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1 Mitschrift Analysis II Vorlesung WS09/10 Prof. Dr. Jussi Behrndt Technische Universit¨ at Berlin

Ana II Mitschrift

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Attention: these are my personal notes and are not checked by any professor - so keep your eyes open for mistakes.Update: twice a week(monday and friday).

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Mitschrift Analysis II

Vorlesung WS09/10 Prof. Dr. Jussi Behrndt

Technische Universitat Berlin

Page 2: Ana II Mitschrift

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Vorwort

Dies ist eine Mitschrift, kein Skript! Fur eventuelle Fehler ubernimmt

niemand die Verantwortung, sollten allerdings welche entdeckt werden

freue ich mich uber Hinweise.

An dieser Mitschrift kann noch viel ”Schonheitsdienst” getan werden,

ich mache das vielleicht auch noch, allerdings reicht sie ja auch so

zum Arbeiten.

Außerdem habe ich nicht alle Grafiken aus der Vorlesung, wenn sich

also jemand erbarmt, sie als JPEG malt und mir mailt werde ich sie

auch noch einfugen.

WICHTIG: Auch dient die Mitschrift nicht als Ersatz fur die Vorlesung,

wichtige Bemerkungen und Erklarungen des Dozenten tauchen nicht auf.

Ich empfehle euch also trotzdem regelmaßig zur Vorlesung zu gehen.

Weitere Mitschriften: Lineare Algebra I+II

Tipp: Nicht immer gleich ausdrucken wenns online ist, im aktuellen Teil

sind immer massenhaft Tippfehler die ich erst dann korrigiere wenn sie

mir auffallen(d.h. wenn ich die Woche darauf damit arbeite).

Page 3: Ana II Mitschrift

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Inhaltsverzeichnis

1. Integration

1.1. Treppen - und Regelfunktionen

1.2. Integration von Treppen - und Regelfunktionen

1.3. Der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung,

Integrationsregeln

1.4. Vertauschbarkeit von Integration und Grenzubergang

1.5 Parameterabhangige und uneigentliche Integrale

2. Topologische Raume - Eine Einfuhrung

2.1. Grundbegriffe

2.2. Kompaktheit

2.3. Stetige Abbildungen zwischen topologischen Raumen

3. Differentialrechnung mehrerer Variablen

3.1. Differenzierbarkeit vektorwertiger Abbildungen von

mehreren Veranderlichen

3.2. Richtungsableitung und Gradient

3.3. Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen

3.4. Hohere partielle Ableitungen und die Taylorsche Formel

3.5. Lokale Extrema

3.6. Umkehrabbildungen und der Satz uber implizite Funktionen

4. Kurvenintegrale

4.1. Kurven und deren Lange

4.2. Skalare und vektorielle Kurvenintegrale

4.3. Konservative Vektorfelder und Potentiale

5. Integralrechnung im Rd

5.1. Das Integral fur Treppenfunktionen

5.2. Das Integral fur stetige Funktionen uber kompakte Quader

5.3. Das Integral fur stetige Funktionen auf offenen Mengen

5.4. Der Transformationssatz

6. Oberflachenintegrale

6.1. Hyperflachen im Rm, Tangentialebenen

6.2 Flacheninhalt - Integrale uber Flachen

6.3 Orientierte Flachen, Fluß

Page 4: Ana II Mitschrift

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7. Integralsatze

7.1. Divergenz und der Gauß’sche Satz

7.2. Der Satz von Stokes im R2 und R3.

Page 5: Ana II Mitschrift

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Kapitel 1 Integration

1.1 Treppen und Regelfunktionen

Definition 1.1 Es sei f : [a, b]→ R und

a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Zerlegung des Intervalls [a, b].

Falls die Restriktionen von f (xi−1,xi), i = 1, ... , n Konstant sind,

dann heißt f Treppenfunktion.

Bem: der Wertebereich einer Treppenfunktion ist eine endliche Menge.

Erinnerung: B([a, b]) = f : [a, b]→ R beschranktFur f ∈ B([a, b]) setze ‖f‖∞ = sup

x∈[a,b]

|f(x)|. ‖.‖∞ ist eine Norm.

⇒ (B([a, b]), ‖.‖∞) Banachraum

Proposition 1.2

Die Menge der Treppenfunktionen auf [a, b] ist ein linearer

Unterraum von B([a, b]).

Beweis: offensichtlich ist jede Treppenfunktion beschrankt.

Seien f, g ∈ T ([a, b]) und λ ∈ R. Dann ist x 7→ (λf)(x) = λf(x)

naturlich auch eine Treppenfunktion. Seien a = x0 < x1 < ... < xn = b

und a = y0 < y1 < ... < ym = b Zerlegungen zu f und g.

Sei dann a = z0 < z1 < ... < zl = b eine Zerlegung mit

z0, z1, ... , zl = x0, x1, ... , xn ∪ y0, y1, ... , ym. Dann ist

x 7→ (f + g)(x) = f(x) + g(x) eine Treppenfunktion, da((f + g) (zi−1,zi)

)(x) = f (zi−1,zi)(x) + g (zi−1,zi)(x)

= const. + const. Treppenfunktion

Frage: Welche Funktionen zu B([a, b]) sind Grenzwerte von Folgen

von Treppenfunktionen.

Page 6: Ana II Mitschrift

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Satz 1.3

Zu jeder stetigen Funktion f : [a, b]→ R existiert eine Folge

(gn)n∈N von Treppenfunktionen, so dass limn→∞‖gn − f‖∞ = 0.

d.h. (gn)n∈N konvergiert gleichmaßig gegen f .

Beweis: Es sei f : [a, b]→ R stetig und seien

xi = xi(n) = a+ b−aai, i = 0, 1, ... , n

und a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Zerlegung von [a, b].

Definiere gn(x) =

f(zi), xi−1 < x < xi und z ∈ [xi−1, xi) bel.

f(b), x = b

Dann ist gn eine Treppenfunktion auf [a, b].

f ist stetig auf kompakten, also gleichmaßig stetig, d.h.

∀ε > 0∃δ(ε) > 0∀x, y ∈ [a, b] : |x− y| < δ(ε)⇒ |f(x)− f(y)| < ε

Sei ε > 0 und sei n0(ε) = (b−a)δ(ε)

. Dann gilt fur n ∈ N mit n > n0(ε) :

Fur x ∈ [xi−1, xi) und zi ∈ [xi−1, xi)

|x− zi| ≤ |xi − xi−1| =∣∣(a+ b−a

ai)−(a+ b−a

a(i− 1)

)∣∣= b−a

n< b−a

n0(ε)= δ(ε)

und damit ist fur x ∈ [xi−1, xi)

|gn(x)− f(x)| = |f(zi)− f(x)| < ε⇒ supx∈[xi−1,xi)

|gn(x)− f(x)| < ε

Das gilt aber fur jedes [xi−1, xi) und bei b ist gn(b) = f(b)

also folgt: ‖gn − f‖∞ = supx∈[a,b]

|gn(x)− f(x)| < ε.

Definition 1.4

Jede Funktion f : [a, b]→ R zu der eine Folge von Treppenfunktion

(gn)n∈N mit ‖gn − f‖∞ → 0 fur n→∞ existiert heißt Regelfunktion.

Korollar 1.5 Jede stetige Funktion ist eine Regelfunktion.

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Satz 1.6

Eine Funktion f : [a, b]→ R ist eine Regelfunktion genau dann wenn

zu jedem inneren Punkt von [a, b] ein rechts und linksseitiger Grenzwert

existiert und an den Randpunkten die einseitigen Grenzwerte existieren.

Beispiel: einer Funktion aus B([a, b]) die keine Regelfunktionen sind:

f(x) =

1, x ∈ [a, b] ∩Q

0 sonst

Formal:

f : [a, b]→ R Regelfunktion ⇐⇒ ∀x0 ∈ (a, b) ex. limxx0

f(x) und limxx0

f(x)

und limxb

f(x) und limxa

f(x) ex.

Beweis:

Mit B(x, δ) bezeichne eine δ-Umgebung um x.

”⇒” Sei f : [a, b]→ R Regelfunktion und x0 ∈ [a, b). Wir zeigen,

dass limxx0

f(x) existiert (Analog zeigt man limxx0

f(x) fur x0 ∈ (a, b] .)

Sei (gn)n∈N eine Folge von Trepenfunktionen, mit ‖gn − f‖∞ → 0

fur n→∞. Seien x, y > x0.Dann gilt

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− gn(x)|+ |gn(x)− gn(y)|+ |gn(y)− f(y)|≤ 2‖f − gn‖∞ + |gn(x)− gn(y)|Es ist x0 in einem Konstanzintervall von gn oder Randpunkt eines solchen.

Sei ε > 0 und n(ε) = n ∈ N mit ‖gn − f‖∞ < ε. Sei weiter δ(ε) = δ

so gewahlt, dass ‖gn(x)− gn(y)‖ = 0 fur |x− x0| < δ und |y − x0| < δ.

Also ist |f(x)− f(y)| ≤ 2ε. Ist nun (xn)n∈N eine Folge in (a, b) mit

xn > x0 und limn→∞

xn = x0 dann gibt es zu ε > 0 ein n ∈ N mit

|f(xn)− f(xm)| ≤ 2ε fur alle n,m ≥ n. Also ist (f(xn))n∈N eine

Cauchy-Folge in R und damit konvergent gegen limxx0

f(x).

”⇐” Die Grenzwerte von f mogen entsprechend existieren,

d.h. zu x0 ∈ [a, b] gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 mit |x− x0| < δ und |y − x0| < δ und

x, y > x0 ⇒ |f(x)− f(y)| < ε

Page 8: Ana II Mitschrift

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In anderen Worten: Zu ε > 0∃δ > 0

∀x, y ∈ B(x0, δ) = v ∈ R : |v − x0| < δ = (x0 − δ, x0 + δ)

mit x, y > x0 ⇒ |f(x)− f(y)| < δ

x, y < x0 ⇒ |f(x)− f(y)| < δ

Nun gilt⋃

x0∈[a,b]

B(x0, δ) ⊃ [a, b] und da [a, b] kompakt ist,

folgt, dass x1, x2, ... , xn ∈ [a, b] existieren, mitn⋃i=1

B(xi, δi) ⊃ [a, b]

mit x1 < x2 < ... < xn. Es sei dann a = y0 < y1 < ... < yN < b so gewahlt,

dass die yj mit den Punkten xi, xi + δi oder xi − δi ubereinstimmen,

i = 1, ... , n.

Seien dann ξj ∈ (yj, yj+1), j = 0, ... , N − 1 und definiere g : [a, b]→ R

Treppenfunktion: g(x) =

f(ξj) x ∈ (yj, yj+1)f(x) x = yj

Dann gilt fur x = yj : g(x) = f(x) und fur x ∈ (yj, yj+1) ist

|f(x)− g(x)| = |f(x)− f(ξj)|wegen x, ξj ∈ B(xk, δk) fur ein k = 1, ... , n sind x, ξj > xk

oder x, ξj < xk und daher folgt< ε

⇒ Dies gilt fur alle (yj, yj+1) j = 0, ... , N − 1

damit gilt ‖f − g‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)− g(x)| < δ

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1.2 Integration von Treppen und Regelfunktionen

Definition 1.7

Sei a = x0 < x1 < ... < xn = b eine Zerlegung von [a, b] und

g : [a, b]→ R mit g(x) = ck, x ∈ (xk−1, xk), k = 1, ... , n

Dann heißt I(g) :=b

a

g(x)dx :=n∑k=1

ck(xk − xk−1) Integral der

Treppenfunktion g.

Bemerkung: I(g) hangt nicht von der gewahlten Zerlegung ab.

Proposition 1.8 Die Abbildung

Menge der Treppenfkt3 g 7→ I(g) ∈ Rist ein beschranktes lineares Funktional (Linearform), d.h. es gilt:

I(g1 + g2) = I(g1) + I(g2), I(λg) = λI(g) g, g1, g2 Treppenfkt.

und es ex. M ≥ 0 mit |I(g)| ≤M‖g‖∞(hier kann M = b− a gewahlt werden)

Weiter ist g 7→ I(g) positiv und monoton.

positiv: g(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] ⇒ I(g) > 0

monoton: g2(x) ≥ g1(x)∀x ∈ [a, b]⇒ I(g2) ≥ I(g1)

Beweis: Ubung

Satz 1.9

Sei g : [a, b]→ R eine Treppenfunktion und c ∈ (a, b).

Dann gilt:c

a

g(x)dx +b

c

g(x)dx =b

a

g(x)dx

Beweis: Sei a = x0 < x1 < ... < xn = b und g8x) = cn fur x ∈ (xk−1xk)

Sei c 6= xj (sonst gleiche Zerlegung beibehalten). j = 0, ... , n.

Dann ist c ∈ (xj, xj+1), j ∈ 0, ... , n. Wahle yn, k = 0, ... , n+ 1 so folgt y0 = x0 = a, y1 =x1, ... , yj = xj, yj+1 = c, yj+2 = xj+1, ... yn+1 = xn = b

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10

Da g (a,c) und g (c,b) Treppenfunktionen sind, sindc

a

g(x)dx undb

c

g(x)dx

definiert.c

a

g(x)dx +b

c

g(x)dx =j+1∑k=1

ck(yk − yk−1) +n+1∑l=j+2

cl−1(yl − yl−1)

=j∑

k=1

ck(xk − xk−1) + cj+1(c− yj) + cj+1(yj+2 − c) +n+1∑k=j+2

cl−1(xl−1 − xl−2)

=j∑

k=1

ck(xk − xk−1) + cj+1(xj+1 − xj) +n∑

k=j+2

ck(xk − xk−1)

=n∑k=1

ck(xk − xk−1) =b

a

g(x)dx

Wiederholung:

|I(g)| ≤ (b− a)‖g‖∞

Wunsch: Sei g eine Regelfunktion. Definiere I(g) =b

a

g(x)dx.

Wahle (gn)n∈N Folge von Treppenfunktionen, ‖g − gn‖∞ → 0, n→∞.

Setze dann I(g) =b

a

g(x)dx := limn→∞

I(gn).

Problemchen: Ex. limn→∞

I(gn)? Ist limn→∞

I(gn) unabhangig von der Wahl der

approximierenden Folge (gn)n∈N?

Lemma 1.10

Sei g : [a, b]→ R eine Regelfunktion und (gn)n∈N eine Folge von

Treppenfunktionen mit ‖g − gn‖∞ → 0, n→∞, dann ist

I(g) =b

a

g(x)dx := limn→∞

I(gn) wohldefiniert.

Beweis: Da |I(gn)− I(gm)| = |I(gn − gm)| ≤ (b− a)‖gn − gm‖∞ → 0

fur n,m→∞ ist (I(gn))n∈N eine Cauchyfolge in R. Damit existiert

limn→∞

I(gn) und ist gleich I(g).

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11

Seien (gn)n∈N, (hn)n∈N zwei folgen von Treppenfunktionen mit

‖g − gn‖∞ → 0, n→∞ und ‖g − hn‖∞ → 0, n→∞. Dann ist

|I(gn)− I(hn)| ≤ (b− a)‖gn − hn‖∞≤ (b− a) (‖gn − g‖∞ + ‖hn − g‖∞)→ 0, n→∞und damit lim I(gn) = lim I(hn).

Bemerkung: Die Abbildung Raum der Regelfunktionen 3 g 7→ I(g) ∈ Rhat die folgenden Eigenschaften:

• Linearitat: I(g1 + g2) = I(g1) + I(g2) und I(λg) = λI(g), λ ∈ R• Stetigkeit: |I(g)| ≤ (b− a)‖g‖∞• Positivitat: g(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] ⇒ I(g) > 0

z.B. (g1,n)n∈N und (g2,n)n∈N seien Treppenfunktionen mit

‖gi,n − gi‖∞ i = 1, 2

|I(g1 + g2)− (I(g1) + I(g2))|= |I(g1 + g2)− I(g1,n + g2,n)|+ |I(g1,n + g2,n)− I(g1,n)− I(g2,n)|︸ ︷︷ ︸

=0

+|I(g1,n + g2,n)− I(g1)− I(g2)|→ 0, n→∞

Satz 1.11 (MWS der Integralrechnung)

Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ex. ein ξ ∈ (a, b) mit

I(f) =b

a

f(x)dx = (b− a)f(ξ)

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Beweis: Aus infx∈[a,b]

f(x) ≤ f(x) ≤ supx∈[a,b]

f(x) folgt

b

a

infx∈[a,b]

f(x)dx ≤b

a

f(x)dx ≤b

a

supx∈[a,b]

f(x)dx

d.h. (b− a) infx∈[a,b]

f(x) ≤ (b− a)f(x) ≤ (b− a) supx∈[a,b]

f(x)

Dann folgt: 1b−a

b

a

f(x)dx ∈

[inf

x∈[a,b]f(x), sup

x∈[a,b]

f(x)

]und nach dem Zwischenwertsatz existiert, da f stetig ein ξ ∈ [a, b]

mit f(ξ) = 1b−a

b

a

f(x)dx

Satz 1.12

Sei f : [a, b]→ R Regelfunktion und c ∈ (a, b).

Dann giltc

a

f(x)dx +b

c

f(x)dx =b

a

f(x)dx.

Beweis: Auch die Restriktionen f [a,c] und f [c,b] von f

sind Regelfunktionen, da ‖f − gn‖∞ → 0 auch∥∥f [a,c] −gn [a,c] ‖∞ → 0 impliziert. Hier sind (gn)n∈N Treppenfkt.

und∥∥f [c,b] −gn [c,b] ‖∞ → 0.

Page 13: Ana II Mitschrift

13

c

a

f(x)dx +b

c

f(x)dx = limn→∞

c

a

gn(x)dx + limn→∞

b

c

gn(x)dx

= limn→∞

(c

a

gn(x)dx +b

c

gn(x)dx

)=

Satz 1.9limn→∞

b

a

gn(x)dx =b

a

f(x)dx

Vereinbarung: Fur a ≥ b definieren wirb

a

f(x)dx = −a

b

f(x)dx

Dann gilt ∀a, b, c ∈ Rc

a

f(x)dx +b

c

f(x)dx =b

a

f(x)dx

Insbesondereb

a

f(x)dx = 0

Page 14: Ana II Mitschrift

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1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz 1.13

Sei f : [a, b]→ R eine Regelfunktion. Dann ist die Funktion

F : [a, b]→ R x 7→ F (x) :=x

a

f(t)dt auf [a, b] stetig, einseitig

differenzierbar und fur die rechts-, bzw. linksseitige Ableitung F′+ und

F′− gilt F

′+(x) = f(x+) = lim

txf(t) und F

′−(x) = f(x−) = lim

txf(t)

Beweis: Da f [a,x]= eine Regelfunktion, ist F (x) =x

a

f(t)dt wohldefiniert

seien x1, x2 ∈ [a, b]. Dann gilt F (x2)− F (x1) =x2

a

f(t)dt−x1

a

f(t)dt

=x2

x1

f(t)dt und daher |F (x2)− F (x1)| =

∣∣∣∣∣x2

x1

f(t)dt| ≤ ‖f‖∞|x2 − x1|,

also ist F stetig.

Wir betrachten die rechtsseitige Ableitung F′+ :

Sei h > 0 und betrachte

F (x+ h)− F (x)− f(x+)h =x+h´x

f(t)dt−x+h´x

f(x+)dt =x+h´x

(f(t)− f(x+))dt

Es folgt:

F (x+h)−F (x)h

= f(x+) + 1h

x+h´x

(f(t)− f(x+))dt

Wegen limtx

f(t) = f(x+) ex ∀ε > 0 ein δ(ε) > 0 mit

t ∈ [x, x+ δ(ge)]⇒ |f(t)− f(x+)| < ε

Also ist | 1h

x+h´x

(f(t)− f(x+))dt

∣∣∣∣ ≤ 1h

supt∈[x,x+h]

|f(t)− f(x+)| · h < ε fur h < δ(e)

und daher ist

F′+(x) = lim

h→0

F (x+h)−F (x)h

= f(x+) + limh→0

1h

x+h´x

(f(t)− f(x+))dt = f(x+)

= limt→x

f(t)

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15

Satz 1.14(Hauptsatz)

Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ist F : [a, b]→ R : x 7→ F (x) =x

a

f(t)dt

stetig differenzierbar, es gilt F ′ = f .

Beweis: f stetig & Satz 1.13

Erinnerung: F heißt Stammfunktion fur f , falls F ′ = f .

Satz 1.15

Sei f : [a, b]→ R stetig, und sei F eine Stammfunktion von f .

Dann giltb

a

f(t)dt = F (b)− F (a) =: F (x)|ba.

Beweis: Nach dem Hauptsatz ist F (x) =x

a

f(t)dt eine Stammfunktion von f .

Da sich je zwei Stammfunktionen f nur um eine reelle Konstante

unterscheiden, folgt dass F − F = c ∈ R. Damit gilt:b

a

f(t)dt = F (b)− F (a)︸︷︷︸ = F

=a

af(t)dt=0

+ c− (F (a) + c) = F (b)− F (a)

Satz 1.16 (Substitutionsregel)

Sei f stetig, stetig diffbar und f g sei erklart. Dann gilt:b

a

f(g(t))g′(t)dt =g(b)´g(a)

f(t)dt

Beweis: Sei F eine Stammfunktion von f . Dann gilt

(F g)′(t) = F ′(g(t))g′(t) = (f g)(t)g′(t), d.h.

F g ist eine Stammfunktion von (f g)g′ daher ist

b

a

(f g)(t)g′(t)dt = F (g(b))− F (g(a)) =g(b)´g(a)

f(t)dt

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16

Beispiel:

π4

0

e

=g︷ ︸︸ ︷sin(t)︸ ︷︷ ︸

=f

cos(t)︸ ︷︷ ︸=g′

dt =sin(π

4)´

sin(0)

exdx = ex|12

√2

0 = e12

√2 − 1

oder: x = sin(t), dxdt

= cos(t) ... =´excos(t) dx

cos(t)=´ex

Satz 1.17 (Partielle Integration)

Sei f stetig, F Stammfunktion von f und g stetig, differenzierbar.

Dann gilt:b

a

f(x)g(x)dx = F (b)g(b)− F (a)g(a)−b

a

F (x)g′(x)dx

Beweis: Es gilt (Fg)′ = fg + Fg′ und daherb

a

f(x)g(x)dx =b

a

(F (x)g(x))′dx−b

a

F (x)g′(x)dx

= F (b)g(b)− F (a)g(a)−b

a

F (x)g′(x)dx

Bsp:e

1

x=f

lnx=g

dx = x2

2lnx|e1 −

e

1

x2

2· 1xdx = e2

2− x2

4|e1 = e2

2− e2

4+ 1

4

Satz 1.18 (Partialbruchzerlegung)

Seien f, g Polynome mit grad(f) = n und grad(g) = m und es gelte n < m.

Dann existiert eine eindeutig bestimmte Zerlegung

f(x)g(x)

=r∑j=1

(cj,kj

(x−aj)kj+

cj,kj−1

(x−aj)kj−1 + · · ·+ cj,1x−aj

)wobei aj ∈ C, j = 1, ... , r die Nullstellen des Nennerpolynoms sind,

kj ∈ N die Vielfachheit der Nullstelle aj und cj,kj ∈ C.

Beweis: Algebra VL & g(x) = α(x− a1)k1(x− a2)k2 · · · (x− ar)kr

Bemerkung:b

a

f(x)g(x)

dx, f, g Polynom berechnet man mit:

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17

´1

(x−a)ndx =

1

(1−n)(x−a)nn > 1, a ∈ C

ln|x− a| n = 1, a ∈ R12ln(x2 + 1) + i arctan(x), n = 1, a = i

n = 1, a = i´1

x−a =´

x+ix2+1

xx2+1

+´i 1x2+1

1.4 Vertauschbarkeit von Integralen und Grenzubergang

Sei (fn)n∈N eine Folge von Regelfunktionen fn : [a, b]→ R und

fn → f punktweise (d.h. limn→∞

fn(x) = f(x)∀x ∈ [a, b])

und f sei eine Regelfunktion. Wann und wie und warum giltb

a

limn→∞

fn(x)dx = limn→∞

fn(x)b

a

fn(x)dx (I) ???

Satz 1.19

Sei (fn)n∈N eine Folge von Regelfkt. die gleichmaßig gegen ein f

konvergiert. Dann ist feine Regelfunktion und (I) gilt.

Beweis: Wahle n ∈ N so dass ‖f − fn‖∞ < ε2

und k ∈ N so dass∥∥∥fn − g(n)k

∥∥∥∞< ε

2mit einer Treppenfunktion g

(n)k gilt.

⇒∥∥∥f − g(n)

k

∥∥∥∞< ε⇒ f Regelfunktion∣∣∣∣ b

a

f(x)dx−b

a

fn(x)dx

∣∣∣∣ ≤ (b− a)‖f − fn‖∞ → 0, n→∞

⇒b

a

f(x)dx =b

a

limn→∞

fn(x)dx = limn→∞

b

a

f(x)dx

Bemerkung und Beispiel

Ist∞∑n=0

fn(x) auf [a, b] gleichmaßig konvergent und fn

Regelfunktionenfolge. Dann folgtb

a

(∞∑n=0

fn(x)

)dx =

∞∑n=0

b

a

fn(x)dx

Page 18: Ana II Mitschrift

18

Fur |q| < 1 ist 11−q =

∞∑n=0

qn und konv. glm. [−1 + σ, 1− σ] , fur σ > 0

Mit q = −t2 : arctan x =x

0

11+t2

dt =x

0

∞∑n=0

(−1)nt2ndt

=∞∑n=0

(−1)nx

0

t2ndt =∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+1

Beispiel ”Punktweise Konvergenz reicht nicht aus um lim zu vert.”

fn : [0, 1→ R, fn(x) =

0 x = 0cn x ∈ (0, 1

n)

0 x ∈ [ 1n, 1]

wobei (cn)n∈N ⊂ R

Es gilt limn→∞

fn(x) = 0 und1

0

fn(x)dx = cnn

Daher gilt: • Sei (cn)n∈N beschrankt, dann ist

0 =1

0

limn→∞

fn(x)dx = lim1

0

fn(x)dx = lim cnn

= 0

• Sei cn = n

0 =1

0

limn→∞

fn(x)dx 6= lim1

0

fn(x)dx = limnn

= 1

• Sei cn = n2

0 =1

0

limn→∞

fn(x)dx 6= lim1

0

fn(x)dx = limn2

nexistiert nicht.

Satz 1.20 (Arzela-Osgood)

Sei fn[a, b]→ R eine punktweise konvergente Folge von Regelfunktionen

und die Grenzfunktion f sei wieder eine Regelfunktion. Falls die Folge

(‖f‖∞) beschrankt ist gilt

limn→∞

b

a

fn(x)dx =b

a

f(x)dx

Beweis: Setze gn = fn − f . Dann ist gn Regelfunktion und

limn→∞

gn(x) = limn→∞

(fn(x)− f(x)) = 0 und es gilt

‖gn‖∞ = ‖fn − f‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖f‖∞ ≤ C + ‖f‖∞

Zeige daher:

Page 19: Ana II Mitschrift

19

Lemma 1.21

Sei (gn)n∈N eine Folge von Regelfunktionen mit

(i) limn→∞

gn(x) = 0 und (ii) ‖gn‖∞ ≤ C

Daher gilt limn→∞

b

a

gn(x)dx = 0.

Beweis: Es genugt die Aussage fur Treppenfunktionen zu zeigen, denn zu

jedem gn ex. eine Treppenfunktion fn mit ‖gn − fn‖∞ ≤1n

Dann gilt (i) und (ii) fur die Folge (fn)n∈N und

|I(gn)− I(fn)| ≤ (b− a)‖gn − fn‖ → 0 fur n→∞

Beweis des Lemmas fur Treppenfunktionen gn:

- Schritt 1: Sei g eine Treppenfunktion mit |b

a

g(x)dx| ≥ ε > 0

Dann ist die Menge S :=x ∈ [a, b]

∣∣∣ |g(x)| ≥ ε2(b−a)

Vereinigung von endlich vielen disjunkten Intervallen, fur deren

Gesamtlange λ(S) gilt: λ(S) ≥ ε2‖g‖∞

Beweis Schritt 1: Sei g Treppenfunktion, die auf dem Intervall In ⊂ [a, b]

den Wert ck annimmt. Dann istb

a

g(x)dx =∑k

ckλ(In) Spalte die Summe in

Summanden mit |ck| < ε2(b−a)

und |ck| ≥ ε2(b−a)

.

Dann folgt: ε ≤ |b

a

g(x)dx| ≤∑|ck|λ(In) ≤ ε

2(b− a)(b− a)︸ ︷︷ ︸

>0

+ ‖g‖∞λ(S)

und daher ist λ(S) ≥ ε2‖g‖∞

.

Schritt 2: Sei (Sn)n∈N eine Folge von Elementarmengen

(d.h. Sn ist eine endliche Vereinigung von disjunkten, beschr. Intervallen)

mit Sn ⊂ [a, b] und λ(Sn) ≥ c > 0. Dann gibt es ein x ∈ [a, b], welches zu

unendlich vielen Sn gehort.

Beweis: etwas spater...

Jetzt Beweis fur Treppenfkt:

Angenommen: limn→∞

b

a

gn(x)dx = limn→∞

I(gn) 6= 0

Page 20: Ana II Mitschrift

20

Da (I(gn))n∈N keine Nullfolge ist, ex. eine Teilfolge (I(gnk))k∈N

mit |I(gnk)| ≥ ε ∀k ∈ N. O.B.d.A. sei dies (I(gn))n∈N selbst.

Nach Schritt 1 gilt: Es ex. Elementarmengen Sn ⊂ [a, b] mit

Sn =x ∈ [a, b] : gn(x) ≥ ε

2(b−a)

und λ(Sn) ≥ ε

2‖g‖∞

Mit Voraussetzung (ii) folgt λ(Sn) ≥ ε2c∀n ∈ N.

Nach Schritt 2 ex x ∈ [a, b] mit x in unendlich vielen Sn.

D.h. es gilt fur unendlich viele n ∈ N : gn(x) ≥ ε2(b−a)

Daher kann lim gn(x) = 0 nicht gelten.

Widerspruch zur Vor.

Beweis Schritt 2:

Seien O.B.d.A. die Elementarmengen Sn abgeschlossen. Dann ex

n1 ∈ N so dass ∀k > n1 :

λ((S1 ∪ ... ∪ Sn1) ∩ Sk) ≥ c2

Ang. nicht, dann gibt es fur alle n ∈ N ein kn > n:

λ((S1 ∪ ... ∪ Sn1) ∩ Sk) < c2. Es folgt:

c ≤ λ(Skn) = λ(Skn \ (S1 ∪ ... ∪ Sn1))︸ ︷︷ ︸> c

2

+ λ((S1 ∪ ... ∪ Sn1) ∩ Sk)︸ ︷︷ ︸< c

2

Nun ist

λ(S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sn ∪ ... ∪ Skn) ≥ (S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sn ∪ Skn)

= λ(S1 ∪ ... ∪ Sn) + λ(Skn \ (S1 ∪ ... ∪ Sn))

≥ c+ c2

Argument wiederholen liefert, dass ein n ∈ N ex mit

λ(S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sr) ≥ c+ c2

+ c2

+ ... > (b− a)

Widerspruch

Setze A1 := S1 ∪ ... ∪ Sn1 . Dann ist λ(A1 ∩ Sn) ≥ c2∀k > n1

Fur die Elementarmengen S∗k := A1 ∩ Sk, k ≥ n1 + 1

Dann zeigt man wie oben, dass n2 ∈ N ex. so dass ∀k > n2

λ((S∗n1+1 ∪ ... ∪ S∗n2) ∩ S∗k) ≥ c

4.

Sei dann A2 = S∗n1+1 ∪ ... ∪ S∗n2und so weiter.... Es folgt

A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ... und Ai sind abgeschlossen.

Page 21: Ana II Mitschrift

21

Das Intervallschachtelungsaxiom liefert∞⋂i=1

Ai 6= ∅.

Sei dann x ∈∞⋂i=1

Ai. Da x ∈ A1 ex. mindestens eine

Elementarmenge Sk, k ∈ 1, ... , n1 mit x ∈ Sk.Da x ∈ A2 liegt x in einem S∗l , l ∈ n1 + 1, ... , n2also x ∈ A1 ∩ Sk,weiter x ∈ A3 usw. liefert x in ∞-vielen Sn.

1.5 Parameterabhangige uneigentliche Integrale

Es sei f : [a, b]×D → R so dass fur alle t ∈ D , [a, b] 3 x 7→ f(x, t) eine

Regelfunktion ist.

F : D → R, t 7→b

a

f(x, t)dx

Frage: Eigenschaften von F in abhangigkeit von f?

Satz 1.22

Sei f : [a, b]×D → R sei beschrankt (|f(x, t)| < C ∀(x, t) ∈ [a, b]×D)

und fur alle x ∈ [a, b] sei D 3 t 7→ f(x, t) stetig und f(•, t) eine

Regelfunktion ∀t ∈ D. Dann ist F (t) =b

a

f(x, t)dx stetig auf D.

Beweis: Sei t0 ∈ D und (tn)n∈N mit tn → t0 in D.

Setze gn(x) := f(x, tn), n ∈ N. Dann gilt:

(i) gn : [a, b]→ R Regelfunktion.

(ii) limn→∞

gn(x) = limn→∞

f(x, tn) = f(x, t0) ∀x ∈ [a, b]

(iii) ‖gn‖∞ = supx∈[a,b]

|gn(x)| = supx∈[a,b]

|f(x, tn)| ≤ C ∀n ∈ N

(iv) x 7→ f(x, t0) ist Regelfunktion.

Also liefert der Satz Arzela-Osgood:

limn→∞

F (tn) = limn→∞

b

a

f(x, tn)dx = limn→∞

b

a

gn(x)dx

AO=

b

a

limn→∞

gn(x)dx =b

a

f(x, t0)dx = F (t0).

Page 22: Ana II Mitschrift

22

Also ist F : D → R stetig in t0 ∈ D.

Sei jetzt D ein Intervall und x ∈ [a, b] fest. Die Funktion

f(x, •) : D → R sei an der Stelle t0 ∈ D diffbar.

Dann heißt f : [a, b]×D → R an der Stelle (x, t0) ∈ [a, b]×Dpartiell differenzierbar nach t, ∂f

∂t(x, t0) = lim

h→0

f(x,t0+h)−f(x,t0)h

.

Frage: F (t) =b

a

f(x, t)dx?⇒ F ′(t) =

b

a

∂f∂t

(x, t)dx ?

Satz 1.23

Sei f : [a, b]×D → R fur alle t ∈ D Regelfunktion. D sei ein Intervall

und ∀x ∈ [a, b] sei f partiell nach t diffbar. Weiter sei∂f∂t

: [a, b]×D → R fur jedes feste t eine Regelfunktion in x und∂f∂t

sei beschrankt auf [a, b]×D.

Dann ist F : D → R, t 7→ F (t) =b

a

f(x, t)dx auf D differenzierbar

und es gilt F ′(t) =b

a

∂f∂t

(x, t)dx.

Beweis: Sei t ∈ D und (tn)n∈N ⊂ D, tn 6= t und tn → t. Dann ist

F (tn)−F (t)tn−t =

b

a

f(x,tn)−f(x,t)tn−t dx

Setze also gn(x) := f(x,tn)−f(x,t)tn−t . Dann gilt:

(i) gn : [a, b]→ R Regelfunktion.

(ii) limn→∞

gn(x) = limn→∞

f(x,tn)−f(x,t)tn−t = ∂f

∂t(x, t)

(iii) x→ ∂f∂t

(x, t) ist eine Regelfunktion.

(iv) |gn(x)| =∣∣∣f(x,tn)−f(x,t)

tn−t

∣∣∣ =↑

MWS

∣∣∂f∂t

(x, s)∣∣ mit s ∈ (t, tn) bzw (tn, t)

und da ∂f∂t

(x, t) nach Voraussetzung beschrankt in [a, b]×D folgt

‖gn‖∞ = supx∈[a,b]

|gn(x)| = supx∈[a,b]

∣∣∂f∂t

(x, s)| ≤ C

Dafur liefert der Satz v. Arzela-Osgood

Page 23: Ana II Mitschrift

23

F ′(t) = limn→∞

F (tn)−F (t)tn−t = lim

n→∞

b

a

f(x,tn)−f(x,t)tn−t dx = lim

n→∞

b

a

gn(x)dx

=b

a

limn→∞

gn(x)dx =b

a

∂f∂t

(x, t)dx

Beispiel:

F (t) =1

0

xt−1ln(x)

dx, t ≥ 0

NR: δδt

(xt) = et·ln(x) = ln(x)et·ln(x) = ln(x) xt

F ′(t) =1

0

∂∂t

(xt−1ln(x)

)dx =

1

0

xtdx = xt+1

t+1|10 = 1

t+1

⇒ F (t) = ln(1 + t)

Definition 1.24

Es sei f : [a,∞)→ R und f [a,ω] sei eine Regelfunktion fur alle ω ≥ a.

Falls limω→∞

ω

a

f(x)dx existiert heißt der Grenzwert∞

a

f(x)dx uneigentliches

Integral (von f uber [a,∞)) oder f ist in [a,∞) uneigentlich integrierbar.

Beispiel:∞

a

1dx existiert nicht

a

1x2 dx ex denn lim

ω→∞

ω

a

1x2 dx = lim

ω→∞

(− 1x|ωa)

= 1a

Bemerkung: Linearitat, Positivitat und Monotonie gelten

auch fur uneigentliche Integrale auf [a,∞).

Sei etwa f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,∞), dann folgt mit der Positivitat des Integrals

uber [a, ω], dass:∞

a

f(x)dx = limω→∞

ω

a

f(x)dx ≥ 0

Die Abschatzung |I(f)| ≤ (b− a)‖f‖∞ ist naturlich quatsch.

Satz 1.19 ist falsch fur uneigentliche Integrale.

Page 24: Ana II Mitschrift

24

Definition 1.25

Das uneigentliche Integral∞

a

f(x)dx heißt absolut konvergent, falls

a

|f(x)|dx konvergent.

Bemerkung:∞

a

f(x)dx abs. konvergent ⇒:∞

a

f(x)dx konvergiert

Satz 1.26

Seien f, g : [a, b]→ R und f [a,ω] und g [a,ω] Regelfunktion ∀ω ≥ a

Gelte |f(x)| ≤ g(x) ∀x ≥ a und∞

a

g(x)dx existiere.

Dann ist∞

a

f(x)dx absolut konvergent.

Beweis: ist ganz einfach

Satz 1.27 (Integralkriterium fur Reihen)

Sei f : [1,∞)→ R nichtnegativ, monoton fallend und

f [1,ω] sei Regelfunktion ∀ω ≥ 1. Dann ist∞∑n=1

f(n) konvergent

genau dann wenn∞

1

f(x)dx existiert.

Beweis: Fur k ∈ N ist f(k + 1) ≤k+1´k

f(x)dx ≤ f(k), daher

f(2) + f(3) + ...+ f(n) ≤n

1

f(x)dx ≤ f(1) + f(2) + ...+ f(n− 19

Also istn∑k=1

f(k)− f(1) ≤n

1

f)x = dx ≤n∑k=1

f(k)

Falls nun∞∑k=0

f(k) konvergent, dann ist

(n∑k=1

f(k)

)n∈N

eine Cauchyfolge und damit

(n

1

f(x)dx

)n∈N

auch Cauchyfolge.

⇒ daher ex.∞

1

f(x)dx Ruckrichtung analog.

Page 25: Ana II Mitschrift

25

Definition 1.28

f [a, b]→ R sei eine Regelfunktion auf jedem Teilintervall [ω, b], a < ω ≤ b

Falls limωa

b

ω

f(x)dx existiert, so heißt der Grenzwertb

a

f(x)dx uneigentliches

Integral (von f uber (a, b]).

Beispiel: (Gammafunktion) Sei t > 0 und Γ(t) :=∞

a

xt−1exp(−x)dx.

Fur t ∈ (0, 1) ist das Integral uneigentlich bei 0 und ∞.Betrachte daher1

0

xt−1exp(−x)dx und∞

1

xt−1exp(−x)dx

Fur x ∈ (0, 1] und t ∈ (0, 1) ist xt−1exp(−x) ≤ xt−1 und1

0

xt−1dx = limω0

1

ω

xt−1dx = limω0

(xt

t|1ω)

= limω0

(1t− ωt

t

)= 1

t<∞

⇒1

0

xt−1exp(−x)dx existiert.

Fur∞

1

xt−1exp(−x)dx nutze xt−1exp(−x)

⇒ Γ(t) ist wohldefiniert.

Es gilt: Γ(1) =∞

1

exp(−x)dx = limω→∞

(−exp(−x)|∞0 ) = 1

Fur t > 0 :ω

0

xtexp(−x)dx = −xtexp(−x)|ω0 − tω

0

xt−1exp(−x)dx

Mit ω →∞ folgt:

Γ(t− 1) =∞

0

xtexp(−x)dx = t∞

0

xt−1exp(−x)dx = tΓ(t)

Fur n ∈ N folgt: Γ(n) = (n− 1)γ(n− 1) = (n− 1)(n− 2)Γ(n− 2)

= ... = (n− 1)!

Page 26: Ana II Mitschrift

26

Kapitel 2 - Topologische Raume - Eine Einfuhrung

2.1 Grundbegriffe

Definition 2.1

Sei X eine Menge und O sei eine Familie von Teilmengen von X.

O heißt eine Topologie fur X, falls

(i) ∅ ∈ O,X ∈ O(ii) Falls Ui ∈ O,i ∈ I, dann

⋃i∈IUi ∈ O

(iii) Falls U1, ... , Un ∈ O dannn⋂i=1

Ui ∈ O

Page 27: Ana II Mitschrift

27

Dann heißt (X,O) topologischer Raum. Die Elemente von O heißen

offene Mengen.

Beispiele

• (X,P(X)) (diskrete Topologie)

• (X, ∅, X)• (R, O), O = Familie der offenen Mengen bzgl. |.| in R•X = R∪+∞,−∞, O = U,U ∪ (t,+∞], U ∪ ([−∞, s) ∪ (t,+∞]) U offen in R, s, t ∈R

Definition 2.2

Sei (X,O) ein topologischer Raum

(i) eine Umgebung von x ∈ X ist eine offene Menge U ∈ O mit x ∈ U.(ii) (X,O) heißt Hausdorffraum, falls zu x, y ∈ X, x 6= y, Umgebung

Ux und Uy existieren mit Ux ∩ Uy = ∅.

(iii) A ⊂ X heißt abgeschlossen, falls X \ A ∈ O(iv) x ∈ X heißt Randpunkt von A ⊂ X, falls

(Ux ∩ (X \ x)) ∩ A 6= ∅ ∀ Umgebung von x.

(v) A =⋂F : F abgeschlossen undA ⊂ F ⊂ X Abschluss von A

(vi) A :=⋃U ∈ O : U ⊂ A Inneres von A

(vii) δA := A ∩X \ A Rand von A

Proposition 2.3 Es gilt:

(i) endliche Vereinigungen von abgechlossenen Mengen sind abgeschlossen

(ii) Schnitte von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.

(iii) A ist die kleinste abgeschlossene Menge die A enthalt.

(iv) A ist die großte offene Menge in A.

Definition 2.4

Sei (X,O) top. Raum. Eine Familie B ⊂ O heißt Basis der Topologie O,

falls fur alle U ∈ O eine Familie A ⊂ B ex. mit U =⋃A∈A

A.

Eine Familie S ⊂ T heißt Subbasis fur O, falls die Familie der

Page 28: Ana II Mitschrift

28

endlichen Schnitte von Elementen aus S eine Basis bildet.

Beispiel: (X, d) metr. Raum, B := Bε(x) : ε > 0, x ∈ XBε(x) = y ∈ X : d(x, y) < ε Basis.

Definition 2.5

(X,O) top. Raum und S ⊂ X. Dann heißt die Familie

UDS : U ∈ O (durch O induzierte) Relativtopologie auf S

Beispiel X = R, O = |.|S = [a, b]

Definition 2.6

Eine Folge (xn)n∈N ⊂ X heißt konvergent gegen ein x ∈ X, falls ∀Umgebungen U von x ein n0 ∈ N ex. mit xn ∈ U ∀n ≥ n0

Bemerkung: Grenzwert i.A. nicht eindeutig, in Hausdorffraumen

aber schon.

2.2 Kompaktheit

Definition 2.7 (X,O) top. Raum

(i) X heißt kompakt, falls jede offene Uberdeckung eine endliche

Teiluberdeckung besitzt.

(ii) X heißt Folgenkompakt, falls jede Folge eine konvergente

Teilfolge besitzt.

(iii) X heißt Frechetkompakt, falls jede ∞-Teilmenge von X einen

Randpunkt in X besitzt.

Satz 2.8 (X,O) top. Raum

(i) X kompakt ⇒ X Frechetkompakt

(ii) X Folgenkompakt ⇒ X separabel(D.h. es ex. eine abz. Teilmenge

D mit D ⊂ X)

Page 29: Ana II Mitschrift

29

Satz 2.9

X kompakt ⇐⇒ XFolgenkompakt ⇐⇒ X Frechetkompakt

2.3 Stetige Abbildungen zw. topologischen Raumen

Definition 2.10

Sei f : X → Y eine Abbildung, X, Y top. Raume. f heißt stetig an der

Stelle x ∈ X, falls fur alle Umgebungen V von f(x) ∈ Y eine Umgebung U

von x ex. mit f(U) = V.

Bemerkung: • f : X → Y stetig⇐⇒ Urbilder offener Mengen sind offen

•Reicht zu zeigen, dass Urbilder von Elementen einer Subbasis in Y

offen in X sind

•X, Y metr. Raume, f stetig ⇐⇒ ε, δ − Stetigkeit ⇐⇒ f(xn)→ f(x)

fur xn → x

Satz 2.11

X kompakt, f : X → Y stetig⇒ f(x) kompakt in Y .

Definition 2.12

Ein topologischer Raum (X,O) heißt lokal kompakt falls jedes x ∈ Xeine Umgebung U besitzt mit U kompakt.

Bemerkung (X,O) lokal kompakter Hausdorffraum, U ⊂ X offen

und A ⊂ X kompakt mit A ⊂ U . Dann ex. V ∈ O mit

A ⊂ V ⊂ V ⊂ U und V kompakt.

Page 30: Ana II Mitschrift

30

Satz 2.13 (Urysohn-Lemma)

Sei X lokal kompakt Hausdorffraum, A ⊂ X kompakt und U ⊂ X offen

mit A ⊂ U . Dann ex. eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit

f(x) = 1 fur x ∈ A und f(x) = 0 falls x ∈ X \ U

Beweis Es sei D0 = 0, 1 und fur n ∈ N setzen

Dn := a2n

: a ∈ N ungerade und 0 < a < 2n.

und D =∞⋃n=0

Dn.

Es sei U1 = A und U0 = U . Fur n = 1 ist D1 =

12

und mit der Bemerkung oben ex. U 1

2mit U1 = U1 ⊂ U 1

2⊂ U 1

2⊂ U0

Fur n = 2mit D2 =

14, 3

4

Wahle Mengen U 3

4und U 1

4mit

U1 ⊂ U 34⊂ U 3

4⊂ U 1

2⊂ U 1

2⊂ U 1

4⊂ U 1

4⊂ U0

Man erhalt eine Familie von offenen Mengen (Ut)t∈D mit

Ut ⊂ Us fur s < t, s, t ∈ D setze jetzt

f(x) =

0 x ∈ X \ U0

supx∈Utt ∈ D x ∈ u0

Dann gilt f(x) = 1 fur x ∈ A = U1 zeige, dass f stetig ist.

Dazu sei α ∈ [0, 1) wegen f(x) > α ⇐⇒ x ∈ Ut fur ein t > α folgt

f−1((α, 1]) =⋃t∈D

t > α

Ut offen in X.

Ahnlich zeigt man f−1([0, β)) offen in X fur β ∈ (0, 1]

Da [0, β), (α, 1], β ∈ (0, 1], α ∈ [0, 1) eine Subbasis der

Relativtopologie von [0, 1] bilden folgt, dass f stetig ist.

Page 31: Ana II Mitschrift

31

Kapitel 3 Differentialrechnung mehrerer Variablen

3.1 Differenzierbarkeit vektorwertiger Abbildungen

mehrerer Veranderlicher

Es sei D ⊂ Rn und f : D → Rm eine Abbildung.

Definition 3.1

Sei D ⊂ Rn offen und f : D → Rm dann heißt f im Punkt x0 ∈ Ddifferenzierbar, falls eine lineare Abbildung M : Rn → Rm eine

in x0 stetige Abbildung r : D → Rm existiert mit r(x0) = 0 und

f(x) = f(x0) +M(x− x0) + r(x)‖x− x0‖ ,x ∈ D, M heißt erste Ableitung

von f in x0, f′(x0) := M.

(oder Df(x0)).

Bemerkungen:

(i) Mit den Komponentenfunktionen fi : D → R, i = 1, ... ,m ist

f

x1

...xn

= f(x1, ... , xn) = f(x) =

f1(x)f2(x)...

fm(x)

=

f1(x1, ... , xn)...

fm(x1, ... , xn)

(ii) M = f ′(x0) ist eine m× n Matrix.

M =

m11 · · · m1n

......

mm1 · · · mmn

Dann ist fi(x) = fi(x0) +

n∑j=1

mij(xj − x0,j) + ri(x)‖x− x0‖, i = 1, ... ,m

(iii)M und r sind eindeutig, denn sei ej = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0)↑ j−te Stelle

∈ Rn

und t ∈ R klein, so dass x = x0 + tej ∈ D. Dann ist xj − x0,j = t und

xn − x0,k = 0 k 6= j, ‖x− x0‖ = |t|⇒ fi(x0 + tej) = fi(x0) +mijt+ ri(x)|t|

Page 32: Ana II Mitschrift

32

⇒ mij =fi(x0+tej)−fi(x0)

t− ri(x) |t|

t

⇒ mij = limt→0

(fi(x0+tej)−fi(x0)

t− ri(x0 + tej)

|t|t

)= lim

t→0

fi(x0+tej)−fi(x0)

t= ∂fi

∂xj(x0)

(Partielle Ableitung von fi nach xj)

⇒ Daher ist M eindeutig und damit auch

r(x) = f(x)−f(x0)−M(x−x0)‖x−x0‖

(iv) M = f ′(x0) =

∂f1∂x1

(x0) · · · ∂f1∂xn

(x0)...

...∂fm∂x1

(x0) · · · ∂fm∂xn

(x0)

Jakobimatrix an der Stelle x0.

Satz 3.2

Ist f : D ⊂ Rn → Rm in x0 ∈ D differenzierbar, dann ist f in x0 stetig.

Beweis: Aus der Definition 3.1 folgt:

‖f(x)− f(x0)‖ ≤ ‖M(x− x0)‖+ ‖r(x)‖‖x− x0 ‖und da M : Rn → Rm stetig ist ex. k > 0 mit ‖M(x− x0)‖ ≤ k‖x− x0‖In der Tat, es gilt ja

‖M(x− x0)‖2 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

n∑j=1

m1j(xj − x0,j)

...n∑j=1

mmj(xj − x0,j)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=m∑i=1

(n∑j=1

mij(xj − x0,j)

)2

≤Schwarz

(m∑i=1

n∑j=1

m2ij

)(n∑j=1

(xj − x0,j)2

)

Da r(x) stetig in x0 und r(x0) = 0 gilt:

∀ε > 0∃δ > 0 : ‖x− x0‖ < δ ⇒ ‖r(x)‖ < ε

Sei jetzt δ∗ := minδ, ε

k+ε

Dann gilt fur

x ∈ D : ‖x− x0‖ < δ∗ ⇒ ‖f(x)− f(x0)‖ ≤ (k+‖r(x)‖) ‖x− x0‖< (k + ε)‖x− x0‖ ≤ ε

Erinnerung:

Page 33: Ana II Mitschrift

33

f : D ⊂ Rn → Rm ist stetig in x0 ∈ D genau dann wenn die

Komponentenfunktionen fi : D → R alle stetig sind.

Satz 3.3

f : D ⊂ Rn → Rm ist in x0 ∈ D diffbar, genau dann wenn

alle Komponentenfunktionen fi : D → R i = 1, ... ,m in x0 ∈ Ddiffbar sind.

Beweis: Sei f differenzierbar in x0, so gilt

fi(x) = fi(x0) +n∑j=1

mij(xj − x0,j) + ri(x)‖x− x0‖, i = 1, ... , n

Setze dann Mi : Rn → R, Miz :=n∑j=1

mijzi, z = (z1, ... , zn) ∈ Rn

Dann ist Mi linear, ri ist stetig und ri(x0) = 0, also ist wegen

fi(x) = fi(x0) +Mi(x− x0) + ri(x)‖x− x0‖fi an der Stelle x0 diffbar, gilt f

′i (x0) = Mi

⇐ Sind alle fi diffbar, so existieren M :Rn → R stetige Funktionen

ri mit ri(x0) = 0 so dass

fi(x) = fi(x0) +Mi(x− x0) + ri(x)‖x− x0‖, i = 1, ... ,m

Mit M =

M1

...Mm

und r(x) =

r1(x)...

rm(x)

gilt:

M linear, r stetig, r(x0) = 0 und

f(x) = f(x0) +M(x− x0) + r(x)‖x− x0‖, damit f diffbar bei x0.

3.2 Richtungsableitung und Gradient

Sei jetzt f : D ⊂ Rn → R

Definition 3.4 Sei f : D ⊂ Rn → R, x ∈ D und l ∈ Rn, ‖l‖ = 1

Falls limt→0

f(x+tl)−f(x)t

existiert, so heißt der Grenzwert

Richtungsableitung von f in Richtung l:

Bezeichnung: δfδl

(x)

Page 34: Ana II Mitschrift

34

Bemerkungen (i) Ist f : D ⊂ Rn → R in x0 ∈ D diffbar. Also

f(x) = f(x0) +M(x− x0) + r(x)‖x− x0‖, M : Rn → R linear,

mit M =[δfδx1

(x0), ... , δfδxn

(x0)]. Setze x = x0 + l, l ∈ Rn mit

‖l‖ = 1, t ∈ R⇒ f(x0 + tl)− f(x0) = tMl + r(x)‖tl‖=|t|

Ml = limt→0

f(x+tl)−f(x)t

− r(x) |t|t

= ∂f∂l

(x0) =n∑j=1

∂f∂xi

(x0) · li

Also existiert die Richtungsableitung von f bei x0 ∈ D in jede Richtung l.

Beispiel (Richtungsableitungen existieren ; f diffbar.)

f : R2 → R, f(x, y) =

x2yx2+y2

(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Dann ist ∂f∂l

(0, 0) = limt→0

f(tl)−f(0,0)t

= limt→0

t2l21tl2

t2l21+t2l22−0

t

= limt→0

t3l21l2t2

t= l21l2

l =

(l1l2

)∈ R2, ‖l‖ = 1 =

√l21 + l22

und damit existiert ∂f∂l

(0, 0) fur alle l ∈ R2.

Ware f bei (0, 0) diffbar so wurde M : R2 → R linear existieren, mit

∂f∂l

(0, 0) = l21l2!

= M ·(l1l2

)da M linear sein muss!

Definition 3.5

Es sei f : D ⊂ Rn → R und alle partiellen Ableitungen von f bei x0 ∈ D

mogen existieren. Dann heißt (grad f)(x0) :=(∂f∂x1

(x0), ... , ∂f∂xn

(x0))

der Gradient von f an der Stelle x0.

Bemerkung: Ist f : D ⊂ Rn → R in x0 diffbar, dann gilt

f ′(x0) = (grad f)(x0). Es gilt ∂f∂l

(x0) = (grad f)(x0) = l

Page 35: Ana II Mitschrift

35

Beispiel: f : R2 → R, f(x1, x2) =

0 falls x1 = 0 oder x2=0

1 sonst

Dann gilt: ∂f∂x1

(0, 0) = limt→0

f((0,0)+t(1,0))−f(0,0)t

= 0

∂f∂x2

(0, 0) = 0

Aber naturlich ist f bei (0, 0) nicht diffbar, da f nicht stetig ist.

Satz 3.6

Sei f : D ⊂ Rn → R in einer Umgebung B(x0, ρ) von x0 ∈ Dpartiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen∂f∂xi

: B(x0, ρ) ⊂ Rn → R seien in x0 stetig.

Dann ist f in x0 ∈ D differenzierbar.

Beweis: (fur n = 2)

Sei x0 = (x01, x02) ∈ D. Es ist

f(x1, x2)− f(x01, x02) = f(x1, x2)− f(x01, x2) + f(x01, x2)− f(x01, x02)MWS= ∂f

∂x1(x01 + Θ1(x1 − x01), x2)(x1 − x01) + ∂f

∂x2(x01, x02 + Θ2(x2 − x02))(x2 − x02)

Θ1,Θ2 ∈ (0, 1)

=2∑i=1

∂f∂xi

(x01, x02)(xi − x0i) +R∗, wobei

R∗ =(∂f∂x1

(x01 + Θ1(x1 − x01), x2)− ∂f∂x1

(x01, x02))

(x1 − x01) +(∂f∂x2

(x01, x2 + Θ2(x2 − x02))− ∂f∂x1

(x01, x02))

(x2 − x02)

Da ∂f∂xi

stetig sind ex. zu ε > 0 ein δ > 0 mit

‖x− x0‖ < δ ⇒ |R∗(x)| ≤ (ε|x1 − x01|+ ε|x2 − x02|) ≤ ε‖x− x0‖

Damit ex. dann r : D → R mit R∗(x) = r(x)‖x− x0‖(namlich r(x) = R∗(x)

‖x−x0‖) mit r(x0) = 0 und r stetig.

Insgesamt gilt:

f(x1, x2) = f(x01, x02) +[∂f∂x1

(x01, x02), ∂f∂x2

(x01, x02)](x1 − x01

x2 − x02

)+ r(x)‖x− x0‖

damit f bei x0 diffbar.

Page 36: Ana II Mitschrift

36

3.3 Eigenschaten diffenzierbarer Abbildungen

Rechenregel:

f, g : D ⊂ Rn → Rmdiffbar bei x0 ∈ D und es gilt:

(αf + βg)′(x0) = αf ′(x0) + βg′(x0)

Satz 3.7 (Kettenregel)

Sei g : Rn → Rm und f : Rm → Rp und Φ := f g. Ist g in x0 ∈ Rn

diffbar und f in g(x0) ∈ Rm diffbar, dann ist Φ in x0 ∈ Rndiffbar, es gilt

Φ′(x0) = f ′(g(x0))g′(x0), d.h.

∂Φi∂xj

(x0) =m∑k=1

∂fi∂yk

(g(x0))∂gk∂xj

(x0), i = 1, ... , p , j = 1, ... , n

Beweis: (wie in Ana I)

Korollar

f : Rn → Rm, ∂fi∂xi

stetig in x0 ⇒ f in x0 diffbar

Erinnerung: f(b)− f(a) = f ′(ε)(b− a)

Beispiel: (MWS i.A. falsch)

f : [0, 2π]→ R2, x 7→(

cos(x)sin(x)

)f(2π)− f(0) =

(10

)−(

10

)=

(00

)!

=

(−sin(ξ)cos(ξ)

)2π = f ′(ξ)(2π − 0)

Satz 3.8 (Mittelwertsatz)

Seien a, b Punkte in einer offenen, konvexen Menge D und

f : D ⊂ Rn → Rm, auf D differenzierbar. Dann ex. ein

ξ = a+ Θ(b− a),Θ ∈ (0, 1), so dass f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a) gilt.

Beweis: Setze Φ : [0, 1]→ R, t 7→ Φ(t) = f(a+ t(b− a))

Dann ist Φ differenzierbar, mit der Kettenregel(Satz 3.7) ist

Φ′(t) = f ′(a+ t(b− a)) · (b− a)

Page 37: Ana II Mitschrift

37

=(∂f∂x1

(a+ t(b− a)), ... , ∂f∂xn

(a+ t(b− a)))b1 − a1

...bn − an

=

n∑i=1

∂f∂xi

(a+ t(b− a)) · (bi − ai)

Nun ist

f(b)− f(a) = Φ(1)− Φ(0)MWS Ana I

= Φ′(ν)(1− 0) = Φ′(ν), ν ∈ (0, 1)

= f ′(a+ ν(b− a)) · (b− a)

3.4 Hohere partielle Ableitungen und die Taylorsche Formel

Definition 3.9

Fur f : D ⊂ Rn → R mogen die partiellen Ableitungen ∂f∂xi

in einer

Umgebung B(x0, ρ) von x0 ∈ D existieren. Existiert die erste partielle

Ableitung von ∂f∂xi

nach xj im Punkt x0, so heißt f zweimal partiell nach

xi und xj diffbar, ∂2f∂xj∂xi

(x0) :=(∂f∂xj

(∂f∂xi

))(x0)

= limt→0

1t

(∂f∂xi

(x0 1, ... , x0 j−1, x0 j + t, x0 j+1, ... , x0n)− ∂f∂xi

(x01, ... , x0n))

Bemerkung: Man fuhrt induktiv partielle Ableitungen hoherer Ordnung ein.

∂3

∂xk∂xj∂xif

α = (α1, ... , αn), αi ∈ N0 heißt Multiindex,

|α| =n∑i=1

αi Man schreibt Dαf = ∂|α|f∂xα11 ...∂xαnn

Satz 3.10 (Schwarz)

Es sei f : D ⊂ Rn → R und ∂2f∂xi∂xj

und ∂2f∂xj∂xi

mogen in einer

Umgebung B(x0, ρ) existieren und seien stetig in x0. Dann ist die

Differentiationsreihenfolge vertauschbar, es gilt: ∂2f∂xi∂xj

= ∂2f∂xj∂xi

Page 38: Ana II Mitschrift

38

Beweis: (4xMWS)

O.B.d.A sei n = 2. Es sei x0 = (x01, x02) und

W := f(x1, x2)− f(x1, x02)− f(x01, x2) + f(x01, x02)

Setze Φ(x) = f(x, x2)− f(x, x02), x ∈ Rund Ψ(x) = f(x1, x)− f(x01, x), x ∈ R

Es gilt

W = Φ(x1)− Φ(x01) = Φ′(x01 + Θ1(x1 − x01))(x1 − x01),Θ1 ∈ (0, 1)

=(

∂f∂x1

(x01 + Θ1(x1 − x01), x2),− ∂f∂x1

(x01 + Θ1(x1 − x01), x02))

(x1 − x01)

= ∂2f∂x2∂x1

(x01 + Θ1(x1 − x01), x02 + Θ2(x2 − x02))(x2 − x02)(x1 − x01), Θ1 ∈ (0, 1)

und andererseits

W = Ψ(x2)−Ψ(x02) = Ψ′(x02 + Θ3(x2 − x02))(x2 − x02)

=(

∂f∂x2

(x1, x02 + Θ3(x2 − x02))− ∂f∂x2

(x01, x02 + Θ3(x2 − x02))

(x2 − x02)

= ∂2f∂x1∂x2

(x01 + Θ4(x1 − x01), x02 + Θ3(x2 − x02))(x1 − x01)(x2 − x02)

Also gilt in einer Umgebung von (x01, x02)∂2f

∂x2∂x1(x01 + Θ1(x1 − x01), x02 + Θ2(x2 − x02))

= ∂2f∂x1∂x2

(x01 + Θ3(x1 − x01), x02 + Θ4(x2 − x02))

Aus der Stetigkeit von ∂2f∂xi∂xj

und ∂2f∂xj∂xi

an der Stelle (x01, x02) folgt

∂2f∂xi∂xj

(x01, x02) = ∂2f∂xj∂xi

(x01, x02)

Beispiel: (Stetigkeit von ∂2f∂xi∂xj

ist notig in Satz 3.10)

f : R2 → R, f(x1, x2) =

x1x2 · x

21−x2

2

x21+x2

2x1 ∨ x2 6= 0

0 x1 = x2 = 0

∂f∂x1

(x1, x2) =

x2

x21−x2

2

x21+x2

2+ x2

2x212x2

2

(x21+x2

2)2 x1 ∨ x2 6= 0

0 x1 = x2 = 0

ist bei 0 stetig und

∂f∂xi

(0, x2) =

−x2 x2

1 + x22 6= 0

0 x21 + x2

2 = 0

Analog zeigt man

Page 39: Ana II Mitschrift

39

∂f∂x2

(x1, 0) =

x1 x2

1 + x22 6= 0

0 x21 + x2

2 = 0

⇒ ∂2f∂x2∂x1

(0, 0) = limn→0

∂f∂x1

(0,n)− ∂f∂x1

(0,0)

n= lim

n→0− k

n= −1

∂2f∂x1∂x2

(0, 0) = limn→0

∂f∂x2

(n,0)− ∂f∂x2

(0,0)

n= lim

n→0

kn

= 1

Definition 3.11

Ein Multiindex ist ein Vektor α ∈ Nn0 , α = (α1, ... , αn)

Wir schreiben: |α| := α1 + α2 + ...+ αn

α! = α1! · α2! · ... · αn!

Fur x ∈ Rn sei xα := xα11 · xα2

2 · ... · xαnn .

Dαf := ∂|α|f∂xα11 ∂x

α22 ...∂xαnn

Satz 3.12 (Taylor Formel)

Sei D ⊂ Rn offen, konvex, x0 ∈ D, f : D → R, (n+ 1)-mal stetig diffbar.

Sei h ∈ Rn mit x0 + h ∈ D. Dann gibt es Θ ∈ (0, 1) mit

f(x0 + h) =∑|α|≤nα∈Nn0

(Dαf)(x0)α!

hα +∑

|α|=n+1

(Dαf)(x0+Θh)α!

ha=: (T nf)(h) + (Rnf) (h)

Beweis: (1) Wir definieren v : [0, 1]→ D, v(t) = x0 + th

und g : [0, 1]→ R, g = f v, also g(t) = f(x0 + th)

(2) g ist (n+ 1) mal stetig diffbar, und

g(k)(t) =n∑

i1=1

n∑i2=1

· · ·n∑

ik=1

(∂

∂xik· · · ∂

∂xi1

)f(x0 + th)hi1 · · · · · hik

Induktion uber k:

k = 1 : g′(t) = (f v)′(t) = f ′(v(t)) · v′(t)

=(∂f∂x1

(v(t)) · · · · · ∂f∂xn

(v(t)))·

h1

...hn

=

n∑i=1

∂f∂xi

(v(t)) · hi

Page 40: Ana II Mitschrift

40

k → k + 1 : g(k+1)(t) = ddt

(g(k)(t)

)=I.A.

ddt

(n∑

i1=1

n∑i2=1

· · ·n∑

ik=1

(∂

∂xik· · · ∂

∂xi1

)f(x0 + th)hi1 · · · · · hik

)=∑i1

· · ·∑ik

ddt

((∂

∂xik· · · ∂

∂xi1f) v(t)

)hi1 · · · · · hik

=n∑

i1=1

· · ·n∑

in=1

n∑ik+1=1

∂∂xnk+1

(∂

∂xin· · · ∂

∂xi1f)

(x0 + th)hik+1hi1 · · ·hik

(3) f ist (n+ 1)-mal stetig diffbar. Kommt unter den Indizes i1, ... , ik der

Index 1 genau dann α1 mal, der Index 2 genau α2-mal, ... ,der Index n

genau αn-mal vor, dann ist ∂∂xin· · · ∂

∂xi1f = ∂kf

∂xα11 ···∂x

αnn

= Dαf

Aus der Kombinatorik: es gibt genau k!α1!α2!···αn!

= k!α!

Tupel (i1, ... , ik) von Zahlen 1 ≤ ik ≤ ni bei denen der Index l genau αl

mal vorkommt und α1 + ...+ αn = k gilt.

Somit folgt: g(k)(t) =∑|α|=k

k!α!

(Dαf)(x0 + th) · hα

(4) Nach dem eindimensionalen Satz von Taylor gibt es Θ ∈ (0, 1) mit

g(1) =n∑k=1

g(k)(0)k!

1k + g(n+1)(Θ)(n+1)!

1n+1

=n∑k=1

1k!

∑|a|=k

k!α!

(Dαf)(x0 + 0h)hα +∑

|α|=n+1

1(n+1)!

(n+1)!α!

(Dαf)(x0 + Θh)hα =∑|α|≤n

(Dαf)(x0)α!

hα+∑|α|=n+1

(Dαf)(x0+Θh)α!

Bemerkung: (1) Es gibt genau einen Multiindex α mit |α| = 0 :

α = (0, ... , 0), alsoDαf = f

(2) Die Multiindezes α mit |α| = 1 sind von der folgenden Form

α = ei = (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0)↑i−te Stelle

, also Dαf = ∂f∂xi, i = 1, ... , n

∑|α|=1

Dαfα!

(x0)hα =n∑i=1

∂f∂xi

(x0)hi = 〈(Of)(x0), h〉↑=(grad f)(x0)

(3) Die Multiindizes α mit |α| = 2 sind von der Form

α = 2ei = (0, ... , 0, 2, 0, ... , 0), i = 1, ... , n

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α = ei + ej = (0, ... , 0, 1i, 0, ... , 0, 1

j, 0, ... , 0), i, j = 1, ... , n, i 6= j∑

|α|=2

(Dαf)(x0)α!

hα =n∑i=1

12∂2f(x0)

∂x2ih2i +

∑i<j

∂2f∂xi∂xj

(x0)hihj

= 12

n∑i,j=1i6=j

∂2f∂xi∂xj

(x0)hihj

= 12〈(Hf)(x0)h, h〉, wobei

(Hf)(x0) =

∂2

∂x21f(x0) · · · ∂2

∂x1∂xnf(x0)

......

∂2

∂xn∂x1f(x0) · · · ∂2

∂x2nf(x0)

die Hesse-Matrix von f im Punkt x0 ist. Ist f zweimal stetig diffbar,

so ist Hf symmetrisch.

(4) Ist also f 3-mal stetig diffbar, so ist

f(x0 + h) = f(x0) + 〈(Of)(x0), h〉+ 12〈(Hf)(x0)h, h〉+ (R2f)(h)

3.5 Lokale Extrema

Definition 3.13

f : Rn ⊃ D → R hat in x0 ∈ D ein loklaes Maximum(Minimum),

falls es eine Umgebung U ⊂ D von x0 gibt mit

f(x0) ≥ f(x),∀x ∈ U (f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ U)

Satz 3.14 (notwendige Bedingung):

f : D → R, habe in x0 ∈ D ein lokales Extremum,

und fur eine Richtung v ∈ Rn, ‖v‖ = 1, existiere die

Richtungsableitung ∂f∂v

(x0). Dann ist ∂f∂v

(x0) = 0.

Beweis: oBdA habe f in x0 ein Maximum. Fur hinreichend kleine t gilt:

f(x0+tv)−f(x0)t

≤ 0, falls t > 0≥ 0, falls t < 0

Also ist ∂f∂v

(x0) = limt→0

f(x0+tv)−f(x0)t

= 0

Bemerkung: Ist f diffbar und hat in x0 ein Extremum, so ist also

Page 42: Ana II Mitschrift

42

(grad f)(x0) = 0 =

0...0

Suchen wir ein Extremum von f , so mussen wr also zunachst die

”kritischen Punkte” x0 ∈ D mit (Of)(x0) = 0 bestimmen.

Hier ist i.a. ein nichtlineares Gleichungssystem mit n Unbekannten zu losen.

Satz 3.15 (hinreichende Bedingung):

Ist f : D ⊂ Rn → R zweimal stetig diffbar, x0 ∈ D mit

(Of)(x0) = (0, ... , 0) und

(i) (Hf)(x0) positiv definit

(ii) (Hf)(x0) negativ definit

Dann hat f in x0 ein Minimum (Fall (i)) bzw. Maximum (Fall (ii))

Erinnerung: A ∈ Rn×n ist pos. definit, falls

〈Ax, x〉 > 0∀x ∈ Rn, x 6= 0

(oder aquivalent: Es gibt γ > 0 mit 〈Ax, x〉 ≥ γ‖x‖2 ∀x ∈ Rn)

analog fur neg. definit.

Bemerkung:

Ist f 2 mal stetig diffbar, dann ist aufgrund des Satzes von Schwarz

(Hf)(x0) eine symmetrische Matrix, insbesondere sind deren Eigenwerte

alle reell. Ist A symmetrisch, so ist A pos. definit gdw. A nur positive

Eigenwerte hat (neg. analog)

Beweis:

Da f zweimal stetig diffbar. ist, folgt aus dem Satz von Taylor.

f(x0 + h) = f(x0) + 〈grad f(x0), h〉+∑|α|=2

(Dαf)(x0+Θh)α!

hα,Θ ∈ (0, 1)

= f(x0) +∑|α|=2

(Dαf)(x0)α!

hα+∑|α|=2

1α!

((Dαf)(x0 + Θh)− (Dαf) (x0))hα

= 12〈(Hf)(x0)h, h〉

Da f zweimal stetig differenzierbar ist, ex. zu ε > 0 ein δ > 0, so dass fur

alle α ∈ Nn0 , |α| = 2 und alle Θ ∈ (0, 1),

Page 43: Ana II Mitschrift

43

‖h‖ < δ ⇒ |(Dαf)(x0 + Θh)− (Dαf)(x0)| < ε

Weiter ist |hα| = |h1|α1 · · · |hn|αn ≤ ‖h1‖α1 · · · ‖hn‖αn = ‖h‖|α|

und daher folgt fur ‖h‖ < δ :

|∑|α|=2

1α!

((Dαf)(x0 + Θh)− (Dαf)(x0))hα| ≤∑|α|=2

1α!ε‖h‖|α| ≤ ε‖h‖22n!

Sei nun (Hf)(x0) positiv definit, d.h. 〈(Hf)(x0)〉 ≤ γ‖h‖2 mit γ > 0.

Wahle nun ε > 0 so, dass 2n!ε < γ2. Dann ist

f(x0 +h)−f(x0) = 12〈(Hf)(x0)h, h〉+

∑|α|=2

1α!

((Dαf)(x0 + Θh)− (Dαf)(x0))hα ≥ γ2‖h‖2−

ε‖h‖22n! > 0 fur ‖h‖ < δ.

Und daher besitzt f bei x0 ein lokales Minimum, Aussage fur lokale

Maxima zeigt man analog.

Beispiel: Seien a, b ∈ R, f : R2 → R,

(x, y) 7→ f(x, y) = x2 − xy + y2 − 3ax− 3by

grad f(x, y) = (2x− y − 3a,−x+ 2y − 3b)

Lose2x− y = 3a−x+ 2y = 3b

⇐⇒

y = 2b+ ax = 2a+ b

Mogliche Extremalstelle: (2a+ b, a+ 2b)

Es ist (Hf)(x, y) =

[2 −1−1 2

]und es gilt

0!=det((Hf)(x, y)− λ) = (2− λ)2 − 1 = λ2 − 4λ+ 3,

λ1,2 = 2±√

4− 3 > 0

⇒Extremalstelle (2a+ b, a+ 2b) ist ein lokales Minimum.

3.6 Umkehrabbildungen

Definition 3.16

Es seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offene Mengen. Eine bijektive stetig

differenzierbare Abb. f : U → V heißt Diffiomorphismus, falls

f−1 : V → U auch stetig differenzierbar ist.

Bemerkungen: Sei f : U → V Diffiomorphismus und g := f−1.

Dann ist n = m, d.h. die Dimensionen stimmen uberein und es gilt

Page 44: Ana II Mitschrift

44

g′(y) = (f ′(x))−1, y = f(x). In der Tat, aus g(f(x)) = x und f(g(y)) = y

folgt, g′(f(x)) · f ′(x) = IdRn und f ′(g(y)) · g′(y) = IdRm

⇒ g′(f(x)) = (f ′(x))−1 und es folgt insbesondere n = m.

Frage: f : U → V stetig diffbar, surjektiv und f ′(x) sei invertierbar

∀x ∈ U ⇒ f Diffiomorphismus?

Falls m = n = 1, f : I → J stetig diffbar + surjektiv + f ′(x) 6= 0

I, J ⊂ D, ∀x ∈ I ⇒ f Diffiomorphismus.

Beispiel: (Polarkoordinaten)

f : R+ × R→ R2 \ 0(r, ϕ) 7→ (rcosϕ, rsinϕ)

f stetig diffbar und surjektiv, f ′(r, ϕ) =

[cosϕ −rsinϕsinϕ rcosϕ

]detf ′(r, ϕ) = rcos2ϕ+ rsin2ϕ = r > 0, damit f ′(r, ϕ) invertierbar.

Aber f(r, ϕ) = f(r, ϕ+ 2π) und damit f nicht injektiv, also

ganz bestimmt kein Diffiomorphismus.

Satz 3.17

Sei f : U → V stetig diffbar und f−1 existiere und sei stetig.

Weiter sei f ′(x) fur alle x ∈ U invertierbar. Dann ist auch x ∈ Uinvertierbar. Dann ist auch g := f−1 : V → U stetig differenzierbar,

es gilt g′(y) = (f ′(x))−1, f(x) = y.

Beweis: O.B.d.A sei x0 = 0 und f(x0) = 0, denn sonst betrachte die Fkt.

x 7→ f(x+ x0)− f(x0) O.B.d.A sei f ′(0) = IdRn , denn sonst betrachte

x 7→ (f ′(x))−1f(x)

Also ab jetzt:

x0 = 0, f(x0 == 0, f ′(x0) = IdRn

zeige, dass f−1 an der Stelle f(xi) = 0 diffbar ist. sei k ∈ V und

k = g(k), g := f−1. Es gilt f(k) = f(x0) + f ′(x0)(h− x0) + r(h)‖h− x0‖

= h+R(h), mit R(h) = r(h)‖h‖, d.h. R(h)‖h‖

h→0→ 0

Page 45: Ana II Mitschrift

45

Also k = g(k) +R(g(k)) und mit R(k) := −R(g(k)) folgt g(k) = k + R(k)

(= g(0) + IdR(k − 0) + R(k))

Noch z.z. R(k)‖k‖ → 0 fur k → 0

Wahle dazu r, δ > 0, so dass ‖R(h)‖ ≤ 12‖h‖ falls ‖h‖ ≤ r und

‖g(k)‖ ≤ r falls ‖k‖ < δ (stetigkeit von g und g(0) = 0)

Dann folgt∥∥∥R(k)

∥∥∥ = ‖R(g(k))‖ ≤ 12‖g(k)‖ fur ‖k‖ < δ und daher.

‖g(k)‖ ≤ ‖k‖+∥∥∥R(k)

∥∥∥ ≤ ‖k‖+ 12‖g(k)‖ ⇒ ‖g(k)‖ ≤ 2‖k‖ falls ‖k‖ < δ

Also gilt fur k mit ‖k‖ < δ, k 6= 0 :

‖R(k)‖‖k‖ ≤ 2‖R(g(k))‖

‖g(k)‖ = 2‖R(h)‖‖h‖ → 0 g(k) = h→ 0(bzw. k → 0)

⇒ g ist bei 0 diffbar, es gilt g′(0) = IdRn

⇒ g ist diffbar auf ganz V , g′(y) = (f ′(x))−1, y = f(x)

Stetgikeit von g′ folgt aus der Stetigkeit der Inversenbildung einer

(stetigen) Matrixfunktion.

Errinnerung: (Banachscher Fixpunktsatz)

Sei ϕ : M →M eine kontraktions-Abb. eines vollstandigen metrischen

Raumes M in sich (∀x, y ∈M,x 6= y : d(ϕ(x), ϕ(y)) < d(x, y)). Dann besitzt

ϕ genau einen Fixpunkt, d.h. ∃!ξ ∈M : ϕ(ξ) = ξ.

Satz 3.18 (Satz von der lokalen Umkehrbarkeit)

Es sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rn eine stetig diffbare Abbildung.

Im Punkt a ∈ U sei f ′(a) invertierbar. Dann existiert eine offene

Umgebung U0 ⊂ U mit a ∈ U0, so dass V := f(U0) eine offene

Umgebung von b := f(a) ist und die Restriktion f U0 : U0 → V

ein Diffiomorphismus ist.

Beweis: O.B.d.A a = 0, f(a) = 0 und f ′(a) = IdRhn

Es sei ϕy(x) := y + x− f(x), x ∈ U, y ∈ Rn

Dann sind die Fixpunkte x ∈ U von ϕy gerade diese Urbilder von

y(= f(x)) und f .

Page 46: Ana II Mitschrift

46

Es sei r > 0 so dass B2r(0) ⊂ U und ‖IdRn − f ′(x)‖ ≤ 12

fur alle

x ∈ B2r(0) (geht da f ′ stetig ist). Nun ist ϕ′y(x) = IdRn − f ′(x) und es

folgt mit Hilfe des Schrankensatzes, dass fur alle x1, x2 ∈ B2r(0)

‖ϕy(x2)− ϕy(x1)‖ ≤ supx∈B2r(0)

∥∥ϕ′y(x)∥∥‖x2 − x1‖ ≤ 1

2‖x2 − x1‖

Dann folgt fur ‖y‖ < r und ‖x‖ < 2r :

‖ϕy(x)‖ ≤ ‖ϕy(x)− ϕy(0)‖+ ‖ϕy(0)‖ ≤ 12‖x‖+ ‖y‖ < 2r

Das ist gut, denn fur y ∈ Rn, ‖y‖ < r ist also ϕy : B2r(0)→ B2r(0) eine

Kontraktion, es gilt sogar: ϕy(x) ∈ B2r(0). Damit liefert der Banachsche Fixpunktsatz,dass ϕy∀y ∈ Br(0) einen eindeutigen Fixpunktsatz

x ∈ B2r(0). D.h. ∀y ∈ Br(0) ∃!x ∈ B2r(0) mit f(x) = y.

Setze g : Br(0)=:V

7→ U0 := f−1(Br(0)) ∩B2r(0), y 7→ g(y) := x

Dann ist g die Umkehrabb. von f U0 , denn zu x ∈ U0 g(f(x)) = g(y) = x

Zeige, dass g stetig ist: Seien y1, y2 ∈ V = Br(0) und

x1 = g(y1) und x2 = g(y2). Dann ist ‖g(y2)− g(y1)‖ = ‖x2 − x1‖= ‖ϕ0(x2)− ϕ0(x1) + f(x2)− f(x1)‖≤ ‖ϕ0(x2)− f0(x1)‖+‖f(x2)− f(x1)‖≤ 1

2‖x2 − x1‖+ ‖y2 − y1‖

⇒ 12‖g(y2)− g(y1)‖+ ‖y2 − y1‖

⇒ ‖g(y2) + g(y1)‖ ≤ 2‖y2 − y1‖⇒ g stetig

Zeige f ′(x) ist invertierbar ∀x ∈ U0. Fur x ∈ U0 ist insbesondere

x ∈ B2r(0) und daher ‖IdRn − f ′(x)‖ ≤ 12. Insbesondere folgt

‖(IdRn − f ′(x))v‖ ≤ 12‖v‖ ∀v ∈ Rn

Ist f ′(x)v = 0 dann folgt ‖IdRnv‖ ≤ 12‖v‖ und daher v = 0.

⇒ ker(f ′(x)) = 0, d.h. f ′(x) ist invertierbar ∀x ∈ U0

Insgesamt: f U0 : U0 → V ist stetig diffbar, (f U0)−1 = g

existiert und ist stetig, (f U0)′(x) ist invertierbar ∀x ∈ U0.

Page 47: Ana II Mitschrift

47

Mit Satz 3.17 folgt: f U0 : U0 → V ist ein Diffiomorphismus.

Mit Hilfe des Umkehrsatzes konnen Aussagen zu

”impliziten Funktionen” gemacht werden.

Motivation Betrachte die Gleichung

f(x, y) = x2(1− x2)− y2 != 0

Wunsch: Auflosen nach x oder y

d.h. finde Funktion g oder g× mit

y = g(x) oder x = g ∗ (y) f(x, y) = f(x, g(x)) = 0

(i) Fur x1 6= 0, |x1| < 1 existieren y1 6= y2 f(x, y1) = 0 = f(x, y2)

(ii) Fur y1 6= 0, |y1| < 12

existieren x1, x2, x3, x4 paarweise

verschieden mit f(x1, y1) = ... = f(x4, y1) = 0

(iii) Es gilt ubrigens∂f∂x

∣∣(0,0)

= 2x(1− x2)− 2x3|(0,0) = 0

∂f∂y

∣∣∣(0,0)

= −2y|(0,0) = 0

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48

(iv) In einer Umgebung (1,0) und (-1,0) kein Auflosen der Gestalt y = g(x),

aber eine der Form x = g ∗ (y), hier ist (bei (1,0))

g ∗ (y) = 12

√2 + 2

√1− 4y2, y ∈

[−1

2, 1

2

]hier g ∗ (0) = 1

(v) Es gilt ubrigens ∂f∂x

∣∣(±1,0)

6= 0

∂f∂y

∣∣∣(±1,0)

= 0

Realistischer Wunsch: Die Gleichung f(x, y) kaum lokal bei (a, b) durch

y = g(x) aufgelost werden, falls ∂f∂y

∣∣∣(a,b)6= 0 gilt.

Es sei jetzt f : Rn × Rm → Rm diffbar, mit x = (x1, ... , xn) ∈ Rn und

y = (y1, ... , ym) ∈ Rm betrachte das Gleichungssystem

f(x, y) = 0 bzw.

f1(x1, ... , xn, y1, ... , ym) = 0

......

fm(x1, ... , xn, y1, ... , ym) = 0

Setze f′x =

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

......

∂fm∂x1

· · · ∂fm∂xn

, f′y =

∂f1∂y1

· · · ∂f1∂ym

......

∂fm∂y1

· · · ∂fm∂ym

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49

Dann ist f ′ =(f′x f

′y

)

Satz 3.19 (Satz uber implizite Funktionen)

Sei U ⊂ Rn × Rm offen und f : U → Rm stetig diffbar und

f(a, b) = 0, (a, b) ∈ U ⊂ Rn × Rm weiter sei f′y(a, b) invertierbar.

Dann ex. Umgebungen U ′ ⊂ Rn von a und U ′′ ⊂ Rm von b und

eine stetig diffbare Abb. g : U ′ → U ′′ mit f(x, y) = 0, (x, y) ∈ U ′ × U ′′

⇐⇒ y = g(x), x ∈ U ′

Bemerkung: Nullstellenmenge von f in U ′ × U ′′ = Graphen von g

• Man sagt ”g ist implizit durch f definiert”

Beweis: Sei Φ : U → Rn × Rm (x, y) 7→ Φ

(xy

)=

(x

f(x, y)

). Dann ist

Φ stetig diffbar, es gilt g(x) = y Φ′(ab

)=

[IRn 0

f′x(a, b) f

′y(a, b)

]und damit ist Φ′

(ab

)invertierbar, denn aus[

IRn 0f′x(a, b) f

′y(a, b)

](hk

)=

(h

f′x(a, b)h+ f

′y(a, b)k

)!

=

(00

)⇒ h = 0 und f

′y(a, b)k = 0, also auch k = 0

Umkehrsatz anwenden: ∃ offene Umgebung U0 von (a, b) und V von

Φ

(ab

)=

(a

f(a, b)

)=

(a0

)so dass Φ0 := Φ U0 ein Diffiomorphismus von

Page 50: Ana II Mitschrift

50

U0 auf V ist. Dann hat Φ−10 : V → U0 die Form Φ−1

0

(ξη

)=

h(ξ, η)

)mit h V → Rm stetig diffbar. Also gilt fur

(xy

)∈ U0

f(x, y) = 0 ⇐⇒ Φ0

(xy

)=

(x0

)⇐⇒ Φ−1

0

(x0

)=

(x

h(x, 0)

)=

(xy

)⇐⇒ h(x, 0) = y

Insbesondere mit h(a, 0) = b Da h stetig ist ex. Umgebung U ′ ⊂ Rn von

a und U ′′ ⊂ Rm von b mit U ′ × U ′′ ⊂ U0, so dass

∀x ∈ U ′ : h(x, 0) ∈ U ′′ ist. Definiere dann g : U ′ → U ′′,

x 7→ g(x) := h(x, 0). Dann ist g stetig diffbar und es gilt

f(x, y) = 0 ⇐⇒ g(x) = y

Bemerkung: Obwohl g in der Regel nicht bestimmt werden kann,

kann man g′ berechnen. Aus f(x, g(x)) = 0 folgt mit Kettenregel:

f ′(x, g(x))︸ ︷︷ ︸m×(n+m)

·(IRn

g′(x)

)︸ ︷︷ ︸(n+m)×n

= 0m×n mit f ′ =[f′x f

′y

]m×n m×m

ist

⇒ f′x(x, g(x))

m×n+ f

′y(x, g(x))g′(x)

m×n= 0m×n mit g(a) = b folgt

⇒ f′x(a, b) + f

′y(a, b)g

′(a) = 0

⇒ g′(a) = −[f′y(a, b)

]−1f′x(a, b)

Beispiel: f1(x, y1, y2) = x3 + y21 + y3

2 − 7 = 0

f2(x, y1, y2) = x+ x1y2 + y2x+ 2 = 0

Nullstelle (2,-1,0) f : R× R2 → R2

Auflosen nach (y1, y2) :

f′y(2,−1, 0) =

[3y2

1 3y22

x+ y2 x+ y1

](2,−1,0)

=

[−3 02 1

]invertierbar.

⇒ ∃ Umgebung U ′ ⊂ R von a = 2 und zwei stetig diffbare Funktionen

g1, g2 : U ′ → R mit (g1(2), g2(2)) = (−1, 0) und

fi(x, g1(x), g2(x)) = 0, i = 1, 2

Es gilt:

(g′1(2)g′2(2)

)= −

(−3 02 1

)(∂f1∂x∂f2∂x

)∣∣∣∣(2,−1,0)

= ... =

(−49

)

Page 51: Ana II Mitschrift

51

4.1 Kurven und deren Lange

Definition 4.1

Ein Weg ist eine stetige Abbildung α : [a, b]→ Rd. α(a) und α(b)

heißen Anfangspunkt und Endpunkt des Weges α.

Zwei Wege α : [a, b]→ Rd und β : [c, d]→ Rd heißen aquivalent,

falls eine streng monoton wachsende, stetige Fkt.

Φ : [a, b]→ [c, d] existiert mit α(t) = β(Φ(t)), t ∈ [a, b] und Φ(a) = c

und Φ(b) = d.

Beispiel:

α : [0, 2π]→ R2, t 7→(

cos(t)sin(t)

)β : [0, π]→ R2, t 7→

(cos(2t)sin(2t)

)α und β aquivalten, denn Φ : [0, 2π]→ [0, π], t 7→ t

2

Bemerkung:

•Sind α und β aquivalente Wege, so haben α und β den

gleichen Bildbereich, den gleichen Durchlaufsinn und die

gleiche Anzahl der Durchlaufe.

•Aquivalenz von Wegen ist eine Aquivalenzrelation auf der

Menge der Wege.

(α ∼ β ⇒ β ∼ a, α ∼ α α ∼ β und β ∼ γ → α ∼ γ)

Definition 4.2

Eine Aquivalenzklasse [α] von Wegen α heißt Kurve; Berechnung C := [α].

Jeder Weg α ∈ C = [α] heißt Parametrisierung der Kurve C.

Eine stetig differenzierbare Kurve C heißt regular, falls α(t) 6= 0 fur alle

t ∈ [a, b] und α ∈ C gilt. α(t) heißt Tangentenvektor (an der Stelle t)

Bemerkung: α, β ∈ C und α(t) 6= 0 auf [a, b]→ β(t) 6= 0 auf [c, d].

α : [a, b]→ Ra, β : [c, d]→ Ra

Page 52: Ana II Mitschrift

52

Beispiel: [0, 6π] 3 t 7→ α(t) =

r cos(t)r sin(t)ht

mit r > 0, h > 0

(Schraubenlinse)

α(t) =

−r sin(t)r cos(t)

h

‖α(t)‖ =

√r2sin2t+ r2cos2t+ h2 =

√r2 + h2

Definition 4.3

Sei C eine Kurve in Ra und P1, P2, ... , PN ∈ C. Dann heißt

S = P0, P1, ... , PN Sehnenpolygon und l(S) :=N−1∑i=0

‖Pi+1 − Pi‖

die Lange von S. Die Kurve C heißt rektifizierbar, falls supSl(S) <∞ gibt.

Dann heißt l(C) = supSl(S) Lange der Kurve C.

Bemerkung: Ist S = P0, P1, ... , PN+1 mit S ⊂ S .

Dann gilt l(S) ≤ l(S).

Page 53: Ana II Mitschrift

53

Satz 4.4

Sei C eine stetig differenzierbare Kurve und α : [a, b]→ Rd eine

Parametrisierung von C. Dann ist C rektifizierbar und es gilt

L(C) =b

a

‖α(t)‖dt

Beweis: Sei a = t0 < ... < tN = b eine Zerlegung von [a, b] und seien

Pi = α(t2), i = 0, 1, ... , N und S = P0, ... , PN das Sehnenpolygon

mit der Lange l(S) =N−1∑i=0

‖Pi+1 − Pi‖ =N−1∑i=0

‖α(ti+1)− α(ti)‖

Es gilt fur jede Komponentenfunktion αj, j = 1, ... , d von α

αj(ti+1)− αj(ti) =ti+1´ti

˙αj(t)dt.Daher ist

‖α(ti+1)− α(ti)‖ =

[d∑j=1

(αj(ti+1)− α(ti))2

] 12

=

d∑j=1

(ti+1´ti

α(t)dt

)2 1

2

≤ti+1´ti

(d∑j=1

α2j (t)

) 12

dt =ti+1´ti

‖α(t)‖dt

und damit gilt

l(S) =N−1∑i=0

‖α(ti+1)− α(ti)‖ ≤N−1∑i=0

ti+1´ti

‖α(t)‖dt =b

a

‖α(t)‖dt

Das gilt fur jedes Sehnenpolygon und daher folgt

l(C) = supSl(S) ≤

b

a

‖α(t)‖dt

Bleibt zu zeigen, dass zu jedem ε > 0 ein Sehnenpolygon S existiert

mit

∣∣∣∣ ba

‖α(t)‖dt− l(S)

∣∣∣∣ < ε

Sei S ein beliebiges Sehnenpolygon gilt

l(S) =N−1∑j=1

‖α(ti+1)− α(ti)‖ =N−1∑i=0

(d∑j=1

|αj(ti+1)− αj(ti)|2) 1

2

=N−1∑i=0

(d∑j=1

|α(sij)(ti+1 − ti)|2) 1

2

, sij ∈ (ti, ti+1)

Page 54: Ana II Mitschrift

54

=N−1∑i=0

(d∑j=1

|αj(sij)|2)

(ti+1 − ti)

Andererseits kann das Integralb

a

‖α(t)‖dt durch Treppenfunktionen approximiert werden:

Es sei a = t0 < ... < tN := b eine Zerlegung von

[a, b] mit

∣∣∣∣ ba

|α(t)|dt−N−1∑i=0

‖α(ti)‖(ti+1 − ti)∣∣∣∣ < ε

2

Nun folgt mit Sehnenpolygon zu dieser Zerlegung:∣∣∣∣N−1∑i=0

‖α(ti)‖(ti+1 − ti)− l(S)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣N−1∑i=0

(‖α(ti)‖ − ηi)(ti+1 − ti)∣∣∣∣

≤N−1∑i=0

|‖α(ti)‖ − ηi|(ti+1 − ti)

≤Inv. 4−Ungl.

N−1∑i=0

∥∥∥∥∥∥α1(ti)

...αd(ti)

−α1(si1)

...αd(sid)

‖(ti+1 − ti)

Es folgt insgesamt:

|b

a

‖α(t)‖dt− l(S)| ≤ |b

a

‖α(t)‖dt−N−1∑i=0

‖α(t)‖(ti+1 − ti) |+ |N−1∑i=0

‖α(t)‖(ti+1 − ti) − l(S)|

< ε2

+ ε2

= ε

Sei C eine Kurve, dann heißt C stetig differenzierbar, falls

eine stetig diffbare Parametrisierung α existiert.

C heißt regular, falls α(t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b].

Lange von C =b

a

‖α(t)‖dt.

4.2 Skalare und vektorielle Kurvenintegrale

Definition 4.5

Sei C eine stetig diffbare Kurve in Rd und eine stetig diffbare

Parametrisierung α : [a, b]→ Rd.

Es sei f : C → R so dass f α : [a, b]→ R stetig ist.

Page 55: Ana II Mitschrift

55

Dann heißt´C

f ds :=´C

f(x)dx :=b

a

f(α(t))‖α(t)‖dt

skalares Kurvenintegral von f uber C, ds = ‖α(t)‖dt

heißt skalares Bogenelement.

Bemerkung: Ist β : [c, d]→ Rd eine andere stetig diffbare

Parametrisierung von C und ist f β stetig, so ist das Kurvenintegral´C

f ds von der Parametrisierung unabhangig

d

c

f(β(r))∥∥∥β(r)

∥∥∥dr =α(t)=β(Φ(t))

Φ(b)´Φ(a)

f(β(Φ(t)))∥∥∥β(Φ(t))

∥∥∥|Φ′(t)| dt

=b

a

f(α(t))‖α(t)‖dt | f : C → R, c 7→ 1,´C

1dsb

a

f(α(t))‖α(t)‖dt =b

a

‖α(t)‖dt = l(C)

•´C

(λf + µg)ds = λ´C

f ds + µ´C

g ds

•|´C

f ds| ≤ l(C) supx∈C|f(x)|

Definition 4.6

Sei Ω ∈ Rd offen. Dann heißt eine stetig diffbare Abb.

v : Ω→ Rd Vektorfeld.

•Bsp.: elektrische magnetische Felder.

Definition 4.7

Sei Ω ∈ Rd offen, v : Ω→ Rd ein Vektorfeld und C eine

regulare Kurve.(d.h. ∃ stetig diffbare Parametrisierung

α : [a, b]→ Rd mit α(t) 6= 0) innerhalb von Ω. Dann heißt

´C

v · dx :=b

a

v(α(t)) · α(t)dt↑Skalarpr.

vektorielles Kurvenintegral (bzgl. Vektorfeld v entlang C)

Dabei muss α injektiv sein.

Bemerkung:

b

a

v(α(t)) · α(t)dt =b

a

d∑i=1

vi(α(t))αi(t)dt

Page 56: Ana II Mitschrift

56

=d∑i=1

b

a

vi(α(t))˙

αi(t)dt =:d∑i=1

´C

vidxi

• dx = α(t)dt heißt vektorielles Bogenelement.

• Wert des vektoriellen Kurvenintegrals unabh. von der Parametrisierung

α(t) = β(Φ(t))Φ′(t)

Beispiel: (Gravitationsfeld aus Massepunkt im Ursprung)

Ω = R3 \ 0, v : Ω→ R3, x 7→ v(x) = − x‖x‖3 Sei C ⊂ R3 \ 0

eine regulare Kurve und α : [a, b]→ R3 eine Parametrisierung von C.

Dann ist´c

v · dx (ein Maß fur) die Arbeit, die geleistet wird, wenn ein

zweiter Massepunkt entlang C bewegt wird.

Es ist´C

v · dx = −b

a

α(t)

‖α(t)‖3 · α(t)dt

Wegen ddt

1‖α(t)‖ = d

dt1√

α21(t)+α2

2(t)+α23(t)

= −12

1√α2

1(t)+α22(t)+α2

3(t)3 (2α1(t)α1(t) + 2α2(t)α2(t) + 2α3(t)α3(t))

= − 1‖α(t)‖3

(α1(t)α2(t)α3(t)

(α1(t)α2(t)α3(t)

)= − α(t)

‖α(t)‖2 · α(t)

folgt

´C

v · dx =b

a

ddt

1‖α(t)‖dt = 1

‖α(b)‖ −1

‖α(a)‖

Achtung: Ergebnis hangt nur von Anfangs und Endpunkt der Kurve ab!

Eigenschaften vektorieller Kurvenintegrale´C

(λv + µw) · dx = λ´C

v · dx + µ´C

w · dx

|´C

v · dx| ≤ l(C)supx∈C‖v(x)‖

´C1+C2

v · dx =´C1

v · dx +´C2

v · dx

Page 57: Ana II Mitschrift

57

4.3 Konservative Vektorfelder und Potentiale

Definition 4.8

Sei Ω ⊂ Rd offen und v : Ω→ Rd ein Vektorfeld. Dann heißt v

konservativ genau dann wenn das (vektorielle) Kurvenintegral uber

Kurven in Ω nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhangt.

Bemerkung: v ist genau dann konservativ, falls das Kurvenintegral uber

alle geschlossenen Kurven verschwindet.

(⇒voll klar, ⇐ verwende Additivitat des Integrals)

Beispiel: v(x) = − x‖x‖3 ist ein konservaties Vektorfeld in R3 \ 0

Satz 4.9

Es sei v : Ω→ Rd ein Vektorfeld. Dann ist v genau dann konservativ, falls

eine stetig diffbare Abb. U : Ω→ R existiert, v = grad U . Dann gilt fur jede

Kurve C ist Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 :´C

v · dx = U(P2)− U(P1)

U heißt Potential von v.

Beweis: ⇐: Sei U : Ω→ R mit grad U = v. Weiter sei C eine

regulare Kurve in Ω mit Parametrisierung α : [a, b]→ Ω.

Dann istddtU(α(t)) = (grad U)(α(t)) · α(t) = v(α(t)) · α(t)

und daher´C

v · dx =b

a

v(α(t)) · α(t)dt =b

a

ddtU(ga(t))dt = U(α(b))− U(α(a))

= U(P2)− U(P1) mit Anfangs- und Endpunkt P1 = α(a)

und P2 = α(b) der Kurve C.

Es folgt, dass v ein konservatives Vektorfeld ist.

⇒Zu x0 ∈ Ω U(x) =´C

v · dx =:x

x0

v · dx

Page 58: Ana II Mitschrift

58

Sei v konservativ und x0 ∈ Ω fest. Zu x ∈ Ω wahle Kurve C mit

Anfangpunkt x0 und Endpunkt x. Setze dann.

U(x) =´C

v · dy =x

x0

v · dy

Dies tun wir fur jedes x ∈ Ω und erhalten(eine wohldefinierte von C

unabh.) Funktion U : Ω→ R

Zeige: grad U = v

Zu x ∈ Ω wahle kleine Umgebung in Ω und h > 0, so dass

x+ hej ∈ Ω gilt. Dann ist

U(x+ hej)− U(x) =x

x0

v · dy −x

x0

v · dy

α : [0, h]→ Rd, t 7→ x+ tej=h

0

v(x+ tej) · ejdt = · · · =h

0

vj(x+ tej)dt

∂U∂xj

(x) = limh→0

U(x+hej)−U(x)

h= lim

h→0

1h

h

0

vj(x+ tej)dtstetig in t

= vj(x), j = 1, ... , d⇒ (grad U)(x) = v(x)

Wunsch: Leicht nachprufbare hinreichende Kriterien fur Konservativitat

von Vektorfeldern.

Definition 4.10

Es sei Ω ein Gebiet in Rd (d.h. offen und zusammenhangend).

Dann heißt Ω sternformig , falls ein x0 ∈ Ω existiert, so dass fur alle

x ∈ Ω die Gerade h(t) = x0 + t(x− x0), t ∈ [0, 1] in Ω enthalten ist.

Zwischenbetrachtung: v : Ω→ Rd, U Potential

∂vi∂xk

= ∂∂xh

(∂U∂xi

)= ∂U

∂xk∂xi=

S.v. Schwarz

∂U∂xi∂xk

= ∂vk∂xi

Definition 4.11

Ein Vektorfeld v : Ω→ Rd heißt rotationsfrei, falls∂vi∂xk

= ∂vk∂xi, i, k = 1, ... , d gilt.

Bemerkung: • v konservativ ⇒ v rotationsfrei

Page 59: Ana II Mitschrift

59

•d = 3, rot v = (Ox v) :=

∂v3∂x2− ∂v2

∂x3∂v1∂x3− ∂v3

∂x1∂v2∂x1− ∂v1

∂x2

v : Ω→ R3 rotationsfrei ⇐⇒ rot v = 0

Bild: R3 nicht rotationsfrei

rotationsfrei:

Satz 4.12(Hinreichende Bedingung fur die Existenz eines Potentials)

Sei Ω ein sternformiges Gebiet im Rd und v : Ω→ Rd ein

rotationsfreies Vektorfeld. Dann ist v konservativ, es ex. ein Potential U : Ω → R mitgrad U = v.

Beweis: Sei x0 ∈ Ω mit [0, 1]→ t 7→ x0 + t(x− x0) ⊂ Ω ∀x ∈ Ω

und setze U(x) :=x

x0

v · dy :=1

0

v(x0 + t(x− x0)) · (x− x0)dt

=1

0

d∑i=1

vi(x0 + t(x− x0))(xi − x0 i)dt

∂U∂xk

(x) = ∂∂xk

1

0

d∑i=1

vi(x0 + t(x− x0))(xi − x0 i)dt

=Satz 1.23

1

0

d∑i=1

∂∂xk

[vi(x0 + t(x− x0))(xi − x0 i)] dt

=1

0

d∑i=1

∂vi∂xk

(x0 + t(x− x0))t(xi − x0 i) +1

0

1 · vk(x0 + t(x− x0))dt

=part.Int.

tvk

(x0 + t(x− x0))|10 −

1

0

t ddtvk(x0 + t(x− x0))dt

Page 60: Ana II Mitschrift

60

= vk(x)−1

0

t(grad vk)(x0 + t(x− x0))− (x− x0)dt

= vk(x)−1

0

d∑i=1

∂vk∂xi

(x0 + t(x− x0))t(xi − x0i)dt

⇒ Damit folgt wegen ∂vi∂xk

= ∂vk∂xi

∂U∂xk

(x) = vk(x), k = 1, ... , d⇒ grad U = v

Beispiel: v(x, y, z) =

yexeysin(z) + x+ yxexysin(z) + x+ y − zexycos(z)− y + z

in R3

Hier ist rot v = 0, d.h. ∃U : R3 → R mit grad U = v

Bestimme U !

∂U∂x

!= yexysin(z) + x+ y ⇒ U(x, y, z) = exysin(z) + x2

2+ xy + ϕ(y, z)

xexysin(z) + x+ y − z = ∂U∂y

= xexysin(z) + x+ ∂∂yϕ(y, z)

⇒ ∂∂yϕ(y, z) = y − z

⇒ ϕ(y, z) = y2

2− zy + ψ(z)

exycos(z)− y + z = ∂U∂z

= exycos(z)− y + ∂∂zψ(z)

⇒ ∂∂Zψ(z) = z, ψ(z) = z2

2+ c

⇒ U(x, y, z) = ex ysin(z) + x2

2+ xy + y2

2− zy + z2

2+ c, c ∈ R

5. Integralrechnung im Rd

Idee: Treppenfunktionen auf Quadern

→ stetige Fkt. auf Quadern

→ stetige Fkt. auf offenen Mengen

5.1 Das Integral fur Treppenfkt. auf Quadern

Definition 5.1

Das direkte Produkt von (beschr.) Intervallen I1, ... , Id ⊂ Rheißt d-dimensionaler Quader.

d.h. Q = I1 × I2 × ...× Id ⊂ Rd

Die Intervalle Ii konnen offen/abg./halboffen etc. sein.

Das Volumen von Q ist definiert durch

Page 61: Ana II Mitschrift

61

V (Q) =d∏i=1

(bi − ai) wobei

ai = inf Ii, bi = sup Ii, i = 1, ... , d

Ein Quader Q heißt entartet, falls V (Q) = 0 ist oder abgeschlossen

ai = bi fur ein i ∈ 1, ... , d.

Bemerkung: Das Volumen ist translationsinvariant. Fur λ ∈ Rd gilt.

V (λ+Q)=:λ+x|x∈Q

=d∏i=1

((bi + λi)− (ai + λi)) =d∏i=1

(bi − ai) = V (Q)

Lemma und Definition 5.2

Es seien Q1, ... , QN ⊂ Rd Quader. Dann gibt es paarweise disjunkte

Quader R1, ... , RM ⊂ Rd, Ri ∩Rj = ∅ fur i 6= j, so daß jedes Qi

Vereinigung geeignter Ri1 , ... , Rik ist undN⋃i=1

Qi =k⋃j=1

Rij .

Ri, ... , Rn heißt Rasterung der Q1, ... , QN .

Bemerkung: Ist Q := Q1 ∪ ... ∪QN

V (Q) :=M∑i=1

V (Ri).

Definition 5.3

Sei Q := Q1, ... , QN die Vereinigung von Quadern Q1, ... , QN ⊂ Rd.

Die charakteristische Funktion χQi von Qi ist definiert als

χQi : Q→ R, χQi(x) =

1 fur x ∈ Qi

0 sonst

Fur c1, ... , cN ∈ R ist ϕ : Q→ R, ϕ =N∑i=1

ciχQi eine Treppenfkt.

Sind die Qi paarweise disjunkt(p.w.disj.), so nennen wir die

Darstellung von ϕ disjunkt.

Zwei Treppenfunktionen ϕ und ψ auf Q heißen fast uberall gleich

(oder ϕ(x) = ψ(x) fur fast alle x ∈ Q), falls es eine Rasterung von Q

gibt so dass sich ϕ und ψ nur auf den entarteten Quadern der

Page 62: Ana II Mitschrift

62

Rasterung unterscheiden.

Lemma 5.4

Zu jeder Treppenfkt. ϕ auf Q gibt es eine Rasterung R1, ... , RM

von Q und d1, ... , dm ∈ R mit ϕ =M∑j=1

djχRj , ϕ besitzt also

eine disjunkte Darstellung.

Beweis: Sei Q =N⋃i=1

Qi, ϕ =N∑i=1

ciχQi .

Sei R1, ... , RM eine Rasterung von Q (also von Q1, ... , QN)

Wir setzen dj :=∑ci

i∈1,.. ,N | Rj∩Qi 6=∅.

Definition 5.5

Sei ϕ =N∑i=1

ciχQi eine Treppenfunktion in disjunkter Darstellung.

Dann heißt´Q

ϕ(x)dx :=N∑i=1

ci · V (Qi) Integral von ϕ uber Q.

Bemerkungen: Das Integral ist von der expliziten Darstellung von ϕ

unabhangig von der speziellen Rasterung von Q.

(wie in R1 am Anfang des Semesters)

• Ist ϕ(x) ≥ 0, also alle cj ≥ 0, so ist´Q

ϕdx die Summe der

Volumen der (d+ 1)-dim. Quader Qi × [0, ci], i = 1, ... , N

Lemma 5.6

(1) Seien ϕ, ψ TF(Treppenfkt.) auf Q und α, β ∈ R, so ist´Q

(αϕ+ βψ)(x)dx = α´Q

ϕ(x)dx + β´Q

ψ(x)dx (Linearitat)

(2) Ist ϕ(x) ≥ 0 fur fast alle x ∈ Q (d.h. Es gibt eine Rasterung

Q so daß ϕ(x) ≥ 0 auf allen Quadern mit Volumen 6= 0)

Page 63: Ana II Mitschrift

63

so ist´Q

ϕ(x)dx ≥ 0

(3) Aus ϕ = ψ fast uberall auf Q, folgt´Q

ϕ(x)dx =´Q

ψ(x)dx

(4) Aus ϕ(x) ≤ ψ(x) fast uberall auf Q folgt´Q

ϕ(x)dx ≤´Q

ψ(x)dx (Monotonie)

(5)

∣∣∣∣∣´Qϕ(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤ ‖ϕ‖∞ · V (Q)

Beweis: (2) Sei also ϕ =M∑j=1

djχRj mit einer passenden

Rasterung R1, ... , RM

Dann ist fur ein j = 1, ... ,M . Fur x ∈ Rj :

0 ≤ ϕ(x) = dj, falls V (Rj) 6= 0,

also´Q

ϕ(x)dx =M∑j=1

djV (Rj) ≥ 0= 0, falls V (Rj) = 0≥ 0, falls V (Rj) 6= 0

(5) |´Q

ϕ(x)dx| = |M∑j=1

djV (Rj)| ≤M∑j=1

|dj|︸︷︷︸≤‖ϕ‖∞

V (Rj) ≤ ‖ϕ‖∞M∑j=1

V (Rj) = ‖ϕ‖∞V (Q)

Satz 5.7 (Fubini fur TF/sukzessive Integration)

Seien Q ⊂ Rp und R ⊂ Rq kompakte Quader. Dann ist Q×R ein

Quader in Rp+q. Wir schreiben fur Rp+q 3 z = (x , y∈Rp∈Rq

)

Fur jede TF ϕ auf Q×R gilt:

(a) Fur festes x ∈ Q ist y 7→ ϕ(x, y) eine TF auf R.

(b) x 7→´R

ϕ(x, y)dy ist eine TF auf Q.

(c)´

Q×Rϕ(z)dz =

´Q

(´R

ϕ(x, y)dy

)dx

(=´Q

´R

ϕ(x, y)dy dx

)

Bemerkung: Durch Vertauschen von R und Q:´Q×R

ϕ(z)dz =´R

´Q

ϕ(x, y)dx dy

Beweis: Die TF ϕ hat eine disj. Darstellung, die also auf einer

Page 64: Ana II Mitschrift

64

Rasterung von Q×R beruht.

Die Projektionen dieser Rasterung auf Rp bzw. Rq bilden eine

Rasterung von Q bzw. R.

Dann ist also Q =N⋃i=1

Qi, R =M⋃j=1

Rj, Qi p.w. disj., Rj p.w. disj.

also Qi ×Ri p.w. disj. und Q×R =N⋃i=1

M⋃j=1

Qi ×Rj.

Dann besitzt ϕ eine disj. Darstellung der Form ϕ =N∑i=1

M∑j=1

dijχQi×Rj

Es ist χQi×Rj(x, y) = χQi(x) · χRj(y) und V (Qi ×Rj) = V (Qi) · V (Rj)

Fur x ∈ Q ist ϕ(x, y) =N∑i=1

M∑j=1

αijχQi×Rj(x, y) =∑i

∑j

dijχQi(x)χRj(y)

=M∑j=1

(N∑i=1

dijχQi(x)

)· χRj(y) also (a)

ψ(x) =´R

ϕ(x, y)dy =M∑i=1

N∑ı=1

dijχQi(x) · V (Rj) =N∑i=1

(M∑j=1

dijV (Ri)

)χQi(x)

also (b)

´Q

(´R

ϕ(x, y)dy

)dx =

´Q

ψ(x)dx =N∑i=1

M∑j=1

dijV (Rj) · V (Qi) =´

Q×Rϕ(z)dz also(c)

Satz 5.8(Additivitat):

Sind Q0 und Q1 disjunkte Quader in Rd, so ist´Q0⋃Q1

ϕdx =´Q0

ϕdx +´Q1

ϕdx

5.2 Das Integral fur stetige Funktionen uber kompakte Quader

Idee: Gleichmaßige Approx. durch TF.

Page 65: Ana II Mitschrift

65

Satz 5.9

Ist f eine stetige Funktion auf einem kompakten Quader Q ⊂ Rd, so

ist f gleichmaßiger Grenzwert einer Folge von TF auf Q.

Beweis: (fur d = 2) Q = [a1, b1]× [a2, b2], f : Q→ R stetig.

Sei ε > 0 beliebig. Da f sogar glm. stetig ist, b2 gibt es δ > 0 :

|f(x, y)− f(x′, y′)| < ε falls |(x, y)− (x′, y′)| < δ

Mit h1 = b1−a1

N, h2 = b2−a2

Nund h :=

√h2

1 + h22 wahlen wir N

so groß, dass h < δ. Wir setzen fur i, j = 0, ... , N : xi = a1 + i · h1,

yj = a2 + j · h2

Wir setzen

ϕ =N−1∑i,j=0

f(xi, yj)χ[xi,xi+1=×[yj ,yj+1) +N−1∑i=0

f(xi, b2)χ[xi,xi+1)×b2

+N−1∑j=0

f(b1, yj)χb1×[yj ,yj+1) + f(b1, b2)χb1×b2

Also ist ϕN eine TF auf Q und nach Wahl von N gilt ‖ϕN − f‖∞ < ε

Definition und Lemma 5.10

Ist f : Q→ R der gleichm. Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen

auf Q, so setzen wir´Q

f(x)dx := limn→∞

´Q

ϕn(x)dx

”Beweis”: Existenz des Grenzwertes: Sei ε > 0. Da (ϕn) insbesondere

eine ‖.‖∞-Cauchyfolge ist, gibt N > 0 : ∀n,m ≥ N :

‖ϕn − ϕm‖ < ε. Damit folgt fur n,m ≥ N :∣∣∣∣∣´Qϕndx−´Q

ϕmdx

∣∣∣∣∣ = |´Q

(ϕn − ϕm)dx| ≤ ‖ϕn − ϕm‖∞ · V (Q)

Also ist

(´Q

ϕndx

)n

eine CF in R, konv. also

Unabhangig von der Wahl von ϕn: Sei (ψn) eine weitere

Folge von TF mit ‖f − ψn‖∞ → 0. Sei ε > 0 bel.

Sei N so gewahlt dass ∀n > N : ‖ϕn − f‖∞ < ε und ‖ψn − f‖∞ < ε.

Page 66: Ana II Mitschrift

66

Damit ‖ϕn − ψn‖∞ ≤ ‖ϕn − f‖∞ + ‖ψn − f‖∞ < 2ε

Also |´Q

ϕndx−´Q

ψndx| = |´Q

(ϕn − ψn)dx| ≤ ‖ϕn − ψn‖∞V (Q) < 2εV (Q)∀n > N

Also ist

(´Q

ϕndx−´Q

ψndx

)n

eine Nullfolge

Notation:´Q

ϕdx =´Q

ϕ(x)dx =´Q

ϕ(x1, ... , xd)d(x1, ... , xd)

Lemma 5.11

Seien f, g : Q→ R glm. GW von Folgen von TF.

(a)´Q

(αf + βg)dx = α´Q

f dx + β´Q

g dx, α, β ∈ R.

(b) |´Q

f dx| ≤´Q

|f |dx ≤ ‖f‖∞V (Q)

(c) Aus f(x) ≤ g(x)∀x ∈ Q folgt´Q

f dx ≤´Q

g dx.

(d) Aus´Q

|f |dx = 0 folgt f(x) = 0 ∀x ∈ Q, falls f stetig ist

Beweis: (b) Sei ϕn eine Folge von TF auf Q mit ϕn → f glm.

Dann ist (|ϕn|) eine Folge von TF, die glm. gegen |f | konvergiert.

Also |´Q

f dx| = | limn→∞

´Q

ϕndx| ≤ limn→∞

´Q

|ϕn|dx =´Q

|f |dx.

Insbes. gilt ‖ϕn‖∞ → ‖f‖∞, also´Q

|f |dx = limn‖ϕn‖∞ · V (Q) = ‖f‖∞V (Q)

Satz 5.12(Fubini):

Seien Q ⊂ Rp,R ⊂ Rq komp. Quader, f : Q×R→ R stetig.

(a) Die Abb. x 7→ F1(x) :=´R

f(x, y)dy ist stetig auf Q,

y 7→ F2(y) :=´Q

f(x, y)dx ist stetig auf R.

(b)´

Q×Rf(z)dz =

´Q×R

f(x, y)d(x, y) =´Q

(´R

f(x, y)dy

)dx =

´R

(´Q

f(x, y)dx

)dy.

Page 67: Ana II Mitschrift

67

Beweis: (a) f ist auf Q×R kompakt sogar gleichmaßig stetig, fur ε > 0

gibt es δ > 0, so dass insbesondere

|f(x, y)− f(x′, y)| < ε fur alle

(xy

),

(x′

y

)∈ Q×R mit

∣∣∣∣(xy)−(x′

y

)∣∣∣∣ < δ

Es gilt also fur alle x, x′ ∈ Q mit |x, x′| < δ :

|F1(x)− F1(x′)| = |´R

f(x, y)dy −´R

f(x′, y)dy| = |´R

f(x, y)− f(x′, y)dy|

≤´R

|f(x, y)− f(x′, y)|dy < ε ·´R

1dy = εV (R)

(b) Sei ϕn eine Folge von TF auf Q×R die glm. gegen f konvergiert,

also´

Q×Rf(z)dz = lim

n→∞

´Q×R

ϕn(z)dz. Fur x ∈ Q ist ϕn(x, ·) eine TF auf R

und ψn(x) :=´R

ϕn(x, y)dy eine TF auf Q.

Da ϕn auf Q×R glm. gegen f konv., so insbesondere ϕn(x, ·) glm. auf R

gegen f(x, ·) fur x ∈ Q,also ψn(x) =´R

ϕn(x, y)dy →n→∞

´R

f(x, y)dy = F1(x).

Es gilt: |F1(x)− ϕn(x)| = |´R

(ϕn(x, y)− f(x, y))dy| ≤ ‖ϕn − f‖∞V (R)

also ‖ψn − F1‖∞ ≤ ‖ϕn − f‖∞V (R) →n→∞

0

also |´Q

F1(x)dx−´Q

ψn(x)dx| ≤ ‖F1 − ψn‖∞V (Q)→ 0

Also´

Q×Rf(z)dz = lim

n

´Q×R

ϕn(z)dz = limn

´Q

(´R

ϕn(x, y)sy

)dx

= limn→∞

´Q

ψn(x)dx =´Q

F1(x)dx =´Q

(´R

f(x, y)dy

)dx

5.3 Das Integral fur stetige Funktionen auf offenen Mengen im Rd

Satz 5.13

Sei Ω ⊂ Rd offen, Ω 6= ∅. Dann ex. eine Folge kompakter Quader

Qj ∞j=1 mit paarweise disjunktem Inneren (d.h.Qi ∩

Qj = ∅, i 6= j)

Page 68: Ana II Mitschrift

68

so dass (i) Ω =∞⋃i=1

Qi

(ii) Jede kompakte Teilmenge von Ω wird bereits durch endlich

viele Quader uberdeckt.

Beweis: Sei d = 2. Setze K0 :=⋃z0 kompake Gitterzelle, z0 ⊂ Ω

Bilde das Netz 1-ter Stufe, welche aus Gitterzellen mit x = k2n

und

y = l2n, k, l ∈ Z bedeckt und setze

K1 =⋃z1 kompakt 1− ter Stufe, z1 ⊂ Ω \K0

Netz 1. Stufe besteht aus Gitterzellen mit x = k, y = l, l, k ∈ Z

So geht das weiter, ... , das Netz m-ter Stufe hat Gitterzellen

x = k2m, y = l

2m, k, l ∈ Z und es ist

Km =⋃zm kompakte Gitterzellem− ter Stufe zm ⊂ Ω \

m−1⋃i=1

Ki

Es gilt nach Konstruktion∞⋃m=0

Km ⊂ Ω. Sei nun x0 ∈ Ω. Da Ω

offen ist ex. eine Kugel B(x0, r) ⊂ Ω mit r > 0. Der Punkt x0 ist stets in

den Gitterzellen j-ter Stufe enthalten. Wahle m ∈ N so,dass√

22m

< r gilt, dann ex. eine Gitterzelle m-ter Stufe zm mit

x0 ∈ zm ⊂ B(x0, r) ⊂ Ω. Daher ist x0 ∈ K0 ∪ ... ∪Km ⊂∞⋃i=1

Ki

⇒ Ω =∞⋃i=1

Ki und die Ki bestehen aus endlich vielen oder abzahlbar

vielen kompakten Quadern.

Page 69: Ana II Mitschrift

69

(ii) d = 2 Sei K ⊂ Ω kompakt und Ω 6= R2. Wahle r := dist(K,∂Ω)2

Dann ist fur jedes x ∈ K die Kugel B(x, r) ⊂ Ω Wahle nun die Gitterzellen

m-ter Stufe mit√

22m

< r ,die nichtleeren Schnitt mit K haben.

Dies sind endlich viele, K wird durch deren Vereinigung uberdeckt,

alle Zellen liegen in Ω.

Definition 5.14

Sei Ω ⊂ Rd offen und f : Ω→ R stetig. Dann heißt f uber Ω integriebar,

falls ein M ≥ 0 existiert, so dassN∑k=1

´Qk

|f(x)|dx ≤M fur je endlich viele

kompakte Quader Qi in Ω gilt, wobeiQi ∩

Qj = ∅, i 6= j.

Ist f : Ω→ R integrierbar, dann heißt´Ω

f(x)dx :=∞∑k=1

´Qk

f(x)dx

das Integral von f uber Ω ,wobei Ω =∞⋃k=1

Qk wie in Satz 5.13.

Bemerkungen: Integral ist wohldefiniert,

-Reihe ist absolut konvergent, da die Folge der Partialsumme mon.

wachsend und beschrankt ist, also ex.´Ω

f(x)dx

- Wert des Integrals hangt nicht ab von der Zerlegung

Ω =∞⋃k=1

Qk

Eigenschaften:

(i) Linearitat: sind f, g : Ω→ R stetig und integrierbar α, β ∈ R, dann ist

auch αf + βg integrierbar, es gilt´Ω

(αf + βg)(x)dx = α´Ω

f(x)dx + β´Ω

g(x)dx

(ii) Monotonie: sind f, g : Ω→ R integrierbar uber Ω mit

f(x) ≤ g(x), x ∈ Ω, so gilt´Ω

f(x)dx ≤´Ω

g(x)dx

(iii) f : Ω→ R ist genau dann integrierbar, wenn der |f | : Ω→ R

integrierbar ist. Es gilt dann

∣∣∣∣´Ω

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ´Ω

|f(x)|dx

(iv) f : Ω→ R ist genau dann integrierbar, falls der positive Teil

Page 70: Ana II Mitschrift

70

f+(x) = 12(|f(x)|+ f(x))

und der negative Teil

f−(x) = 12(|f(x)| − f(x))

beide uber Ω integrierbar sind.

Es gilt dann´Ω

f(x)dx =´Ω

f+(x)dx−´Ω−

f−(x)dx

Satz 5.15 (Majorantenkriterium)

Sei f : Ω→ R stetig und sei g : Ω→ R integrierbar und es gilt

|f(x)| ≤ g(x), x ∈ Ω. Dann ist auch f uber Ω integrierbar.

Beweis: Da g : Ω→ R integrierbar ist existiert Mg ≥ 0, so dass

fur alle N ∈ N und alle Quader Qk, k = 1, ... , n (wobei Qn∞k=1

eine Folge von Quadern wie im Satz 5.13)N∑k=1

´Qk

|g(x)|dx ≤Mg

Nach Voraussetzung gilt |f(x)| ≤ g(x) ≤ |g(x)| und aufgrund der Monotonie

des Integrals von stetigen Funktionen auf Quadern folgtN∑k=1

´Qk

|f(x)|dx ≤N∑k=1

´Qk

|g(x)|dx ≤Mg

Korollar 5.16

Sei Ω eine beschrankte offene Menge in Rd und f : Ω→ R sei

beschrankt und stetig. Dann ist f uber Ω integrierbar.

Beweis: g(x) ≈ c mit c = supx∈Ω

f(x) ist eine integrable Majorante von f .

Es gilt tatsachlichN∑k=1

´Qk

|g(x)|dx = cN∑k=1

´Qk

1 dx = cN∑k=1

Vol(Qk) ≤ c η

Satz 5.17 (sukzessive integration)

Seien Ω0 ⊂ Rd eine offene Menge und g, h : Ω0 → Rstetig mit g(x) < h(x), x ∈ Ω0. Weiter sei

Ω := (∈Rdx ,∈Ry ) ∈ Rd+1 : g(x) < y < h(x);x ∈ Ω0 und

Page 71: Ana II Mitschrift

71

f : Ω→ R stetig. Fur alle kompakten Teilmengen K ⊂ Ω0

existiere eine Konstante c(k) mit

|f(x, y)| ≤ c(k),∀(x, y) ∈

(x, y) ∈ Rd+1 : g(x) < y < h(x) : x ∈ K

Dann sind F (x) :=h(x)´g(x)

f(x, y)dy und G(x) =h(x)´g(x)

|f(x, y)|dy

auf Ω0 stetig. Ist G : Ω0 → R integrierbar, dann ist f : Ω→ Rintegrierbar und es gilt:

´Ω

f(z)dz =´Ω

f(x, y)d(x, y) =´Ω0

h(x)´g(x)

f(x, y)dy dx =´Ω0

F (x)dx

Beweis: F : Ω0 → R ist stetig: Seien x, x′ ∈ Ω. Dann ist

F (x)− F (x′) =h(x)´g(x)

f(x, y)dy −h(x′)´g(x′)

f(x′, y)dy

=

g(x)ˆ

h(x)

(f(x, y)− f(x′, y))dy

︸ ︷︷ ︸f ur |x−x′| klein wird das Int. klein da f stetig

+

h(x)ˆ

g(x)

f(x′, y)dy −h(x′)ˆ

g(x′)

f(x′, y)dy

︸ ︷︷ ︸=

g(x′)ˆ

g(x)

f(x′, y)dy+

︸ ︷︷ ︸wird klein da g stetig

h(x)ˆ

h(x′)

f(x′, y)dy

︸ ︷︷ ︸h stetig, also klein fur x−x′ klein

⇒ F stetig also auchG.

(ii) G integrierbar uber Ω0 ⇒ f integrierbar uber Ω.

Sei N ∈ N und Q1, ... , QN ⊂ Ω komp. Quader,Qi ∩

Qj = ∅,i 6= j.

Dann gilt: Qk = Q0k × [ak, bk], mit Q0

k ⊂ Ω0 und es folgt

N∑k=1

´Qk

|f(x, y)|d(x, y) =N∑k=1

´Qk

(bk

ak

|f(x, y)|dy

)dx

≤h∑k=1

´Q0k

h(x)´g(x)

|f(x, y)|dy dx =h∑k=1

´Q0k

G(x)dx ≤MG weil G : Ω0 → R intbar.

(iii) Fall 1 Ω0 ist ein Quader.

Wahle dann a, b ∈ R mit Ω ⊂ Ω0 × [a, b] und setze f : Ω0 × [a, b]→ R

(x, y) 7→f(x, y) (x, y) ∈ Ω0 (x, y) sonst

Page 72: Ana II Mitschrift

72

Bemerkung: f i.A. nicht stetig. Dann gilt

´Ω

f(x, y)d(x, y) =´

Ω0×[a,b]

f(x, y)d(x, y) =Fubini

´Ω0

b

a

f(x, y)dy dx =´Ω0

h(x)´g(x)

f(x, y)dy dx

Fall 2 Ω0 beliebig Ω0 mit Quadern auszuschopfen, auf Fall 1 zuruckfuhren...

Definition 5.18

Eine Menge N ⊂ Rd heißt Nullmenge falls zu jedem ε > 0 abzahlbar viele

Quader Q1, Q2, ... existieren, mit N ⊂∞⋃k=1

Qk und∞∑k=1

Vol(Qk) < ε

Bemerkung: (i) Andert man eine integrierbare Funktion auf einer

Nullmenge ab, so andert sich der Wert des Integrals nicht.

z.B. f : Q→ R, Q Quader und f integrierbar, f : Q→ R mit f(x) = f(x)

∀x ∈ Q \N , wobei N ⊂ Q Nullmenge.

⇒´Q

f(x)dx =´Q

f(x)dx

(ii) ”Gute” Abbildungen bilden Nullmengen auf Nullmengen ab.

z.B. Diffiomorphismen (Lipschitzstetigkeit reicht)

5.4 Der Transformationssatz

Erinnerung: (i)g(b)´g(a)

f(y)dy =b

a

f(g(x))g′(x)dx, g′(x) 6= 0 auf (a, b)

g : (a, b)→ (g(a), g(b))

(ii) g Diffiomorphismus :⇐⇒ g bij.+ stetig diffbar, g−1 stetig diffbar

Page 73: Ana II Mitschrift

73

Satz 5.19

Seien Ω und Ω′ offene Mengen in Rd und g : Ω→ Ω′ Diffiomorphismus.

Dann ist eine stetige Fkt. f : Ω′ → R genau dann uber Ω′ = g(Ω)

integrierbar, falls f g|det g′| uber Ω integrierbar ist.

Es gilt dann´Ω′f(y)dy =

´Ω

(f g)(x)|det g′(x)|dx

Beispiel: (Polarkoordinaten)

Sei Ω = (r, ϕ), r ∈ (0, 1), ϕ ∈ (−π, π)g : Ω→ Ω′, (r, ϕ) 7→ (r cosϕ, r sinϕ)

Ω′ = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1g ist Diffiomorphismus

Es gilt: |det g′(r, ϕ)| =∣∣∣∣(cosϕ −r sinϕ

sinϕ r cosϕ

)∣∣∣∣Sei f : Ω′ → R, f(x, y) = x+ 3y Dann ist´Ω′f(x, y)d(x, y) =

´Ω

f(g(r, ϕ))|det g′(r, ϕ)|d(r, ϕ)

=´Ω

(r cosϕ+ 3r sinϕ) · r d(r, ϕ)

=1

0

π

−π(r cosϕ+ 3r sinϕ)r dϕ dr = 0

BEWEIS: Hilfssatz 1: Fur jeden kompakten Wurfel (Quader mit gleicher

Kantenlange) W ⊂ Ω gilt: Vol(g(w)) ≤ maxx∈W|det g′(x)|Vol(W )

Beweis: O.B.d.A Vol(W ) 6= 0, da sonst Vol(g(W )) = 0 (g Diffiomorphismus)

Sei α > 0 so dass Vol(g(W )) = α Vol(W ) zerlege W durch Kantenhalbierung

in 2d kompakt Teilwurfel Pi, i = 1, ... , 2d. Dann ist

2d∑i=1

Vol(g(Pi))g Diffio

= Vol(g(W )) = α2d∑i=1

Vol(Pi)

Aber so ex. ein Wurfel W1 ∈ P1, ... , P2d mit Vol(g(W1) ≥ α Vol(W1)

Zerlege W1 in gleicher Weise und wahleW2 ⊂ W1 mit

Vol(g(W2)) ≥ α Vol(W2)

Man erhalt dann eine Folge (Wk)∞k=1 von kompakten Wurfeln mit

W1 ⊃ W2 ⊃ W3 ⊃ ... und Vol(g(Wk)) ≥ α Vol(Wk)

Page 74: Ana II Mitschrift

74

Es sei α ∈∞⋂k=1

Wk und g(a) = b, o.B.d.A a = 0 = b

Sei mk der Mittelpunkt von Wk. Dann gilt

Wk =x ∈ Rd : ‖x−mk‖∞ ≤

d2k

wobei d die halbe Kantenlange

von W bezeichnet. Insbesondere ist wegen α = 0 : ‖mk‖∞ ≤d2k

Nun ist g(x) =

=0︷︸︸︷g(0) + g′(0)x+ r(x)‖x‖∞

= g′(0)(x+ (g′(0))−1r(x)‖x‖∞) = g′(0)(x+ r(x)‖x‖∞)

r(x)→ 0 fur x→ 0

Behauptung ∀ε > 0 P k = k(ε) mit

Vk = x+ ‖x‖∞r(x) : x ∈ Wk ⊂ W εk :=

z ∈ Rd : ‖z −mk‖∞ ≤

d(1+ε)2k

Beweis: Wahle k mit ‖r(x)‖∞ ≤

ε2∀x ∈ Wk. Wegen ‖x‖∞ ≤ 2 d

2k

folgt ‖x+ ‖x‖∞r(x)−mk‖ ≤ ‖x−mk‖∞ + ‖x‖∞‖r(x)‖∞ ≤d2k

+ 2 d2k· ε

2

Damit folgt dann weiter:

g(Wk) = g′(0)Vk ⊂ g′(0)W εk

und daher

: Vol(g(Wk)) ≤ Vol(g′(0)W εk )

Nun ist

Vol(g′(0)W εk ) =

∣∣∣∣∣∣det (g′(0)

(1 + ε)vk2. . .

(1 + ε)vk2

)

∣∣∣∣∣∣= (2vk)

d(1 + ε)d|det g′(0)| = Vol(Wk)(1 + ε)d|det g′(0)|⇒ Vol(g(Wk)) ≤ (1 + ε)d|det g′(0)|Vol(Wk)

Angenommen es ware α > maxx∈W|det g′(x)| > |det g′(0)|

Wahle ε > 0 so dass (1 + ε)d|det g′(0)| < α Fur den Wurfel Wk,

k = k(ε) ware dann:

Vol(g(Wk) < α Vol(Wk)

⇒ α ≤ maxx∈W|det g′(x)| und das ergibt:

Vol(g(W )) = α Vol(W ) ≤ maxx∈W|det g′(0)|Vol(W )

Page 75: Ana II Mitschrift

75

Hilfssatz 2: Sei K ⊂ Ω eine kompakte Menge, deren rand eine Nullfolge ist

und L = g(K). Dann gilt:

minx∈K|det g′(x)|Vol(K) ≤ Vol(L) ≤ max

x∈K|det g′(x)|Vol(K)

Beweis: wahle abzahlbar viele kompakte Wurfel Wk mitWk ∩

Wj = ∅ und

K =

∞⋃k=1

Wk.

Da der Rand von K eine Nullmenge ist, gilt

Vol(K) = Vol(K) =

∞∑k=1

Vol(Wk). Da g Diffiomorphismus ist, ist der Rand

von L = g(K) eine Nullmenge und es gilt:

g(Wi) ∩ g(

Wj) = g(

Wi ∩

Wj) = ∅, i 6= j

Nach Hilfssatz 1 ist

Vol(g(Wk)) ≤ maxx∈Wk

|det g′(x)|Vol(Wk) ≤ maxx∈K|det g′(x)|Vol(Wk)

und daher folgt

Vol(L) =∞∑k=1

Vol(g(Wk)) ≤ maxx∈K|det g′(x)|

∞∑k=1

Vol(Wk)

= maxx∈K|det g′(x)|Vol(K)

vertauscht man die Rollen von K und L so folgt auch K = g−1(L)

Vol(K) ≤ maxy∈L

∣∣det (g−1)′(y)∣∣Vol(L)

Da (g′(x))−1 = (g−1)′(y) fur y = g(x) [Kettenregel]

1det g′(x)

= det(g′(x))−1 = det(g−1)′(y), y = g(x)

Also folgt Vol(K) ≤ max∣∣∣ 1

det g′(x)

∣∣∣Vol(L) = 1minx∈K

|det g(x)|Vol(L)

⇒ minx∈K|det(g′(x))|Vol(K) ≤ Vol(L)

Hilfssatz 3: Der Transformationssatz gilt fur Treppenfunktionen in deren Trager Tr(h) :=x ∈ Rd : h(x) 6= 0 in Ω′ liegt.

Beweis: Aufgrund der Linearitat des Integrals reicht es aus den Hilfssatz fur

eine charakteristische Funktion eines kompakten Quaders zu zeigen.

Sei Q < Ω′ ein kompakter Quader und χQ : Rd, x 7→

1 x ∈ Q0 x /∈ Q

Die Funktion χQ g : Ω→ R verschwindet außerhalb der Menge

g−1(Q) ⊂ Ω. Da χQ g|det g′| stetig auf g−1(Q) ⊂ Ω

und damit auf g−1(Q) integrierbar und damit auch uber Ω

(da die Fkt. außerhalb von g−1(Q) Null ist)

Page 76: Ana II Mitschrift

76

Zeige noch die Formel´Q

χQ(y)dy =´

g−1(Q)

|det g′(x)|dx

Sei ε > 0 und K = g−1. Dann ist |detK ′(·)|−1 eine stetige Funktion auf

der kompakten Menge Q ⊂ Ω′ und daher gleichmaßig stetig. Also kann Q

in Q1 ∪ ... ∪Qr zerlegt werden. Qi kompakt,Qi ∩

Qj = ∅,i 6= j,

so dass fur alle 1, ... , r gibt:

maxy∈Qi

|detK ′(y)|−1 − miny∈Qi|detK ′(y)|−1 ≤ ε

In Ki := k(Qi) ⊂ Ω gilt:

maxx∈Ki|det g′(x)| < min

x∈Ki|det g′(x)| ≤ ε

Also maxx∈Ki|det g′(x)|Vol(Ki)− min

x∈Ki|det g′(x)|Vol(K) ≤ εVol(K)

und außerdem

minx∈Ki|det g′(x)|Vol(Ki) ≤

´Ki

|det g′(x)|dx ≤ maxx∈K|det g′(x)|Vol(Ki)

Daher liefer Hilfssatz 2 wegen

minx∈Ki|det g′(x)|Vol(Ki) ≤ Vol(Qi) ≤ max

x∈Ki|det g′(x)|Vol(Ki)

insgesamt: |´Ki

|det g′(x)|dx− Vol(Qi)| ≤ εVol(Ki)

⇒ Vol(Qi) =´Ki

|det g′(x)|dx Summation liefert

´Q

χQ(x)dx = Vol(Q) =r∑i=1

Vol(Qi) =r∑i=1

´Ki

|det g′(x)|dx =´

g−1(K)

|det g′(x)|dx

Hilfssatz 4: Sei f : Ω′ → R stetig und uber Ω′ integrierbar. Dann ex. zu jedem ε > 0 eineTreppenfunktion ϕ mit trager in Ω′, so dass´Ω′|f(y)− ϕ(y)|dy < ε

Beweis: UA.

Beweis von Satz 5.19:

Sei f : Ω′ → R stetig und integrierbar ist. Sei (ϕk)∞k=1 eine

Folge von Treppenfunktionen (Hilfssatz 4),so dass´Ω′f(x)dy = lim

k→∞

´Ω′ϕk(y)dy

Setze ϕk := ϕk g |det g′|. Dann ist ϕk(x)→ f(g(x))|det g′(x)|Sind Qi, i = 1, ... , N endlich viele Quader in Ω

Page 77: Ana II Mitschrift

77

N∑i=1

´Q

|f(g(x))| |det g′(x)|dx ≤ max |det g′(x)|Mf

N∑i=1

Vol(Qi)

Dann ist weiter:´Ω

(f g)(x)|det g′(x)|dx = limk→∞

´Ω

ϕk(x)dxHS 3= lim

k→∞

´Ω′ϕk(g)dy =

´Ω′f(y)dy

Kapitel 6 - Oberflachenintegrale

6.1 Hyperflachen in Rm, Tangentialebene

Definition 6.1

Sei G ⊂ Rm−1, m ≥ 2, offen und zusammenhangend und p : G→ Rm

stetig diffbar. p heißt auf G regular, falls p injektiv ist und

rang p′(u) = m− 1, u ∈ G.

Sind p : G→ Rm, q : G→ Rm regular, so heißen p und q aquivalent,

falls ein Diffiomorphismus ϕ : G→ G ex. mit p(ϕ(v)) = q(v), v ∈ G.

Bemerkungen: m = 3

• Aquivalenz von regularen Abb. erklart eine Aquivalenzrelation

Page 78: Ana II Mitschrift

78

• m = 2 : G = (a, b), Bild von p : (a, b)→ R2 ist eine Kurve,

rang p′(u) = 1, d.h. p′(u) 6= 0, u ∈ (a, b) (Kurve)

Definition 6.2

Eine Aquivalenzklasse bestehend aus regularen Abbildung p : G→ Rm

heißt offene regulare Hyperflache in Rm, F = [p].

Beispiel: (Kugeloberflache)

Sei r > 0 und p : (0, 2π)× (0, π)→ R3(ϕθ

)7→

r cos(ϕ) sin(θ)r sin(ϕ) sin(θ)

r cos(θ)

Page 79: Ana II Mitschrift

79

p′(ϕ, θ) =

−r sinϕsinθ r cosϕcosθr cosϕsinθ r sinϕcosθ

0 −sinθ

⇒ p′(ϕ, θ) = 2

Definition 6.3

Sei p : G→ Rm, G ⊂ Rm−1,m ≥ 2, offen & zshgd eine regulare Abb.,

F = [p]. Fur u ∈ G heißt

Ep(u) := span

∂x1p1(u)...

∂∂x1

pm(u)

, ... , ∂

∂xm−1p1(u)...

∂∂xm−1

pm(u)

Page 80: Ana II Mitschrift

80

Tangentialebene am Punkt p(u) ∈ F

Bemerkung: •span wird gebildet uber die Spalten von p′(u)

die Vektoren sind lin. unabh. (rang p′(u) = m− 1) und spannen

m-1 dim. UR auf.

x(t) := p(u1, ... , uk + t, ... , um−1), t ∈ (−ε, ε)

x(0) = ∂∂tp(u1, ... , uk + t, ... , um−1)|t=0 =

∂∂xk

p1(u)...

∂∂xk

pm(u)

Wunsch: Normalenvektor auf F bestimmen!

Erganze dazu p′(u) : Rm−1 → Rm zu einer m×m Matrix mit

der letzten Spalte = j-te Spalte:

2 gl. Spalten

0 = det

∂p1∂x1

(u) · · · ∂p1∂xm−1

(u) ∂p1∂xj

(u)...

......

∂pm

∂x1(u) · · · ∂pm

∂xm−1(u) ∂pm

∂xj(u)

=m∑k=1

∂pk∂xj

(u)(−1)det Sk(u)

Wobei Sk(u) =

∂p1∂x1

(u) · · · ∂p1∂xm−1

(u)...

...∂pm

∂x1(u) · · · ∂pm

∂xm−1(u)

” = ”p′(u) ohne k-te Zeile

Also insgesamt

0 =m∑k=1

∂pk∂xj

(u)(−1)m+kdet Sk(u), j ∈ 1, ... ,m− 1

Definition 6.4

F sei regulare Flache mit p : G→ Rm regular. Setze

Bk(u) := (−1)m+kdet Sk(u),k = 1, ... ,m

Dann heißt N(p(u)) :=

B1(u)...

Bm(u)

∈ Rm Normalenvektor auf die

Tangentialebene Ep(u) am Punkt p(u) ∈ F .

Bemerkung: Es gilt fur

∂p1∂xj

(u)...

∂pm

∂xj(u)

∈ Ep(u), j ∈ 1, ... ,m− 1 :

Page 81: Ana II Mitschrift

81

⟨∂p1∂xj

(u)...

∂pm

∂xj(u)

,

B1(u)...

Bm(u)

⟩ =m∑k=1

∂pk∂xj

(u)Bk(m) =m∑k=1

∂pk∂xj

(u)(−1)m+kdet Sk(u)

= 0, j ∈ 1, ... ,m− 1.

•m = 3

N(p(u)) =

(B1(u)B2(u)B3(u)

)=

(det S1(u)−det S2(u)det S3(u)

)=

(∂1p2∂2p3 − ∂1p3∂2p2

−∂1p1∂2p3 + ∂1p3∂2p1

∂1p1∂2p2 − ∂1p2∂2p1

)

=

(∂1p1

∂1p2

∂1p3

(∂2p1

∂2p2

∂2p3

)

p′(x1, x2) =

(∂1p1 ∂2p1

∂1p2 ∂2p2

∂1p3 ∂2p3

)

6.2 Flacheninhalt - Integrale uber Flachen

Motivation:

|p(Ri)| ≈∣∣∣(p(u(i)

1 + h, u(i)2 )− p(u(i)

1 , u(i)2 ))×(p(u

(i)1 , u

(i)2 + k)− p(u(i)

1 , u(i)2 )∣∣∣

≈∣∣∣∣p′(u(i)

1 , u(i)2 )

(h0

)× p′(u(i)

1 , u(i)2 )

(0k

)∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣ ∂

∂u1p1(u(i)

1 , u(i)2 )

...∂∂u1

p3(u(i)1 , u

(i)2 )

× ∂

∂u2p1(u(i)

1 , u(i)2 )

...∂∂u2

p3(u(i)1 , u

(i)2 )

| |h · k| = |R|=∣∣∣N(p(u

(i)1 , u

(i)2 )∣∣∣ |Ri|

⇒ |F | =∑|p(R)| =

∑∣∣∣N(p(u(i)1 , u

(i)2

∣∣∣ |R|Verfeinerung fuhrt zu: |F | =

´R

|N(p(u))|du

Page 82: Ana II Mitschrift

82

Regulare Darstellungen sind oft nicht allgemein genug(Kugeloberflache!)

Definition 6.5

Sei M ⊂ Rm−1 kompakt und ∂M Nullmenge,M sei zusammenhangend

und p : M → Rm sei stetig diffbar. Dann heißt p quasiregular, falls

p M

regular ist(siehe Def 6.1).

Bemerkung Auch hier Aquivalenzklassen(quasiregulare Hyperflachenstucke)

erklart werden: p : M1 → Rm, p : M2 → Rm quasiregular heißen

aquivalent, falls: ∃NullmengenN1, N2 : N1 ⊂M1, N2 ⊂M2 und Abb.:

h : M1 →M2,k : M2 →M1 stetig diffbar.

(i) h M1\N1 injektiv und det h′ 6= 0 auf M1 \N1

(ii) k M2\N2 injektiv und det k′ 6= 0 auf M2 \N2

(iii)(h M1\N1

)−1= k M2\N2

(iv) h(M1) = M2 und k(M2) = M1

(v) p(k(v) = p(v) und p(h(u)) = p(u) ∀v ∈M2, u ∈M1

Page 83: Ana II Mitschrift

83

Definition 6.6

Sei F ein quasiregulares Hyperflachenstuck in Rm, p : M → Rm

zugehorige Darstellung, und Bi(u) := (−1)m+idet Si(u), wobei

Si(u)” = ”p′(u) ohne i-te Zeile. Dann ist der Flacheninhalt

|F | von F definiert durch

|F | :=´F

do :=´M

√B2

1(u) + ...+B2m(u) du

Bemerkung: |F | unabhangig in der Wahl der Quasiregularen Darstellung!

Angenommen p : M → Rm sei eine weitere (zu p aquivalente) quasireg.

Darstellung von F . Sj seien die entsprechendne ”Streichmatrizen”,

Bj = (−1)m+jdet Sj. Wegen p′(u) = (p h)′(u) = p′(h(u)) · h′(u) gilt

Bi(u) = (−1)m+idet Si(u) = (−1)m+idet[Si(h(u)) · h′(u)

]= Bi(h(u))det h′(u) und daher

´M

√∑B2i (v) dv :=

´h(M)

√∑B2i (v)dv

Satz 5.19(!)=

´M

√∑ ˜B2i (h(u))|det h′(u)| du

=´M

√m∑i=1

B2i (u) du

Beispiel: (Kugeloberflache), r > 0 fest.

p : [0, 2π]× [0, π]→ R3(ϕθ

)7→

r cosϕsinθr sinϕcosθr sinθ

Hoffnung: |F | = 4πr2

1. p ist quasiregulare Darstellung der Kugeloberflache

2. Normalenvektor:−r cosϕsinθr sinϕcosθr sinθ

×r cosϕsinθr sinϕcosθ−r sinθ

=

∣∣∣∣∣∣ −r2cosϕsin2θ

−r2sinϕsin2θ−r2sinϕcosθ − r2cos2ϕsinθcosθ

∣∣∣∣∣∣= r4

(cos2ϕ+ sin2ϕ

)sin4θ + r4sin2θcos2θ

= r2√

sin2θ(sin2θ + cos2θ

)= r2sinθ

Also ist´[0,2π]×[0,π]

r2sinθ d(ϕ, θ) = r2π

0

0

sinθ dϕdθ

= r22ππ

0

sinθdθ = r22π2 = 4πr2

Page 84: Ana II Mitschrift

84

Definition 6.7

Sei F ⊂ Rm quasiregulares Hyperflachenstuck p : M → Rm

quasireg. Darstellung und f : F → R stetig. Dann heißt´F

f(x)do :=´M

f(p(u))√B2

1(u) + ...+B2m(u)du

Oberflachenintegral von f uber F .

Beispiel: Sei 0 < r < R und f : x ∈ Rm : r ≤ ‖x‖ ≤ R → R stetig.

Dann gilt:´

r≤‖x‖≤Rf(x)dx =

R

r

´‖x‖=s

f(x)dods

6.3 Orientierte Flachen, Fluss von Vektorfeldern

Sei F ⊂ R3Flachenstuck und g : R3 → R3 ein Vektorfeld, p :⊂R2

R → R3

Darstellung von F mit Normalenvektor(normiert!)

n(p(u)) =

B1(u)B2(u)B3(u)

‖·‖ =

∂1p1

∂1p2

∂1p3

(u)×

∂2p1

∂2p2

∂2p3

(u)

‖·‖⟨g(p(u

(i)1 , u

(i)2 )),

(p(u

(i)1 + h, u

(i)2 )− p(u(i)

1 , u(i)2 ))

≈p′(u(i)1 ,u

(i)2 )

h0

×(p(u

(i)1 , u

(i)2 + k)− p(u(i)

1 , u(i)2 ))

≈p′(u(i)1 ,u

(i)2 )

0k

⟨g(p(u

(i)1 , u

(i)2 ) ,

(∂1p1

∂1p2

∂1p2

)(u

(i)1 , u

(i)2 )×

(∂2p1

∂2p2

∂2p3

)(u

(i)1 , u

(i)2 )

⟩|h · k| = |Ri|

=⟨g(p(u

(i)1 , u

(i)2 ) ), n(p(u

(i)1 , u

(i)2 ))

⟩|Ri|

Summen bilden R kleiner werden lassen

”´F

〈g(x), n(x)〉do” Fluss des Feldes g durch F .

Problem: Normalenvektor kann nach ”innen” oder nach ”außen” zeigen.

Definition 6.8

Es sei F ein quasiregulares Hyperflachenstuck. p : M → Rm eine

Darstellung von F . Dann heißt F orientierbar falls es ein

stetiges Normalenfeld n(·) auf

p(u) : u ∈

M

⊂ F gibt.

Page 85: Ana II Mitschrift

85

Standardbeispiel fur nicht orientierbare Hyperflache:

Mobiusband:

http://www.scienceblogs.de/mathlog/Moebiusband wikipedia.png

Definition 6.9

Sei F ein orientierbares quasiregulares Hyperflachenstuck mit normiertem

Normalenfeld n(·) und quasiregularer Darstellung p : M → Rm,

M ⊂ Rm−1 kompakt. Sei Ω offene Menge im Rm mit F ⊂ Ω und

g : Ω→ R ein Vektorfeld. Dann heißt´F

〈g(x), n(x)〉do =´M

〈g(p(u)), n(p(u))〉√B2

1(u) + ...+B2n(u)du

der Fluss des Feldes g durch das Flachenstuck F .

Achtung: Vorzeichen hangt von p bzw. der Wahl des Normalenfeldes ab.

Man misst den Fluss ”rein” oder ”raus”.

Page 86: Ana II Mitschrift

86

Kapitel 7 Integralsatze

7.1 Divergenz und der Satz von Gauß

Es seix ∈ R3, h > 0 und Qn(

x) =

x ∈ R3 : |xi −

xi| ≤ h, i = 1, 2, 3

ein Wurfel mit Mittelpunkt

x und Kantenlange 2h. Der Rand ∂Qn(

x)

ist die vereinigung von 6 quasiregularen Flachenstucken mit nach Außen

weisenden Normalenvektoren.

F(1)± : M1 =

(x1, x2) ∈ R2 : |x1 −

xi| ≤ h, i = 1, 2

→ R3

(x1

x2

)7→

x1

x2x3±h

, n(1)± (x) =

00±1

F

(2)± : M2 =

(x2, x3) ∈ R2 : |x1 −

xi| ≤ h, i = 2, 3

→ R3

(x2

x3

)7→

x1±hx2

x3

, n(2)± (x) =

±100

F

(3)± : M3 =

(x1, x3) ∈ R2 : |x1 −

xi| ≤ h, i = 1, 3

→ R3

(x1

x3

)7→

x1x2±hx3

, n(3)± (x) =

0±10

Nun sei g ein Vektorfeld im R3. Dann ist der Fluss von g durch

∂Qh(x) gegeben durch:

Page 87: Ana II Mitschrift

87

´∂Qh(

x)

〈g(x), n(x)〉do =3∑i=1

´F

(i)+

⟨g(x), n

(i)+ (x)

⟩do +

´F

(i)−

⟨g(x), h

(i)− (x)

⟩do

=´M1

< g(x1, x2,x3 + h,

(001

)>√

0 + 0 + 1d(x1, x2) +´M1

< g(x1, x2,x3 − h),

00−1

>d(x1, x2) +´M2

+´M2

+´M3

+´M3

=´M1

(g3(x1, x2,x3 + h)− g3(x1, x2,

x3 − h)d(x1, x2) +

´M2

...+´M3

... (I)

Nun ist aber

g3(x1, x2, x3 ± h) = g3(x1,

x2,

x3) + g

′3(x1,

x2,

x3)

(x1 −

x1

x2 −x2

x3 −x3

)+ r(x)

∥∥∥∥∥(x1 −

x1

x2 −x2

±h

)∥∥∥∥∥(I) =

´M1

(2h ∂

∂x3g3(

x1,

x2,

x3) + o(h)

)d(x1, x2) + ...

=(

2h ∂∂x3g3(

x1,

x2,

x3) + o(h)

)(2h)2 + ...

=(

∂∂x3g3(

x1,

x2,

x3) + o(h)

2h

)Vol(Qh(

x)) + ...

=(

∂∂x1

g1(x1,

x2,

x3) + ∂

∂x2g2(

x1,

x2,

x3) + ∂

∂x3g3(

x1,

x2,

x3))

Vol(Qh(x)) + 3o(h)

2h Vol(Qh(x))

⇒ limh→0

´∂Qh(

x)

〈g(x),n(x)〉do

Vol(Qh(x)

=3∑i=1

∂∂xigi(x)

Fluss von g durch ∂Qh(x)) ist proportional zu

3∑i=1

∂∂xigi(x)

Definition 7.1

Sei G ⊂ Rm,m > 1, offen und zusammenhangend und g : G→ Rm

stetig differenzierbar. Dann heißt

div(g) : G→ R,x 7→m∑i=1

∂∂xigi(x)

Divergenz(Quellendichte) des Vektorfeldes g.

Bemerkung: ist div(g(x)) > 0, ”so fließt aus x das Feld raus”(Quelle)

Ist div(g(x)) < 0, ”so fließt das Feld in x rein”(Senke)

Page 88: Ana II Mitschrift

88

Satz 7.2 (Satz von Gauß fur Wurfel)

Es sei Q ein Wurfel im R3(mit nach außen weisendem Normalenfeld)

und g : R3 ⊃ Ω→ R3 stetig diffbar, Q ⊂ Ω. Dann gilt:

´∂Q

〈g(s), n(s)〉do =´Q

div(g(x))dx

div(g(x)) = ∂∂x1g1(x) + ∂

∂x2g2(x) + ∂

∂x3g3(x)

Ω→ R

Beweis: Seix der Mittelpunkt des Wurfels Q mit Kantenlange 2h, h > 0,

d.h. Q =x ∈ R3 : |xi −

xi| ≤ h, i = 1, 2, 3

Setze dann

F(1)± : M1 = (x1, x2) ∈ R2 : |xi −

xi| ≤ h, i = 1, 2(

x1

x2

)7→

(x1

x2x3 ± h

), u

(i)± (x) =

00±1

F

(2)± : M2 = (x2, x3) ∈ R2 : |xi −

xi| ≤ h, i = 2, 3 → R3(

x2

x3

)7→

( x1 ± hx2

x3

), n

(2)± (x) =

±100

F

(3)± : M3 =

(x1, x3) ∈ R2 : |x1 −

xi| ≤ h, i = 1, 3

→ R3

(x1

x3

)7→

x1x2±hx3

, n(3)± (x) =

0±10

´Q

∂∂x1g1(x)dx

Fubini=´M2

x1+h´

x1−h

∂∂x1g1(x1, x2, x3)dx1

d(x2, x3)

Hauptsatz 1−dim.=

´M2

(g1(

x1 + h, x2, x3)− g1(

x1 − h.x2, x3)

)d(x2, x3)

=´M2

< g1(x1 + h, x2, x3),

100

>√

1 + 0 + 0d(x2, x3) +´M2

< g1(x1 − h.x2, x3) ,

−100

>√

(−1)2 + 0 + 0d(x2, x3)

=´F

(2)+

⟨g(x), n

(2)+ (x)

⟩do

Page 89: Ana II Mitschrift

89

Analog zeigt man:´Q

∂∂x2g2(x)dx = ... =

´F

(3)+

⟨g(x), n

(3)+ (x)

⟩do +

´F

(3)−

⟨g(x), n

(3)− (x)

⟩do

´Q

∂∂x3g3(x)dx = ... =

´F

(1)+

⟨g(x), n

(1)+ (x)

⟩do +

´F

(1)−

⟨g(x), n

(1)− (x)

⟩do

Summieren:´Q

div(g(x))dx =3∑i=1

´F

(i)+

⟨g(x), n

(i)+ (x)

⟩do +

´F

(i)−

⟨g(x), n

(i)− (x)

⟩do

=´∂Q

〈g(x), n(x)〉do

Wurfel sind leider zu speziell

Definition 7.3

Sei m ≥ 2 und G ⊂ Rm beschrankt, offen und zusammenhangend.

Dann heißt G zulassiges Gebiet, falls ∂G sich aus endlich vielen

orientierten, quasiregularen Hyperflachenstucken, dessen Normalenfelder

ins Außere von G weisen, zusammensetzt.

D.h. ∃N ∈ N, p(j) : Mj → Rm,Mj ⊂ Rm−1, quasiregular, j = 1, ... , N ,

so dass mit Sj :=p(j)(u) : u ∈Mj

gilt: ∂G =

N⋃j=1

Sj,Sj ∩

Sk, k 6= j und

∀x ∈Sj∃ε > 0 : x+ tn(j)(x) /∈ G,t ∈ (0, ε)

Page 90: Ana II Mitschrift

90

Bemerkung: Fur ein zulassiges Gebiet setzt man

´∂G

(g(x), n(x))do =N∑j=1

´Sj

(g(x), n(j)(x))do

Satz 7.4 (Satz von Gauß)

Sei m ≥ 2, G ⊂ Rm ein zulassiges Gebiet und g : G→ R stetig diffbar.

Dann gilt:´∂G

〈g(x), n(x)〉do =´G

div(g(x))dx

Bemerkung:

(1) Der Fluß des Feldes durch den nach außen orientierten Rand

von G ist gleich dem Integral der Divergenz des Feldes uber g.

(2) m = 1 Dann ist formal G = (a, b), ∂G = a, b. g : [a, b]→ R

stetig diffbar.b

a

g′(x)dx =´G

div(g(x))dx =´∂G

〈g(x), n(x)〉do = g(b)− g(a)

In diesem Sinne ist der Satz von Gauß das multidimensionale Substitut

des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung(Ana 1).

Beweis Satz 7.4:

Hilfssatz 1: Sei G ⊂ Rn beschranktes Gebiet(offen uns zshgd.) und

g : G→ Rm stetig diffbar mit supp(g) ⊂ G.

Page 91: Ana II Mitschrift

91

(supp(g) = x ∈ G : g(x) 6= 0

)Dann gilt :

´G

div(g(x))dx = 0

Beweis HS1: Sei a > 0 so dass G ⊂ Qx ∈ Rm : |xj| < a, J = 1, ... ,mund setze g auf ganz Q durch 0 fort, dann ist g : Q→ Rm stetig diffbar.

Es gilt:´G

div(g(x))dx =´Q

div(g(x))dx =m∑j=1

´Q

∂∂xjgj(x)dx

=m∑j=1

´|xj |<a,k=1,... ,m,k 6=j

(a

−a

∂∂xjgj(x1, ... , xj, ... , xm)dxj

)d(x1, ... , xj−1, xj+1, ... , xm)

=m∑j=1

´|xj |<a,k=1,... ,m,k 6=j

(gj(x1, ... , xj−1, a, xj+1, ... , xm)− gj(x1, ... , xj−1,−a, xj+1, ... , xm))d(x1, ... , xm)

= 0, da (x1, ... , xj−1,±a, xj+1, ... , xm) /∈ supp(g)

Hilfssatz 2:

G ⊂ Rm zulassiges Gebiet, p(i) : Mi → Rm,Mi ⊂ Rm−1, Si = p(i)(Mi),

∂G =N⋃i=1

Si und x0 =(x1, ... ,

xm

)∈

N⋃i=1

Si.Dann ex. ρ > 0 so dass fur

g : G→ Rm stetig diffbar mit g(x) = 0 fur ‖x− x0‖ ≥ ρ, x ∈ G gilt:´G

div(g(x))dx =´∂G

〈g(s), n(s)〉do

Beweis HS2: DaSj lokal Graph einer stetig diffbaren Funktion h

ist existieren γ > 0, δ > 0 und

W ′ =x′ = (xi, ... , xm−1) ∈ Rm−1, |xj −

xj| < γ, j = 1, ... ,m− 1

Q = x = (x′, xm) ∈ Rm : x′ ∈ W ′, |xm −

xm| < δ

und h : W ′ → R stetig diffbar mit

Q ∩ ∂G = x = (x′, xm) ∈ Rm : x′ ∈ W ′, xm = h(x′) und

Q ∩G = x = (x′, xm) ∈ Q : xm < h(x′)

Page 92: Ana II Mitschrift

92

Seo ρ > 0 mit ρ < minγ, δ, d.h. Bρ(x0) ⊂ Q.

Sei g : G→ Rm stetig diffbar mit g(x) = 0 fur ‖x− x0‖ ≥ ρ.

Dann gilt´G

div(g(x))dx =´G∩Q

div(g(x))dx

Sei nun fur x′ ∈ W ′, xm ∈ R.y = (y1, ... , ym) = φ(x1, ... , xm) := (x1, ... , xm−1, h(x′)− xm),

x′ = (x1, ... , xm−1). Da∣∣∣h(x′)−

xm

∣∣∣ < δ, x′ ∈ W ′, folgt

φ(Q ∩G) ⊂y = (y′, ym) ∈ Rm, y′ ∈ W ′, 0 ≤ ym ≤ 2δ

=: P

Die Umkehrabb. von φ ist:

x = ψ(y) = ψ(y1, ... , ym) := (y1, ... , ym−1, h(y′)− ym)

Es gilt Q ∩G ⊂ ψ(P ), das Vektorfeld g ist identisch Null auf

ψ(P ) \Bρ(x). Es gilt fur

g : ψ(P )→ Rm : g(ψ(y)) = 0, y ∈ ∂P \ y ∈ P : ym = 0

Page 93: Ana II Mitschrift

93

Betrachte div(g(x)) = div(g(ψ(y)), x = ψ(y). Sei dann g(y) := g(ψ(y)), y ∈ P .

Dann ist g(x) = g(ψ(y)) = g(y) = g(φ(x)) = g(x1, ... , xm−1, h(x′)− xm),

(x′, xm) ∈ ψ(P ).

Um ∂∂xjgj(x) = ∂

∂xj(g φ)j(x) zu berechnen, beachte dass

g(φ(x))′ = g′(φ(x)) · φ′(x) = g′(φ(x))1 0 · · · 0 00 1 0 · · · 0...

. . .. . .

. . ....

0 0 1 0∂∂x1

h(x′) · · · · · · ∂∂xm−1

h(x′) −1

∂‖xj gj(x) = ∂

∂xj(g φ)j(x) =

(∂∂xjgj

)(φ(x)) +

(∂

∂xmgj

)(φ(x)) ∂

∂xjh(x′),

und ∂∂xm

gm(x) = ∂∂xm

(g φ)m(x) = −(

∂∂xm

gm

)(φ(x)), x = (x′, xm) ∈ ψ(P ).

Also:(

∂∂xjgj

)(ψ(y)) =

(∂∂xjgj

)(y) +

(∂

∂xmgj

)(y) ∂

∂xjh(y′)(

∂∂xm

gm

)(ψ(y)) = − ∂

∂xmgm(y)

Dann liefert der Trafosatz´G

div(g(x))dx =´G∩Q

div(g(x))dx =´ψ(P )

div(g(x))dx

TS=´P

div(g(ψ(y)) |detψ′(y)|dy =m−1∑j=1

´P

∂∂xjgj(y) + ∂

∂xjh(y′)dy −

´P

∂∂xm

gm(y)dy

= ...

´P

∂∂xjgj(y)dy =

´...

(ˆ∂

∂xjgj(y1, ... , yj, ... ym)dyj

)︸ ︷︷ ︸

gj(y1, ... , yj−1,xj − γ, yj+1, ... , ym)︸ ︷︷ ︸−gj(... , xj + γ, ...)︸ ︷︷ ︸

=0 ♥ =0

d(y1, ... , ym), yj nicht dabei

♥ ⇐⇒ g(ψ(y)) = 0, y ∈ ∂P \ y ∈ P : ym = 0´P

∂∂xm

gj(y) ∂∂xjh(y′)dy =

´W ′

∂∂xjh(y′)

(2δ

0

∂∂xm

gj(y)dym

)dy′

=´W ′

∂∂xjh(y′)

(gj(y

′, 2δ)=0 wegen ♥

− gj(y′, 0)

)dy′

und analog

Page 94: Ana II Mitschrift

94

´P

∂∂xm

gm(y)dy = −´W ′gm(y′, 0)dy′

y′=x′= −

´W ′

m−1∑j=1

gj(ψ(x′, 0)︸ ︷︷ ︸(x′,h(x′))

) ∂∂xjh(x′)− gm(ψ(x′, 0)︸ ︷︷ ︸

(x′,h(x′))

)

dx′

=´W ′

⟨g(x′, h(x′)),

− ∂∂x1

h(x′)...

− ∂∂xm−1

h(x′)1

dx′

Q∩∂G(g(x), n(x))do

Der Normalenvektor auf ∂G in einer Umgebung von x0 ist durch− ∂∂x1

h(x′)...

− ∂∂xm−1

h(x′)1

‖.‖

Bemerkung: Parametrisierung:

(x1, ... , xm−1) 7→ (x1, ... , xm−1, h(x′))

p′ =

1

. . .

1∂1h(x′) · · · ∂m−1h(x′)

Hilfssatz 3: (Zerlegung der Eins)

Sei K ⊂ Rm kompakt und⋃j∈JVj offen Uberdeckung von K.

Dann ex. n ∈ N,j1, ... , jn ∈ J, φk ∈ C∞0 (Rm) mit

C∞0 (Rm) := f : Rm → R,∞−mal stetig diffbar, supp(f) kompakt

(i)n⋃k=1

Vjk ⊃ K

(ii) suppφk ⊃ Vjk(iii) 0 ≤ φk(x) ≤ 1, x ∈ K

(iv)n∑k=1

φk(x) = 1 = 1,∀x ∈ K(und sogar offener Ub vonK)

Hilfssatz 4: Seien ∂Si = p(i)(∂Mi) und K =N⋃i=1

∂Si due

Page 95: Ana II Mitschrift

95

Kantenmenge von G. Sei V ⊂ Rm offen, K ⊂ V und g : G→ Rm

ein Vektorfeld mit g(x) = 0, x ∈ V . Dann gilt´G

div(g(x))dx =´∂G

〈g(x), n(x)〉do

Beweis:

Sei x ∈N⋃i=1

Si und betrachteMx :=

δ ∈ (0, 1

2dist(x,K)) : Satz von Gau ß gilt f ur g : G→ Rm mit g(y) = 0 f ur ‖y − x‖ ≥ δ

Aus Hilfssatz 2 folgt: Mx 6= φ. Sei δ(x) = 12supMx so dass insbesondere

δ(x) ∈Mx, x ∈N⋃i=1

Si

Fur x ∈ G setze δ(x) := 12dist(x, ∂G). Dann ist

⋃x∈G\V

Bδ(x)(x) ⊃ G \ V .

Zerlegung der Eins auf diese Uberdeckung anwenden liefert:

∃n ∈ N, x1, ... , xn ∈ G \ V und φk ∈ C∞0 (Rm) mit G \ V ⊂n⋃k=1

Bδ(xk)(xk)

supp φk ⊂ Bδ(xk)(xk).n∑k=1

φk(x) = 1, x ∈ G \ V

Sei dann g : G→ Rm stetig diffbar mit g(x) = 0,x ∈ V .

Dann gilt g(x) =

(n∑k=1

φk(x)

)g(x) =

n∑k=1

(φk · g)x, x ∈ G \ V

Es gilt: (i) Fur xk ∈ G gilt φkg erfullt die Voraussetzung aus HS 1.

(ii) Fur xk ∈ ∂G gilt ———————”——————————-HS 2.

Daher gilt

ˆ

G

div(g(x))dx

︸ ︷︷ ︸=´

G\Vdiv(g(x))dx

=´G

div(n∑k=1

(φkg)(x))dx =n∑k=1

´G

div(φkg)(x)dx

=n∑k=1

´∂G

〈(φkg)(x), n(x)〉do =´∂G

〈g(x), n(x)〉do

Beweis des Satzes von Gauß:

Da die Kantenmenge K =N⋃i=1

∂Si =N⋃i=1

p(i)(∂Mi) eine Nullmenge im

Rm ist, ex. zu ε > 0, x1, ... , xn ∈ K, ρ1, ... , ρn > 0, so dass

K ⊂n⋃i=1

Bρi(xi) undn∑j=1

ρm−1j < ε 4

Page 96: Ana II Mitschrift

96

Wahle φ ∈ C∞(Rm) mit 0 ≤ φ(x) ≤ 1, x ∈ Rm und

φ(x) =

0 fur ‖x‖ ≤ 11 fur ‖x‖ ≥ 2

und setze ψε(x) :=n∏j=1

φ(x−xjρj

)

Dann ist ψε =

0 x ∈

n⋃j=1

Bρj(xj)

1 x ∈ Rm \n⋃j=1

B2ρj(xj)

und es gilt ψε(x)→ 1, ε→ 0 fur alle x ∈ G \K.

Sei Vε :=n⋃j=1

Bρj(xj). Dann ist Vε offen, K ⊂ Vε und

gε := ψε · g erfullt die Voraussetzung von Hilfssatz 4.

⇒´G

div (gε(x))dx =´∂G

〈gε(x), n(x)〉 do

↓ Wunschε→0

↓´G

div(g(x))dx´∂G

〈g(x), n(x)〉do

div(gε(x)) = div(ψεg)(x) =n∑j=1

∂∂xj

(ψεg)j(x) =n∑j=1

∂∂xj

(ψεgj)(x)

=n∑j=1

(ψε(x) ∂

∂xjgj(x) + gj(x) ∂

∂xjψε(x)

)

= ψε(x)div(g(x)) +

⟨g(x),

∂∂x1

ψε(x)...

∂∂xj

ψε(x)

Da ∂∂xiψε(x) = ∂

∂xi

n∏j=1

φ(x−xjρj

)= ∂

∂xiφ(x−xjρj

) n∏j=2

φ(x−xjρj

)Terme vonProduktregel

+...

=n∑k=1

∂∂xiφ(x−xkρk

) n∏j=1j 6=k

φ(x−xjρj

)=(

∂∂xiφ)(

x−xkρk

)1ρk

und wegen ∂∂xiφ(x) = 0, ‖x‖ fest ∂

∂xiψε(x) = 0, ‖x− xk‖ > 2ρk

Daher ist dann:∥∥∥∥∥∥´G⟨g(x),

∂∂x1

ψε(x)...

∂∂xj

ψε(x)

⟩dx‖ ≤´G

⟨‖g(x)‖,

∥∥∥∥∥∥ ∂

∂x1ψε(x)...

∂∂xj

ψε(x)

∥∥∥∥∥∥⟩

dx

≤ supx∈G‖g(x)‖

´‖x−xk‖≤2ρk

n∑k=1

1ρk

∥∥∥∥∥∥∥∥∂1φ(x−xk

ρk

)...

∂nφ(x−xk

ρk

)‖ · 1 dx

Page 97: Ana II Mitschrift

97

≤ supx∈G‖g(x)‖ sup

‖y‖≤2

grad(φ(y))n∑k=1

ˆ

‖xk−xk‖≤2ρk

1

ρkdx

︸ ︷︷ ︸=ckρ

m−1k

Wegen 4≤ cε

⇒´G

div(g(x))dx =´G

limε→0

ψε(x)div(g(x))dx = limε→0

´G

ψε(x)div(g(x))dx

= limε→0

´G

div(gε(x))dx−´G

⟨g(x),

∂1ψε(x)...

∂nψε(x)

⟩ dx

= lim

ε→0

´G

div(gε(x))dx

=HS 4

limε→0

´∂G

〈gε(x), n(x)〉do

= limε→0

´∂G

〈(ψεg)(x), n(x)〉do =´∂G

〈g(x), n(x)〉do

7.2 Stokescher Satz im R2 und R3

Sei g ein Vektorfeld im R2 und C sei eine regulare Kurve mit

Parametrisierung α : [a, b]→ R2. Dann ist das vektorielle Kurvenintegral

´C

g · dx =b

a

⟨g(α(t)),

·α(t)

⟩dt und die Rotation von g sei erklart durch

(rot(g))(x) := ∂∂x1g2(x)− ∂

∂x2g1(x) (vgl. Def 4.11)

(Maß fur die Wirbeldiche von g)

Satz 7.5(Satz von Stokes im R2)

Sei g ein zulassiges gebiet im R2 und g : G→ R2 stetig diffbar.

Dann gilt:´G

rot(g(x))dx =´∂G

g · dx

(Durchlaufsinn von ∂G mathematisch positiv)

Beweis: ∂G setzt sich zusammen aus endlich vielen regularen Kurven cj

mit Parametrisierung α(j) : [aj, bj]→ R2.

Dann ist n(j)(α(j)(t)) :=

˙

α(j)2 (t)

− ˙α

(j)1 (t)

‖−−−‖ , j = 1, ... , N

Page 98: Ana II Mitschrift

98

(Damit das Gebiet ”links” liegt)

Mit g(x) =

(g2(x)−g1(x)

)folgt dann:

´G

rot g(x)dx =´G

∂∂x1g2(x)− ∂

∂x2g1(x)dx =

´G

div g(x)dx

=´∂G

〈g(x), n(x)〉do =N∑j=1

´cj

⟨g(x), n(j)(x)

⟩do

=N∑j=1

bj

aj

⟨g(α(j)(t)), n(j)(α(j)(t))

⟩∥∥∥ ˙α(j)(t)∥∥∥dt

=N∑j=1

bj

aj

⟨(g2(α(j)(t))−g1(α(j)(t))

),

α(j)2 (t)˙

α(j)1 (t)

)⟩dt

=N∑j=1

´cj

g · dx =´∂G

g · dx

Ein orientiertes quasiregulares Flachenstuck in R3 heißt zulassig,

falls ein zulassiges Gebiet M ⊂ R2 existiert, M := M und quasiregularer

Darstellung p : M → R3 mit p(M) = F

Es sei ∂M der orientierte Rand von M (so dass M links liegt),

∂M =n⋃j=1

Kj regulare Kurven mit regularer Darstellung α(j).

Dann ist t 7→ p(α(j)(t)) Kurve in R3 und p(K1) ∪ ... ∪ p(Kn) =: ∂F

∂F heißt orientierter Rand von F .

Beispiel: M := (0, π)× (0, 2π)(θϕ

)7→

r cosϕcosθr sinϕsinθr cosθ

Satz 7.6 (Satz von Stokes im R3)

Es sei F ein zlassiges orientiertes Flachenstuck im R3 mit Normalenfeld

n(.),Ω ⊂ R3 sei ein Gebiet mit F ⊂ Ω und g : Ω→ R3 strtig diffbar.

Dann gilt´F

〈(rot(g))(x), n(x)〉do =´∂F

g · dx

Page 99: Ana II Mitschrift

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Korollar 7.7

Sind F und F zulassige Flachenstucke mit ∂F = ∂F so gilt:´F

〈(rot(g))(x), n(x)〉do =´F

〈(rot(g))(x), n(x)〉do