀n ≥ N : |an+1| |an|−1 ≤ q .

Dann ist die Reihe∑∞

k=1 ak absolut konvergent.

Beispiele:

4.

∞∑

k=1

k2

2kist konvergent

(

q =8

9fur n ≥ 3

)

;

5.

∞∑

k=1

1

k2ist konvergent (s. Beispiel 1 in 5.1), das Quotientenkriterium ist hierfur jedoch

nicht anwendbar.

Satz 7 (Wurzelkriterium) Gilt

∃q ∈ [0, 1) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |an| ≤ qn ,

dann ist die Reihe∑∞

k=1 ak absolut konvergent.

- 36 -

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Das Wurzelkriterium kann auch in folgender Weise formuliert werden.

Erganzung: Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim supn→∞

n√

|an| < 1 gilt; die Reihe diver-

giert, wenn lim supn→∞

n√

|an| > 1 gilt; die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent

sein, wenn lim supn→∞

n√

|an| = 1 gilt. Eine analoge Aussage gilt fur das Quotientenkriterium.

Man hat folgende Fehlerabschatzungen:

Sei rN := s− sN =∑∞

k=N+1 bk

fur die konvergente Reihe∑∞

k=1 bk. Dann gilt fur

Leibniz–Kriterium: bn = (−1)nan , (an)n∈N monoton fallende Nullfolge,

|rN | ≤ |bN+1| ≤ aN+1 ;

Quotienten–Kriterium: |bn+1| |bn|−1 ≤ q ∀n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),

|rN | ≤ |bN+1| ·1

1− q ;

Wurzel–Kriterium: |bn| ≤ qn , n ≥ 1 , q ∈ [0, 1),

|rN | ≤ qN+1 1

1− q .

Bemerkung: Diese (a–priori) Abschatzungen konnen benutzt werden, um die Anzahl

der zu berechnenden Summanden zu bestimmen, mit der eine gewunschte Genauigkeit

(sicher) erreicht wird.

Beispiele:

6.

∞∑

k=1

(−1)k√k

ist konvergent (nach Leibniz–Kriterium).

Die Genauigkeitsforderung |rN | ≤ ε mit ε = 10−5 ist erfullt, wenn

|rN | ≤1√N + 1

≤ ε , d. h. N > 1010 .

7.∞∑

k=1

k2

2kist konvergent

(

nach dem Quotientenkriterium, q =8

9

)

; Fehlerabschatzung:

|rN | ≤(N + 1)2

2N+1· 9 .

- 37 -

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5.3 Die Exponentialfunktion

Satz 8 Fur jedes a ∈ R ist die Reihe

∞∑

k=0

1

k!ak absolut konvergent.

Definition: Exponentialfunktion

exp : R ∋ a 7→

1 , falls a = 0 ,∞∑

k=0

ak

k!, falls a 6= 0 .

Folgerung 9

e = lim

(

1 +1

n

)n

=

∞∑

k=0

1

k!= exp(1) .

Folgerung 10∣∣∣∣∣exp(a)−

N∑

k=0

ak

k!

∣∣∣∣∣≤ 2|a|N+1

(N + 1)!fur |a| ≤ N + 1

2.

5.4 Umordnung von Reihen, das Cauchy–Produkt

Beispiel: Die Reihe∞∑

k=1

(−1)k+1

kist konvergent (nach dem Leibniz–Kriterium), aber

die folgende”Umordnung“

1− 1

2+

1

3− 1

4+

(1

5+

1

7

)

− 1

6+

(1

9+

1

11+

1

13+

1

15

)

− 1

8+ · · ·

konvergiert nicht. Es ist namlich

1

2n + 1+

1

2n + 3+ · · · + 1

2n+1 − 1≥ 2n−1 1

2n+1=

1

4∀n ≥ 2 .

Fur die umgeordnete Reihe lassen sich die Summanden wie folgt zusammenfassen und

abschatzen:

1

2n + 1+

1

2n + 3+ · · · + 1

2n+1 − 1− 1

2n+ 2≥ 1

4− 1

2n+ 2≥ 1

5, n ≥ 9 ,

da1

4− 1

5=

1

20≥ 1

2n+ 2(⇐⇒ n+ 1 ≥ 10) fur n ≥ 9 gilt.

Definition: Sei τ : N −→ N eine Bijektion. Dann heißt∑∞

k=1 aτ(k) eine Umordnung von∑∞

k=1 ak.

Definitionen: Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn sie bei einer

beliebigen Umordnung konvergent bleibt. Andernfalls heißen konvergente Reihen bedingt

konvergent.

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Satz 11 (Umordnungssatz) Sei∑∞

k=1 ak absolut konvergent und τ : N −→ N eine Bijek-

tion. Dann ist auch die Umordnung∑∞

k=1 aτ(k) konvergent, und es gilt

∞∑

k=1

aτ(k) =

∞∑

k=1

ak .

Bemerkung: Der letzte Satz gilt ohne die absolute Konvergenz nicht(

Gegenbeispiel:

∞∑

k=1

(−1)k+1

k

)

.

Definition: Seien∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk Reihen. Die Reihe∑∞

k=1 ck mit

ck :=k∑

m=1

ak−m+1 bm , n ∈ N ,

heißt das Cauchy–Produkt der Reihen∑

k ak ,∑

k bk.

Satz 12 Das Cauchy–Produkt∑∞

k=1 ck der absolut konvergenten Reihen∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk

ist absolut konvergent, und es gilt

∞∑

k=1

ck =

( ∞∑

k=1

ak

)( ∞∑

k=1

bk

)

.

Bemerkungen:

1. Fur die Konvergenz eines Cauchy–Produkts reicht es aus, daß eine der beiden betei-

ligten Reihen absolut konvergiert.

2. Konvergieren∑∞

k=1 ak ,∑∞

k=1 bk und ihr Cauchy–Produkt∑∞

k=1 ck, so gilt

∞∑

k=1

ck =

( ∞∑

k=1

ak

)( ∞∑

k=1

bk

)

.

Als Anwendung von Satz 12 erhalt man

Folgerung 13 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

Fur alle a, b ∈ R gilt:

exp(a+ b) = exp(a) exp(b) .

Folgerung 14 Es gilt

(a) exp(a) > 0 ∀a ∈ R ;

(b) exp(−a) = exp(a)−1 ∀a ∈ R;

(c) exp(n) = en ∀n ∈ N .

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5.5 Die g–adische Entwicklung

Lemma 15 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Dann konvergiert eine Reihe der Form

∞∑

k=1

akg−k mit ak ∈ {0, . . . , g − 1} .

Definition: Sei g ∈ N , g ≥ 2. Die Elemente {0, . . . , g− 1} heißen g–adische Ziffern zur

Basis g, und

gm∞∑

k=1

ak g−k , ak ∈ {0, . . . , g − 1} ,

heißt g–adische Entwicklung von x ∈ R, falls

x = gm∞∑

k=1

ak g−k mit a1 6= 0 , m ∈ Z

und

∀N ∈ N ∃n ≥ N : an 6= g − 1 .

Bemerkung: Ein Dezimalbruch 0, z1z2z3 · · · stellt die Zahl

z110

+z2102

+z3103

+ · · ·

dar, zi ∈ {0, . . . , 9}, und ist im obigen Sinne eine 10–adische Entwicklung (mit m =

0 , z1 6= 0)

Satz 16 Sei g ∈ N , g ≥ 2. Jedes x ∈ R , x > 0, besitzt genau eine g–adische Entwicklung.

Bezeichnungen: Zahlen ±x ∈ R der Form

x = gmN∑

k=1

ak g−k , |m| ≤M , ak ∈ {0, . . . , g − 1} , a1 6= 0

heißen abbrechende systematische Bruche zur Basis g oder Gleitkommazahlen zur Basis g

mit Mantissenstellenzahl (”Genauigkeit“) N und Exponentenbereich {m ∈ Z| |m| ≤ M}.

Wir schreiben auch

x = ±0.a1a2 · · · aN × gm oder x = ±|a1 · · · aN |m(|m| ≤M ; ai ∈ {0, . . . , g − 1} ; a1 6= 0)

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Fur den Beweis von Satz 16 benotigt man folgende

Definition: Gaußsche Klammer

[x] := max{k ∈ Z|k ≤ x}

Bezeichnung auch ent(x) = [x] fur”entier“.

Beispiele:

Basis g = 10 : Dezimalzahlen

g = 2 : Dualzahlen

g = 8 : Oktalzahlen

g = 16 : Hexadezimalzahlen

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6 Stetigkeit

6.1 Reelle Funktionen, Grenzwerte

Sei D,W ⊂ R , f : D −→ W Abbildung (oder Funktion)

D = Definitionsbereich, W = Wertebereich.

Bezeichnungen: Unendliche Intervalle

[a,∞) := {x ∈ R|x ≥ a} ,

(a,∞) := {x ∈ R|x > a} ,

(−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a} ,

(−∞, a) := {x ∈ R|x < a} .

Beispiele:

1. Konstante Funktion f : R ∋ x 7→ a ∈ R ;

2. Identische Funktion id : R ∋ x 7→ x ∈ R ;

3. Absolutbetrag abs : R ∋ x 7→ |x| ∈ R ;

4. Gaußsche Klammer [x] := max{k ∈ Z|k ≤ x} ,

5. Signum–Funktion sign : R ∋ x 7→

1 , x > 0 ,

0 , x = 0 ,

−1 , x < 0 ;

6. Exponentialfunktion exp : R ∋ x −→ exp(x) ∈ R .

Algebraische Verknupfungen von Funktionen (f, g : D −→ R , r ∈ R) :

f + g : D ∋ x 7→ f(x) + g(x) ∈ R ;

r · f : D ∋ x 7→ rf(x) ∈ R ;

f · g : D ∋ x 7→ f(x) · g(x) ∈ R ;

f

g: D′ ∋ x 7→ f(x)

g(x)∈ R , wobei D′ := {x ∈ D|g(x) 6= 0}

Komposition oder Hintereinanderausfuhrung (f : D −→ R , g : D′ −→ R ; f(D) ⊂ D′)

g ◦ f : D ∋ x 7→ g(f(x)) ∈ R .

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Beispiele:

7. (vgl. Bspl. 3) abs = g ◦ f mit

f : R ∋ x 7→ x2 ∈ R , g : [0,∞) ∋ x 7→ √x ∈ R

(wobei√x = 0 fur x = 0 gesetzt wird).

8. Polynom vom Grad n :

p : R ∋ x 7→n∑

i=0

aixi ∈ R

wobei a0, . . . , an ∈ R , an 6= 0.

Definition: Sei f : D −→ R , a ∈ D. c ∈ R heißt Grenzwert von f in a genau dann,

wenn fur jede Folge (xn)n∈N mit

xn ∈ D ∀n ∈ N , a = limnxn

gilt:

c = limnf(xn) .

Wir schreiben: c = limx→a

f(x) .

Satz 1 Sei f : D −→ R , a ∈ D , c ∈ R. Dann sind aquivalent:

(a) c = limx→a

f(x)

(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x− a| < δ =⇒ |f(x)− c| < ε .

Beispiele:

9. (vgl. Bspl. 3) limx→0

abs(x) = 0 ;

10. (vgl. Bspl. 6) limx→0

exp(x) = 1 ;

11. f : R ∋ x 7→

0 , x < 0 ,

1 , x ≥ 0 ;limx→0

f(x) existiert nicht.

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6.2 Stetige Funktionen

Definitionen: Sei f : D −→ R .

1. f heißt stetig in a ∈ D:⇐⇒ lim

x→af(x) existiert und f(a) = lim

x→af(x) .

2. f heißt stetig (in D)

:⇐⇒ f stetig in jedem a ∈ D.

Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D. Es sind aquivalent:

(a) f ist stetig in a ∈ D .

(b) Ist (xn)n∈N eine Folge mit xn ∈ D , n ∈ N , limnxn = a, dann gilt

limnf(xn) existiert, lim

nf(xn) = f(a) .

(c) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x− a| < δ =⇒ |f(x)− f(a)| < ε .

Beispiele:

1. Die konstante und identische Funktion ist stetig in R .

2. Die Betragsfunktion abs ist stetig in R.

3. Die Exponentialfunktion exp ist stetig.

Satz 3 Sei f : D −→ R stetig in a ∈ D und f(a) > 0. Dann gilt:

∃δ > 0 ∀x ∈ (a− δ, a + δ) ∩D : f(x) > 0 .

Bemerkung: Funktionen, die an diskreten Stellen erklart sind, z. B. f(n) = an , n ∈ N,

sind immer stetig.

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6.3 Rechenregeln

Satz 4 Seien f, g : D −→ R , r ∈ R, und seien f, g stetig in a ∈ D. Dann gilt

(a) f + g , f · g , r · f sind stetig in a.

(b) Ist g(a) 6= 0, so ist auchf

gstetig in a .

Satz 5 Seien f : D −→ R , g : D′ −→ R Funktionen mit f(D) ⊂ D′. Ist f stetig in a ∈ Dund ist g stetig in b := f(a), so ist g ◦ f stetig in a.

Definitionen: Sei f : D −→ R Funktion.

1. f heißt streng monoton wachsend bzw. monoton wachsend

:⇐⇒ ∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f(x) < f(y) bzw. f(x) ≤ f(y).

2. f heißt streng monoton fallend bzw. monoton fallend

:⇐⇒ ∀x, y ∈ D : x < y =⇒ f(x) > f(y) bzw. f(x) ≥ f(y).

Satz 6 Sei f : [a, b] −→ R stetig, streng mononton wachsend, und es gelte [A,B] =

f([a, b]) mit A < B. Dann existiert f−1 : [A,B] −→ R, und es gilt

f−1 ist stetig und streng monoton wachsend.

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7 Einige Satze uber stetige Funktionen

Sei [a, b] ein Intervall mit a < b.

7.1 Der Zwischenwertsatz

Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R stetig und es gelte:

f(a)f(b) < 0 .

Dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit f(z) = 0 .

Bemerkungen:

1. Die Zahl z in Satz 1 heißt Nullstelle von f . Uber die Eindeutigkeit einer Nullstelle

wird in Satz 1 nichts ausgesagt.

2. Das Konstruktionsprinzip fur die Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N im Beweis von Satz 1 —

a ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ z ≤ · · · ≤ bn+1 ≤ bn ≤ b — wird als Intervallschachtelungs-

verfahren2 oder Bisektionsverfahren bezeichnet. Als Abbruchkriterium kann man

verwenden

maxx=an,bn

|x− z| ≤ bn − an ≤ 2−n+1(b− a) , n ∈ N

(a–posteriori und a–priori Kriterium) .

Beispiele:

1. Das Polynom p(x) := x17 + 2x+ 1 besitzt eine Nullstelle in (−1, 0) .

2. Die Gleichung exp(−x) = x besitzt eine Losung z in [0, 1], d. h. eine Nullstelle von

exp(−x)− x .

Satz 2 (Zwischenwertsatz). Sei g : [a, b] −→ R stetig, sei c ∈ R eine Zahl zwischen g(a)

und g(b). Dann gibt es ein z ∈ [a, b] mit g(z) = c.

2Intervallschachtelungsverfahren: a1 = a, b1 = b fur n = 1 (o.E. f(a) < 0, f(b) > 0); fur n + 1 def.

(induktiv) c := (an + bn)/2 und an+1 := an, bn+1 := c, falls f(c) ≥ 0; bzw. an+1 := c, bn+1 := bn, falls

f(c) < 0

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Folgerung 3 Sei f : [a, b] −→ R stetig und streng monoton wachsend. Dann gilt f([a, b]) =

[f(a), f(b)] .

Beispiel:

3.

g(x) :=

x , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,

1− x , x ∈ [0, 1] \Q .

Diese Funktion ist nur stetig in a =1

2, nimmt aber jeden Wert zwischen 0 und 1 an. Damit

gilt die Umkehrung der Aussage des Zwischenwertsatzes nicht, d. h. eine Funktion, bei der

jeder Wert zwischen g(a) und g(b) als Bild unter g auftritt, ist nicht notwendig stetig.

Definition: Stetige Fortsetzung

Sei f : D −→ R stetig und D ⊂ E. Dann heißt eine stetige Funktion g : E −→ R stetige

Fortsetzung von f , falls

g |D = f

Beispiele:

4. f(x) = exp(−1/x), x > 0,

g(x) =

exp(−1/x) , x > 0 ,

0 , x ≤ 0 .

5. g(x) = x, x ∈ [0, 1],

ist stetige Fortsetzung von

f(x) = x, x ∈ Q ∩ [0, 1] .

Bemerkung: Eine stetige Funktion f : [a, b] −→ R ist eindeutig bestimmt durch Werte

auf Q ∩ [a, b] (i.a. durch Werte auf einer dichten Teilmenge)

Definition: Q ⊂ J dicht in J ,

wenn ∀x ∈ J ∀ ε > 0 ∃ q ∈ Q : |x− q| < ε.

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7.2 Existenz von Extrema

Gilt x := supa∈A

a ∈ A, dann schreiben wir

x = maxa∈A

a = maxA (x : Maximum von A)

Entsprechend:

y = mina∈A

a = minA (y : Minimum von A)

falls y := infa∈A a ∈ A.

Definition: f : D −→ R heißt beschrankt, wenn f(D) beschrankt ist.

Satz 4 Ist f : [a, b] −→ R stetig, so ist f beschrankt, und es existieren z, z ∈ [a, b] mit

f(z) = supx∈[a,b]

f(x) , f(z) = infx∈[a,b]

f(x) ,

d. h.

f(z) = max f([a, b]) , f(z) = min f([a, b])

Beispiele:

1. f : (0, 1] ∋ x 7→ 1

x∈ R ist stetig, nimmt jedoch sein Supremum nicht an.

2. f : [0, 1] ∋ x 7→

x , x ∈ [0, 1)

0 , x = 1

ist nicht stetig bei x = 1 und nimmt sein Supremum nicht an.

7.3 Gleichmaßig stetige Funktionen

Definition: Eine Funktion f : D −→ R heißt gleichmaßig stetig (in D), wenn gilt

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ D : |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| < ε .

Bemerkung: Eine gleichmaßig stetige Funktion ist offenbar stetig, die Umkehrung gilt

jedoch nicht, wie das Beispiel f(x) =1

x, x ∈ (0, 1], zeigt. Fur abgeschlossene Intervalle

[a, b] als Definitionsbereich gilt auch die Umkehrung (s. Satz 5).

Satz 5 Ist f : [a, b] −→ R stetig, dann ist f gleichmaßig stetig.

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7.4 Bemerkungen zur Exponentialfunktion und zu Hyperbelfunktionen

Die Exponentialfunktion exp ist bereits durch ihre Werte in Q festgelgt, was die folgende

Schreibweise nahelegt:

ex := exp(x) , x ∈ R .

Rechenregel

ex+y = exey , x, y ∈ R .

Definitionen: ((an)n∈N Folge)

(a) limnan =∞ :⇐⇒ ∀K > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an > K .

(b) limnan = −∞ :⇐⇒ ∀K < 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : an < K .

Definitionen: Uneigentliche Grenzwerte (f : D −→ R , D nicht nach oben beschrankt)

(c) c = limx→∞

f(x) :⇐⇒ ∀xn ∈ D , n ∈ N , limxn =∞ gilt c = limnf(xn)

(d) Entsprechend: c = limx→−∞

f(x) .

Bemerkung: c = ±∞ ist zugelassen!

Satz 6 Es gelten die folgenden Aussagen:

(a) Die Funktion R ∋ x 7→ ex ∈ R ist streng monoton wachsend.

(b) limx→∞

exx−q = ∞ ∀q ∈ N , d. h. die Exponentialfunktion wachst starker als jede

Potenz.

(c) 1 + x ≤ ex ≤ 1

1− x ∀x ∈ (−1, 1) .

(d) limx→0x 6=0

x

ex − 1= 1 .

(e) ex = limn

(

1 +x

n

)n, x ∈ R .

(f) e 6∈ Q .

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Definitionen: Hyperbelfunktionen

coshx :=1

2(ex + e−x) , x ∈ R (Cosinus hyperbolicus)

sinhx :=1

2(ex − e−x) , x ∈ R (Sinus hyperbolicus)

tanhx :=sinhx

cosh x, x ∈ R (Tangens hyperbolicus)

coth x :=cosh x

sinhx, x ∈ R (Cotangens hyperbolicus)

Satz 7 Es gelten die folgenden Beziehungen:

(a) cosh x+ sinhx = ex , x ∈ R ;

(b) cosh x− sinhx = e−x , x ∈ R ;

(c) (cosh x)2 − (sinhx)2 = 1 , x ∈ R ;

(d) cosh(s + t) = cosh s cosh t+ sinh s sinh t , s, t ∈ R ,

(e) sinh(s + t) = sinh s cosh t+ cosh s sinh t , s, t ∈ R .

Bemerkung: Der Name”Hyperbelfunktionen“ stammt daher, daß sich der rechte Ast

der gleichseitigen Hyperbel {(x, y) ∈ R2|x2 − y2 = 1} mit cosh und sinh”parametrisieren“

laßt, d. h. (cosh t, sinh t) ∈ R2 , t ∈ (−∞,∞), beschreibt den Hyperbelast (s. Bild, S. 159,

Abschnitt 7.18, in Walter 1 [?] (1992)).

7.5 Die Logarithmusfunktion

Lemma 8 Die Funktion R ∋ x 7→ ex ∈ (0,∞) ist streng monoton wachsend, stetig und

surjektiv.

Definition: Die Umkehrfunktion (Existenz nach Lemma 8 und Satz 6 in Kap. 6)

ln : (0,∞) −→ R

der Exponentialfunktion heißt naturlicher Logarithmus.

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Folgerung 9

(a) ln ist stetig und streng monoton wachsend.

(b) limx→0

ln x = −∞ , limx→∞

ln x =∞ .

(c) ln(x · y) = ln x+ ln y , x, y ∈ (0,∞) .

(d) ln 1x = −ln x, x > 0.

Beispiel: Zerfall einer radioaktiven Substanz

u(t) = u(0)e−αt ;

Halbwertzeit: T = ln 2α .

Schreibweise bzw. Definition: ax := ex ln a , x ∈ R , a > 0 .

Folgerung 10

(a) ax+y = axay , x, y ∈ R; a > 0 .

(b) (ax)y = axy , x, y ∈ R; a > 0 .

(c) axbx = (ab)x , x ∈ R; a, b > 0 .

Bezeichnung: Logarithmusfunktion zur Basis a

loga : Umkehrfunktion von R ∋ x 7→ ax ∈ (0,∞) .

Bemerkung: ln = loge .

Bezeichnung: log := log10

Funktionalgleichung fur den Logarithmus:

loga xy = loga x+ loga y , x, y ∈ (0,∞) ; a > 0 .

Bemerkung: Die entsprechende Aussage zu Satz 6 (e) lautet

ln x = limnn(

n√x− 1

), x > 0 .

Daraus erhalt man eine Rechenvorschrift fur ln x :

ln x = limk

2k(

2k√x− 1

)

,

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8 Differenzierbarkeit

8.1 Motivation und Definition

Die Sehne durch zwei Punkte (x0, f(x0)) , (x1, f(x1)) des Graphen einer Funktion f :

D → R wird beschrieben durch die Gleichung

y − y0

x− x0= s ,

wobei y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , s :=y1 − y0

x1 − x0= Steigung. Existiert

limD∋x 7→x0

x 6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0=: c ,

so nennt man diesen Grenzwert die Ableitung von f in x0. Die Gerade

y = f(x0) + c(x− x0)

heißt Tangente an den Graphen von f in (x0, f(x0)).

Definition: Sei D ⊂ R . a ∈ R heißt Haufungspunkt von D falls gilt:

∀ε > 0 ∃x ∈ D : x 6= a , |x− a| < ε .

Folgerung 1 Sei D ⊂ R , a ∈ R. Dann sind aquivalent:

(a) a ist Haufungspunkt von D.

(b) Es gibt eine Folge (xn)n∈N mit

i. xn ∈ D , xn 6= a ∀n ∈ N;

ii. a = limnxn .

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Beispiele:

1. D := [c, d) , c < d . Haufungspunkte von D : [c, d].

2. D := {2} ∪ [0, 1) . Haufungspunkte von D : [0, 1].

Definition: Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D.

f differenzierbar in a :⇐⇒ ∃c ∈ R ∀(xn)n∈N : xn ∈ D, xn 6= a ∀n ∈ N ,

limnxn = a , gilt: lim

n

f(xn)− f(a)

xn − a= c .

(Bez.: c = f ′(a) =df

dx(a) Ableitung (oder Differentialquotient)

von f in a.)

Definition: f : D −→ R heißt differenzierbar genau dann, wenn gilt:

(a) Jedes a ∈ D ist Haufungspunkt von D.

(b) f ist in jedem a ∈ D differenzierbar.

Beispiele:

3. f : R ∋ x 7→ w ∈ R (w ∈ R Konstante) ist differenzierbar und f ′(a) = 0 ∀ ↑ a ∈ R .

4. f : R ∋ x 7→ |x| ∈ R ist in a = 0

nicht differenzierbar, denn

limn

f(

1n

)− f(0)

1n − 0

= 1 und

limn

f(− 1n

)− f(0)

− 1n − 0

= −1 .

6

-@@

@@

��

��

|x|x

5. D := {2} ∪ (0, 1) ; f : D −→ R, x 7→ |x| ist differenzierbar in jedem a ∈ (0, 1), aber

nicht in a = 2.

Satz 2 Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D. Dann sind fur c ∈ R aquivalent:

(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt f ′(a) = c.

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(b) Es gibt eine Funktion ϕ : D −→ R mit

i. f(x) = f(a) + c(x− a) + ϕ(x) ∀x ∈ D;

ii. ϕ ist differenzierbar in a, und es gilt: ϕ′(a) = 0.

Bemerkung: Eine in a ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist lokal approxi-

mierbar durch eine Funktion der Form

t(x) := c1x+ c2 , x ∈ R (c1, c2 ∈ R) .

Folgerung 3 Ist f : D −→ R in a ∈ D differenzierbar, so ist f stetig in a.

Bemerkung: Das Beispiel f(x) = |x| zeigt, daß die Umkehrung von Folgerung 3 nicht

gilt.

Satz 4 Sei f : D −→ R , a ∈ D Haufungspunkt von D. Dann sind fur c ∈ R aquivalent:

(a) f ist differenzierbar in a, und es gilt: f ′(a) = c.

(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D \ {a} :

|x− a| < δ =⇒∣∣∣∣

f(x)− f(a)

x− a − c∣∣∣∣< ε .

8.2 Rechenregeln

Satz 5 Seien f, g : D −→ R bei a ∈ D differenzierbar. Dann gilt:

(a) f + g ist differenzierbar in a, und es gilt:

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a) .

(b) f · g ist differenzierbar in a, und es gilt:

(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a) · g′(a) .

(c) Ist g(a) 6= 0, so ist a Haufungspunkt von D′ := {x ∈ D|g(x) 6= 0}, und es gilt:

f

g: D′ −→ R ist differenzierbar in a und

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)g(a)2

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Beispiele:

1. Fur die identische Abbildung gilt id′(a) = 1 ∀a ∈ R.

2. Fur die Monome mn : R \ {0} ∋ x 7→ xn ∈ R (n ∈ Z) , gilt

m′n(a) = n an−1 , a ∈ R \ {0} .

3. Fur ein Polynom

p(x) =∑n

k=0 ckxk hat man deshalb

p′(a) =

n∑

k=0

k ckak−1 , a ∈ R .

Satz 6 (Kettenregel) Seien f : D −→ R , g : D′ −→ R , f(D) ⊂ D′, und f differenzierbar

in a ∈ D , g differenzierbar in b := f(a) ∈ D′. Dann ist g ◦ f differenzierbar in a , und

es gilt:

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a) .

Satz 7 Sei f : [c, d] −→ R stetig, streng monoton wachsend, W := f([c, d]), und sei f

differenzierbar in a ∈ [c, d]. Es gelte f ′(a) 6= 0. Dann existiert f−1 : W −→ R , f−1 ist

differenzierbar in b := f(a), und es gilt:

(f−1

)′(b) =

1

f ′(a)=

1

f ′(f−1(b)).

Beispiele:

3. χ : (0,∞) ∋ y 7→ n√y ∈ (0,∞) , n ∈ N, ist Umkehrfunktion von ν : (0,∞) ∋ x 7→

xn ∈ (0,∞). Nach Satz 7: χ′(a) =1

na

1n−1.

4. fq : (0,∞) ∋ x 7→ xq ∈ (0,∞) , q ∈ Q .

f ′q(a) = q aq−1 , a ∈ (0,∞) .

Bemerkung: (zu rechts- und linksseitigen Ableitungen)

Sei f : D −→ R, wobei D = [α, β] oder D = [α, β) oder D = (α, β). Dann ist f differen-

zierbar in a ∈ D und c = f ′(a) genau dann, wenn

c = limx→a,x 6=a

x∈D

f(x)− f(a)

x− a

(Begrundung: Jedes a ∈ D ist Haufungspunkt fur die genannten Intervalle).

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8.3 Zur Exponentialfunktion

Satz 8 Es gilt:

(a) exp : R −→ R ist differenzierbar, und es gilt

exp′(a) = exp(a) ∀a ∈ R .

(b) ln : (0,∞) −→ R ist differenzierbar, und es gilt

ln′(a) =1

a∀a ∈ (0,∞) .

Folgerung 9

(a) Sei b > 0. Die Funktion fb : R ∋ x 7→ bx ∈ R ist differenzierbar und f ′b(a) =

baln(b) ∀a ∈ R.

(b) Sei a > 1 . loga : (0,∞) −→ R ist differenzierbar und

log′a(z) =1

z ln a∀z ∈ (0,∞) .

8.4 Zum Newton–Verfahren

Aufgabe: Sei f : [a, b] −→ R differenzierbar. Gesucht ist z ∈ [a, b] mit f(z) = 0.

Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens:

x0 ∈ [a, b] (= Startnaherung)

xn+1 := xn −f(xn)

f ′(xn), n ∈ N0

Beispiele:

1. (vgl. Abschnitt 4.5 Wurzelbestimmung)

f : R ∋ x 7→ x2 − b ∈ R (b > 0)

=⇒ x− f(x)

f ′(x)= x− x2 − b

2x=

1

2

(

x+b

x

)

Newton–Verfahren: xn+1 :=1

2

(

xn +b

xn

)

(vgl. Satz 4.10).

Konvergenz: ist quadratisch, d.h. |xn+1 − z| ≤ c|xn − z|2 .

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2. f : R ∋ x 7→ x2 ∈ R , z = 0 Nullstelle; beachte f ′(z) = 0.

Newton–Verfahren: xn+1 :=1

2xn , x0 ∈ R

Konvergenz: (nur) linear |xn+1 − z| ≤1

2|xn − z|

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9 Einige Satze uber differenzierbare Funktionen

9.1 Charakterisierung von Extrema

Definitionen: (f : D −→ R , z ∈ D)

(a) z heißt lokales Maximum (bzw. Minimum)

:⇐⇒ ∃ε > 0 ∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f(x) ≤ f(z)

(bzw. ∃ε > 0 ∀x ∈ D ∩ (z − ε, z + ε) : f(x) ≥ f(z)) .

(b) z heißt lokales Extremum

:⇐⇒ z lokales Maximum oder lokales Minimum.

(c) z heißt globales Maximum (bzw. Minimum)

:⇐⇒ ∀x ∈ D : f(x) ≤ f(z) (bzw. ∀x ∈ D : f(x) ≥ f(z)) .

Satz 1 Sei f : [a, b] −→ R , z ∈ (a, b). Ist z lokales Extremum und ist f differenzierbar in

z, so gilt f ′(z) = 0.

Bemerkung:

1. Nach Satz 7.4 und Folgerung 8.3 nimmt eine differenzierbare Funktion f : [a, b] −→ R

ihr (globales) Maximum und (globales) Minimum an. Liegt ein solches Extremum z

am Rand (z = a oder z = b), so gilt nicht notwendigerweise f ′(z) = 0.

2. Notwendig fur ein lokales Maximum in z ∈ [a, b] ist

f ′(z)(x − z) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] .

3. f ′(z) = 0 (s. Satz 1) ist notwendig, aber nicht hinreichend fur ein lokales Extremum

(Gegenbeispiel: f : [−1, 1] ∋ x 7→ x3).

9.2 Der Satz von Rolle, Mittelwertsatz

Satz 2 (Satz von Rolle)

Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b. Gilt dann

f(a) = f(b), so gibt es ein z ∈ (a, b) mit f ′(z) = 0.

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Folgerung 3 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) , a < b. Dann gibt es ein

z ∈ (a, b) mit

f(b)− f(a)

b− a = f ′(z) .

Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) , a < b.

Dann gibt es ein ϑ ∈ (0, 1) mit

f(b) = f(a) + f ′(a+ ϑ(b− a))(b− a) .

Folgerung 5 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b.

Weiter gebe es m, M ∈ R mit

m ≤ f ′(x) ≤M ∀x ∈ (a, b) .

Dann gilt fur beliebige x, y ∈ [a, b], x ≤ y :

m (y − x) ≤ f(y)− f(x) ≤M(y − x) .

Ist f ′(x) ≥ 0 (bzw. > 0) in (a, b), so ist f monoton (bzw. streng monoton) wachsend; ist

f ′(x) ≤ 0 (bzw. < 0), so ist f monoton (bzw. streng monoton) fallend.

Folgerung 6 (Erweiterter Mittelwertsatz)

Seien f, g : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b) ; a < b. Gilt g′(x) 6= 0

∀x ∈ (a, b), dann gibt es ein z ∈ (a, b) mit

f(b)− f(a)

g(b)− g(a) =f ′(z)g′(z)

.

Folgerung 7 Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar in jedem x ∈ (a, b), und es

gelte f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Dann gilt:

∃c ∈ R ∀x ∈ [a, b] : f(x) = c .

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Beispiele:

1. Populationsmodell: P (t) = P0ert ist einzige Losung von

P (0) = P0 , P ′(t) = r P (t) , t ≥ 0 (r > 0, P0 > 0) .

2. Verbessertes Populationsmodell: (a > 0, b > 0)

P (0) = P0 , P ′(t) = P (t)(a − b P (t)) , t ≥ 0 .

Losung: P (t) =a

b+ e−(at+c), c = ln

P0

a− bP0

Gleichgewichtszustand:a

b.

9.3 Taylorsche Formel

Definitionen: (hohere Ableitungen) Sei f : D −→ R.

(a) k = 1 : D1 := {a ∈ D| f differenzierbar in a} ,f (1)(a) := f ′(a) , a ∈ D1 ;

k + 1 : Dk+1 := {a ∈ Dk| f (k) differenzierbar in a} ,f (k+1)(a) := (f (k))′(a) , a ∈ Dk+1 ;

(b) f (k) : Dk −→ R heißt Ableitung k-ter Ordnung mit Definitionsbereich Dk. Wir

schreiben auch:

f (k)(a) =dkf

dxk(a) =

df (k−1)

dx(a) , a ∈ Dk ;

(c) f heißt k-mal differenzierbar genau dann, wenn Dk = D.

(d) f heißt k-mal stetig differenzierbar , genau wenn gilt:

Dk = D , f (k) : Dk −→ R ist stetig.

Beispiele:

1. f : R ∋ x 7→ x|x| ∈ R

ist stetig differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar.

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2. Die Exponentialfunktion ist k-mal stetig differenzierbar fur jedes k ∈ N.

Satz 8 (Taylorsche Formel)

Sei f : [a, b] −→ R (n + 1)-mal stetig differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b]. Dann gibt es zu

jedem x ∈ [a, b] ein ξ zwischen x0 und x mit

f(x) =

n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k +1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x− x0)

n+1

Bezeichnungen: Pn,f,x0(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k

heißt Taylor–Polynom (vom Grad n);

Rn,f,x0(x) := f(x)− Pn,f,x0(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x− x0)

n+1

heißt Restglied bzw. Lagrangesche Darstellung des Restglieds; x0 ∈ [a, b] heißt Entwick-

lungspunkt.

Bemerkung:

(a) Andere Schreibweise der Taylor–Formel:

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k +

+1

(n+ 1)!f (n+1)(x0 + ϑ(x− x0))(x− x0)

n+1 , 0 < |ϑ| < 1 .

(b) Restgliedabschatzung:

|Rn,f,x0(x)| ≤Kn+1

(n + 1)!|x− x0|n+1

falls |f (n+1)(ξ)| ≤ Kn+1 ∀ξ ∈ (a, b) .

Beispiel: Taylor–Polynom fur die Exponentialfunktion

Pn(x) =n∑

k=0

1

k!xk , x ∈ R .

Definitionen: (f : [a, b] −→ R)

1. f heißt unendlich oft differenzierbar , falls f k-mal differenzierbar ist fur jedes k ∈ N.

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2. Sei f unendlich oft differenzierbar und sei x0 ∈ [a, b]. Dann heißt

Tf,x0(x) :=

∞∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k , x ∈ [a, b] ,

die Taylor–Reihe von f im Entwicklungspunkt x0.

3. f wird durch Tf,x0 dargestellt , wenn f(x) = Tf,x0(x) , x ∈ [a, b] .

Beispiele:

1. Texp,x0(x) = ex , x ∈ R .

2. f : R ∋ x 7→

exp

(

− 1

x2

)

, x 6= 0 ,

0 , x = 0 ,

Tf,0(x) = 0 ∀x ∈ R. Dieses Beispiel zeigt, daß eine konvergente Taylor–Reihe nicht

notwendigerweise f darstellt.

3. f : (−1,∞) ∋ x 7→ ln(1 + x) ∈ R ,

Tf,0(x) =

∞∑

k=1

(−1)k+1

kxk , x > −1 .

Diese Reihe ist konvergent fur x ∈ (−1, 1] und divergent sonst; Tf,0 stellt f fur

x ∈ (−1, 1] dar.

9.4 Anmerkung zu lokalen Extrema

Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n-mal stetig differenzierbar, sei z ∈ (a, b), a < b, und es

gelte

f (j)(z) = 0 ∀j : 1 ≤ j ≤ n− 1 , f (n)(z) 6= 0 ; n ≥ 2 .

Dann gelten die Aussagen:

(a) Ist n ungerade, so ist z kein lokales Extremum.

(b) Ist n gerade, so ist

z

lokales Maximum

lokales Minimum

falls

f (n)(z) < 0

f (n)(z) > 0 .

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9.5 Die Regel von de l’Hospital

Definition: Sei D ⊂ R; a ∈ R heißt Beruhrungspunkt von D genau dann, wenn

∃(xn)n∈N : xn ∈ D ∀n ∈ N , limnxn = a .

Definition: Seien f : D −→ R, a Beruhrungspunkt von D , c ∈ R.

c = limx→a

f(x) :⇐⇒ ∀(xn)n∈N , xn ∈ D ∀n ∈ N , limxn = a :

limnf(xn) = c .

(Die Falle c ∈ {−∞,∞} , a ∈ {−∞,∞} sind zugelassen.)

Beispiele:

1. f : [0, 1) ∋ x 7→ 11−x ∈ R ; limx→1 f(x) =∞ ;

2. f : R \ {1} ∋ x 7→ 1−x2

x3−x2+x−1 ∈ R ; ( beachte: f(x) =−(1 + x)

x2 + 1)

limx→1 f(x) = −1 , limx→∞ f(x) = 0 .

Satz 10 (Regel von de l’Hospital)

Seien f, g : (a, b) −→ R differenzierbar, c ∈ R, a < b , (b =∞ sei zugelassen). Es gelte

g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) und limx→b

f(x) = limx→b

g(x) = 0 .

Dann gilt:

(a) g(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) .

(b) Aus limx→b

f ′(x)g′(x)

= c folgt limx→b

f(x)

g(x)= c .

Beispiel:

limx→0

ex − e−xx

= limx→0

ex + e−x

1= 2 .

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9.6 Die trigonometrischen Funktionen

Definitionen:

sin(x) := sinx :=

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!Sinus–Funktion

cos(x) := cos x :=∞∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!Cosinus–Funktion

Bemerkung: Die angegebenen Reihen konvergieren absolut nach dem Quotientenkri-

terium.

Folgerung 11

(a) sin(0) = 0 , cos(0) = 1 ;

(b) sin(−x) = − sin(x) , cos(−x) = cos(x) , x ∈ R ,

(Sinus ist ungerade, Cosinus gerade Funktion);

(c) x− x3

6≤ sin(x) ≤ x , x > 0 ;

(d) 1− x2

2≤ cos(x) ≤ 1− x2

2+x4

24, x > 0 .

Satz 12 Die Funktionen sin, cos : R −→ R sind stetig, differenzierbar, und es gilt:

sin′(x) = cos(x) , cos′(x) = − sin(x) .

Folgerung 13

(e) sin2(x) + cos2(x) = 1 , x ∈ R ;

(f) | sin(x)| ≤ 1 , | cos(x)| ≤ 1 , x ∈ R ;

(g) sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) , x, y ∈ R ;

(h) cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) , x, y ∈ R ;

(i) limx→0

sin(x)

x= 1 , lim

x→0

1− cos(x)

x2=

1

2.

Lemma 14 Sei A := {x ∈ [0,∞)| cos(x) = 0}. Es gilt:

A 6= ∅ und γ := inf A ∈[√

2,7

4

)

, γ ∈ A .

Definition: π := 2γ (= 3.14159 . . .)

- 64 -

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Eigenschaften

(a) sin(π

2

)

= 1 , cos(π

2

)

= 0 ;

(b) sin(

x+π

2

)

= cos(x) , cos(

x+π

2

)

= − sin(x) , x ∈ R ;

(c) sin(x+ π) = − sin(x) , cos(x+ π) = − cos(x) , x ∈ R ;

(d) sin(x+ 2π) = sin(x) , cos(x+ 2π) = cos(x) , x ∈ R ;

(e) cos(x) 6= 0 fur x 6= (2k + 1)π

2, k ∈ Z ;

(f) sin(x) 6= 0 fur x 6= kπ , k ∈ Z .

Definition:

tan(x) :=sin(x)

cos(x), x ∈ R , x 6= (2k + 1)

π

2, k ∈ Z ,

Tangens–Funktion;

cot(x) :=cos(x)

sin(x), x ∈ R , x 6= kπ , k ∈ Z ,

Cotangens–Funktion.

Satz 15 Es gelten folgende Aussagen:

(a) cos ist auf [0, π] streng monoton fallend und cos([0, π]) = [−1, 1] .

(b) sin ist auf[

−π2,π

2

]

streng monoton wachsend und sin([

−π2,π

2

])

= [−1, 1] .

(c) tan ist in(

−π2,π

2

)

streng monoton wachsend und tan((

−π2,π

2

))

= R .

(d) cot ist in (0, π) streng monoton fallend und cot((0, π)) = R .

(e) tan′(x) =1

cos2(x), cot′(x) = − 1

sin2(x).

Definitionen: Umkehrfunktionen von cos, sin, tan bzw. cot:

arccos : [−1, 1] −→ [0, π] ,

arcsin : [−1, 1] −→[

−π2,π

2

]

,

arctan : R −→(

−π2,π

2

)

,

arccot : R −→ (0, π) .

- 65 -

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Folgerung 16

(a) arccos′(x) = − 1√1− x2

, x ∈ (−1, 1) ,

(b) arcsin′(x) =1√

1− x2, x ∈ (−1, 1) ,

(c) arctan′(x) =1

1 + x2, x ∈ R ,

(d) arccot′ (x) = − 1

1 + x2, x ∈ R .

Bemerkung: sin, cos, tan, cot sind periodische Funktionen (mit Periode 2π). Fur die

Umkehrfunktionen wurde jeweils nur ein”ausgezeichneter Ast“ benutzt; man kann sich

auch auf andere Periodenintervalle beziehen.

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10 Das Riemann–Integral

Im folgenden sei I = [a, b] ein Intervall, a < b.

10.1 Treppenfunktionen

Beispiel: Der Flacheninhalt des Bereichs B := {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x2} laßt

sich annahern durch eine Summe von Rechtecken

FN :=

N−1∑

k=0

1

Nfk , fk := f(xk) , xk =

k

N, k = 0, . . . , N ,

wobei f : [0, 1] ∋ x 7→ x2 ∈ R. Man erhalt

FN =(N − 1)N(2N − 1)

6N3und lim

N→∞FN =

1

3.

Definitionen:

(a) Eine Zerlegung Z von I ist eine Anzahl von Punkten x0, . . . , xN mit a = x0 < x1 <

· · · < xN = b.

(b) ϕ : I −→ R heißt Treppenfunktion auf I, wenn eine Zerlegung Z : a = x0 <

x1 < · · · < xN = b und Zahlen c0, c1, . . . , cN existieren mit ϕ(x) = ci falls x ∈(xi−1, xi], ϕ(x0) = c0.

(c) T (I) := T [a, b] := {ϕ : I −→ R| ϕ Treppenfunktion auf I} .

Definition: Gemeinsame Verfeinerung zweier Zerlegungen

Z : a = x0 < · · · < xN = b , Z ′ : a = x′0 < · · · < x′M = b :

Ordne Punkte {xi|i = 0, . . . , N} ∪ {x′i|i = 0, . . . ,M} der Große nach, numeriere sie neu

– evtl. doppelt auftretende Punkte erhalten gleichen Index, Resultat: Z : a = x0 < · · · <xN = b.

Eigenschaften von T [a, b]:

(a) 0 ∈ T [a, b] (0 = Nullfunktion, 0(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]) ;

(b) ϕ ∈ T [a, b] , c ∈ R =⇒ cϕ ∈ T [a, b] ;

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(c) ϕ,ψ ∈ T [a, b] =⇒ ϕ+ ψ ∈ T [a, b] .

Wiederholung: C[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f stetig } .

Satz 1 Es gilt die Aussage:

∀f ∈ C[a, b] ∀ε > 0 ∃ϕ,ψ ∈ T [a, b] ∀x ∈ [a, b] :

ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε ∧ ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) .

10.2 Das Integral von Treppenfunktionen

Definition: Fur eine Treppenfunktion ϕ zur Zerlegung Z : a = x0 < · · · < xN = b mit

Werten

ck := ϕ

(1

2(xk + xk−1)

)

, k = 1, . . . , N ,

sei

SϕZ :=

N∑

k=1

ck(xk − xk−1) .

Lemma 2 Sei ϕ ∈ T [a, b] Treppenfunktion zu den Zerlegungen Z und Z ′. Dann gilt SϕZ =

SϕZ′.

D.h.: Der Wert SϕZ ist unabhangig von der gewahlten Zerlegung.

Definition: Sϕ := SϕZ =∑N

k=1 ck(xk − xk−1) heißt Integral von ϕ fur eine Treppen-

funktion ϕ und eine beliebige Zerlegung Z. Wir schreiben∫ b

aϕ(x) dx := Sϕ .

Definition: Seien f, g : D −→ R .

f ≤ g :⇐⇒ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D .

Folgerung 3 Seien ϕ,ψ ∈ T [a, b] , c ∈ R. Dann gilt

(a)

∫ b

a(cϕ)(x) dx = c

∫ b

aϕ(x) dx ;

(b)

∫ b

a(ϕ+ ψ)(x) dx =

∫ b

aϕ(x) dx +

∫ b

aψ(x) dx ;

(c) Aus ϕ ≤ ψ folgt:

∫ b

aϕ(x) dx ≤

∫ b

aψ(x) dx .

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10.3 Ober– und Unterintegrale

Bezeichnung: B[a, b] := {f : [a, b] −→ R|f beschrankt }

Es gilt

C[a, b] ⊂ B[a, b] und (o. E.) T [a, b] ⊂ B[a, b] .

Lemma 4 Seien f ∈ B[a, b] , α := infx∈[a,b] f(x) , β := supx∈[a,b] f(x) ,

ϕu : [a, b] ∋ x 7→ α ∈ R ,

ϕo : [a, b] ∋ x 7→ β ∈ R .

Dann gilt:

(a) ϕu ∈ Fu := {ϕ ∈ T [a, b]|ϕ ≤ f} ,ϕo ∈ Fo := {ψ ∈ T [a, b]|f ≤ ψ} .

(b) α(b− a) ≤∫ b

aψ(x) dx ∀ψ ∈ F0 ,

∫ b

aϕ(x) dx ≤ β(b− a) ∀ϕ ∈ Fu ,

∫ b

aϕ(x) dx ≤

∫ b

aψ(x) dx ∀ϕ ∈ Fu, ψ ∈ Fo .

Definitionen: (f ∈ B[a, b])

–∫ b

af(x) dx := inf

{∫ b

aψ(x) dx|ψ ∈ T [a, b] , f ≤ ψ

}

heißt oberes Integral (oder Oberintegral) von f ;

∫ b

af(x) dx := sup

{∫ b

aϕ(x) dx|ϕ ∈ T [a, b] , ϕ ≤ f

}

heißt unteres Integral (oder Unterintegral) von f .

Folgerung 5

–∫ b

aϕ(x) dx = –

∫ b

aϕ(x) dx ∀ϕ ∈ T [a, b] .

Beispiele:

1. f : [0, 1] ∋ x 7→ x2 ∈ R ,

∫ 1

0f(x) dx = –

∫ 1

0f(x) dx =

1

3.

- 69 -

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2.

f(x) :=

1 , x ∈ Q ∩ [0, 1] ,

−1 , x ∈ [0, 1] , x 6∈ Q ,

f ∈ B[0, 1] , –∫ 1

0f(x) dx = 1 , –

∫ 1

0f(x) dx = −1 .

Folgerung 6 Seien f, g ∈ B[a, b]. Es gelten folgende Rechenregeln:

(a) –∫ b

a(f + g)(x) dx ≤ –

∫ b

af(x) dx+ –

∫ b

ag(x) dx ;

(b) –

∫ b

a(f + g)(x) dx ≥ –

∫ b

af(x) dx+ –

∫ b

ag(x) dx ;

(c) –∫ b

a(cf)(x) dx = c–

∫ b

af(x) dx ∀c ∈ [0,∞) ;

(d) –

∫ b

a(cf)(x) dx = c–

∫ b

af(x) dx ∀c ∈ [0,∞) ;

(e) –∫ b

a(−f)(x) dx = −–

∫ b

af(x) dx , –

∫ b

a(−f)(x) dx = −–

∫ b

af(x) dx .

10.4 Riemann–Integrierbarkeit

Definition: f ∈ B[a, b] heißt Riemann–integrierbar genau dann, wenn gilt:

–∫ b

af(x) dx = –

∫ b

af(x) dx .

Schreibweise/Bezeichnung:

∫ b

af(x) dx := –

∫ b

af(x) dx Riemann–Integral von f

”Riemann–“ wird im folgenden weggelassen.

Bezeichnungen: Sei f ∈ B[a, b] integrierbar.

∫ b

af(x) dx heißt Integral von f (uber [a, b]) ;

a heißt untere Grenze,

b heißt obere Grenze,

f heißt Integrand,

x heißt Integrationsvariable.

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Folgerung 7 Jede Treppenfunktion ist integrierbar.

Beispiele:

1. f : [0, 1] ∋ x 7→ x2 ∈ R ,

∫ 1

0f(x) dx =

1

3.

2. Das obige Beispiel 2 aus Abschnitt 10.3 ist nicht (Riemann–)integrierbar.

Satz 8 Sei f ∈ B[a, b]. Dann sind aquivalent:

(a) f ist integrierbar.

(b) ∀ε > 0 ∃ϕ,ψ ∈ T [a, b] : ϕ ≤ f , f ≤ ψ ,∫ b

aψ(x) dx−

∫ b

aϕ(x) dx ≤ ε .

Folgerung 9 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar und c ∈ R. Dann gilt:

f + g, cf sind integrierbar und

∫ b

a(f + g)(x) dx =

∫ b

af(x) dx+

∫ b

ag(x) dx ,

∫ b

a(cf)(x) dx = c

∫ b

af(x) dx .

R[a, b] := {f ∈ B[a, b]|f integrierbar } ist ein Vektorraum uber R und das Integral

∫ b

a. . .

definiert eine lineare Abbbildung auf R[a, b].

Definitionen: Sei f : D −→ R ,

f+ : D ∋ x 7→

f(x) , falls f(x) > 0 ,

0 , sonst;

f− : D ∋ x 7→

−f(x) , falls f(x) < 0 ,

0 , sonst.

Bemerkung: Offenbar gilt

f = f+ − f− , |f | := abs ◦f = f+ + f− .

Satz 10 Seien f, g ∈ B[a, b] integrierbar. Dann gilt:

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(a) f+, f− sind integrierbar.

(b) |f | ist integrierbar und

∣∣∣∣

∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣≤∫ b

a|f |(x) dx .

(c) Ist f ≤ g, so folgt:

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

Bemerkung: Fur Riemann–Integrierbarkeit folgt aus

(a) f ist integrierbar,

daß

(b) |f | ist integrierbar;

die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. In der Lebesgueschen Theorie wird der Integral-

begriff so eingefuhrt, daß (a) und (b) aquivalent sind.

10.5 Eine Auswahl integrierbarer Funktionen

Satz 11 C[a, b] ⊂ R[a, b] .

Satz 12 Ist f : [a, b] −→ R monoton, so ist f integrierbar.

Satz 13 Gilt f, g ∈ R[a, b], so gilt auch f · g ∈ R[a, b].

10.6 Weitere Aussagen uber Integrale

Satz 14 Sei f ∈ B[a, b] , c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:

(a) f ∈ R[a, b] .

(b) f |[a,c] ∈ R[a, c] ∧ f |[c,b] ∈ R[c, b] .

Ist (a) erfullt, so gilt

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx .

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Folgerung 15 Ist f ∈ R[a, b] , a ≤ a1 < b1 ≤ b , so gilt:

f ∈ R[a1, b1] .

Folgerung 16 Ist f : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte in [a, b], so gilt:

f ∈ R[a, b] .

Definitionen: Sei f : [a, b] −→ R , a ≤ b.

(a) Fur a = b :

∫ b

af(x) dx = 0 .

(b) Ist f ∈ R[a, b] :

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx .

Folgerung 17 Seien f ∈ R[a, b] , a1, b1, c1 ∈ [a, b]. Dann gilt:

∫ b1

a1

f(x) dx+

∫ c1

b1

f(x) dx+

∫ a1

c1

f(x) dx = 0 .

Folgerung 18 Seien f, g : [a, b] −→ R stetig bis auf endlich viele Punkte xi , 1 ≤ i ≤ ℓ ,

und f(x) = g(x) ∀x ∈ [a, b] \ {x1, . . . , xℓ} . Dann gilt

∫ b

af(x) dx =

∫ b

ag(x) dx .

Bemerkung: Es gilt die weitergehende Aussage in Heuser 1 [Heu02], Satz 79.6, S. 454.

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11 Integration und Differentiation

11.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Satz 1 (Mittelwertsatz)

Sei f ∈ C[a, b] , g ∈ R[a, b] , g ≥ 0. Dann gilt f · g ∈ R[a, b], und es gibt ein ξ ∈ [a, b] mit

∫ b

a(f · g)(x) dx = f(ξ)

∫ b

ag(x) dx .

Folgerung 2 Ist f ∈ C[a, b], so gibt es ξ ∈ [a, b] mit

∫ b

af(x) dx = f(ξ)(b− a) .

Definitionen:

1. Ist Z : a = x0 < . . . < xN = b eine Zerlegung von [a, b], so heißt

∆Z := max1≤k≤N

(xk − xk−1)

die Feinheit (oder das Feinheitsmaß) von Z.

2. Seien f : [a, b] −→ R , Z : a = x0 < . . . < xN = b, ξk ∈ [xk−1, xk] , k = 1, . . . , N . Die

Zahl

SZ :=N∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

heißt die Riemannsche Summe von f (zur Zerlegung Z mit Stutzstellen ξ1, . . . , ξN ).

Satz 3 Seien f ∈ C[a, b] , (Zn)n∈N eine Folge von Zerlegungen von [a, b] und (SZn)n∈N

eine zugehorige Folge von Riemannschen Summen. Gilt

limn

∆Zn = 0 ,

so folgt

limnSZn =

∫ b

af(x) dx .

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Beispiel: Berechnung von

∫ a

1

1

xdx fur a > 1.

Wahle x(n)k := a

kn , k = 0, . . . , n , Zn : x

(n)0 < . . . < x

(n)n , und ξ

(n)k := x

(n)k−1 , k = 1, . . . , n.

Dann

SZn = n(

a1n − 1

)

, limn

∆Zn = 0 ,

∫ a

1

1

xdx = lim

nSZn = ln a .

Numerische Integration (zur numerischen Approximation von Integralen) durch ge-

schickte Wahl der Stutzstellen in den Riemannschen Summen: Sei f ∈ R[a, b] , N ∈ N,

h :=b− aN

(Schrittweite), xk := a+ kh , k = 0, . . . , N ,

Z : a = x0 < x1 < · · · < xN = b aquidistante Zerlegung .

Rechteckregel: ξk := xk , k = 1, . . . , N ,

∫ b

af(x) dx ≈ h

N∑

k=1

f(xk) .

Mittelpunktregel (oder Tangententrapezformel ): ξk :=1

2(xk + xk−1) , k = 1, . . . , N ,

∫ b

af(x) dx ≈ h

N∑

k=1

f

(xk + xk−1

2

)

.

11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition: Sei f : D −→ R. Eine Funktion F : D −→ R heißt Stammfunktion von f

genau dann, wenn gilt:

F ist differenzierbar, F ′(x) = f(x) ∀x ∈ D .

Folgerung 4 Sei f : [a, b] −→ R , F Stammfunktion von f . Dann sind fur G : [a, b] −→ R

aquivalent:

(a) G ist Stammfunktion von f .

(b) ∃γ ∈ R ∀x ∈ [a, b] : G(x) = F (x) + γ .

Definition: Sei f ∈ R[a, b] , c ∈ [a, b]. Die Funktion

[a, b] ∋ x 7→∫ x

cf(t) dt ∈ R

heißt ein unbestimmtes Integral von f .

- 75 -

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Lemma 5 Sei f ∈ C[a, b]. Dann ist jedes unbestimmte Integral eine Stammfunktion.

Satz 6 (Hauptsatz) Sei f ∈ C[a, b], F Stammfunktion von f . Dann gilt

∫ b1

a1

f(t) dt = F (b1)− F (a1) ∀a1, b1 ∈ [a, b] , a1 ≤ b1 .

Bemerkung: Die Flache unter dem Graph einer stetigen Funktion laßt sich bei Kenntnis

einer Stammfunktion mit Satz 6 sofort berechnen.

Bezeichnung:

f(t) dt

stellt ein Symbol fur die Gesamtheit der Stammfunktionen dar.

Schreibweise:

F (b)− F (a) =: F (x)|ba

Beispiele:

1. f : [0, 1] ∋ t −→ t2 ∈ R , Stammfunktion: F (x) =1

3x3, x ∈ [0, 1] .

2. F (x) =1

αeαx , x ∈ R , ist Stammfunktion von eαt. Also

∫ a

0eαt dt =

1

α(eαa − 1) .

3. F (x) = ln x , x > 0 , ist Stammfunktion von1

x. Also

∫ a

1

1

tdt = ln a− ln 1 = ln a .

11.3 Substitutionsregel

Satz 7 (Substitutionsregel)

Seien f ∈ C[a, b] , g ∈ C[α, β], und es gelte:

i. g ist stetig differenzierbar,

ii. g([α, β]) ⊂ [a, b] .

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Dann gilt:

∫ g(β)

g(α)f(t) dt =

∫ β

αf(g(y))g′(y) dy .

Beispiele:

1. Berechne

∫ β

α(c+ dy)ndy , α, β ∈ R , d 6= 0 , n ∈ N.

Setze g(y) := c+ dy , y ∈ R , f(t) = tn , t ∈ R. Dann folgt

∫ β

α(c+ dy)n dy =

1

d(n+ 1)(c+ dy)n+1

∣∣∣∣

y=β

y=α

.

2. Berechne

∫ d

c

1− x2 dx fur −1 ≤ c < d ≤ 1 .

Substitution: x = sin(y) , y ∈ [a, b] , a := arcsin(c) , b := arcsin(d). Dann folgt

∫ d

c

1− x2 dx =1

2

(

d√

1− d2 − c√

1− c2)

+1

2(arcsin(d)− arcsin(c)) .

Speziell (wegenπ

2= arcsin(1) = − arcsin(−1)):

∫ 1

−1

1− x2 dx =π

2.

11.4 Partielle Integration

Satz 8 Seien f, g ∈ [a, b] −→ R stetig differenzierbar. Dann gilt:

∫ b

af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)|ba −

∫ b

af ′(x)g(x) dx .

Beispiel: 1) Ia,b(p) :=

∫ b

atpe−t dt fur 0 < a < b , p > 0 ;

Es gilt Ia,b(p) = −bpe−b + ape−a + p Ia,b(p− 1).

Definiert man I(p) := limb→∞

(

lima→0Ia,b(p)

)

, dann existieren die Limites

und es gilt I(n) = n!

(Wir schreiben:

∫ ∞

0tne−t dt = n! ; dies ist ein

”uneigentliches Integral“)

Definition: Uneigentliches Integral

- 77 -

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Sei −∞ < a < b ≤ ∞, f ∈ R[a, β] ∀β ∈ [a, b]. Ist b =∞ oder f in [a, b] nicht beschrankt,

dann heißt

∫ b

af(t) dt

uneigentliches Integral bei b. Falls

limβ→b

∫ β

af(t) dt

existiert, heißt das uneigentliche Integral konvergent ; der Wert des uneigentlichen Integral

ist

∫ b

af(t) dt := lim

β→b

β∫

a

f(t) dt;

andernfalls heißt

∫ b

af(t) dt divergent.

Bemerkung: Man erklart uneigentliche Integrale an der unteren Grenze uber

∫ b

a. . . =

−∫ a

b. . .

Beispiele:

2)

∫ ∞

0e−t dt = lim

β→∞

∫ β

0e−t dt = 1

3)

∫ 1

0

1

tdt = lim

β→0

∫ 1

β

1

tdt =∞ divergent!

4)

∫ ∞

0tp−1e−t dt ist konvergent (s. Beispiel 1)

Die Abbildung

⌈: (0,∞) ∋ p 7→∫ ∞

0tp−1e−1 dt ∈ R

heißt Eulersche Gammafunktion.

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11.5 Das Taylorsche Restglied in Integralform

Satz 9 Sei f : [a, b] −→ R n+ 1-mal stetig differenzierbar, und sei x0 ∈ [a, b]. Dann gilt

fur x ∈ [a, b] :

f(x) =n∑

k=0

1

k!f (k)(x0)(x− x0)

k +1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t) dt .

Bezeichnung:

Rn(x) :=1

n!

∫ x

x0

(x− t)nf (n+1)(t) dt

heißt Restglied der Taylorentwicklung in Integralform.

11.6 Integrationsrezepte

Wiederholung:∫

xα dx =1

α+ 1xα+1

cosx dx = sinx ,

sinx dx = − cosx∫

eαx dx =1

αeαx ,

∫1

xdx = ln x

∫1

1 + t2dt = arctan(t)

Zu rationalen Funktionen, d. h. Funktionen der Formp

q, wobei p, q Polynome, sind Stamm-

funktionen stets angebbar. Furp

qerreicht man durch Division mit Rest (Euklidischer Al-

gorithmus), daß fur die zu betrachtenden Polynome der Grad von p kleiner als der von q

ist. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra laßt sich das Polynom q schreiben als Produkt

von Polynomen ersten und zweiten Grades,

q(x) =m∏

j=1

(Ajx+Bj)sj

ℓ∏

k=1

(Akx2 + 2Bkx+ Ck)

rk .

Macht man nun furp

qden Ansatz

p(x)

q(x)=

m∑

j=1

sj∑

ℓ=1

αℓ(Ajx+Bj)ℓ

+ℓ∑

k=1

rk∑

i=1

(βi

(Akx2 + 2Bkx+ Ck)i+

γix

(Akx2 + 2Bkx+ Ck)i

)

,

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dann lassen sich die Koeffizienten αℓ, βi, γi durch Koeffizientenvergleich bestimmen. (Die-

ses Verfahren der Zerlegung vonp

qin einfache Funktionen heißt Partialbruchzerlegung .)

Beispiele:

1.x2 − 2x+ 1

x+ 1= x− 3 +

4

x+ 1.

2.x2 − x+ 1

x3 − x2 + 2x− 2=

α

x− 1+

β

x2 + 2+

γx

x2 + 2,

da fur das Nennerpolynom gilt x3−x2 + 2x− 2 = (x− 1)(x2 + 2); Ausmultiplizieren

und Koeffizientenvergleich liefert: α =1

3, β = −1

3, γ =

2

3.

Der obige Ansatz zeigt, daß es fur rationale Funktionen genugt, die Stammfunktionen der

folgenden Funktionen zu kennen:

Typ 1: 1

(Ax+B)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ;

Typ 2: 1

(Ax2 + 2Bx+ C)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ; D := AC −B2 > 0 ;

Typ 3: x

(Ax2 + 2Bx+ C)k, A 6= 0 , k ≥ 1 ; D := AC −B2 > 0 ;

zu Typ 1: Substitution t = Ax+B (i. e. x = A−1(t−B)),

∫dx

(Ax+B)k=

1

A

∫dt

tk;

zu Typ 2: Substitution x = A−1(√D t−B) ,

∫dx

(Ax2 + 2Bx+C)k=Ak−1

Dk− 12

∫dt

(t2 + 1)k;

die Stammfunktion von (t2 + 1)−k laßt sich rekursiv berechnen:

k = 1 :

∫dt

t2 + 1= arctan(t)

k + 1 :

∫dt

(t2 + 1)k+1=

1

2k

t

(t2 + 1)k+

2k − 1

2k

∫dt

(t2 + 1)k

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zu Typ 3:

∫x dx

(Ax2 + 2Bx+ C)k=

1

2A

∫2Ax+ 2B

(Ax2 + 2Bx+ C)kdx

− B

A

∫dx

(Ax2 + 2Bx+ C)k

2. Integral: Typ 2.

1. Integral: g(x) := Ax2 + 2Bx+ C

∫2Ax+ 2B

(Ax2 + 2Bx+ C)kdx =

∫g′(x)g(x)k

dx =

ln g , k = 11

−k + 1g−k+1 , k > 1

.

Beispiel:

∫x

x2 + x+ 1dx =

1

2

∫2x+ 1

x2 + x+ 1dx− 1

2

∫dx

x2 + x+ 1,

wobei∫

2x+ 1

x2 + x+ 1dx = ln(x2 + x+ 1) ,

∫dx

x2 + x+ 1=

2√3

∫dt

t2 + 1=

2√3

arctan

(2√3(x+

1

2)

)

.

- 81 -

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12 Reihen von Funktionen

12.1 Gleichmaßige Konvergenz

Definitionen: Sei fn : D ⊂ R→ R , n ∈ N, eine Folge von Funktionen.

(a) (fn)n∈N konvergiert auf D punktweise gegen f : D → R, wenn gilt:

∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε .

(b) (fn)n∈N konvergiert auf D gleichmaßig gegen f : D → R, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ D ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε .

Beispiele:

1.

fn(x) = xn , n ∈ N , D = [0, 1] , f(x) = limnfn(x) =

1 , x = 1 ,

0 , 0 ≤ x < 1 ;

(fn)n konvergiert punktweise aber nicht gleichmaßig gegen f auf D. Fur jedes Inter-

vall [0, d] , d < 1, konvergiert (fn)n gleichmaßig gegen die Nullfunktion.

2. Sei

φ(x) =

x , 0 ≤ x ≤ 1

2,

1− x ,1

2≤ x ≤ 1 ,

0 , sonst

und fn(x) = φ(nx) , x ∈ R , n = 1, 2, 3, . . . Es gilt limnfn(x) = 0 punktweise aber

nicht gleichmaßig.

Satz 1 (Cauchy–Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz)

Eine Folge von Funktionen fn : D ⊂ R → R , n ∈ N, konvergiert d. u. n. d. gleichmaßig

auf D gegen f : D → R, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀m,n ≥ N ∀x ∈ D : |fn(x)− fm(x)| < ε .

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Bezeichnung: D heißt Konvergenzbereich.

Satz 2 Die Folge fn : D ⊂ R→ R , n ∈ N, konvergiere gleichmaßig auf D gegen f : D →R und alle fn , n ∈ N, seien stetig in x0 ∈ D. Dann ist f stetig in x0.

Folgerung 3 (Vertauschung von Grenzprozessen)

Die Folge (fn) konvergiere gleichmaßig auf D. Wenn die Limites limx→ξ

fn(x) , n ∈ N ,

(ξ = ±∞ zugelassen) existieren, dann existieren auch die folgenden Limites, und es ist

limn

(

limx→ξ

fn(x)

)

= limx→ξ

(

limnfn(x)

)

.

12.2 Gleichmaßige Konvergenz von Reihen

∑∞k=0 fk(x) heißt (Funktionen–)Reihe, fk : D ⊂ R→ R , k ∈ N0 := {0} ∪N.

Beispiele:

1. Geometrische Reihe

∞∑

k=0

xk =1

1− x fur |x| < 1 .

2. Sei fk(x) = xk − xk−1 , k ∈ N , f0 = 1 ,

sn(x) :=n∑

k=0

fk(x) = xn , x ∈ [0, 1] , n ∈ N ,

=⇒ limnsn(x) = lim

n

n∑

k=0

fk(x) =

∞∑

k=0

fk(x) =

1 , x = 1

0 , 0 ≤ x < 1 .

Die Konvergenz ist nicht gleichmaßig.

Definition: Eine Reihe∑∞

k=0 fk heißt gleichmaßig konvergent auf D, wenn die Par-

tialsummen sn :=∑n

k=0 fk auf D gleichmaßig konvergieren. Der (gleichmaßige) Limes F

erfullt dann:

∀ε > 0 ∃N ∈ N0 ∀n ≥ N ∀x ∈ D : |F (x)− sn(x)| < ε .

- 83 -

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Wir schreiben

F (x) :=∞∑

k=0

fn(x) ;

fur den Limes bzw. die Summe; weiter heißen rn := F − sn =∑∞

k=n+1 fk , n ∈ N , die

Reste.

Satz 4 (Cauchy–Kriterium fur Reihen)

Die Reihe∑∞

k=0 fk konvergiert gleichmaßig auf D d. u. n. d. wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N0 ∀n, m ≥ N ∀x ∈ D : |(sn − sm)(x)| < ε .

Bemerkung: (sn − sm)(x) =∑n

k=m+1 fk(x) falls n > m.

Satz 5 (Weierstraß’sches Majoratenkriterium)

Es gelte |fk(x)| ≤ ak ∀x ∈ D , k ∈ N0. Ist die Reihe∑∞

k=0 ak konvergent, so ist die Reihe∑∞

k=0 fk (absolut und) gleichmaßig konvergent auf D.

Bezeichnung:∑

k ak heißt konvergente Majorante fur∑

k fk.

Satz 6 Die Reihe∑∞

k=0 fk sei gleichmaßig konvergent in D. Sind die Funktionen fk :

D ⊂ R → R an der Stelle x0 ∈ D stetig fur (fast) alle k ∈ N0, dann ist auch die Summe

F stetig bei x0.

Folgerung 7 (Vertauschungssatz)

Die Reihe∑∞

k=0 fk(x) sei gleichmaßig konvergent auf D und limx→ξ

fk(x) existiere fur alle

k ∈ N0 (ξ = ±∞ zugelassen). Dann existieren auch die folgenden Limites, und es gilt

∞∑

k=0

(

limx→ξ

fk(x)

)

= limx→ξ

( ∞∑

k=0

fk(x)

)

.

12.3 Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenreihen

Fur eine konvergente Reihe F (x) =∑∞

k=0 fk(x) stellt sich die Frage, ob und wann diese

gliedweise integriert bzw. differenziert werden darf, also ob

∫ b

aF (x) dx

?=

∞∑

k=0

∫ b

afk(x) dx ,

F ′ ?=

∞∑

k=0

f ′k(x) .

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Beispiel:

1. Sei sn(x) =∑n

k=0 fk(x) so, dass sn(x) = nxe−n2x2

. Dann ist

limn→∞

sn(x) = 0 := F (x) (punktweise) ,

und

∫ R

0sn(x) dx = −e−n

2x2∣∣∣

R

0= 1− e−n

2R2 ≥ 1

2,

falls R : 2 ≤ eR2und n ≥ 1. Also ist dann

∫ R

0sn(x) dx ≥

1

26= 0 =

∫ R

0limksk(x) dx .

Bemerkung: Die Konvergenz einer Reihe reicht also nicht aus fur die gliedweise Inte-

gration.

Satz 8 Sei F =∑∞

k=0 fk eine auf D := (a, b) ⊂ R gleichmaßig konvergente Reihe inte-

grierbarer Funktionen, dann ist auch F integrierbar und

∫ b

aF (x) dx =

∞∑

k=0

∫ b

afk(x) dx .

Beispiel:

2. Sei sn =∑n

k=1 fk so, dass sn(x) =1

nsin(n2x). Dann gilt lim

nsn(x) = 0 =: F (x)

gleichmaßig (da∑∞

k=1 ak mit Partialsumme sn =1

neine konvergente Majorante).

Wegen s′n(x) = n cos(n2x) −→∞(n→∞) z. B. fur x = 1, ist

(

limnsn

)′(x) = 0 6= lim

ns′n(x) .

Bemerkung: Fur die gliedweise Differentiation reicht es nicht aus, dass die Reihe selbst

gleichmaßig konvergent ist.

Satz 9 Entsteht aus einer in D ⊂ R konvergenten Reihe F (x) =∑∞

k=0 fk(x) durch glied-

weise Differentiation eine gleichmaßig konvergente Reihe F ∗ =∑∞

k=0 f′k mit stetigen Funk-

tionen f ′k, dann ist F ∗ = F ′.

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12.4 Potenzreihen

Eine Reihe der Form

∞∑

n=0

anxn oder

∞∑

n=0

an(x− x0)n

heißt Potenzreihe; die Zahlen an nennt man ihre Koeffizienten, x0 den Entwicklungspunkt.

Fragen: Konvergenz der Potenzreihe?

Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe?

Satz 10 (Cauchy–Hadamard). Jede Potenzreihe∑∞

n=0 anxn besitzt einen Konvergenz-

radius r in 0 ≤ r ≤ ∞ mit der Eigenschaft, dass die Reihe fur |x| < r absolut kon-

vergent und fur |x| > r divergent ist. Der Konvergenzradius hangt nur von den |an| ab und

berechnet sich nach der Formel

r =1

lim supn∈N

n√

|an|

(hierbei ist1

0=∞ und

1

∞ = 0 zu setzen).

Bemerkungen:

1. Jeder Konvergenzradius kommt vor.

Beispiele:

∞∑

n=0

(x

r0

)n

konvergiert fur |x| < |r0| ;∞∑

n=0

xn

n!hat Konvergenzradius r =∞ .

2. Bei Potenzreihen∑

n an(x−x0)n um einen Entwicklungspunkt x0 gilt die Konvergenz

fur x : |x− x0| < r mit dem Konvergenzradius r aus Satz 10.

3. Uber das Verhalten bei x : |x| = r kann man im Allgemeinen nichts sagen.

Satz 11 Sind die Koeffizienten aneiner Potenzreihe∑

n anxn fur fast alle n von Null

verschieden, dann lasst sich der Konvergenzradius auch berechnen durch

r = limn

∣∣∣∣

anan+1

∣∣∣∣

vorausgesetzt, dieser Limes existiert.

- 86 -

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Satz 12 Eine Potenzreihe konvergiert gleichmaßig in jedem abgeschlossenen Intervall |x| ≤s mit s < r (= Konvergenzradius).

Korollar 13 Eine durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0 dargestellte Funk-

tion

f(x) =

∞∑

n=0

anxn

ist fur |x| < r stetig; insbesondere ist limx→0

f(x) = f(0) = a0.

Satz 14 Sei f(x) =∑∞

n=0 an(x−x0)n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Fur

|x− x0| < r darf die Reihe gliedweise integriert und differenziert werden,

f(x) dx =

∞∑

n=0

ann+ 1

(x− x0)n+1 , f ′(x) =

∞∑

n=1

n an(x− x0)n−1 , |x| < r .

Die Potenzreihe stellt fur |x − x0| < r eine beliebig oft differenzierbare Funktion dar; fur

die Ableitungen gilt

f (n)(x0) = n! an , n ∈ N0 .

Satz 15 (Identitatssatz fur Potenzreihen). Wenn die Potenzreihen

f(x) =

∞∑

n=0

an(x− x0)n , g(x) =

∞∑

n=0

bn(x− x0)n

fur |x − x0| < r , r > 0, konvergieren und f(x) = g(x) fur alle x ∈ (x0 − r , x0 + r) gilt,

so ist

an = bn , n = 0, 1, 2, . . .

Bemerkungen:

1. Wenn eine Funktion uberhaupt durch eine Potenzreihe darstellbar ist, so muss dies

die Taylorreihe sein (s. auch Satz 16).

2. Sei f(x) =∑∞

n=0 anxn. Ist f gerade, d. h. f(x) = f(−x), dann muss a1 = a3 = · · · =

a2n+1 = 0 , n = 0, 1, . . . , sein; ist f ungerade, d. h. f(x) = −f(−x), dann muss

a2n = 0 , n = 0, 1, 2, . . . , sein.

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3. Summe und Produkt von Potenzreihen: Seien

f(x) =

∞∑

n=0

anxn , g(x) =

∞∑

n=0

bnxn

mit positiven Konvergenzradien ra bzw. rb. Dann ist

f(x)± g(x) =∞∑

n=0

(an ± bn)xn , |x| < min(ra, rb) ,

f(x) · g(x) =

∞∑

n=0

(n∑

m=0

anbn−m

)

xn, |x| < min(ra, rb)

(”Cauchy–Produkt“) .

Satz 16 (Entwicklung in die Taylorreihe). Es sei f : [a, b] ⊂ R → R eine beliebig oft

differenzierbare Funktion, und es existiere ein M ∈ R mit

|f (n)(x)| ≤M ∀x ∈ [a, b] ∀n ∈ N .

Dann gilt fur beliebiges x0 ∈ [a, b]: Die Taylorreihe

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

konvergiert fur alle x ∈ [a, b], und es ist

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n , x ∈ [a, b] .

Beispiele:

1. 11−x =

∞∑

n=0xn |x| < 1 ;

2. ex =∞∑

n=0

xn

n!, x ∈ R ;

3. ln (1 + x) =∞∑

n=1(−1)n−1x

n

n, |x| < 1 ;

4. sinx =∞∑

n=0(−1)n

x2n+1

(2n + 1)!, x ∈ R ;

5. cos x =∞∑

n=0(−1)n

x2n

(2n)!, x ∈ R ;

6. arctan x =∞∑

n=0(−1)n

x2n+1

2n+ 1, |x| < 1 ;

- 88 -

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7. (vgl. Beispiel in Abschnitt 9.3)

f(x) =

exp

(

− 1

x2

)

, x 6= 0

0 , x = 0

ist unendlich oft differenzierbar; die Taylorreihe im Entwicklungspunkt x0 = 0 ist

identisch Null, stellt also f fur x 6= 0 nicht dar.

Definition: Eine Funktion f : D ⊂ R → R heißt analytisch, wenn f beliebig oft

differenzierbar ist und fur jedes x0 ∈ D gilt: Die Taylorreihe von f um x0 konvergiert in

einer Umgebung von x0 und stellt f dort dar.

Satz 17 Die Potenzreihe f(z) =∑∞

n=0 an(x−x0)n konvergiere fur |x−x0| < r, und es sei

a0 6= 0. Dann lasst sich 1/f in einer gewissen Umgebung von x wieder in eine konvergente

Potenzreihe entwickeln.

Beispiel:

tan x : = sinx/ cos x

= x+1

3x3 +

2

15x5 +

17

315x7 + · · ·

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13 Metrische und topologische Raume

13.1 Metrische Raume

Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅. Eine Abbildung

d : X ×X −→ [0,∞)

heißt eine Metrik (Abstandsfunktion) auf X, wenn gilt:

i. d(x, y) = 0⇐⇒ x = y (Definitheit)

ii. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X (Symmetrie)

iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X (Dreiecksungleichung)

Das Tupel (X, d) heißt dann ein metrischer Raum.

Beispiele:

1. Sei X := R oder X eine Teilmenge von R. Der Absolutbetrag (auf R) definiert eine

Metrik

d(x, y) := |x− y| , x, y ∈ X .

2. Sei X = Rm oder X eine Teilmenge von Rm ,

dp(x, y) :=

∑mj=1 |xj − yj| p = 1

(∑m

j=1 |xj − yj|p)1/p

1 < p <∞

max1≤j≤m

|xj − yj| p =∞

x = (x1, . . . , xm) , y = (y1, . . . , ym) ∈ X; (X, dp) ist fur jedes p ∈ [1,∞] ein metri-

scher Raum.

3. Sei X beliebige Menge. Durch

d(x, y) :=

1 , x 6= y

0 , x = y

ist eine Metrik auf X definiert. Sie heißt diskrete Metrik.

Satz 1 Sei (X, d) ein metrischer Raum,

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(a) Ist f : [0,∞)→ [0,∞) zweimal stetig differenzierbar mit

f(0) = 0 , f ′(s) > 0 , f ′′(s) ≤ 0 ∀s ∈ (0,∞) ,

so wird durch

d(x, y) := f(d(x, y)) , x, y ∈ X ,

eine Metrik d auf X definiert.

(b) Durch

d(x, y) :=d(x, y)

1 + d(x, y), x, y ∈ X ,

wird eine Metrik auf X erklart.

13.2 Topologie

Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅. Eine Topologie T auf X ist eine Familie von

Teilmengen von X mit den Eigenschaften

(a) ∅ ∈ T , X ∈ T ;

(b) X1,X2 ∈ T =⇒ X1 ∩X2 ∈ T ;

(c) Xi ∈ T , i ∈ I (I beliebige Indexmenge)

=⇒⋃

i∈IXi ∈ T

Bezeichnung: Die Mengen aus T heißen offene Mengen; das Tupel (X,T ) heißt topo-

logischer Raum. Wir sagen, X sei mit der Topologie T versehen.

Definition: Sei (X, d) metrischer Raum.

K(x, ε) := Kd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) < ε} ,

K(x, ε) := Kd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) ≤ ε} ,

heißen die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln um x mit Radius ε. Die Topologie Td aufX

A ∈ Td :⇐⇒ ∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kd(x, ε) ⊂ A

heißt die durch d erzeugte Topologie.

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Lemma 2 Sei (X, d) metrischer Raum und sei Td die durch d auf X erzeugte Topologie.

Es gilt:

(a) A ∈ Td ⇐⇒ ∀x ∈ A ∃ε > 0 : Kd(x, ε) ⊂ A ;

(b) Kd(x, ε) ∈ Td ∀(x, ε) ∈ X × (0,∞) .

Definition: Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abge-

schlossen (bzgl. der Topologie T ) genau dann, wenn X \ A offen ist, d. h. wenn gilt:

X \A ∈ T .

Folgerung 3 Sei (X, d) metrischer Raum. Dann sind die Kugeln

Kd(x, ε) , Kd(x, ε) mit (x, ε) ∈ X × (0,∞)

offen bzw. abgeschlossen.

Bemerkung: In einem topologischen Raum (X,T ) sind ∅,X stets offen und abgeschlos-

sen.

Definition: Sei X eine Menge, X 6= ∅, und seien d, d Metriken auf X. Diese Metriken

d, d heißen aquivalent, wenn gilt: Td = Td.

Folgerung 4

(a) Sei (X, d) metrischer Raum und sei f : [0,∞)→ [0,∞) mit

f(0) = 0 , f ′(s) > 0 , f ′′(s) ≤ 0 ∀s ∈ (0,∞) .

Dann ist die Metrik d, definiert durch

d(x, y) := f(d (x, y)) , x, y ∈ X ,

aquivalent zu d , d. h. d, d sind aquivalent.

(b) Die Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, auf Rm sind paarweise aquivalent.

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Definition: Sei (X,T ) ein topologischer Raum, x ∈ X. Eine Teilmenge U ⊂ X heißt

Umgebung von x, wenn es eine offene Menge A ⊂ X (A ∈ T !) gibt mit:

x ∈ A ⊂ U .

Bezeichnung: Menge der Umgebungen U(x)

Satz 5 Sei (X,T ) ein topologischer Raum, A ⊂ X. Es sind aquivalent:

(a) A ist offen, d. h. A ∈ T .

(b) ∀x ∈ A : A ∈ U(x), d.h. ∀x ∈ A∃ A ∈ T : x ∈ A ⊂ A.

Definition: Der topologische Raum (X,T ) heißt separiert oder Hausdorffsch, wenn gilt:

∀x, y ∈ X, x 6= y ∃U ∈ U(x) ∃V ∈ U(y) : U ∩ V = ∅ .

Folgerung 6 Jeder metrische Raum (X, d) ist Hausdorffsch.

Lemma 7 Sei (X,T ) topologischer Raum, Y ⊂ X , Y 6= ∅. Dann ist

TY := {B ⊂ Y | ∃A ∈ T : B = Y ∩A}

eine Topologie auf Y .

Definition: Sei (X,T ) topologischer Raum, Y ⊂ X. Dann heißt die Topologie TY (siehe

Lemma 7) die durch T auf Y induzierte Topologie.

Definition: Sind T1 und T2 Topologien auf der Menge X, so heißt T1 feiner als T2 (oder

T2 grober als T1), wenn gilt: T1 ⊃ T2.

Bemerkungen:

– Die feinste Topologie Tf besteht aus allen Teilmengen von X, d. h. Tf = P (X) (=

Potenzmenge).

– Die grobste Topologie Tg besteht nur aus ∅ und X.

– Die feinste Topologie wird durch die diskrete Metrik erzeugt; sie heißt diskrete To-

pologie.

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13.3 Stetige Abbildungen

Definition: Seien (X,TX) und (Y,TY ) topologische Raume und sei f : X → Y eine

Abbildung.

(a) f heißt stetig in x ∈ X, wenn gilt:

∀V ∈ U(f(x)) ∃U ∈ U(x) : f(U) ⊂ V ;

(b) f heißt stetig, wenn f stetig in jedem x ∈ X ist.

Satz 8 Seien (X,TX) , (Y,TY ) topologische Raume, f : X → Y . Es sind aquivalent:

(a) f ist stetig.

(b) f−1(B) ∈ TX ∀B ∈ TY .

Bemerkungen:

1. Offensichtlich ist eine Topologie T1 auf X genau dann feiner als eine Topologie T2 auf

X, wenn id : X → X stetig ist, wobei der Urbildbereich mit T1 und der Bildbereich

mit T2 versehen ist.

2. Die induzierte Topologie TA auf A, A ⊂ X und (X,T ) topologischer Raum, ist die

grobste Topologie, fur die die Einbettung

ι : A ∋ x 7→ x ∈ X

stetig ist.

Definition: Sei (X,T ) ein topologischer Raum.

Eine Folge (xn)n∈N in X konvergiert gegen x, wenn gilt:

∀U ∈ U(x) ∃N ∈ N ∀n ≥ N : xn ∈ U .

Wir schreiben: xn −→ x , xn −→ x in T , oder xnT−→x.

Definition: Seien (X,TX) und (Y,TY ) topologische Raume, sei f : X → Y , x ∈ X.

f heißt folgenstetig in x, wenn gilt:

xn −→ x in TX =⇒ f(xn) −→ f(x) in TY .

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Folgerung 9 Seien (X,TX) , (Y,TY ) topologische Raume und sei f : X → Y stetig in

x ∈ X, so ist f folgenstetig in x.

Folgerung 10 Sei (X, d) metrischer Raum, sei (Y,TY ) topologischer Raum, und sei f :

X → Y folgenstetig in x ∈ X. Dann ist f stetig in x.

Folgerung 11 Seien (X, d) , (Y, d) metrische Raume und sei f : X → Y . Es sind aqui-

valent:

(a) f ist stetig.

(b) ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ X : d(x, y) < δ =⇒ d(f(x), f(y)) < ε .

(c) ∀(xn)n∈N : d(xn, x) −→ 0 =⇒ d(f(xn), f(x)) −→ 0 .

Satz 12 Sei (X, d) metrischer Raum, y ∈ X , A ⊂ X. Dann sind die Funktionen

fy : X ∋ x 7→ d(x, y) ∈ R ,

fA : X ∋ x 7→ inf{d(x, z) | z ∈ A} ∈ R ,

stetig.

Definition: Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X. Die Abbildung

X ∋ x 7→ inf{d(x, z) | z ∈ A}

heißt Distanzfunktion zu A; und wir schreiben dafur dist(., A), d. h.

dist(x,A) := inf{d(x, z) | z ∈ A} , x ∈ X .

13.4 Abgeschlossene Mengen

Definition: Sei (X,T ) topologischer Raum, A ⊂ X. Dann heißen

cl(A) :=⋂

{B|A ⊂ B , B abgeschlossen}

abgeschlossene Hulle vonA ;

int(A) :=⋃

{B|B ⊂ A , B offen}

offener Kern von A .

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Folgerung 13 Sei (X,T ) topologischer Raum, A ⊂ X. Dann gilt:

(a) cl (A) ist abgeschlossen;

(b) int (A) ist offen.

Satz 14 Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X.

(a) x \ cl(A) = int (X \A), cl(A) = X \ int (X \A) ;

(b) A ist abgeschlossen genau dann, wenn gilt: ∀x ∈ X ∀xn ∈ A , n ∈ N : xn → x =⇒x ∈ A.

(c) cl (A) = {x ∈ X | ∃(xn)n∈N mit: xn ∈ A ∀n ∈ N , xn → x}.

Folgerung 15 In einem metrischen Raum (X, d) ist Kd(x, ε) stets abgeschlossen.

13.5 Kompakte Mengen

Definition: Ein topologischer Raum (X,T ) heißt kompakt, wenn gilt:

i. (X,T ) ist Hausdorffsch.

ii. X =⋃

i∈IXi , Xi ∈ T ∀i ∈ I =⇒

=⇒ ∃m ∈ N ∃i1, . . . , im ∈ I : X =m⋃

j=1

Xij .

(Jede offene Uberdeckung enthalt eine endliche Uberdeckung.)

Definitionen: Sei (X,T ) topologischer Raum, A ⊂ X.

1. A heißt kompakt, wenn (A,TA) kompakt ist, wobei TA die durch T auf A induzierte

Topologie ist.

2. A heißt relativ kompakt, wenn cl (A) kompakt ist.

Satz 16 Seien (X,TX) und (Y,TY ) Hausdorffsche topologische Raume. Ist (X,TX) kom-

pakt und f : X → Y stetig, so ist f(X) kompakt.

Satz 17 Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.

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Definition:

1. Ein topologischer Raum (X,T ) heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (xn)n∈N in X

eine in X konvergente Teilfolge enthalt.

2. Eine Teilmenge A ⊂ X des metrischen Raumes (X, d) heißt total beschrankt, wenn

gilt:

∀ε > 0 ∃m ∈ N ∃x1, . . . , xm ∈ X : A ⊂m⋃

j=1

Kd(xj , ε) .

Satz 18 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Es gilt:

(a) X ist kompakt genau dann, wenn X folgenkompakt ist (Satz von Heine–Borel).

(b) Ist X kompakt, so ist X total beschrankt.

Folgerung 19 Ist (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X, A kompakt, dann ist A abgeschlossen.

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14 Vollstandige metrische Raume, Banachraume

14.1 Vollstandige metrische Raume

Definitionen: Sei (X, d) metrischer Raum

1. Eine Folge {xn}n∈N in X heißt Cauchy–Folge in X, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n,m ≥ N : d(xn, xm) < ε .

2. Der metrische Raum (X, d) heißt vollstandig , wenn jede Cauchyfolge inX konvergent

ist.

Beispiele:

1. Der metrische Raum (R, d), d = Absolutbetrag, ist vollstandig.

2. Der Raum Rm ist bezuglich der Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, vollstandig.

Satz 1 Sei (X, d) metrischer Raum, A ⊂ X.

(a) Ist (X, d) kompakt, so ist (X, d) vollstandig.

(b) (X, d) ist kompakt genau dann, wenn (X, d) vollstandig und X total beschrankt ist.

(c) Ist (X, d) vollstandig, so ist A relativ kompakt genau dann, wenn A total beschrankt

ist.

Definition: Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Raume und sei f : X → Y . f heißt

gleichmaßig stetig, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ X : dX(x, x′) < δ =⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε .

Bezeichnung: C(X,Y ) := {f : X −→ Y | f stetig}

Satz 2 Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Raume, sei f ∈ C(X,Y ). Ist (X, dX ) kompakt,

so ist f gleichmaßig stetig.

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14.2 Der Raum der beschrankten und stetigen Abbildungen

Definition: Sei X eine Menge, (Y, dY ) ein metrischer Raum.

(a) A ⊂ Y heißt beschrankt, wenn der Durchmesser

δA := sup{dY (y, z) | y, z ∈ A}

endlich ist.

(b) Eine Abbildung f : X → Y heißt beschrankt, wenn f(X) beschrankt ist.

Bezeichnung: (X,TX), (Y,TY ) topologische Raume bzw. (Y, dY ) metrischer Raum.

C(X,Y ) := {f : X −→ Y | f stetig } , B(X,Y ) := {f : X −→ Y | f beschrankt } .

Lemma 3 Sei (X,T ) ein topologischer Raum und (Y, dY ) ein vollstandiger metrischer

Raum. Dann wird

Cb(X,Y ) := {f ∈ C(X,Y ) | f beschrankt}

zusammen mit der Metrik d∞, definiert durch

d∞(f, g) := sup{dY (f(x), g(x)) | x ∈ X} ,

zu einem vollstandigen metrischen Raum.

Folgerung 4 Sei (X,T ) ein kompakter topologischer Raum und sei (Y, dY ) ein vollstandi-

ger metrischer Raum. Dann gilt C(X,Y ) = Cb(X,Y ), und C(X,Y ) wird zusammen mit der

Metrik d∞ zu einem vollstandigen metrischen Raum.

Definition: Seien (X, dX ) , (Y, dY ) metrische Raume. Eine Familie F ⊂ C(X,Y ) heißt

gleichgradig stetig,, falls gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ X ∀f ∈ F : dX(x, x′) < δ

=⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε .

Satz von Arzela–Ascoli

Sei (X, dX) kompakter metrischer Raum, sei (Y, dY ) vollstandiger metrischer Raum und

sei F ⊂ C(X,Y ). Dann sind aquivalent:

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(a) F ist relativ kompakte Teilmenge in (C(X,Y ), d∞).

(b) F ist gleichgradig stetig und die Mengen

F(x) :={f(x)

∣∣ f ∈ F

}, x ∈ X ,

sind relativ kompakte Teilmengen in (Y, dY ).

14.3 Normierte Raume; Banachraume

Definition: Ein Vektorraum X (uber K = R oder C) heißt normiert, wenn es eine

Abbildung

‖ · ‖ : X −→ R

gibt mit

(a) ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0 (Definitheit)

(b) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ , α ∈ K , x ∈ X (Homogenitat)

(c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , x, y ∈ X (Dreiecksungleichung).

‖ · ‖ : X → R heißt Norm und (X, ‖ · ‖) ein normierter Raum.

Folgerung 5 Ist ‖ · ‖ eine Norm auf X, so wird durch

d‖·‖ : X ×X ∋ (x, y) 7→ ‖x− y‖ ∈ R

eine Metrik erzeugt.

Beispiele:

1. In X = Rn werden die Metriken dp , 1 ≤ p ≤ ∞, durch folgende Normen erzeugt:

‖x‖p :=

n∑

j=1

|xj |p

1/p

, p ∈ [1,∞)

max1≤j≤n

|xj | , p =∞; x ∈ Rn .

2. Sei (X,T ) kompakter topologischer Raum. Offenbar ist C(X,R) ein Vektorraum uber

R und durch

‖f‖∞ := maxx∈X|f(x)| , f ∈ C(X,R) ,

wird eine Norm definiert.

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Definition: Der normierte Raum (X, ‖·‖) heißt Banachraum, wenn der metrische Raum

(X, d‖·‖) vollstandig ist.

Beispiele:

3. Sei (X,T ) kompakter topologischer Raum, sei (Y, ‖ · ‖Y ) ein Banachraum. Dann ist

C(X,Y ) ein Vektorraum und durch

‖f‖∞ := supx∈X‖f(x)‖Y , f ∈ C(X,Y ) ,

wird eine Norm auf C(X,Y ) erklart; C(X,Y ) ist sogar ein Banachraum.

4. Sei X := C[−1, 1] der Vektorraum der stetigen Funktionen von [−1, 1] nach R.

Offenbar ist

‖ · ‖1 : X ∋ f 7→∫ 1

−1|f(t)| dt ∈ R

eine Norm auf X. Bzgl. ‖ · ‖1 ist X nicht vollstandig.

14.4 Gleichmaßige Konvergenz

Definitionen: Sei X eine Menge, X 6= ∅, sei (Y, dY ) metrischer Raum, sei fn : X → Y ,

n ∈ N.

(a) (fn)n∈N konvergiert punktweise gegen f : X → Y , wenn gilt:

∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : dY (fn(x) f(x)) < ε .

(b) (fn)n∈N konvergiert gleichmaßig gegen f : X → Y , wenn gilt:

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ X ∀n ≥ N : dY (fn(x) f(x)) < ε .

Satz 6 Seien (X, dX), (Y, dY ) metrische Raume, sei x0 ∈ X, sei fn : X → Y stetig in

x0 ∀n ∈ N. Konvergiert dann (fn)n∈N gleichmaßig gegen f : X → Y , so ist f stetig in x0.

Satz 7 (Satz von DINI)

Sei (X, dX ) kompakter metrischer Raum und sei (fn)n∈N eine Folge in C(X,R).

Es gelte: (fn(x))n∈N ist monoton fallende Nullfolge fur alle x ∈ X.

Dann konvergiert (fn)n∈N gleichmaßig gegen 0 (= Nullfunktion).

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15 Der euklidische Raum Rn

15.1 Der Rn als normierter Raum

Bekanntlich ist

X := Rn := R× · · · × R :={

(x1, . . . , xn)∣∣∣ xi ∈ R , 1 ≤ i ≤ n

}

ein n-dimensionaler Vektorraum uber dem Korper R.

Ziel: Verifikation der Metrikeigenschaften von dp fur p ∈ (1,∞).

Lemma 1

(a) Fur x ∈ (0,∞) , α ∈ (0, 1) gilt: xα − αx ≤ 1− α.

(b) Fur a, b ∈ (0,∞) und α, β ∈ (0, 1) mit α+ β = 1 gilt: aαbβ ≤ αa+ βb.

(c) Fur a, b ∈ (0,∞) und p, q ∈ (1,∞) mit1

p+

1

q= 1 gilt: ab ≤ 1

pap +

1

qbq.

Lemma 2 (HOLDER’sche Ungleichung)

Seien ai, bi ∈ (0,∞) , 1 ≤ i ≤ n, und seien p, q ∈ (1,∞) mit1

p+

1

q= 1. Dann gilt:

n∑

i=1

aibi ≤(

n∑

i=1

api

)1/p( n∑

i=1

bqi

)1/q

.

Satz 3 (MINKOWSKI’sche Ungleichung)

Seien ai, bi ∈ (0,∞) , 1 ≤ i ≤ n, und sei p ∈ (1,∞). Dann gilt:

(n∑

i=1

(ai + bi)p

)1/p

≤(

n∑

i=1

api

)1/p

+

(n∑

i=1

bpi

)1/p

.

Folgerung 4

(a) (Rn, ‖ · ‖p) ist fur jedes p ∈ [1,∞] ein Banachraum.

(b) Die Kugeln

Kp(x, r) :={

y ∈ Rn∣∣∣ ‖y − x‖p ≤ r

}

, x ∈ Rn , r ∈ [0,∞) ,

sind fur jedes p ∈ [1,∞] kompakt.

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(c)

‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p‖x‖∞ , x ∈ Rn , p ∈ [1,∞] .

Abbildung 1: Kugeln im R2 fur p = 1, 2,∞

Definition: Sei X ein Vektorraum (uber K) und seien ‖ · ‖, | · | zwei Normen auf X.

‖ · ‖, | · | heißen aquivalent, wenn es α, β > 0 gibt mit:

α‖x‖ ≤ |x| ≤ β‖x‖ ∀x ∈ X .

Satz 5 Alle Normen auf dem Vektorraum Rn sind aquivalent.

Folgerung 6 Sei ‖ · ‖ eine Norm auf Rn. Es gilt:

(a) (Rn, ‖ · ‖) ist ein Banachraum.

(b) Fur A ⊂ Rn sind aquivalent:

i. A ist kompakt;

ii. A ist abgeschlossen und beschrankt.

Beispiel: Wir definieren fur p ∈ [1,∞]:

ℓp :=

{

(xn)n∈N

∣∣∣xn ∈ R ∀n ∈ N ,

n∈N|xn|p <∞

}

, p <∞{

(xn)n∈N

∣∣∣xn ∈ R ∀n ∈ N , supn∈N |xn| <∞

}

, p =∞.

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Sei p ∈ [1,∞]. Wir setzen:

q :=

1 falls p =∞p

p− 1falls p ∈ (1,∞)

∞ falls p = 1

.

Es gilt:

i.

n∈N

xnyn ≤(∑

n∈N

|xn|p)1/p(

n∈N

|yn|q)1/q

ii. Durch

‖ · ‖p : ℓp ∋ x = (xn)n∈N 7→( ∞∑

n=1

|xn|p)1/p

∈ R

wird eine Norm definiert.

iii. dim ℓp =∞ .

iv. Die abgeschlossene Einheitskugel

K(0, 1) :={

(xn)n∈N ∈ ℓp∣∣∣ ‖x‖p ≤ 1

}

ist nicht kompakt.

15.2 Rn als euklidischer Raum

Definition: Die Abbildung

< ·, · >: Rn × Rn ∋ (x, y) 7→n∑

i=1

xiyi ∈ R

heißt das euklidische Skalarprodukt in R.

Folgerung 7

(a) < x, x >≥ 0 ∀x ∈ Rn.

(b) < x, x >= 0 genau dann, wenn x = 0.

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(c) < αx+ βy, z >= α < x, z > +β < y, z > , x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R.

(d) < x, y >=< y, x > , x, y ∈ Rn.

(e) | < x, y > | ≤< x, x >1/2< y, y >1/2 , x, y ∈ Rn.

(f) | < x, y > | =< x, x >1/2< y, y >1/2 genau dann, wenn x, y linear abhangig sind.

Definition: Seien x, y ∈ Rn , x 6= 0 , y 6= 0.

(a) Die Zahl α ∈ [0, π] mit

cosα =< x, y >

‖x‖2‖y‖2

heißt der Winkel zwischen x und y.

(b) x, y heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn gilt < x, y >= 0, d.h. wenn

der Winkel α = π/2 ist.

Parallelogrammidentitat

‖x+ y‖22 + ‖x− y‖22 = 2‖x‖22 + 2‖y‖22 , x, y ∈ Rn .

Satz von Pythagoras

‖x+ y‖22 = ‖x‖22 + ‖y‖22 ∀x, y ∈ Rn mit < x, y >= 0 .

15.3 Kurven in Rn

Definitionen: Sei (X,T ) ein topologischer Raum, a, b ∈ R.

(a) Eine stetige Abbildung ϕ : [a, b]→ X heißt Weg (in X mit Parameterintervall [a, b]);

die Bildmenge

Γϕ :={

ϕ(t)∣∣∣ t ∈ [a, b]

}

heißt dann die durch ϕ erzeugte Kurve mit Anfangspunkt ϕ(a) und Endpunkt ϕ(b).

(b) Ein Weg ϕ in X heißt JORDAN–Weg, wenn ϕ injektiv ist.

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(c) Ein Weg ϕ = [a, b]→ X heißt geschlossen, wenn ϕ(a) = ϕ(b) gilt.

(d) Ein Weg ϕ = [a, b]→ X heißt geschlossener JORDAN–Weg , wenn ϕ geschlossen ist

und ϕ | (a, b) injektiv ist.

Bezeichnung: Koordinatenabbildungen ϕ1, . . . , ϕn:

ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) , t ∈ [a, b] ,

ϕi(t) := < ϕ(t), ei > , t ∈ [a, b] , 1 ≤ i ≤ n .

wobei ei = i-ter Einheitsvektor.

Beispiele:

1. Strecke mit Anfangspunkt (1, 2) und Endpunkt (2, 1),

ϕ : [0, 1] ∋ t 7→ (1 + t, 2− t) ∈ R2 ,

ψ : [−2, 2] ∋ s 7→(

3

2− 1

4s,

3

2+

1

4s

)

∈ R2 .

2. Kreislinie,

ϕ : [0, 2π] ∋ t 7→ (cos t, sin t) ∈ R2 ,

ψ : [0, 2π] ∋ t 7→ (cos 2t, sin 2t) ∈ R2 ;

ψ ist kein Jordan–Weg; ϕ ist ein geschlossener Jordan-Weg.

3.

ϕ : R ∋ t 7→ (r cos t, r sin t, ct) ∈ R3 mit r > 0, c > 0

heißt Schraubenlinie mit Ganghohe 2πc

y

z

.................................

..........................

..........................

...........................

..........................

...........................

..........................

..x

r

•.........................................................................................................................• 2cπ

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. Ellipse:

ϕ : [0, 2π] ∋ t 7→ (a cos t, b sin t) ∈ R2 , mit a > b > 0 ,

- 106 -

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ist ein geschlossener Jordan–Weg. Die zugehorige Kurve ist die

Ellipse

{

x, y∣∣∣x2

a2+y2

b2= 1

}

= Γϕ

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...........

...............

.......................

.........................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................• •

E F

Q

Brennpunkte: E = (−e, 0) , F = (e, 0)

e =√a2 − b2 (

”lineare Exzentrizitat“)

Es gilt immer ‖E −Q‖2 + ‖Q− F‖2 = 2a (”Gartnerkonstruktion“).

5. Hyperbelast:

ϕr : R ∋ t 7→ (a cosh t, b sinh t) ∈ R2 , a, b > 0 ,

ist kein Weg, aber jede Einschrankung auf ein beschranktes, abgeschlossenes Intervall

ist ein Jordan–Weg. Die zugehorige Kurve ist der rechte Ast der

Hyperbel

{

x, y

∣∣∣∣

x2

a2− y2

b2= 1

}

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a

b

E F

Brennpunkte: E = (−e, 0) , F = (e, 0)

e =√a2 + b2 (

”lineare Exzentrizitat“)

- 107 -

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Definition: Polarkoordinaten im R2 : (r, ϑ), wobei

r :=√

x2 + y2 : Abstand vom Nullpunkt

ϑ ∈ [0, 2π) mit:x

r= cos ϑ ,

y

r= sinϑ ;

ϑ = 0 falls r = 0 .

x

y

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................•P (x, y)

ϑ.....................................

r

Wir setzen ϑ = 0, falls r = 0 ist. Mit r = f(ϑ) erhalt man einen Weg durch

ϕ : [α, β] ∋ ϑ 7→(f(ϑ) cos ϑ, f(ϑ) sinϑ

)∈ R2 .

Beispiele:

1.

r =p

1 + ε cos ϑ, ϑ ∈ [0, 2π] , p > 0, ε ≥ 0 .

ε = 0 : Kreis mit Radius p

ε ∈ (0, 1) : Ellipse mit Koordinatenursprung im linken Brennpunkt E = (−e, 0),(x+ e)2

a2+y2

b2= 1 , e :=

a2 − b2

Hier ist ε =√a2 − b2/a die sogenannte

”numerische Exzentrizitat“.

ε = 1 : Parabel:

y2 + 2p(x− 1

2p) = 0

ε > 1 : Hyperbel

(x− e)2a2

− y2

b2= 1 , e :=

a2 + b2

2. Archimedische Spirale: r = aϑ , ϑ ∈ [0,∞) , a > 0 .

3. Logarithmische Spirale: r = aϑ , ϑ ∈ [0,∞) , a > 0 .

- 108 -

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...

....

....

.................................................................................

...................................................

...............................................................................................................

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........................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

ϕ

ϕ

Bezeichnung: Sei ϕ : [a, b] → Rn ein Weg. Mit Z[a, b] sei die Menge der Zerlegungen

von [a, b] bezeichnet,

Z[a, b] =

Z

∣∣∣∣∣∣

Z Zerlegung von [a, b] der Form

Z : a = t0 < · · · < tm = b

Definition: Lange des Polygonzugs

ℓ(Z,ϕ) :=

m∑

k=1

‖ϕ(tk)− ϕ(tk−1)‖2

Definition: Ein Weg ϕ : [a, b]→ Rn heißt rektifizierbar, wenn es eine Konstante λ gibt,

so dass gilt:

ℓ(Z;ϕ) ≤ λ ∀Z ∈ Z[a, b] .

In diesem Falle wird die reelle Zahl

L(ϕ) := supZ∈Z[a,b]

ℓ(Z;ϕ)

die Lange von ϕ genannt.

- 109 -

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Definition: Eine Abbildung f : [a, b] → R heißt von beschrankter Variation, wenn es

ν ∈ R gibt, so dass fur jede Zerlegung Z ∈ Z[a, b] gilt:

var(Z; f) :=

p∑

i=1

|f(ti)− f(ti−1)| ≤ ν ,

wobei Z : a = t0 < · · · < tp = b .

V ba (f) := supZ∈Z[a,b] var (Z; f) heißt dann die Totalvariation von f und wir schreiben

f ∈ BV [a, b] .

Satz 8 Der Weg ϕ : [a, b] → Rn mit den Koordinatenfunktionen ϕ1, . . . , ϕn ist genau

dann rektifizierbar, wenn jede Koordinatenfunktion ϕi von beschrankter Variation ist.

Bemerkung: Nicht jede Funktion ist vom Typ BV [a, b].

Beispiel:

f : [0, 1] −→ R , x 7→

0 , falls x = 0

x cosπ

x, sonst

.

Es gilt

var(Z; f) ≥n∑

j=1

1

j

und

f 6∈ BV [0, 1] .

Damit ist nicht jeder Weg rektifizierbar.

Definition: Sind ϕ : [a, b]→ Rn , ψ : [b, c]→ Rn Wege mit ϕ(b) = ψ(b), so wird durch

[a, c] ∋ t 7→

ϕ(t) , falls t ≤ bψ(t) , falls t > b

ein Weg erklart, den man die Summe der Wege ϕ,ψ nennt und mit ϕ⊕ ψ bezeichnet.

Bezeichnung: Γϕ ⊕ Γψ fur die zugehorige Kurve.

Lemma 9 Sei f : [a, b]→ R , c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:

- 110 -

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(a) f ∈ BV [a, b] ;

(b) f∣∣∣[a,c]∈ BV [a, c] , f

∣∣∣[c,b]∈ BV [c, b] .

Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt:

V ba f = V c

a f + V bc f .

Satz 10 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein Weg, sei c ∈ (a, b). Dann sind aquivalent:

(a) ϕ ist rektifizierbar.

(b) ϕ∣∣∣[a,c]

, ϕ∣∣∣[c,b]

sind rektifizierbar.

Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt:

L(ϕ) = L(ϕ∣∣∣[a,c]

) + L

(

ϕ∣∣∣[c,b]

)

.

Definition: Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Weg. Die Funktion

sϕ : [a, b] −→ R , t 7→

0 , t = a

L(ϕ|[a,t]

), t > a

heißt Weglangenfunktion.

Satz 11 Sei ϕ : [a, b]→ Rn ein rektifizierbarer Weg. Es gilt:

(a) Die Weglangenfunktion sϕ ist stetig und monoton wachsend.

(b) Ist ϕ ein Jordan–Weg, so ist sϕ sogar streng monoton wachsend.

Fur einen rektifizierbaren Jordan–Weg besitzt die Weglangenfunktion sϕ : [a, b] −→ R eine

Umkehrfunktion

tϕ :[0, L(ϕ)

]∋ s 7→ t = tϕ(s)(= tϕ ◦ sϕ) ∈ [a, b] .

Fur ψ := ϕ ◦ tϕ :[0, L(ϕ)

]−→ Rn gilt sψ(s) = s.

Satz 12 Sei ϕ : [a, b] → Rn ein rektifizierbarer Jordan–Weg und sei Γϕ die zugehorige

Jordan–Kurve. Dann gibt es einen rektifizierbaren Jordan–Weg ψ : [0, L(ϕ)] → Rn mit:

Γϕ = Γψ , L

(

ψ∣∣∣[0,s]

)

= s ∀s ∈ [0, L(ϕ)] .

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Lemma 13 (Lemma von TIKHONOV)

Seien X,Y metrische Raume, sei X kompakt, und sei f : X → Y stetig und bijektiv. Dann

ist f−1 : Y → X stetig.

Mit dem Lemma von Tikhonov beweist man das folgende Ergebnis.

Satz 14 Seien ϕ1 : [a1, b1] → Rn , ϕ2 : [a2, b2] → Rn Wege und es gebe f : [a2, b2] → R

mit

f stetig, streng monoton, f( [a2, b2] ) = [a1, b1] , ϕ2 = ϕ1 ◦ f .

Dann sind aquivalent:

(a) ϕ1 ist rektifizierbar;

(b) ϕ2 ist rektifizierbar.

Zusatz: Sind (a), (b) erfullt, so gilt: L(ϕ1) = L(ϕ2).

Folgerung 15 Seien ϕ,ψ Jordan–Wege mit Γϕ = Γψ. Dann gilt: L(ϕ) = L(ψ).

Definition: Sei Γ eine Jordan–Kurve, d. h. es gibt einen Jordan–Weg ϕ mit Γ = Γϕ.

Dann heißt L(Γ) := L(ϕ) die Kurvenlange von Γ.

15.4 Differenzierbare Wege

Definition: Ein Weg ϕ : [a, b] → Rn mit den Koordinatenfunktionen ϕ1, . . . , ϕn heißt

(stetig) differenzierbar, wenn jede Koordinatenfunktion ϕi (stetig) differenzierbar ist;

ϕ(t) := (ϕ′1(t), . . . , ϕ

′n(t)) , t ∈ [a, b] .

Satz 16 Sei der Vektor ϕ : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar. Dann ist ϕ rektifizierbar und

es gilt:

(a) Die Weglangenfunktion sϕ ist stetig differenzierbar, s′ϕ(t) = ‖ϕ(t)‖2 , t ∈ [a, b] .

(b) L(ϕ) =

∫ b

a‖ϕ(t)‖2 dt .

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Folgerung 17 Ist der Weg ϕ : [a, b]→ Rn die Summe stetig differenzierbarer Wege, d. h.

ϕ = ϕ1 ⊕ · · · ⊕ ϕℓ ,ϕi stetig differenzierbarer Weg, 1 ≤ i ≤ ℓ ,

so gilt:

ϕ ist rektifizierbar, L(ϕ) =

ℓ∑

i=1

L(ϕi)

Beispiele:

1. Jede stetige Funktion f : [a, b]→ R erzeugt in naturlicher Weise einen Weg in R2:

ϕf : [a, b] ∋ t 7→ (t, f(t)) ∈ R2 .

Dieser Weg ist rektifizierbar genau dann, wenn gilt: f ∈ BV [a, b].

Ist f stetig differenzierbar, so gilt:

L(ϕf ) =

∫ b

a

1 + f ′(t)2 dt

2. Die Ellipse mit den Halbachsen a, b, 0 < b < a, besitzt die Darstellung durch den

geschlossenen Jordan–Weg

ϕ : [0, 2π] ∋ t 7→ (a cos t, b sin t) ∈ R2 .

Umfang U der Ellipse (k := a−1√a2 − b2 ) :

U =

∫ 2π

0

a2 sin2 t+ b2 cos2 t dt = 4a

∫ π/2

0

1− k2 cos2 t dt .

Das Integral

E(k) :=

∫ π/2

0

1− k2 cos2 t dt

gehort zur Familie der elliptischen Integrale.

- 113 -

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3. Ein Stuck einer Archimedischen Spirale wird durch den Jordan–Weg

ϕ : [0, 2π] ∋ ϑ 7→ (ϑ cos ϑ, ϑ sinϑ) ∈ R2

dargestellt. Lange:

L(ϕ) =

∫ 2π

0(1 + ϑ2)1/2dϑ

Bezeichnung: Sei ϕ : [a, b]→ Rn,

ϕ(t) := (ϕ′1(t), . . . , ϕ

′n(t)) ,

ϕ(t) := (ϕ′′1(t), . . . , ϕ

′′n(t)) .

Bemerkung: Fur die Weglangenfunktion sϕ gilt:

s′ϕ(t) = ‖ϕ(t)‖2 , t ∈ [a, b] ,

s′ϕ(t)s′′ϕ(t) =< ϕ(t), ϕ(t) > , t ∈ [a, b] .

Weiterhin gilt fur einen Weg ϕ mit der Weglange als Parameter (s. Satz 12):

sϕ(s) = s, s ∈ [0, L(ϕ)] .

‖ϕ(s)‖2 = 1, s ∈ [0, L(ϕ)] .

< ϕ(s), ϕ(s) >= 0, s ∈ [0, L(ϕ)] .

Definition: ‖ϕ(s)‖2 heißt Krummung im Punkt ϕ(s),1

‖ϕ(s)‖2heißt Krummungsradius

in ϕ(s), falls ϕ(s) 6= 0.

Beispiel: Kreis ϕ(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ [0, 2π]

=⇒ ϕ(t) = (−r sin t, r cos t),∥∥ϕ(t)

∥∥

2= r

sϕ(t) =

t∫

0

∥∥ψ(τ)

∥∥

2dτ = r t

Umkehrfunktion tϕ(s) =1

rs,

ψ(s) = ϕ ◦ tϕ(s) =(r cos(

s

r), r sin(

s

r)), s ∈ [0, 2πr]

ψ(s) =(− sin(

s

r), cos(

s

r)), ψ(s) =

−1

r

(cos(

s

r), sin(

s

r))

∥∥ψ(s)

∥∥

2= 1,

s∫

0

∥∥ψ(τ)

∥∥

2dτ(

= sψ(s))

= s

〈ψ(s), ψ(s)〉 = 1

r2(sin

s

rcos(

s

r)− sin

s

rcos(

s

r))

= 0

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Krummungsradius:

∥∥ψ(s)

∥∥

2=

1

r

cos2(s

r) + sin2(

s

r) =

1

r

Krummungsmittelpunkt:

µ(s) = ψ(s) +ψ(s)∥∥ψ(s)

∥∥2

2

= 0

- 115 -

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16 Differenzierbarkeit im Rn

(Lit.: Insbes. Heuser, Teil 2 (1993); auch Kerner II (1980), Walter 2 (1992))

16.1 Hinfuhrung

Wiederholung: f : U → R , U ⊂ R offen, x0 ∈ U .

f ist differenzierbar in x0 genau dann, wenn

limx→x0

x 6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0(=: f ′(x0))

existiert.

Interpretationen (Setze m := f ′(x0))

(a) m ist Grenzwert von Differentialquotienten und daher die Steigung der resultierenden

Tangente (an f(x0)).

(b) m induziert eine (Hyper-)Ebene H(x0) in R× R, die den Graph von f beruhrt,

H(x0) :={

(x, z) ∈ R2∣∣∣z = f(x0) +m(x− x0)

}

.

(c) m definiert eine (affine) Funktion g, die f in der Umgebung von x0 geeignet appro-

ximiert (s. Satz 10.2):

g(x) := f(x0) +m(x− x0) , x ∈ U ,

limx→x0

x 6=x0

|f(x)− g(x)||x− x0| = 0 .

x

y

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.....................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................f(x)

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

x0.............

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α.............

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m = tan(α)

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Bemerkung: Eine Kombination von (b) und (c) zeigt, dass die Hyperebene H(x0) den

Graph von f in (x0, f(x0)) in”tangentialer“ Weise beruhrt:

limx→x0

x 6=x0

‖(x, f(x)) − (x, g(x))‖2|x− x0| = 0

Beispiel:

1. f : R −→ R , x 7−→ |x| , x0 = 0 ;

x

y..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................f(x) f(x)

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

g−1/2

gm : R ∋ x 7−→ f(x0) +m(x− x0) ∈ R , m ∈ [−1, 1] .

limx→x0

x 6=x0

‖(x, f(x)) − (x, gm(x))‖2|x− x0| existiert ⇐⇒ m = 0 .

Fur m = 0 ist aber

limx→x0

x 6=x0

‖(x, f(x)) − (x, g0(x))‖2|x− x0| = 1 ,

d.h. es liegt keine tangentiale Beruhrung in (0, 0) vor.

Forderung Eine bei x0

”differenzierbare“ Funktion

f : U −→ R , U ⊂ R2 offen , x0 ∈ U

soll auch in x0 stetig sein (vgl. Folgerung 10.3 im R1).

Bemerkung: Eine eindimensionale Betrachtung reicht fur diese Forderung nicht aus!

Bezeichnung:

f1 : U1 ∋ x1 7−→ f(x1, x02) ∈ R ,

f2 : U2 ∋ x2 7−→ f(x01, x2) ∈ R ,

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wobei U1, U2 ⊂ R offen mit U1 × U2 ⊂ U ⊂ R2 und x0 = (x01, x

02).

Beispiel:

2.

f : R2 −→ R , (x1, x2) 7−→

0 , falls x1x2 = 0 ,

1 , sonst.

f1(x1) = f2(x2) = 0 ∀x1, x2 ∈ R , x0 = (0, 0), und f1, f2 sind differenzierbar in 0.

Aber f ist nicht stetig in x0.

16.2 Partielle Ableitungen

Definition: Sei f : U −→ R , U ⊂ Rn offen.

(a) f heißt im Punkt x0 partiell nach xk , k ∈ {1, . . . , n}, differenzierbar, wenn

limh→0

f(x01, . . . , x

0k−1, x

0k + h, x0

k+1, . . . , x0n)− f(x0

1, . . . , x0n)

h

existiert; man setzt dann fur den Limes

∂f

∂xk(x0) oder fxk

(x0) oder Dkf(x0) ,

und bezeichnet diesen als partielle Ableitung.

(b) f heißt partiell differenzierbar in x0 ∈ U , wenn f fur jedes k = 1, . . . , n in x0 partiell

nach xk differenzierbar ist.

(c) f heißt partiell differenzierbar, wenn f in jedem Punkt von U partiell differenzierbar

ist.

Bezeichnung: ∂f∂xk

(x0) heißt partielle Ableitung von f nach xk.

Bemerkung: f ist genau dann in x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ U partiell nach xk differenzierbar,

wenn die partielle Funktion

fk : Uk ∋ xk 7−→ f(x0

1, . . . , x0k−1, xk, x

0k+1, . . . , x

0n

)∈ R ,

Uk ⊂ pk(U) ⊂ R (pk := kanonische Projektion auf k-te Komponente) bei x0k differenzierbar

ist.

- 118 -

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Beispiel: f : R2 −→ R , (x1, x2) 7−→

0 , x1 = x2 = 0 ,x1x2

x21 + x2

2

, (x1, x2) 6= (0, 0) .

Die partiellen Funktionen f1 bzw. f2 sind fur jedes (feste) x2 bzw. x1 stetig. f ist in (0, 0)

unstetig. Die partiellen Ableitungen existieren uberall:

∂f

∂x1(x1, x2) =

x2

(x2

2 − x21

)

(x2

1 + x22

)2 , x1, x2 ∈ R , (x1, x2) 6= (0, 0) ,

∂f

∂x1(x1, 0) = 0 , x1 ∈ R ; also

∂f1

∂x1(0, 0) = 0 .

Analoges gilt fur ∂f/∂x2. Wegen ∂f/∂x1(0, x2) = 1/x2, x2 6= 0, nimmt ∂f/∂x1 in jeder

Umgebung von (0, 0) beliebig große Werte an.

Definition: Sei U ⊂ Rn offen und f : U −→ R partiell differenzierbar. Sind∂f

∂xk: U −→ R

fur jedes k = 1, . . . , n partiell differenzierbar, dann heißt f zweimal partiell differenzierbar.

Bezeichnung:

1. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung schreibt man als

∂2f

∂xj∂xkoder

∂xj

(∂f

∂xk

)

oder DjDkf ;∂2f

∂x2k

, falls j = k .

2. Partielle Ableitungen dritter, vierter, ... Ordnung schreibt man als, z. B.,

∂3f

∂x2∂x4∂x1,

∂4f

∂x1∂x22∂x3

,∂5f

∂x52

, . . .

Bei den folgenden Satzen in diesem Abschnitt beschranken wir uns meist auf den R2;

die Ubertragung auf den Rn , n ≥ 2, ist offensichtlich. Wir setzen im Fall n = 2 noch

x = x1 , y = x2.

Satz 1 Ist U ⊂ R2 offen und f : U −→ R besitze beschrankte partielle Ableitungen fx, fy

in U , dann ist f stetig in U .

Beispiel: Fur die Funktion

f(x, y) :=

0 , x = y = 0 ,

xyx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0) ,

ist ∂2f/∂x∂y 6= ∂2f/∂y∂x bei (0, 0).

- 119 -

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Satz 2 (Vertauschungssatz) Sei U ⊂ R2 offen, (x0, y0) ∈ U und f : U −→ R besitze

partielle Ableitungen fx, fy, fxy und fyx in U . Weiter seien fx, fy stetig in U und fxy, fyx

seien stetig im Punkt (x0, y0). Dann gilt

∂2f

∂x∂y(x0, y0) =

∂2f

∂y∂x(x0, y0) .

Satz 3 (Satz von H. A. SCHWARZ) Sei U ⊂ R2 offen, (x0, y0) ∈ U , f besitze partielle

Ableitungen fx, fy, fxy in U , fx und fy seien stetig in U und fxy sei im Punkt (x0, y0)

stetig. Dann existiert fyx in (x0, y0), und es ist

∂2f

∂y∂x(x0, y0) =

∂2f

∂x∂y(x0, y0) .

Bezeichnungen: U sei nichtleere, offene Teilmenge des Rn und k ∈ N.

Ck(U) :={

f : U −→ R

∣∣∣ alle partiellen Ableitungen der Ordnung

≤ k existieren in U und sind dort stetig}

;

C0(U) := C(U) = C(U,R) ;

C∞(U) =∞⋂

k=0

Ck(U) .

f ∈ Ck(U) heißt auch Ck–Funktion.

Folgerung 4 Sei U nichtleere offene Teilmenge des Rn. Fur jedes f ∈ Ck(U) sind die

partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ k unabhangig von der Reihenfolge der Differentia-

tion.

Definition: Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ R besitze partielle Ableitungen bei x ∈ U .

Dann heißt der Vektor

(fx1(x), fx2(x), . . . , fxn(x))

der Gradient von f bei x. Wir schreiben dafur

grad f(x) oder ∇f(x) (∇ = Nabla–Operator)

- 120 -

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Beispiel:

f(x, y) =

0 , (x, y) = (0, 0)xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

grad f(x, y) =

(

yy2 − x2

(x2 + y2)2, x

x2 − y2

(x2 + y2)2

)

, (x, y) 6= (0, 0) ;

grad f(0, 0) = (0, 0) .

Jede Komponente des Gradienten ist unstetig in (0, 0).

16.3 Vollstandige Differenzierbarkeit

Im folgenden sei der Rn bzw. Rm immer mit der euklidischen Norm versehen, ‖.‖ = ‖.‖2.

Definitionen: Sei U ⊂ Rn offen.

(a) f : U −→ R heißt vollstandig (oder total) differenzierbar im Punkt x0 = (x01, . . . , x

0n)

∈ U , wenn es Zahlen α1, . . . , αn ∈ R gibt, so dass die Funktion r : durch

f(x0 + h) = f(x0) + α1h1 + · · · + αnhn + r(h) ∀h : ‖h‖ < δ ,

fur ‖h‖ < δ, δ hinreichend kein, erklart ist,

wobei δ hinreichend klein ist, K(x0, δ) ⊂ U und

lim‖h‖→0

r(h)

‖h‖ = 0 .

(b) f : U −→ R heißt vollstandig differenzierbar, wenn f in jedem Punkt aus U

vollstandig differenzierbar ist.

Bemerkungen:

1. Die vollstandige Differenzierbarkeit in einem Punkt x0 bedeutet, dass man f in der

Nahe von x0 durch eine affine Funktion

f(x0) + α1(x1 − x01) + · · ·+ αn(xn − x0

n)

approximieren kann.

- 121 -

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2. Die vollstandige Differenzierbarkeit stellt die Verallgemeinerung der Differenzierbar-

keit im R1 dar, da fur differenzierbares f gilt

f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) + (x− x0)ϕ(x− x0)

mit ϕ(h) :=f(x0 + h)− f(x0)

h− f ′(x0) , r(h) := h · ϕ(h) und α1 := f ′(x0).

Bezeichnung: Wir lassen im folgenden”vollstandig“ oder

”total“ bei der Differenzier-

barkeit weg.

Satz 5 Ist U ⊂ Rn offen, f : U −→ R differenzierbar in x0 ∈ U , dann ist f stetig

und partiell differenzierbar bei x0; der Vektor α = (α1, . . . , αn) in der Definition der

Differenzierbarkeit ist eindeutig bestimmt:

α = grad f(x0) .

Bezeichnung: Ist f differenzierbar bei x, dann bezeichnen wir den eindeutig bestimmten

Vektor α = (α1, . . . , αn) als (totale oder vollstandige) Ableitung und schreiben dafur

f ′(x) oder Df(x) oder df(x) .

Nach Satz 5 ist fur f : U ⊂ Rn −→ R

f ′(x) = grad f(x) oder∂f

∂xi(x) = f ′(x)ei , i = 1, . . . , n .

Satz 6 Sei f : U −→ R , U ⊂ Rn offen, x0 ∈ U . Es gelte

(a) f ist partiell differenzierbar in K(x0, r) fur ein r > 0 mit K(x0, r) ⊂ U ;

(b) Die partiellen Ableitungen∂f

∂xk: K(x0, r) −→ R sind in x0 stetig fur jedes k =

1, . . . , n.

Dann ist f differenzierbar in x0.

Folgerung 7 Eine C1–Funktion f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, ist in jedem Punkt x ∈ Udifferenzierbar und somit auch stetig.

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Bemerkung: Das erste Beispiel in Abschnitt 16.2 zeigt, dass eine Funktion differen-

zierbar sein kann, ohne eine C1–Funktion zu sein.

Das zweite Beispiel in 16.2 ist differenzierbar bei (0, 0), weil fx und fy stetig bei (0, 0)

sind. Es ist sogar uberall differenzierbar mit stetigen partiellen Ableitungen, also eine

C1-Funktion.

Wir erweitern die Aussagen dieses Abschnitts noch auf Abbildungen f : U ⊂ Rn −→ Rm,

d. h. f habe Komponenten f1, . . . , fm,

f =

f1

...

fm

mit fj : U −→ R .

Definition: Sei f : U ⊂ Rn −→ Rm , U nichtleer und offen.

(a) f heißt in x0 ∈ U partiell differenzierbar nach xk , k ∈ {1, . . . , n}, wenn jede Kom-

ponente fj , 1 ≤ j ≤ n, in x0 partiell nach xk differenzierbar ist.

(b) f heißt in x0 ∈ U ( vollstandig oder total) differenzierbar, wenn es eine (m,n)–Matrix

A gibt, so dass fur alle x0 + h ∈ K(x0, δ) , δ hinreichend klein, die Darstellung gilt

f(x0 + h)− f(x0) = Ah+ r(h)

mit

limh→0

r(h)

‖h‖ = 0 .

Die Definitionen der partiellen Differenzierbarkeit (in ganz U), der stetigen partiellen Diffe-

renzierbarkeit sowie der vollstandigen Differenzierbarkeit in ganz U ubertragen sich analog.

Nach Satz 5 ist die Abbildung A in der Definition der Differenzierbarkeit eindeutig be-

stimmt und hat die Darstellung

A =

∂f1

∂x1(x) · · · ∂f1

∂xn(x)

...

∂fm∂x1

(x) · · · ∂fm∂xn

(x)

.

- 123 -

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Bezeichnung: Die Matrix (∂fj/∂xi) i=1,...,nj=1,...,m

heißt Funktionalmatrix oder Jacobimatrix

der Funktion f ; wir schreiben dafur

f ′ := Df :=∂f

∂x:=

∂(f1, . . . , fm)

∂(x1, . . . , xn)= (∂fj/∂xi) i=1,...,n

j=1,...,m

=

grad f1

...

grad fm

.

Beispiele:

1. f : Rn −→ Rm sei konstant, d. h. f(x) = c ∈ Rm ∀x ∈ Rn. Dann ist f ′(x) = 0.

2. f : Rn −→ Rm sei linear, also f(x) = Mx , x ∈ Rn, mit einer (m,n)–Matrix M .

Dann gilt f ′(x) = M ∀x ∈ Rn.

Fur die identische Abbildung f(x) = x , x ∈ Rn, hat man f ′(x) = E = Einheitsma-

trix.

3. f : Rn −→ Rm sei affin, d. h f(x) = Mx+ b mit einer (m,n)–Matrix M und einem

Vektor b ∈ Rm. Dann ist f ′(x) = M ∀x ∈ Rn.

4. f : R3 −→ R2 ,

f1(x1, x2, x3) = x23 e

x1x2 ,

f2(x1, x2, x3) = x1x2e2x2x3) ,

∂(f1, f2)

∂(x1, x2, x3)=

(∇f1

∇f2

)

=

x2x

23ex1x2 x1x

23ex1x2 2x3e

x1x2

x2e2x2x3 (x1 + 2x1x2x3)e

2x2x3 2x1x22e

2x2x3

.

Definition:

Ck(U) := Ck(U,Rm) :={

f : U −→ Rm∣∣∣ fj ∈ Ck(U) ∀1 ≤ j ≤ m

}

C∞(U) := C∞(U,Rm) :=

∞⋂

k=0

Ck(U,Rm)

16.4 Differentiationsregeln

Satz 8 Seien f, g : U ⊂ Rn −→ Rm , U offen, in x0 ∈ U differenzierbar. Dann ist auch

f + g und αf , α ∈ R, in x0 differenzierbar, und es ist,

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) , (αf)′(x0) = αf ′(x0) .

- 124 -

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Satz 9 (Kettenregel) Seien f : U ⊂ Rn −→ Rm , g : G ⊂ Rm −→ Rr , U,G offen und

G ⊃ f(U). Ist f in x0 ∈ U und g in f(x0) differenzierbar, dann ist h := g ◦ f in x0

differenzierbar, und es gilt

(g ◦ f)′(x0) = g′(

f(x0))

f ′(x0) , d. h.

∂hj∂xi

(x0) =

m∑

k=1

∂gj∂yk

(

f(x0))∂fk∂xi

(x0) , 1 ≤ j ≤ r , 1 ≤ i ≤ n .

Bemerkungen:

1. Die Formel der Kettenregel hat die gleiche Form wie im R1 (vgl. Satz 10.6), bedeutet

hier aber ausfuhrlich geschrieben die Multiplikation der zwei entsprechenden Funk-

tionalmatrizen.

2. Spezialfall

f(u1, . . . , un) und ui : D ⊂ R −→ R , 1 ≤ i ≤ n :

Hierbei sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, f differenzierbar,

ϕ(t) := f(u1(t), . . . , un(t)) existiere auf D ,

und ui , 1 ≤ i ≤ n, seien aufD differenzierbar. Dann ist auch ϕ aufD differenzierbar,

und dort gilt

dt=

∂f

∂x1

du1

dt+

∂f

∂x2

du2

dt+ · · · + ∂f

∂xn

dundt

= 〈∇f, u′〉 .

Satz 10 Die Funktionen f, g : U ⊂ Rn −→ R , U offen, seien in x0 ∈ U differenzierbar.

Dann ist auch fg in x0 differenzierbar mit

(fg)′(x0) = f(x0)g′(x0) + g(x0)f ′(x0) .

Ist g(x0) 6= 0, so ist f/g in x0 differenzierbar mit der Ableitung

(f

g

)′(x0) =

g(x0)f ′(x0)− f(x0)g′(x0)

(g(x0))2.

- 125 -

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Satz 11 Die Funktionen f, g : D ⊂ R −→ Rm , D offene Teilmenge von R, seien in t0 ∈D differenzierbar. Dann ist auch f · g : D ∋ t 7−→< f(t), g(t) >∈ R in t0 differenzierbar

mit der Ableitung

(f · g)′(t0) =< f(t0), g′(t0) > + < g(t0), f ′(t0) > ,

wobei

f ′(t0) =

df1

dt(t0)

...

dfmdt

(t0)

, g′(t0) =

dg1dt

(t0)

...

dgmdt

(t0)

.

16.5 Die Richtungsableitung

Definition: Sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen, und v ∈ Rn mit ‖v‖ = 1. f hat

Richtungsableitung in x0 ∈ U in Richtung v, wenn der folgende Limes existiert,

limt→0t 6=0

t−1(f(x0 + tv)− f(x0)

)=:

d

dtf(x0 + tv)

∣∣∣∣t=0

.

Wir nennen den Limes die Richtungsableitung von f in x0 in Richtung v und schreiben

dafur auch

∂f

∂v(x0) oder Dvf(x0) .

Bemerkungen:

1. Ist v der Einheitsvektor ek, so erhalt man als Richtungsableitung offenbar die parti-

elle Ableitung nach xk,

∂f

∂ek(x0) =

∂f

∂xk(x0) =

d

dtf(x0 + tek)

∣∣∣t=0

.

2. Man kann die Definition einer Richtungsableitung offenbar auf vektorwertige Funk-

tionen f : U ⊂ Rn −→ Rm erweitern; die Richtungsableitung ist dann einfach der

Vektor der Richtungsableitungen der einzelnen Komponenten fj , 1 ≤ j ≤ m.

Satz 12 Sei f : U ⊂ Rn −→ R , U offen und f sei differenzierbar in x0 ∈ U . Dann hat

f eine Richtungsableitung in x0 in jede Richtung v ∈ Rn , ‖v‖ = 1, und es gilt

d

dtf(x0 + tv)

∣∣∣∣t=0

= f ′(x0)v =< grad f(x0), v > .

- 126 -

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Bemerkung: Aus Satz 12 folgt sofort wieder Satz 5, d. h. die Existenz partieller

Ableitungen fur eine differenzierbare Funktion f . Die partiellen Ableitungen lassen sich

auch schreiben als

∂f

∂xk(x0) =< f ′(x0)ek > , k = 1, . . . , n .

Aus der Darstellung der Richtungsableitung mit Hilfe des Gradienten und der Holderschen

Ungleichung fur das euklidische Skalarprodukt hat man das folgende, fur die Anwendungen

wichtige Ergebnis.

Satz 13 Die Funktion f : U ⊂ Rn −→ R (U offen) sei in x0 ∈ U differenzierbar. Ist

grad f(x0) = 0, so verschwinden alle Richtungsableitungen in x0. Ist grad f(x0) 6= 0,

so gibt es unter allen Richtungsableitungen ∂f/∂v(x0) eine betragsgroßte, namlich die in

Richtung des Gradienten; ihr Wert ist ‖grad f(x0)‖.

16.6 Mittelwertsatze und Hauptsatz

Aus dem eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung (s. Folgerung 11.3)

erhalt man sofort einen entsprechenden Satz fur reellwertige Funktionen mit vektoriellen

Argumenten.

Satz 14 (MWS fur reellwertige Funktionen) Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ R in U

differenzierbar, und x0, x0 +h seien zwei Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke in

U liegen. Dann gibt es ein ϑ : 0 < ϑ < 1, so dass gilt

f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0 + ϑh)h , d. h.

f(x0 + h)− f(x0) =n∑

i=1

fxi(x0 + ϑh)hi = < grad f(x0 + ϑh), h > .

Definition: Sei U ⊂ Rn offen und zusammenhangend. Dann bezeichnen wir U als

Gebiet.

Bemerkung: Man kann zeigen, dass jedes Gebiet U ⊂ Rn die Eigenschaft besitzt, dass

je zwei Punkte aus U durch einen in U liegenden Polygonzug verbunden werden konnen

(vgl. Heuser 2, 161.).

- 127 -

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Folgerung 15 Sei U ⊂ Rn ein Gebiet, f : U −→ R, f sei in U partiell differenzierbar

und die partiellen Ableitungen fxi , 1 ≤ i ≤ n, seien uberall in U identisch Null. Dann ist

f in U konstant.

Der MWS gilt fur vektorwertige Funktionen nicht in Form einer Gleichheit — wie in

Folgerung 11.3 oder in Satz 14 — sondern in Form einer Ungleichung. Dafur benotigen

wir den Begriff des Riemann–Integrals fur Funktionen f : [a, b] −→ Rm , [a, b] ⊂ R.

Definition: Eine Funktion f = (f1, . . . , fm) : [a, b] −→ Rm , [a, b] ⊂ R, heißt Riemann–

integrierbar auf [a, b], wenn jedes fj beschrankt und Riemann–integrierbar ist

(vgl. Abschnitt 12.4);

∫ b

af(t) dt =

∫ b

af1(t) dt

...∫ b

afm(t) dt

heißt das Riemann–Integral von f uber [a, b].

Bemerkungen:

1. Als Folgerung aus dem 1-dimensionalen weiß man, dass stetige Funktionen Riemann–

integrierbar sind.

2. Wir setzen∫ a

af(t) dt := 0 ,

∫ b

af(t) dt = −

∫ a

bf(t) dt .

Wir lassen im folgenden”Riemann“ immer weg, da keine anderen Integralbegriffe in dieser

Vorlesung vorkommen.

Satz 16 Mit f : [a, b] −→ Rm ist auch ‖f‖ : [a, b] −→ R auf [a, b] integrierbar, und es gilt∥∥∥∥

∫ b

af(t) dt

∥∥∥∥≤∫ b

a

∥∥∥f(t)

∥∥∥ dt .

Satz 17 (Hauptsatz) Sei a < b , a, b ∈ R.

(a) Ist g : [a, b] −→ Rm stetig, dann ist

f : (a, b) ∋ t 7−→∫ t

ag(s) ds ∈ Rm

differenzierbar, und es gilt f ′(t) = g(t) , t ∈ (a, b).

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(b) Ist f : [a, b] −→ Rm stetig und stetig differenzierbar in jedem t ∈ (a, b) und gibt es

h : [a, b] −→ Rm mit

h stetig, h(t) = f ′(t) , t ∈ (a, b) ,

so gilt

f(b)− f(a) =

∫ b

af ′(s) ds .

Folgerung 18 Sei f : U ⊂ Rn −→ R, U offen, f stetig differenzierbar, x, x′ ∈ U , und

γ : [0, 1] −→ Rn ein differenzierbarer Weg mit γ(0) = x , γ(1) = x′ und γ([0, 1]) = Γγ ⊂ U .

Dann gilt:

f(x′)− f(x) =

∫ 1

0f ′(γ(t))γ′(t) dt

=

∫ 1

0< grad f(γ(t)), γ(t) > dt .

Bemerkung: Fur zwei Punkte x, x′ ∈ U ⊂ Rn, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke

S in U liegen, ist γ(t) := tx′ + (1 − t)x , t ∈ [0, 1], ein differenzierbarer Weg (i. e. eine

Gerade), dessen Kurve gerade S ergibt, Γγ = S.

Definition: Eine Teilmenge C eines normierten Raumes X heißt konvex , wenn sie mit

je zwei ihrer Punkte x′ , x ∈ C auch deren Verbindungsstrecke x′x := S :={

z ∈ X∣∣∣ ∃t ∈

[0, 1] : z = tx′ + (1− t)x}

enthalt.

Beispiele: Leere Menge; ganz X; Rechtecke, Kreise, Ellipsen im R2; Kugeln (offen oder

abgeschlossen) in normierten Raumen.

Definition: Sei A = (ajk) j=1,...,mk=1,...,n

eine (m,n)–Matrix, d. h. eine lineare Abbildung

A : Rn −→ Rm. Eine Matrizennorm ‖.‖ heißt mit den Normen ‖.‖ = ‖.‖Rn , ‖.‖ = ‖.‖Rm

vertraglich, wenn ‖Ax‖Rm ≤ ‖A‖ ‖x‖Rn ∀x ∈ Rn.

Beispiele:

1. ‖.‖∞ in Rn und Rm, A = (ajν) j=1,...,mν=1,...,n

‖A‖ = ‖A‖∞ := max1≤j≤m

n∑

ν=1

|ajν | (”maximale Zeilensumme “)

- 129 -

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2. ‖.‖1 in Rn und Rm,

‖A‖ = ‖A‖1 := max1≤ν≤n

m∑

j=1

|ajν| (”maximale Spaltensumme “)

3. ‖.‖2 in Rn und Rm,

‖A‖ = ‖A‖2 :=

m∑

j=1

n∑

ν=1

|ajν|2

1/2

(”Quadratsummennorm“)

Definition: Die naturliche Matrizennorm zu ‖ · ‖Rn , ‖ · ‖Rm ist definiert durch

‖A‖nat = sup06=x∈Rn

‖Ax‖Rm

‖x‖Rn

.

Beispiele: Im letzten Beispiel sind 1. und 2. auch naturliche Matrizennormen; 3. nicht.

Satz 19 (Mittelwertsatz fur vektorwertige Funktionen) Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ Rm

stetig differenzierbar, und x, x0+h seien zwei Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke

S in U liegen. Dann gilt

f(x0 + h)− f(x0) =

(∫ 1

0f ′(x0 + th) dt

)

h , d. h.

fj(x0 + h)− fj(x0) =

n∑

ν=1

∫ 1

0

∂fj∂xν

(x0 + th) dt , j = 1, . . . ,m .

Ist ‖.‖ irgendeine mit den Normen von Rn und Rm vertragliche Matrizennorm, dann gilt

die Abschatzung

‖f(x0 + h)− f(x0)‖ ≤ ‖h‖maxx∈S‖f ′(x)‖ .

Ein gewisser Ersatz fur den fehlenden MWS kann als Folgerung von Satz 14 wie folgt

formuliert werden.

Folgerung 20 Sei U ⊂ Rn offen, f : U −→ Rm , f = (f1, . . . , fm) differenzierbar in U .

Sind x0, x0 + h Punkte, die mitsamt ihrer Verbindungsstrecke S in U liegen, so gibt es

Punkte ξ1, . . . , ξm auf S, fur die gilt f(x0 + h)− f(x0) = f ′[ξ1, . . . , ξm]h mit

f ′[ξ1, . . . , ξm] :=

∂f1

∂x1(ξ1) . . .

∂f1

∂xn(ξ1)

...

∂fm∂x1

(ξm) . . .∂fm∂xn

(ξm)

- 130 -

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16.7 Der Taylorsche Satz und die Taylorformel

Satz 21 (Satz von Taylor) Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ Ck+1(U) , k ≥ 0, und mit x0, x0 + h

liege auch deren Verbindungsstrecke S in U . Dann gibt es ein ϑ in 0 ≤ ϑ ≤ 1, so dass gilt

(”Taylor–Formel“)

f(x0 + h) = f(x0) +k∑

ν=1

1

ν!

(

(∇h)νf)

(x0) +Rk(x0;h)

mit dem Restglied (in”Lagrange–Darstellung“)

Rk(x0;h) =

1

(k + 1)!

(

(∇h)k+1f)

(x0 + ϑh)

und den Differentialoperatoren

(∇h)0 = id , ∇h := (∇h)1 := h1D1 + · · ·+ hnDn , (∇h)ν+1 := (∇h)(∇h)ν ,ν = 0, . . . , k .

Das Restglied lasst sich auch in Integralform darstellen,

Rk(x0;h) =

∫ 1

0

(1− t)kk!

(

(∇h)k+1f)

(x0 + th) dt .

Bezeichnungen: Ein Tupel α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 heißt Multiindex mit Lange |α| =

α1 + · · · + αn. Fur α ∈ Nn0 setzen wir

α! =

n∏

i=1

αi! , xα :=

n∏

i=1

xαi

i , x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn .

Induktiv sieht man, dass

(x1 + · · ·+ xn)ν = ν!

|α|=ν

α!

=⇒ 1

ν!(∇h)ν =

|α|=ν

1

α!hαDα ,

wobei

Dα =∂|α|

∂xα11 · · · ∂xα

n

n

= Dα11 · · ·Dαn

n

∂ℓ

∂xℓi=

∂xi◦ · · · ◦ ∂

∂xi(ℓ–mal) .

- 131 -

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Unter den Voraussetzungen von Satz 21 lasst sich die Taylor–Formel auch in folgender

Weise schreiben,

f(x0 + h) =∑

|α|≤k

1

α!hα(Dαf)(x0) +

|α|=k+1

1

α!hα(Dαf)(x0 + ϑh) .

Man nennt

Pk,f,x0(x) =∑

|α|≤k

1

α!(x− x0)α(Dαf)(x0)

das k-te Taylor–Polynom (oder Taylor–Polynom vom Grad k) von f bzgl. der Stelle x0.

Beispiel: f : U −→ R , U ⊂ R2 offen, konvex, f (k + 1)-mal stetig differenzierbar:

k = 1:

f(x01 + h1, x

02 + h2) = f(x0

1, x02) +

((

h1∂

∂x1+ h2

∂x2

)

f

)(x0

1, x02

)+

+1

2

((

h1∂

∂x1+ h2

∂x2

)2

f

)

(x0

1 + ϑh1, x02 + ϑh2

),

wobei

1

2

(

h1∂

∂x1+ h2

∂x2

)2

f =1

2h2

1

∂2f

∂x21

+ h1h2∂2f

∂x1∂x2+

1

2h2

2

∂2f

∂x22

.

Sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung in U beschrankt, so gilt die Restglied-

abschatzung

‖R1(x0;h)‖∞ ≤

1

2M‖h‖2∞

mit (hier: n = 2)

M :=n∑

ν,ℓ=1

supx∈U

∣∣∣∣

∂2f

∂xν∂xℓ(x)

∣∣∣∣.

Definition: Hessematrix (f ∈ C2(U) , U ⊂ Rn offen)

Hf (x) :=

fx1x1(x) · · · fx1xn(x)...

...

fxnx1(x) · · · fxnxn(x)

- 132 -

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Bemerkung: Nach dem Satz von Schwarz ist die Hessematrix symmetrisch, fxixj(x) =

fxjxi(x) ∀i, j = 1, . . . , n. Es gilt

(∇h)2f =

n∑

i,j=1

hihjfxixj=< Hfh, h > .

Die Taylor–Formel fur k = 1 lautet

f(x0 + h) = f(x0)+ < grad f(x0), h > +R1(x0;h) ;

Restglied R1(x0;h) =

1

2< Hf (x

0 + ϑh)h, h > (”Lagrange–Darstellung“)

=

∫ 1

0(1− t) < Hf (x

0 + th)h, h > dt (”Integraldarstellung“)

Das Taylor–Polynom 2. Ordnung lasst sich schreiben als

P2,f,x0(x) = f(x0)+ < gradf(x0), x− x0 > +1

2< Hf (x

0)(x− x0), x− x0 > .

Bemerkung:

1. Ist f = (f1, . . . , fm) eine vektorwertige Funktion, dann gelten der Taylorsche Satz

und die Taylor–Formel unverandert, wobei alles vektorwertig zu verstehen ist.

2. Man kann die Eigenschaft der vollstandigen Differenzierbarkeit auch allgemeiner in

Banachraumen formulieren. Die Ableitungen heißen dann Frechet–Ableitungen und

sind beschrankte lineare Abbildungen zwischen den Banachraumen. Die Funktional-

matrix ist eine mogliche Darstellung der Frechet–Ableitung (bzgl. der kanonischen

Basen in Rn bzw. Rm). Die hoheren (Frechet–)Ableitungen sind dann Multilinearfor-

men. Die Definitionen und die Formulierung der Satze, z. B. des Taylorschen Satzes,

konnen meist unverandert ubernommen werden.

- 133 -

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17 Der Satz uber implizite Funktionen

Der Satz uber implizite Funktionen — oder der Satz uber inverse Funktionen — kann als

”Hauptsatz“ der nichtlinearen Analysis bezeichnet werden. Dabei lernen wir auch einen

zentralen Satz uber die Existenz von Fixpunkten kennen.

17.1 Der Kontraktionssatz

Satz 1 Sei (M,d) vollstandiger metrischer Raum, sei F : M −→M und es gelte:

∃q ∈ [0, 1) ∀x, y ∈M : d(F (x), F (y)) ≤ qd(x, y) .

Dann gibt es genau ein x ∈M mit

F (x) = x (x ist Fixpunkt von F ) .

Folgerung 2 (Banachscher Fixpunktsatz)

Sei X Banachraum, M ⊂ X abgeschlossen, F : M −→M und es gelte:

∃q ∈ [0, 1) ∀x, x′ ∈M :∥∥∥F (x)− F (x′)

∥∥∥X≤ q‖x− x′‖X .

Dann gibt es genau ein x ∈M mit

F (x) = x (x ist Fixpunkt von F in M) .

Definitionen:

1. Eine Abbildung F : D ⊂ X −→ Y, X, Y normierte Raume, heißt Lipschitzstetig,

wenn mit einer Konstanten L ≥ 0 (L = Lipschitzkonstante) gilt

‖F (x)− F (x′)‖Y ≤ L‖x− x′‖X ∀x, x′ ∈ D .

2. Eine Lipschitzstetige Abbildung F heißt Kontraktion (oder kontrahierende Abbil-

dung), wenn die Lipschitzkonstante L < 1 ist.

Beispiele:

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1. Sei a < b , F : [a, b] −→ [a, b] stetig und sei F differenzierbar in (a, b). Es gelte mit

q ∈ [0, 1):

|F ′(ξ)| ≤ q ∀ξ ∈ (a, b) .

Dann besitzt F genau einen Fixpunkt in [a, b].

2. X = R , ‖.‖ := |.| , M := [0,∞),

F : M ∋ t 7−→ t+1

1 + t∈M .

Es gilt

|F (t)− F (s)| < |t− s| , t, s ∈M ,

aber nicht

|F (t)− F (s)| ≤ q|t− s| , t, s ∈M , mit q < 1 .

F besitzt keinen Fixpunkt!

3. X := R , ‖.‖ := |.| , M := (0,∞) ,

F : M ∋ t 7−→ qt ∈M mit q ∈ [0, 1) .

Offenbar gilt

|F (t)− F (s)| ≤ q|t− s| , t, s ∈M ,

aber F besitzt keinen Fixpunkt.

Beachte: M ist nicht abgeschlossen!

Als Anwendung von Satz 1 bzw. Folg. 2 in einer unendlich–dimensionalen Situation be-

trachten wir das Existenzproblem von Anfangswertaufgaben bei gewohnlichen Differenti-

algleichungen:

Gegeben: y0 ∈ Rn (Anfangswert) , D ⊂ Rn ,

f : [a, b]×D −→ Rn (rechte Seite) .

Gesucht: Losung ϕ der Anfangswertaufgabe

(AWP) y′ = f(t, y) , y(a) = y0 , d. h.

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ϕ : [a, b] −→ D mit

ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, b] , ϕ(a) = y0 .

Der Hauptsatz (Satz 17) besagt, dass die Suche nach einer Losung der Anfangswertaufgabe

(AWP) verknupft werden kann mit der Suche nach einer Losung der Integralgleichung

(IG) ϕ(t) = y0 +

∫ t

af(s, ϕ(s)) ds , t ∈ [a, b] .

Satz 3 Sei f : [a, b]× Rn −→ Rn stetig, y0 ∈ Rn beliebig, und es gebe L ≥ 0 mit

‖f(t, x)− f(t, x′)‖ ≤ L‖x− x′‖ ∀x, x′ ∈ Rn ∀t ∈ [a, b] .

Dann gibt es genau einen stetig differenzierbaren Weg ϕ : [a, b] −→ Rn mit

ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, b] , ϕ(a) = y0 .

Folgerung 4 Sei f : [a, b]×K(y0, r) −→ Rn stetig und es gebe L ≥ 0 mit

‖f(t, x)− f(t, x′)‖ ≤ L‖x− x′‖ ∀x, x′ ∈ K(y0, r) ∀t ∈ [a, b] .

Dann gibt es genau einen stetig differenzierbaren Weg ϕ : [a, a+ α] −→ Rn mit

ϕ(t) = f(t, ϕ(t)) , t ∈ [a, a+ α] , ϕ(a) = y0 ;

hierbei sind:

α := max(b− a, rm−1) ,

m := max{

‖f(s, x)‖∣∣∣ s ∈ [a, b] , x ∈ K(y0, r)

}

.

Beispiele:

1. Populationsmodell (VOLTERRA–LOTKA)

(AWP) y′ = y(a− by) , y(0) = y0 ; a, b > 0 .

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Mit f(t, y) := y(a− by) gilt fur y ∈ K(y0, r):

|f(t, x)− f(t, x′)| ≤ L|x− x′| ,

L := max

{∣∣∣∣

∂f

∂y(t, ξ)

∣∣∣∣t ∈ R, ξ ∈ K(y0, r)

}

.

Wir erhalten eine Losung zumindest fur ein”kleines Stuck“ in die Zukunft (lokale

Losung).

2. Betrachte

(AWP) y′ = 1 + y2 , y(0) = 0 .

Die Losung von AWP ist der Tangens (tan′(y) = 1 + y2).

Bemerkung: Satz 3 oder Folg. 4 wird als ein Satz vom Typ”PICARD–LINDELOFF“

bezeichnet.

17.2 Der Satz uber die inverse Abbildung

In diesem Abschnitt sei immer f : U −→ Rm , U ⊂ Rn offen. Um den Satz von der inver-

sen Abbildung beweisen zu konnen, benotigen wir noch ein Ergebnis uber invertierbare

Matrizen.

Bezeichnung: M(m,n) := Raum aller (m,n)–Matrizen.

Jede Matrix A ∈ M(m,n) definiert eine beschrankte, lineare Abbildung von Rn in den

Rm , A : Rn −→ Rm. Im Raum M(n, n) aller quadratischen Matrizen ist das Produkt

AB zweier Matrizen wieder eine (n, n)–Matrix. Eine Matrix A ∈M(n, n) ist invertierbar,

d. u. n. d. wenn detA 6= 0.

Definition: Eine Matrizennorm auf M(n, n) liegt vor, wenn neben den Normeigen-

schaften noch

‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ (”Submultiplikativitat“)

erfullt ist.

Hinsichtlich der Eigenschaft der Vertraglichkeit von Matrizennormen sei auf Abschnitt

16.6 verwiesen.

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Lemma 5 Ist A ∈ M(n, n) invertierbar, dann gibt es Zahlen α ≥ 0 und ε > 0 mit der

Eigenschaft ( ‖.‖ = Matrizennorm):

∀B : ‖B −A‖ < ε =⇒ ∃B−1 und ‖A−1 −B−1‖ ≤ α‖A −B‖ .

Bemerkungen:

1. Lemma 5 besagt, dass die Bildung der Inversen einer invertierbaren Matrix eine

stetige Abbildung inM(n, n) ist.

2. Man beachte, dass in endlichdimensionalen Raumen lineare Abbildungen immer ste-

tig (als Abb. zwischen den endlichdimensionalen Raumen) sind. Damit definiert auch

die Inverse einer Matrix, wenn sie existiert, immer eine stetige lineare Abbildung.

Definition: f heißt Cr–Diffeomorphismus, r ≥ 1, falls gilt:

f ∈ Cr(U,Rm) , f injektiv,

V := f(U) offen, f−1 ∈ Cr(V,Rn) .

Satz 6 Sei f ∈ C1(U,Rn) , x0 ∈ U , und die Ableitung f ′(x0) sei invertierbar. Dann

gibt es ein U0 ⊂ U , U0 offen, x0 ∈ U0, so dass f |U0 C1–Diffeomorphismus ist; fur

y ∈ V0 := f(U0) gilt

(f−1)′(y) =[f ′(f−1(y)

)]−1.

Bemerkung:

1. Die Invertierbarkeit der Funktionalmatrix f ′(x0) =

(∂f

∂x(x0)

)

ist aquivalent zur

Beziehung det(f ′(x0)) 6= 0.

2. Ist f ∈ Cr(U,Rm), so kann man durch Anwendung der Kettenregel sogar zeigen,

dass h = f |U0 Cr–Diffeomorphismus ist, d. h. dass auch alle partiellen Ableitungen

bis zur Ordnung r von h−1 existieren und stetig sind (vgl. Walter (1992), Analysis

2, 4.5 und 4.6).

3. Das Ergebnis von Satz 6 uber die inverse Abbildung lasst sich durch folgende Figur

verdeutlichen:

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Beispiele:

1. Ebene Polarkoordinaten

Abbildung: (r, ϕ) −→ (r cosϕ, r sinϕ) =: (x, y)

det∂(x, y)

∂(r, ϕ)=

∣∣∣∣∣∣

cosϕ −r sinϕ

sinϕ r cosϕ

∣∣∣∣∣∣

= r 6= 0 , (x, y) 6= (0, 0) .

Zu jedem Bildpunkt (x, y) 6= (0, 0) gibt es unendlich viele Urbilder (r, ϕ + 2kπ). In

einer Umgebung von (x0, y0) 6= (0, 0) gibt es eine Umkehrfunktion (aus C∞),

r = (x2 + y2)1/2 , ϕ = arg(x, y) = arctany

x

(falls x0 = 0 : ϕ = arccotx

y). Die Polarkoordinatendarstellung bildet z. B. den

offenen Halbstreifen {0 < r <∞, −π < ϕ < π} C∞–diffeomorph auf die langs der

negativen reellen Achse aufgeschlitzte Ebene R2 \ {(x, y) | x ≤ 0, y = 0} ab.

2. Betrachte f : R2 ∋ (x, y) 7−→ (x2 + y2, 2xy) ∈ R2.

Offenbar gilt:

f(R2) ⊂ Q :={

(u, v) ∈ R2∣∣∣u+ v ≥ 0 , u− v ≥ 0

}

.

Sei a > 0. Es gilt:

f(a cos t, a sin t) = (a2, a2 sin 2t) , 0 ≤ t ≤ π .

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Damit zeigt man:

f(R2) = Q .

Offenbar ist f stetig differenzierbar; f ′(x, y) wird dargestellt durch die Matrix

f ′(x, y) =

2x 2y

2y 2x

, det f ′(x, y) = 4(x2 − y2) .

Ist also (x0, y0) ∈ R2 mit (x0)2 6= (y0)2, so ist f in einer Umgebung von (x0, y0) ein

C1–Diffeomorphismus.

Zur Ableitung von f−1 : (f−1)′(u, v) =[

f ′(x, y)]−1

, (u, v) = f(x, y)

=

b11 b12

b21 b22

=: B

Spalten von B:

2x 2y

2y 2x

b11

b21

=

1

0

,

2x 2y

2y 2x

b12

b22

=

0

1

=⇒[

f ′(x, y)]−1

=1

2(x2 − y2)

x −y−y x

,

wobei

x =√u cos

(1

2arcsin

v

u

)

,

y =√u sin

(1

2arcsin

v

u

)

,

(u, v) ∈ Q , v 6= |u| .

17.3 Der Satz uber implizite Funktionen

In diesem Abschnitt sei immer F : U × V −→ Z , U ⊂ Rn, V ⊂ Rm, Z ⊂ Rm.

Aufgabe: Die Gleichung

F (x, y) = 0 , (x, y) ∈ U × V

nach y”auflosen“, d. h. eine Abbildung g : U −→ V zu finden mit

F (x, g(x)) = 0 , x ∈ U .

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Ausgeschrieben bedeutet dies:

F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0...

Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0

auf U nach y1, . . . , ym auflosen, d. h. gj : U −→ R , j = 1, . . . ,m, zu finden mit

Fj(x1, . . . , xn, g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn)) = 0 ,

x = (x1, . . . , xn) ∈ U , j = 1, . . . ,m .

”Auflosbarkeit“ bedeutet auch:

Finde g : U −→ V , so dass

N := {(x, y) ∈ U × V | F (x, y) = 0}Graph der Abbildung g ist.

Man sagt, g sei durch F implizit definiert.

Beispiel:

1. Betrachte F : R2 ∋ (x, y) 7−→ x2 + y2 − r2 ∈ R. Auflosen von F (x, y) = 0 bedeutet,

die Kreislinie als Graph einer Funktion g darzustellen. Dies kann nicht gelingen! Es

ist aber”stuckweise“ moglich, z. B. durch

g1(x) :=√

r2 − x2 oder g2(x) := −√

r2 − x2 , |x| ≤ r .

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.........................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

r

..............................................................................................

................................................................................

...............

.............................................................................................

............................................................................................

Bezeichnung: Ist

Fx0 : V ∋ y 7−→ F (x0, y) ∈ Z

bzw.

Fy0 : U ∋ x 7−→ F (x, y0) ∈ Z

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differenzierbar in y0 bzw. x0, so schreiben wir fur die Ableitungen

dyF (x0, y0) oder∂F

∂y(x0, y0) ∈ Rm,m

bzw. dxF (x0, y0) oder∂F

∂x(x0, y0) ∈ Rm,n .

Der folgende Satz beantwortet nicht nur die Frage der Auflosbarkeit, sondern trifft auch

eine Aussage uber die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen.

Satz 7 Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offen, F : U × V −→ Z ⊂ Rm , (x0, y0) ∈ U × V ,

und es gelte

F (x0, y0) = 0 , F ∈ C1(U × V,Z) ,∂F

∂y(x0, y0) invertierbar.

Dann gibt es offene Mengen U0 ⊂ U , V0 ⊂ V und eine Abbildung g : U0 −→ V0 mit

(a) x0 ∈ U0 , y0 ∈ V0 , g ∈ C1(U0, V0) ,

(b) g(x) ist einzige Losung in V0 von F (x, g(x)) = 0 ∀x ∈ U0 ,

(c) g′(x) = −∂F∂y

(x, g(x))−1 ∂F

∂x(x, g(x)) , x ∈ U0 .

Bemerkung: Setzt man in Satz 7 zusatzlich voraus, dass F ∈ Cr(U × V,Z), dann ist

auch g ∈ Cr(U0, V0).

Beispiel:

2. Betrachte F : R× R ∋ (x, y) 7−→ xex + yey + xy ∈ R und die Gleichung

F (x, y) = 0 , d. h. xex + yey + xy = 0 .

Es gilt: F (0, 0) = 0 , F ∈ Cr(R2,R) ∀r ∈ N ,

dyF (0, 0) =∂F

∂y(0, 0) = e0 = 1 6= 0 .

Also liegt in (0, 0) lokale Auflosbarkeit durch eine Funktion g vor;

g′(x) = −∂F∂y

(x, g(x))−1 · ∂F∂x

(x, g(x)) , x ∈ U0 ,

d. h.

g′(x) = − (x+ 1)ex + g(x)

(g(x) + 1)eg(x) + x, x ∈ U0 . (1)

Ferner g(0) = 0. (2)

(1) und (2) stellen eine Anfangswertaufgabe fur die zu findende Funktion g dar.

- 142 -

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17.4 Maxima und Minima

Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C1(U,R).

Definition: x0 ∈ U heißt lokales Extremum (lokales Maximum bzw. lokales Minimum),

falls es ein r > 0 gibt mit

f(x) ≤ f(x0) bzw. f(x) ≥ f(x0) ∀x ∈ K(x0, r) ∩ U .

Gilt”=“ nur bei x0, so liegt ein lokales Extremum im strengen Sinn vor.

Eine notwendige Bedingung fur ein lokales Extremum liefert der folgende Satz.

Satz 8 (Fermatsches Kriterium) Ist f ∈ C1(U,R) und x0 ein lokales Extremum, dann

ist grad f(x0) = 0.

Definition: x0 heißt stationarer Punkt von f , wenn grad f(x0) = 0.

Zur Formulierung von hinreichenden Bedingungen benotigen wir noch folgende Begriffe.

Definitionen: Eine (n, n)–Matrix A = (ajk) heißt

symmetrisch, wenn ajk = akj , j, k = 1, . . . , n .

Eine symmetrische Matrix heißt

positiv definit, wenn < Ax, x > > 0 ∀x 6= 0 ;

positiv semidefinit, wenn < Ax, x > ≥ 0 ∀x ;

negativ definit, wenn < Ax, x > < 0 ∀x 6= 0 ;

negativ semidefinit, wenn < Ax, x > ≤ 0 ∀x ;

indefinit, sonst.

Bemerkung: Fur symmetrische Matrizen gilt < Ax, y >=< x,Ay > x, y ∈ Rn.

Satz 9 (Hinreichende Bedingung fur ein Extremum): Sei f ∈ C2(U) , x0 ∈ U und

grad f(x0) = 0. Mit Hilfe der Hessematrix Hf der zweiten partiellen Ableitungen gelten

dann die folgenden Aussagen:

(a) Hf (x0) positiv definit =⇒ lokales Minimum im strengen Sinn;

(b) Hf (x0) negativ definit =⇒ lokales Maximum im strengen Sinn;

(c) Hf (x0) indefinit =⇒ kein Extremum.

- 143 -

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Bemerkung: Im Fall n = 2 ist Hf (x0) definit (d. h. positiv oder negativ definit) bzw.

indefinit, wenn die zugehorige Diskriminante

D = fxxfyy − f2xy

bei x0 positiv bzw. negativ ist. Ist D > 0 und fxx > 0 bzw. < 0 bei x0, so ist Hf (x0) positiv

definit bzw. negativ definit, also liegt ein Minimum bzw. Maximum vor (vgl. Walter 2, 4.8

und 4.11).

Beispiel: f(x, y) = x3 + y3 − 3xy , (x, y) ∈ R2;

∂f

∂x= 3x2 − 3y ,

∂f

∂y= 3y2 − 3x ;

stationare Punkte: (0, 0) und (1, 1);

∂2f

∂x2= 6x ,

∂2f

∂y2= 6y ,

∂2f

∂x∂y= −3 .

Bei (0, 0) : D = −9; dort liegt also kein Extremum vor. Bei (1, 1) : D = 6 · 6 − 9 = 27;

dort liegt ein lokales Minimum im engen Sinn vor; der Wert von f ist f(1, 1) = −1. Wegen

f(x, x) −→∞(x→∞) und f(x, x) −→ −∞(x→ −∞) gibt es kein globales Extremum.

-1-0.5

00.5

11.5

2 -1-0.5

00.5

11.5

2

-5

0

5

10

17.5 Lagrangesche Multiplikatorenregel

Sei M ⊂ U , M 6= ∅ , U ⊂ Rn offen, f : U −→ R.

- 144 -

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Optimierungsaufgabe (Extrema mit Nebenbedingung):

Minimiere bzw. maximiere f(x) unter der Nebenbedingung x ∈M .

⇐⇒Finde x0 ∈M mit f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈M bzw. f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈M .

⇐⇒(Kurzschreibweise) minx∈M f(x) bzw. maxx∈M f(x)

Voraussetzung: Der Bereich M kann parametrisiert werden, d. h. es existiert g =

(g1, . . . , gm) : U −→ Rm mit M = {x ∈ U | g(x) = 0}.

Beispiele:

1. g(x, y, z) := x+ y − z = 0 , M = {(x, y, z) | z = x+ y} .

2. g(x, y) := x2 + y2 − 1 = 0 , M = Kreis mit Radius 1 ,

grad g(x) = (2x, 2y) .

Spezialfall: (n = 2 , g(x, y) = 0 stellt ebene Kurve dar.) Gesucht ist ein lokales

Minimum von f unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. Ist gy(x0, y0) 6= 0, dann lasst sich

g = 0 in einer Umgebung von (x0, y0) eindeutig auflosen in der Form y = h(x). Gesucht

ist also ein lokales Extremum von k(x) := f(x, h(x)). Es ist

k′(x) = fx + fyh′ , h′(x) = −gx

gy(Argument: (x, h(x)) )

(s. Satz 7). Ein stationarer Punkt in M = {g(x, y) = 0} liegt vor, wenn

(∗) fx − fygxgy

= 0 und g = 0 .

Fuhrt man die (Lagrange–)Funktion

H(x, y, λ) := f(x, y) + λg(x, y)

ein, so ist die Losung von (∗) aquivalent zur Suche eines stationaren Punktes (x0, y0, λ0)

von H — falls gy 6= 0 —, d. h.

Hx = fx(x, y) + λgx(x, y) = 0 ,

(L) Hy = fy(x, y) + λgy(x, y) = 0 ,

Hλ = g(x, y) = 0 .

- 145 -

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In (L) sucht man also einen stationaren Punkt der Funktion H ohne Nebenbedingung;

λ heißt Lagrangescher Multiplikator.

Ist gx(x0, y0) 6= 0, so erhalt man aus (∗) den Lagrangeschen Multiplikator durch λ =

−fx(x0, y0) / gx(x0, y0) — bei gy(x

0, y0) 6= 0 durch λ = −fy(x0, y0) / gy(x0, y0).

Unter den Losungen (x0, y0, λ0) von (L) sind also die lokalen Minima der obigen Optimie-

rungsaufgabe enthalten.

Beispiel: f(x, y) = x2y2 , g(x, y) = x2 + y2 − 1 ,

H(x, y, λ) = x2y2 + λx2 + λy2 − λ ;

0 = Hx(x, y, λ) = 2xy2 + 2λx = 2x(y2 + λ) ,

(L) 0 = Hy(x, y, λ) = 2x2y + 2λy = 2y(x2 + λ) ,

1 = x2 + y2 .

=⇒ 1. x0 = 0 , y0 = ±1 (, λ0 = 0)

2. y0 = 0 , x0 = ±1 (, λ0 = 0)

(4 Punkte)

3. y2 + λ = 0

x2 + λ = 0

x2 + y2 = 1

=⇒1 = −2λ , λ0 = −1

2 , y2 = 1

2

y0 = ±12

√2 , x0 = ±1

2

√2

(4 Punkte)

Unter den 8 Punkten mussen samtliche stationaren Punkte sein. Bei (±12

√2,±1

2

√2) liegen

Maxima vor, f(±12

√2,±1

2

√2) = 1

4 ; bei (0,±1) und (±1, 0) liegen Minima vor (mit Wert

null).

Allgemeiner Fall:

F : U ⊂ Rn+m −→ R , G : U ⊂ Rn+m −→ Rm , x ∈ Rn , y ∈ Rm .

Optimierungsaufgabe: Gesucht lokale Extrema von

F (x, y) = F (x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym)

unter den m Nebenbedingungen

G1(x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) = 0...

Gm(x1, . . . , xn ; y1, . . . , ym) = 0 .

- 146 -

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Satz 10 (Lagrangesche Multiplikatorenregel) Sei U ⊂ Rn+m offen, (x0, y0) ∈ U , F ∈C1(U,R) , G ∈ C1(U,Rm), und es sei

∂G

∂y(x0, y0) eine invertierbare Matrix. Hat die Funk-

tion F (x, y) unter der Nebenbedingung G(x, y) = 0 an der Stelle (x0, y0) ein lokales Ex-

tremum, so gibt es ein λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) ∈ Rm, so dass die Funktion

H(x, y, λ) = F (x, y)+ < λ,G(x, y) >

an der Stelle (x0, y0, λ0) einen stationaren Punkt besitzt.

Bemerkung: Bei (x0, y0, λ0) gelten also die Gleichungen

dxH = 0 , dyH = 0 , dλH = 0 ,

oder, ausfuhrlich,

Hxi= Fxi

+

m∑

j=1

λjGj,xi= 0 , i = 1, . . . , n ,

Hyk= Fyk

+m∑

j=1

λjGj,yk= 0 , k = 1, . . . ,m ,

Hλk= Gk = 0 , k = 1, . . . ,m ,

oder, aquivalent,

gradF (x, y) +G′(x, y)∗λ = 0 , G(x, y) = 0 .

Definition: Die adjungierte Matrix (oder transponierte Matrix ) einer reellwertigen

(p, q)–Matrix A = (ak,l)k=1,...,p

ℓ=1,...q

ist definiert durch

A∗ =(a∗k,ℓ), a∗k,ℓ = aℓ,k , k = 1, . . . , q , ℓ = 1, . . . , p .

Die adjungierte Matrix der Funktionalmatrix G′(x, y) in Satz 10 lasst sich ausfuhrlich wie

folgt darstellen

G′(x, y)∗ =

G1,x1 · · · Gm,x1

...

G1,xn · · · Gm,xn

G1,y1 · · · Gm,y1...

G1,ym · · · Gm,ym

↑n

↑m

↓←− m −→

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Bezeichnung: Die Zahlen λ1, . . . , λm in Satz 10 heißen Lagrangesche Multiplikatoren.

Die in Satz 10 noch ausgezeichneten y1, . . . , ym, nach denen aufgelost wird, mussen jedoch

nicht ausgezeichnet sein. Wir betrachten dazu wieder die fruhere Situation:

f ∈ C1(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) , U ⊂ Rn offen ,

M = {x | g(x) = 0}

und suchen lokale Extrema von f .

Definition: x0 ∈M heißt regular, falls

grad g1(x0), . . . , grad gm(x0) linear unabhangig sind.

Definition: m Vektoren y1, . . . , ym ∈ Rm heißen linear unabhangig (Abk.: l. u.), wenn

aus

m∑

j=1

γjyj = 0 folgt: γj = 0 ∀j = 1, . . . ,m .

Bemerkung: Sind y1, . . . ym ∈ Rn l. u., dann muss m ≤ n sein.

Lemma 11 Die Anzahl der l. u. Spalten einer (n,m)–Matrix A = (ajk) ist gleich der

Anzahl der l. u. Zeilen von A.

Bemerkung: Betrachtet man die Adjungierte der Funktionalmatrix g′(x), dann ist

g′(x)∗ eine (n,m)–Matrix — d. h. sie hat die m Spalten grad gj(x) , j = 1, . . . ,m. Ein

regularer Punkt x0 ∈M liegt vor, wenn die Spalten von g′(x0)∗ l. u. sind. Nach Lemma 11

sind dann auch m Zeilen von g′(x0)∗ l. u. und fur m Indizes i1, . . . , im ist die quadratische

Matrix

∂(g1, . . . , gm)

∂(xi1 , . . . , xim)

invertierbar.

Generelle Voraussetzung im folgenden:

U ⊂ Rn offen, f ∈ C1(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) .

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Satz 12 Sei m < n , x0 ∈ M = {x | g(x) = 0} regular, und x0 sei lokales Extremum

von f . Dann gibt es ein λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) ∈ Rm mit

grad f(x0) + g′(x0)∗λ0 = 0 ,

d. h. (x0, λ0) ist stationarer Punkt von

H(x, λ) = f(x)+ < λ, g(x) > .

Bezeichnung: Die Funktion

H(x, λ) := f(x)+ < λ, g(x) > , x ∈ U , λ ∈ Rm

in Satz 12 heißt die dem Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen zugeordnete Lagrange–

Funktion. Die Gleichungen zur Bestimmung von stationaren Punkten der Lagrange–Funktion

stellen n+m Bedingungen fur die n +m Unbekannte x01, . . . , x

0n , λ

01, . . . , λ

0m dar. Damit

gelingt es, Kandidaten x0 fur lokale Extrema von f zu finden. Der Lagrange–Multiplikator

λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) beschreibt die Sensitivitat des Optimalwertes in Abhangigkeit von Va-

riationen in den Nebenbedingungen.

Beispiel: Gesucht

min{

− xy∣∣∣ (x, y) ∈M

}

, M :={

(x, y) ∈ R2∣∣∣ x+ y = 1

}

.

Die Gleichungen fur x0, y0, λ0 lauten (f(x, y) := −xy , g(x, y) = x+ y − 1)

x0 + y0 − 1 = 0 ,

−y0 + λ0 = 0 ,

−x0 + λ0 = 0 .

Losung: x0 = y0 =1

2, λ0 =

1

2. -

6QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

MRegularitat liegt vor!

Die vorliegende Optimierungsaufgabe kann man wegen

g(x, y) = 0⇐⇒ y = 1− x ; f(x, 1− x) = x2 − x

auf eine eindimensionale Optimierungsaufgabe zuruckfuhren; dafur ist (12 ,

12 ) globales Mi-

nimum.

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Abschließend interessieren wir uns noch fur notwendige und hinreichende Kriterien fur das

Vorliegen eines lokalen Extremums.

Definition: Tangentenebene von M in x0

T (x0,M) :={

d ∈ Rn∣∣ g′(x0)d = 0

}

.

Lemma 13 Ist x0 ∈M regular, so gilt

T (x0,M) ={

d ∈ Rn∣∣∣ ∃τ > 0 ∃α ∈ C1((−τ, τ),Rn) :

α(0) = x0 , α′(0) = d , α(t) ∈M ∀t}

.

Satz 14 Ist x0 ∈M regular und lokales Extremum von f , so gilt

< grad f(x0) , d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) .

Generelle Voraussetzung im folgenden:

U ⊂ Rn offen, f ∈ C2(U,R) , g ∈ C1(U,Rm) , x0 ∈M regular .

Dann existiert die Hessematrix Hf (x) der zweiten (stetigen) partiellen Ableitungen von f

(vgl. Abschnitt 16.7).

Satz 15 Sei x0 ∈M lokales Minimum bzw. Maximum von f uber M , und U sei konvex.

Dann gilt:

(a) < grad f(x0), d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) ;

(b) < Hf (x0)d, d >≥ 0 (fur Min.) bzw. ≤ 0 (fur Max.) ∀d ∈ T (x0,M) .

Der folgende Satz liefert ein hinreichendes Kriterium.

Satz 16 Seien U,M konvex, x0 ∈M , und es gelte:

(a) < grad f(x0), d >= 0 ∀d ∈ T (x0,M) ;

(b) < Hf (x0)d, d > > 0 [bzw. < 0] ∀d ∈ T (x0,M) , d 6= 0 .

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Dann ist x0 lokales Minimum [bzw. lokales Maximum] von f uber M .

Beispiel: Standortproblem

Zu 3 Großbaustellen bei P1 = (0, 0), P2 = (0, 1), P3 = (0, 2) ist der Standort S = (x0, y0)

eines Betonwerks gesucht, das an einer Bahnlinie M = {g(x, y) = 0, x < 0} mit g(x, y) =

y2−x2+1 liegen soll, und fur das die Transportkosten (nur abhangig von der Entfernung),

f(x, y) =3∑

k=1

(xk − x)2 + (yk − y)2 ,

minimal werden.

Lagrange-Funktion:

H(x, y, λ) = 3x2 + 3y2 − 6y + 5 + λ(y2 − x2 + 1) .

Lagrange-Bedingungen (L):

0 = Hx = 2x(3 − λ)

0 = Hy = 2y(3 + λ)− 6

0 = Hλ = y2 − x2 + 1 .

Als Losung erhalt man (wegen x < 0):

(x0, y0, λ0) = (−1

2

√5,

1

2, 3) .

Zur Frage, ob tatsachlich ein Minimum vorliegt, kann Satz 16 nicht angewendet werden –

da M nicht konvex ist – sondern man muss die Hessematrix HH der Lagrange-Funktion

untersuchen.

HH =

2(3− λ) 0 −2x

0 2(3 + λ) 2y

−2x 2y 0

;

HH(x0, y0, λ0) =

0 0√

5

0 12 1√

5 1 0

.

Diese Matrix ist positiv definit und damit liegt ein Minimum vor (nach Satz 9). Das lokale

Minimum ist auch ein globales Minimum.

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A Grundlagen der Aussagenlogik

Bezeichnungen

Aussagen sind Satze, deren Inhalt entweder wahr oder falsch ist.

Wahrheitswerte

W : wahr (gelegentlich auch T fur engl. true)

F : falsch (engl. false)

Aussagenvariablen p,q sind Buchstaben oder andere Zeichen, an deren Stelle Aussagen

oder Wahrheitswerte gesetzt werden konnen.

Aussageformen sind Aussagen, die Aussagenvariablen enthalten. Die folgenden Sonderfalle

logischer Aussageformen sollen besonders hervorgehoben werden.

Eine Aussageform, die bei jeder Belegung ihrer Variablen den Wahrheitswert

• W annimmt, heißt Wahrform (Tautologie, logisch wahre Aussageform, logisches Ge-

setz),

• F annimmt, heißt Falschform (Kontradiktion, logisch falsche Aussageform, logischer

Widerspruch).

Eine Aussageform, die weder Wahrform noch Falschform ist, heißt Neutralform (Neutra-

litat, logisch teilgultige Aussageform).

Verknupfungszeichen, Verknupfungen

Verknupfungen von Aussagen zu einer neuen Aussage bezeichnet man auch als Junktionen.

Die Verknupfungszeichen ¬, ∧ , ∨ , → , ↔ , ←7→ nennt man Junktoren.

- 152 -

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Bezeichnung Schreibweise Sprechweise

Negation ¬p nicht p

Konjunktion p∧q p und q

Disjunktion p∨q p oder q (einschließendes (in-

klusives) oder)

Subjunktion ¬p∨q, auch: (p → q) p subjungiert q

Bijunktion (p → q)∧ (q → p), auch: (p ↔ q) p bijungiert q

Antivalenz

(Alternative)

¬(p ↔ q), auch: (p ←7→ q) entweder p oder q (ausschlie-

ßendes (exklusives) oder)

Wahrheitstafel zu den Verknupfungen

p q ¬p p∧ q p∨ q p → q p ↔ q p ←7→ q

W W F W W W W F

W F F F W F F W

F W W F W W F W

F F W F F W W F

Beispiele:

• p∨¬p, ¬(p∧q)∨ q sind Tautologien.

• p∧¬p, ¬(p∨q)∧ q sind Kontradiktionen.

• p∨q, p∧q, p → q sind Neutralformen.

Seien A und B Aussageformen. Man sagt:

• A impliziert B ( A ⇒ B ), wenn A → B eine Tautologie ist (andere Sprechweisen:

wenn B, dann A, B folgt aus A, A ist hinreichende Bedingung fur B, B ist notwendige

Bedingung fur A), und spricht von logischer Implikation,

• A ist aquivalent zu B ( A ⇔ B ), wenn A ↔ B eine Tautologie ist (andere Sprech-

weise: A genau dann, wenn B), und spricht von logischer Aquivalenz.

Beispiel:

- 153 -

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p∧ q ⇒ p∨q, weil p∧q → p∨ q eine Tautologie ist.

Gesetze der Aussagenlogik

Kommutativgesetze

1. p∨ q ⇔ q∨ p

2. p∧ q ⇔ q∧ p

Assoziativgesetze

1. (p∨ q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r)

2. (p∧ q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r)

Distributivgesetze

1. p∨ (q∧ r) ⇔ (p∨ q)∧ (p∨ r)

2. p∧ (q∨ r) ⇔ (p∧ q)∨ (p∧ r)

Idempotenzgesetze

1. p∨ p ⇔ p

2. p∧ p ⇔ p

Absorptionsgesetze (Verschmelzungsgesetze)

1. p∨ (p∧q) ⇔ p

2. p∧ (p∨q) ⇔ p

de Morgan–Gesetze

1. ¬(p∨ q) ⇔ ¬p∧¬q

2. ¬(p∧ q) ⇔ ¬p∨¬q

Andere Verneinungsgesetze

- 154 -

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1. ¬(¬p) = p

2. ¬W = F

3. ¬F = W

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

p∨¬p ist eine Tautologie.

Satz vom Widerspruch

p∧¬p ist eine Kontradiktion.

Kontrapositionsgesetz

(p → q) ⇔ (¬q → ¬p)

Transitivgesetz

((p → q)∧ (q → r)) ⇒ (p → r)

Abtrenngesetze

1. p∧ (p → q) ⇒ q (direkter Schluß)

2. (p → q)∧¬q ⇒ ¬p (indirekter Schluß)

- 155 -

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B Theoretische Ubungsaufgaben

fur Mathematiker und Physiker zu Analysis I

Ubungen (1) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Losen Sie folgende Ungleichungen uber Re . Skizzieren Sie zudem die Losungsmenge auf

der x−Achse.

a) x+32x−5 > 3;

b) |x|−1x2−1

≥ 12 ;

c) |x− |x− 1|| > −2x+ 1.

Hinweis:

Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen fur x.

Aufgabe 2

Seien A, B und C Teilmengen von X. Fur A ⊂ X ist das Komplement A′ von A in X

erklart durch A′ := X \ A. Zeigen Sie

a) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetz);

b) (A ∪B)′ = A′ ∩B′ (Regel von de Morgan);

c) A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C).

Bemerkung:

Die oben angegebenen Regeln fur Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪ durch ∩ und

∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur fur zwei, sondern auch fur eine

beliebige endliche oder unendliche Anzahl von Mengen.

Aufgabe 3

Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Aquivalenz von

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a) B ⊂ C;

b) B ∩C = B;

c) B ∪C = C.

Aufgabe 4

a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrucke sind mathematische Aus-

sagen, d.h. Satze denen man unabhangig vom Betrachter genau einen der Wahr-

heitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Begrunden Sie kurz Ihre Entscheidung.

i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.

ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.

iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.

b) Die Aussage q sei gegeben durch”Das Parallelogramm D ist ein Quadrat.“. Geben

Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:

i) q ⇒ p, aber nicht p⇒ q;

ii) p⇒ q, aber nicht q ⇒ p;

iii) p⇔ q.

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Ubungen (2) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgaben fur Mathematiker und Physiker:

Aufgabe 1

Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀ A, B ⊂ X;

b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y ;

c) f(f−1(C) ∩A) = C ∩ f(A) ∀ A ⊂ X, C ⊂ Y.

Aufgabe 2

Seien A, B und C Mengen; seien f : A→ B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie:

a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.

b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3

Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

a) f(A \B) ⊃ f(A) \ f(B) ∀ A, B ⊂ X;

b) f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y.

Aufgabe 4

Sei X eine Menge, und X ⊂ P(X). X heißt σ−Algebra in X, wenn gilt:

i) X ∈ X ;

ii) A ∈ X ⇒ A′ ∈ X ;

iii) An ∈ X (n ∈ N) ⇒ ⋃

n∈NAn ∈ X .

Zeigen Sie:

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a) Ist X eine σ−Algebra, und ist B ⊂ X, so ist

XB := {Z ∩B | Z ∈ X}

eine σ−Algebra in B.

b) Sei Y eine Menge, sei f : Y → X eine Abbildung. Ist X eine σ−Algebra in X, so ist

f−1(X ) := {f−1(Z) | Z ∈ X}

eine σ−Algebra in Y.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 3

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivitat, Injektivitat und Bijektivitat:

a) f : Re → Re , x 7→ 2x− 1;

b) g : [−2;∞[→ [−2;∞[, x 7→ x2 − 2x− 1;

c) h : Re \{0} → Re , x 7→ x3

|x| .

Aufgabe 4

Zwei ohmsche Widerstande R1 und R2 werden zum einen in Reihe mit Gesamtwiderstand

Rr und in einer zweiten Schaltung parallel mit Gesamtwiderstand Rp geschaltet. Zeigen

Sie, daß zwischen den Gesamtwiderstanden folgende Ungleichung gilt:

Rr ≥ 4Rp.

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Ubungen (3) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Beweisen Sie die

richtigen Aussagen und geben Sie fur die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.

i) Jedes Maximum ist ein Supremum.

ii) Zu jeder Teilmenge von Re gibt es ein Supremum.

iii) Infimum und Minimum sind dasselbe.

iv) Ist s das Supremum einer Teilmenge von Re , so ist s + 1 eine obere Schranke

dieser Teilmenge.

b) Bestimmen Sie – falls vorhanden – das Infimum, Supremum, Minimum und Maxi-

mum der Menge M, die durch

M :=

{ |x|1 + |x|

∣∣∣∣x ∈ Re

}

⊂ Re

definiert ist.

Aufgabe 2

Die sog. Fibonacci-Zahlen beschreiben das Fortpflanzungsverhalten von Kaninchen. Das

stark vereinfachte Modell sieht folgendermaßen aus:

Ein neugeborenes Kaninchenpaar k1 bringt nach dem ersten und dem zweiten Monat ein

neues Paar zur Welt – k2 und k3. Jetzt kommt k1 fur die weitere Fortpflanzung – aus

welchen Grunden auch immer – nicht mehr in Frage. Der Nachwuchs zeigt nun dasselbe

Verhalten wie seine Eltern, wobei wir voraussetzen, daß jedes Paar aus Mannlein und

Weiblein besteht und beide nicht fremdgehen. Bezeichnet man mit Fn die Anzahl der

zu Beginn des n−ten Monats geborenen Kaninchenpaare, so kann das Modell durch die

folgende Rekursion beschrieben werden:

F1 := 1, F2 := 1, Fn := Fn−1 + Fn−2 fur n = 3, 4, . . .

Beweisen Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion:

a)

F1 + F2 + · · ·+ Fn−1 + 1 = Fn+1, n ∈ N≥2;

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b)

Fn−1Fn+1 = F 2n + 1, n ∈ N, n gerade;

c)

F2n+1 = F 2n+1 + F 2

n , n ∈ N.

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3

Gegeben Sei die Menge K := {a, b, c}. Auf K×K seien die Abbildungen + und · durch die

folgenden Tafeln definiert:

+ a b c

a c a b

b a b c

c b c a

· a b c

a a b c

b b b b

c c b a

K ist mit den angegebenen Verknupfungen + und · ein Korper.

a) Bestimmen Sie das Nullelement und das Einselement von K. Verifizieren Sie die

entsprechenden Eigenschaften.

b) Beweisen Sie das Kommutativgesetz bzgl. + und ·.

c) Berechnen Sie x := a+ (−c), y := a · c−1.

Aufgabe 4

Beweisen Sie mit Hilfe der Anordnungsaxiome folgende Rechenregeln:

a) Aus a < b folgt −a > −b.

b) Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc.

c) Aus a < b und c < 0 folgt ac > bc.

d) Aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd.

Aufgaben Physiker:

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Aufgabe 3

Bestimmen Sie – falls vorhanden das Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der

folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

a)

A1 :=

{1

m+

1

n

∣∣∣∣m,n ∈ N

}

;

b)

A2 :=

{

x+1

x

∣∣∣∣

1

2< x ≤ 2

}

.

Aufgabe 4

In der ehemaligen Sowjetunion wurden Geldscheine nur fur 3 und 5 Rubel gedruckt. Zeigen

Sie mit Hilfe der vollstandigen Induktion, daß es moglich ist, jeden ganzzahligen Betrag

ab 8 Rubel in Geldscheinen zu bezahlen.

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Ubungen (4) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

a) Verneinen Sie folgende Aussagen:

i) Zu jedem Mann existiert eine Frau, die ihn nicht liebt.

ii) ∀ a, b ∈ Re mit a > b ∃ c ∈ Q : a > c > b.

b) Beweisen Sie durch indirekten Beweis

i)√b−√a <

√b− a a, b ∈ Re , b > a > 0;

ii)√

2 +√

3 ist irrational.

Hinweis:

Sie durfen benutzen, daß√

6 irrational ist.

Aufgabe 2

Zeige Sie mit Hilfe des Satzes von Archimedes und des Wohlordnungssatzes, daß folgende

Aussage gilt:

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl n ∈ Z mit

n ≤ x < n+ 1.

Hinweis:

i) Fur x ∈ Z ist die Aussage trivialerweise erfullt. Fur x ∈ Re \Z unterscheide zwischen

x ≥ 0 und x < 0. Beweisen Sie die Eindeutigkeit indirekt.

ii) Es gibt eine analoge Aussage der Form:

Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl m ∈ Z mit

m− 1 < x ≤ m.

iii) Dadurch werden die Funktionen

⌊x⌋ := n bzw. ⌈x⌉ := m

erklart. Fur ⌊x⌋ ist auch die Gauß-Klammer [x] ublich.

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Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3

Sei X eine Menge; seien A,B ⊂ X. Die symmetrische Differenz A△ B von A und B ist

definiert durch

A△B := {x ∈ X | x ∈ A ∪B, x 6∈ A ∩B}.

a) Zeigen Sie

A△B = (A ∩B′) ∪ (A′ ∩B).

b) Berechnen Sie A△B fur die folgenden Mengen:

i)

A := {x ∈ Re | x2 > 1} und B := {x ∈ Re | |x+ 0, 5| < 1};

ii)

A := {(x, y) ∈ Re 2 | x2 + y2 ≤ 2} und B := {(x, y) ∈ Re 2 | x2 + y2 ≤ 1}.

Aufgabe 4:

Auf Re \{2} werde eine Verknupfung ⊗ durch

a⊗ b := ab− 2(a+ b) + 6, a, b ∈ Re \{2},

definiert. Zeigen Sie, daß (Re \{2},⊗) eine Gruppe ist. Ist diese Gruppe abelsch, d.h.

kommutativ?

Hinweis:

Eine nichtleere Menge G mit einer Verknupfung ⊗ : G × G → G, (a, b) 7→ a ⊗ b heißt

Gruppe, wenn sowohl ein neutrales als auch ein inverses Element bzgl. ⊗ existieren und

das Assoziativgesetz gilt.

Neutrales Element: ∃ e ∈ G : e⊗ a = a⊗ e = a ∀ a ∈ G.Inverses Element: ∀ a ∈ G ∃ b ∈ G : a⊗ b = b⊗ a = e.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 3

Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion:

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a)n∑

i=1

i3 =1

4n2(n+ 1)2, n ∈ N;

b)n∑

i=1

1

i3< 2− 1

n2, n ∈ N, n ≥ 2.

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Anzahl der Tripel (n1, n2, n3) ∈ N3 mit

n1 + n2 + n3 = n+ 1, n ∈ N, n ≥ 2.

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Ubungen (5) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

a) Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung:

Sei a ∈ Re , a > −1, sei n ∈ N, dann gilt

(1 + a)n ≥ 1 + na.

b) Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum von

M :=

{(

1− 1

n2

)n ∣∣∣∣n ∈ N

}

.

Hinweis:

i) Sie konnen benutzen, daß fur n ∈ N und a ∈ Re , 0 < a < 1, die Ungleichung

0 < an < 1 gilt.

ii) Verwenden Sie Teil a) zum Beweis von b).

Aufgabe 2

a) Zeigen Sie die folgende Gleichheit fur die Binomialkoeffizienten:(n

k

)

+

(n

k + 1

)

=

(n+ 1

k + 1

)

, n, k ∈ N0.

Hinweis:

Fur k > n setzt man(nk

):= 0. Behandeln Sie auch die Falle k ≥ n.

b) Zeigen Sie mittels vollstandiger Induktion, daß fur beliebige n, k ∈ N gilt:

n∑

j=1

(k + j − 1

k

)

=

(n+ k

k + 1

)

.

Aufgabe 3

a) Bringen Sie die folgenden Ausdrucke auf die Form x+ iy, x, y ∈ Re :

i) i4 + i5 + i6 + i7; ii) i1−i ; iii) 1

i + 31+i ; iv)

(1+i

√3

1−i√

3

)2.

b) Beweisen Sie fur z ∈ C mit |Re(z)| < 1 die Ungleichung∣∣∣∣

z

1− z2

∣∣∣∣≤ |z|

1− (Re(z))2.

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Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 4

Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion

a)n∏

j=1

(1− aj) ≥ 1−n∑

j=1

aj, 0 ≤ aj ≤ 1 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n};

b)

n∑

j=1

aj

n∑

j=1

1

aj

≥ n2, aj ∈ Re , aj > 0 ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die Teilmengen von C, die durch die folgenden Gleichungen bzw. Unglei-

chungen charakterisiert werden, und skizzieren Sie diese:

a)

|z − 1| = |z + 1|;

b)

|z − 2| ≤ |z + 2|;

c)

|z + 1| ≤ |z − 2|;

d)

Re

(z + 1

z − 1

)

≥ 2, z 6= 1.

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Ubungen (6) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Es seien A,B nichtleere Teilmengen von Re . Es gelte

a ≤ b ∀ a ∈ A, b ∈ B.

Beweisen Sie:

a)

s := supA und t := inf B existieren;

b)

supA ≤ inf B;

c)

supA = inf B ⇔ ∀ ε > 0 ∃ a ∈ A, b ∈ B : b− a < ε.

Aufgabe 2

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:

a)

an := 2−n(2n − (−2)n), n ∈ N;

b)

bn := (−1)−nn2 − n+ (−1)n

3n3 − 4n+ 5, n ∈ N;

c)

cn :=n∑

k=1

1

k(k + 1), n ∈ N;

Hinweis:

Schreiben Sie die Summe in eine Teleskopsumme um.

d)

dn :=√n+ 4−

√n+ 2, n ∈ N.

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Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3

Die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N seien definiert durch

0 < a1 < b1, an+1 =2anbnan + bn

, bn+1 =1

2(an + bn).

a) Zeigen Sie, daß die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N beschrankt und monoton sind.

b) Zeigen Sie, daß die Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren, und bestimmen

Sie diesen.

Aufgabe 4

Es sei eine Folge (an)n∈N gegeben mit der folgenden Eigenschaft:

∃ q ∈ Re mit 0 < q < 1 : |an+1 − an| ≤ q|an − an−1|, n ≥ 2.

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, daß (an)n∈N konvergiert.

Hinweis:

Benutzen Sie an geeigneter Stelle die geometrische Summenformel∑k

j=0 qj = 1−qk+1

1−q , q 6=1.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 3

Die rekursive Folge (an)n∈N sei definiert durch

a1 :=√

6, an+1 =√an + 6, n ∈ N.

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

Aufgabe 4

Betrachten Sie eine Flussigkeit A1 in einem Behalter B1 und eine Flussigkeit A2 in einem

Behalter B2 von jeweils 100 cm3. 10 cm3 von A1 werden nun zur Flussigkeit A2 in den

Behalter B2 gegeben. Nach grundlichem Vermischen werden 10 cm3 aus B2 wieder zu der

Flussigkeit in B1 gegeben. Anschließend wird die Flussigkeit in B1 grundlich vermischt.

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Im nachsten Schritt entnimmt man wiederum 10 cm3 aus B1 und schuttet diese in den

Behalter B2, usw.; d.h. dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt. Die Folge (cn)n∈N

bezeichne die relative Menge der Flussigkeit A1 im Behalter B1 nach dem n−ten Schritt.

a) Geben Sie die Rekursionsformel fur die Folge (cn)n∈N an.

b) Wie oft muß der Vorgang durchlaufen werden, bis sich in dem Behalter B1 weniger

als 70 cm3 der Flussigkeit A1 befinden?

c) Zeigen Sie, daß die Folge (cn)n∈N konvergiert, d.h. daß es eine Grenzmischung gibt.

Hinweis:

Betrachten Sie parallel zur Folge (cn)n∈N eine Folge (dn)n∈N bzgl. des Behalters B2.

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Ubungen (7) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Haufungswerte der unten angegebenen Folgen:

a) an := n√

1 + (−1)n, n ∈ N;

b) bn := | 1n + in|, n ∈ N;

c) cn := |z|n1+|z|n , n ∈ N, z ∈ C;

d) dn := nx− [nx], n ∈ N, x ∈ Q.

Aufgabe 2

Seien (an)n∈N und (bn)n∈N Folgen. Zeigen Sie:

a) Konvergiert (an)n∈N, so konvergiert auch (|an|)n∈N, und es gilt

limn→∞

|an| = | limn→∞

an|.

Gilt auch die Umkehrung?

b) Konvergiert (an)n∈N, so konvergiert auch

(

1n

n∑

j=1aj

)

n∈N

, und es gilt

limn→∞

1

n

n∑

j=1

aj = limn→∞

an.

c) Geben Sie eine divergente Folge an, fur welche die zugehorige Folge der arithmeti-

schen Mittel konvergiert.

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3

a) Bestimmen Sie alle Haufungswerte sowie lim inf und lim sup der Folge (an)n∈N, die

definiert ist durch

an :=(−1)n

2+

(−1)n(n+1)

2

3.

b) Zeigen Sie, daß fur jede reelle Folge (an)n∈N die folgenden Gleichungen gelten:

lim supn→∞

an = inf{x ∈ Re | x ≥ an fur fast alle n} = sup{x ∈ Re | x ≤ an fur unendlich viele n}.

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Aufgabe 4

Sei (an)n∈N eine Folge. Die Folgen (bn)n∈N und (cn)n∈N seien definiert durch bn := a2n

und cn := a2n+1. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Konvergieren (bn)n∈N und (cn)n∈N beide gegen a, dann konvergiert auch (an)n∈N

gegen a.

b) Ist (an)n∈N konvergent, dann sind auch (bn)n∈N und (cn)n∈N konvergent.

c) Es gibt eine Folge (an)n∈N, so daß die beiden Folgen (bn)n∈N und (cn)n∈N konvergie-

ren, aber nicht die Folge (an)n∈N.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 3

Beweisen Sie:

a)n−1∏

j=1

(

1 + 1j

)j= nn

n! , n ∈ N;

b) 3(n3

)n ≤ n! ≤ 2n(n2

)n, n ∈ N.

Hinweis:

i) Benutzen Sie fur Teil b) Teil a) und die Abschatzung 2 ≤(1 + 1

n

)n< 3, n ∈ N.

ii) Fur k > n gilt:n∑

j=k

aj := 0,n∏

j=k

aj := 1.

Aufgabe 4

a) Ein Schiff fahrt 3√

2 km in Richtung Nordost, danach 5 km nach Westen, dann 1 km

nach Suden und schließlich 2√

2 km nach Nordwest. Wie weit entfernt und in welcher

Richtung vom Ausgangspunkt befindet sich das Schiff. Benutzen Sie zur Berechnung

die Gaußsche Zahlenebene.

b) Sie finden eine Anleitung zur Schatzsuche auf einer Insel:

”Auf der Insel befinden sich zwei Baume A und B sowie ein Galgen. Man gehe vom

Galgen direkt zu Baum A und zahle die Schritte, wende sich im rechten Winkel nach

links und gehe die gleiche Schrittzahl geradeaus und markiere den Endpunkt. Die

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gleiche Prozedur vollziehe man fur Baum B, wende sich in diesem Fall aber nach

rechts. Auf der Halfte der Strecke der zwei markierten Punkte fange man an zu

graben.“

Sie fahren zur Insel und finden die Situation wie beschrieben vor – nur der Galgen

ist verschwunden. Sie sind zunachst besturzt, uberlegen eine Weile und freuen sich

dann allerdings, in der Analysis die Gaußsche Zahlenebene und die komplexen Zahlen

kennengelernt zu haben. Sie konnen den Grabungspunkt namlich ohne Kenntnis der

Position des Galgens bestimmen.

Hinweis:

Wahlen Sie den Nullpunkt geeignet. Was bedeutet die Multiplikation mit i bzw. −igeometrisch?

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Ubungen (8) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie den Wert der

konvergenten Reihen:

a)∞∑

n=1

n+ 4

n2 − 3n+ 1;

b)∞∑

n=1

c2n+1

(1 + c2)n, c ∈ Re ;

c)∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(n + 2).

Hinweis:

Um die Divergenz einer Reihe nachzuweisen, kann man das Minorantenkriterium benutzen:

Gibt es eine Folge (bn)n∈N nichtnegativer Zahlen mit bn ≤ an, n ∈ N, und∞∑

n=1bn = ∞,

dann divergiert auch die Reihe∞∑

n=1an.

Aufgabe 2

a) Beweisen Sie das sog. Reihenverdichtungskriterium:

Ist (an)n∈N eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, so konvergiert die

Reihe∞∑

n=1an genau dann, wenn die verdichtete Reihe

∞∑

n=12na2n konvergiert.

b) Verwenden Sie das Reihenverdichtungskriterium, um zu zeigen, daß die Reihe

∞∑

n=1

1

nα, α ∈ Q,

fur α > 1 konvergiert und fur α ≤ 1 divergiert.

- 174 -

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Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3

a) Die Folgen (an)n∈N0 , (bn)n∈N0 und (cn)n∈N0 seien definiert durch

an := bn :=(−1)n√n+ 1

, cn :=

n∑

k=0

an−kbk, n ∈ N0.

Zeigen Sie, daß die Reihen∞∑

n=0an und

∞∑

n=0bn konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt

∞∑

n=0cn nicht konvergiert.

b) Zeigen Sie, daß fur |x| < 1 gilt:

∞∑

n=0

(n+ 1)xn =1

(1− x)2 .

Aufgabe 4

Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei beschrankte Folgen nichtnegativer Zahlen. Zeigen Sie:

a) lim supn→∞

anbn ≤(

lim supn→∞

an

)(

lim supn→∞

bn

)

;

b) Ist (an)n∈N konvergent, so gilt

lim supn→∞

anbn =(

limn→∞

an

)(

lim supn→∞

bn

)

.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 3

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a)∞∑

n=1

n!

nn;

b)∞∑

n=1

(−n)n

(n+ 1)n+1;

c)∞∑

n=1

(n+ 1)n2

nn22n;

- 175 -

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Aufgabe 4

Stellen Sie sich vor, es ist wieder Bastelabend in der Fachschaft. Sie bieten dieses Jahr

an, einen”Turm von Hanoi“ bauen zu wollen, dessen Bauanleitung Sie von Ihrer letzten

Schatzsuche mitgebracht haben. Dieser soll die folgende Gestalt haben: Die erste Platte

soll einen Durchmesser von 10 cm haben, jede folgende Platte besitzt genau den halben

Durchmesser der vorhergehenden. Weiterhin soll die erste Platte 4 cm dick sein, die zweite

halb so dick wie die erste, die Dicke der dritten Platte soll ein Drittel der zweiten betragen

usw.. Sie stellen sich nun folgende Fragen:

a) Welche Dicke und welchen Durchmesser besitzt die n−te Platte?

b) Welche Gesamthohe Hn und welches Gesamtvolumen Vn besitzt der Turm Tn, der

aus den ersten n Platten besteht?

c) Welche Hohe hatte eigentlich T∞ und wieviel cm3 Holz waren fur den Bau eines

solchen Turmes notig?

- 176 -

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Ubungen (9) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

a) Beweisen Sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen in x = a mit Hilfe der ε −δ−Definition der Stetigkeit:

i) f : (0; 1) ∋ x 7→ √x ∈ Re ; a ∈ (0; 1);

ii) f : Re ∋ x 7→ 11+x2 ∈ Re ; a ∈ Re .

b) Untersuchen Sie die folgende Funktion f : Re → Re auf Stetigkeit in Re :

f(x) :=

|x− 2| (x2+x−6)(x+2)x2−4x+4

, x 6= 2

20, x = 2

.

Aufgabe 2

Eine Funktion f : D ⊂ Re → Re heißt Lipschitz-stetig, wenn eine Konstante 0 ≤ L <∞existiert, so daß fur alle x, y ∈ D gilt:

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|.

Zeigen Sie:

a) Jede auf D Lipschitz-stetige Funktion ist auch stetig in D.

b) Der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen ist ein Vektorraum uber Re .

c) Ist D ein Intervall, dann ist auch das Produkt zweier Lipschitz-stetiger Funktionen

wieder Lipschitz-stetig.

Aufgabe 3

Die Funktion f : Re → Re sei gegeben durch

f(x) :=9x3 − 18x2 − 2x+ 2

x2 + 1.

Zeigen Sie, daß f mindestens eine Nullstelle in den Intervallen [−1; 0] und [0; 1] besitzt.

Gibt es eine weitere Nullstelle im Intervall [1;∞)?

- 177 -

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Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 4

Fur die Funktion f : Re → Re gelte f(0) = 1 und

f(x+ y) ≤ f(x)f(y) ∀ x, y ∈ Re .

Zeigen Sie, daß f in Re stetig ist, wenn f im Nullpunkt stetig ist.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 4

Das Tragheitsmoment eines Systems aus N Massenpunkten mj, j ∈ {1, . . . , N}, ist defi-

niert durch

Θ =

N∑

j=1

mjr2j ,

wobei rj den Abstand des Massenpunktes mj senkrecht zur Drehachse angibt. Der Begriff

des Tragheitsmomentes laßt sich mit Hilfe eines Grenzwertprozesses auch auf homogene

Korper wie z.B. die Scheiben des Turms von Hanoi (vgl. Blatt 8) fortsetzen. Berechnen

Sie das Tragheitsmoment der ersten Holzscheibe, wobei die Dichte ρ als konstant voraus-

gesetzt sei. Die Rotationsachse stehe dabei senkrecht auf der Scheibe und gehe durch den

Mittelpunkt.

Hinweis:

i) Zerlegen Sie die Scheibe in n Kreisringe, wobei die Differenz des außeren und des

inneren Radius konstant sein soll.

ii) Schatzen Sie die Tragheitsmomente dieser Kreisringe geeignet nach oben und unten

ab.

iii) Summieren Sie diese Teilergebnisse und vereinfachen Sie diese mit Hilfe der Formeln

furn∑

i=1

i,

n∑

i=1

i2,

n∑

i=1

i3.

iv) Fuhren Sie nun den Grenzwertprozeß mit n→∞ durch.

- 178 -

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Weihnachts-Ubungsblatt zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Phy-

siker

Aufgabe 1: Vollstandige Induktion

Fur welche n ∈ N0 sind folgende Aussagen wahr?

a) 2n+ 1 ≤ 2n;

b) n2 ≤ 2n.

Aufgabe 2: Urbilder von Mengen

Seien X,Y nichtleere Mengen. Sei f : X → Y eine Funktion. Zeigen Sie:

a) Sind A ⊂ Y und B ⊂ Y disjunkt, dann sind auch f−1(A) und f−1(B) disjunkt.

b) Sei Y das kartesische Produkt zweier nichtleerer Mengen Y1, Y2, d.h. Y := Y1 × Y2.

Sei f := (f1, f2) definiert durch die Komponenten f1 : X → Y1 und f2 : X → Y2.

Fur beliebige Teilmengen A1 ⊂ Y1 und A2 ⊂ Y2 gilt

f−1(A1 ×A2) = f−11 (A1) ∩ f−1

2 (A2).

Aufgabe 3: Reihen

a) Sei∞∑

n=1an eine Reihe. Zeigen Sie:

Die Reihe konvergiert absolut, wenn lim supn→∞

n√

|an| < 1 gilt;

die Reihe divergiert, wenn lim supn→∞

n√

|an| > 1 gilt;

die Reihe kann sowohl divergent als auch konvergent sein, wenn lim supn→∞

n√

|an| = 1

gilt.

Hinweis:

Eine analoge Aussage gilt fur das Quotientenkriterium.

b) Zeigen Sie die Divergenz folgender Reihen:

i)∞∑

n=1(−1)n n

√n;

ii)∞∑

n=1

72n

(4+(−1)n)3n .

- 179 -

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Aufgabe 4: Logarithmus- und Hyperfunktionen

a) Beweisen Sie die Funktionalgleichung fur die Logarithmusfunktion:

ln(xy) = ln(x) + ln(y), x, y > 0.

b) Beweisen Sie fur x, y ∈ Re folgende Beziehungen fur die Funktionen cosh und sinh :

i) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y);

ii) sinh(x+ y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y);

iii) cosh2(x)− sinh2(x) = 1.

Hinweis:

Sie durfen die Funktionalgleichung fur die Exponentialfunktion benutzen.

- 180 -

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Ubungen (10) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen auf dem Intervall I := (−1, 1) streng monoton

und stetig sind und bestimmen Sie die Ableitungen der Umkehrfunktionen f−1 bzw. g−1

an den Stellen f(0) bzw. g(0).

a) f : I ∋ x 7→ x3 − 3x+ 3 ∈ Re ;

b) g : I ∋ x 7→ ln(−(x− 1)2 + 5) ∈ Re ;

Aufgabe 2:

a) Beweisen Sie:

Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt fur h(x) := h1(x)h2(x)

h′(x) =

(

h′2(x) ln(h1(x)) + h2(x)h′1(x)h1(x)

)

h1(x)h2(x), x ∈ D.

b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

i) f : Re + ∋ x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;

ii) g : Re ∋ x 7→ xe−x

(1+x2)2∈ Re ;

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 3:

Zeigen Sie ohne die Differenzierbarkeit zu benutzen, daß die folgenden Funktionen auf ih-

rem

Definitionsbereich gleichmaßig stetig sind:

a) f : (0, 2) ∋ x 7→ x3 ∈ Re ;

b) g : Re ∋ x 7→ 11+|x| ∈ Re ;

Aufgabe 4:

Eine Funktion f : [a, b]→ Re heißt genau dann streng konvex, wenn gilt

f(tx+ (1− t)y) < tf(x) + (1− t)f(y) ∀ t ∈ (0, 1), ∀ x, y ∈ [a, b], x 6= y.

- 181 -

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a) Zeigen Sie, daß es genau ein z ∈ [a, b] gibt mit

f(z) = minx∈[a,b]

f(x),

falls f : [a, b]→ Re streng konvex und stetig ist.

b) Gilt die Aussage von a) auch fur das Maximum?

c) Zeigen Sie, daß f : [−2, 3] ∋ x 7→ x2 ∈ Re streng konvex ist.

- 182 -

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Aufgaben Physiker:

Aufgabe 3:

Beweisen Sie folgenden Gleichungen fur n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen geeigneter

Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:

a)n∑

k=1

k(nk

)= n2n−1;

b)n∑

k=1

k(k − 1)(nk

)= n(n− 1)2n−2.

Hinweis:

Die Funktionen sind Polynome.

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms

p(x) := ax2 + bx+ c,

so daß die folgenden Bedingungen erfullt sind:

i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle fur x = 1.

ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y + 2x = 2.

iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden y − x = 5.

Hinweis:

Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1

ist.

- 183 -

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Ubungen (11) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Die Funktion f : Re ⊃ D → Re sei gegeben durch

f(x) =x3

x2 − 1, x ∈ D.

Unterziehen Sie die Funktion f einer Kurvendiskussion:

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Schnittpunkte mit den Achsen.

b) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie: Ist f ggf. eine gerade oder ungerade

Funktion?

c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und untersuchen Sie das Verhalten

von f fur x→ ±∞.

d) Bestimmen Sie alle Maxima sowie Minima (lokale, globale), Wende- und Sattelpunk-

te.

e) Zeichnen Sie die Funktion f fur x ∈ [−6, 6].

Hinweis:

i) Eine Funktion g heißt gerade bzw. ungerade, wenn gilt

g(x) = g(−x) bzw. g(x) = −g(−x) ∀ x ∈ D.

ii) Ein Wende- bzw. Sattelpunkt liegt bei der Funktion g u. a. vor, wenn gilt

g′′(x) = 0 ∧ g′(x), g′′′(x) 6= 0 bzw. g′(x) = g′′(x) = 0 ∧ g′′′(x) 6= 0.

Aufgabe 2

Der Graph der Funktion f mit f(x) = (x2− 4)2 schließt mit der x−Achse eine Flache ein.

Dieser Flache konnen Dreiecke einbeschrieben werden, die gleichschenklig und symmetrisch

zur y−Achse sind und deren Spitzen im Ursprung des Koordinatensystems liegen. Laßt

man diese Dreiecke um die y−Achse rotieren, so entstehen Kegel. Gesucht ist der Kegel

mit dem maximalen Volumen.

- 184 -

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a) Fertigen Sie eine Zeichnung an, die den Sachverhalt wiedergibt.

b) Zeigen Sie, daß fur das Volumen V des Kegels

V (r) =1

3π(r3 − 4r)2

gilt.

c) Bestimmen Sie mit Hilfe von V (r) den Radius r und die Hohe h des Kegels mit dem

maximalen Volumen sowie das maximale Volumen Vmax.

Aufgabe 3

Berechnen Sie e1/2 auf 10−3 exakt. Verwenden Sie dazu die Taylorformel mit Entwick-

lungspunkt 0 und die Darstellung des Restgliedes nach Lagrange.

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 4

Zeigen Sie:

Ist die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig und in (a, b) zweimal differenzierbar, dann

ist Sie auf [a, b] streng konvex, wenn gilt

f ′′(x) > 0, x ∈ (a, b).

Hinweis:

i) Die strenge Konvexitat wurde auf Blatt 10, Aufgabe 4 definiert.

ii) Definieren Sie z := (1−t)y+tx und nehmen Sie ohne Beschrankung der Allgemeinheit

y < x an. Benutzen Sie an geeigneter Stelle den Mittelwertsatz.

iii) Gilt in der obigen Aussage f ′′(x) ≥ 0, dann ist f auf [a, b] konvex. Gilt jedoch

f ′′(x) < 0 bzw. f ′′(x) ≤ 0, dann ist f auf [a, b] streng konkav bzw. konkav.

Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 4

Die Hermite-Polynome Hn sind Losungen der Differentialgleichung

v′′ − 2yv′ + (ǫ− 1)v = 0

- 185 -

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mit ǫ = 2n + 1, n ∈ N0. Diese Differentialgleichung tritt u. a. in der Quantenmechanik

bei der Betrachtung des eindimensionalen Oszillators, der z. B. die Schwingungen eines

zweiatomigen Molekuls beschreibt, auf. Eine Darstellung der Hermite-Polynome lautet

Hn(y) = (−1)ney2 dn

dyne−y

2, n ∈ N0.

a) Begrunden Sie kurz, warum Hn ein Polynom ist, obwohl die Exponentialfunktion

in der Darstellung auftaucht, und berechnen sie die ersten 4 Hermite-Polynome.

b) Zeigen Sie, daß die Hermite-Polynome Hn der Differentialgleichung

H ′′n − 2yH ′

n + 2nHn = 0

genugen.

c) Zeigen Sie, daß fur die Hermite-Polynome die folgende Beziehung gilt:

nHn−1 +1

2Hn+1 = yHn, n ∈ N.

Hinweis:

Sie durfen in Teil b) und c) die Beziehung H ′n = 2nHn−1, n ∈ N, benutzen.

- 186 -

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Ubungen (12) zur Vorlesung Analysis I fur Mathematiker und Physiker

Aufgabe 1

Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

a) limx→0

ex+e−x−2x2 ;

b) limx→0

(ex−1x

)1/x.

Aufgabe 2

Beweisen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung folgende Identitaten:

a) 2 arctan(x) = arcsin(

2x1+x2

)

, −1 ≤ x ≤ 1;

b) 2 arccot(√

1−cos(x)1+cos(x)

)

= π − x, 0 ≤ x < π.

Aufgabe 3

Beweisen Sie folgende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

a) cos(π2

)= 0, sin

(π2

)= 1;

b) cos(x+ π

2

)= − sin(x), sin

(x+ π

2

)= cos(x), x ∈ Re ;

c) cos(x+ π) = − cos(x), sin(x+ π) = − sin(x), x ∈ Re ;

d) cos(x+ 2π) = cos(x), sin(x+ 2π) = sin(x), x ∈ Re .

Sie durfen dazu nur die Satze und Definitionen der Vorlesung bis einschließlich Lemma 14

in §11 und die Definition von π benutzen.

Aufgaben fur Mathematiker:

Aufgabe 4

Seien f, g : [a, b]→ Re beschrankte Funktionen. Zeigen Sie fur die Ober- bzw. Unterinte-

grale:

a) –∫ (f + g)(x)dx ≤ –∫ f(x)dx+ –∫ g(x)dx;

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b) –

∫(f + g)(x)dx ≥ –

∫f(x)dx+ –

∫g(x)dx;

c) –∫ (cf)(x)dx = c–∫f(x)dx, c ∈ [0,∞).

- 188 -

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Aufgaben fur Physiker:

Aufgabe 4

Gegeben Sei eine Differentialgleichung der Form

n∑

k=0

aky(k)(x) = g(x), ak ∈ Re , an 6= 0, n ∈ N0.

Zeigen Sie:

a) Ist V die Menge der Losungen der Differentialgleichung fur g = 0, dann ist V einen

Vektorraum.

b) Sei z eine Losung der Differentialgleichung, und sei Vg die Menge der Losungen der

Differentialgleichung. Dann gilt

Vg = {z + h | h ∈ V }.

Hinweis:

i) Die obige Differentialgleichung ist eine lineare Differentialgleichung n−ter Ordnung

mit konstanten Koeffizienten.

ii) Gilt g = 0, so liegt eine homogene Differentialgleichung vor; ist g 6= 0, eine inhomo-

gene.

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C Theoretische Ubungsaufgaben

fur Informatiker zu Analysis I

Ubungen (1) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Losen Sie folgende Ungleichungen uber Re . Skizzieren Sie zudem die Losungsmenge auf

der x−Achse.

a) x+32x−5 > 3;

b) |x|−1x2−1

≥ 12 ;

c) |x− |x− 1|| > −2x+ 1.

Hinweis:

Machen Sie geeignete Fallunterscheidungen fur x.

Aufgabe 2

Seien A, B und C Teilmengen von X. Fur A ⊂ X ist das Komplement A′ von A in X

erklart durch A′ := X \ A. Zeigen Sie

a) A ∪B = B ∪A (Kommutativgesetz);

b) (A ∪B)′ = A′ ∩B′ (Regel von de Morgan);

c) A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C).

Bemerkung:

Die oben angegebenen Regeln fur Mengen gelten auch, wenn man jeweils ∪ durch ∩ und

∩ durch ∪ ersetzt. Die Regel von de Morgan gilt nicht nur fur zwei, sondern auch fur eine

beliebige endliche oder unendliche Anzahl von Mengen.

Aufgabe 3

Seien B und C Teilmengen einer Menge A. Zeigen Sie die Aquivalenz von

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a) B ⊂ C;

b) B ∩C = B;

c) B ∪C = C.

Aufgabe 4

a) Welche der folgenden Formulierungen bzw. Ausdrucke sind mathematische Aus-

sagen, d.h. Satze denen man unabhangig vom Betrachter genau einen der Wahr-

heitswerte wahr oder falsch zuordnen kann? Begrunden Sie kurz Ihre Entscheidung.

i) Diese Aufgabe ist sehr schwer.

ii) Dies ist eine Aufgabe zur Aussagenlogik.

iii) Diese Art von Aufgabe kommt in der Klausur vor.

b) Die Aussage q sei gegeben durch”Das Parallelogramm D ist ein Quadrat.“. Geben

Sie jeweils eine andere Aussage p an, so daß gilt:

i) q ⇒ p, aber nicht p⇒ q;

ii) p⇒ q, aber nicht q ⇒ p;

iii) p⇔ q.

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Ubungen (2) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Seien X und Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀ A, B ⊂ X;

b) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀ C, D ⊂ Y ;

Aufgabe 2

Seien A, B und C Mengen; seien f : A→ B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie:

a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.

b) Sind f und g bijektiv, so ist auch g ◦ f bijektiv, und es gilt (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Aufgabe 3

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Surjektivitat, Injektivitat und Bijektivitat:

a) f : Re → Re , x 7→ 2x− 1;

b) g : [−2;∞[→ [−2;∞[, x 7→ x2 − 2x− 1;

c) h : Re \{0} → Re , x 7→ x3

|x| .

Aufgabe 4

Man bestimme alle reellen Zahlen x, die der Ungleichung

|||1− x| − x| − x| − x < − 1

10

genugen.

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Ubungen (3) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Sei fn fur n ∈ N ∪ {0} die n–te Fibonacci–Zahl, d.h.

f0 := 0 , f1 := 1 und fn+1 := fn + fn−1 fur n ≥ 1 .

Zeigen Sie, dass

fn+m = fn−1fm + fnfm+1.

Aufgabe 2

Zeigen Sie fur jede naturliche Zahl n > 1 die Beziehung

1

n+ 1+

1

n+ 2+ . . .+

1

2n>

13

24.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie (falls vorhanden) das Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der

folgenden Mengen reeller Zahlen.

1.

{1

m+

1

n

∣∣∣∣m,n ∈ N

}

2.

{

x+1

x

∣∣∣∣

1

2< x ≤ 2

}

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Ubungen (4) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

In wieviele Teile kann eine Ebene durch n Geraden maximal aufgeteilt werden?

Aufgabe 2

Man zeige, dass fur alle naturlichen Zahlen n die Zahl 11n+2 + 122n+1 durch 133 teilbar

ist.

Aufgabe 3

Man bringe die folgenden komplexen Zahlen auf die Form x+ yi.

(a) (3 + 4i) · (2− i), (b) (5 + i)/(1 + i), (c) 1 + i+ i2 + i3, (d) i379.

Aufgabe 4

Welche Funktion wird durch folgenden C-Quelltext berechnet?

int machwas(int n, int m) { int k, r = 0;

for(k = 0; k < n; k++) { if(k < m) { r += k; } else r++; } return

r; }

- 194 -

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Ubungen (5) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Losen Sie den Ausdruck

1

10

(

(x+ y)10 +(x2 + y2

)5+ 4 ·

(x5 + y5

)2+ 4 ·

(x10 + y10

))

auf.

Aufgabe 2

Man zeige fur alle naturlichen Zahlen n und k die Beziehung

(n+ 1

k + 1

)

=

(n

k + 1

)

+

(n

k

)

.

Aufgabe 3

Berechnen Sie z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2, z1/z2 fur

1. z1 = 1 + i√

3, z2 = 1− i,

2. z1 = 2 + 3i, z2 = 3− 5i,

3. z1 = 4− 5i, z2 = 4 + 5i und

4. z1 = i, z2 = −2− 4i.

Aufgabe 4

Bestimmen Sie die komplexen Zahlen, die durch folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen

gegeben sind. Welche geometrische Form haben sie in der Gaußschen Zahlenebene?

1. 0 < 2 · ℑ(z) < |z|.

2. |z + 4i− 3| = 3.

3. |z − 1| = |z − i|.

4. |z + i| ≥ 2 · |z + 1|.

- 195 -

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Ubungen (6) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Grenzwerte der durch

(a) an =1√n

(b) an =5n+ 1

7n− 2

(c) an =(3n + 2)(3n − 2)2

9n3 + 3n2(d) an = 3−(n+2) (1n + 2n + 3n)

(e) an =√n(√n+ 1−√n

)(f) an = n

√n+ 7n

gegebenen Folgen (an)n∈N.

Aufgabe 2

Fur welche α0, α1, α2 ∈ R und β0, β1, β2 ∈ R+ := {x ∈ R | x > 0} ist die durch

an =α2n

2 + α1n+ α0

β2n2 + β1n+ β0

bestimmte Folge (an)n∈Nkonvergent?

Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 3

Sei c ∈ R+, sei a0 ∈ ] 0 , 1/c [ und sei an fur n ∈ N rekursiv durch

an := an−1 (2− can−1)

definiert. Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈Nmonoton wachst und von oben beschrankt ist,

und bestimmen Sie deren Grenzwert.

- 196 -

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Ubungen (7) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Welche Folge(n) ist/sind konvergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

1. an = 1 +(−1

2

), n ∈ N;

2. an = (−1)n + 12n , n ∈ N;

3. an = (−1)n(2n + 1), n ∈ N;

4. an = 12n+1 , n ∈ N;

5. an =(1 + 2

n

)n, n ∈ N.

Aufgabe 2

Die Folgen (an)n∈N, (bn)n∈N seien durch

an :=(3− n)3

3n3 − 1bzw. bn :=

1 + (−1)nn2

2 + 3n + n2

definiert. Man entscheide fur jede der beiden Folgen, ob sie beschrankt, konvergent bzw.

divergent ist, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 3

Fur x ∈ C \ {−1} und n ∈ N sei

an(x) =

(x− 1

x+ 1

)2n+1

.

Man bestimme folgende Mengen:

1. A1 = {x ∈ C | (an(x))n∈N ist beschrankt}.

2. A2 = {x ∈ C | (an(x))n∈N ist konvergent}.

- 197 -

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Ubungen (8) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

(a)

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)(n + 2)(b)

∞∑

n=2

1

n2 − 1

Aufgabe 2

Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe

∞∑

n=0

8n + 2n

16n.

Aufgabe 3

Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.

(a)

∞∑

n=1

√n+ 1−√n

n(b)

∞∑

n=1

(√

n2 + 1− n)

Aufgabe 4

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.

(a)

∞∑

n=1

( n√n− 1)n (b)

∞∑

n=1

n2

(2 + 1

n

)n (c)

∞∑

n=1

nn

(n+ 1)!

- 198 -

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Ubungen (9) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Ermitteln Sie, fur welche reellen Zahlen x die folgenden Terme nicht definiert sind. Fur

welche dieser Zahlen lassen sich die Terme stetig, fur welche eindeutig stetig fortsetzen?

1.x2 − 1

x2 + 3x+ 2.

2.√

x2 − 4.

3.x8 − x3 + 379

x2 + x+ 1.

Aufgabe 2

In den folgenden Termen bestimme man die reellen Unstetigkeitsstellen und klassifiziere

diese nach den Typen:

• hebbare Unstetigkeit, d.h. der Grenzwert existiert,

• Sprungstelle, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, sind aber verschie-

den,

• Pol,

• keine der obigen Arten.

(a)x− 42

|x− 42| (b) 21/x

(c)x3 − 3x

x3 − x (d) x · frac(√

|x|)

Hierbei ist frac(x) = x− floor(x) der gebrochene Anteil von x.

Aufgabe 3

Die Funktionen fn : R→ R seien fur n ∈ N durch

fn(x) :=nx

1 + |nx|

definiert. Man zeige, dass alle diese Funktionen stetig sind. Fur welche x ∈ R ist die

Funktion

f(x) = limn→∞

fn(x)

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definiert und wo ist sie stetig?

Aufgabe 4

Man zeige, dass die Gleichung x3 − 3x − 1 = 0 drei reelle Losungen hat. Man gebe ein

Verfahren an, mit dem sich diese Losungen beliebig genau bestimmen lassen und bestimme

damit die Losung mit einer Genauigkeit von 10 Stellen.

- 200 -

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Ubungen (10) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1:

a) Beweisen Sie:

Sind h1 > 0, h2 differenzierbar auf D ⊂ Re , dann gilt fur h(x) := h1(x)h2(x)

h′(x) =

(

h′2(x) ln(h1(x)) + h2(x)h′1(x)h1(x)

)

h1(x)h2(x), x ∈ D.

b) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

i) f : Re + ∋ x 7→ (3x)ln(x) ∈ Re ;

ii) g : Re ∋ x 7→ xe−x

(1+x2)2∈ Re ;

Aufgabe 2:

Beweisen Sie folgenden Gleichungen fur n ≥ 2, indem Sie die Ableitungen geeigneter

Funktionen benutzen und diese an passender Stelle auswerten:

a)n∑

k=1

k(nk

)= n2n−1;

b)n∑

k=1

k(k − 1)(nk

)= n(n− 1)2n−2.

Hinweis:

Die Funktionen sind Polynome.

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms

p(x) := ax2 + bx+ c,

so daß die folgenden Bedingungen erfullt sind:

i) Das Polynom p besitzt eine Nullstelle fur x = 1.

ii) Die Tangente im Punkt (2, p(2)) ist parallel zu der Geraden y + 2x = 2.

iii) Die Tangente im Punkt (−1, p(−1)) steht senkrecht auf der Geraden y − x = 5.

Hinweis:

Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1

ist.

- 201 -

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Ubungen (11) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f(x) = sin(x) im Punkt x0 = 0. Zeich-

nen Sie die Funktion f und ihre Naherungen durch die Taylor-Polynome bis zum 5. Grad.

Aufgabe 2

Fur x ∈ R sei p(x) := 3 + 4(x− 1)2 und f(x) := p(x)e−x2. Man bestimme alle lokalen und

globalen Extrema.

Aufgabe 3

Man diskutiere den Verlauf der Kurven y = 2 + 12x2−4 und y = 3

x − 1x3 , d.h. man be-

stimme Symmetrieeigenschaften, Definitions- und Wertebereich, Schnittpunkte mit den

Koordinatenachsen, Unstetigkeitsstellen, Asymptoten, Monotoniebereiche, lokale und glo-

bale Extrema, Konvexitat, Konkavitat und Wendepunkte.

- 202 -

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Ubungen (12) zur Vorlesung Analysis I fur Informatiker

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.

1. limx→0

sin(3x)

x.

2. limx→0

x− sinx

x3.

3. limx→+0

xx.

4. limx→+0

x lnx.

Aufgabe 2

Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Kurven.

1. f(x) = (x+ 2)2/3 − (x− 2)2/3.

2. f(x) = x− ln(x).

3. f(x) =x2 − xx2 + 1

.

Aufgabe 3

Beweisen Sie, dass

2

3≤ x2 + 1

x2 + x+ 1≤ 2 fur alle x ∈ R .

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D Theoretische Ubungsaufgaben zu Analysis II

Ubungen (1) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Kurvendiskussion)

Die Funktion f : Re ⊃ D → Re sei gegeben durch

f(x) =x3

x2 − 1, x ∈ D.

Unterziehen Sie die Funktion f einer Kurvendiskussion:

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Schnittpunkte mit den Achsen.

b) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie: Ist f ggf. eine gerade oder ungerade

Funktion?

c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f und untersuchen Sie das Verhalten

von f fur x→ ±∞.

d) Bestimmen Sie alle Maxima sowie Minima (lokale, globale), Wende- und Sattelpunk-

te.

e) Zeichnen Sie die Funktion f fur x ∈ [−6, 6].

Hinweis:

i) Eine Funktion g heißt gerade bzw. ungerade, wenn gilt

g(x) = g(−x) bzw. g(x) = −g(−x) ∀ x ∈ D.

ii) Ein Wende- bzw. Sattelpunkt liegt bei der Funktion g u. a. vor, wenn gilt

g′′(x) = 0 ∧ g′(x), g′′′(x) 6= 0 bzw. g′(x) = g′′(x) = 0 ∧ g′′′(x) 6= 0.

Aufgabe 2 (l’Hospital)

Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

a) limx→0

ex+e−x−2x2 ;

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b) limx→0

(ex−1x

)1/x.

Aufgabe 3 (Taylorentwicklung)

Bestimmen Sie die Taylorpolynome der folgenden Funktionen vom Grad m mit Entwick-

lungspunkt x0 :

a) f : Re → Re , x 7→ eex; m = 3; x0 = 0;

b) g : Re → Re , x 7→ sin(x); m = 2n+ 1; x0 = π.

Aufgabe 4 (Winkelfunktionen)

Beweisen Sie folgende Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

a) cos(π2

)= 0, sin

(π2

)= 1;

b) cos(x+ π

2

)= − sin(x), sin

(x+ π

2

)= cos(x), x ∈ Re ;

c) cos(x+ π) = − cos(x), sin(x+ π) = − sin(x), x ∈ Re ;

d) cos(x+ 2π) = cos(x), sin(x+ 2π) = sin(x), x ∈ Re .

Sie durfen dazu nur die Satze und Definitionen der Vorlesung bis einschließlich Lemma 14

in §9 und die Definition von π benutzen.

- 205 -

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Ubungen (2) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Ableitungen)

Fur welche x ∈ Re sind die folgenden Funktionen fk, k = 1, 2, 3, definiert, und wo sind

sie differenzierbar? Berechnen Sie dort jeweils die erste Ableitung.

a) f1(x) = ax+bcx+d , a, b, c, d ∈ Re , ad− bc = 1, c 6= 0;

b) f2(x) = ln(cos(x));

c) f3(x) = (arctan(x))2.

Aufgabe 2 (Unterintegrale)

Seien f, g : [a, b]→ Re beschrankte Funktionen. Zeigen Sie fur die Unterintegrale:

a) –

∫(f + g)(x)dx ≥ –

∫f(x)dx+ –

∫g(x)dx;

b) –

∫(cf)(x)dx = c–

∫f(x)dx, c ∈ [0,∞).

Aufgabe 3 (Ober- und Unterintegrale)

Sei f : [a, b]→ Re eine beschrankte Funktion. Zeigen Sie, daß gilt:

a) –∫ (−f)(x)dx = −–

∫f(x)dx;

b) –

∫(−f)(x)dx = −–∫ f(x)dx.

- 206 -

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Ubungen (3) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Grenzwerte)

a) limx→∞

(cosh(x)− sinh(x));

b) limx→0

sinh(x)x ;

c) limx→∞

cos(x)+xsin(x)+x .

Aufgabe 2 (Riemannsche Summen)

Berechnen Sie das Integral∫ a

1ln(x)dx

mittels Riemannscher Summen.

Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung

1 = x0 < x1 < . . . < xn = a

mit xk = ak/n, ξk = xk−1, k = 0, . . . , n.

Aufgabe 3 (Integrierbare Funktionen)

Beweisen Sie Satz 10.13:

f, g ∈ R[a, b] ⇒ f · g ∈ R[a, b].

Hinweis:

i) Zeigen Sie, daß f2 ∈ R[a, b] gilt, wenn f ∈ R[a, b] ist.

ii) Folgern Sie mit Hilfe der folgenden Darstellung fur das Produkt

f · g =1

4((f + g)2 − (f − g)2),

daß dann auch f · g ∈ R[a, b] liegt, wenn f, g ∈ R[a, b] sind.

iii) Verwenden Sie die Charakterisierung der Integrierbarkeit aus Satz 10.8.

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Ubungen (4) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Partielle Integration und Substitution)

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

a)3∫

0

x3√

9− x2dx;

b)1∫

0

x ln(x)2dx;

c)1∫

0

cos(ax) cos(bx)dx, a > b > 0.

Aufgabe 2 (Flachen- und Volumenberechnung)

a) Berechnen Sie den Flacheninhalt, der durch die folgenden Kurven begrenzt wird:

y =x

2, y =

x

3, y =

√x.

b) Berechnen Sie das Volumen des Torus, der durch die Rotation des Kreises mit der

Gleichung x2 + (y − 2)2 = 1 um die x−Achse entsteht.

Hinweis:

Das Volumen bei der Rotation einer Funktion f um die x−Achse bzgl. des Intervalls

[x1, x2] ist gegeben durch V = πx2∫

x1

f2(x)dx.

Aufgabe 3 (Eigenschaft des Integrals)

Sei f : [a, b]→ Re eine Riemann-integrierbare Funktion. Weiterhin gelteb∫

af(x)dx 6= 0.

Zeigen Sie, daß dann ein c ∈ (a, b) existiert, so daß gilt:

∫ c

af(x)dx =

∫ b

cf(x)dx.

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Ubungen (5) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Uneigentliche Integrale)

Untersuchen Sie die uneigentlichen Integrale a) und b) auf Konvergenz und berechnen Sie

den Wert des Integrals c):

a)∞∫

ee

dxx ln(x) ln(ln(x)) ;

b)∞∫

0

sin(x)x ;

Hinweis:

i) Zerlegen Sie das Integral geeignet (z.B. bzgl. der Intervalle [0, 1] und [1,∞))

und wenden Sie an einer Stelle die partielle Integration an.

ii) Die Funktion Si(x) :=x∫

0

sin(t)t dt wird Integralsinus genannt.

c)∞∫

0

dx1+eλx , λ > 0.

Hinweis:

Machen Sie eine geeignete Substitution und anschließend eine PBZ.

Aufgabe 2 (Partialbruchzerlegung)

Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:

∫ 4

3

x3 − 17x2 − 39x− 15

x4 + x3 − 5x2 − 7x+ 10dx.

Aufgabe 3 (Integralvergleichskriterium)

a) Beweisen Sie das sog. Integralvergleichskriterium:

Die Funktion f sei auf dem Intervall [n,∞), n ∈ N, monoton fallend und positiv.

Dann gilt: Die Reihe∞∑

k=n

f(k) konvergiert bzw. divergiert genau dann, wenn das

Integral∞∫

nf(x)dx existiert bzw. nicht existiert.

b) Wenden Sie das Kriterium auf die folgende Reihen an:

∞∑

n=3

ln(ln(n))

n(ln(n))2.

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Ubungen (6) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Gleichmaßige Konvergenz und Integrale)

a) Zeigen Sie, daß die Folge (fn)n∈N von Funktionen, die durch

fn : [0,∞)→ Re , fn(x) =x

n2e−

xn , n ∈ N,

definiert sind, fur n→∞ gleichmaßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

b) Zeigen Sie, daß der Limes mit der Integration nicht vertauschbar ist, d.h.

limn→∞

∞∫

0

fn(x)dx 6=∞∫

0

limn→∞

fn(x)dx.

Warum gilt dies trotz gleichmaßiger Konvergenz nicht?

Aufgabe 2 (Potenzreihen)

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a)∞∑

n=0

(

1+2(−1)n2

2−6(−1)n

)n

xn;

b)∞∑

n=0

3n(n!)2nn

(3n)! x2n;

c)∞∑

n=0

(α+ 1

n

)n2

xn, α ≥ 0.

Aufgabe 3* (Γ−Funktion)

Fur x > 0 definiert man die Γ−Funktion auch durch

Γ(x) =

∞∫

0

tx−1e−tdt.

a) Beweisen Sie, daß fur x > 0 gilt: Γ(x+ 1) = xΓ(x).

b) Beweisen Sie, daß die Γ−Funktion logarithmisch-konvex ist, d.h.

Γ(λx+ (1− λ)y) ≤ Γ(x)λΓ(y)1−λ, 0 < λ < 1, x, y > 0.

Benutzen Sie dazu die Holdersche Ungleichung fur Integrale:

b∫

a

|f(x)g(x)|dx ≤

b∫

a

|f(x)|pdx

1/p

b∫

a

|g(x)|qdx

1/q

mit p, q ∈ (1,∞) und1

p+

1

q= 1.

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c) Beweisen Sie, daß fur 0 < λ < 1 und n ≥ 1 gilt:

n!(n+ λ)λ−1 ≤ Γ(n+ λ) ≤ (n− 1)!nλ.

Folgern Sie daraus, daß fur x > 0 gilt:

Γ(x) = limn→∞

n!nx

x(x+ 1) · · · (x+ n).

- 211 -

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Ubungen (7) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Gleichmaßige Konvergenz und Vertauschung von Grenzwertpro-

zessen)

Die Funktionenfolge (fn)n∈N0 sei definiert durch fn(x) := xn, x ∈ [−1, 1].

a) Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge auf [0, 1] nicht gleichmaßig konvergiert.

b) Zeigen Sie, daß die Reihe∞∑

n=0fn(x) nicht gleichmaßig auf (−1, 1) konvergiert, aber

auf [−q, q] mit 0 ≤ q < 1.

c) Zeigen Sie, daß die Vertauschung der Summation mit der Differentiation bzw. der

Integration erlaubt ist, d.h.

( ∞∑

n=0

fn(x)

)′

=∞∑

n=0

f ′n(x), x ∈ (−1, 1);

t∫

0

( ∞∑

n=0

fn(x)

)

dx =∞∑

n=0

t∫

0

fn(x)dx, t ∈ (−1, 1).

Aufgabe 2 (Chaotische Topologie)

Sei X 6= {} eine beliebige Menge. Zeigen Sie:

a) τc := {{},X} ist eine Topologie auf X.

b) Es handelt sich um die grobste Topologie auf X.

Hinweis:

Diese Topologie wird auch chaotische bzw. indiskrete Topologie genannt.

Aufgabe 3* (Franzosische Eisenbahnmetrik)

a) Zeigen Sie, daß auf Re 2 durch

d : Re 2×Re 2 → Re , d(x, y) =

d2(x, y), ∃ t ∈ Re : y = tx

d2(x, 0) + d2(0, y), sonst

eine Metrik definiert wird (franzosische Eisenbahnmetrik).

b) Bestimmen Sie fur x ∈ Re 2 und ε > 0 die ε−Umgebung Uε(x) := {y ∈ Re 2 | d(x, y) <ε}.

- 212 -

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Ubungen (8) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Induzierte Topologie)

Sei (X, τ) ein topologischer Raum. Sei Y ⊂ X, Y 6= {}. Zeigen Sie, daß durch

τY := {B ⊂ Y | ∃ A ∈ τ : B = Y ∩A}

eine Topologie auf Y erzeugt wird (die durch τ auf Y induzierte Topologie).

Aufgabe 2 (Konvergenz in topologischen Raumen)

a) Sei (X, τ) ein topologischer und Hausdorffscher Raum. Zeigen Sie, daß jede konver-

gente Folge genau einen Grenzwert besitzt.

b) Zeigen Sie, daß in dem topologischen Raum (X, τg) mit #X ≥ 2, wobei τg die grobste

Topologie bezeichnet, konvergente Folgen mit mehr als einem Grenzwert existieren

konnen.

Aufgabe 3 (Abschluß von Mengen)

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Sei A ⊂ X. Zeigen Sie, daß gilt:

cl(A) = A = {x ∈ X | ∃ (xn)n∈N mit xn ∈ A ∀ n ∈ N, xn → x (n→∞)}.

Hinweis:

i) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen x, wenn fur

alle Umgebungen U(x) ein N ∈ N existiert, sodaß fur alle n ≥ N gilt xn ∈ U(x),

d.h. xn → x (n→∞).

ii) Sie konnen Satz 14, Teil a) in § 15.4 (Numerierung in der alten Version) benutzen.

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Ubungen (9) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Inneres und Rand von Mengen)

Sei X = Re mit der euklidischen Metrik d2 versehen. Bestimmen Sie das Innere int(M) =

M◦i und den Rand ∂Mi fur M1 := Re \Z und M2 := Re \Q.

Hinweis:

Der Rand ∂M einer Menge M ⊂ X ist die Menge aller Punkte aus x ∈ X, fur die gilt:

In jeder Umgebung des Punktes x liegt mindestens ein Punkt aus M und ein Punkt aus

X \M.

Aufgabe 2 (Totalbeschranktheit)

Sei (X, d) ein metrischer Raum, und sei A ⊂ X. Zeigen Sie, daß aus der Totalbeschrankt-

heit von A auch die Totalbeschranktheit von cl(A) = A folgt.

Aufgabe 3 (Stetigkeit von Funktionen auf topologischen Raumen)

Gegeben seien die folgenden drei topologischen Raume:

i) X1 = Re mit der diskreten Topologie τf ;

ii) X2 = Re mit der durch die Metrik d2 erzeugten Topologie τ2;

iii) X3 = Re mit der indiskreten Topologie τg.

a) Wie sehen die konvergenten Folgen in X1,X2 und X3 aus?

b) Betrachten Sie Funktionen f : Xi → Xj mit i, j ∈ {1, 2, 3}. Zeigen Sie, daß fur

i) i = 1 oder j = 3 alle Funktionen stetig sind.

ii) i = 2, j = 1; i = 3, j = 1; i = 3, j = 2 nur die konstanten Funktionen stetig

sind.

iii) i, j = 2 die normale Stetigkeit aus Analysis I vorliegt.

Hinweis:

Verwenden Sie die Definition der Stetigkeit uber offene Mengen.

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Ubungen (10) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Gleichmaßige Konvergenz)

Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum, und fn ∈ C(X,Re ), n ∈ N. Weiterhin kon-

vergiere fn(x) monoton wachsend gegen f(x) fur alle x ∈ X fur n → ∞. Weiterhin sei f

stetig. Zeigen Sie, daß (fn)n∈N gleichmaßig gegen eine Funktion f konvergiert.

Aufgabe 2 (Norm und Banachraum)

Die Menge aller reellen Nullfolgen A0 ist definiert durch

A0 := {(an)n∈N | an ∈ Re , n ∈ N, an → 0 (n→∞)}.

Beweisen Sie:

a) Durch A0 ∋ a 7→ ‖a‖∞ := supn∈N |an| wird eine Norm auf A0 erklart.

b) (A0, ‖ · ‖∞) ist ein Banachraum.

Aufgabe 3 (Arzela-Ascoli)

Sei (fn)n∈N eine Folge in C([−1, 1],Re ). Weiterhin gelte:

∃ c1 ≥ 0 ∀ t ∈ [−1, 1] ∀ n ∈ N : |fn(t)| ≤ c1.

a) Es gelte zusatzlich:

∃ c2 ≥ 0 ∀ t ∈ (−1, 1) ∀ n ∈ N : |f ′n(t)| ≤ c2.

Zeigen Sie, daß dann die Folge (fn)n∈N eine gleichmaßig konvergente Teilfolge enthalt.

b) Die Folge (Fn)n∈N sei definiert durch

Fn(t) :=

t∫

−1

fn(s)ds, t ∈ [−1, 1], n ∈ N.

Zeigen Sie, daß auch die Folge (Fn)n∈N eine gleichmaßig konvergente Teilfolge enthalt.

Aufgabe 4 (Bonusaufgabe, Abgeschlossenheit und Kompaktheit)

Seien X und Y metrische Raume, sei f : X → Y eine stetige Abbildung, c ∈ Y und

M := {x ∈ X | f(x) = c}.

Zeigen Sie, daß M abgeschlossen ist. Ist M auch immer kompakt?

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Ubungen (11) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Weglange, Krummung)

a) Stellen Sie die Kreislinie

ϕ(t) = (r cos(t), r sin(t)), t ∈ [0; 2π],

mit Hilfe der Weglange

s = sϕ = rt

als Parameter dar, d.h. geben Sie eine stetige Funktion ψ = ψ(s) an, so daß Γϕ = Γψ

gilt.

b) Berechnen Sie fur den Kreis aus Aufgabenteil a)

‖ϕ(t)‖2,t∫

0

‖ϕ(τ)‖dτ, ‖ψ(s)‖2

sowie die Krummung ‖ψ(s)‖ und den Krummungsmittelpunkt

µ(s) := ψ(s) +ψ(s)

‖ψ(s)‖22.

Aufgabe 2 (Weglange)

Berechnen Sie die Weglange der folgenden Kurven:

a) ϕ1 : [0; 0, 5] ∋ t 7→ (4t2, 8t3) ∈ Re 2, (Neilsche Parabel);

b) ϕ2 : [0, 4π] ∋ t 7→ (r cos(t), r sin(t), ct) ∈ Re 3, c > 0, (Schraubenlinie);

c) ϕ3 : [0, 2π] ∋ t 7→ (a(1+cos(2t)) cos(2t), a(1+cos(2t)) sin(2t)) ∈ Re 2, a > 0, (Kardioid).

Aufgabe 3 (Ellipsenumfang)

Leiten Sie mit Hilfe der Formel fur die Weglange den folgenden Ausdruck fur den Umfang

U einer Ellipse mit

x = a cos(t), y = b sin(t), a > b > 0, t ∈ [0; 2π],

her:

U = 4a

π/2∫

0

1− ε2 cos2(t)dt.

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Dabei ist die numerische Exzentritat der Ellipse ε definiert durch

ε2 :=a2 − b2a2

.

Zeigen Sie, daß man U in eine Potenzreihe der Form

U = 2πa

(

1−(

1

2

)2

ε2 − 1

3

(1 · 32 · 4

)2

ε4 − 1

5

(1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2

ε6 − . . .)

entwickeln kann. Berechnen Sie die Koeffizienten bis zum Summanden mit ε4 und geben

Sie eine Abschatzung fur den Abbruchfehler an.

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Ubungen (12) zur Vorlesung Analysis II

Aufgabe 1 (Partielle Ableitungen, Stetigkeit)

Die Funktion f : Re 2 → Re sei definiert durch

f(x, y) :=

x3

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

.

a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von f fur alle (x, y) ∈ Re 2 .

b) Uberprufen Sie die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit fur (x, y) = (0, 0).

Aufgabe 2 (Totale Differenzierbarkeit)

Die Funktion f : Re 2 → Re sei definiert durch

f(x, y) :=

(x2 + y2) sin

(

1√x2+y2

)

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

.

a) Zeigen Sie, daß f im Nullpunkt total differenzierbar ist.

b) Zeigen Sie, daß f 6∈ C1(Re 2) ist.

Hinweis:

a) Zeigen Sie die Unstetigkeit einer der partiellen Ableitungen im Nullpunkt.

b) Diese Funktion ist somit ein Beispiel fur eine total differenzierbare Funktion,

die keine C1−Funktion ist.

Aufgabe 3 (Bonusaufgabe, Niveaulinien, Gradienten)

Seien f und g definiert durch

f : Re 2 → Re , f(~x) =√

|xy|; g : Re 2 → Re , g(~x) = |x|+ |y|.

a) Bestimmen und zeichnen Sie fur geeignete c einige Niveaulinien, d. h. f(~x) = c bzw.

g(~x) = c.

b) Bestimmen und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g mit der Ein-

schrankung x = c bzw. y = c fur einige c.

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c) Berechnen Sie ∇f bzw. ∇g fur ~x ∈ Re 2, sofern diese existieren, und zeichnen Sie

einige Gradienten in die Bilder von a) ein.

Hinweis:

Fur die Zeichnungen konnen Sie auch Computerprogramme verwenden.

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Index

Abbildung, 2, 25

identische, 4, 55

injektive, 4

inverse, 138

kontrahierende, 134

lineare, 71

wohlbestimmt, 4

wohldefiniert, 4

abgeschlossen, 92, 96, 97, 103

abgeschlossene Hulle, 95

Ableitung, 52, 53, 87, 122, 126

Frechet, 133

hohere, 60

partielle, 119, 120, 126, 127

Ableitung k-ter Ordnung, 60

Ableitungen

linksseitige, 55

absolut konvergent, 36, 38

Absolutbetrag, 10, 90

Abstandsfunktion, 90

abzahlbar unendlich, 14

Addition, 22

affin, 124

Algebraische Verknupfungen, 42

analytisch, 89

Anfangspunkt, 105

Anfangswert, 135

Anfangswertaufgabe, 135, 136, 142

Anordnungsaxiom, 9

Anordnungsaxiome, 7

Arithmetisches Mittel, 8

Assoziativgesetz, 1, 4

Assoziativitat, 6

Auflosbarkeit, 141, 142

Banachraum, 101, 102

Basis, 40

Beruhrungspunkt, 63

Bernoullische Ungleichung, 19

beschrankt, 9, 26, 30, 34, 48, 69, 99, 103

nach oben, 8

nach unten, 8

total, 98

Betrag, 10, 23

Betragsfunktion, 23, 42, 44

Beweisverfahren, indirektes, 1

Bijektion, 14, 15, 39

bijektiv, 4, 112

Bild, 3

Bildbereich, 2

Binomialkoeffizient, 18

Binomischer Lehrsatz, 19

Bisektionsverfahren, 46

Brennpunkte, 107

Bruch

systematischer, 41

Bruchrechnen, 6

Cartesisches Produkt, 2

Cauchy–Folge, 29, 98

Cauchy–Kriterium

fur gleichm. Konvergenz, 82

fur Reihen, 84

Cauchy–Produkt, 39, 88

Cauchysches Konvergenzkriterium, 30, 35

Cosinus, 64

Cosinus hyperbolicus, 50

Cosinus–Funktion, 64

Cotangens hyperbolicus, 50

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Cotangens–Funktion, 65

Definitheit, 24, 90, 100

Definitionsbereich, 2

Definitionsmethode

induktive, 13

Dezimalbruch, 41

Dezimalzahlen, 41

Diffeomorphismus

C1–, 138, 140

Cr–, 138

Differentialoperator, 131

Differentialquotient, 53

Differentiation, gliedweise, 85

Differentiationsregeln, 124

differenzierbar, 53–55, 58–61, 63, 75, 112, 117,

123

partiell, 118, 119, 122, 123

total, 121, 123

vollstandig, 121, 123

Differenzierbarkeit, vollstandige, 121, 122

Diskriminante, 144

Distanzfunktion, 95

Distributivgesetz, 2

divergent, 26, 31, 34, 36, 62

Dreiecksungleichung, 11, 24, 90, 100

Dualzahlen, 41

Durchmesser, 99

Durchschnitt, 1

Einheit, imaginare, 22

Einheitsvektor, 106

Einselement, 10, 22

Element

additiv inverses, 6

maximales, 9

minimales, 9

multiplikativ inverses, 6

neutrales, 6

Ellipse, 107, 108, 113, 129

Endpunkt, 105

Entwicklungspunkt, 61, 62, 86

Euklidischer Algorithmus, 79

Eulersche Gammafunktion, 78

Eulersche Zahl, 29

Exponentenbereich, 41

Exponentialfunktion, 38, 40, 42, 44, 49, 50, 56,

61

Funktionalgleichung der, 40

Extremum, 143, 144

lokales, 58, 62, 143, 145, 146, 150

mit Nebenbedingung, 145

Exzentrizitat

numerische, 108

Exzentrizitat, lineare, 107

Faktorisierung in Primzahlen, 16

Fakultat, 15

Fehlerabschatzung, 37, 38

Feinheit, 74

Feinheitsmaß, 74

Fibonacci–Zahlen, 25, 28

Fixpunkt, 134, 135

Flacheninhalt, 67

Folge, 25

beschrankte, 25, 26, 31

Glieder der, 25

konstante, 25

folgenkompakt, 97

folgenstetig, 94, 95

Fundamentalsatz der Algebra, 79

Funktion, 2

C1–, 122, 123

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Ck–, 120

gerade, 64

gleichmaßig stetige, 48

identische, 42, 44

integrierbare, 72

konstante, 42, 44

partielle, 118, 119

periodische, 66

rationale, 79

stetige, 44

ungerade, 64

Funktionalmatrix, 124, 138, 147

Adjungierte der, 148

Funktionen, trigonometrische, 64

g–adische Entwicklung, 40, 41

g–adische Ziffern, 40

Gartnerkonstruktion, 107

Ganghohe, 106

ganze Zahlen, 12

Gaußsche Klammer, 42

Gaußsche Klammer, 41

Gaußsche Zahlenebene, 24

Gebiet, 127, 128

Genauigkeit, 41

gleichgradig stetig, 99, 100

Gleichheit, 1

gleichmaßig konvergent, 83–85

gleichmaßig stetig, 48, 98

Gleitkommazahl, 41

Gradient, 120, 121, 127

Graph, 2, 52, 76, 117

Grenze

obere, 9

untere, 9

Grenzwert, 26, 43

Gruppe, symmetrische, 15

Haufungspunkt, 52–55

Haufungswert, 31

Holdersche Ungleichung, 102

Halbwertzeit, 51

Hauptsatz, 76, 128, 136

Hessematrix, 132, 133, 143, 150

Hexadezimalzahlen, 41

Hintereinanderausfuhrung, 4, 42

Homogenitat, 24, 100

Homomorphismus, 7

Hyperbel, 107, 108

Hyperbelfunktionen, 50

Hyperebene, 117

Imaginarteil, 23

implizit definiert, 141

indefinit, 143, 144

Indexmenge, 15

Induktion

Prinzip der vollstandigen, 12

Induktionsanfang, 13

Induktionsannahme, 13

Induktionsbehauptung, 13

Induktionsschluss, 13

Induktionsverankerung, 13

Induktionsvoraussetzung, 13

Infimum, 9, 10, 17

injektiv, 4

Integral, 68, 70, 113

oberes, 69

unbestimmtes, 75, 76

uneigentliches, 77

unteres, 69

vollstandiges elliptisches, 113

Integralbegriff

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Lebesguescher, 72

Riemannscher, 70

Integralgleichung, 136

Integrand, 70

Integration, gliedweise, 85

Integrationsvariable, 70

integrierbar, 70–72, 85, 128

Intervall

kompaktes, 12

Intervalle, 11

Intervallschachtelungsverfahren, 46

Inverses, 10, 22

invertierbar, 138

Jacobimatrix, 124

Jordan–Kurve, 111, 112

Jordan–Weg, 105–107, 111–113

geschlossener, 106

rektifizierbarer, 111

Korper, 7, 22, 23

archimedisch angeordneter, 17

der rellen Zahlen, 9

Korperaxiome, 6

Kettenregel, 55, 125, 138

Koeffizienten, 80, 86

Koeffizientenvergleich, 80

Kommutativgesetz, 2

Kommutativitat, 6

kompakt, 96–98, 103, 112

relativ, 98, 100

Komplement, 1

Komplemente, 16

Komponente, 123

Komposition, 42

konstant, 124

Kontraktion, 134

konvergent, 26–29, 31, 34, 62

Konvergenz, 86, 94

absolute, 39

gleichmaßige, 82, 101

punktweise, 82, 101

Konvergenzradius, 86, 87

konvex, 129, 150

Koordinatenabbildung, 106

Koordinatenfunktion, 110, 112

Krummung, 114

Krummungsradius, 114

Kreis, 108, 129

Kugel, 92, 129

abgeschlossene, 91

offene, 91

Kugeln, 102

Kurve, 105

Kurvenlange, 112

Lange, 109

Lagrange–Funktion, 145, 149

Lagrange–Multiplikator, 146, 148, 149

Lagrangesche Darstellung, 61

Lagrangesche Multiplikatorenregel, 147

Lebesgue, 72

leere Menge, 1

Leibniz–Kriterium, 35, 37, 38

Limes, 26, 84, 118

Limes inferior, 31

Limes superior, 31

linear, 124

linear unabhangig, 148

Lipschitzkonstante, 134

Lipschitzstetig, 134

Logarithmus, 51

Funktionalgleichung des, 51

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naturlicher, 50

Logarithmusfunktion zur Basis a, 51

Majorante, 84, 85

Majoranten–Kriterium, 36

Mantissenstellenzahl, 41

Matrix, 124, 137

adjungierte, 147

Inverse einer, 138

symmetrische, 143

transponierte, 147

Matrizennorm, 129, 137, 138

naturliche, 130

vertragliche, 129, 130, 137

Maximum, 9, 48, 144

lokales, 58, 62, 143, 150, 151

Menge, 1

N0, 12

Q, 12

Z, 12

abzahlbar unendlich, 14

der positiven Zahlen, 7

dichte, 47

endliche, 14

induktiv, 12

offene, 91

unendliche, 14

wohlgeordnet, 14

Metrik, 90–92, 99, 100

diskrete, 90

Metriken, aquivalente, 92

Minimum, 9, 48, 144

lokales, 58, 62, 143, 145, 146, 150, 151

Minkowskische Ungleichung, 102

Mittelpunktregel, 75

Mittelwertsatz, 127, 128, 130

der Differentialrechnung, 59

der Integralrechnung, 74

erweiterter, 59

monoton fallend, 28, 45

monoton wachsend, 28, 34, 45

Multiindex, 131

Multiplikation, 22

Nabla–Operator, 120

Nachfolger, 12

Naturliche Zahlen, 12

Nebenbedingung, 145, 146

negativ definit, 143, 144

negativ semidefinit, 143

Negatives, 10

Newton–Verfahren, 56

Norm, 100

Normen, aquivalente, 103

normiert, 100

Nullelement, 10, 22

Nullfolge, 26, 27, 101

Nullfunktion, 67

Nullstelle, 46

Numerische Integration, 75

obere Grenze, 70

Oberintegral, 69

offen, 92, 93, 96

offener Kern, 95

Oktalzahlen, 41

Optimierungsaufgabe, 145, 146, 149

orthogonal, 105

Parabel, 108

Parallelogrammidentitat, 105

parametrisieren, 145

Partialbruchzerlegung, 80

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Partialsumme, 34, 35

Partielle Integration, 77

Pascalsches Dreieck, 18

Periode, 66

Permutation, 18

Picard–Lindeloff, 137

Polarkoordinaten, 108, 139

Polygonzug, 109

Lange des –s, 109

Polynom, 22, 43, 46, 55, 79

Populationsmodell, 60

verbessertes, 60

von Volterra-Lotka, 136

positiv definit, 143, 144

positiv semidefinit, 143

Potenzmenge, 2, 15

Potenzreihe, 86, 87

Potenzsumme, 27

Primzahl, 16

Primzahlen, 16

Prinzip der vollstandigen Induktion, 12

Produkt, 20

unendliches, 35

Projektion, kanonische, 118

Punkt, stationarer, 143, 145, 147, 149

Quadratsummennorm, 130

Quadratwurzel, 17

Quantoren, 3

Quotientenkriterium, 36, 37, 64

Rationale Zahlen, 2

rationale Zahlen, 12

Raum

euklidischer, 104

Hausdorffscher, 93, 96

metrischer, 90–93, 98

normierter, 100

separierter, 93

topologischer, 91–94, 96

vollstandiger metrischer, 99

Realteil, 23

Rechteck, 129

Rechteckregel, 75

reelle Zahlen, 6, 9

Regel von de l’Hospital, 63

Regeln

des Bruchrechnens, 6

von de Morgan, 16

Regeln von de Morgan, 2

regular, 148–150

Reihe, 34

absolut konvergent, 36

alternierende, 35

alternierende harmonische, 35

bedingt konvergent, 39

endliche geometrische, 29

Funktionen–Reihe, 83

geometrische, 34, 83

harmonische, 34

konvergente, 84

Umordnung, 39

unbedingt konvergent, 39

rektifizierbar, 109–113

relativ kompakt, 98, 100

Rest, 84

Restglied, 61, 131

Integraldarstellung, 133

Integralform, 79, 131

Lagrange–Darstellung, 131, 133

Restgliedabschatzung, 61, 132

Richtungsableitung, 126, 127

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Prof. Dr. H.-J. Reinhardt Analysis, Arbeitsmaterialien

Riemann–Integral, 70, 128

Riemann–integrierbar, 70, 72, 128

Sandwich–Theorem, 28

Satz

uber die inverse Abbildung, 137

uber implizite Funktionen, 140

Banachscher Fixpunktsatz, 134

Fermatsches Kriterium, 143

Identitatssatz fur Potenzreihen, 87

Kontraktionssatz, 134

MWS fur reellw. Funktionen, 127

MWS fur vektorw. Funktionen, 130

Umordnungssatz, 39

Vertauschungssatz, 84

von Archimedes, 17

von Arzela-Ascoli, 99

von Bolzano–Weierstrass, 29

von Cauchy-Hadamard, 86

von Dini, 101

von H. A. Schwarz, 120, 133

von Pythagoras, 105

von Rolle, 58

von Taylor, 131

Zwischenwertsatz, 46

Schnitt

goldener, 28

Schranke, 9

obere, 8, 9

untere, 8, 9

Schraubenlinie, 106

Schrittweite, 75

Sehne, 52

senkrecht, 105

Signum-Funktion, 42

Sinus, 64

Sinus hyperbolicus, 50

Sinus–Funktion, 64

Skalarprodukt, euklidisches, 104

Spaltensumme, maximale, 130

Spirale

Archimedische, 108, 114

Logarithmische, 108

Stutzstelle, 74

Stammfunktion, 75, 76

Steigung, 52

stetig, 44–46, 48, 50, 54, 55, 58, 59, 94, 95, 112,

119

gleichgradig, 99, 100

stetig differenzierbar, 60–62, 76, 77

stetige Fortsetzung, 47

streng monoton, 112

streng monoton fallend, 28, 45, 65

streng monoton wachsend, 28, 29, 45, 46, 49, 50,

55, 65

Submultiplikativitat, 137

Substitutionsregel, 76

Summe, 20, 34, 84

der Wege, 110

Riemannsche, 74, 75

Summenformel, 13

Supremum, 9, 10, 17, 48

surjektiv, 4, 50

Symmetrie, 90

symmetrisch, 133

Tangens, 137

Tangens hyperbolicus, 50

Tangens–Funktion, 65

Tangente, 52

Tangentenebene, 150

Tangententrapezformel, 75

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Taylor–Formel, 131–133

Taylor–Polynom, 61, 132, 133

Taylor–Reihe, 62

Taylorentwicklung, 79

Taylorreihe, 87–89

Entwicklung, 88

Taylorsche Formel, 61

Teilfolge, 29

Teilmenge, 1

Teleskopprodukt, 21

Teleskopsumme, 21

Tikhonov, Lemma von, 112

Topologie, 91–94

diskrete, 93

erzeugte, 92

feinere, 93

feinste, 93

grobere, 93

grobste, 93

induzierte, 93, 96

total beschrankt, 97, 98

Totalvariation, 110

Transitivitat, 1, 8

Treppenfunktion, 67, 68, 71

Trichotomiegesetz, 7

Uberdeckung, 96

Umgebung, 93

Umgebungen, 12

Umkehrabbildung, 5

Umkehrfunktion, 50, 51, 55, 66

Umordnung, 38, 39

Uneigentliche Grenzwerte, 49

Uneigentliches Integral, 77

divergent, 78

konvergent, 78

unendlich, 11, 14

untere Grenze, 70

Unterintegral, 69

Unterkorper, 7

Urbild, 3

Variation, beschrankte, 110

Vektorraum, 22, 23, 71, 100, 102

Verbindungsstrecke, 129

Vereinigung, 1

Verfeinerung, gemeinsame, 67

Vertauschung von Grenzprozessen, 83

vollstandig, 98, 101

vollstandige Induktion

Beweismethode, 13

Prinzip, 13

Vollstandigkeitsaxiom, 9, 30

Vorzeichen, 10

Wahrscheinlichkeit, 19

Weg

differenzierbarer, 129

stetig differenzierbarer, 136

Weglangenfunktion, 111, 112

Weierstraßsches Majoratenkriterium, 84

Winkel, 105

wohlbestimmt, 4

wohldefiniert, 4

wohlgeordnet, 14

Wurzel

n-te, 17

Wurzelbestimmung, 56

Wurzelkriterium, 36, 37

Zahl

Eulersche, 29

konjugiert komplexe, 23

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negativ, 7

nichtnegativ, 7

positiv, 7

zusammengesetzte, 16

Zahlen

ganze, 12

Menge der positiven, 7

naturliche, 12

rationale, 12

reelle, 6, 9, 22

Zahlenfolge

komplexe, 25

reelle, 25

Zahlenfolgen, komplexe, 33

Zahlengerade

erweiterte, 11

Zeilensumme, maximale, 129

Zerlegung, 67, 68, 74, 109

aquidistante, 75

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