Analysis 3 - FAU

Analysis 3

Hermann Schulz-Baldes, Dept. Mathematik

Vertretung: Andreas Knauf, Raum 02.321, [email protected]

Assistenz: Daniel Oeh, Dept. Mathematik

Vorlesung, Wintersemester 2017

Analysis 3 0. 1 / 371

Termine

Vorlesungstermine

Mo 10:15 – 12:00 Uhr Raum: H12 Schulz-Baldes, Knauf

Fr 12:15 – 14:00 Uhr Raum: H12 Schulz-Baldes, Knauf

Ubungstermine

Großubung Di 16:15 –18:00 Raum: H12 Oeh

Gruppe 1 Mo 12:15 – 13:45 Raum: U2 Cauerstr. 11

Gruppe 2 Di 10:15 – 11:45 Raum: U2 Cauerstr. 11

Gruppe 3 Do 12:15 – 13:45 Raum: U2 Cauerstr. 11

Gruppe 4 Fr 10:15 – 11:45 Raum: U2 Cauerstr. 11

Analysis 3 0. 2 / 371

RegelnAnmeldung

Melden Sie sich in Studon zu Veranstaltung und Ubungen anBeachten Sie Anmeldefristen fur Klausur

UbungenDie Ubungsblatter werden montags auf Studon bereitgestelltDie Abgabe bis Montag 11:00 in Ubungskasten (Cauerstr. 11)oder in der VorlesungEs werden nur leserliche und ordentliche Abgaben akzeptiertEs sind Zweierabgaben gestattet, solange beide die gleicheUbungsgruppe besuchenZu Semesterende sind 50% der Gesamtpunktzahl vorzuweisen

KlausurDie Klausur findet am 12.2.2018 um 8:00 in H12, H13 stattEinsicht in den Tagen danachNachklausur 10.4.2018 um 17:30 in H13Hilfsmittel: beidseitig handbeschriebenes DIN A4 Blatt

Analysis 3 0. 3 / 371

Uberblick1. Lebesgue-Maß

2. Lebesgue-Integral

3. Integrationstechniken

4. Topologische Grundlagen

5. Maß und Integral auf abstrakten Raumen

6. Banach- und Hilbertraume von Funktionen

7. Fourier-Reihen und Fouriertransformation

8. Tensoren und Grassmann-Algebra

9. Mannigfaltigkeiten

10. Tangentialraume und Differentialformen

11. Orientierung und Integration auf Mannigfaltigkeiten

Analysis 3 0. 4 / 371

LiteraturQual der Wahl: jedes Buch oder Skript zu obigen Themen!

J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie

H. Bauer: Maß- und Integrationstheorie

D. Werner: Einfuhrung in die hohere Analysis

A. Deitmar: Analysis

... Folien auf Studon

Analysis 3 0. 5 / 371

1 Lebesgue-Maß

Definition 1.1

Seien a “ pa1, . . . ,adq, b “ pb1, . . . ,bdq Punkte im Rd . Definiere:(i) a ď b ðñ aj ď bj @ j “ 1, . . . ,d Analog: a ă b, a ą b(ii) Offene, halboffene und abgeschlossene Quader sind

pa,bq “ tx P Rd | a ă x ă bupa,bs “ tx P Rd | a ă x ď bura,bs “ tx P Rd | a ď x ď bu

(iii) Maß bzw. d-dimensionale Volumen halboffenen Quaders

µppa,bsq “dź

j“1

pbj ´ ajq P r0,8q

Analysis 3 1. Lebesgue-Maß 6 / 371

Bemerkung 1.2 (Volumenbegriffe von Riemann und Lebesgue)

Zu A Ă Rd betrachte Ober- und Untersummen:

OpAq “ inf

$

&

%

Nÿ

n“1

µpQnq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Qn disjunkte Quader, A Ăď

n“1,...,N

Qn

,

.

-

UpAq “ sup

$

&

%

Nÿ

n“1

µpQnq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Qn disjunkte Quader, A Ąď

n“1,...,N

Qn

,

.

-

Dann: A Riemann-messbar ðñ OpAq “ UpAqFakt: nur relativ wenige Mengen sind Riemann-messbarAlternative Vorgehensweise beim Lebesgue’schen Maßbegriff: Setze

µ˚pAq “ inf

#

8ÿ

n“1

µpQnq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

A Ă8ď

n“1

Qn, Qn disjunkte halboffene Quader

+

A Lebesgue-messbar ðñ @ ε ą 0 D offenes U Ą A mit µ˚pUzAq ă ε


Ziel: Konstruktion und Eigenschaften des Lebesgue-Maßes

Satz 1.3 (Der von halboffenen Quadern erzeugte Ring)

Betrachte folgende Teilmenge R der Potenzmenge PpRdq

R “

$

&

%

ď

n“1,...,N

Qn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Qn disjunkte halboffene Quader im Rd , N ă 8

,

.

-

Dann:(i) H P R(ii) A,B P R ùñ AzB P R(iii) A,B P R ùñ AY B P R(iv) A,B P R ùñ AX B P R

Definition 1.4 (Ring)

Fur beliebige Menge X heißt Mengensystem R Ă PpX q “ tA |A Ă Xumit Eigenschaften (i)-(iii) aus Satz 1.3 ein Ring auf X


Beweis (i) offensichtlich, da pa,as “ H.

Fur (ii):

AzB “ď

n“1,...,M

Qnz

¨

˝

ď

m“1,...,M

Q1m

˛

‚

“ď

n“1,...,M

p¨ ¨ ¨ ppQnzQ11qzQ

12q ¨ ¨ ¨ zQ

1Mq

Aber QnzQ11 “

Ť˝` Q2

` disjunkte Vereinigung halboffener Quadern (Bild)

Dann auch pQnzQ11qzQ

12 “ p

Ť˝` Q2

` q zQ12 “

Ť˝`pQ

2` zQ

12q “

Ť˝k Qp3q

k

disjunkte Vereinigung von geeignet gewalten Quadern Qp3qk

Nach Iteration folgt also AzB P R

(ii) impliziert (iii), weil AY B “ pAzBq˝Y B disjunkte Vereinigung

(ii) impliziert auch (iv) da AX B “ AzpAzBq l


Nun wird µ, bisher nur auf Quadern definiert, zunachst auf R erweitert.

Definition 1.5

Sei

A “ď

n“1,...,N

Qn P R

Dann definiere Maß von A als

µpAq “Nÿ

n“1

µpQnq P r0,8q

Satz 1.6

Definition unabhangig von Wahl der Zerlegung von A in Quader


Beweis: Sei A “Ť˝

m“1,...,M Q1m eine weitere Zerlegung von A P R

Betrachte

Q2n,m “ Qn XQ1

m , 1 ď n ď N , 1 ď m ď M

Dies sind halboffene Quader, einige evtl. leer! Dann

Qn “ď

m“1,...,M

Q2n,m , Q1

m “ď

n“1,...,N

Q2n,m

Somit gilt offensichtlich

µpQnq “

Mÿ

m“1

µpQ2n,mq , µpQ1

mq “

Nÿ

n“1

µpQ2n,mq

AlsoNÿ

n“1

µpQnq “

Nÿ

n“1

Mÿ

m“1

µpQ2n,mq “

Mÿ

m“1

Nÿ

n“1

µpQ2n,mq “

Mÿ

m“1

µpQ1mq

l


Satz 1.7

Die Mengenfunktion µ : RÑ r0,8q erfullt Folgendes:(i) µpHq “ 0(ii) (endliche Additivitat) A1, . . . ,AN P R disjunkt, dann

µ´

ď

n“1,...,N

An

¯

“

Nÿ

n“1

µpAnq

(iii) (Monotonie) A,B P R , A Ă B ùñ µpAq ď µpBq(iv) A,B P R ùñ µpAY Bq ` µpAX Bq “ µpAq ` µpBq(v) (endliche Subadditivitat) Fur beliebige A1, . . . ,AN P R gilt

µ´

ď

n“1,...,N

An

¯

ď

Nÿ

n“1

µpAnq

(vi) pAnqnPN disjunkte Folge in R, B P R, sodassŤ8

n“1 An Ă Bùñ

ř8n“1 µpAnq ď µpBq


Beweis: (i) klar(ii) An “

Ť˝m“1,...,Mn

Qn,m P R disjunkte Zerlegung in halboffene Quader

Dann hat A “Ť˝

n“1,...,N An disjunkte Zerlegung

A “ď

n“1,...,n

ď

m“1,...,Mn

Qn,m

und nach Satz 1.6 gilt

µpAq “ µ

¨

˝

ď

n“1,...,N

An

˛

‚ “

Nÿ

n“1

Mnÿ

m“1

µpQn,mq “

Nÿ

n“1

µpAnq

Zu (iii): µpBq “ µpAY pBzAqq (ii)“ µpAq ` µpBzAq ě µpAq

Zu (iv):

µpAY Bq ` µpAX Bq (ii)“ µpAq ` µpBzAq ` µpB X Aq(ii)“ µpAq ` µpBq


Zu (v): Wegen (iv) gilt: µpAY Bq ď µpAq ` µpBqSomit folgt iterativ:

µpA1 Y . . .Y ANq ď µpA1 Y . . .Y AN´1q ` µpANq

ď µpA1q ` . . .` µpANq

Zu (vi): Fur jedes N P N gilt:Ť˝

n“1,...,N An Ă BSomit

Nÿ

n“1

µpAnq(ii)“ µ

¨

˝

ď

n“1,...,N

An

˛

‚

(iii)ď µpBq

Im Limes N Ñ8 folgt die Behauptung l


Definition 1.8Wenn R Ă PpX q Ring auf Menge X und µ : RÑ r0,8s Eigenschaften(i), (ii) in Satz 1.7 erfullt, namlich µpHq “ 0 und endliche Additivitat,so heißt µ Inhalt

Nun erste wichtige Aussage:

Satz 1.9 (Lebesgue 1905)

Seien Q und pQnqnPN halboffene Quader mit Q ĂŤ8

n“1 Qn. Dann

µpQq ď8ÿ

n“1

µpQnq

Beweisidee: Q wenig verkleinern, Qn wenig vergoßernKompaktheitsargument ùñ endlich viele Qn und somit Satz 1.7(v)


Beweis: Zunachst gelte ohne Einschrankung (sonst trivial)

µpQq ą 0 , µpQnq ą 0 ,8ÿ

n“1

µpQnq ă 8

Sei Q “ pa,bs und Qn “ pan,bns, und ε ą 0 beliebigWahle a1,b1 mit a ă a1 ă b1 ă b, so dass fur Q1 “ pa1,b1s

µpQq ´ ε ă µpQ1q ă µpQq

und ahnlich a1n,b1n mit a1n ă an ď bn ă b1n, so dass fur Q1n “ pa1n,b1ns

µpQnq ă µpQ1nq ă µpQnq `

ε

2n

Jetzt: Q “ ra,bs Abschluss und Q˝ “ pQq˝ “ pa,bq (offenes) Innere

Q1 Ă Q1 Ă Q Ă

8ď

n“1

Qn Ă

8ď

n“1

pQ1nq˝

Also: ppQ1nq˝qnPN offene Uberdeckung der kompakten Menge Q1


Nach Satz von Heine-Borel existiert N P N mit

Q1 Ă Q1 Ă

Nď

n“1

pQ1nq˝ Ă

Nď

n“1

Q1n

Deswegen mit Satz 1.7(v):

µpQq ´ ε ă µpQ1q

ď

Nÿ

n“1

µpQ1nq

ď

8ÿ

n“1

µpQ1nq

ď

8ÿ

n“1

´

µpQnq `ε

2n

¯

“

˜

8ÿ

n“1

µpQnq

¸

` ε

l


Definition 1.10

Außeres Lebesgue’sches Maß µ˚ : PpRdq Ñ r0,8s definiert durch

µ˚pAq “ inf

#

8ÿ

n“1

µpQnq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Qn halboffene Quader mit A Ă8ď

n“1

Qn

+

Satz 1.11

(i) µ˚pHq “ 0(ii) (Monotonie) A Ă B ùñ µ˚pAq ď µ˚pBq(iii) (σ-Subadditivitat) Fur Folge pAnqnPN von Teilmengen des Rd :

µ˚´

8ď

n“1

An

¯

ď

8ÿ

n“1

µ˚pAnq

(iv) Fur jeden halboffenen Quader Q gilt µ˚pQq “ µpQq(v) Fur jedes E Ă Rd und jeden halboffenen Quader Q gilt

µ˚pEq “ µ˚pEzQq ` µ˚pE XQq


Beweis: (i) offensichtlich(ii) gilt, da jede Uberdeckung von B auch Uberdeckung von A(iii) Ohne Einschrankung gilt

ř8n“1 µ

˚pAnq ă 8 (sonst trivial)Sei ε ą 0. Per Definition: zu An D Folge pQn,mqmě1 von Quadern mit

An Ă

8ď

m“1

Qn,m , µ˚pAnq ě

˜

8ÿ

m“1

µpQn,mq

¸

´ε

2n

Dann: pQn,mqn,mě1 Quaderuberdeckung vonŤ8

n“1 An und somit

µ˚

˜

8ď

n“1

An

¸

ď

8ÿ

n,m“1

µpQn,mq

ď

8ÿ

n“1

´

µ˚pAnq `ε

2n

¯

“

˜

8ÿ

n“1

µ˚pAnq

¸

` ε

(iv) µ˚pQq ď µpQq trivial, und µ˚pQq ě µpQq folgt aus Satz 1.9


(v) Zunachst E halboffener Quader ùñ E XQ ebenso (Satz 1.3)

Wahle disjunkte Quaderzerlegung E “Ť˝

n“1,...,N Qn mit Q1 “ E XQ

µ˚pEq (iv)“ µpEq Satz 1.5

“

Nÿ

n“1

µpQnq(iv)“ µpE XQq `

Nÿ

n“2

µ˚pQnq

(ii)ě µpE XQq ` µ˚pEzQq da EzQ Ă

ď

n“2,...,N

Qn

(iv)“ µ˚pE XQq ` µ˚pEzQq

(iii)ě µ˚pEq

Somit Gleichheit. Nun E beliebig mit Quaderuberdeckung pQnqně18ÿ

n“1

µ˚pQnqoben“

8ÿ

n“1

´

µ˚pQnzQq ` µ˚pQn XQq¯

(iii)ě µ˚pEzQq ` µ˚pE XQq

(iii)ě µ˚pEq

Ubergang zum Infimum uber alle Quaderuberdeckungen zeigt

µ˚pEq ě µ˚pEzQq ` µ˚pE XQq ě µ˚pEql


Allgemeiner: Mengensystem C Ă PpX q ersetzt halboffene Quader

Satz 1.12

Gegeben: Menge X, Ring C Ă PpX q und Inhalt µ : C Ñ r0,8s

Definiere µ˚ : PpX q Ñ r0,8s wie in Definition 1.10

Dann gelten (i), (ii) und (iii) aus Satz 1.11

Eine solche Mengenfunktion µ˚ heißt außeres Maß auf X

Konstruktion von µ˚ geht auf Caratheodory (1917) zuruckEbenso folgende zentrale Definition

Definition 1.13Gegeben außeres Maß µ˚ auf X , Menge A Ă X heißt messbar ðñ

µ˚pEq “ µ˚pE X Aq ` µ˚pEzAq @ E Ă X


Jetzt weiter mit konkreter Situation:

Definition 1.14

A Ă Rd Lebesgue-messbar ðñ @ Teilmengen E Ă Rd gilt

µ˚pEq “ µ˚pE X Aq ` µ˚pEzAq

Notation fur die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen:

A “ tA Ă Rd | A Lebesgue-messbaru

Lebesgue-Maß µ : AÑ r0,8s messbarer Mengen definiert durch

µpAq “ µ˚pAq

Bemerkung 1.15Satz 1.11(iii): Ungleichung µ˚pEq ď µ˚pE X Aq ` µ˚pEzAq gilt immerNach Satz 1.11(v) ist jeder halboffene Quader Lebesgue-messbarNach Satz 1.11(iv) ist Lebesgue-Maß µ Erweiterung von Definition 1.1


Satz 1.16 (Maßerweiterungssatz)

A hat folgende Eigenschaften:(i) Rd P A(ii) A P A ùñ Komplementarmenge Ac “ RdzA P A(iii) pAnqnPN Folge in A ùñ

Ť

nPN An P AZudem µpHq “ 0 und es gilt so-genannte σ-Additivitat:

µ

˜

8ď

n“1

An

¸

“

8ÿ

n“1

µpAnq

wobei pAnqnPN disjunkte Folge in A

Also im Sinne folgender allgemeiner Definition 5.6:Lebesgue-messbaren Mengen bilden σ-Algebraund Lebesgue Maß ist ein Maß


Definition 1.17

Sei X eine Menge und A Ă PpX q Mengensystem mit

(i) X P A(ii) A P A ùñ Komplementarmenge Ac “ XzA P A(iii) pAnqnPN Folge in A ùñ

Ť

nPN An P A

Dann heißt A eine σ-Algebra auf X

Eine Mengenfunktion µ : AÑ r0,8s heißt σ-additiv falls

µ

˜

8ď

n“1

An

¸

“

8ÿ

n“1

µpAnq

fur alle disjunkten Folgen pAnqnPN in A

Eine σ-additive Mengenfunktion auf A mit µpHq “ 0 heißt ein Maß

Mehr hierzu in Kapitel 5. Jetzt zum Beweis von Satz 1.16


Beweis: (i) klar und (ii) weil E X Ac “ EzA und EzAc “ E X ABehauptung 1: A,B P A ùñ AY B, AX B, AzB P ABegrundung: Fur beliebiges E Ă Rd gilt, weil A,B P A:

µ˚pEq “ µ˚pEzAq ` µ˚pE X Aq“ µ˚ppEzAqzBq ` µ˚ppEzAq X Bq ` µ˚pE X Aq“ µ˚pEzpAY Bqq ` µ˚ppE X pAY BqqzAq ` µ˚ppE X pAY Bq X Aq“ µ˚pEzpAY Bqq ` µ˚pE X pAY Bqq

Somit AY B P A. Außerdem, mit (ii):

AX B “ pAc Y Bcqc P A , AzB “ AX Bc P A ˛

Behauptung 2: pAnqnPN disjunkte Folge in A ùñ A “Ť8

n“1 An P Aund @ E Ă Rd :

µ˚´

E X8ď

n“1

An

¯

“

8ÿ

n“1

µ˚pE X Anq

σ-Additivitat ist Spezialfall E “ Rd P A in Behauptung 2 (dann µ˚ “ µ)Analysis 3 1. Lebesgue-Maß 25 / 371

Begrundung: Zunachst, da A1 P A

µ˚pE X pA1 Y A2qq “ µ˚ppE X pA1 Y A2qqzA1q ` µ˚ppE X pA1 Y A2qq X A1q

“ µ˚pE X A2q ` µ˚pE X A1q

so dass nach Iteration

µ˚

˜

E XNď

n“1

An

¸

“

Nÿ

n“1

µ˚pE X Anq

Nun A ĄŤN

n“1 An und nach Monotonie des außeren Maßes µ˚:

µ˚pE X Aq ě µ˚

˜

E XNď

n“1

An

¸

“

Nÿ

n“1

µ˚pE X Anq @ N P N

also

µ˚pE X Aq ě8ÿ

n“1

µ˚pE X Anq


Umgekehrt gilt nach der σ-Subadditivitat des außeren Maßes µ˚:

µ˚pE X Aq ď8ÿ

n“1

µ˚pE X Anq

also Gleichheit. Verbleibt A P A. Behauptung 1 zeigtŤN

n“1 An P A

µ˚pEq “ µ˚´

E XNď

n“1

An

¯

` µ˚´

EzNď

n“1

An

¯

ě

Nÿ

n“1

µ˚pE X Anq ` µ˚pEzAq (wegen Monotonie)

Also im Limes N Ñ8

µ˚pEq ě8ÿ

n“1

µ˚pE X Anq ` µ˚pEzAq

“ µ˚pE X Aq ` µ˚pEzAq (nach obiger Gleichung)ě µ˚pEq (nach Subadditivitat)

Es gilt also Gleichheit und somit A P A ˛


Behauptung 3“ (iii): pAnqnPN Folge in A ùñ A “Ť8

n“1 An P ABegrundung: Definiere iterativ

B1 “ A1 , Bn “ AnzpB1 Y . . .Y Bn´1q

Dann sind Bn disjunkt undŤ8

n“1 Bn “Ť8

n“1 An “ ANach Behauptung 1 gilt Bn P ANach Behauptung 2 also auch A “

Ť8n“1 Bn P A ˛

Somit ist Satz 1.16 bewiesen l

Bemerkung 1.18Beweis von Satz 1.16 gilt fur jedes außeren Maß µ˚ auf Menge Xversehen mit Ring C Ă PpX q und Inhalt µ : C Ñ r0,8sd.h. die zugehorigen µ˚-messbare Mengen bilden σ-AlgebraZusammen mit Satz 1.12 folgt so allgemeiner MaßerweiterungssatzDetails spater


Definition 1.19

N Ă Rd Nullmenge ðñ µ˚pNq “ 0

Satz 1.20

(i) Jede Nullmenge ist Lebesgue-messbar mit µpNq “ 0(ii) pNnqnPN Nullmengen ùñ

Ť

nPN Nn Nullmenge(iii) Abzahlbare Mengen sind Nullmengen(iv) Teilmengen von Nullmengen sind Nullmengen

Beweis: (i) Fur alle E Ă Rd gilt nach Monotonie

µ˚pEq ě µ˚pEzNq , µ˚pNq ě µ˚pN X Eq

Somit folgt Messbarkeit von N aus

µ˚pEq “ µ˚pEq ` µ˚pNq ě µ˚pEzNq ` µ˚pN X Eq

(ii) gilt da wegen σ-Subadditivitat µ˚´

Ť

nPN Nn

¯

ďř

ně1 µ˚pNnq “ 0

(iii)+(iv) sind Ubung l


Erinnerung Topologie: offene Mengen“Vereinigungen offene Kugelnabgeschlossene Mengen sind Komplemente offener Mengen

Satz 1.21

Offene und abgeschlossene Mengen des Rd sind Lebesgue-messbar

Beweis: Sei U offen und x P Uùñ D ε ą 0, ε P Rd , so dass px ´ ε, x ` εq Ă Uùñ D rationale a,b P Qd , so dass x ´ ε ă a ă x ă b ă x ` εSomit x P pa,bs Ă U, und:

U “ď

a,bPQd ,pa,bsĂU

pa,bs

Also: U abzahlbare Vereinigung von halboffenen QuadernNach Satz 1.16 ist U messbarAbgeschlossene Mengen als Komplement offener auch messbar l


Nun weitere Eigenschaften Lebesgue-messbarer Mengen:

Satz 1.22 (Regularitat des Lebesgue-Maßes)

A Ă Rd Lebesgue-messbar. Dann:

(i) @ ε ą 0 D offenes U mit A Ă U und µpUzAq ă ε

(ii) @ ε ą 0 D abgeschlossenes F mit A Ą F und µpAzF q ă ε

Also: Lebesgue-Maß von außen und innen regular im Sinne von:(Vorgriff auf Kapitel zu abstrakter Maßtheorie)

Definition 1.23 (Regularitat von Maßen)

µ Maß auf einem topologischen Raum pX ,Oq mit O Ă A

(i) µ von außen regular ðñ zu jeder messbaren Menge A und ε ą 0D offenes U mit A Ă U und µpUzAq ă ε

(ii) µ von innen regular ðñ @ messbaren A und @ ε ą 0D abgeschlossenes F Ă A mit µpAzF q ă ε


Beweis: (i) Sei zunachst µpAq “ µ˚pAq ă 8Dann existiert halboffene Quaderuberdeckung A Ă

Ť8n“1 Qn mit

8ÿ

n“1

µpQnq ă µpAq `ε

2

Wahle offene Quader Q1n mit Qn Ă Q1

n und µpQ1nq ď µpQnq `

ε2n`1

Setze U “Ť8

n“1 Q1n (das ist offen!). Dann

µpAq ą8ÿ

n“1

µpQnq ´ε

2

ě

8ÿ

n“1

´

µpQ1nq ´

ε

2n`1

¯

´ε

2

ě µpUq ´ε

2´

ε

2(σ-Subadditivitat)

“ µpU X Aq ` µpUzAq ´ ε

Da U X A “ A, folgt µpUzAq ă ε


Jetzt sei µpAq “ 8

Dann setze Am “ AX Bmp0q, wobei Bmp0q “ tx P Rd | |x | ă mu

Da µpAmq ă 8 kann Obiges angewandt werden

ùñ D offenes Um mit Am Ă Um und µpUmzAmq ăε

2m

Setze U “Ť8

m“1 Um

Dann A Ă U und UzA ĂŤ8

m“1 UmzAm, sodass

µpUzAq ď8ÿ

m“1

µpUmzAmq ă ε

(ii) Wende (i) auf messbares Ac an: D offenes U Ą Ac mit µpUzAcq ă ε

Setze F “ Uc was also abgeschlossen ist und F Ă A. Somit

µpAzF q “ µpAX Uq “ µpUzAcq ă ε

l


Korollar 1.24

Fur alle A P A gilt:

µpAq “ inf

µpUq |U offen mit U Ą A(

“ sup

µpF q |F abgeschlossen mit F Ă A(

“ sup

µpK q |K kompakt mit K Ă A(

Beweis: Erste beide Gleichheiten nach Satz 1.22. Also noch letzteSei pFnqně1 Folge abgeschlossener Teilmengen mit µpFnq Ñ µpAqDann Kn “ Fn X rń,nsd kompakt mit µpKnq Ñ µpAq l

Satz 1.25 (Charakterisierung Lebesgue-messbarer Mengen)

A Ă Rd Lebesgue-messbarðñ @ ε ą 0 D offenes U und abgeschlossenes F mit F Ă A Ă U

und µpUzF q ă ε

ðñ @ ε ą 0 D offenes U mit A Ă U und µpUzAq ă ε


Beweis: Erster ”ùñ” beide Punkte in Satz 1.22 mit ε2

Zweiter ”ùñ” da µpUzAq ď µpUzF q ă ε

Ruckrichtung ”ðù” Sei E Ă Rd beliebig und ε ą 0. Da U messbar:

µ˚pEq “ µ˚pEzUq ` µ˚pE X Uqě µ˚pEzAq ´ µ˚pUzAq ` µ˚pE X Uq

Letzteres wegen

EzA “ pEzUq Y ppUzAq X Eq Ă pEzUq Y pUzAq

so dass mit Subadditivitat

µ˚pEzAq ď µ˚pEzUq ` µ˚pUzAq

Nach µpUzAq ă ε und Monotonie, und dann wieder Subadditivitat:

µ˚pEq ě µ˚pEzAq ´ ε ` µ˚pE X Aqě µ˚pEq ´ ε

Da ε beliebig, folgt Gleichheit und Messbarkeit von A l


Satz von SteinhausSatz 1.26 (Steinhaus 1920)

Sei A Ă Rd messbar mit µpAq ą 0ùñ A´ A “ tx ´ y | x P A , y P Au Umgebung von 0d.h. D δ ą 0 mit Bδ “ tx P Rd | x ă δu Ă A´ A

Beweis. Nach Korrolar 1.24 reicht es A “ K kompakt zu betrachtenNach Satz 1.22 D offenes U Ą K mit µpUq ă 2µpK qδ “ inf

x ´ y | x P K , y P Uc(

ą 0 weil Uc abgesch., K X Uc “ H

Fur t P Bδ und x P K gilt x ` t P U, d.h. K ` t Ă U(weil sonst x ` t P Uc und x ´ px ` tq ă δ )K ` t “ tx ` t | x P K u kompakt und µpK ` tq “ µpK q nach DefinitionZudem K Y pK ` tq Ă USei K X pK ` tq “ H ùñ µpUq ě µpK q ` µpK ` tq “ 2µpK q Also K X pK ` tq “ H fur alle t P Bδ ùñ Bδ Ă K ´ K l


Satz 1.27Sei X Menge und C Ă PpX q Mengensystem. Dann ist

σpCq “č

A σ-Algebra, CĂAA

eine σ-Algebra, genannt die von C erzeugte σ-Algebra

Beweis: Zu zeigen: σpCq enthalt X , ist stabil unterKomplementbildung,und stabil unter abzahlbaren VereinigungenAber X P σpCq, weil X in jeder σ-AlgebraWenn A P σpCq, so auch in allen A ùñ Ac in allen A ùñ Ac P σpCqAnalog fur abzalbare Vereinigungen l

Definition 1.28

Auf topologischem Raum pX ,Oq heißt σpOq die Borel σ-Algebra BpX q


Bemerkung 1.29

BpRdq “ σptA Ă Rd offenuq “ σptA Ă Rd abgeschlossenuq

Letzteres da σ-Algebren stabil unter Komplementbildung

Nach Satz 1.21: BpRdq Ă A “ tA Ă Rd Lebesgue-messbaru

Unterschied zwischen A und BpRdq kann explizit angegeben werden:

Satz 1.30

A Ă Rd Lebesgue-messbar, d.h. A P Aðñ D B P BpRdq und Nullmenge N mit A “ B

˝Y N

Beweis: ”ðù” klar nach Satz 1.20”ùñ” Da Ac P A D absteigende offener Un Ą Ac mit µpUnzAcq ă 1

n

(wegen Satz 1.22) Da UnzAc “ AzUcn gilt auch µpAzUc

n q ă1n

Setze B “Ť8

n“1 Ucn und N “ AzB. Dann B P BpRdq und B Ă A und

µpNq “ µpAzBq “ µ`

AzŤ8

n“1 Ucn˘

ď infn µpAzUcn q “ 0 l


Nun Verhalten des Lebesgue-Maßes unter Wirkung der affinen Gruppe

AffpRdq “ Rd ˆ GlpR,dq

auf Rd gegeben durch Drehen/Stauchen und dann Verschieben:

pa,Mq ¨ x “ a`Mx , pa,Mq P AffpRdq , x P Rd

Dann gilt fur pa1,M 1q P AffpRdq

pa,Mq ¨`

pa1,M 1q ¨ x˘

“ a ` M a1 ` MM 1x

Also sollte die Gruppenoperation auf AffpRdq definiert werden durch

pa,Mq ¨ pa1,M 1q “ pa`Ma1,MM 1q

Dies gibt tatsachlich Gruppenstruktur (semidirektes Produkt). Es gilt:`

pa,Mq ¨ pa1,M 1q˘

¨ x “ pa,Mq ¨`

pa1,M 1q ¨ x˘

Fur Teilmenge A Ă Rd defniere MA` a “ tMx ` a | x P AuAnalysis 3 1. Lebesgue-Maß 39 / 371

Satz 1.31 (Translationsinvarianz des außeren Lebesgue Maßes)

@ A Ă Rd und a P Rd gilt: µ˚pA` aq “ µ˚pAqAußerdem: A messbar ðñ A` a messbar

Beweis: Wenn Q Quader, dann auch Q ` a und µ˚pQq “ µ˚pQ ` aqSei A Ă

Ť

ně1 Qn, dann auch A` a ĂŤ

ně1pQn ` aq und

µ˚pA` aq ďÿ

ně1

µ˚pQn ` aq “ÿ

ně1

µ˚pQnq

Durch Ubergang zum Infimum folgt µ˚pA` aq ď µ˚pAqDa dies fur jedes a, also auch á gilt, folgt Gleichheit aus:

µ˚pAq “ µ˚ppA` aq ´ aq ď µ˚pA` aq ď µ˚pAq

Jetzt sei A messbar. Fur E Ă Rd gilt nun

µ˚pEq “ µ˚pE ´ aq “ µ˚ppE ´ aqzAq ` µ˚ppE ´ aq X Aq“ µ˚pEzpA` aqq ` µ˚pE X pA` aqq

Somit A` a auch messbar l


Satz 1.32 (Verhalten unter linearen Transformationen)

Fur jede Matrix M P Matpd ˆ d ,Rq und jedes A Ă Rd gilt

µ˚pMAq “ | detpMq|µ˚pAq

Zudem: A messbar ðñ MA messbarAußerdem: µ˚ und µ unter Wirkung der orthogonalen Gruppe invariant

Beweis: detpMq “ 0 ùñ KerpMq “ t0u ùñ MA liegt in Hyperflacheùñ µ˚pMAq “ 0 Also jetzt detpMq ‰ 0

Erinnerung: Nach Gauss-Algorithmus:

M “ S1 ¨ . . . ¨ Sn D S11 ¨ . . . ¨ S1n1

mit D diagonal und Sk ,S1k Scherungen der Form S “ 1` λ|iyxj |

Behauptung 1: Es reicht, fur M “ D und M “ S zu zeigen:

µ˚pMAq ď | detpMq|µ˚pAq (1.1)


Begrundung: Wegen detpMM 1q “ detpMq detpM 1q, gilt dann:

µ˚pMAq “ µ˚pS1 ¨ . . . ¨ Sn D S11 ¨ . . . ¨ S1n1Aq

ď | detpS1q|µ˚pS2 ¨ . . . ¨ Sn D S11 ¨ . . . ¨ S

1n1Aq

ď | detpS1q ¨ . . . ¨ detpDq ¨ . . . ¨ detpS1n1q|µ˚pAq

“ | detpMq|µ˚pAq˛

Behauptung 2: Es reicht, (1.1) fur Quader Q zu zeigen

Begrundung: A ĂŤ

ně1 Qn Quaderuberdeck. ùñ MA ĂŤ

ně1 MQn

Nach σ-Subadditivitat von µ˚ gilt mit Voraussetzung

µ˚pMAq ď8ÿ

n“1

µ˚pMQnq ď | detpMq|8ÿ

n“1

µ˚pQnq

Ubergang zum Infimum zeigt

µ˚pMAq ď | detpMq|µ˚pAq

Nun µ˚pAq “ µ˚pM´1MAq ď | detpM´1q|µ˚pMAq “ 1| detM| µ

˚pMAq ˛


Behauptung 3: (1.1) gilt fur Quader und Diagonalmatrizen

Begrundung: DQ ist Quader mit Seitenlangen gegeben durchProdukte der Seitenlangen von Q mit den Diagonaleintragen von Dùñ µpDQq “ | detpDq|µpQq ˛

Behauptung 4: (1.1) gilt fur Quader und ScherungenBegrundung: Es reicht Scherung in der p1,2q-Ebene zu betrachten:

S “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

1 λ

1 01

0. . .

1

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

Translationsinvarianz von µ˚: es reicht Q “ p0,bs zu betrachten


Faktorisierung ergibt (mit d-dimensionale Lebesgue-Maß µd )

Q “ pp0,0q, pb1,b2qs ˆQ1

µdpQq “ µ2pp0,0q, pb1,b2qsq ¨ µd´2pQ1q

SQ “

˜

1 λ

0 1

¸

pp0,0q, pb1,b2qsq ˆQ1 “ P ˆQ1

mit P Parallelogramm mit Ecken p0,0q, pb1,0q, pλb2,b2q, pb1 ` λb2,b2q

Elementargeometrie oder Limes von Quaderuberdeckungen:

µ2pPq “ µ2pp0,0q, pb1,b2qsq

SomitµpSQq “ µpQq “ | detpSq|µpQq

˛

Messbarkeit wie in Satz 1.31 uberprufen l


Existenz nichtmessbarer MengenAuf Rd definiere Aquivalenzrelation (!):

x „ y ðñ x ´ y P Qd

Auswahlaxiom: wahle aus jeder Klasse rxs„ einen Reprasentanten x

M “ tx P Rd | rxs„ P RdQdu

Satz 1.33 (Vitali 1905)

Kein Vertretersystem M von Rd „ ist Lebesgue-messbar

Beweis: Gegenannahme M messbarµpMq ą 0 ùñ M ´M Umgebung von 0 (Satz 1.26 von Steinhaus)ùñ D r P M ´M mit r P Qd und r “ 0 Widerspruch zur Wahl von M Somit µpMq “ 0, also auch µpM ` rq “ 0 fur alle r P Qd

Dann: Rd “Ť

rPQd pM ` rq abzahlbare Vereinigung von Nullmengen

ùñ Rd selbst Lebesgue’sche Nullmenge. Wieder Widerspruch l


2 Lebesgue-IntegralSei R “ RY t´8,8u mit weiteren offenen Mengen r´8,aq und pb,8sDies heißt auch die Zwei-Punkt-Kompaktifizierung von R

Definition 2.1

D Ă Rd Borel-messbar, f : D Ñ R Funktion(i) f Borel-messbar ðñ f´1pBpRqq Ă BpRdq

ðñ @ B P BpRq ist f´1pBq P BpRdq

ðñ @ B P BpRq sind f´1pBq, f´1pt´8uq, f´1pt8uq P BpRdq

(ii) f Lebesgue-messbarðñ @ B P BpRq ist f´1pBq P A “ tA Ă Rd Lebesgue-messbaru

(iii) f Treppenfunktion (oder Elementarfunktion)ðñ D N P N und An P A und αn P R mit f “

řNn“1 αnχAn

wobei χA die Indikatorfunktion auf A ist, d.h.

χApxq “

#

1 x P A0 x R A

Analysis 3 2. Lebesgue-Integral 46 / 371

Bemerkung 2.2Treppenfunktionen und Borel-messbare Abbildungen sindLebesgue-messbar

Satz 2.3

Stetige Abbildungen sind Borel-messbar

Beweis: Seien OpRdq und OpRq TopologienDann Borel-Algebren σpOpRdqq “ BpRdq und σpOpRqq “ BpRqErinnerung: f stetig ðñ f´1pOpRqq Ă OpRdq

Somit σpf´1pOpRqqq Ă σpOpRdqq “ BpRdq

Satz folgt also aus folgendem Lemma fur Fall C “ OpRq l

Lemma 2.4

f : X 1 Ñ X Abbildung, C Ă PpX q. Dann gilt fur erzeugte σ-Algebren:f´1pσpCqq “ σpf´1pCqq


Beweis: f´1pσpCqq ist tatsachlich σ-Algebra

weil: pf´1pAqqc “ f´1pAcq undŤ

n f´1pAnq “ f´1 pŤ

n Anq

Also: Inklusion ”Ą” folgt aus f´1pσpCqq Ą f´1pCq

Fur ”Ă” setze:

D “ tD Ă X | f´1pDq P σpf´1pCqqu

Dies ist eine σ-AlgebraOffensichtlich C Ă D, so dass σpCq Ă σpDq “ D. Also

f´1pσpCqq Ă f´1pσpDqq“ tf´1pDq | f´1pDq P σpf´1pCqqu“ σpf´1pCqq

was den Beweis vervollstandigt l


Korollar 2.5

f : D Ă Rd Ñ R Borel messbarðñ @ c P R ist tf ă cu “ tx P D | f pxq ă cu Borel messbarGleiches gilt fur Lebesgue-Messbarkeit

Beweis: Offenen Intervalle und somit gesamte Topologie wird vonC “ tr´8, cq | c P Ru erzeugt (endliche Schnitte, Vereinigungen)Somit auch σpCq “ BpRqDa f´1pσpCqq “ σpf´1pCqq nach Lemma 2.4, ist Borel-Messbarkeitvon f gegeben falls f´1pCq Ă BpRdq, oder gleichbedeutendfalls f´1pr´8, cqq “ tf ă cu P BpRdq fur alle c P RAnalog fur Lebesgue-Messbarkeit l


Messbarkeit von Funktionen nun etwas allgemeinerDies erlaubt z.B. auch vektorwertige Funktionen zu betrachten

Definition 2.6

pX 1,A1q, pX ,Aq Mengen mit σ-Algebrenf : X 1 Ñ X messbar ðñ f´1pAq Ă A1

Bemerkung 2.7Hintereinanderausfuhrungen messbarer Funktionen sind messbar

Satz 2.8

Summen, Produkte, Quotienten, Maxima und Minima endlich vielerR-wertiger messbarer Funktionen sind messbar(entweder jeweils im Sinne von Borel oder Lebesgue)


Beweis: Z.B. Produkt messbarer fn : D Ă Rd Ñ R, n “ 1, . . . ,NDann ist F “ pf1, . . . , fNq : D Ñ RN messbar (Details: Ubung)Definiere G : RN Ñ R durch Gpx1, . . . , xNq “ x1 ¨ . . . ¨ xN

Dies ist messbar, also ist auch G ˝ F pxq “śN

n“1 fnpxq messbar l

Satz 2.9

fn : D Ă Rd Ñ R Folge messbarer Funktionenùñ infpfnq, suppfnq, lim infpfnq, lim suppfnq messbar

Beweis: Fur alle c P R ist

infpfnq ă c(

“ď

nPN

fn ă c(

messbar als abzahlbare Vereinigung messbarer MengenNach Korollar 2.5 ist also infpfnq messbarAnalog suppfnq. Dann lim suppfnq “ infn supkěnpfnq l


Satz 2.10

f : D Ă Rd Ñ r0,8s Lebesgue-messbarùñ D monoton wachsende Folge pfnqnPN von Treppenfunktionen mit

fn|Dc “ 0 und fn Ò f

d.h. limnÑ8 fnpxq “ f pxq und fn`1pxq ě fnpxq

Beweis: Definiere Treppenfunktionen

fnpxq “

˜

n¨2n´1ÿ

k“0

k2n χtk2ńďfăpk`1q2ńu

¸

` nχtfěnu

Nun sind Mengen tk2ń ď f ă pk ` 1q2ńu und tf ě nu messbar

Also fn nach Satz 2.8 messbar

Außerdem fn Ò f l


Definition des Lebesgue IntegralsDefinition 2.11

(i) Lebesgue-Integral positiver Treppenfunktion zu αn ě 0 und An P Aż

µpdxq f pxq “Nÿ

n“1

αn µpAnq , f “Nÿ

n“1

αnχAn

(ii) Sei f : D Ñ R Lebesgue-messbar und positivSei pfnqną1 monoton wachsende Folge von Treppenfunktionenmit fn ě 0, fn|Dc “ 0 und fn Ò f (z.B. wie im Satz 2.10)Dann ist Lebesgue-Integral von f definiert alsż

Dµpdxq f pxq “ lim

nÑ8

ż

µpdxq fnpxq “ supn

ż

µpdxq fnpxq P r0,8s

Weitere Notationen:ş

D dx f pxq “ş

D f pxqdx “ µpfχDq

Letzteres betont, dass das Integrieren ein lineares Funktional istBis jetzt nur Integral nicht-negativer Funktionen (andere spater)


Satz 2.12

Integral ist wohl-definiert

(Wert unabhangig von Wahl der Folge fn)

Es ist positiv-linear und monoton, d.h. fur messbare f ,g ě 0 und λ ě 0:ż

µ pdxq`

f pxq ` λgpxq˘

“

´

ż

µ pdxq f pxq¯

` λ´

ż

µ pdxqgpxq¯

f ď g ùñ

ż

µ pdxq f pxq ďż

µ pdxqgpxq

bzw. kurz

µpf ` λgq “ µpf q ` λµpgqf ď g ùñ µpf q ď µpgq

Beweis:

Behauptung 1: Integral linear und monoton auf Treppenfunktionen


Begrundung: Seien f “řN

n“1 αnχAn und g “řk

k“1 βnχBn

Hierbei seien pAnqn“1,...,N und pBk qk“1,...,K jeweils disjunkt. Setze

A0 “´

ď

nAn

¯cB0 “

´

ď

k

Bk

¯c

und α0 “ β0 “ 0. Dann ist f ` λg “řN

n“0řK

k“0pαn ` λβk qχAnXBk

Treppenfunktion und

µpf ` λgq “Nÿ

n“0

Kÿ

k“0

pαn ` λβk qµpAn X Bk q

“

Nÿ

n“0

αn

˜

Kÿ

k“0

µpAn X Bk q

¸

` λKÿ

k“0

βk

˜

Nÿ

n“0

µpAn X Bk q

¸

“

Nÿ

n“1

αnµpAnq ` λKÿ

k“1

βkµpBk q “ µpf q ` λµpgq

Monotonie folgt analog ˛


Behauptung 2: Fur Treppenfunktionen fn,h mit fn Ò f und 0 ď h ď f :

µphq ď limnµpfnq

Begrundung: Sei h “řL`“1 γ`χC` mit messbaren disjunkten C`

Fur ε ą 0, setze

C`,n “ tx P C` | fnpxq ě γ`p1´ εqu

DannC`,n Ă C`,n`1 Ă C`

Da fn Ò f ě h, gilt

C` “ď

ně1

C`,n “ C`,1˝Y

´

ď

ně2

C`,nzC`,n´1

¯

und somit nach σ-Additivitat

µpC`q “ limnÑ8

´

µpC`,1q `

nÿ

k“2

µpC`,kzC`,k´1q¯

“ limnÑ8

µpC`,k q


Nun unter Verwendung von Behauptung 1:

µpfnq ě µ

˜

Lÿ

`“1

fnχC`,n

¸

, da fn ěLÿ

`“1

fnχC`,n Treppenfunktion

“

Lÿ

`“1

µ´

fnχC`,n

¯

ě

Lÿ

`“1

γ`p1´ εqµpC`,nq nach Definition von C`,n und Beh. 1

Also im Limes

limnÑ8

µpfnq ě p1´ εqLÿ

`“1

γ` limnÑ8

µpC`,nq “ p1´ εqµphq

Da dies fur alle ε ą 0 gilt, folgt Behauptung 2 ˛


Behauptung 3: Fur Treppenfunktionen fn,gm mit fn Ò f und gm Ò f :

limnÑ8

µpfnq “ limmÑ8

µpgmq

Begrundung: Da gm ď f , folgt nach Behauptung 2

µpgmq ď limnÑ8

µpfnq

Also limmÑ8 µpgmq ď limnÑ8 µpfnq. Dann vertausche die Rollen ˛

Jetzt Linearitat und Monotonie fur messbare FunktionenSeien fn Ò f , gn Ò g, dann fn ` λgn Ò f ` λg und somit

µpf ` λgq Beh.3“ limµpfn ` λgnq

Beh.1“ limµpfnq ` λµpgnq “ µpf q ` λµpgq

Fur die Monotonie sei zudem f ď g. Setze

fn “ mintfn,gnu gn “ maxtfn,gnu

Dann giltfn ď gn und lim fn “ f lim gn “ g

so dassµpf q “ limµpfnq

Beh.1ď limµpgnq “ µpgq l


Satz 2.13 (Monotone Konvergenz, Beppo Levi)

0 ď fn, f messbar und fn Ò f , d.h. fn ď fn`1 und limnÑ8 fn “ fùñ limnÑ8 µpfnq “ µpf q

Beweis: Fur jedes n P N existiert nach Satz 2.10 Folge vonTreppenfunktionen pgn,k qkě1 mit gn,k Ò fn. Setze

hn,k “ maxtg1,k , . . . ,gn,ku

Dann: hn,k Treppenfunktion, monoton wachsend in n und kDa hn,k ď fn ď f und anschließend hn,k monoton in n:

f ě limkÑ8

hk ,k ě limkÑ8

hn,k “ fn

Somitf “ lim

kÑ8hk ,k

und unter zweifacher Verwendung von Satz 2.12

µpf q “ limkÑ8

µphk ,k q ď limkÑ8

µpfk q ď limkÑ8

µpf q “ µpf ql


Spater wird gezeigt, dass Voraussetzung fn ě 0 nicht notwendig istDurch Anwendung von Satz 2.13 auf Teilsummen:

Korollar 2.14

fn ě 0 ùñ µ´

ř

ně1 fn¯

“ř

ně1 µpfnq

Satz 2.15 (Lemma von Fatou)

fn ě 0 messbar ùñ lim infnÑ8 µpfnq ě µplim infnÑ8 fnq

Beweis: Fur m ě n gilt: fm ě infkěn fkSomit nach der Monotonie: µpfmq ě µ

`

infkěn fk˘

Also: infměn µpfmq ě µ`

infkěn fk˘

und somit:

lim infnÑ8

µpfnq “ limnÑ8

infměn

µpfmq ě limnÑ8

µ`

infkěn

fk˘

“ µ`

limnÑ8

infkěn

fk˘

“ µ`

lim infnÑ8

fn˘

wobei im vorletzten Schritt Satz 2.13 verwandt wurde l


Definition 2.16

f : Rd Ñ R Lebesgue-messbar

(falls auf messbarem D Ă Rd definiert, durch 0 fortsetzen)

f (Lebesgue-) integrierbar ðñ µp|f |q ă 8

Falls f integrierbar ist, definiere positive integrierbare Funktionen

f` “ maxtf ,0u , f´ “ maxt´f ,0u

so dass f “ f` ´ f´, und definiere das Lebesgue-Integral als

µpf q “ µpf`q ´ µpf´q

Alternative Schreibweisen: µpf q “ş

µpdxq f pxq “ş

f pxqdx . . .

Satz 2.17

Integral ist monoton und linear auf integrierbaren Funktionen


Beweis: Monotonie: f ď g. Dann 0 ď f` ď g`, 0 ď g´ ď f´Somit nach der Monotonie fur positive Funktionen

µpf`q ď µpg`q µpg´q ď µpf´q

undµpf q “ µpf`q ´ µpf´q ď µpg`q ´ µpg´q “ µpgq

Fur Linearitat beachte zunachst, dass wegen

|f ` λg| ď |f | ` |λ||g|

auch f ` λg integrierbar ist. Fur λ ě 0 (analog λ ă 0) gilt

pf ` λgq` ´ pf ` λgq´ “ f ` λg “ f` ` λg` ´ f´ ´ λg´

d.h.pf ` λgq` ` f´ ` λg´ “ pf ` λgq´ ` f` ` λg`

Wegen Linearitat fur positive Funktionen gilt

µppf ` λgq`q ` µpf´q ` λµpg´q “ µppf ` λgq´q ` µpf`q ` λµpg`q

Umordnung und Definition des Integrals ergeben Beweis l


Satz 2.18 (Lebesgue’s Theorem der majorisierten Konvergenz)

fn,g : Rd Ñ R messbar, |fn| ď g, µpgq ă 8, und limnÑ8 fn “ f existiereDann

limnÑ8

µpfnq “ µ`

limnÑ8

fn˘

“ µpf q

Beweis: Es gilt g ` fn ě 0 und g ´ fn ě 0Nach Linearitat und gemaß des Lemmas von Fatou folgt

µpgq ` lim inf µp˘fnq “ lim inf µpg ˘ fnqFatouě µpg ˘ f q “ µpgq ˘ µpf q

Somit nach Subtraktion von µpgq:

µpf q ď lim inf µpfnq und ´ µpf q ď lim inf µp´fnq “ ´ lim supµpfnq

und zusammen ergibt sich

µpf q ď lim inf µpfnq ď lim supµpfnq ď µpf ql


Beispiel 2.19

I “ limnÑ8

ż 2

0µpdxq

nx8 ` n

Vertauschung von Limes und Integral erlaubt

weil: entweder monotone Konvergenz da Bnn

x8`n “x8

px8`nq2 ą 0

oder majorisierte Konvergenz da nx8`n ď 1

Da limnÑ8n

x8`n “ 1, folgt I “ 2

Beispiel 2.20

I “ limnÑ8

ż 8

aµpdxqnp1` x2n2q´1

fur a ą 0Da n

1`x2n2 ď1

1n`x2n

ď 1x2n ď

1x2 und 1

x2 integrierbar auf ra,8q ist,

greift majorisierte Konvergenz. Es folgt I “ 0


Beispiel 2.21Sei fnpxq “ nχp0, 1

n s. Dann f pxq “ limnÑ8 fnpxq “ 0 und

limnÑ8

ż

µpdxq fnpxq “ limnÑ8

1 ą 0 “

ż

µpdxq limnÑ8

fnpxq

Tatsachlich ist Folge fn nicht durch integrierbare Funktion majorisiertIn der Tat, kleinste obere Schranke gpxq “ supn fnpxq erfullt @ N P N

ż 1

0µpdxqgpxq ě

ż 1

1N

µpdxqgpxq “N´1ÿ

n“1

ż 1n

1n`1

µpdxqn “

N´1ÿ

n“1

1n ` 1

Im Limes N Ñ8 divergiert rechte Seite (harmonische Reihe)Außerdem: fn nicht monoton, also auch keine monotonen Konvergenz


Definition 2.22

Seien f ,g : Rd Ñ R Lebesgue-messbarf “ g (im Sinne von Lebesgue) fast sicherðñ D Nullmenge N mit f pxq “ gpxq @ x P RdzNGenauso: f ď g, f ă g, . . . fast sicher

Satz 2.23

Seien f ,g : Rd Ñ R Lebesgue-messbar und f ě 0(i) f “ 0 fast sicher ðñ µpf q “ 0(ii) µpf q ă 8 ùñ f ă 8 fast sicher(iii) f ď g fast sicher ùñ µpf q ď µpgq(iv) f “ g fast sicher ùñ µpf q “ µpgq


Beweis: (i) Behauptung offensichtlich richtig fur TreppenfunktionenSei pfnqnPN monotone Folge positiver Treppenfunktionen mit fn Ò f

f “ 0 fast sicher ðñ fn “ 0 fast sicher @ n P N (Monotonie)ðñ µpfnq “ 0 @ n P N (Treppenfunktionen)ðñ limµpfnq “ 0 (da µpfnq monoton)ðñ µpf q “ 0 (nach Definition des Integrals)

(ii) Falls µptf “ 8uq ą 0 folgt µpf q “ 8(iii) Sei N “ tf ą gu. Dann µpNq “ 0 nach Voraussetzung und

µpf q “ µ pχN f q ` µ pχNc f q (Linearitat)“ 0` µ pχNc f q (nach (i), da χN f “ 0 fast sicher)ď µpχNc gq (nach Definition von N)ď µpgq

(iv) folgt durch doppelte Anwendung von (iii) l


Erinnerung an Konstruktion des Riemann Integrals:Seien ZN Zerlegungen a “ x0 ă x1 ă . . . ă xN “ bZudem sei ZN Verfeinerung von ZN´1

Dazu sind Untersumme und Obersumme von f : ra,bs Ñ R definiert

UZN pf q “Nÿ

n“1

pxn ´ xn´1q infxPrxn´1,xns

f pxq

OZN pf q “Nÿ

n“1

pxn ´ xn´1q supxPrxn´1,xns

f pxq

Dann: Upf q “ limNÑ8UZN pf q nach Opf q “ limNÑ8OZN pf qf Riemann-integrierbar ðñ Upf q “ Opf q

Dann ist das Riemann-Integral R-şba dx f pxq “ Upf q “ Opf q

Satz 2.24

f : ra,bs Ñ R Riemann-integrierbar und messbar

ùñ f Lebesgue-integrierbar und µpf q “ R-şba dx f pxq


Beweis:|f | beschrankt (sonst Ober- oder Untersumme 8 oder ´8)Somit f Lebesgue-integrierbar (da µpra,bsq ă 8)Definiere

uN “

Nÿ

n“1

ˆ

infrxn´1,xns

f˙

χrxn´1,xns

oN “

Nÿ

n“1

˜

suprxn´1,xns

f

¸

χrxn´1,xns

Dann: uN bzw. oN monoton wachsend bzw. fallend in N, und

UZN pf q “ µpuNq , OZN pf q “ µpoNq

Also 0 ď oN ´ uN monoton fallend und somit auch konvergent:

0 ď limNpoN ´ uNq “ lim

NoN ´ lim

NuN


Es folgt

0 ď µ

ˆ

limNpoN ´ uNq

˙

(Monotonie)

ď lim infN

µpoN ´ uNq (Fatou)

“ lim infN

µpoNq ´ µpuNq (Linearitat)

“ lim infN

OZN pf q ´ UZN pf q

“ 0 (nach Voraussetzung)

Somit µ plimNpoN ´ uNqq “ 0 und nach Satz 2.23 folgt

limN

oN “ limN

uN fast sicher

Da uN ď f ď oN , folgt f “ limN uN fast sicher und f Lebesgue meßbarNach dem Satz fur monotone Konvergenz

µpf q “ µplimN

uNq “ limNµpuNq “ lim

NUZN pf q “ R-

ż b

adx f pxq

l


3 IntegrationstechnikenErstes Ziel: Satz von FubiniZweites Ziel: Jacobi’sche Transformationsformel

Gegeben f : Rd ˆ Rk “ Rd`k Ñ RZu x “ px1, . . . , xdq P Rd und y “ py1, . . . , yk q P Rk definiere:

fx : Rk Ñ R , fy : Rd Ñ R

durchfxpyq “ f px , yq , fy pxq “ f px , yq

Satz von Fubini: folgende Formel sinnvoll und richtig

µd`k pf q “ż

µdpdxqµk pfxq “ż

µk pdyqµdpfy q (3.1)

wobei µd das d-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnetIntegrationstechnik fur hoher dimensionale Integrale(deren Ruckfuhrung auf eindimensionale Integrale)

Analysis 3 3. Integrationstechniken 71 / 371

Definition 3.1

f : Rd ˆ Rk Ñ R heißt doppelintegrierbarðñ fur fast alle x und y sind fx : Rk Ñ R und fy : Rd Ñ R integrierbarund Funktionen x P Rd ÞÑ µk pfxq und y P Rk ÞÑ µdpfy q integrierbarFur f doppelintegrierbare sind Doppelintegrale definiert durch

µdpµk pf qq “ż

µdpdxqµk pfxq und µk pµdpf qq “ż

µk pdyqµpfy q

Bemerkung 3.2Wert µk pfxq auf Nullmenge, wo fx nicht integrierbar, ist unwichtigfur Integrierbarkeit und Integral von x ÞÑ µk pfxq (nach Satz 2.23)Analoges gilt fur fy


Lemma 3.3

(i) Doppelintegrierbare Funktionen bilden Vektorraum VD

Doppelintegrale sind linear, d.h. fur f ,g P VD und λ P R

µdpµk pf ` λgqq “ µdpµk pf qq ` λµdpµk pgqqµk pµdpf ` λgqq “ µk pµdpf qq ` λµk pµdpgqq

(ii) Seien fn ě 0 doppelintegrierbar mit fn Ò f und D C ă 8 mit

µdpµk pfnqq ď C , µk pµdpfnqq ď C

ùñ f doppelintegrierbar und

limnÑ8

µdpµk pfnqq “ µdpµk pf qq , limnÑ8

µk pµdpfnqq “ µk pµdpf qq

(iii) fn ě 0 doppelintegrierbar und fn Ó fDann gelten gleichen Folgerungen wie in (ii)


Beweis: (i) folgt nach doppelter Anwendung von Satz 2.17(integrierbare Funktionen bilden Vektorraum und Integral linear)(ii) Fur n P N D Nullmenge Nn Ă Rd mit pfnqx integrierbar @ x R Nn

Dann ist N “Ť

nPN Nn eine Nullmenge. Setze

Fnpxq “

#

µk ppfnqxq , x P RdzN0 , x P N

Dann Fn integrierbar (insbesondere messbar)Wegen Monotonie des µk -Integrals gilt Fn Ò FNach Voraussetzung und Satz der monotonen Konvergenz folgt

C ě limnÑ8

µdpFnq “ µdpF q

d.h. Limesfunktion F ist µd -integrierbarZudem gilt fur fast alle x :

8 ą F pxq “ limnÑ8

µk ppfnqxq “ µk pfxq

Letzteres nach Satz der monotonen KonvergenzAnalysis 3 3. Integrationstechniken 74 / 371

Somit: fx fast sicher integrierbar und x ÞÑ µk pfxq integrierbar(da F integrierbar)Da Gleiches auch fur µdppfnqy q gilt: f doppelintegrierbarAußerdem

µdpµk pf qq “ż

µdpdxqµk pfxq

oben“

ż

µdpdxq limnÑ8

µk ppfnqxq

“ limnÑ8

ż

µd pdxqµk ppfnqxq (monotone Konvergenz)

“ limnÑ8

µdpµk pfnqq

(iii) folgt, wenn (ii) auf f1 ´ fn angewandt wird l


Satz 3.4 (Prinzip von Cavalieri 1635)

A Ă Rd`k messbar mit µd`k pAq ă 8ùñ fur fast alle x P Rd ist die Menge

Ax “ ty P Rk | px , yq P Au

messbar mit endlichem Maß µk pAxq

Zudem: Funktion x P Rd ÞÑ µk pAxq ist messbar und

µd`k pAq “ż

µd pdxqµk pAxq

Analoges gilt nach Vertauschung der Rollen von Rd und Rk

Bemerkung 3.5Satz besagt: charakteristische Funktion χA doppelintegrierbar und

µd`k pχAq “ µdpµk pχAqq “ µk pµdpχAqq


Beweis:

Behauptung 1: Satz gilt fur halboffene Quader A “ Q

Anders gesagt: χQ doppeltintegrierbar fur jeden halboffenen Quader

Begrundung:

Zerlege Q “ Q1 ˆQ2 in halboffene Quader Q1 Ă Rd und Q2 Ă Rk

Dann µd`k pQq “ µdpQ1qµk pQ2q und χQpx , yq “ χQ1pxqχQ2pyq

Zudem pχQqx “ χQ1pxqχQ2

Daher ist pχQqx integrierbar fur alle x und µk ppχQqxq “ χQ1pxqµk pQ2q

Diese Funktion in x ist µd -integrierbar und

µdpµk pχQqq “ µdpQ1qµk pQ2q “ µd`k pQq “ µd`k pχQq

Gleiches gilt fur die umgekehrte Reihenfolge ˛


Behauptung 2:

Satz gilt fur endliche Vereinigung A “ Q1 Y . . .YQN von Quadern

Begrundung: Ohne Einschrankung sind Qn paarweise disjunkt

Dann χA “ χQ1 ` . . .` χQN

Behauptung 1: χQn doppelintegrierbar

Nach Lemma 3.3 (i) auch χA doppelintegrierbar mit Doppelintegral

µdpµk pχAqq “

Nÿ

n“1

µdpµk pχQnqq

Beh.1“

Nÿ

n“1

µd`k pχQnq

“ µd`k pχAq˛


Behauptung 3: Satz gilt fur offene Mengen A

Anders gesagt: χA doppeltintegrierbar fur jede offene Menge A

Begrundung: A “Ť

ně1 Qn ist abzahlbare Vereinigung von Quadern

(jeder Punkt in A liegt in halboffenem Quader mit rationalen Ecken)

Setze AN “ŤN

n“1 Qn. Dann gilt χAN Ò χA

Zudem sind Doppelintegrale gleichmaßig beschrankt:

µdpµk pχAN qqBeh.2“ µd`k pANq ď µd`k pAq “ C ă 8

Also nach Lemma 3.3(ii) auch χA doppelintegrierbar und

µdpµk pχAqq “ limNµdpµk pχAN qq “ lim

Nµd`k pANq “ µd`k pAq

Analoges gilt fur das andere Doppelintegral ˛


Behauptung 4: Satz gilt fur jedes messbare A mit µd`k pAq ă 8Begrundung:Nach außerer Regularitat: @ n D Un Ą A mit µd`k pUnzAq ă 1

n

Ohne Einschrankung Un Ą Un`1. Setze U “Ş

ně1 Un

Dann: µd`k pUq “ µd`k pAq und U Ą ADa χUn Ó χU und χUn nach Behauptung 3 doppelintegrierbar,folgt nach Lemma 3.3 (iii), dass χU doppelinterierbar und

µdpµk pχUqq “ limnµdpµk pχUnqq

Beh.3“ lim

nµd`k pUnq “ µd`k pUq “ µd`k pAq

und analog fur µk pµdpχUqq

Nun: disjunkte Zerlegung χA “ χU ´ χN mit N “ UzA NullmengeWir zeigen:χN doppelintegrierbar, µdpµk pχNqq “ 0 sowie pχNqx “ 0 fur fast alle xDann pχAqx “ pχUqx fast sicher und µk pχAqxq “ µk ppχUqxq fast sicherKombiniert mit Lemma 3.3(i) folgt Behauptung 4


Es verbleibt: Aussagen uber Nullmenge N nachweisen

Wie oben, konstruiere W Ą N mit µd`k pW q “ µd`k pNq “ 0

Ebenso wie oben: χW doppelintegrierbar und µdpµk pχW qq “ 0

Nach Satz 2.23 zudem: pχW qx “ 0 fur fast alle x

Da χN ď χW , ist pχNqx “ 0 fast sicher

Somit χN insbesondere doppelintegrierbar ˛

Damit ist der Beweis von Cavalieri beendet l


Beispiel 3.6 (Kugelvolumina)

Gegeben d-dimensionale Kugel bez. der euklidischen Metrik:

Bdr “ tx P Rd | x ď ru , x2 “

dÿ

j“1

pxjq2

Behauptung:

µdpBdr q “ rd

$

’

&

’

%

πd2

d2 !, d gerade

2¨p2πqd´1

2

1¨3¨...¨d , d ungerade

Beweis durch Induktion uber dZunachst Induktionsanfang: µ1pB1

r q “ 2r und µ2pB2r q “ πr2 klar

Außerdem nach Prinzip von Cavalieri:

µdpBdr q “

ż r

´rµ1pdxqµd´1ppBd

r qxq

wobei pBdr qx “ ty P Rd´1 | px , yq ă ru “ Bd´1?

r2´x2


Beispiel (Fortsetzung Kugelvolumina)

Durch Iteration zeigt dies:

µdpBdr q “ βd rd

mit zu bestimmenden Koeffizienten βd ą 0, welche erfullen:

βd rd “

ż r

´rµ1pdxqβd´1pr2 ´ x2q

d´12

“

ż π2

´π2

dθ r cospθqβd´1rd´1 cospθqd´1

“ rd βd´1

ż π2

´π2

dθ cospθqd

mit Substitution x “ r sinpθq. Also setze

Id “

ż π2

´π2

dθ cospθqd “βd

βd´1


Beispiel (Fortsetzung Kugelvolumina)

Id “

ż π2

´π2

dθ cospθqd “

ż π2

´π2

dθ cospθq pcos θqd´1

“ sinpθq pcospθqqd´1 |π2´π

2´

ż π2

´π2

dθ sinpθqpd ´ 1q cospθqd´2p´ sinpθqq

dě1“ pd ´ 1q

ż π2

´π2

dθ p1´ cos2pθqq cospθqd´2

“ pd ´ 1qpId´2 ´ Idq “d ´ 1

dId´2

Somit nach Multiplikation mit dId´1, Iteration und Evaluation:

dId´1Id “ pd ´ 1qId´2Id´1 “ . . . “ 2 I1I2 “ 2 ¨ 2 ¨π

2“ 2π

Wegen β1 “ 2 und β2 “ π folgt somit Ergebnis iterativ aus

βd “ Idβd´1 “ Id Id´1 βd´2 “2πdβd´2


Satz 3.7 (Satz von Fubini-Tonelli)

f : Rd`k Ñ R integrierbar ùñ f doppelintegrierbar und

µd`k pf q “ µdpµk pf qq “ µk pµdpf qq

Beweis: Fur f “ χA klar nach CavalieriTreppenfunktion f “

řNn“1 αnχAn : Lemma 3.3(i) und Linearitat

Jetzt f ě 0 integrierbar und Treppenfunktionen mit fn Ò f . Dann:

µk pµdpfnqq “ µdpµk pfnqq “ µd`k pfnq ď µd`k pf q ă 8

Somit Lemma 3.3(ii) anwendbar, also f doppelintegrierbar und

µdpµk pf qq “ limnµdpµk pfnqq

Treppe“ lim

nµd`k pfnq

Beppo“ µd`k pf q

analog“ µk pµdpf qq

Falls f beliebig, zerlege f “ f` ´ f´ fur die separat Obiges giltMit Lemma 3.3 (i) folgt der Satz dann auch fur f l


Beispiel 3.8

Sei D “ r0, πs ˆ“

´π2 ,

π2

‰

ˆ r0,1s Ă R3 und f : D Ñ R gegeben durch:

f px , y , zq “ z sinpx ` yq

Dannµ3pfχDq “

ż 1

0dz

ż π2

´π2

dyż π

0dx z sinpx ` yq

“

ż 1

0dz

ż π2

´π2

dy ´ z cospx ` yq|π0

“

ż 1

0dz

ż π2

´π2

dy 2z cospyq

“

ż 1

0dz 2z sinpyq|

π2´π

2

“

ż 1

0dz 4z “ 2


Umkehrung unter Zusatzvoraussetzung:

Satz 3.9

f : Rd ˆ Rk Ñ R doppelintegrierbar und f ě 0 ùñ f integrierbar

Beweis: Wahle positive Treppenfunktionen fn Ò fSchranke fn auf Kugel Bn mit Radius n um 0 einDann ist gn “ fnχBn integrierbar und gn Ò fNach Satz von Fubini ist gn doppelintegrierbar und

µd`k pf q “ limnÑ8

µd`k pgnq (monotone Konvergenz)

“ limnÑ8

µdpµk pgnqq (Fubini)

“ µdpµk pf qq (monotone nach Lemma 3.3)ă 8

l


Beispiel 3.10 (Voraussetzung f ě 0 in Satz 3.9 notwendig!)

D doppelintegrierbare Funktionen mit verschiedenen Doppelintegralen:

gnpxq “1

1n ´

1n`1

χr 1n`1 ,

1n spxq , x P r0,1s

f px , yq “8ÿ

n“1

`

gnpxq ´ gn`1pxq˘

gnpyq , x , y P r0,1s

Summe konvergent, da Trager der Summanden disjunktDa fur jedes y nur ein Summand und µ1pgnq “ 1:ż 1

0dy

ż 1

0dx f px , yq “

ż 1

0dy

ż 1

0dx

8ÿ

n“1

`

gnpxq ´ gn`1pxq˘

gnpyq

“

ż 1

0dyp1´ 1qgnpyq “ 0

ż 1

0dx

ż 1

0dy f px , yq “

ż 1

0dx

8ÿ

n“1

pgnpxq ´ gn`1pxqq “ż 1

0dx g1pxq “ 1


Satz 3.11 (Jacobi’sche Transformationsformel)

U,U 1 Ă Rd offen und φ : U Ñ U 1 “ φpUq ist C1-Diffeomorphismus(d.h. φ invertierbar und φ, φ´1 differenzierbar mit stetiger Ableitung)Zudem: f : U 1 Ñ R integrierbarùñ f ˝ φ : U Ñ R integrierbar und

ż

φpUqµpdx 1qf px 1q “

ż

Uµpdxqpf ˝ φqpxq| detpφ1pxqq|

Hierbei heißt detpφ1pxqq die Jacobi-Determinante

Erinnerung:φ1 Linearisierung von φSomit φ1pxq : Rd Ñ Rd invertierbare d ˆ d MatrixAlso nach Voraussetzung | detpφ1pxqq| ą 0 stetig


Beweis:Behauptung 1: Es reicht zu zeigen, dass

ż

φpUqµpdx 1q f px 1q ď

ż

Uµpdxq pf ˝ φqpxq | detpφ1pxqq| (3.2)

Begrundung: Fur φ´1 : U 1 Ñ U und g “ pf ˝ φq| detpφ1q| folgt dannż

Uµpdxq pf ˝ φqpxq | detpφ1pxqq| “

ż

φ´1pU1qµpdxqgpxq

ď

ż

U1µpdx 1q pg ˝ φ´1qpx 1q| detppφ´1q1px 1qq|

“

ż

U1µpdx 1q pf ˝ φ ˝ φ´1qpx 1q| detpφ1pφ´1pxqqq|| detppφ´1q1px 1qq|

“

ż

U1µpdx 1q f px 1q

Letzteres wegen Kettenregel 1 “ pφ ˝ φ´1q1 “ pφ1 ˝ φ´1qpφ´1q1 ˛


Behauptung 2: Es reicht, (3.2) fur Indikatorfunktionen zu zeigen

Begrundung: (inzwischen Standard)

Linearitat des Integrals: (3.2) dann auch fur Treppenfunktionen

Monotone Konvergenz: auch fur positive integrierbare Funktionen

(da aus fn Ò f auch pfn ˝ φq| detpφ1q| Ò pf ˝ φq| detpφ1q| folgt)

Beliebige integrierbare Funktion zerlege in Positiv- und Negativteil ˛

Noch zu zeigen: fur jedes messbare A Ă U mit µpAq ă 8 gilt

µpφpAqq ďż

Aµpdxq | detpφ1pxqq| (3.3)

Falls φ linear ist, d.h. φ1pxq “ φ fur alle x P U,

folgt (3.3) aus Satz 2.23, der sogar Gleichheit liefert

Grundidee: approximiere φ lokal durch affine Abbildungen


Behauptung 3: Hinreichend (3.3) unter der zusatzlichen Annahme:φ hat Erweiterung auf Kompaktum K Ą U als C1-DiffeomorpismusBegrundung: Betrachte, fur k P N,

Uk “

"

x P Uˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x ă k und dpx ,RdzUq ą1k

*

Dann: Uk Ă U kompakt undŤ

k Uk “ UWenn also (3.3) fur Uk mit Ak “ AX Uk gilt, dann (monotone Konv.):

µpφpAqq “ limkµpφpAk qq ď lim

k

ż

Ak

µpdxq | detφ1pxq| “ż

Aµpdxq | detφ1pxq|

˛

Also: φ1 und pφ´1q1 gleichmaßig stetig und uniform beschrankt auf U

M “ supxPU

max!

φ1pxq , pφ´1q´1pφpxqq , | detpφ1pxqq|)

ă 8


Behauptung 4: (3.3) gilt fur Quader A “ Q

Beweis: Wegen gleichmaßiger Stetigkeit von Φ auf Q:Zu ε ą 0 D δ ą 0 mit φ1pxq ´ φ1pyq ď ε @ x , y P Q mit dpx , yq ă δ

Zerlege disjunkt Q “Ť

n Qn in Quader mit Seitenlange ď δ

Sei qn P Qn der MittelpunktφpQnq zwar kein Paralleliped, aber vergleichbar mit Paralleliped

Pn “ φpqnq ` φ1pqnqpQn ´ qnq

In der Tat, fur x P Qn

φpxq´pφpqnq ` φ1pqnqpx ´ qnqq

“

›

›

›

›

›

ż 1

0dt

ddtφpqn ` tpx ´ qnqq ´ φ

1pqnqpx ´ qnq

›

›

›

›

›

ď

ż 1

0dt φ1pqn ` tpx ´ qnqq ´ φ

1pqnqx ´ qn ď εδ


Somit: φpQnq enthalten in Paralleliped P 1n gegeben durch Streckungder Seiten von Pn um Faktor 1` ε. Also

µpφpQnqq ď µpP 1nq ď p1` εqdµpPnq “ p1` εqd | detpφ1pqnqq|µpQnq

Letzteres nach Satz 2.23Zudem φpQq “ pφ´1q´1pQq Borelmenge (da φ´1 stetig)Es gilt:

µpφpQqq “ÿ

nµpφpQnqq ď p1` εqd

ÿ

n| detpφ1pqnqq|µpQnq

Treppenfunktionř

n | detpφ1pqnqq|χQn konvergieren gegen | detpφ1q|χQ

fur δ Ó 0. Alles beschrankt durch M χQ

Somit nach Satz von Lebesgue

µpφpQqq ď p1` εqdż

Qµpdxq | detpφ1pxqq|

Im Limes εÑ 0 folgt Behauptung ˛


Behauptung 5: (3.3) gilt fur jede messbare Menge ABeweis: pQnqnPN Quaderuberd. von A mit µ˚ p

Ť

n QnzAq ă ε

ùñ pφpQnqqnPN Uberdeckung von φpAq mit Borelmengen. Mit Beh. 4

µ˚pφpAqq ďÿ

nµ˚pφpQnqq ď

ÿ

n

ż

Qn

µpdxq | detpφ1pxqq|

“

ż

Ť

n Qn

µpdxq | detpφ1pxqq| ď ε ¨M `

ż

Aµpdxq | detpφ1pxqq|

d.h.µ˚pφpAqq ď

ż

Aµpdxq | detpφ1pxqq| (3.4)

Nun zerlege A “ B˝Y N in Borelmenge B und Nullmenge N

Dann zeigt (3.4), dass φpNq auch Nullmenge istφpBq Borelmenge ùñ µ˚pφpAqq “ µ˚pφpBqq “ µpφpBqq “ µpφpAqqEingesetzen in (3.4) zeigt Behauptung ˛ l


Beispiel 3.12 (Gauss-Integral)

ˆż 8

´8

dx e´x2˙2

“

ż 8

´8

dxż 8

´8

dy e´x2eý2

“

ż

R2µpdxqe´|x |

2

nach Fubini. Nun Polarkoordinaten

φpr , ψq “ pr cospψq, r sinpψqq , φ1pr , ψq “

˜

cospψq ´r sinpψq

sinpψq r cospψq

¸

wobei φ : Rą0 ˆ p0,2πq Ñ R2ztpx ,0q | x ě 0u “ R2zRě0 Diffeomorph.

ż

R2zRě0

µpdxqe´|x |2“

ż

Rą0ˆp0,2πqµpdr ,dψqe´r2

| detpφ1pψ, rqq|

“

ż 8

0dr r e´r2

2π “ π

Somit ist Gauss’sche Integral berechnet:ş8

´8dx e´|x |

2“?π


Beispiel 3.13 (Kugelkoordinaten als zweites Standardbeispiel)

Kugelkoordinaten fur rotationssymmetrische Integrale im R3:

φ : Rą0 ˆ p´π, πq ˆ`

´π2 ,

π2

˘

ÝÑ R3zS

wobeiS “

!

x “´ x1

x2x3

¯ ˇ

ˇ

ˇx1 ď 0 , x2 “ 0

)

und

φpr , ϕ, θq “ˆ

r cospθq cospϕqr cospθq sinpϕq

r sinpθq

˙

Dann

φ1pr , ϕ, θq “ˆ

cospθq cospϕq ´r cospθq sinpϕq ´r sinpθq cospϕqcospθq sinpϕq r cospθq cospϕq ´r sinpθq sinpϕq

sinpθq 0 r cospθq

˙

und somit nach kurzer Rechnung:

detpφ1pr , ϕ, θqq “ r2 cospθq ą 0


Beispiel (Kugelkoordinaten Fortsetzung)Also fur Integral uber Kugel BRp0q mit Radius R:

ż

BRp0qµ3pdxq f pxq “

ż R

0dr

ż π

´πdϕ

ż π2

´π2

dθ r2 cospθq f pφpr , ϕ, θqq

Insbesondere, wenn f rotationssymmetrisch ist und f ˝ φpr , ϕ, θq “ f prq,

ż

BRp0qµ3pdxq f pxq “ 4π

ż R

0dr r2 f prq

Z.B. (vergleiche Beispiel 3.6):

VolpBRp0qq “ż

BRp0qµ3pdxq “ 4π

ż R

0dr r2 “

4π3

R3


Beispiel 3.14 (Matrixintegrale)

Sympn,Rq Menge reeller symmetrischer n ˆ n Matrizen

Als Menge mit Rd identisch wobei d “ npn`1q2

Somit gibt es Lebesgue-Maß µd auf Sympn,RqEin Matrixintegral einer integrierbaren Funktionen f : Sympn,Rq Ñ R ist

ż

µdpdX q f pX q

Zu gegebenen invertierbaren A P Glpn,Rq betrachte

φ : Sympn,Rq Ñ Sympn,Rq , φpX q “ AXAT

Abbildung φ linear in X und invertierbar mit φ´1pX q “ A´1X pA´1qT

Behauptung: Fur alle X P Sympn,Rq gilt detpφ1pX qq “ detpAqn`1

Also sehr hilfreiche Transformationsformel fur U Ă Sympn,Rq:ż

AUATµdpdX q f pX q “ | detpAq|n`1

ż

UµdpdX q f pAXAT q


Beispiel (Matrixintegrale Fortsetzung)Begrundung: Nach erweiterten Gauss-Algorithmus ist

A “ E1 ¨ . . . ¨ EJ ,

wobei die Ej Matrizen der folgenden Gestalt sind (BraKet-Notation):

E “ 1` |`yxk | , E “ 1` pλ´ 1q|kyxk |

mit k , ` P t1, . . . ,nu, k ‰ `, λ P R und λ “ 0. Dann

φpX q “ E1 ¨ . . . ¨ EJXETJ ¨ . . . ¨ E

T1

Also nur Behauptung fur E und E zu zeigen, denn dann

detpφ1q “ | detpE1q|n`1 ¨ . . . ¨ | detpEJq|

n`1 “ | detpAq|n`1


Beispiel (Matrixintegrale Fortsetzung)

Sei Y “ EXET mit E wie oben und X “ pxi,jqi,j“1,...,n. Dann

Y “ p1` |`yxk |qX p1` |kyx`|q“

`

xi,j ` δ`,ixk ,j ` xi,kδ`,j ` δi,`δ`,jxk ,k˘

i,j“1,...,n (3.5)

Schreibe X als Vektor mit den Eintragen auf und uber Diagonale:

~X “ px1,1, . . . , x1,n, x2,2, . . . , x2,n, x3,3, . . . , xn´1,n´1, xn´1,n, xn,nqT P Rd

Somit Eintrage in lexikographischer Ordnung. Analog defniere ~YDann definiere “Superoperator” M P Matpd ˆ d ,Rq durch ~Y “ M~XGemaß (3.5) ist M “ 1` SFakt: S obere (untere) Dreiecksmatrix fur k ą ` (fur k ă `),jeweils ohne Eintrag auf der Diagonalen



Begrundung: Eintrage von (3.5) fur k ą ` und i ď j :

Term xi,kδ`,j :

da k ą ` “ j ě i ist Eintrag xi,k unterhalb von xi,j im Vektor ~XTerm δi,`δ`,jxk ,k :

da k ą ` “ i “ j ist Eintrag xk ,k unterhalb von xi,j “ xi,i in ~XTerm δ`,ixk ,j “ δ`,ixj,k :

da k ą ` “ i ď j ist, falls k ď j , der Eintrag xk ,j unterhalb xi,j in ~X(da k ą i), und falls k ă j der Term xj,k ebenfalls(offensichtlich fur j ą i und falls i “ j ist k ą j) ˛

Aus Fakt folgt Behauptung fur A “ E :

detpφ1q “ detpMq “ 1 “ det E “ pdetpEqqn`1



Nun zu E und Y “ EXET gegeben durch

Y “`

1` pλ´ 1q|kyxk |˘

X`

1` pλ´ 1q|kyxk |˘

“

´

xi,jδi‰kδj‰k ` λxi,jpδi‰kδj,k ` δi,kδj‰k q ` λ2xi,jδi,kδj,k

¯

i,j“1,...,n

Definiere M wieder durch ~Y “ M~XM diagonal mit einem Eintrag λ2 und pn ´ 1q Eintragen λSomit Behauptung fur E :

detpφ1q “ detpMq “ λ2 ¨ λn´1 “ λn`1 “ detpEqn`1

Zusammen ist also Jacobi-Determinante fur alle A berechnet

d.h. Behauptung detpφ1pX qq “ detpAqn`1 fur φpX q “ AXAT ist uberpruft


4 Topologische GrundlagenSchlagworter: Metrische, topologische, kompakte Raume, Stetigkeit

Definition 4.1d : X ˆ X Ñ Rě0 “ r0,8q heißt Metrik (oder Abstand) auf Menge X ,falls @ x , y , z P X gilt, dass

(i) dpx , yq “ 0 ðñ x “ y (Nichtentartung)(ii) dpx , yq “ dpy , xq (Symmetrie)(iii) dpx , yq ď dpx , yq ` dpy , zq (Dreiecksungleichung)Dann heißt pX ,dq metrischer Raum

Beispiel 4.2

X “ CN versehen mit euklidischer Metrik

dpx , yq “ x ´ y “ p

Nÿ

n“1

|xn ´ yn|2q

12

Dies ist ein Spezialfall von Folgendem:

Analysis 3 4. Topologische Grundlagen 104 / 371

Satz 4.3Jeder normierte Vektorraum pV , . q ist ein metrischer Raum mitinduzierter Metrik

dpx , yq “ x ´ y

Beweis: Erinnerung an Definition: . : V Ñ Rě0 Norm, wenn(i) λv “ |λ| v (Homogenitat)

(ii) v ` w ď v ` w (Dreiecksungleichung)

(iii) v “ 0 ùñ v “ 0 (Nicht-Entartung)

Dann dpx , yq “ x ´ y “ 0 ðñ x ´ y “ 0 ðñ x “ ySymmetrie klar nach Homogenitat und Dreiecksungleichung:

dpx , yq “ x ´ y“ x ´ z ` z ´ yď x ´ z ` z ´ y“ dpx , zq ` dpz, yq

l


Beispiel 4.4

X “ Cpra,bsq “ tf : ra,bs Ñ R stetige Funktionureeller Vektorraum der Dimension 8 mit Norm

f 8 “ supxPra,bs

|f pxq|

Die induzierte Metrik ist also

dpf ,gq “ f ´ g8 “ supxPra,bs

|f pxq ´ gpxq|

Beispiel 4.5Beispiel ganz anderer Natur: Fur Menge X setze

dpx , yq “

#

1 x ‰ y0 x “ y

Dies ist eine Metrik


Definition 4.6pX ,dq metrischer Raum, x P X , r ą 0, A Ă X Teilmenge

(i) Die (offene) Kugel mit Radius r und Mittelpunkt x ist

Br pxq “ ty P X | dpx , yq ă ru

(ii) A offen ðñ @ a P A D r ą 0 mit Br paq Ă A

Satz 4.7

pX ,dq metrischer Raum, r ą 0, x P X(i) pAiqiPI , I Indexmenge, Ai Ă X offenùñ

Ť

iPI Ai “ tx P X | x P Ai fur ein i P Iu ist offen(ii) Br pxq offen(iii) A Ă X offen ðñ A ist Vereinigung von Kugeln(iv) A,B Ă X offen ùñ AX B offen


Beweis:(i) Setze A “

Ť

iPI Ai . Sei a P Aùñ D i P I mit a P Ai

ùñ D r ą 0 mit Br paq Ă Ai (weil Ai offen)ùñ Br paq Ă A, somit A offen

(ii) Sei a P Br pxq. Sei δ “ dpa, xq ă r . Dann Br´δpaq Ă Br pxq

(iii) ”ðù” klar nach (i) und (ii)”ùñ” Zu a P A wahle ra ą 0 mit Brapaq Ă A.Dann A “

Ť

aPA Brapaq (hier ist A Indexmenge!)

(iv) a P AX B. Da sowohl A als auch B offenùñ D rA ą 0 und rB ą 0 mit BrApaq Ă A und BrBpaq Ă BSetze r “ mintrA, rBu. Dann Br paq Ă AX B. Somit AX B offen l


Beispiel 4.81. Offene Mengen in R sind Vereinigungen offener Intervalle pa,bq.2. Offene Mengen in Rd sind Vereinigungen offener Kugeln

Verallgemeinerung des metrischen Raumes: topologischer RaumNotation: PpX q “ tA | A Ă Xu Potenzmenge von X

Definition 4.9

X Menge, O Ă PpX q Mengensystem von Teilmengen von XDann heißt O Topologie auf X , falls

(i) H P O, X P O(ii) pAiqiPI , Ai P O ùñ

Ť

iPI Ai P O (O vereinigungsstabil)

(iii) Fur N P N und A1, . . . ,AN P O ùñŞN

i“1 A P O(O endlich durchschnittsstabil)

Dann heißt pX ,Oq topologischer Raum und Elemente von O offen


Bemerkung 4.10pX ,dq metrischer Raum. Setze

O “ tbeliebige Vereinigungen von Kugeln in Xu Y tHu

“

#

ď

iPI

Bri pxiq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ri ą 0, xi P X , i P I

+

Y tHu

Nach Satz 4.7 ist dies Topologie, genannt induzierte Topologie

Beispiel 4.11Aber: nicht jede Topologie wird von einer Metrik induziert!X habe ě 2 Punkte. Betrachte ”Klumpentopologie” O “ tH,XuAnnahme: D Metrik d auf X , welche O induziertùñ einzige Kugel ist X ùñ @ r ą 0 gilt dpx , yq ă r @ x , y P Xùñ dpx , yq “ 0 @ x , y P X Widerspruch zur Definition von d


Bemerkung 4.12Metriken d und d 1 auf X konnen gleiche Topologie erzeugenDies gilt insbesondere, falls ein C ą 0 existiert mit

1C

dpx , yq ď d 1px , yq ď C dpx , yq @ x , y P X

weil dann (mit der Bezeichnung B1r pxq fur Kugeln bezuglich d 1)

B rCpxq Ă B1r pxq Ă BCr pxq

Also Br pxq “Ť

yPBr pxq Bry pyq “Ť

yPBr pxq B1ryCpyq offen in Topologie zu d 1

Beispiel 4.13

Rd mit euklidischer Metrik d und Maximumsmetrik d 1 “ d8:

1?

d

˜

dÿ

i“1

|xi ´ yi |2

¸

12

ď maxi“1,...,d

|xi ´ yi | ď

¨

˝

ÿ

i“1,...,d

|xi ´ yi |2

˛

‚

12


Konstruktion neuer topologischer Raume aus bekannten:

Definition 4.14pX ,Oq topologischer Raum und A Ă XOA “ tB X A | B P Ou Unterraumtopologie auf ApA,OAq heißt topologischer Unterraum von pX ,Oq

Satz 4.15OA Topologie auf A

Beweis: Nachweis der Eigenschaften aus Definition 4.9:(i) H,A P OA

(ii) Ci P OA ùñ D Bi P O mitCi “ AX Bi ùñ

Ť

iPI Bi P O ùñŤ

iPI Bi X A “Ť

iPI Ci P OA

(iii) Ubungl


Notation: Ac “ tx P X | x R Au “ XzA Komplement von A Ă X in X

Definition 4.16pX ,Oq topologischer Raum und A Ă X . Dann:A abgeschlossen ðñ Ac offen

Satz 4.17pX ,Oq topologischer Raum

(i) H,X abgeschlossen(ii) pAiqiPI Familie abgeschlossener Mengen ùñ

Ş

iPI Ai abgeschl.

(iii) A1, . . . ,AN abgeschlossen ùñŤN

i“1 Ai abgeschlossen


Beweis: (i) pHqc “ X undX c “ H offen

(ii) Mengentheoretische Identitat:˜

č

iPI

Ai

¸c

“

#

x P X | x Rč

iPI

Ai

+

“ tx P X | x R Ai fur ein i P Iu

“ď

iPI

tx P X | x R Aiu “ď

iPI

Aci

Nun ist Aci offen @ i P I

ùñŤ

iPI Aci offen (nach Definition 4.9) ùñ

Ş

iPI Ai abgeschlossen

(iii)´

Ť

i“1,...,N Ai

¯c“

ŞNi“1 Ac

i offen weil Aci offen und Definition 4.9 l


Definition 4.18pX ,Oq topologischer Raum, x P X , U Ă X

U “ Upxq heißt Umgebung von x ðñ D A P O mit x P A Ă U

Bemerkung 4.19In pX ,dq ist U Umgebung von x ðñ D Kugel Br pxq Ă U

Beispiel 4.20a,b P R und a ă b

1. ra,bs “ tx P R | a ď x ď bu abgeschlossen in R2. ra,bq weder offen noch abgeschlossen3. Q Ă R weder offen noch abgeschlossen

Begrundung q P Q, dann ist kein Br pqq Ă Q wenn r ą 04. ra,bq Umgebung von allen x P pa,bq, aber nicht von a und b5.

Ş

ně1`

0,1` 1n

˘

“ p0,1s nicht offen (unendlicher Durchschnitt)


Satz 4.21

pX ,Oq topologischer Raum, A Ă XA offen ðñ A Umgebung all seiner Punkte

Beweis:”ùñ” x P A ùñ x P A Ă A mit A offen ùñ A Umgebung von x”ðù” A Umgebung von x @ x P Aùñ @ x P A D offenes Bx mit x P Bx Ă Aùñ

Ť

xPA Bx “ A offen, nach Vereinigungsstabilitat l

Definition 4.22pX ,Oq topologischer Raum, x P X und A Ă X

(i) x Beruhrungspunkt (BP) von Aðñ @ Umgebungen U von x gilt U X A ‰ H

(ii) x Haufungspunkt (HP) von Aðñ @ Umgebungen U von x gilt AX pUztxuq ‰ H


Bemerkung 4.23

A Ă X eines topologischen Raums und x P X

1. x P A ùñ x BP von A, aber nicht immer HP von AZum Beispiel ist 1 BP von A “ t1u Ă R, aber 1 nicht HP von A

2. Jeder HP von A ist auch BP von A (nicht umgekehrt!)3. A Ă R von oben beschrankt ùñ a “ suppAq BP von A

Sonst gabe es r ą 0 mit Br paq X A “ H

und a´ r2 ware kleinere obere Schranke. Widerspruch


Satz 4.24

pX ,Oq topologischer Raum und A Ă XAquivalent sind:

(i) A abgeschlossen(ii) Jeder BP von A gehort zu A(iii) Jeder HP von A gehort zu A

Beweis: (i) ùñ (ii): A abgeschlossen, x R Aùñ x P Ac offen ùñ Ac Umgebung von x (nach Satz 4.21)Da aber Ac X A “ H, ist x nicht BP von ASomit Negation: x BP von A ùñ x P A(ii) ùñ (iii): klar nach Bemerkung 4.23(iii) ùñ (i): Jeder HP von A ist in A, also ist x P Ac nicht HP von Aùñ D offene Umgebung Upxq mit AX pUpxqztxuq “ H, d.h. Upxq Ă Ac

Somit Ac “Ť

xPAc Upxq offen ùñ A abgeschlossen l


Definition 4.25Topologischer Raum pX ,Oq heißt Hausdorff-Raumðñ @ x ‰ y P X D Umgebungen Upxq, Upyq mit Upxq X Upyq “ HMan sagt auch, es gilt die Trennungseigenschaft T2 in X

Satz 4.26Jeder metrische Raum pX ,dq ist ein Hausdorff-Raum(wenn versehen mit der induzierten Topologie)

Beweis: x , y P X , x ‰ y ùñ r “ dpx , yq ą 0 (Nichtentartung)Wahle Upxq “ B r

2pxq und Upyq “ B r

2pyq. l


Satz 4.27pX ,Oq Hausdorff und x Haufungspunkt von A Ă Xùñ in jeder Umgebung U von x liegen unendlich viele Punkte von A

Beweis:U Umgebung von xùñ D x1 P AX Uztxu , x1 ‰ xùñ D Umgebungen U1pxq Ă Upxq und V1px1q mit U1 X V1 “ H

ùñ D x2 P U1pxqztxu X A und x2 ‰ x1 sowie x2 ‰ xDann iteriere. l


Definition 4.28Folge pxnqnPN in Hausdorff Raum pX ,Oq konvergiert gegen x P Xðñ zu jeder Umgebung U von x D N P N mit xn P U @ n ě NSchreibweise: limnÑ8 xn “ limn xn “ x

Bemerkung 4.29pX ,dq metrischer Raum. Dann

limnÑ8

xn “ x ðñ

´

@ ε ą 0 D N mit xn P Bεpxq @ n ě N¯

Fur X “ Rd oder X “ Cd stimmt Konvergenzbegriff mit Ana 1 uberein!

Definition 4.30x P X Haufungspunkt (HP) von Folge pxnqnPN in Hausdorff pX ,Oqðñ zu jeder Umgebung U von x D unendlich viele n mit xn P U

Achtung! HP von Menge txn | n P Nu ùñ HP von Folge pxnqnPN

aber Umkehrung falsch (z.B. konstante Folgen)Analysis 3 4. Topologische Grundlagen 121 / 371

Satz 4.31

pxnqnPN Folge in Hausdorff-Raum pX ,Oqx “ limnÑ8 xn ùñ x einziger HP von pxnqnPN (Grenzwert eindeutig)

Beweis: Sei y zweiter HP von pxnqnPN mit y ‰ xùñ D Umgebungen Upxq und Upyq mit Upxq X Upyq “ HNach Definition der Konvergenz D N mit xn P Upxq @ n ě Nùñ nur endlich viele xn in Upyq. Widerspruch l

Satz 4.32

pX ,dq metrischer Raum und x P X HP von Folge pxnqnPN in Xùñ D Teilfolge, die gegen x konvergiert.

Beweis: Bestimme iterativ nk ą nk´1, so dass dpx , xnk q ă1k

Dann limkÑ8 xnk “ x . l


Metrische Raume sind naturlicher Kontext fur folgende Begriffe.

Definition 4.33pX ,dq metrischer Raum

(i) A Ă X beschrankt ðñ D C P R mit dpx , yq ď C @ x , y P A(ii) pxnqnPN Cauchy-Folge in X

ðñ @ ε ą 0 D N mit dpxn, xmq ď ε @ n,m ě N(iii) pX ,dq vollstandig ðñ jede Cauchy-Folge in X konvergent

Also: X vollstandig ùñ X metrisch ùñ X Hausdorff ùñ X topologisch

Definition 4.34

pV , . q normierter Vektorraum, also auch metrischer RaumV vollstandig ðñ V Banachraum

Definition 4.35pV , x | yq Vektorraum mit Skalarprodukt, also auch metrischer RaumV vollstandig ðñ V Hilbertraum


Satz 4.36

pX ,dq metrischer Raum(i) pxnqnPN Cauchy-Folge ùñ txn | n P Nu beschrankt(ii) pxnqnPN konvergent ùñ pxnqnPN Cauchy-Folge

Beweis: (analog zu R)(i) pxnqnPN Cauchy-Folgeùñ D N mit dpxn, xmq ď 1 @ n,m ě NSetze r “ maxtdpx1, xNq, . . . ,dpxN´1, xNqu ` 1.Dann xk P Br pxNq @ k P N.(ii) limn xn “ x . Sei ε ą 0. Bestimme N, so dass

dpx , xnq ăε

2@ n ě N

Dann @ n,m ě N

dpxn, xmq ď dpxn, xq ` dpx , xmq ďε

2`

ε

2“ ε l


Beispiele vollstandiger RaumeBeispiel 4.37

RN und CN sind vollstandig (Ana 1)

Beispiel 4.38Cpra,bsq versehen mit der Norm . 8 (Beispiel 4.4) ist wegenfolgendem Resultat vollstandig

Satz 4.39 (Uniforme Limites stetiger Funktionen sind stetig)

fn P Cpra,bsq und g : ra,bs Ñ R mit limnÑ8 fn ´ g8 “ 0ùñ g P Cpra,bsq

Bemerkung 4.40Also ist pCpra,bsq, . 8q ein BanachraumDie von . 8 induzierte Metrik heißt auch die Metrik der uniformenKonvergenz, manchmal auch der gleichmaßigen Konvergenz.


Beweis von Satz 4.39: Sei x P ra,bs und ε ą 0ùñ D N mit fn ´ g8 ă ε

3 @ n ě NfN stetig bei x ùñ D Umgebung δ ą 0, so dass

|fNpxq ´ fNpx 1q| ăε

3@ x 1 P Bδpxq

Somit fur x 1 P Bδpxq gilt

|gpxq ´ gpx 1q| ď |gpxq ´ fNpxq| ` |fNpxq ´ fNpx 1q| ` |fNpx 1q ´ gpx 1q|

ă g ´ fN8 `ε

3` fN ´ g8 ă

ε

3`ε

3`ε

3ă ε

l

Beispiel 4.41

L2pra,bsq Menge der Aquivalenzklassen quadrat-integrierbarenFunktionen mit Skalarprodukt

xf |gy “ż b

adx f pxqgpxq

ist vollstandig, also Hilbert-Raum (Riesz-Fischer, Beweis spater)


Fakt: Es gibt unvollstandige metrische Raume,aber jeder metrische Raum pX ,dq kann vervollstandigt werden:Setze Y “ tpxnqnPN Cauchy-Folge in Xu und X “ Y „, wobei

pxnqnPN „ pynqnPN ðñ limnÑ8

dpxn, ynq “ 0

Definiere dppxnqnPN, pynqnPNq “ limnÑ8 dpxn, ynq (Limes existiert!)Einbettung: I : X Ñ X Ipxq “ pxqnPN konstante Folge

Satz 4.42pX , dq ist vollstandig und X Ă X dicht,d.h. zu jedem x P X und Umgebung U von x existiert x P X mit x P U

Ohne detaillierten Beweis, aber im Prinzip genauso wie bei R

Beispiel 4.43

Zu X “ Q ist X “ R


Ein weitere wichtiger Klasse topologischer Raume

(fur die Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie):

Definition 4.44

Ein polnischer Raum ist ein separabler, vollstandig metrisierbarer

topologischer Raum

Hierbei wurden folgende Begriffe fur topologischen Raum X verwandt:

X separabel ðñ D abzahlbare und dichte Teilmenge

X metrisierbar ðñ D Metrik, die die Topologie induziert

X dann vollstandig metrisierbar ðñ X vollstandig bzgl. dieser Metrik

Beispiel 4.45Polnisch sind: separable Banachraume, kompakte metrische Raume


Satz 4.46 (Fixpunktsatz von Banach)

pX ,dq vollstandiger metrischer Raumf : X Ñ X Lipshitz-stetig mit Lipshitzkonstante L ă 1, d.h.

dpf pxq, f pyqq ď L dpx , yq

ùñ f hat genau einen Fixpunkt x P X, d.h. f pxq “ x


Beweis: Sei xn “ f pxn´1q Orbit von beliebigem Startpunkt x0 P X

dpxn, xn`1q “ dpf pxn´1q, f pxnqq ď L dpxn´1, xnq ď . . . ď Ln dpx0, x1q

Zudem nach der Dreiecksungleichung fur n ď m:

dpxn, xmq ď dpxn, xn`1q ` dpxn`1, xn`2q ` . . .` dpxm´1, xmq

ď Ln

˜

mńÿ

k“0

Lk

¸

dpx0, x1q ď Ln 11´ L

dpx0, x1q

Somit ist pxnqně0 eine Cauchy-Folge in X .Wegen Vollstandigkeit von X existiert Limespunkt x “ limnÑ8 xn

Nun ist limnÑ8 dpf pxq, f pxnqq ď limnÑ8 L dpx , xnq “ 0 und somit

f pxq “ limnÑ8

f pxnq “ limnÑ8

xn`1 “ x

Also ist x Fixpunkt. Sei x 1 ein zweiter Fixpunkt. Dann

dpx , x 1q “ dpf pxq, f px 1qq ď L dpx , x 1q

was wegen L ă 1 impliziert, dass dpx , x 1q “ 0, d.h. x “ x 1 ist l


Definition 4.47pX ,Oq topologischer Raum

(i) pAiqiPI offene Uberdeckung von X ðñ Ai P O undŤ

iPI Ai “ X(ii) pAiqiPI0 Teiluberdeckung von pAiqiPI ðñ I0 Ă I und X “

Ť

iPI0 Ai

(iii) X kompakt ðñ X Hausdorff und jede offene Uberdeckung von Xbesitzt eine endliche Teiluberdeckung

(iv) K Ă X kompakt ðñ K kompakt bez. Unterraumtopologieðñ @ pBiqiPI offen in Hausdorff X und K Ă

Ť

iPI Bi

D endliche Teiluberdeckung K ĂŤ

iPI0 Bi

Beispiel 4.481. p0,1q nicht kompakte Teilmenge von R

weil: p0,1q “Ť

ně1`1

n ,1˘

ohne endliche Teiluberdeckung2. Spater: Satz von Heine-Borel zeigt r0,1s kompakt3. Endliche Mengen sind immer kompakt


Satz 4.49

pX ,Oq Hausdorff und K Ă X kompakt. Dann(i) K abgeschlossen(ii) A Ă K abgeschlossen in K ùñ A kompakt

Beweis: (i) Sei y P K c . Verwende die TrennungseigenschaftZu jedem x P K bestimme offene UmgebungenUpxq von x und Vxpyq von y mit Upxq X Vxpyq “ Hùñ

Ť

xPK Upxq offene Uberdeckung von kompakter Menge Kùñ D endliche Teiluberdeckung pUpxnqqn“1,...,N von K

ùñŞN

n“1 Vxnpyq offene Umgebung von y mitŞN

n“1 Vxnpyq Ă K c

Somit ist K c Umgebung all seiner Punkteùñ K c offen nach Satz 4.21ùñ K abgeschlossen


(ii) pAiqiPI offene Uberdeckung von Aùñ @ i P I D Bi Ă K offen in K mit Ai “ Bi X Kùñ ppBiqiPI ,Ac “ K zAq offene Uberdeckung von K (weil Ac offen!)ùñ D endliche Teiluberdeckung pBi1 , . . . ,BiN ,A

cq von Kùñ pAi1 , . . . ,AiN q endliche Teiluberdeckung von A l

Satz 4.50

pX ,dq metrischer Raum , K Ă X kompaktùñ K beschrankt, d.h. diampK q “ supx ,yPK dpx , yq ă 8

Beweis: x P K , pBnpxqqnPN ist offene Uberdeckung von Kùñ D endliche Teiluberdeckung pBni pxqqi“1,...,N mit ni ă ni`1

ùñ K Ă BnN pxqùñ diam K ă nN ă 8 l


Definition 4.51pX ,Oq Hausdorff-Raum , A Ă X

(i) X folgenkompaktðñ jede Folge in X besitzt konvergente Teilfolge(ii) A folgenkompakt

ðñ A versehen mit Unterraumtopologie folgenkompakt

Satz 4.52

pX ,dq metrischer Raum. Aquivalent sind(i) X kompakt(ii) X folgenkompakt

Bemerkung 4.53Es gibt Hausdorf-Raume bei denen (i)ñ(ii) nicht gilt


Lemma 4.54 (Lebesguesches Uberdeckungslemma)

pX ,dq folgenkompakt, pAiqiPI offene Uberdeckung von Xùñ D Lebesgue’sche Zahl δ ą 0, so dass @ x P X D i P I mit Bδpxq Ă Ai

Beweis: Gegenannahme: E solches δ ą 0ùñ @ n ě 1 D xn P X mit B 1

npxnq Ć Ai @ i P I

Sei x0 HP von pxnqně1 (nach Voraussetzung)Sei i0 P I, so dass x0 P Ai0 (Uberdeckung).Sei ε ą 0, so dass Bεpx0q Ă Ai0 (Ai0 offen)Wahle k ě 2

ε mit xk P B ε2px0q (x0 ist HP)

ùñ B 1kpxk q Ă B ε

2pxk q

DreieckĂ Bεpx0q Ă Ai0 Widerspruch l


Lemma 4.55

pX ,dq folgenkompaktùñ @ δ ą 0 D endlich viele x1, . . . , xr mit X “

Ťrj“1 Bδpxjq

Beweis: Gegenannahme:D δ ą 0 mit X ‰

Ťrj“1 Bδpxjq fur jede Wahl von x1, . . . , xr und r P N

Sei y0 beliebig ùñ D y1 mit dpy1, y0q ě δ (Aussage fur Fall r “ 1)ùñ D y2 mit dpy2, y1q ě δ und dpy2, y0q ě δ (Fall r “ 2)Iteration: @ n P N

D yn mit dpyk , ynq ě δ @ k ă n

Diese Folge pynqnPN erfullt also dpyn, ymq ě δ @ n,m P NAlso kann diese Folge keinen HP oder konvergente Teilfolge habenWiderspruch zur Folgenkompaktheit l


Beweis von Satz 4.52:

(ii)ùñ(i), d.h. folgenkompakt ùñ kompakt (schwierigerer Teil)Sei pAiqiPI gegebene offene UberdeckungSei δ ą 0 zugehorige LebesguezahlNach Lemma 4.55 wahle x1, . . . , xr mit X “

Ťrj“1 Bδpxjq

Da Bδpxjq Ă Aij fur geeignetes ij nach Lemma 4.55 gilt X “Ťr

j“1 Aij

d.h. es gibt endliche Teiluberdeckung


(i)ùñ(ii), d.h. kompakt ùñ folgenkompaktSei pxnqnPN beliebige Folge in X . Ziel: Konstruktion von HPSetze

An “ tx P X | @ ε ą 0 D k ě n mit xk P Bεpxqu“ tx P X | x BP von txk | k ě nu u Ă An´1

An abgeschlossen nach Satz 4.24 (alle BP enthalten)Behauptung:

Ş

ně1 An ‰ H

Begrundung: Sonst wareŤ

ně1 Acn “ X offene Uberdeckung

X komp.ùñ

ŤNn“1 Ac

n “ X endliche Teiluberdeckung

ùñ H “ŞN

n“1 An “ AN , aber AN ‰ H. Widerspruch

Also D x PŞ

ně1 An, d.h. x BP von txk | k ě nu @ n P Nùñ x HP von pxnqnPN (@ ε ą 0 D unendlich viele n mit dpx , xnq ă ε)Nach Satz 4.32 existiert zu diesem HP eine konvergente Teilfolge l


Satz 4.56 (Satz von Heine-Borel)

Sei Rd versehen mit der euklidische Metrik und A Ă Rd . Dann:A kompakt ðñ A beschrankt und abgeschlossen

Beweis:”ùñ” Satz 4.49 und Satz 4.50”ðù”Bolzano-Weierstrass: Jede beschrankte Folge in Rd besitzt einen HPAlso hat Folge pxnqnPN in A einen HP x , der auch BP von A ist(entweder x “ xn fur unendlich viele n, oder x HP von txn | n P Nu)Jetzt:A abgeschlossen ùñ x P A nach Satz 4.24Somit hat jede Folge in A einen HP in Aùñ A kompakt nach Satz 4.52 da Rd metrisch

l


Stetige FunktionenDefinition 4.57 (Grenzwerte von Funktionen)Seien X ,Y Hausdorff-Raume, H ‰ A Ă X und a P X BP von AFur eine Funktion f : A Ñ Y und b P Y sei definiert:limxÑa f pxq “ bðñ @ Umgebungen V pbq D Umgebung Upaq mit f pUpaq X Aq Ă V pbq

Lemma 4.58Grenzwerte von Funktionen sind eindeutig

Beweis: (wie Satz 4.31) Seien b1 ‰ b2 P Y zwei Grenzwerteùñ D Umgebungen V pb1q, V pb2q mit V pb1q X V pb2q “ H

Def.ùñ D Umgebungen U1paq, U2paq mit f pUjpaq X Aq Ă V pbjq, j “ 1,2ùñ f pU1paq XU2paq XAq Ă

Ş

j“1,2 f pUjpaq XAq Ă V pb1q XV pb2q “ H

ùñ U1paq X U2paq X A “ H, aber U1paq X U2paq Umgebung von aùñ a nicht BP von A. Widerspruch l


Satz 4.59

pX ,dq, pY ,d 1q metrische Raume, f : A Ă X Ñ Y und a BP von A.Aquivalent sind:

(i) limxÑa f pxq “ b(ii) @ ε ą 0 D δ ą 0 mit f pBδpaq X Aq Ă B1εpbq(iii) @ ε ą 0 D δ ą 0, so dass fur x P A mit dpx ,aq ă δ gilt d 1pf pxq,bq ă ε

(iv) @ Folgen pxnqnPN in A mit limn xn “ a gilt limn f pxnq “ b

Beweis: (i)ùñ(ii) Sei ε ą 0. Dann B1εpbq Umgebung von bùñ D Umgebung Upaq mit f pUpaq X Aq Ă B1εpbqùñ D δ ą 0 mit Bδpaq Ă Upaq (da Upaq Umgebung von a)Somit f pBδpaq X Aq Ă f pUpaq X Aq Ă B1εpbq(i)ðù(ii) Sei V pbq Umgebung von bùñ D ε ą 0 mit B1εpbq Ă V pbqVoraus.ùñ D δ ą 0 mit f pBδpaq X Aq Ă B1εpbq Ă V pbq

Zudem ist Bδpaq Umgebung von a, so dass (i) gilt.Analysis 3 4. Topologische Grundlagen 141 / 371

(ii)ðñ(iii) ist lediglich Umformulierung

(iii)ùñ(iv) Sei pxnqnPN Folge in A mit limn xn “ aZu beliebigem ε ą 0 wahle δ ą 0 wie in (iii)ùñ D N mit dpxn,aq ă δ @ n ě N(iii)ùñ d 1pf pxnq,bq ă ε @ n ě NSomit limn f pxnq “ b

(iv)ùñ(iii) Gelte Negation von (iii)ùñ D ε ą 0 @ δ ą 0 D x P A mit dpx ,aq ă δ, so dass d 1pf pxq,bq ě ε

Insbesondere fur δ “ 1n D xn P A mit dpxn,aq ă 1

n und d 1pf pxnq,bq ě ε

Also limn xn “ a, aber limn f pxnq ‰ b, d.h. Negation von (iv) l


Beispiel 4.60X “ Y “ C mit euklidischer Metrik dpz, z 1q “ |z ´ z 1|Wir zeigen:

limzÑ0

ez ´ 1z

“ 1

Beachte e0´10 “ 0

0 nicht definiert, aber 0 BP des Definitionsbereiches!In der Tat, fur z P C mit |z| ă 1 gilt

dˆ

ez ´ 1z

,1˙

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ez ´ 1z

´ 1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ÿ

ně2

1n!

zn´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďÿ

ně2

1n!|z| “ c |z| “ c dpz,0q

wobei c “ř

ně21n!

Zu ε ą 0 wahle δ “ εc . Dann: dpz,0q ă δ gibt dpf pzq,1q ă ε


Satz 4.61 (Cauchy-Kriterium)pX ,dq, pY ,d 1q metrische Raume und sei pY ,d 1q vollstandigFerner sei a BP von A Ă X und f : A Ñ Y Abbildung. Dann:limxÑa f pxq existiert ðñ @ ε ą 0 D δ ą 0, so dass fur x , x 1 P A mitdpx ,aq ă δ, dpx 1,aq ă δ gilt d 1pf pxq, f px 1qq ă ε

Bemerkung 4.62Beachte, dass Grenzwert b “ limxÑ0 f pxq hier nicht benotigt wird,um Konvergenz zu untersuchen (aber auch nicht berechnet wird)

Beweis: ”ùñ” (ohne Vollstandigkeit von Y )limxÑa f pxq “ bùñ @ ε ą 0 D δ ą 0 mit dpx ,aq ă δ gilt d 1pf pxq,bq ă ε

2

ùñ @ x , x 1 P A mit dpx ,aq ă δ, dpx 1,aq ă δ gilt

d 1pf pxq, f px 1qq ď d 1pf pxq,bq ` d 1pf px 1q,bq ăε

2`ε

2“ ε


”ðù” Verwende Kriterium (iv) von Satz 4.59Sei pxnqnPN Folge in A mit lim xn “ a.Wir zeigen, dass pf pxnqqnPN Cauchy-Folge in pY ,d 1qIn der Tat, sei ε ą 0. Wahle δ ą 0 gemaß VoraussetzungNach Konvergenz lim xn “ a D N mit dpxn,aq ă δ @ n ě Nalso nach Vorausetzung d 1pf pxnq, f pxmqq ă ε @ n,m ě N, d.h. Cauchy

Weiter: Y vollstandig ùñ lim f pxnq “ b existiertGegeben andere Folge px 1nqnPN mit lim x 1n “ a und lim f px 1nq “ b1.Wir zeigen b “ b1, was dann den Beweis beendet

In der Tat, betrachte px2n qnPN “ px0, x 10, x1, x 11, . . .qDann lim x21 “ a und auch lim f px2n q “ b2 existiertAber b2 “ b1 und b2 “ b. l


Beispiel 4.63 (Funktionen ohne Grenzwerte)

Zu X ,Y “ R und A “ Rzt0u betrachte f pxq “ sin` 1

x

˘

fur x P A

limxÑ0 sin` 1

x

˘

existiert nicht

In der Tat, zu xn “1

2πn`π2Ñ 0 gilt f pxnq “ 1

aber zu x 1n “1

2πn` 3π2Ñ 0 gilt f px 1nq “ ´1

Tatsachlich:@ b P r´1,1s D Folge pxnqnPN mit lim xn “ 0 und lim f pxnq “ b

Beispiel 4.64

X ,Y P R und f pxq “ sgnpxq “

#

1 x ą 0´1 x ă 0

, x P Rzt0u

limxÑ0 f pxq existiert nichtHier ist jedoch Limes von rechts und links sinnvoll


Satz 4.65 (Regeln fur Limites komplexwertiger Funktionen)pX ,dq metrischer Raum, a BP von A Ă X, f ,g : A Ñ C und λ P C.Jeweils wenn rechte Seiten existieren, gilt:

(i) limxÑapf pxq ` λgpxqq “ plimxÑa f pxqq ` λplimxÑa gpxqq(ii) limxÑapf pxq ¨ gpxqq “ plimxÑa f pxqqplimxÑa gpxqq

(iii) limxÑaf pxqgpxq “

limxÑa f pxqlimxÑa gpxq , falls limxÑa gpxq ‰ 0

Falls X “ R, gilt alles auch fur einseitige und uneigentliche LimitesDie Linearitat in (i) gilt auch fur vektorwertige Funktionen

Beweis: Mit Satz 4.59(iv) ubertragen sich die Regeln fur konvergenteZahlenfolgen (Ana 1) l

Jetzt: Im Allgemeinen hat der Grenzwert b “ limxÑa f pxq nichts mitdem Funktionswert f paq zu tun (falls a im Definitionsbereich)


Definition 4.66X ,Y Hausdorff-Raum, f : X Ñ Y Abbildung und x0 P X

(i) f stetig in x0 ðñ limxÑx0 f pxq “ f px0q

(auf der rechten Seite: Limes existiert und gleich f px0q)(ii) f stetig (im Großen) ðñ f stetig in allen Punkten x0 P X

Satz 4.67

Aquivalent sind(i) f stetig in x0

(ii) @ Umgebungen V von f px0q D Umgebung U von x0 mit f pUq Ă V(iii) @ Umgebungen V von f px0q ist f´1pV q Umgebung von x0

Beweis:(i)ðñ(ii) nach Definition des Grenzwertes (iii)ùñ(ii) klar(ii)ùñ(iii) f pUq Ă V ùñ U Ă f´1pf pUqq Ă f´1pV qDa U Umgebung von x0 ist, ist auch f´1pV q Umgebung von x0. l


Satz 4.68

pX ,OX q, pY ,OY q Hausdorff-Raume und f : X Ñ Y. Aquivalent sind:(i) f stetig(ii) Urbilder offener Mengen sind offen, d.h. @ A P OY gilt f´1pAq P OX

(iii) Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen

Beweis: (i)ùñ(ii) A Ă Y offen. Sei x P f´1pAqùñ f pxq P A, d.h. A offene Umgebung von f pxqùñ f´1pAq Umgebung von x nach Satz 4.67. Dies gilt @ x P Xùñ f´1pAq Umgebung all seiner Punkte, also offen (Satz 4.21)(ii)ùñ(i) V Umgebung von f pxqùñ D offene Umgebung V 1 Ă V von f pxq(ii)ùñ f´1pV 1q offene Umgebung von x P f´1pV 1q mit f pf´1pV 1qq Ă V(ii)ðñ(iii) A Ă Y abgeschlossen ðñ Komplement Ac in Y offenðñ f´1pAcq “ f´1pAqc offen ðñ f´1pAq abgeschlossen l


Satz 4.69 (Hintereinanderausfuhrung stetiger Abbildungen)f : pX ,OX q Ñ pY ,OY q und g : pY ,OY q Ñ pZ ,OZ q stetigùñ g ˝ f : pX ,OX q Ñ pZ ,OZ q stetig

Beweis: pg ˝ f q´1pAq “ f´1pg´1pAqq P OX da g´1pAq P OY fur A P OZl

Satz 4.70 (Holder-Kriterium fur Stetigkeit)pX ,dq, pY ,d 1q metrische Raume, f : pX ,dq Ñ pY ,d 1q Holder-stetig,d.h. es existiere Holder-Exponent α ą 0 und L P R mit

d 1pf pxq, f px 1qq ď L dpx , x 1qα @ x , x 1 P Xùñ f stetig

Beweis: Sei x0 P X und ε ą 0. Setze δ “ p εLq1α

Dann fur alle x P X mit dpx , x0q ă δ

d 1pf pxq, f px0qq ď L dpx , x0qα ă L

ε

L“ ε

Somit limxÑx0 f pxq “ f px0q @ x0 P X l


Nun zu strukturerhaltenden Abbildungen der Topologie

Definition 4.71Abbildung f : pX ,OX q Ñ pY ,OY q heißt Homoomorphismusðñ f bijektiv und f sowie f´1 stetigFalls so eine Abbildung existiert sind X und Y homoomorph

Beispiel 4.72Seien I “ p0,1q, J “ p0,8q versehen mit Unterraumtopologoie von RDann sind I und J homoomorphEin Homoomorphismus ist f pxq “ tanpπ2 xq

Bemerkung 4.73Homoomorphe Raume sind mit Mitteln der Topologie ununterscheidbarNaturlich haben I und J unterschiedliche Lange,aber dies ist eine metrische Eigenschaft


Satz 4.74 (Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt)

f : pX ,OX q Ñ pY ,OY q stetig zwischen Hausdorff RaumenK Ă X kompakt ùñ f pK q kompakt

Beweis: pBiqiPI offene Uberdeckung von f pK q ĂŤ

iPI Bi . Also

K Ă f´1pf pK qq Ăď

iPI

f´1pBiqloomoon

offen, da f stetig

offene Uberdeckung

ùñ D endliches I0 Ă I mit K ĂŤ

iPI0 f´1pBiq

ùñ f pK q Ă f´

Ť

iPI0 f´1pBiq¯

“Ť

iPI0 Bi

also f pK q kompakt l


Satz 4.75 (Extrema stetiger Funktion auf Kompaktum)

K kompakt und f : K Ñ R stetigùñ D x0 P K mit f px0q “ supxPK f pxq “ maxxPK f pxq

Beweis: f pK q Ă R kompakt nach Satz 4.74ùñ f pK q beschrankt und abgeschlossen (nach Heine-Borel)Sei M “ sup f pK q, dann M Beruhrungspunkt von f pK qDa f pK q abgeschlossen, ist M P f pK qùñ D x0 P K mit f px0q “ M l

Achtung: x0 im Allgemeinen nicht eindeutig!


Eine Anwendung von Satz 4.75 ist Beweis von

Theorem 4.76 (Fundamentalsatz der Algebra)

Sei Ppzq “řN

n“0 anzn mit an P C, aN ‰ 0Dann existieren z1, . . . , zN P C (eventuell gleich), so dass

Ppzq “ aNpz ´ z1qpz ´ z2q ¨ ¨ ¨ pz ´ zNq

Beweis: Es reicht zu zeigen, dass eine Nullstelle zN existiert

(danach betrachte das Polynom Ppzqz´zN

)Setze µ “ infzPC |Ppzq|Fur |z| “ R P R gilt

|Ppzq| ě RNˆ

|aN | ´ |aN´1|1R´ . . . ´ |a0|

1RN

˙

Somit existiert ein Rc , so dass

|Ppzq| ą µ @ z P C, |z| ě Rc


Auf dem Kompaktum BRc p0q “ tz P C | |z| ď Rcu nimmt stetigeFunktion |P| ihr Infimum an (Satz 4.75), d.h. D zN P BRc p0q mit

|PpzNq| “ µ

Behauptung: µ “ 0

Gegenannahme µ ą 0. Definiere Polynom Qpzq “ Ppz`zNq

PpzNq

Q ist nicht konstant und erfullt Qp0q “ 1 und |Qpzq| ě 1Somit existiert k P t1, . . . ,Nu, so dass

Qpzq “ 1` bkzk ` . . .` bNzN mit bk ‰ 0 , bn P C

Sei θ P“

0, 2πk

˘

definiert durch eikθ “ ´|bk |bk

Fur r ą 0 und r k |bk | ă 1 folgt |1` bk preiθqk | “ 1´ r k |bk | und somit

|Qpreiθq| ď 1´ r k |bk | ` r k`1|bk`1| ` . . .` rN |bN |

“ 1´ r k p|bk | ´ r |bk`1| ´ . . .´ rN´k |bN |q

ď 1´ r k |bk | ¨12 ă 1

Letzteres fur r ausreichend klein. Widerspruch l


Satz 4.77 (Stetige Funktion auf Kompaktum)X kompakt und f : pX ,dq Ñ pY ,d 1q stetigùñ f gleichmaßig stetig auf X , d.h. @ ε ą 0 D δ ą 0 mit

dpx , x 1q ă δ ùñ d 1pf pxq, f px 1qq ă ε

Beweis: Gegenannahme: D ε ą 0 : @ n ě 1 D xn, x 1n mit

dpxn, x 1nq ă1n

d 1pf pxnq, f px 1nqq ě ε

X kompakt ùñ pxnk qkPN konvergente Teilfolge und x “ lim xnk

Dann

dpx , x 1nkq ď dpx , xnk q ` dpxnk , x

1nkq ď dpx , xnk q `

1nk

kÑ8ÝÝÝÑ 0

Somit: lim x 1nk“ x “ lim xnk

f stetig ùñ y “ f pxq “ limkÑ8 f pxnk q “ limkÑ8 f px 1nkq

Aber ε ď d 1pf pxnk q, f px1nkqq ď d 1pf pxnk q, yq ` d 1py , f pxnk qq Ñ 0

Widerspruch l


Definition 4.78pX ,OX q topologischer Raum und pY ,d 1q metrischer RaumFpX ,Y q “ tf : X Ñ Y beschrankte AbbildunguCbpX ,Y q “ tf : X Ñ Y beschrankte stetige Abbildungu Ă FpX ,Y qAuf FpX ,Y q definiere

Dpf ,gq “ supxPX

d 1pf pxq,gpxqq

Konvergenz einer Folge pfnqnPN in FpX ,Y q bez. Metrik D heißtuniforme oder gleichmaßige Konvergenz auf XBezeichnung: g “ u-lim fn.

Bemerkung 4.79Spezialfall X “ ra,bs, Y “ Rergibt pCpra,bsq, . 8q, wobei Dpf ,gq “ f ´ g8Satz 4.39 uber Vollstandigkeit wird nun verallgemeinert:


Satz 4.80 (Uniforme Limites stetiger Funktionen sind stetig)

X Hausdorff-Raum und pY ,d 1q metrischer Raumfn P CbpX ,Y q und g P FpX ,Y q mit limnÑ8Dpfn,gq “ 0ùñ g P CbpX ,Y q

Beweis: (Genau wie Satz 4.39) Sei x P X und ε ą 0ùñ D N mit Dpg, fnq ă ε

3 @ n ě NfN stetig bei x ùñ D Umgebung U von x , so dass

d 1pfNpxq, fNpx 1qq ăε

3@ x 1 P U

Somit fur x 1 P U gilt

d 1pgpxq,gpx 1qq ď d 1pgpxq, fNpxqq ` d 1pfNpxq, fNpx 1qq ` d 1pfNpx 1q,gpx 1qq

ď Dpg, fNq `ε

3` DpfN ,gq ă ε

l


Satz 4.81 (Cauchy-Kriterium fur uniforme Konvergenz)pY ,d 1q vollstandig und fn : X Ñ Y stetig und beschrankt. Dann:pfnqnPN uniform konvergent auf X ðñ pfnqnPN Cauchy-Folge bez. DAlso pCbpX ,Y q,Dq vollstandig

Beweis: Rechte Seite: @ ε ą 0 D N mit Dpfn, fmq ă ε @ n,m ě N”ùñ” klar nach Satz 4.36”ðù” @ x P X gilt d 1pfnpxq, fmpxqq ď Dpfn, fmqùñ pfnpxqqnPN Cauchy-Folge in Yùñ gpxq “ limnÑ8 fnpxq existiert fur alle x P X (da Y vollstandig)

Noch zu zeigen: Konvergenz uniform (dann g stetig nach Satz 4.80)


Sei ε ą 0. Wahle N “ Npεq, so dass

d 1pfnpxq, fmpxqq ăε

2@ n,m ě N @ x P X

Außerdem wahle m “ mpxq ě N, so dass

d 1pgpxq, fmpxqpxqq ăε

2

Dann fur n ą N:

Dpfn,gq “ supxPX

d 1pfnpxq,gpxqq

ď supxPX

d 1pfnpxq, fmpxqpxqq ` supxPX

d 1pfmpxqpxq,gpxqq

ďε

2`ε

2“ ε

l


5 Maß und Integral auf abstrakten Raumen

Bisher: Lebesgue’sche Integrationstheorie auf Rd

Ziel: Konstruktion von Maß und Integral auf beliebiger Menge XOft: X topologischer RaumViele Techniken lassen sich direkt vom Lebesgue Maß ubertragenSomit: wenige Details

Definition 5.1 (Ring, vgl. Satz 1.3 und Definition 1.4)Fur beliebige Menge X heißt Mengensystem R Ă PpX q mitfolgenden Eigenschaften ein Ring auf X

(i) H P R(ii) A,B P R ùñ AzB P R(iii) A,B P R ùñ AY B P R

Dann gilt auch wie in Satz 1.3: A,B P R ùñ AX B P R

Analysis 3 5. Maß und Integral auf abstrakten Raumen 161 / 371

Definition 5.2 (Inhalt auf Ring)Sei R Ă PpX q Ring auf X . Dann heißt µ : RÑ r0,8q Inhalt falls

(i) µpHq “ 0(ii) (endliche Additivitat) A1, . . . ,AN P R disjunkt, dann

µ´

ď

n“1,...,N

An

¯

“

Nÿ

n“1

µpAnq

Nach gleichen Argumenten wie in Satz 1.7 gilt dann:

Satz 5.3 (Monotonie, endliche Subadditivitat von Inhalt)(iii) A,B P R , A Ă B ùñ µpAq ď µpBq(iv) A,B P R ùñ µpAY Bq ` µpAX Bq “ µpAq ` µpBq

(v) Fur beliebige A1, . . . ,AN P R gilt µ´

Ť

n“1,...,N An

¯

ďřN

n“1 µpAnq

(vi) pAnqnPN disjunkte Folge in R, B P R, sodassŤ8

n“1 An Ă Bùñ

ř8n“1 µpAnq ď µpBq


Definition 5.4 (Außeres Maß, Caratheodory 1917)

µ˚ : PpX q Ñ r0,8s ist ein außeres Maß falls(i) µ˚pHq “ 0(ii) A Ă B ùñ µ˚pAq ď µ˚pBq(iii) Fur Folge pAnqnPN von Teilmengen von X :

µ˚´

8ď

n“1

An

¯

ď

8ÿ

n“1

µ˚pAnq

Nun gilt nach gleichen Beweisen wie in Satz 1.11

Satz 5.5 (Außeres Maß eines Inhaltes)

Sei R Ă PpX q Ring auf X und µ : RÑ r0,8s InhaltDann ist ein außeres Maß µ˚ : PpX q Ñ r0,8s definiert durch

µ˚pAq “ inf

#

8ÿ

n“1

µpQnq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Qn P R mit A Ă8ď

n“1

Qn

+


Definition 5.6 (σ-Algebra)

Mengensystem A Ă PpX q heißt σ-Algebra auf X falls(i) X P A(ii) A P A ùñ Komplementarmenge Ac “ XzA P A(iii) pAnqnPN Folge in A ùñ

Ť

nPN An P A

Definition 5.7 (Maß)µ : AÑ r0,8s heißt σ-additiv falls fur disjunkte Folgen pAnqnPN in A

µ

˜

8ď

n“1

An

¸

“

8ÿ

n“1

µpAnq

Eine σ-additive Mengenfunktion auf A mit µpHq “ 0 heißt ein Maß

Definition 5.8 (σ-Endlichkeit eines Maßes)µ σ-endlich ðñ D pAnqnPN in A mit

Ť

nPN An “ X und µpAnq ă 8


Maßerweiterung nach CaratheodoryDefinition 5.9

Gegeben außeres Maß µ˚ auf X (z.B. von σ-additiver Inhalt auf Ring)Menge A Ă X heißt µ˚-messbar ðñ

µ˚pEq “ µ˚pE X Aq ` µ˚pEzAq @ E Ă X

Dann definiere:

A “ tA Ă X | A µ˚-messbaru

Satz 5.10 (Maßerweiterungssatz)

A ist σ-Algebraµ : AÑ r0,8s definiert durch µpAq “ µ˚pAq ist Maß

Beweis wieder identisch zum Beweis von Satz 1.16Achtung: σ-Additivitat des Inhalts notwending fur Erweiterung


Definition 5.11 (Endlichkeit eines Massraumes)Maßraum pX ,A, µq heißt endlich falls µpX q ă 8Maßraum pX ,A, µq heißt Wahrscheinlichkeitsraum falls µpX q “ 1

Definition 5.12 (Nullmengen)Sei pX ,A, µq Maßraum und µ˚ zugehoriges außeres MaßDann heißt N Ă X µ-Nullmenge falls µ˚pNq “ 0

Satz 5.13 (Vervollstandigung eines Maßraumes)

Zu pX ,A, µq ist neuer Maßraum pX , rA, rµq gegeben durch

rA “ tAY N |A P A, N Nullmengeu rµpAY Nq “ µpAq

pX , rA, rµq ist vollstandig,

d.h. jede Teilmenge einer Nullmenge N P rA ist in rA


Beispiel: Hausdorff Maß(Euklidischer) Diameter einer Menge A Ă Rd ist

diampAq “ supx ,yPA

|x ´ y |

Fur γ ě 0, δ ą 0 und A Ă Rd setze

Hγδ pAq “ inf

#

8ÿ

i“1

diampUiqγ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8ď

i“1

Ui Ą A, diampUiq ă δ

+

wobei Infinum uber abzahlbare δ-Uberdeckungen

Nun ist Hγδ pAq monoton wachsend in δ. Also existiert (in R):

HγpAq “ supδą0

Hγδ pAq “ lim

δÑ0Hγδ pAq

Satz 5.14

Hγ ist ein außeres Maß auf Rd


Beweis: Uberprufe Eigenschaften in Definition 5.4(i) HγpHq “ 0 klar weil leere Uberdeckung moglich(ii) Monotonie A Ă B ùñ HγpAq ď HγpBq klar(iii) σ-Subadditivitat: Sei pAnqnPN Folge von Teilmengen von Rd

Sei pUn,iqi abzahlbare δ-Uberdeckung von An

Dann ist pUn,iqi,n abzahlbare δ-Uberdeckung vonŤ

n An, und

8ÿ

i,n“1

diampUn,iqγ “

8ÿ

n“1

8ÿ

i“1

diampUn,iqγ

Somit

Hγδ

´

8ď

n“1

An

¯

ď

8ÿ

n“1

Hγδ pAnq

Analoges gilt also im Limes δ Ñ 0 l


Definition 5.15 (Hausdorff-Maß auf Rd )Nach dem Maßerweiterungssatz 5.10 gibt es ein zugehoriges MaßEs wird auch mit Hγ bezeichnet und heißt γ-Hausdorff-Maß

Noch nicht klar, was meßbare Mengen gemaß Definition 5.9 sind!

Satz 5.16Borel-Mengen sind Hγ-meßbar

Beweis: Es reicht dies fur abgeschlossene Mengen A zu zeigen, d.h.

HγpEq ě HγpE X Aq ` HγpEzAq @ E Ă Rd

denn die andere Ungleichung folgt aus der Subadditivitat

Verwende: Hγ ist ein sogenanntes metrisches außeres Maß ist,

d.h. fur B,C Ă Rd mit dpB,Cq “ infxPB,yPC |x ´ y | ą 0 gilt

HγpB Y Cq “ HγpBq ` HγpCq


Sei nun Bn “ tx P EzA | dpx ,Aq ě 1nu. Dann, weil dpE X A,Bnq ą

1n ,

HγpEq “ HγpEXAYEzAq ě HγppEXAqYBnq “ HγpEXAq`HγpBnq

Also noch zu zeigen: limnÑ8HγpBnq ě HγpEzAq falls Limes endlich

Setze Cn “ Bn`1zBn so dass EzA “ Bn YŤ

kěn Ck (da A abgeschl.)

Also mit Subadditivitat

HγpEzAq ď HγpBnq `ÿ

kěn

HγpCk q

Wieder haben Cn und Cn`2 positiven Abstand, und somit fur n ě 1

8 ą HγpB2nq ě Hγpď

k“1,...,n

C2k q “ÿ

k“1,...,n

HγpC2k q

Analog fur ungerade Indizes, so dass zusammen

Hγpď

kě1

Ck q ă 8

und nun kann der Limes oben genommen werden l


Definition 5.17 (Hausdorff-Dimension)

Fur A Ă Rd ist die Hausdorff-Dimension

dimHpAq “ inf

γ ą 0 |HγpAq ă 8(

Hier ist Hγ das außere Maß und A nicht notwendig Hγ-meßbar

Beispiel 5.18

Fur diskrete Menge A gilt dimHpAq “ 0 und H0pAq “ #A

Beispiel 5.19

Fur offene Menge A Ă Rd gilt dimHpAq “ d und HdpAq Lebesgue Maß

Definition 5.20 (Fraktale)

Mengen A Ă Rd mit dimHpAq P p0,dq heißen fraktal

Nur sehr grobe Definition!Fraktale: in dynamischen Systemen oder als selbstahnliche Mengen


Konstruktion von Integral:Definition 5.21 (Meßbare Funktionen, vgl. Korollar 2.5)Sei pX ,A, µq Maßraumf : X Ñ R messbar ðñ f´1pr´8, cqq P A fur alle c P R

Satz 5.22 (Beweis wie von Satz 2.10)f : X Ñ r0,8s messbarùñ D monotone Folge pfnqnPN von Treppenfunktionen mit fn Ò f

Definition 5.23

Fur nicht-negative Treppenfunktion f “řN

n“1 αnχAn mit An P A setzeż

µpdxq f pxq “Nÿ

n“1

αn µpAnq

Fur meßbares f ě 0 und Treppenfunktionen fn mit fn Ò fż

µpdxq f pxq “ lim

ż

µpdxq fnpxq


Satz 5.24 (wie Satz 2.12)Integral wohldefiniert, linear, monoton auf positiven, messbaren Fktn

Alternative Schreibweise:ż

µpdxq f pxq “ż

Xµpdxq f pxq “ µpf q

sowie fur A P A:ż

Aµpdxq f pxq “

ż

Xµpdxq f pxqχApxq “ µpfχAq

Mit gleichem Beweis wie Satz 2.13 und Satz 2.15 :

Satz 5.25 (Monotone Konvergenz, Beppo Levi)0 ď fn, f messbar und fn Ò f , d.h. fn ď fn`1 und limnÑ8 fn “ fùñ limnÑ8 µpfnq “ µpf q

Satz 5.26 (Lemma von Fatou)fn ě 0 messbar ùñ lim infnÑ8 µpfnq ě µplim infnÑ8 fnq


Definition 5.27 (vgl. Definition 2.16)Meßbares f : X Ñ R heißt integrierbar ðñ µp|f |q ă 8

Falls f integrierbar ist, definiere positive integrierbare Funktionen

f` “ maxtf ,0u , f´ “ maxt´f ,0u

so dass f “ f` ´ f´, und dann das Integral durch

µpf q “ µpf`q ´ µpf´q

Satz 5.28 (vgl. 2.17)Integral ist monoton und linear auf integrierbaren Funktionen

Bedingung fn, f ě 0 in Beppo Levi und Fatou nicht notwending


Wieder mit gleichem Beweis wie Satz 2.18

Satz 5.29 (Theorem der majorisierten Konvergenz)fn,g : X Ñ R messbar

Sei |fn| ď g mit integrierbarem g

Zudem existiere f “ limnÑ8 fn

Dannlim

nÑ8µpfnq “ µ

`

limnÑ8

fn˘

“ µpf q

Des Weiteren: Begriff von µ-fast sicher, etc., analog zu Definition 2.22

Dann gilt auch Analog zu Satz 2.23


Borel-Maße auf topologischen RaumenErinnerung an Definition 1.28:

Definition 5.30 (Borelsche σ-Algebra)Die Borel σ-Algebra BpX q auf einem topologischem Raum pX ,Oq istdie kleinste σ-Algebra auf X , die die Topologie enthalt:

BpX q “č

A σ-Algebra, OĂAA

Alternativ: BpX q ist die von O erzeugte σ-Algebra

Definition 5.31 (Lokale Endlichkeit eines Maßes)Maß µ : BpX q Ñ r0,8s auf topologischen Raum ist lokal endlichðñ zu jedem Punkt gibt es eine Umgebung mit endlichen Maß

Beispiel 5.32

Lebesgue-Maß auf Rd ist lokal endlich, Hγ fur γ ă d nicht


Definition 5.33 (Borel-Maß)Ein lokal endliches Maß µ : BpX q Ñ r0,8s auf der Borelschen

σ-Algebra eines topologischen Raumes X heißt Borel-Maß

Satz 5.14: Borel-Maßraum pX ,BpX q, µq kann vervollstandigt werden

Definition 5.34 (Regularitat von Maßen, vgl. Definition 1.23)µ Maß auf einem topologischen Raum pX ,Oq mit O Ă A

(i) µ von außen regular ðñ zu jeder messbaren Menge A und ε ą 0D offenes U mit A Ă U und µpUzAq ă ε

(ii) µ von innen regular ðñ @ messbaren A und @ ε ą 0D abgeschlossenes F Ă A mit µpAzF q ă ε

Satz 1.22: Lebesgue-Maß auf dem Rd ist von innen und außen regular


Radon-Maße auf topologischen Raumen

Definition 5.35Ein Radon-Maß ist ein Borel-Maß auf einem Hausdorff-Raum,

das lokal endlich und von innen regular ist

Viele Maß sind Radon-Maße:

Satz 5.36 (siehe Buch von Elstrodt)

X polnischer Raum (Def. 4.44: separabel, vollstandig metrisierbar)ùñ jedes Borel-Maß auf X ist regular

Zudem wichtiger Zusammenhang mit linearen Funktionalen:Sei pX ,Oq lokal-kompakter Hausdorff-RaumNicht kompakt ñ Alexandroff’sche Einpunktkompaktifizierung X Y t8uBetrachte im Unendlichen verschwindende stetige Funktionen:

C0pX q “ tf : X Ñ R stetig | limxÑ8

f pxq “ 0u


Zu Radon-Maß µ : BpX q Ñ r0,8s definiere:

Iµ : C0pX q Ñ R , Iµpf q “ż

µpdxq f pxq

Dann ist Iµ linear und positiv:

Iµpf ` λgq “ Iµpf q ` λIµpgq , Iµp|f |q ě 0

Satz 5.37 (Riesz-Markov’scher Darstellungssatz)

X lokal-kompakt Hausdorff-Raumund I : C0pX q Ñ R positives lineares Funktionalùñ D genau ein endliches Radon-Maß µ auf X mit I “ Iµ

Langer Beweis im Buch von ElstrodtFur X “ R gibt es kurzere Beweise mit Hahn-BanachVarianten: I auf beschrankten oder kompakt getragenen f P CpX q


6 Banach- und Hilbertraume von Funktionen

Erinnerung: Banachraum ist vollstandiger normierter Vektorraum

In Hilbertraum stammt Norm von Skalarprodukt v “ xv |vy12

Hier Lp-Raume: LppX , µq fur allgemeinen Maßraum pX , µq

z.B. X Ă Rd messbar und µ Lebesgue Maß

Fur messbares f : X Ñ C, setze fur 1 ď p ă 8

f p “

ˆż

Xµpdxq|f pxq|p

˙1p

f 8 “ µ - ess sup |f pxq|“ inf

NĂX , µpNq“0sup

xPXzN|f pxq|

Analysis 3 6. Banach- und Hilbertraume von Funktionen 180 / 371

Jetzt definiere Aquivalenzrelation (uberprufe Eigenschaften!):

f „ g ðñ f “ g µ -fast sicherðñ D N Ă X , µpNq “ 0 : f pxq “ gpxq @ x P XzN

Dann f p “ gp. Letztendlich

LppX , µq “ trf s„ | f p ă 8u , 1 ď p ď 8

Satz 6.1Seien p,q, r ě 1, sodass 1

p `1q “

1r

(i) (Holder Ungleichung) fgr ď f pgq(ii) (Minkowski Ungleichung) f ` gp ď f p ` gp(iii) (Riesz-Fischer) pLppX , µq, .pq Banachraum, d.h. vollstandig


Beweis: (i) Wir betrachten nur Fall r “ 1 (Verallgemeinerung Ubung)Fur p “ 8 und q “ 1 ist Ungleichung Standard-IntegralabschatzungFalls f p “ 0 oder gq “ 0 folgt f “ 0 bzw. g “ 0 µ-fast sicherùñ f ¨ g “ 0 µ-fast sicher (wobei ”0 ¨ 8 :“ 0”) ùñ µp|fg|q “ 0Also nun f p ą 0 und gq ą 0 mit p, q ą 1

Wegen Konvexitat von x P R ÞÑ exppxq gilt fur a, b ą 0 und 1p `

1q “ 1:

ab “ exp

ˆ

1p

p logpaq `1q

q logpbq˙

ď1p

exp pp logpaqq`1q

exp pq logpbqq “ap

p`

bq

q

Ungleichung auch fur a “ 0 oder b “ 0. Fur a “ |f pxq|f p

und b “ |gpxq|gq

|f pxq|f p

|gpxq|gq

ď1p|f pxq|p´

f p¯p `

1q|gpxq|q´

gq¯q

Integration bezuglich µ gibtµp|fg|qf p gq

ď1p`

1q“ 1


(ii) Zunachst ist f ` g P Lp:

|f ` g|p ď p|f | ` |g|qp ď 2p max

|f |p, |g|p(

ď 2p `|f |p ` |g|p˘

somit

µ`

|f ` g|p˘

ď 2pµ`

|f |p ` |g|p˘

“ 2p `µp|f |pq ` µp|g|pq˘

ă 8

Weiter fur p ą 1 (Fall p “ 1 trivial) unter Verwendung von q “ pp´1 :

µ`

|f ` g|p˘

ď µ´

|f | ¨ |f ` g|p´1¯

` µ´

|g| ¨ |f ` g|p´1¯

ď f p µ´

|f ` g|pp´1qq¯

1q` gp µ

´

|f ` g|pp´1qq¯

1q

“

´

f p ` gp¯

µ`

|f ` g|p˘1´ 1

p

wobei im vorletzten Schritt Holder Ungleichung verwandt wurdeHieraus folgt Bahauptung


(iii) Fur f , g P Lp ist auch f ` λg P Lp, da

f ` λgp ď f p ` |λ| gp

Außerdem ist ¨p eine Norm, denn λf p “ |λ| f p,Dreiecksungleichung ist genau Minkowski-Ungleichung und zudem

f p “ 0 ðñ f “ 0 µ-fast sicher ðñ rf s„ “ r0s„ “ÝÑ0

Nun zur Vollstandigkeit: Sei pfnqnPN Cauchy-Folge in Lp

d.h. @ε ą 0 D N “ Npεq, sodass

fn ´ fkp ă ε , @ n, k ě N

Wahle Teilfolge pnk qkPN, sodass giltÿ

kě1

›

›fnk`1 ´ fnk

›

›

p ă 8


Es folgt:

›

›

›

ÿ

kě1

|fnk`1 ´ fnk |

›

›

›

p“ µ

´

limKÑ8

´

Kÿ

k“1

|fnk`1 ´ fnk |

¯p¯ 1p (x ÞÑ xp stetig)

“ limKÑ8

µ´´

Kÿ

k“1

|fnk`1 ´ fnk |

¯p¯ 1p (Beppo)

ď limKÑ8

Kÿ

k“1

›

›

›fnk`1 ´ fnk

›

›

›

pă 8 (Minkowski)

Somit ist F pxq “ř

kě1 |fnk`1pxq ´ fnk pxq| ă 8 µ-fast sicher in xAlso existiert

f “ fn1 `

8ÿ

k“1

`

fnk`1 ´ fnk

˘

µ-fast sicher. Es gilt

f p ď |fn1 | ` F p ď fn1p ` F p ă 8

also f P Lp. Noch zu zeigen fn Ñ f in Lp


Tatsachlich:

fn ´ f pp “ µ`

|fn ´ f |p˘

“ µ

ˆ

lim infk

|fn ´ fnk |p˙

ď lim infk

µ`

|fn ´ fnk |p˘ (Fatou)

ď supměn

fn ´ fmpp

ÝÑ 0 fur n Ñ8

Letzteres weil Cauchy-Folge vorliegt l

Bemerkung 6.2 (Singularitaten)

Wenn X Ă Rd kompakt, dann LppX , µq Ă LqpX , µq fur p ě q(weil lokale Singularitaten ”integrierbarer” werden. Beweis?)Wenn X “ Rd , weder LppX , µq Ă LqpX , µq noch LppX , µq Ą LqpX , µq


Weitere UngleichungenSatz 6.3 (Lyapunov Ungleichung)Sei 1 ď p0,p1 ď 8. Fur 0 ď γ ď 1 setzen wir

1p“

1´ γp0

`γ

p1

Dann gilt:f Lp ď f 1´γLp0 f γLp1 @ f P Lp0 X Lp1

Beweis schwierig. Verallgemeinerung: Riesz-Thorin Interpolation

Satz 6.4 (Jensen Ungleichung)

Sei 0 ď ρ P L1pX , µq mit µpρq “ 1, d.h. ρ Wahrscheinlichkeitsdichteϕ : RÑ R konvex: ϕptx ` p1´ tqyq ď tϕpxq ` p1´ tqϕpyq fur t P r0,1s

ϕ´

ż

µpdxq ρpxqgpxq¯

ď

ż

µpdxq ρpxqϕpgpxqq g P L1RpX , µq


Beweis: Sei x0 “ş

µpdxq ρpxqgpxqWahle Tangente an konvexes ϕ bei x0:

ϕpx0q “ ax0 ` b , ϕpxq ě ax ` b

fur alle x , insbesondere also:

ϕpgpxqq ě agpxq ` b

Multiplikation mit positiven ρ und Integration liefert:ż

µpdxq ρpxqϕpgpxqq ěż

µpdxq ρpxq`

agpxq ` b˘

“ ax0 ` b“ ϕpx0q

“ ϕ`

ż

µpdxq ρpxqgpxq˘

l

Bemerkung 6.5Nur Konvexitat auf Bild gpX q benotigt


Satz 6.6 (Dichte der stetigen Funktion in Lp-Raumen)

Sei X Ă Rd offen und p P r1,8q (beachte: nicht p “ 8)Dann C0pX q “ tf stetig und im Unendlichen 0u dicht in LppX , µqd.h. @ f P LppX , µq existiert pfnqnPN in C0pX q mit

limnÑ8

fn ´ f p “ 0

Wichtige Folgerung:

Korollar 6.7

Fur p P r1,8q ist LppX , µq separabel ( D abzahlbare dichte Teilmenge)

Begrundung fur Spezialfall X Ă R Intervall basierend auf:Weierstraß: stetige Funktion durch Polynom approximierbar bez. .8Es reichen Polynome mit rationalen Koeffizienten. Dann Satz 6.6 l


Beweisskizze (Satz 6.6): Erst f “ χA mit A beschrankte BorelmengeZu δ ą 0 D nach Regularitat (Satz 1.22) kompaktes K & offenes U mit

K Ă A Ă U , µpUzK q ă δ

Fakt (ohne Beweis): D stetige sogenannte Urysohn-Funktion ϕ mit

ϕpxq P r0,1s , ϕ|K “ 1 , ϕ|Uc “ 0

Dann ϕ´ f p ď µpUzK q1p “ δ

1p beliebig klein

Fur beliebige Borelmenge A setze An “ AX Bnp0qNach Beppo: limnÑ8 χAn ´ χAp “ 0 also auch χA approximierbar

Fur Treppenfunktion f “řN

n“1 αnχAn wahle Urysohn Funktionen ϕn

Verwende stetige Funktion ϕ “řN

n“1 αnϕn. Mit Minkovski

f ´ ϕp ď

Nÿ

n“1

|αn| χAn ´ ϕnp ď

´

Nÿ

n“1

|αn|¯

δ1p

Wieder wird dies beliebig kleinZuletzt approximiere beliebiges f durch Treppenfunktion l


Hilbert-Raum quadratintegrierbarer FunktionenDer Satz von Riesz-Fischer zeigt:

Satz 6.8Sei pX , µq MaßraumDann ist L2pX , µq ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt

xf |gy “ż

Xµpdxq f pxqgpxq , f ,g P L2pX , µq

Somit Hilbert-Raum Techniken verwendbar bzw.verallgemeinerbar. Z.B. (ohne Beweise):Orthogonale Komplemente von Unterraum V Ă L2:

VK “

f P L2 | xf |gy “ 0 @ g P V(

Fakt: VK ist abgeschlossen (Cauchy-Folgen konv. in VK)Bijektion: Projektionen P “ P2 “ P˚ ðñ D abgeschlossene UR V :

V “ RanpPqAnalysis 3 6. Banach- und Hilbertraume von Funktionen 191 / 371

Unendlich dimensionale Version des Riesz’schen Darstellungssatz:

Satz 6.9 (Riesz Lemma, Funktionalanalysis)

Sei L : L2 Ñ C stetiges lineares Funktional ùñ Dg P L2 mit

Lpf q “ xg|f y @ f P L2

Insbesondere ist Skalarprodukt stetig in beiden Argumenten

Weiter: Orthonormalsysteme und Orthonormalbasen (ONB)Korollar 6.7 (fur allgemeine Maßraume): ONB immer abzahlbar pbnqnPN

Dann @ f P L2:

f “ÿ

ně1

xbn|f ybn “ÿ

ně1

|bnyxbn|f y “´

ÿ

ně1

|bnyxbn|¯

|f y

genauer:

limNÑ8

›

›

›f ´

Nÿ

n“1

xbn|f ybn

›

›

›“ 0


7 Fourier-Reihen und FouriertransformationSei S1 “ R2πZ – r´π, πq. Fur Funktion f P L1

´

S1, dθ2π

¯

sind

fn “ż π

´π

dθ2π

eínθf pθq “A

einθ|fE

L2

die Fourierkoeffizienten (Fourier 1811)Zentrale Frage: Fur welche Funktionen f konvergiert die Fourier-Reihe

ÿ

nPZfn einθ

gegen f und in welchem Sinne liegt Konvergenz vorKlassisches hinreichendes Kriterium:

Satz 7.1 (Dirichlet 1828)

f P C1pS1q ùñ Fourierreihe konvergiert uniform,d.h. Partialsummen SNpθq “

řNn“Ń fn einθ erfullen

limNÑ8

SN ´ f 8 “ 0

Analysis 3 7. Fourier-Reihen und Fouriertransformation 193 / 371

Beweis: Zunachst Berechnung der Partialsummen:

SNpθq “

˜

Nÿ

n“Ń

ż π

´π

dϕ2π

f pϕq eínϕ

¸

einθ

“

ż π

´π

dϕ2π

f pϕqNÿ

n“Ń

einpθ´ϕq

“

ż π

´π

dϕ2π

f pθ ` ϕqNÿ

n“Ń

eínϕ

Also ist es sinnvoll fur ϕ ‰ 0 den Dirichletkern einzufuhren:

DNpϕq “

Nÿ

n“Ń

eínϕ “ eíNϕ2Nÿ

n“0

einϕ

“ eíNϕ eip2N`1qϕ ´ 1eiϕ ´ 1

“eipN` 1

2qϕ ´ eípN` 12qϕ

ei ϕ2 ´ eí ϕ2“

sinppN ` 12qϕq

sinpϕ2 q


Er besitzt eine stetige Fortsetzung bei ϕ “ 0:

DNp0q “ 2N ` 1

Außerdem ist DNpϕq gerade und erfullt fur alle N P N:ż π

´π

dϕ2π

DNpϕq “ 1

Fur 0 ă δ ă π2 spalten wir nun wie folgt auf:

|SNpθq ´ f pθq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż π

´π

dϕ2π

pf pθ ` ϕq ´ f pθqq DNpϕq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż ´δ

´πdϕ ∆pϕq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż δ

´δdϕ ∆pϕq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż π

δdϕ ∆pϕq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

wobei

∆pϕq “1

2πpf pθ ` ϕq ´ f pθqqDNpϕq


Fur den mittleren Teil giltˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż δ

´δdϕ ∆pϕq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ż δ

´δ

dϕ2π

|f pθ ` ϕq ´ f pθq|ˇ

ˇsin`

ϕ2

˘ˇ

ˇ

¨ˇ

ˇsin`

pN ` 12qϕ

˘ˇ

ˇ

ď

ż δ

´δ

dϕ2π

f 18 ¨ |ϕ|

sinp |ϕ|2 q¨ 1

ď

ż δ

´δ

dϕ2πf 18|ϕ||ϕ|2 ¨

2π

ď δ f 18

wegen Ungleichung

sinp |ϕ|2 q ě|ϕ|

22π


Fur rechten Term partielle Integration:ż π

δdϕ ∆pϕq “

ż π

δdϕ

f pθ ` ϕq ´ f pθq2π sinpϕ2 q

loooooooomoooooooon

F pϕq

¨ sin`

pN ` 12qϕ

˘

“

«

F pϕq´1

N ` 12

cos`

pN ` 12qϕ

˘

ffπ

δ

`

ż π

δdϕ F 1pϕq

1N ` 1

2

cos`

pN ` 12qϕ

˘

Nun gilt fur δ-abhangige Konstante Cδ (welche unabhangig von N ist)

supδďϕďπ

maxt|F pϕq|, |F 1pϕq|u ď Cδ ă 8

Also:ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż π

δdϕ ∆pϕq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďp2` πqCδ

N ` 12

Erstes Integral uber r´π,´δs kann analog abgeschatzt werdenAnalysis 3 7. Fourier-Reihen und Fouriertransformation 197 / 371

Zusammen:

|SNpθq ´ f pθq| ď f 1 δ ` 22` πN ` 1

2

Cδ ď ε

Letzteres fur δ “ ε2f 1 und N “ Npεq ausreichend groß l

Bemerkung 7.2 (Fejer 1900)

Wenn f nur stetig, dann konvergieren Cesaro-Mittel CN “1NřN

n“1 Sn

uniform gegen f

Beweisidee: Modifiziere Obiges unter Verwendung des Fejer-Kerns:

FNpϕq “sin2ppN ` 1qϕ2 qpN ` 1q sin2pϕ2 q

l


Bemerkung 7.3 (Offene Frage:)Charakterisierung von Funktionen mit konvergenter Fourier-Reihe

in .8 (hinreichendes und notwendiges Kriterium)

Aber mit Konvergenzbegriff bez. .2 im Hilbert-Raum L2pS1q einfach

Offensichtlich peinθqnPZ orthonormale Familie: xeinθ|eimθyL2 “ δn,m

Wenn ONB vorliegt, dann gilt fur jede Funktion f P L2 “ L2pS1, dθ2π q:

f pθq “ÿ

nfn einθ Konvergenz Partialsummen in L2

Satz 7.4

peinθqnPZ ist ONB von L2pS1, dθ2π q

Beweis: Orthogonalitat folgt aus

xeinθ|eimθy “

ż π

´π

dθ2π

eipmńqθ “ δn,m


weiter: C1pS1q dicht in´

L2´

S1, dθ2π

¯

, .2

¯

wegen Satz 6.6

oder: Treppenfktn dicht in L2 und Glattung mit .2-Fehler moglichJetzt: g P pspanteinθ | n P ZuqK, d.h.

@

g|einθD

“ 0 @ n P Z. Zeige g “ 0Fur f P C1pS1q ist Fourier-Reihe nach Satz 7.1 uniform konvergentùñ Konvergenz auch bez. .2Also folgt aus Stetigkeit des Skalarproduktes

xf |gy “ xlimN

Nÿ

n“Ń

fneinθ|gy “ limN

Nÿ

n“Ń

fnA

einθ|gE

“ 0

Fur beliebiges f P L2, sei nun f P C1, sodass f ´ f L2 ď ε. Dann

xf |gy “ xf ´ f |gy ` xf |gy ď f ´ f L2gL2 ď εgL2

Somit gilt xf |gy “ 0 fur alle f P L2. Also g “ 0 l

Bemerkung 7.5 (Satz von Carleson 1966)

Fur jedes f P L2 konvergiert die Fourier-Reihe fast sicher


Satz 7.6 (Abfallen der Fourier-Koeffizienten fur diffbare Fktn)

f P Ck pS1q – tf P Ck pRq | f pθ ` 2πq “ f pθq @ θ P RuDann existiert Konstante C “ Cf , so dass fn “

@

einθ | fD

erfullt

|fn| ďCnk

Beweis: Dies folgt mit partieller Integration:

2πfn “

ż π

´πdθ eínθf pθq “

ż π

´πdθ i

n pBeínθqf pθq

“ in eínθf pθq|π´π ´

in

ż π

´πdθ eínθBf pθq

“ 1in

ż π

´πdθ eínθBf pθq “ . . . “ 1

pinqk

ż π

´πdθ eínθpBk f qpθq

Nun schließe mit Standardintegralabschatzung l


Satz 7.7 (Parseval Gleichung)Diskrete Fouriertransformation ist eine unitare lineare Abbildung

F : L2pS1, dθ2π q Ñ `2pZq

definiert durch

Fpf q “ pfnqnPZ , fn “ xeinθ|f yL2

Beweis: f ,g P L2 nach ONB pbnqnPZ “ peinθqnPZ entwickeln

f “ÿ

nPZfn bn g “

ÿ

nPZgn bn

Also (Parseval Gleichung):

xf |gyL2 “ÿ

n,mPZxfm bm|gn bny “

ÿ

n,mPZfmgnxbm|bny “

ÿ

nPZfngn “ xF f |Fgy`2

l


Basiswechsel zu reeller BasisVon pbnqnPZ “ peinθqnPZ durch Rotation um π

4 zu ONB pc0, cn, snqną0 mit

c0 “ b0 , cn “bn`bń?

2“?

2 cospnθq , sn “bn´bń

i?

2“?

2 sinpnθq

so dass cn2 “ sn

2 “ 1. Dann Fourier-Reihe von f P L2:

f pθq “ f0 `?

2ÿ

ně1

`

fc,n cospnθq ` fs,n sinpnθq˘

“ÿ

ně0

fc,n cn `ÿ

ně1

fs,n sn

mit fc,n “ xcn|f y und fs,n “ xsn|f y

Parseval: f 2 “ |fc,0|2 `ř

ně1p|fc,n|2 ` |fs,n|2q

Vorteile:‚ fur f reell, sind Fourier-Koeffizienten fc,n und fs,n reell‚ cn gerade und sn ungerade ùñ fs,n “ 0 wenn f gerade und ....


Satz 7.8

Sei f integrierbar und folgende Grenzwerte existieren:

f pθ´q “ limδÓ0

f pθ ´ δq , f pθ`q “ limδÓ0

f pθ ` δq

Außerdem sei Funktion

gpδq “pf pθ ´ δq ´ f pθ´qq ` pf pθ ` δq ´ f pθ`qq

δ

auf Intervall r0, εs fur ein ε ą 0 integrierbar (Dini–Bedingung)Dann konvergiert die Fourier–Reihe von f in θ und

limNÑ8

SNpf qpθq “ limNÑ8

Nÿ

n“Ń

fn einθ “f pθ´q ` f pθ`q

2

Beweis: Wir verwenden wieder den Dirichletkern DNpθq “sinpp2N`1q θ2 q

sinp θ2 q

mitşπ´π

dθ2π DNpθq “

řNn“Ń

şπ´π

dθ2π einθ “ 1 und DNpθq “ DNp´θq


SNpf qpθq “

ż π

´π

dδ2π

DNpθ ´ δq f pδq

“

ż π

´π

dδ2π

DNpδq f pθ ` δq (f und DN periodisch)

“

ż π

0

dδ2π

DNpδq pf pθ ` δq ` f pθ ´ δqq (DN gerade)

und

SNpf qpθq ´f pθ´q ` f pθ`q

2

“

ż π

0

dδ2π

DNpδq pf pθ ` δq ` f pθ ´ δq ´ f pθ`q ´ f pθ´qq

“

ż π

0

dδ2π

sin`

p2N ` 1q δ2˘ δ

sin`

δ2

˘

loooooooooooooomoooooooooooooon

stetige Funktion s auf r0,εs

gpδq


Nun spalte Integral auf:

SNpf qpθq´f pθ´q ` f pθ`q

2“

ż ε

0

dδ2π

spδqgpδq`ż π

ε

dδ2π

sinpp2N`1q δ2qδgpδqsinp δ2q

Wegen Dini–Bedingung ist Intgralşε0 kleiner als Cε

Zudem ist folgende Funktion integrierbar:

δ P r´π, πs ÞÑ δgpδqsin δ2

χpδ ě εq

Somit konvergieren seine Fourier–Koeffizienten gegen 0 (Parseval)

Also D N0, so dass Beitragşπε ă ε

Also insgesamt ď pC ` 1qε fur N ě N0 l


Beispiel 7.9

f pθq “ θχr´π,πqpθq nicht stetig, aber in L2

Dann f0 “ 0 und fur n ‰ 0:

fn “ xeinθ | f y “ż π

´π

dθ2π eínθθ “

ż π

´π

dθ2π

1ín pBe

ínθqθ

“ 12π

1ín eínθθ|π´π `

1in

ż π

´π

dθ2π eínθ “

p´1qnín ` 0

Somit nach dem Satz von Dini:

ÿ

nPZz0

p´1qnín einθ “

8ÿ

n“1

2p´1qn`1

n sinpnθq “

#

θ , θ ‰ ´ππ`p´πq

2 “ 0 , θ “ ´π

Insbesondere, fur θ “ π2 ,

8ÿ

k“0

p´1qk2k`1 “

π

4


Beispiel 7.10 (Gibbs-Phanomen)

Sei f pθq “ sgnpθq “

#

1 , 0 ď θ ă π

´1 , ´π ď θ ă 0Diese Funktion ist ungerade, also fc,n “ 0. Zudem

fs,n “

ż π

´π

dθ?

2πsinpnθq sgnpθq

“1π¨?

2ż π

0dθ sinpnθq

“

?2π

´1n

cospnθq |π0

“

#

2?

2nπ , n ungerade0 , n gerade

Also im L2-Sinne:

sgnpθq “ÿ

mě0

4p2m ` 1qπ

sinpp2m ` 1qθq


Beispiel (Fortsetzung)Zudem

S2Npf qpθq “Nÿ

m“0

4π

12m ` 1

sinpp2m ` 1qθq

und SNpf qp0q “ 0 (was im Limes N Ñ8 mit Satz 7.8 ubereinstimmt)Punktweise Konvergenz, sicher keine uniforme Konvergenz. Zudem

S2Npf q´

π2N`1

¯

“4

2π

Nÿ

m“0

2π2N ` 1

sin´

p2m`1qπ2N`1

¯

p2m`1qπ2N`1

NÑ8ÝÝÝÑ

2π

ż π

0dθ

sinpθq

θ«

2π

1.85 ą 1

Somit fur alle N ě 1:

supθą0

`

S2Npf qpθq ´ f pθq˘

ě 1π 1.85´ 1 ą 0.4 ą 0

Dies ist ein typisches Beispiel fur das so genannte Gibbs-Phanomen


Vorbereitungen fur FouriertransformationZunachst Standardnotationen: fur x ,p P Rd

x ¨ p “dÿ

j“1

xjpj , x2 “ x ¨ x , |x | “?

x2

Ableitungen und Polynome zu Multiindex α “ pα1, . . . , αdq P Nd

Bα “ Bα1x1 ¨ ¨ ¨ B

αdxd

, xα “ xα11 ¨ ¨ ¨ xαd

d

Definition 7.11

Testfunktionen und Schwartzfunktionen auf offenem X Ă Rd

DpX q “ C8K pX q “ tϕ P C8pX q | supppϕq Ă X kompaktu

SpX q “ tf P C8pX q | lim|x |Ñ8, xPX

xαBβf pxq “ 0 @ α, β P Ndu

wobei supppϕq “ tϕ ‰ 0u Trager von ϕ


Weitere Notation: S “ SpRdq und D “ DpRnq

Offensichtlich gilt DpX q Ă SpX q

Beispiel 7.12

ϕpxq “ c e´1

1´x2 χt|x |ď1upxq ist in DpRq, aber nicht analytisch bei ˘1Konstante c so dass

ş

µpdxqϕpxq “ 1

Die Funktion f pxq “ e´x2ist in SpRq, aber nicht in DpRq

Definition 7.13

Lokalkonvexe Topologien auf D und S gegeben durch Halbnormen

f m,α “ supxp1` |x |mq|Bαf pxq| , m P N , α P Nd

(positive homogen, Dreiecksungleichung, aber keine Nichtentartung)

Dann: fn Ñ f in D oder S ðñ f ´ fnm,α Ñ 0 fur alle m P N, α P Nd


Satz 7.14

(i) DpX q ist dicht in LppX ,dxq fur 1 ď p ă 8 und X Ă Rd offen(ii) D Ă S Ă LppRd ,dxq dicht

Fur Beweis benotigt ist Glattung durch Konvolution:

pϕ ˚ f qpxq “ż

µpdyqϕpx ´ yq f pyq

was Sinn macht z.B. wenn ϕ P L1 oder f P L1

Wahl von ϕ: glatt, positiv, kleiner Trager, Integral gleich 1Dann ist auch die “Verschmierung” ϕ ˚ f glattHilfsmittel:

Satz 7.15 (Young’sche Ungleichung, Spezialfall)

ϕ ˚ f p ď ϕ1 f p , p ě 1


Beweis der Young’schen Ungleichung: sei 1p `

1q “ 1

|pϕ ˚ f qpxq| ďż

µpdyq |ϕpx ´ yq| |f pyq|

“

ż

µpdyq |ϕpx ´ yq|1q`

|f pyq|p|ϕpx ´ yq|˘

1p

ď

´

ż

µpdyq|ϕpx ´ yq|¯

1q´

ż

µpdyq|f pyq|p|ϕpx ´ yq|¯

1p

nach Holder Ungleichung. Also mit Translationsinvarianz und Fubini

ϕ ˚ f pp ď ϕpq1

ż

µpdxqż

µpdyq |f pyq|p|ϕpx ´ yq|

“ ϕpq1

ż

µpdyq ϕ1|f pyq|p

“ ϕ1` p

q1 f pp “

´

ϕ1f p¯p

was die Ungleichung beweist l


Beweis: (i) ùñ (ii) weil S Ă LppRdq nach Holder Ungleichung

Fur (i) sei ϕpxq “ c exp´

1x2´1

¯

χt|x |ď1u wie in Beispiel 7.12

Setze ϕεpxq “ 1εdϕ` xε

˘

was Integral 1 und Trager r´ε, εs hat

Zu n P N betrachte nun kompakte Menge

Kn “

x P Xˇ

ˇ |x | ď n, dpx , BX q ě 2n

(

Fur jedes f P LppX q definieren wir jetzt

fnpxq “`

ϕ 1n˚ pfχKnq

˘

pxq

“

ż

dy ϕ 1npx ´ yq f pyq χKnpyq

“

ż

Kn

dy ϕ 1npx ´ yq f pyq

Da Integral mit Bx vertauscht, ist fn P DpX q Glattung von f


Behauptung: limn fn “ f in Lp, woraus dann (i) folgtBegrundung: Mit Young’sche Ungleichung und

ş

dy ϕ 1npyq “ 1

fn ´ f p ď ϕ 1n˚ f pχKn ´ 1qp ` ϕ 1

n˚ f ´ f p

ď ϕ 1n1f pχKn ´ 1qp `

ˆż

dxˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

dy ϕ 1npyqpf px ´ yq ´ f pxqq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

p˙ 1p

Nun impliziert Jensen-Ungleichung fur konvexe Funktion x ÞÑ xp:

fn ´ f p ď 1 ¨ f p1´ χKnqp `

ˆż

dxż

dy ϕ 1npyq |f px ´ yq ´ f pxq|p

˙1p

ď ε `´

ż

dy ϕ 1npyq Sy f ´ f pp

¯1p

wobei n ě Npεq ausreichend groß und Sy f pxq “ f px ` yq TranslationDer Satz folgt nun aus dem folgendem Fakt l


Satz 7.16

Die Abbildung y P Rd ÞÑ Sy f P LppRdq ist stetig fur 1 ď p ă 8

Beweis: Zu f P Lp und ε ą 0 wahle (Satz 6.6) g P CK pRdq mit

f ´ gp ď ε

Da g gleichmaßig stetig auf supppgq Ă rć, csd , D δ ą 0 mit:

|gpxq ´ gpyq| ďε

p2pc ` δqqdp, |x ´ y | ď δ

Dann folgt fur δ1 ă δ

Sδ1g ´ gpp ď

ż

rć´δ,c`δsddx |gpx ` δ1q ´ gpxq|p ď εp

Also, weiterhin fur δ1 ă δ,

Sδ1 f ´ f p ď Sδ1 f ´ Sδ1gp ` Sδ1g ´ gp ` g ´ f p ď 3ε

wegen Sδ1 f ´ Sδ1gp “ f ´ gp l


Definition 7.17Fur f P L1pRdq ist die Fourier-Transformation definiert durch

pF f qppq “ż

dxp2πqd2

eíp¨x f pxq

Wichtigste Eigenschaft: F ist Bijektion auf S (siehe Satz 7.19 unten)

Offensichtlich: F wohl-definiert (weil f P L1) und

F f L8 ď1

p2πqd2f L1

Prazisierung ist klassisches Resultat uber Fouriertransformation:

Satz 7.18 (Riemann-Lebesgue Lemma)

Es gilt F : L1pRdq Ñ C0pRdq


Beweis: Stetigkeit fur kompakt getragenes f folgt aus:

|pF f qppq´pF f qpp1q| ďż

dxp2πqd2

|1éipp´p1qx | |f pxq| ď c |p´p1| f L1

mit geeigneter Konstanter c ą 0Da kompakt getragene Funktionen dicht in L1pRq, erlaubt ein3ε-Argument Stetigkeit fur alle f P L1pRdq zu zeigenNun zum Verschwinden im Unendlichen fur f P D(hinreichend weil D Ă L1 dicht und F f ´ Fg8 ď 1

p2πqd2 f ´ g1)

Partielle Integration (ohne Randterme) ergibt fur j “ 1, . . . ,d :

|pF f qppq| “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´

ż

dxp2πqd2

Bj f pxq1ípj

eíp¨xˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď1

p2πqd2Bj f L1

1|pj |

Da Bj f P L1 fur f P D, folgt, dass pF f qppq Ñ 0 fur |p| Ñ 8 l


Satz 7.19

Seien f ,g P S. Dann gilt Folgendes:

(i) F : S Ñ S ist eine Bijektion mit Inversem

pF´1f qpxq “ż

dpp2πqd2

f ppq eix ¨p

(ii) (Parseval) xF f | FgyL2pRd q “ xf | gyL2pRd q

(iii) Bαp pF f q “ píq|α|Fpxαf q wobei |α| “řd

j“1 αj

(iv) FpBαx f q “ i |α|pαF f

(v) Fpf ¨ gq “ p2πq´d2pF f q ˚ pFgq

(vi) Fpf ˚ gq “ p2πqd2pF f q ¨ pFgq


Beweis: Zunachst zeigen wir (iii) durch folgende Rechnung:

Bαp pF f qppq “ Bαp

ż

dxp?

2πqdeíp¨x f pxq “

ż

dxp2πqd2

píq|α|xαf pxqeíp¨x

mit Satz von Lebesgue, da xαf pxq P S Ă L1

Nun zu (iv). Nach partieller Integration ohne Randterme folgt in der Tat:

FpBαx f q “

ż

dxp2πqd2

eíp¨x Bαx f pxq

“ p´1q|α|ż

dxp2πqd2

pBαx eíp¨xqf pxq

“ p´1q|α|pípqαpF f qppq

Weiter zu (i). Zunachst zeigen wir F : S Ñ S. Hierzu

pαBβp pF f qppqpiiiq“ píq|β|pαpFpxβf qqppq

pivq“ píq|β|píq´|α|FpBαx pxβf qqppq

Da nun Bαx pxβf q P S folgt mit Satz 7.18 pαBβpF f ppq Ñ 0 fur |p| Ñ 8


Behauptung 1: (und Beispiel fur Berechnung einer Fouriertrafo)

Fpeá2x2

2 qppq “1ad e´

p2

2a2 , a P Rzt0u

Begrundung:Ausreichend d “ 1 wegen Faktorisierung der ExponentialfunktionZudem Skalierung (Variablenwechsel) fuhrt zu a “ 1Fur p “ 0 ist Aussage genau das Gauß’sche Integral (Beispiel 3.12)Des Weiteren zeigt eine Rechnung (partielle Integration):

Bp`

ep2

2 Fpe´x22 qppq

˘

“

ż

dx?

2πpp ´ ixqe

p2

2 ípx e´x22

“

ż

dx?

2πe

p2

2 ípx pp ` iBxqe´x22 “ 0 ˛

Behauptung 2:pFF f qpxq “ f p´xq , f P S , x P Rd


Begrundung: Zunachst FF f wohl definiert, weil F f P S Ă L1

Mit limaÑ0 eá2p2

2 “ 1 und Lebesgue, Fubini, Beh. 1 folgt:

FF f pxq “ż

dpp2πqd2

eíx ¨pż

dyp2πqd2

eípÿ f pyq

“ limaÑ0

ż

dpp2πqd2

eíxpeá2p2

2

ż

dyp2πqd2

eípÿ f pyq

“ limaÑ0

ż

dyp2πqd2

ˆż

dpp2πqd2

eípx`yqp eá2p2

2

˙

f pyq

“ limaÑ0

ż

dyp2πqd2

1ad e´

px`yq2

2a2 f pyq

“

ˆ

limaÑ0

ż

dy1

p2πqd2ad eý2

2a2 pf py ´ xq ´ f p´xqq˙

` f p´xq

Letzteres nach Variablentrafo und weil WahrscheinlichkeitsdichteNun zerlege Rd “ Rd

y “ B?ap0q˝Y R. Auf R ist f py ´ xq ´ f p´xq klein,

auf B?ap0q ist Gauss-Glocke klein. Also Integral 0 im Limes a Ñ 0 ˛


Aus pFF f qpxq “ f p´xq folgt F4 “ 1, also F3 “ F´1 und

pF´1f qpxq “ pF2F f qpxq “ pF f qp´xq “ż

dpp2πqd2

f ppqeip¨x

Somit (i) bewiesen. Ahnlich nun fur (ii):

xF f | FgyL2 “

ż

dpż

dxp2πqd2

eix ¨p f pxqpFgqppq

“

ż

dx f pxqż

dpp2πqd2

eix ¨p pFgqppq

“

ż

dx f pxqpF2gqp´xq “ż

dx f pxq gpxq

Beachte, dass Rechnung formal auf folgende Identitat reduziert:ż

dpp2πqd

eip¨pxýq “ δpx ´ yq

Hierzu spater mehrAnalysis 3 7. Fourier-Reihen und Fouriertransformation 223 / 371

Zuletzt zu (v) und (vi):

Da f P S, ist auch eipx ¨ f pxq P S

Also

p2πqd2Fpf ¨ gqppq “

ż

dx eípx f pxq gpxq

“

A

eipx f | gE

L2pRd q

piiq“

A

Fpeipx f q|FgE

L2pRd q

“

ż

dqż

dxp2πqd2

eíqx eipx f pxq pFgqpqq

“

ż

dq pF f qpp ´ qq pFgqpqq

“ pF f ˚ Fgqppq

was den Beweis von (v) beendet. (vi) analog l


Sei nun f P L2pRdq und pfnqně1 Folge in S mit lim fn ´ f L2pRd q “ 0Satz 7.19 impliziert F fnL2pRd q “ fnL2pRd q fur fn P SDaher pF fnqně1 Cauchy in L2pRdq, also konvergent. Definiere

F2 : L2pRdq Ñ L2pRdq , F2f “ L2- limnÑ8

F fn

Dann F2|S “ F und es gilt die Plancherel-Identitat

xF2f |F2gy “ xg|f y , f ,g P L2pRdq

Weil eípx f pxq nicht integrierbar gilt aber im Allgmeinen nicht, dass

pF2f qppq “ż

dxp2πqd2

eíp¨x f pxq , @ f P L2pRdq

Aber fur Kompaktum BR “ tx P Rd | |x | ď Ru gilt L2pBRq Ă L1pBRq

Satz 7.20

(i) pF2f qppq “ L2- limRÑ8ş

BR

dxp2πqd2 eípx f pxq fur alle f P L2pRdq

(ii) pF2f qppq “ş dxp2πqd2 eípx f pxq fast sicher in p @ f P L1pRdq X L2pRdq


Beweis: (ii) Nach Satz 7.14 existiert Folge pfk qkě1 in S mit

f ´ fk1 Ñ 0 und f ´ fk2 Ñ 0

(da fk explizit durch Glattung gegeben und somit fk P L1 und fk P L2)Wohldefiniert sind sowohl F fk als auch F f (da fk , f P L1)Nach Satz 7.18: F fk Ñ F f in pC0pRdq, .8q und FL1ÑC0

ď 1p2πqd2

Somit gilt fur alle R ą 0ż

BR

dp |F fk ppq ´ F f ppq|2 ď VolpBRq ¨1

p2πqdfk ´ f 2L1

ż

BR

dp |F fk ppq ´ F2f ppq|2 ď F fk ´ F2f 22

“ F2pfk ´ f q22 (da F2 | S “ F)

“ fk ´ f 22 (nach Plancherel)

Beides verschwindet im Limes k Ñ8


Aus |F f ppq ´ F2f ppq|2 ď |F f ppq ´ F fk ppq|2 ` |F fk ppq ´ F2f ppq|2 folgtż

BR

dp |F f ppq ´ F2f ppq|2 “ 0

Deswegen F f ppq “ F2f ppq fast sicher bez. des Lebesgue-Maßes

Nun zu (i): Fur jedes f P L2pRdq ist χBR f P L1pRdq

Nach (ii) gilt also fast sicher FpχBR f q “ F2pχBR f q

Außerdem mit Satz von Lebesgue χBR f Ñ f in L2pRdq fur R Ñ8

Wegen der Stetigkeit von F2 gilt also:

F2f “ L2- limRÑ8

F2pχBR f q “ L2- limRÑ8

FpχBR f q

Nun ist aber letzterer Ausdruck genau die gewunschte Formel l


DistributionenDefinition 7.13: Lokalkonvexe Topologie auf D “ DpRdq

induziert von Halbnormen

f m,α “ supxp1` |x |mq|Bαf pxq| , m P N , α P Nd

Dann: fn Ñ f in D ðñ f ´ fnm,α Ñ 0 fur alle m, α

Definition 7.21

Distributionen auf Rd sind stetige lineare Funktionale auf D,also genau die Elemente des topologischen Dualraumes D1

Analog: Dualraum S 1 sind temperierte oder Schwartz-Distributionen

Bemerkung 7.22Lineares Funktional T : D Ñ C ist stetig (bez. lokalkonvexer Topo.)ðñ T pfnq Ñ 0 fur alle fn mit fnm,α Ñ 0 fur alle m, α


Beispiel 7.23

Jedes g P L1pRdq definiert Distribution Tg : D Ñ C durch:

Tgpf q “ż

dx gpxq f pxq , f P D

Beispiel 7.24Dirac Distribution δ : D Ñ C definert durch:

δpf q “ f p0q , f P D

Alternative (formale) Schreibweise:

δpf q “ż

dx δpxq f pxq

Dies suggeriert, dass δ eine Funktion ist, was nicht stimmt!


Beispiel 7.25Sei d “ 1. Die Ableitung δ1 : D Ñ C der Dirac Distribution ist

δ1pf q “ ´f 1p0q , f P D

Dem zugrunde liegt partielle Integration ohne Randterme

δ1pf q “ż

dx δ1pxq f pxq “ ´

ż

dx δpxq f 1pxq “ż

dx δpxq p´f 1qpxq

Allgemeiner:

Definition 7.26(Schwache) Ableitung BjT P D1 einer Distribution T P D1 “ D1pRdq ist

pBjT qpf q “ ´T pBj f q

Bemerkung 7.27Distributionen sind immer beliebig oft (schwach) differenzierbar


Approximation der EinsIm Beweis von Satz 7.19 wurde gezeigt:

limaÑ0

1p2πqd2ad e´

x2

2a2 “ δpxq

in dem Sinne, dass fur jede ”Testfunktion” f P D gilt

limaÑ0

ż

dx1

p2πqd2ad e´x2

2a2 f pxq “ f p0q “ δpf q

Definition 7.28Eine Approximation der Eins ist Folge von Funktionen gn P L1pRdq mit

limnÑ8

ż

dx gnpxq f pxq “ δpf q

Oben erstes Beispiel, ein zweites (nicht stetiges) Beispiel ist:

gnpxq “ nχp|x | ď 12n q

Beachte, dass immer µpgnq “ 1Analysis 3 7. Fourier-Reihen und Fouriertransformation 231 / 371

Weitere IdentitatenIm Beweis von Satz 7.19 wurde gezeigt:

ż

dpp2πqd

eip¨x “ δpxq

wieder im Sinne (Limesprozess außen):ż

dpp2πqd

ż

dx eip¨x f pxq “ f p0q , @ f P D

Diskrete Version hiervon auf S1:ÿ

nPZeinθ “ 2π δpθq

d.h.ÿ

nPZ

ż π

´πdx einθ f pθq “ 2π f pθq , f P DpS1q “ C8pS1q


8 Tensoren und Grassmann-AlgebraV ,W ,V1, . . . ,VK endlich-dimensionale Vektorraume uber R (C analog)

Definition 8.1Dualraum zu V ist definiert als V ˚ “ tT : V Ñ R | T linearuVektorraumstruktur auf V ˚:

pT ` λT 1qpvq “ T pvq ` λT 1pvq , v P V

Definition 8.2Wenn b1, . . . ,bN Basis von V , so bilden b1, . . . ,bN P V ˚ definiert durch

bjpbiq “ δi,j “ δji

sogenannte duale Basis von V ˚. Insbesondere: dimpV ˚q “ dimpV qKonstruktion von dualer Basis mit nicht-entarteter Bilinearform (spater)

Satz 8.3

pV ˚q˚ – V mit Isomorphismus bez. Identifikation vpT q “ T pvqAnalysis 3 8. Tensoren und Grassmann-Algebra 233 / 371

Definition 8.4 (Erinnerung Lineare Algebra)

F : V1 ˆ . . .ˆ VK Ñ W

heißt multilinear ðñ linear in jedem Argument ist, d.h.

vk P Vk ÞÑ F pv1, . . . , vK q P W linear @ k “ 1, . . . ,K

und vm P Vm fur m “ k festgehalten

Definition 8.5 (Tensorprodukt endl. dimen. Vektorraume)

V1 b . . .b VK “ tF : V ˚1 ˆ . . .ˆ V ˚K Ñ R multilinearu

Beachte: es gibt auch V ˚ bW ˚, V ˚ bW , V ˚1 b . . .b V ˚K , etc.K -fach kontravariante und L-fach kovariante Tensoren uber V :

T KL pV q “ V b . . .b V

loooooomoooooon

K Faktoren

b V ˚ b . . .b V ˚looooooomooooooon

L Faktoren

Tensoren pK ,Lqter Stufe

Analysis 3 8. Tensoren und Grassmann-Algebra 234 / 371

Beispiel 8.6

Vektoren sind Tensoren der Stufe p1,0qEntwicklung nach Basis b1, . . . ,bN :

v “

Nÿ

n“1

vnbn “ vnbn

Einstein’sche Summenkonvention:uber doppelt (oben und unten) auftretende Indizes wird summiert

Beispiel 8.7

Bilineare Abbildungen T : V ˆ V Ñ R sind Tensoren der Stufe p0,2q

T “

Nÿ

n“1

Nÿ

m“1

Tn,m bn b bm “ Tn,m bn b bm


Beispiel 8.8

Lineare Abbildung A : V Ñ V ist ein Tensor der Stufe p1,1q uber V :

Apv˚, vq “ v˚pAvq

Bez. Basis b1, . . . ,bN und Dualbasis b1, . . . ,bN :

A “

Nÿ

n“1

Nÿ

m“1

Amn bm b bn “ Am

n bm b bn

Also: Matrix hat einen Index oben und einen unten (anders als fruher)Reihenfolge der Indizes entsprechend dem Auftreten der VektorenKoeffizienten sind Am

n “ bmpAbnq

Verallgemeinerung: A : V Ñ W und e1, . . . ,eM Basis von W

A “ Amn em b bn P W b V ˚

Wenn A invertierbar, A´1 “ pA´1qnm bn b em P V bW ˚


Beispiel 8.9

Fur v P V und w P W ist v b w definiert durch

pv b wqpv˚,w˚q “ v˚pvqw˚pwq P R , v˚ P V ˚ , w˚ P W ˚

Beachte: rechte Seite wirklich multilineare Abbildung

Satz 8.10dimpV bW q “ dimpV q dimpW q

Beweis: b1, . . . ,bN Basis von V , und e1, . . . ,eM Basis von WDann tbn b em |n “ 1, . . . ,N, m “ 1, . . . ,Mu Basis von V bWIn der Tat, seien v “

řNn“1 vnbn “ vnbn und w “

řMm“1 wmem “ wmem

Dann

v b w “

Nÿ

n“1

Mÿ

m“1

vnwm bn b em “ vnwm bn b em

wobei bn b em wie in Beispiel 8.9 l


Korollar 8.11dimpV1 b . . .b VK q “ dimpV1q ¨ ¨ ¨ dimpVK q

Korollar 8.12dimpT K

L pV qq “ dimpV qK`L

Wenn b1, . . . ,bN Basis von V , dann Basis von T KL pV q:

bn1 b . . .b bnK b bm1 b . . .b bmL

wobei n1, . . . ,nK ,m1, . . . ,mL P t1, . . . ,Nu

Einstein’sche Summenkonvention fur T P T KL pV q bez. dieser Basis:

T “ T n1,...,nK m1,...,mL bn1 b . . .b bnK b bm1 b . . .b bmL

Somit T n1,...,nK m1,...,mL “ T pbn1 , . . . ,bnK ,bm1 , . . . ,bmLq

Bemerkung 8.13

T KL pV q “ T L

K pV˚q wegen Satz 8.3


RechenregelnTensorprodukt ist linear in jedem Argument, z.B.:

pv ` λv 1q b w “ v b w ` λ v 1 b wv b pw ` λw 1q “ v b w ` λ v b w 1

Also insbesondere pλvq b w “ v b pλwq. In der Tat:

pv ` λv 1q b wpv˚,w˚q “ v˚pv ` λv 1qw˚pwq“ pv˚pvq ` λv˚pv 1qqw˚pwq“ v˚pvqw˚pwq ` λv˚pv 1qw˚pwq“ v b wpv˚,w˚q ` λ v 1 b wpv˚,w˚q

Definition 8.14Elementartensoren von Gestalt v1 b . . .b vK (ohne Linearkombin.)

Beispiel 8.15v b w ` v 1 b w 1 Elementartensor nur wenn v “ λv 1 oder w “ λ1w 1


Universelle EigenschaftTensorprodukt Z “ V bW eindeutig bestimmter Vektorraum Z mit:

D bilineare Abbildung T : V ˆW Ñ Z so dassjede bilineare Abbildung S : V ˆW Ñ X faktorisiert:

S “ rS ˝ T

fur geeignetes lineares rS : Z Ñ X . Als Diagramm:

V ˆWT - Z

X

rS?

S-

Begrundung: Seien Z 1 und T 1 : V ˆW Ñ Z 1 auch wie oben

Dann wahle X “ Z 1 in Diagramm fur Z : D rS : Z Ñ Z 1 mit T 1 “ rS ˝ T

und wahle X “ Z in Diagramm fur Z 1: D rS1 : Z 1 Ñ Z mit T “ rS1 ˝ T 1

Also rS und rS1 bijektiv und somit Z – Z 1 l


Multilineare Abbildung sind konkrete RealisierungD.h. Z – V bW wobei V bW “ tT : V ˚ ˆW ˚ Ñ R bilinearu

Hierfur sei T : V ˆW Ñ V bW gegeben durch T pv ,wq “ v b w

wobei v b w bilineare Abbildung aus Beispiel 8.9

Sei S : V ˆW Ñ X gegeben. Dann ist rS : V bW Ñ X definiert durchrSpv b wq “ Spv ,wq

und durch lineare Fortsetzung auf Nicht-Elementartensoren

In der Tat, dann gilt rS ˝ T “ S und rS ist linear darSpv b w ` λpv 1 b w 1qq “ rSpv b wq ` rSpλv 1 b w 1q

“ rSpv b wq ` rSppλv 1q b w 1q“ Spv ,wq ` Spλv 1,w 1q“ Spv ,wq ` λSpv 1,w 1q

“ rSpv b wq ` λrSpv 1 b w 1q


Tensorprodukt von Tensoren

Zu T P T KL pV q und T 1 P T K 1

L1 pV q definiere T b T 1 durch

T b T 1pv˚1 , . . . , v˚K , v1, . . . , vL, v˚K`1, . . . , v

˚K`K 1 , vL`1, . . . , vL`L1q

“ T pv˚1 , . . . , v˚K , v1, . . . , vLqT 1pv˚K`1, . . . , v

˚K`K 1 , vL`1, . . . , vL`L1q

Dann ist T b T 1 der Stufe pK ` K 1,L` L1q

Da V bW isomorph zu W ˆ V ist (universelle Eigenschaft, Ubung)

kann T b T 1 aufgefasst werden als Element in T K`K 1L`L1 pV q

Somit wird T pV q “ ‘Lě0 ‘Kě0 T KL pV q zu einer (Tensor)-Algebra

Beachte hierbei:in direkter Summe werden nur Tensoren von gleicher Stufe addiert

Das Tensorprodukt erhoht jedoch die Stufe


Beispiel 8.16

Lineare Abbildungen A,B : V Ñ V Tensoren der Stufe p1,1q uber VBez. Basis b1, . . . ,bN und Dualbasis b1, . . . ,bN :

A “ Amn bm b bn , B “ Bm

n bm b bn

Dann Ab B P V b V ˚ b V b V ˚ – T 22 pV q gegeben durch

Ab B “ Am1 n1Bm2 n2 bm1 b bn1 b bm2 b bn2

Die Koeffizienten von Ab B sind also

Ab Bm1 n1m2

n2“ Am1 n1Bm2 n2

oder nach Umordnung

Ab Bm1,m2 n1,n2 “ Am1 n1Bm2 n2


Kontraktion von Tensoren

Definition 8.17Kontraktion C i

j : T K`1L`1 pV q Ñ T K

L pV q fur 1 ď i ď K `1 und 1 ď j ď L`1

pC ij T q

n1,...,nKm1,...,mL

“ T n1,...,ni´1,n,ni ,...nK m1,...,mj´1,n,mj ,...,mL

wobei gemaß Einstein-Konvention uber n summiert wirdKontraktion ggf. auch bei Tensorprodukten verschiedener VR

Beispiel 8.18Sei A : V Ñ W aufgefasst als A P W b V ˚ und v P VDann Ab v P W b V ˚ b V und Av P W . Es gilt C2

1Ab v “ Av

Beispiel 8.19

Seien A,B : V Ñ V wie in Beispiel 8.16. Dann AB “ C21Ab B


TransformationsverhaltenSei A : V Ñ W linear und invertierbar (auch W “ V interessant)

Basen b1, . . . ,bN von V und e1, . . . ,eN von W

Vektoren, d.h. Tensoren der Stufe p1,0q, transformieren wie

Av “ C21Ab v “ C2

1Amnem b bn b vkbk “ Am

nem vk δnk “ Am

nvnem

alsopAvqm “ Am

nvn

Allgemeiner: aus Tensor T P T K0 pV q der Stufe pK ,0q wird mit A

transformierter Tensor A ¨ T P T K0 pW q

Hierbei: Koeffzienten von

T “ T n1,...,nK bn1b . . .b bnK

transformieren ”kontravariant”:

pA ¨ T qm1,...,mK “ Am1 n1 ¨ ¨ ÄmK nK T n1,...,nK


Nun Transformation von Kovektoren v˚ P T 01 pV q

Hierzu verwende nicht A˚ : W ˚ Ñ V ˚ definiert durch

A˚pw˚qpvq “ w˚pAvq

sondern A´1 : W Ñ V bez. pA´1q˚ : V ˚ Ñ W ˚

Denn: aus v˚ : V Ñ R wird transformiertes A ¨ v˚ : W Ñ R mittels

pA ¨ v˚qpwq “ v˚pA´1wq “ vkbk`pA´1qnmwm bn˘

“ vn pA´1qnmwm

Tensor T P T 0L pV q der Stufe p0,Lq transformiert ”kovariant”:

pA ¨ T qm1,...,mL “ pA´1qn1m1¨ ¨ ¨ pA´1qnL

mLTn1,...,nL

Also: Transformationsverhalten von T P T KL pV q der Stufe pK ,Lq:

pA ¨ T qn1,...,nKm1,...,mL

“ An1k1 ¨ ¨ Ä

nKkK pA

´1ql1 m1¨ ¨ ¨ pA´1qlL mL

T k1,...,kKl1,...,lL


Symmetrische und antisymmetrische TensorenTensoren der Stufe pK ,0q und p0,Lq sind multilineare AbbildungenAlso ubertragen sich Symmetrie und Antisymmetrie aus LinearerAlgebra

Definition 8.20T P T K

0 pV q symmetrisch ðñ @ v˚1 , . . . , v˚K P V ˚ @ σ P SK Permutation

T pv˚1 , . . . , v˚K q “ T pv˚σp1q, . . . , v

˚σpK qq

Definition 8.21T P T K

0 pV q antisymmetrisch ðñ @ v˚1 , . . . , v˚K P V ˚ @ σ P SK

T pv˚1 , . . . , v˚K q “ sgnpσq T pv˚σp1q, . . . , v

˚σpK qq

Definition 8.22Analog: (anti)symmetrische Tensoren der Stufe p0,Lq


Beispiel 8.23

Ein Skalarprodukt x . | . y auf V definiert g P T 02 pV q durch

gpv ,wq “ xv |wy

Dies ist ein symmetrischer Tensor der Stufe p0,2q weil hier K “ R

Zu g gibt es kanonischen Isomorphismus I : V Ñ V ˚ durch

Ipvqpwq “ gpv ,wq

Dies ist endlich-dimensionales Riesz’ Lemma in Hilbert-Raumen

Wenn g “ gn,mbn b bm und v “ vnbn, so Ipvq “ C12g b v “ gn,mvnbm

Allgemeiner: I : T K0 pV q Ñ T 0

K pV q auf T “ T m1,...,mK bm1 b . . .b bmK

durchIpT q “ gn1,m1 ¨ ¨ ¨ gnK ,mK T m1,...,mK bn1 b . . .b bnK

Somit isomorpher Tensor durch “Runterziehen der Indizes”


Beispiel (Fortsetzung)Analog gibt es auch ein “Raufziehen der Indizes”Hierzu verwende Inverses I´1 : V ˚ Ñ V zu I : V Ñ V ˚

In Koordinaten ist diese Abbildung (per Definition von gk ,m)

I´1pv˚q “ I´1pvnbnq “ vn I´1pbnq “ gk ,n vn bk

Da v “ I´1Ipvq “ I´1pgn,mvnbmq “ gk ,mgn,mvnbk und gn,m “ gm,n gilt

gk ,mgm,n “ δkn

Also Matrixinverse, und somit auch gk ,m “ gm,k

Allgemeiner: I´1 : T 0L pV q Ñ T L

0 pV q auf T “ Tm1,...,mLbm1 b . . .b bmL

durchI´1pT q “ gn1,m1 ¨ ¨ ¨ gnL,mLTm1,...,mLbn1 b . . .b bnL

Bemerkung 8.24g muss nur symmetrisch, nicht positiv sein (z.B. Lorentzmetrik)


Projektionen auf (anti)symmetrische TensorenMengen der (anti)symmetrischen Tensoren bilden Vekorraum, z.B.

ΛLpV q “

ω P T 0L pV q |ω antisymmetrisch

(

Die sogenannte fermionische Projection Π´ : T 0L pV q Ñ ΛLpV q ist

pΠ´T qpv1, . . . , vLq “1L!

ÿ

σPSL

sgnpσqT pvσp1q, . . . , vσpLqq

Dann ist Π´ linear und pΠ´q2 “ Π´ (auch hermitisch bez. Skalarprod.)

Analog: (bosonischer) Projektor Π` auf symmetrische Tensoren

(wie oben, nur ohne sgnpσq)

Bemerkung 8.25Symmetrische Tensorprodukte beschreiben identische Bosonenantisymmetrische Tensorprodukte identische Fermionen (in QM)


Grassmann-AlgebraBehauptung: wenn L ą dimpV q “ N, dann ΛLpV q “ t0u

Begrundung: wegen folgendem Resultat aus der LA:

Wenn Argumente linear abhangig, antisymmetrische Abbildung null ˛

Behauptung: Fur L ď N ist ΛLpV q ein R-Vektorraum

Definiere: ΛpV q “ ‘NL“0ΛLpV q mit Λ0pV q “ R (Vakuumsektor)

Das sogenannte außere Produkt ^ : ΛLpV q ˆ ΛK pV q Ñ ΛL`K pV q ist

ω ^ η “pL` K q!

L!K !Π´

`

ω b η˘

Allgemeiner fur ωi P ΛLi pV q:

ω1 ^ . . .^ ωr “pL1 ` . . .` Lr q!

L1! ¨ ¨ ¨ Lr !Π´

`

ω1 b . . .b ωr˘

Folgender Satz: pΛpV q,`, ¨,^q Algebra (die Grassmann Algebra)Analysis 3 8. Tensoren und Grassmann-Algebra 251 / 371

Satz 8.26^ assoziativ, bilinear, antikommutativ:Fur ω, ω1 P ΛLpV q, η P ΛK pV q und τ P ΛNpV q:

(i) pω ^ ηq ^ τ “ ω ^ pη ^ τq

(ii) pω ` λω1q ^ η “ ω ^ η ` λω1 ^ η und analog in 2. Argument(iii) ω ^ η “ p´1qKLη ^ ω

Beweis: (i) hier wird Vorfaktor benotigt:

pω ^ ηq ^ τ “pL` K q!

L!K !Π´

`

ω b η˘

^ τ

“pL` K ` Nq!pL` K q!N!

pL` K q!L!K !

Π´`

Π´`

ω b η˘

b τ˘

“pL` K ` Nq!

L!K !N!Π´

`

ω b η b τ˘

“ ω ^ pη ^ τq

wobei letzter Schritt analog. (ii) und (iii) Ubung l


Satz 8.27

Wenn N “ dimpV q, dann dimpΛLpV qq “`N

L

˘

und dimpΛpV qq “ 2N

Beweis: Wenn b1, . . . ,bN Basis von V ˚, dann bilden

bn1 ^ . . .^ bnL

mit 1 ď n1 ă n2 ă . . . ă nL ď N eine Basis von ΛLpV qIn der Tat: Vektoren linear unabhangig und spannen ΛLpV q aufAlso ist

`NL

˘

Dimension von ΛLpV q

Letzte Behauptung wegen binomischer FormelřN

L“0`N

L

˘

“ p1` 1qN l

Bemerkung 8.28Bei Entwicklung nach allgemeiner Basis gilt:

ω “ ωn1,...,nLbn1 b . . .b bnL P ΛLpV q antisymmetrisch

ðñ ωn1,...,nL antisymmetrisch in den Indizes, d.h.

ωnσp1q,...,nσpLq “ sgnpσqωn1,...,nL , @ σ P SL


Satz 8.29

Seien ω1, . . . , ωL P V ˚ und v1, . . . , vL P VDann ist ω1 ^ . . .^ ωL P ΛLpV q gegeben durch

ω1 ^ . . .^ ωLpv1, . . . , vLq “ detL

¨

˚

˚

˝

ω1pv1q ¨ ¨ ¨ ωLpv1q...

...ω1pvLq ¨ ¨ ¨ ωLpvLq

˛

‹

‹

‚

Beweis:

ω1 ^ . . .^ωLpv1, . . . , vLq “ p L!1!¨¨¨1! Π´ ω1 b . . .b ωLqpv1, . . . , vLq

“ L!1L!

ÿ

σPSL

sgnpσq pω1 b . . .b ωLqpvσp1q, . . . , vσpLqq

“ÿ

σPSL

sgnpσqω1pvσp1qq ¨ ¨ ¨ωLpvσpLqq

l


Definition 8.30 (Pullback von Grassmann Algebra)

Sei A : V Ñ W linear und definiere A˚ : ΛLpW q Ñ ΛLpV q durch

A˚ωpv1, . . . , vLq “ ωpAv1, . . . ,AvLq

Satz 8.31

Sei A : V Ñ V und L “ N “ dimpV q. Dann

A˚ω “ detpAqω , ω P ΛNpV q

Beweis: Da ω “ b1 ^ . . .^ bN bis auf Konstante

A˚ωpv1, . . . , vNq “ ωpAv1, . . . ,AvNq “ det

¨

˚

˚

˝

b1pAv1q ¨ ¨ ¨ b1pAvNq...

...bNpAv1q ¨ ¨ ¨ bNpAvNq

˛

‹

‹

‚

“ det`

pb1, . . . ,bNq˚ A pv1, . . . , vNq

˘

“ detpAq det`

pb1, . . . ,bNq˚pv1, . . . , vNq

˘

“ detpAqωpv1, . . . , vNq l


9 MannigfaltigkeitenHier Untermannigfaltigkeiten des euklidischen RaumesHierfur langere Wiederholung von Konzepten aus Ana 2:mehrdimensionale AbleitungenDa Ableitung“Linearisierung, auch lineare AbbildungenSatze der lokalen Umkehrbarkeit und fur implizite Funktionen

Seien pV , .V q und pW , .W q normierte Vektorraume uber K “ R,CIndex an der Norm wird unterdruckt (aus Zusammenhang meist klar)

Definition 9.1 (Erinnerung)

Abbildung T : V Ñ W heißt K-linear oder K-linearer Operatorðñ @ v ,w P V , λ P K gilt: T pv ` λwq “ T pvq ` λT pwqNotation: LpV ,W q “ Menge linearer Abbildungen von V nach WZudem LpV q “ LpV ,V q

Analysis 3 9. Mannigfaltigkeiten 256 / 371

Satz 9.2

Fur eine lineare Abbildung T : pV , .q Ñ pW , .q sind aquivalent(i) T stetig in 0(ii) T stetig(iii) T gleichmaßig stetig(iv) T beschrankt, d.h. D L ą 0 mit Tv ď Lv @ v P V

Definition 9.3Fur stetiges T P LpV ,W q ist Operatornorm definiert als

T “ supv‰0

Tvv

“ supv“1

Tv


Beweis:(i) ùñ (iv) Gegenannahme: @ n P N D vn P V mit Tvn ą nvn

Setze wn “vn

nvn. Dann wn “

1n und limnÑ8wn “ 0 P V

Aber Twn “Tvn

nvną 1, d.h. Twn konvergiert nicht gegen 0 P W

Also ware T unstetig bei 0 (iv) ùñ (iii) Nach Linearitat gilt

Tv ´ Tw “ T pv ´ wq ď L v ´ w

Somit T global Lipshitz-stetig mit Lipshitz-Konstante LInsbesondere also ist T gleichmaßig stetig.(iii) ùñ (ii) ùñ (i) klar l


Satz 9.4

Seien pV , .q und pW , .q normierte VektorraumeDefiniere Menge der linearen und beschrankten Operatoren:

BpV ,W q “ tT P LpV ,W q | T ă 8u

pBpV ,W q, .q ist ein normierter Vektorraum, wobei. : BpV ,W q Ñ Rě0 Opertornorm und pT ` λSqpvq “ Tv ` λSv

Beweis: Wenn T und S linear sind, dann auch T ` λS. Zudem

pT ` λSqv ď Tv ` |λ|Sv ď pT ` |λ|Sqv

so dass T ` λS P BpV ,W q. Insbesondere also

T ` S ď T ` S λT “ |λ|T

Außerdem T “ 0 ðñ T “ 0. Also . Norm auf BpV ,W q l


Definition 9.5 (Vergleiche Definition 4.34)

Ein vollstandiger normierter Vektorraum heißt Banachraum

Satz 9.6

pV , . q normierter Raum und pW , . q Banachraumùñ pBpV ,W q, . q Banachraum

Beweis: Nach Satz 9.4 bleibt noch die Vollstandigkeit zu zeigenSei also pTnqnPN Cauchy-Folge in BpV ,W q

Fur jedes v P V ist dann

Tnv ´ Tmv “ pTn ´ Tmqv ď Tn ´ Tmv

d.h. pTnvqnPN Cauchy-Folge in WNach Vollstandigkeit von W wird T : V Ñ W definiert durch

Tv “ limnÑ8

Tnv

Zu zeigen: T P Bpv ,wq und pTnqnPN konvergiert gegen TAnalysis 3 9. Mannigfaltigkeiten 260 / 371

Sei ε ą 0. Dann D N mit Tn ´ Tm ăε2 @ n,m ě N

Zudem: @ v P V D m ě N mit Tv ´ Tmv ă ε2v

Weiter

pT ´ Tnqv ď pT ´ Tmqv ` pTm ´ Tnqv ď p ε2 `ε2qv “ ε v

ùñ T ´ Tn ď ε @ n ě Nùñ pTnqnPN gegen T . Weiter, weil Tn linear,

T pv ` λwq ´ Tv ´ λTw“ pT ´ Tnqpv ` λwq ´ pT ´ Tnqv ´ λpT ´ Tnqw

ď T ´ Tnpv ` λw ` v ` |λ|wq ` 0 nÑ8ÝÝÝÑ 0

d.h. T linear. Zuletzt fur n ausreichend groß,T ď T ´ Tn ` Tn ď ε` Tn ă 8, also T beschrankt l


Satz 9.7

Seien U,V ,W normierte Vektorraume und T P BpU,V q, S P BpV ,W q

Dann ist ST “ S ˝ T P BpU,W q und ST ď ST

Beweis: Linearitat von ST klar, und @ u P U gilt

STu ď STu ď ST u

SomitST “ sup

u‰0

STuu

ď ST

l

Definition 9.8

V normierter Vektorraum und sei BpV q “ BpV ,V qpBpV q,`, ¨, ˝, . q ist eine normierte AlgebraFalls V vollstandig, so auch BpV q vollstandig (nach Satz 9.7)und dann ist BpV q eine so genannte Banachalgebra


Definition 9.9

Linearer Operator T : V Ñ W invertierbar ðñ T : V Ñ W bijektivDann existiert Inverses T´1 : W Ñ V

Bemerkung 9.10 (Tiefliegender Satz der inversen Abbildung)

Inverses eines beschrankten invertierbaren Operators ist beschrankt

Satz 9.11

V ein Banachraum und T P BpV q Kontraktion, d.h. T ă 1ùñ 1´ T invertierbar mit Inversen gegeben durch konvergenteNeumann Reihe (bez. Operatornorm):

p1´ T q´1 “ÿ

ně0

T n

Zudemp1´ T q´1 ď

11´ T


Beweis: Nach Satz 9.7 gilt T n ď T n. Somit

Nÿ

n“0

T n ď

Nÿ

n“0

T n ď1

1´ T

und´

řNn“0 T n

¯

NPNCauchy-Folge bez. Operatornorm

Nach Satz 9.7 konvergiert Reihe also gegen einen Operator S P BpV qEs gilt:

p1´ T qS “

8ÿ

n“0

T n ´

8ÿ

n“1

T n “ 1

und analog Sp1´ T q “ 1. Also S “ p1´ T q´1. l


Satz 9.12

Seien V ,W Banachraume und T P BpV ,W q invertierbarDann sind alle Elemente der offenen Kugel um T mit Radius r “ 1

T´1

Br pT q “ tS P BpV ,W q | T ´ S ă ru

invertierbar. Zudem gilt fur S P Br pT q

S´1 ďT´1

1´ T´1T ´ S

T´1 ´ S´1 ďT´12T ´ S

1´ T´1T ´ S

Bemerkung 9.13Sprachgebrauch: Invertierbarkeit ist eine offene Bedingung


Beweis: Da S “ T ´ pT ´ Sq “ T p1´ T´1pT ´ Sqq und

T´1pT ´ Sq ď T´1T ´ S ă 1 fur S P B 1T´1

pT q

folgt konvergente Neumann-Reihe (Satz 9.11)

p1´ T´1pT ´ Sqq´1 “

8ÿ

n“0

pT´1pT ´ Sqqn P BpV q

und1´ T´1pT ´ Sqq´1 ď

11´ T´1T ´ S

ùñ S´1 “ p1´ T´1pT ´ Sqq´1T´1 existiert und Schranke an S´1

Weiter

S´1 ´ T´1 “´

p1´ T´1pT ´ Sqq´1 ´ 1¯

T´1

“ p1´ p1´ T´1pT ´ Sqqqp1´ T´1pT ´ Sqq´1T´1

“ T´1pT ´ Sqp1´ T´1pT ´ Sqq´1T´1

so dass S´1 ´ T´1 ď T´1T ´ S 11´T´1T´ST

´1 l


Definition 9.14

V ,W normierte Vektorraume uber R, z.B. V “ RN und W “ RM

Sei D Ă V offene Teilmenge und x0 P DAbbildung f : D Ñ W heißt (Frechet) differenzierbar in Punkt x0

ðñ D T P BpV ,W q, so dass

limxÑx0

f pxq ´ f px0q ´ T px ´ x0q

x ´ x0“ 0

ðñ D T P BpV ,W q, so dass @ ε ą 0 D δ ą 0 mit

f pxq ´ f px0q ´ T px ´ x0q ă εx ´ x0 @ x ‰ x0 mit x ´ x0 ă δ

Dann heißt T Ableitung von f in x0 und wird mit f 1px0q bezeichnetAlternative Notationen: Bf px0q, Df px0q, df px0q, ∇f px0q ...


Bemerkung 9.15

1. Im Fall V “ RN und W “ RM ist f 1px0q : RN Ñ RM linear,also gegeben durch Matrix aus MatpM ˆ N,Rq

2. Im Fall V “ W “ R stimmt die Definition mit Ana 1 ubereinIn der Tat: lineares T : RÑ R ist Multiplikation mit reeller Zahl,d.h. BpR,Rq – R.

3. Definition 9.14 ubertragt sich auch auf komplexe Vektorraume,wenn BpV ,W q “ tkomplex lineare AbbildungenuDifferenzierbare Funktionen heißen dann holomorphFur V “ W “ C (vgl. Funktionentheorie) ist f 1pz0q P BpC,Cq – C


Lemma 9.16Wenn Ableitung existiert, dann ist sie eindeutig

Beweis:Seien T ,T 1 zwei AbleitungenFur alle ε ą 0 D δ ą 0 (fur T ,T 1 gleichzeitig gewahlt), so dass@ x ‰ x0, x ´ x0 ă δ gilt

pT ´ T 1qpx ´ x0q

x ´ x0ďf pxq ´ f px0q ´ T px ´ x0q

x ´ x0

`f pxq ´ f px0q ´ T 1px ´ x0q

x ´ x0

ď ε` ε “ 2 ε

l


Beispiel 9.17(i) f “ w konstant ùñ f 1px0q “ 0 @ x0 P D(ii) f : V Ñ V , f “ idv ùñ f 1px0q “ idv

(iii) f : V Ñ W linear, d.h. f P BpV ,W q. Dann f 1px0q “ f @ x0 P V , weil

f pxq ´ f px0q ´ f px ´ x0q

x ´ x0“

0x ´ x0

“ 0

Lemma 9.18

f differenzierbar in x0 ùñ f stetig in x0

Beweis: Fur ε ą 0 existiert δ ą 0, so dass fur x ´ x0 ă δ gilt:

f pxq ´ f px0q ď f pxq ´ f px0q ´ f 1px0qpx ´ x0q ` f 1px0qpx ´ x0q

ď εx ´ x0 ` f 1px0qx ´ x0

Also ist f stetig in x0 l


Satz 9.19 (Linearitat, Produktregel, Kettenregel)

V ,W ,U normierte Vektorraume und D Ă V offenf ,g : D Ñ W differenzierbar in x0 P D und λ P R

(i) f ` λg : D Ñ W differenzierbar in x0 und

pf ` λgq1px0q “ f 1px0q ` λg1px0q

(ii) Sei zudem W normierte Algebra (z.B. W “ R,C,Matpn ˆ n,RqqDann ist f ¨ g : D Ñ W in x0 differenzierbar und

pf ¨ gq1px0q “ f 1px0qgpx0q ` f px0qg1px0q

(iii) h : f pDq Ă W Ñ U differenzierbar in f px0q

Dann ist h ˝ f differenzierbar in x0 und

ph ˝ f q1px0q “ h1pf px0qqf 1px0q


Beweis:

(i) Nach der Dreiecksungleichung

pf ` λgqpxq ´ pf ` λgqpx0q ´ pf 1px0q ` λg1px0qqpx ´ x0q

x ´ x0

“f pxq ` λgpxq ´ f px0q ´ λgpx0q ´ f 1px0qpx ´ x0q ´ λg1px0qpx ´ x0q

x ´ x0

ď1

x ´ x0

”

f pxq ´ f px0q ´ f 1px0qpx ´ x0q

` |λ| gpxq ´ gpx0q ´ g1px0qpx ´ x0qı

xÑx0ÝÝÝÑ 0


(ii)

f pxqgpxq ´ f px0qgpx0q ´ f 1px0qpx ´ x0qgpx0q ´ f px0qg1px0qpx ´ x0q

x ´ x0

ď1

x ´ x0

”

f pxqgpxq ´ f px0qgpxq ´ f 1px0qpx ´ x0qgpxq

` f px0qgpxq ´ f px0qgpx0q ´ f px0qg1px0qpx ´ x0q

` f 1px0qpx ´ x0qpgpxq ´ gpx0qqı

ď1

x ´ x0

”

f pxq ´ f px0q ´ f 1px0qpx ´ x0qgpxq

` f px0qgpxq ´ gpx0q ´ g1px0qpx ´ x0q

` f 1px0qx ´ x0gpxq ´ gpx0qı

xÑx0ÝÝÝÑ 0

weil g stetig in x0, siehe Lemma 9.18Hierbei wurde Operatorungleichung TS ď T S verwandt


(iii) Es gilt

1x ´ x0

h ˝ f pxq ´ h ˝ f px0q ´ h1pf px0qqf 1px0qpx ´ x0q

ďhpf pxqq ´ hpf px0qq ´ h1pf px0qqpf pxq ´ f px0qq

x ´ x0

f pxq ´ f px0q

f pxq ´ f px0q

`h1pf px0qqpf pxq ´ f px0q ´ f 1px0qpx ´ x0qq

x ´ x0

ďhpf pxqq ´ hpf px0qq ´ h1pf px0qqpf pxq ´ f px0qq

f pxq ´ f px0q¨

¨

ˆ

f pxq ´ f px0q ´ f 1px0qpx ´ x0q

x ´ x0`f 1px0qpx ´ x0q

x ´ x0

˙

`h1pf px0qq ¨ f pxq ´ f px0q ´ f 1px0qpx ´ x0q

x ´ x0xÑx0ÝÝÝÑ 0 ¨ C ` C ¨ 0 “ 0

l


Satz 9.20 (Mittelwertsatz fur reellwertige Funktionen)

V normierter Vektorraum und D Ă V offenf : D Ñ R differenzierbar auf ganz DFerner x , y P D, so dass Intervall rx , ys “ tp1´ tq x ` ty | t P r0,1su in Dùñ D t P p0,1q mit

f pyq “ f pxq ` f 1pp1´ tq x ` tyqpy ´ xq

Beweis: Definiere γ : r0,1s Ñ V durch γptq “ p1´ tqx ` ty

Dann ist f ˝ γ : r0,1s Ñ R stetig und differenzierbar auf p0,1q

Nach eindimensionalem Mittelwertsatz f ˝ γp1q “ f ˝ γp0q ` pf ˝ γq1ptq

Nach Kettenregel gilt pf ˝ γq1ptq “ f 1pγptqqγ1ptq “ f 1pγptqqpy ´ xq l


Bemerkung 9.21f 1px0q : V Ñ R ist lineare und stetige AbbildungFalls V “ RN ist sie durch Skalarprodukt mit Vektor gegeben,der mit ∇f px0q P RN bezeichnet wird, d.h.

f 1px0qpx ´ yq “ x∇f px0q | x ´ yyRN

Bemerkung 9.22Fur Funktionen, die nicht reellwertig sind, gilt der MWS nicht!Dies zeigt schon folgendes zweidimensionale Beispiel:

f : r0,1s Ñ C f pxq “ e2πix

f p0q “ f p1q “ 1 f 1pxq “ 2πie2πix ‰ 0 @ x P r0,1s

Aber f p1q ‰ f p0q ` f 1ptq ¨ p1´ 0q @ t P r0,1s

In vielen Situationen ist folgender Satz ein guter Ersatz:Analysis 3 9. Mannigfaltigkeiten 276 / 371

Satz 9.23 (Schrankensatz)

f : D Ñ W differenzierbar auf offenem D Ă V in normiertem Vektorr.Ferner x , y P D, so dass rx , ys Ă D. Setze

L “ suptPr0,1s

f 1pp1´ tqx ` tyq “ supx 1Prx ,ys

f 1px 1q

Dannf pxq ´ f pyq ď L x ´ y

Beweis: Gegenannahme: D ε ą 0 mit f pxq ´ f pyq ě pL` εqx ´ yUnterteile rx , ys “ rx , x0s Y rx0, ys mit Mittelpunkt x0 “

x`y2 . Nun:

f pxq ´ f px0q ě pL` εqx ´ x0 oder f px0q ´ f pyq ě pL` εqx0 ´ yweil sonst Widerspruch zur Gegenannahme

f pxq ´ f pyq ď f pxq ´ f px0q ` f px0q ´ f pyqă pL` εqpx ´ x0 ` x0 ´ yq“ pL` εqx ´ y (weil x , x0, y auf Gerade liegen)


Sei rx1, y1s Intervall mit ě (entweder rx , x0s oder rx0, ys)Iteration dieser Konstruktion gibt Folge rxn, yns Ă rxn´1, yn´1s mit

xn ´ yn “x ´ y

2n f pxnq ´ f pynq ě pL` εqxn ´ yn

Nun existiert x 1 “ limnÑ8 xn “ limnÑ8 yn

Wiederum Ungleichung ě auf einem Teil von rxn, yns “ rxn, x 1sY rx 1, yns

Ohne Einschrankung fur unendlich viele xn. Dann

f 1px 1q ěf 1px 1qpxn ´ x 1qxn ´ x 1

ěf pxnq ´ f px 1qxn ´ x 1

´f pxnq ´ f px 1q ´ f 1px 1qpxn ´ x 1q

xn ´ x 1

ě pL` εq ´f pxnq ´ f px 1q ´ f 1px 1qpxn ´ x 1q

xn ´ x 1nÑ8ÝÝÝÑ pL` εq

Widerspruch zur Voraussetzung l


Erinnerung:V1 ˆ V2 kartesisches Produkt zweier normierter Vektorraume V1,V2

Vektorraumstruktur: px1, x2q ` λpy1, y2q “ px1 ` λy1, x2 ` λy2q

(Eine) Norm: px1, x2q “ x1 ` x2

Definition 9.24 (Partielle Ableitungen)

D Ă V1 ˆ V2 offen und f : D Ñ Wf heißt partiell differenzierbar in px1, x2q P Dðñ x P V1 ÞÑ f px , x2q differenzierbar in x1 und

x P V2 ÞÑ f px1, xq differenzierbar in x2

Zugehorige lineare Abbildungen Bx1 f px1, x2q P BpV1,W q und

Bx2 f px1, x2q P BpV2,W q heißen partielle Ableitungen

Gilt dies allen Punkten von D, heißt f partiell differenzierbar auf D

Analog Bxn f fur f : D Ă V1 ˆ . . .ˆ VN Ñ W und n “ 1, . . . ,N


Wichtigster Spezialfall:V “ RN “ Rˆ . . .ˆ R und W “ RM “ Rˆ . . .ˆ R

f “

¨

˚

˚

˝

f1...

fM

˛

‹

‹

‚

: D Ă RN Ñ RM mit Komponentenfunktion f` : D Ă RN Ñ R

Fur n “ 1, . . . ,N und x “

¨

˚

˚

˝

x1...

xN

˛

‹

‹

‚

ist Bxn f pxq : RÑ RM lineare Abbildung

Diese partiellen Ableitungen existierenðñ alle f` : D Ă RN Ñ R nach xn eindimensional differenzierbar

Bxn f`pxq Ableitung von y P R ÞÑ f`p. . . , xn´1, y , xn`1, . . .q P R bei y “ xn

Lineare Abbildung Bxn f pxq P BpR,RMq – RM ist ein Vektor

Bxn f pxq “

¨

˚

˚

˝

Bxn f1pxq...

Bxn fMpxq

˛

‹

‹

‚


Definition 9.25 (Jacobi Matrix)

f : D Ă RN Ñ RM partiell differenzierbarJacobi Matrix Bf : D Ñ MatpM ˆ N,Rq ist definiert als

Bf “ pBx1 f , . . . , BxN f q “

¨

˚

˚

˝

Bx1 f1 ¨ ¨ ¨ BxN f1...

...Bx1 fM ¨ ¨ ¨ BxN fM

˛

‹

‹

‚

Im Fall M “ 1 ist Bf pxq Zeilenvektor “ Vektor des DualraumsDieser Vektor ∇f pxq “ pBf pxqqT P RN wird der Gradient genannt. Dann

f 1pxqv “ x∇f pxq|vyRN

∇f pxq ist dann ein Vektorfeld im Sinne folgender Definition:

Definition 9.26 (Vektorfeld)

Ein Vektorfeld auf D Ă RN ist eine Funktion g : D Ñ RN

g heißt Gradientenfeld ðñ D f : D Ă RN Ñ R mit g “ ∇f pxq


Weitere Begriffsbildungen aus partiellen Ableitungen:Zu partiell differenzierbarem Vektorfeld g : D Ă RN Ñ RN ist Divergenz

divpgq “ ∇ ¨ g : D Ñ R divpgq “ Bx1g1 ` Bx2g2 ` . . .` BxN gN

Falls N “ 3 ist Rotation des Vektorfeldes ein neues Vektorfeld

rotpgq “

¨

˚

˝

Bx2g3 ´ Bx3g2

Bx3g1 ´ Bx1g3

Bx1g2 ´ Bx2g1

˛

‹

‚

Zuletzt sei f : D Ă RN Ñ R zweimal partiell differenzierbar,d.h. ∇f : D Ñ RN sei auch partiell differenzierbarDann ist Laplaceoperator ∆ angewandt auf f definiert durch

∆f “ div∇f “ ∇ ¨∇f “ B2x1

f ` . . .` B2xN

f : D Ñ R


Satz 9.27 (Darstellung der Ableitung durch partielle Ableitung)

f : D Ă V1 ˆ V2 Ñ W differenzierbar in x “ px1, x2q P Dùñ f partiell differenzierbar in x und fur v1 P V1, v2 P V2

f 1pxqpv1, v2q “ Bx1 f pxqv1 ` Bx2 f pxqv2 “ pBx1 f pxq, Bx2 f pxqq

˜

v1

v2

¸

Lemma 9.28

Abbildung ϕ : BpV1,W q ˆ BpV2,W q Ñ BpV1 ˆ V2,W q gegeben durch

ϕpT1,T2qpx1, x2q “ T1x1 ` T2x2

ist linear, stetig und bijektiv mit stetigem Inversen ϕ´1

Hierbei ist BpV1,W q ˆ BpV2,W q wieder ein kartesisches Produktversehen mit Norm pT1,T2q “ T1 ` T2


Beweis: Umkehrabbildung ϕ´1 “ ppϕ´1q1, pϕ´1q2q ist

pϕ´1q1pT qpx1q “ T px1,0q pϕ´1q2pT qpx2q “ T p0, x2q

wobei T P BpV1 ˆ V2,W q

Linearitat von ϕ offensichtlich, Stetigkeit folgt aus

ϕpT1,T2q “ suppx1,x2q“1

ϕpT1,T2qpx1, x2q

“ supx1`x2“1

T1x1 ` T2x2

ď T1 ` T2

und Stetigkeit von ϕ´1 aus

ϕ´1pT q “ pϕ´1q1pT q ` pϕ´1q2pT q“ sup

x1“1T px1,0q ` sup

x2“1T p0, x2q

ď T ` T “ 2 T l


Beweis von Satz 9.27:Sei T “ f 1pxq P BpV1 ˆ V2,W q

Setze T1 “ pϕ´1q1pT q P BpV1,W q und T2 “ pϕ

´1q2pT q P BpV2,W q

Nach Lemma 9.28 sind T1 und T2 linear und stetig. Außerdem

f py , x2q ´ f px1, x2q ´ T1py ´ x1q

y ´ x1

“f py , x2q ´ f px1, x2q ´ T py ´ x1,0q

y ´ x1

“f py , x2q ´ f px1, x2q ´ T ppy , x2q ´ px1, x2qq

py , x2q ´ px1, x2qyÑx1ÝÝÝÑ 0

Letzteres nach Differenzierbarkeit von f in px1, x2q

Somit gilt Bx1 f pxq “ T1

Analog erhalt man Bx2 f pxq “ T2 l


Beispiel 9.29 (Umkehrung von Satz 9.27 gilt nicht)

f : R2 Ñ R f px , yq “

#

2xyx2`y2 , px , yq ‰ 0

0 , px , yq “ 0

f besitzt partielle Ableitungen (nachrechnen!)

Bx f px , yq “

#

2yx2`y2 ´

4x2ypx2`y2q2

, px , yq ‰ 0

0 , px , yq “ 0

By f px , yq “

#

2yx2`y2 ´

4y2xpx2`y2q2

, px , yq ‰ 0

0 , px , yq “ 0

Aber

f pr cosϕ, r sinϕq “2r2 cosϕ sinϕ

r2pcos2 ϕ` sin2 ϕq“ sinp2ϕq

so dass limpx ,yqÑ0 f px , yq nicht existiertf also nicht stetig ist bei 0 und somit auch nicht differenzierbar


Definition 9.30

V ,W normierte Vektorraume und D Ă V offenf : D Ñ W stetig differenzierbar auf Dðñ @ x0 P D ist f differenzierbar in x0

und Abbildung x P D ÞÑ f 1pxq P BpV ,W q ist stetig

Fur stetig differenzierbare Funktionen gilt Umkehrung von Satz 9.27:

Satz 9.31

f : D Ă V1 ˆ V2 Ñ W partiell differenzierbar. Aquivalent sind:

(i) Bx1 f : D Ñ BpV1,W q und Bx2 f : D Ñ BpV2,W q stetig(ii) f auf D stetig differenzierbar

Dann gilt f 1 “ ϕpBx1 f , Bx2 f q, wobei ϕ die Abbildung aus Lemma 9.28 ist

Analoges gilt fur Abbildungen f : D Ă V1 ˆ . . .ˆ VN Ñ W


Beweis: (ii) ùñ (i) Da f 1 : D Ă V1 ˆ V2 Ñ BpV1 ˆ V2,W q stetig und

Bxj f “ pϕ´1qj ˝ f 1 : D Ñ BpVj ,W q j “ 1,2

folgt nach Lemma 9.28 die Stetigkeit der partiellen Ableitungen(i) ùñ (ii) Wir zeigen, dass fur px1, x2q P D gilt

f 1px1, x2qpy1 ´ x1, y2 ´ x2q “ Bx1 f px1, x2qpy1 ´ x1q ` Bx2 f px1, x2qpy2 ´ x2q

Die Stetigkeit folgt dann wieder aus Lemma 9.28. Tatsachlich @ ε ą 0:

f py1, y2q ´ f px1, x2q ´ Bx1 f px1, x2qpy1 ´ x1q ´ Bx2 f px1, x2qpy2 ´ x2q

ď f py1, y2q ´ f px1, y2q ´ Bx1 f px1, y2qpy1 ´ x1q

` rBx1 f px1, y2q ´ Bx1 f px1, x2qspy1 ´ x1q

` f px1, y2q ´ f px1, x2q ´ Bx2 f px1, x2qpy2 ´ x2q

ď εy1 ´ x1 ` εy1 ´ x1 ` εy2 ´ x2

fur py1, y2q´ px1, x2q ă δ, nach Def. & Stetigkeit partieller AbleitungenDa ε beliebig klein, ist die Ableitung berechnet l


Bemerkung 9.32

Wenn f : D Ă RN Ñ RM differenzierbar, so ist f 1pxq P BpRN ,RMq

durch Jacobi Matrix Bf “ pBxi fjqj“1,...,M, i“1,...,N gegeben (Satz 9.27),d.h. fur x P D und v P RN

f 1pxqv “ Bf v “

¨

˚

˚

˝

řNi“1 Bxi f1vi

...řN

i“1 Bxi fMvi

˛

‹

‹

‚

“

¨

˚

˚

˝

x∇f1 | vyRN

...x∇fM | vyRN

˛

‹

‹

‚

Insbesondere gilt im Fall M “ 1, d.h. f : D “ RN Ñ R, dass

f 1pxqv “ x∇f pxq|vyRN v P RN

Umgekehrt (Satz 9.31), wenn Jacobi Matrix existiert und stetigeEintrage hat, so stellt sie die Ableitung dar.


Beispiel 9.33 (Differenzierbare Abbildung, die nicht stetig partielldifferenzierbar ist)

f : R2 Ñ R f px , yq “

#

x2y sin` 1

x

˘

x ‰ 00 x “ 0

Dann

Bx f px , yq “

#

2xy sin` 1

x

˘

´ y cos` 1

x

˘

x ‰ 00 x “ 0

Letzteres, weil @ y P R

f pε, yq ´ f p0, yq ´ 0 ¨ pε´ 0qε

“ εy sin

ˆ

1ε

˙

εÑ0ÝÝÝÑ 0

Außerdem

By f px , yq “

#

x2 sin` 1

x

˘

x ‰ 00 x “ 0

Jetzt ist By f stetig auf R2, aber Bx f ist unstetig auf S “ tp0, yq | y ‰ 0u


Beispiel (Fortsetzung)Dennoch ist f differenzierbar!f 1 nach Satz 9.27 dann durch partiellen Ableitungen gegebenIn der Tat gilt fur y ‰ 0 und pεx , εy q ‰ p0,0q

|f pεx , y ` εy q ´ f p0, yq ´ Bx f p0, yqεx ´ By f p0, yqεy |

pεx , εy q

“|f pεx , y ` εy q|

|εx | ` |εy |“

1|εx | ` |εy |

#

ˇ

ˇ

ˇε2

xpy ` εy q sin´

1εx

¯ˇ

ˇ

ˇεx ‰ 0

0 εx “ 0

ď

#

|εx ||y ` εy |

ˇ

ˇ

ˇsin

´

1εx

¯ˇ

ˇ

ˇεx ‰ 0

0 εx “ 0

pεx ,εy qÑ0ÝÝÝÝÝÝÑ 0


Definition 9.34 (Zweite Ableitung)

V ,W normierte Vektorraume und D Ă Vf : D Ñ W zweimal in x P D differenzierbarðñ f differenzierbar auf D und

f 1 : D Ñ BpV ,W q differenzierbar in x(wobei Vektorraum BpV ,W q mit der Operatornorm versehen ist)Zweite Ableitung ist dann f 2pxq P BpV ,BpV ,W qq

Satz 9.35 (Satz von Schwarz)

f zweimal in x P D differenzierbarùñ f 2pxq P BpV ,BpV ,W qq ist symmetrisch, d.h. @ u, v P V

pf 2pxquqv “ pf 2pxqvqu


Beweis: Fur u, v P V ausreichend klein, definiere g : r0,1s Ñ W durch

gptq “ f px ` tu ` vq ´ f px ` tuq

Nach der Kettenregel ist g differenzierbar und

g1ptq “ f 1px ` tu ` vqu ´ f 1px ` tuqu“ pf 1px ` tu ` vq ´ f 1pxqqu ´ pf 1px ` tuq ´ f 1pxqqu

Weil f 1 differenzierbar ist, existiert @ ε ą 0 ein δ ą 0 mit

f 1px ` tu ` vq ´ f 1pxq ´ f 2pxqptu ` vq ď εtu ` v

und

f 1px ` tuq ´ f 1pxq ´ f 2pxqptuq ď ε tu

fur tu ` v ă δ und tu ă δ. Somit

g1ptq ´ pf 2pxqvqu ď pf 1px ` tu ` vq ´ f 1pxq ´ f 2pxqptu ` vqqu` pf 1px ` tuq ´ f 1pxq ´ f 2pxqptuqqu

ď εtu ` vu ` εtuu ď εup2u ` vq


Nun wenden wir Schrankensatz auf t P r0,1s ÞÑ gptq ´ tpf 2pxqvqu an:

gp1q´pf 2pxqvqu´gp0q ď suptPr0,1s

g1ptq´pf 2pxqvqu ď ε up2u`vq

Da

gp1q ´ gp0q “ f px ` u ` vq ´ f px ` uq ´ f px ` vq ` f pxq

symmetrisch in u und v ist, gilt ebenso

gp1q ´ gp0q ´ pf 2pxquqv ď εvp2v ` uq

Somit folgt mit der Dreiecksungleichung:

pf 2pxqvqu ´ pf 2pxquqv ď ε2pu2 ` v2 ` uvq

Da ε beliebig klein, folgt pf 2pxqvqu “ pf 2pxquqv zunachst fur kleine u, vWegen der Linearitat folgt es dann aber fur alle u, v l


Bemerkung 9.36Zweite Ableitung T “ f 2pxq P BpV ,BpV ,W qq kann als bilineare

Abbildung rT : V ˆ V Ñ W aufgefasst werden, indem man definiert:

rT pv ,wq “ T pvqw , v ,w P V

In der Tat, gilt dann

rT pv ` λv 1,wq “ rT pv ,wq ` λrT pv 1,wqrT pv ,w ` λw 1q “ rT pv ,wq ` λrT pv ,w 1q

Satz von Schwarz besagt, dass rT symmetrisch ist, d.h.

rT pv ,wq “ rT pw , vq

Bezeichnung BpV ,V ; W q – BpV ,BpV ,W qq mit Norm

rT “ supv“1

supw“1

rT pv ,wq

Meist: T und rT identifiziert, d.h. auch f 2pxq “ Ćf 2pxq P BpV ,V ; W q


Multilineare Abbildungen: (vergleiche Definition 8.4)Analog wird

T P BpV ,BpV ,BpV , . . . ,BpV ,W qq . . .q

mit k Argumenten aus V mit k -multilinearer Abbildung identifiziert

rT P BpV , . . . ,V ; W q “ BpVˆk ; W q

Diese erfullt dann fur ` “ 1, . . . , k :

rT pv1, . . . , v` ` λw`, . . . , vk q “rT pv1, . . . , vk q ` λrT pv1, . . . ,w`, . . . , vk q

Die Norm auf den k -linearen Abbildungen ist wie oben definiert:

rT “ supv1“1

¨ ¨ ¨ supvk “1

rT pv1, . . . , vk q

Dies ist wieder gleich der Norm T

Zuletzt: auch Symmetrie von rT analog definiert(ahnlich wie alternierend, nur ohne Vorzeichen)


Definition 9.37 (Hohere Ableitungen)

V ,W Vektorraume und D Ă V offenHohere Ableitungen von f : D Ñ W sind iterativ definiert durch:

f ist k -mal auf D differenzierbar mit k -ten Ableitungen gegeben durchk -lineare Abbildungen f pkq : D Ñ BpV , . . . ,V ; W q “ BpVˆk ; W q

ðñ f pk ´ 1q-mal differenzierbar und f pk´1q : D Ñ BpVˆk´1; W q

ist differenzierbar mit Ableitung`

f pk´1q˘1“ f pkq

Falls f pkq : D Ñ BpVˆk ; W q stetig, heißt f k -mal stetig differenzierbar

Die Menge dieser Funktionen wird mit Ck pD,W q bezeichnet


Korollar 9.38

(i) f P Ck pD,W q ðñ alle k-ten partiellen Ableitungen sind stetig(ii) Die k-multilineare Abbildung f pkqpxq ist symmetrisch,

d.h. fur jede Permutation σ P Sk und v1, . . . , vk P V gilt

f pkqpxqpvσp1q, . . . , vσpkqq “ f pkqpxqpv1, . . . , vk q

Beweis: (i) und (ii) folgen aus der iterativen Anwendung von

Satz 9.31 und Satz 9.35 respektive. l


Satz 9.39 (Satz von Taylor)

V ,W normierte Vektorraume und D Ă V offen

Zudem x P D und f k-mal differenzierbar auf D

Dann gilt fur v P V mit x ` v P D die Taylor Formel

f px ` vq “kÿ

n“0

1n!

f pnqpxqvn ` opvk q fur v Ñ 0

Erlauterung: Hierbei ist f pnqpxqvn “ f pnqpxqpv , . . . , vq

Erinnerung: gpvq “ opvk q fur v Ñ 0 heißt limvÑ0gpvqvk “ 0


Beweis: Durch Induktion uber kFur k “ 1 ist die Aussage genau die Definition der AbleitungFur den Schritt von k ´ 1 nach k betrachte den Rest

gpvq “ f px ` vq ´kÿ

n“0

1n!

f pnqpxqvn

Um die Ableitung zu berechnen, verwende

Behauptung: Zu T P BpVˆn; W q n-multilinear und symmetrisch, sei

h : V Ñ W hpvq “ Tvn

ùñ h1pvq “ nTvn´1 P BpV ,W q

Begrundung: Fur ε P V gilt nach Multilinearitat und Symmetrie

1εhpv ` εq ´ hpvq ´ h1pvqε “

1εT pv ` εqn ´ Tvn ´ nT pvn´1, εq

ď1εT

nÿ

`“2

ˆ

n`

˙

ε`εÑ0ÝÝÝÑ 0

Dies zeigt die BehauptungAnalysis 3 9. Mannigfaltigkeiten 300 / 371

Also:

g1pvq “ f 1px ` vq ´kÿ

n“1

1pn ´ 1q!

f pnqpxqvn´1

Jetzt gilt nach dem Schrankensatz

gpvq “ gpvq ´ gp0qď v sup

0ďtď1g1ptvq

ď v opvk´1q

Letzteres nach Induktionsannahme angewandt auf die pk ´ 1q-mal

differenzierbare Funktion t P r0,1s ÞÑ g1ptvq P W

Da vopvk´1q “ opvk q, folgt der Satz l


Nachstes Hauptziel:

Satz 9.40 (Lokale inverse Funktion bzw. lokale Umkehrbarkeit)

V ,W Banachraume und D Ă V offenf : D Ñ W stetig differenzierbarBei x0 P D sei f 1px0q P BpV ,W q invertierbar mit f 1px0q

´1 P BpW ,V qùñ D offene Kugel Bδpx0q “ ty P D | y ´ x0 ă δu, so dass

f : Bδpx0q Ñ f pBδpx0qq

invertierbar ist mit inverser Abbildung f´1 : f pBx0px0qq Ñ Bδpx0q,deren Ableitung stetig ist und gegeben durch

pf´1q1pyq “ rf 1pf´1pyqqs´1

Falls f P Ck pD,W q, so ist auch f´1 k-mal stetig differenzierbar


Bemerkung 9.411. Voraussetzung an nur einen Punkt, Aussage lokal2. Seien V “ RN und W “ RM

f 1px0q invertierbar ùñ N “ M

3. dimpV q “ 8 und f 1px0q invertierbar ùñ dimpW q “ 8

4. dimpW q “ 8 und f 1px0q invertierbar ùñ dimpV q “ 8

5. Im Fall V “ W “ R ist sogar globale Aussage moglich (Ana I):f 1pxq ą 0 @ x P I Ă R ùñ f invertierbar auf IDies ist im Hoherdimensionalen nicht moglich

6. Wesentliches Beweiselement:Banachscher Fixpunktsatz (Satz 4.46)


Beispiel 9.42 (Notwendigkeit der C1-Voraussetzung)Voraussetzung stetiger Differenzierbarkeit kann nicht abgeschwachtwerden zur Differenzierbarkeit: Die Funktion

f pxq “

#

x ` x2 sin` 1

x

˘

x ‰ 00 x “ 0

ist differenzierbar und

f 1p0q “ limxÑ0

f pxq ´ f p0qx

“ limxÑ0

ˆ

1` x sin1x

˙

“ 1 ą 0

Aber f 1pxq “ 1` 2x sin` 1

x

˘

´ cos` 1

x

˘

, so dass f 1 nicht stetigIn der Tat hat f 1 positive und negative Werte in jeder Umgebung von 0da f 2pxq “ 2 sin

` 1x

˘

´ 2x cos

` 1x

˘

` 1x2 sin

` 1x

˘

“ ´ 2x fur x “ 1

2πk , k P Nund f 1pxq “ 0 fur diese x , so dass Vorzeichen von f 1 hier wechseltAlso f nicht lokal monoton und somit nicht lokal umkehrbar bei 0


Beweis von Satz 9.40: Es reicht zu zeigen, dass Funktion

g : Bδp0q Ă V Ñ V , gpxq “ f 1px0q´1pf px0 ` xq ´ f px0qq

fur δ ausreichend klein invertierbar (dann auch f invertierbar). Nun:

gp0q “ 0 , g1p0q “ 1V

Somit nur Fall:

W “ V , x0 “ 0 , f p0q “ 0 , f 1p0q “ 1V

Da f stetig differenzierbar, D ε ą 0 mit

f 1pxq ´ 1V ď12 @ x P Bεp0q “ ty P V | y ď εu

Fur y P V betrachte die Funktion

Fy pxq “ x ` y ´ f pxq , x P Bεp0q

Idee hierbei: eindeutiger Fixpunkt x von Fy pxq “ x lost f pxq “ y


Schrankensatz fur Fy pxq “ x ` y ´ f pxq und x , x 1 P Bεp0q:

Fy pxq ´ Fy px 1q “ x ´ f pxq ´ px 1 ´ f px 1qqď x ´ x 1 sup

tPr0,1s1V ´ f 1ptx 1 ` p1´ tqxq

ď 12x ´ x 1

Also Fy Lipshitz-stetig mit Konstante L ď 12 ă 1. Spezialfall x 1 “ 0:

Fy pxq ´ y “ Fy pxq ´ Fy p0q ď 12x ď

12ε

d.h. Fy : Bεp0q Ñ B ε2pyq

Zudem B ε2pyq Ă Bεp0q fur y P B ε

2p0q

ùñ Fy : Bεp0q Ñ Bεp0q Lipshitz-stetig

Bεp0q vollstandig, weil abgeschlossen in vollstandigem Raum Vùñ Banachscher Fixpunktsatz kann auf Fy angewandt werden


ùñ @ y P B ε2p0q D eindeutiger Fixpunkt x P Bεp0q von Fy :

x “ Fy pxq “ x ` y ´ f pxq ðñ y “ f pxq

Fur y P B ε2p0q hat Gleichung y “ f pxq also genau eine Losung und

f : tx P Bεp0q | f pxq P B ε2p0qu “ f´1pB ε

2p0qq ÝÑ B ε

2p0q

ist also invertierbar

Da f stetig, ist f´1´

B ε2p0q

¯

offen,

enthalt somit eine offene Kugel Bδp0q, wie im Satz 9.40 behauptet

Verbleibt: f´1 auf f pBδp0qq Ă B ε2p0q stetig differenzierbar

Hierfur folgender Zusatz zu Satz 9.12:


Satz 9.43 (vergleiche Satz 9.12)

Seien V ,W Banachraume und T P BpV ,W q invertierbarDann sind alle Elemente der offenen Kugel um T mit Radius r “ 1

T´1

Br pT q “ tS P BpV ,W q | T ´ S ă ru

invertierbarDefiniere ϕ : Br pT q Ă BpV ,W q Ñ BpW ,V q durch ϕpSq “ S´1

ùñ ϕ differenzierbar und ϕ1pSqR “ ´S´1RS´1 fur R P BpV ,W q

Beweis: Erster Teil schon in Satz 9.12. Fur letzte Aussage:

ϕpS ` Rq ´ ϕpSq ´ ϕ1pSqR

“ pS ` Rq´1 ´ S´1 ` S´1RS´1

ď pS ` Rq´1S ´ pS ` Rq ` pS ` RqS´1RS´1

ď pS ` Rq´1S´12R2 “ opRq l


Weiter im Beweis von Satz 9.40:Zu zeigen: f´1 auf f pBδp0qq Ă B ε

2p0q stetig differenzierbar

Zunachst: f 1pxq ´ 1 ă 12 fur x P B ε

2p0q

Also f 1pxq invertierbar (Neumann Reihe)Da x ÞÑ f 1pxq stetig, ist x P B ε

2p0q ÞÑ f 1pxq´1 P BpV q stetig (Satz 9.43)

Außerdem: f´1 Lipshitz-stetig mit Lipshitz-Konstanten 2 auf B ε2p0q,

da fur x , x 1 P Bεp0q gilt, wegen Lipschitz-Konstante 12 von F0,

x ´ x 1 “ f pxq ´ f px 1q ´ F0pxq ` F0px 1q

ď f pxq ´ f px 1q ` 12x ´ x 1

ðñ x ´ x 1 ď 2 f pxq ´ f px 1q

ðñ f´1pyq ´ f´1py 1q ď 2 y ´ y 1

Somit auch Abbildung y P B ε2p0q ÞÑ pf 1pf´1pyqqq´1 stetig


Nun zeigen wir, dass pf´1q1pyq “ pf 1pf´1pyqqq´1 Ableitung ist:

f´1py 1q ´ f´1pyq ´ pf´1q1pyqpy 1 ´ yq

“ x 1 ´ x ´ pf 1pxqq´1pf px 1q ´ f pxqq

ď f 1pxq´1f 1pxqpx 1 ´ xq ´ f px 1q ´ f pxq

ď f 1pxq´1 η x 1 ´ x (η “ ηpxq ą 0 nach Def. von f 1pxq)

ď f 1pxq´1 η 2 y 1 ´ y (nach Lipshitz-Stetigkeit)

Zuletzt verbleibt Aussage uber k -fache Differenzierbarkeit. Hierzu

pf´1q1pyq “ pf 1pxqq´1 x “ f´1pyq

iterativ unter Verwendung von Satz 9.43 ableiten, z.B.

pf´1q2pyq “ ´ pf 1pxqq´1f 2pxqpf´1q1pyqpf 1pxqq´1

etc. l


Beispiel 9.44

f : R2 Ñ R2 gegeben durch f px , yq “ px2` xy ` y2` x ` y ` 1, x ` yqT

Bf px , yq “

˜

2x ` y ` 1 2y ` x ` 11 1

¸

Dies ist stetig und

detpBf px , yqq “ p2x ` y ` 1q ´ p2y ` x ` 1q “ x ´ y

Also f lokal invertierbar in px , yq falls x “ y

Satz 9.40 ist eine lokale Aussage. Folgende Definition ist global:

Definition 9.45

V ,W Banachraume, D Ă V offen und f : D Ñ Wf ist Ck -Diffeomorphismus ðñ f : D Ñ f pDq bijektivund f sowie f´1 : f pDq Ñ D sind k -mal stetig differenzierbar


Satz 9.46 (Satz uber die implizite Funktion)

Seien V ,W Banachraume und D Ă V ˆW offenF : D Ñ W k-mal stetig differenzierbar fur k ě 1Sei px0, y0q P D, so dass ByF px0, y0q P BpW q invertierbarùñ D ε ą 0 und eindeutiges G : Bεpx0q ˆ BεpF px0, y0qq Ă V ˆW Ñ Wmit

F px ,Gpx , yqq “ y

Insbesondere gilt fur gpxq “ Gpx ,F px0, y0qq , g : Bεpx0q Ñ W,

F px ,gpxqq “ F px0, y0q @ x P Bεpx0q

Dann heißt g implizite Funktion zu F durch px0, y0q “ px0,gpx0qq

(Oft wird F so normiert, dass F px0, y0q “ 0)Zudem sind G und g k-mal stetig differenzierbar und

g1pxq “ ´ pByF px ,gpxqqq´1BxF px ,gpxqq


Beweis Betrachte f : D Ă V ˆW Ñ V ˆW definiert durch

f px , yq “ px ,F px , yqqT

Dann

Bf px , yq “

˜

1V 0BxF px , yq ByF px , yq

¸

Nun ist ByF px0, y0q invertierbar. Also (wie fur 2ˆ 2-Matrizen)

pBf px0, y0qq´1 “

˜

1V 0´pByF px0, y0qq

´1BxF px0, y0q pByF px0, y0qq´1

¸

Nach Satz 9.40 existiert somit δ ą 0, so dass f ein lokales Inverses hat

f´1 : f pBδpx0, y0qq Ñ Bδpx0, y0q Ă V ˆW

welches zudem k -mal stetig differenzierbar ist


Dieses Inverse muss von folgender Gestalt sein (ohne Transponieren):

f´1px , yq “ px ,Gpx , yqq px , yq P f pBδpx0, y0qq

Somitpx , yq “ f pf´1px , yqq “ px ,F px ,Gpx , yqqq

d.h.y “ F px ,Gpx , yqq @ px , yq P f pBδpx0, y0qq

Nun f pBδpx0, y0qq “ pf´1q´1pBδpx0, y0qq offen (da f´1 stetig)

Zudem px0,F px0, y0qq P f pBδpx0, y0qq

Somit existiert ε ą 0 mit Bεpx0q ˆ BεpF px0, y0qq Ă f pBδpx0, y0qq

Die erste Aussage folgt. Zur letzten:

0 “ BxF px ,gpxqq “ BxF px ,gpxqq ` ByF px ,gpxqqg1pxq l


Beispiel 9.47

Sei F : R2 Ñ R gegeben durch F px , yq “ y2 ´ 2y ´ x2

F px , yq “ 0 ðñ py ´ 1q2 “ 1` x2 ðñ y “ gpxq “ 1˘?

1` x2

Zwei glatte Losungen. In der Tat ByF px , yq “ 2py ´ 1q ‰ 0 @ y ‰ 1

Beispiel 9.48

Sei F : R2 Ñ R gegeben durch F px , yq “ y2 ´ 2xy ´ x4

F px , yq “ 0 ðñ py ´ xq2 “ x4 ` x2 ðñ y “ x ˘ x?

1` x2

wieder zwei Losungen, aber nicht mehr getrenntBei p0,0q gilt ByF p0,0q “ 0, also keine Eindeutigkeit nach Satz 9.46

Beispiel 9.49

Nun F px , yq “ y2 ` x2 “ 0 ðñ x “ y “ 0

Keine Losungsfunktion, sondern Punkt. In der Tat wieder ByF p0,0q “ 0


Definition 9.50 (Untermannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum)

Seien k P N und H ‰M Ă RN`M

M Ck -Untermannigfaltigkeit des RN`M der Dimension Mðñ @ Punkte p PM D offene Umgebung U “ Bεppq Ă RN`M undk -mal stetig differenzierbare Funktion F : U Ñ RN ,so dass F 1 auf U Maximalrang N hat und

MX U “ tx P U | F pxq “ 0u

Bemerkung 9.51Wenn F 1ppq Maximalrang, so heißt p ein regularer Punkt von F ,andernfalls ein singularer oder kritischer PunktIn Definition 9.50 tauchen nur regulare Punkte auf


Beispiel 9.52

Sei M “ SM “ tx P RM`1 | x “ 1u M-Sphare (bez. euklid. Norm)Sie ist Untermannigfaltigkeit des RM`1 die Dimension MHier globale Funktion F : RM`1 Ñ R gegeben durch F pxq “ x ´ 1Dann SM “ tx P RM`1 |F pxq “ 0u

Bemerkung 9.53Lokal ist Untermannigfaltigkeit also simultane Niveauflacheder Komponentenfunktion Fj von F , d.h.

MX U “

Nč

j“1

tx P U | Fjpxq “ 0u

Jede Niveau-Flache tx P U | Fjpxq “ 0u von Kodimension 1 im RN`M

Rangbedingung besagt: Hyperflachen schneiden sich alle transversDeswegen ist M von Kodimension N im RN`M , also von Dimension M


Satz 9.54

Eine M-dimensionale Ck -Untermannigfaltigkeit M besitzt einen Atlas

A “ tϕ | ϕ : Uϕ Ñ RM Homoomorphismus, Uϕ ĂMu

bestehend aus Karten ϕ, die Folgendes erfullen:(i) Uϕ ĂM offen in M (M versehen mit Unterraumtopologie)(ii)

Ť

ϕPA Uϕ “M(iii) Fur alle ϕ,ψ P A mit Uϕ X Uψ ‰ H sind die Kartenwechsel

ψ ˝ ϕ´1 : ϕpUϕ X Uψq Ă RM Ñ ψpUϕ X Uψq Ă RM

Ck -Diffeomorphismen

Bemerkung 9.55

(i), (ii), (iii) sind Definition (abstrakter) Ck -MannigfaltigkeitJede Ck -Untermannigfaltigkeit ist also eine Ck -MannigfaltigkeitUmkehrung gilt auch: Satz von Whitney


Beweis:Sei U Ă RM`N offene Umgebung von p “ px0, y0q PM im RM ˆ RN

und F : U Ñ RN von Maximalrang, so dass

MX U “ tpx , yq P U Ă RM ˆ RN | F px , yq “ 0u

Sei ByF px0, y0q P BpRNq invertierbar (sonst permutiere Argumente)Nach Satz uber implizite Funktionen D Umgebung V Ă RM von x0

und g : V Ñ RN , so dass

F px ,gpxqqq “ 0 @ x P V

Nun setzeϕ´1 : V ÑM ϕ´1pxq “ px ,gpxqq

undϕ : ϕ´1pV q Ñ RM ϕpx ,gpxqq “ x


Nun wird ϕ zu Diffeomorphismus ϕ erweitert:

ϕ´1px , tq “ px ,gpxq ` tq x P V , t P Bεp0q Ă RN

Tatsachlich ist ϕ invertierbar, da

pϕ´1q1px , tq “

˜

1M g1pxq0 1N

¸

Also ϕ´1 lokal bei px0,0q invertierbar (Satz 9.40)

Gegeben zweite Karte ψ, ist also ψ ˝ ϕ´1 lokaler Ck -Diffeomorphismus(auf adaquatem Definitionsbereich)

Zudem: ψ ˝ ϕ´1px ,0q “ ψpx ,gpxqq “ pψ ˝ ϕ´1pxq,0q

Somit Kartenwechsel lokale Ck -Diffeomorphismen

Atlas durch die Karte zu jedem Punkt p PM gegeben l


Konzepte der Analysis mit Karten auf Mannigfaltigkeiten ubertragen:

Definition 9.56 (Glatte Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten)

Seien M und N Ck -Mannigfaltigkeiten und F : MÑ N Abbildung

F heißt Ck

ðñ fur alle Karten ϕ : Uϕ Ñ RM von M und ψ : Uψ Ñ RN von N

ψ ˝ F ˝ ϕ´1 : ϕpUϕq Ă RM Ñ RN

ist eine Ck -Abbildung

Bezeichnungen fur Menge aller Ck -Abbildungen Ck pM,N q

Falls N “ R, dann Ck pM,Rq “ Ck pMq

Falls k “ 8, spricht man von glatten Abbildungen


10 Tangentialraume und DifferentialformenSei M M-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit des RM 1 “ RM`N

Inverses zu Kartenabbildung ϕ´1 : ϕpUϕq Ă RM Ñ Uϕ Ă RM 1 glatt

Ableitung bei x P ϕpUϕq ist lineare Abbildung (Linearisierung)

pϕ´1q1x “ Bϕ´1pxq : RM Ñ RM 1

pϕ´1q1x hat maximalen Rang M

Definition 10.1Tangentialraum an p PM ist das Bild von pϕ´1q1ϕppq:

TpM “ Ran`

pϕ´1q1ϕppq˘

Satz 10.2TpM ist die Menge aller Ableitungen γ1p0q wobei γ : p´ε, εq ÑMglatte Kurve mit γp0q “ p

Analysis 3 10. Tangentialraume und Differentialformen 322 / 371

Beweis: ”Ă” Sei v P RM und setze γptq “ ϕ´1px ` tvq wobei ϕppq “ x

Dann γ glatt und γ1p0q “ pϕ´1q1xpvq

”Ą” Sei γ Kurve wie oben. Dann ist ϕ ˝ γ : p´ε, εq Ñ ϕpUϕq glatt

und γ1p0q “ pϕ´1 ˝ ϕ ˝ γq10 “ pϕ´1q1ϕppqpϕ ˝ γq

10 P TpM l

Definition 10.3

Eine Punkt-Derivation bei p PM ist lineare Abbildung B : C8pMq Ñ Rmit Punkt-Leibniz-Regel:

Bpfgq “ Bf gppq ` f ppq Bg

Jeder glatten Weg γ durch p PM definiert Punkt-Derivation

Bγ f “ Bt`

f ˝ γptq˘

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

Umgekehrt: zu jeder Punkt-Derivation bei p D Weg γ durch p:

Satz 10.4TpM ist isomorph zum Vektorraum der Punkt-Derivationen bei p


Beweis: Zunachst beachte: Punkt-Derivationen bilden Vektorraum

Wir verwenden eine Basis der Punkt-Derivationen

Sei ϕ : Uϕ Ñ RM Karte mit p P Uϕ und x “ ϕppq “ 0 nach Verschieben

Seien x1, . . . , xM Koordinatenfunktionen in ϕpUϕq Ă RM

Dies gibt glatte Funktionen xm ˝ ϕ P C8pMq

Zu gegebener Punkt-Derivation B bei p, setze λm “ Bpxm ˝ ϕq P R

Betrachte Weg γptq “ ϕ´1ptλmemq durch p “ ϕ´1p0q

Hierbei e1, . . . ,eM Standardbasisvektoren von RM . Dann:

Bγ f “ Bt`

f ˝ γptq˘

ˇ

ˇ

ˇ

t“0“

`

f ˝ ϕ´1˘10pλ

memq

“ λm`f ˝ ϕ´1˘10pemq “ Bpxm ˝ ϕq

`

f ˝ ϕ´1˘10pemq

“ B``

f ˝ ϕ´1˘10pemqxm ˝ ϕ

˘

“ B``

f ˝ ϕ´1˘10px

m ˝ ϕemq˘

“ Bf da nach Taylor fur f “ pf ˝ ϕ´1q ˝ ϕ

f pqq “ f ppq ``

f ˝ ϕ´1˘1

0pxm ˝ ϕemq Òpx2q fur q “ ϕ´1pxm ˝ ϕemq l


ZusammenfassungVerschiedene Darstellungen des Tangentialraumes an p:

TpM “ Ran`

pϕ´1q1ϕppq˘

“ tAbleitungen γ1p0q glatter Wege γ durch pu“ tPunkt-Derivationen bei pu

Notation: zu Karte ϕ setze Bxm “ Bγm wobei γmptq “ ϕ´1ptemq, d.h.

Bxm f “ Bγm f “ Bt`

f ˝ γmptq˘

ˇ

ˇ

ˇ

t“0“

`

f ˝ ϕ´1˘10pemq

Zu Karte um p PM ist dann Bx1 , . . . , BxM Basis von TpM

v “

Mÿ

m“1

vm Bxm “ vm Bxm P TpM

Dies ist Koordinatendarstellung von Tangentialvektoren

Beachte: diese Basis gibt es fur alle Punkte in KartenumgebungAnalysis 3 10. Tangentialraume und Differentialformen 325 / 371

Definition 10.5Tangentialraum ist TM “

Ť

pPM TpM

Definition 10.6Vektorfeld X auf M ist ein Schnitt vom Tangentialraum TM,

d.h. glattes X : MÑ TM mit X ppq P TpM

Beispiel 10.7Lokal sind Bxm glatte Vektorfelder

Da sie in jedem Punkt p eine Basis von TpM bilden, gilt lokal

X “ X mBxm

fur geeignete glatte Funktionen X m : Uϕ ĂMÑ R


Definition 10.8Vektorfeld X “ X mBxm wirkt auf f P C8pMq wie in Defintion 10.3

X pf q “ X mBxmpf q P C8pMq

Bemerkung 10.9 (Dynamisches System auf Mannigfaltigkeit)Zu Vektorfeld X auf M gehort ein dynamisches System

Hierzu sucht man den Fluss φ : I ˆMÑM mit

Btφtppq “ X pφtppqq , φ0 “ idM

wobei I Ă R Zeitintervall

Außerdem: t P I ÞÑ φtppq Pfad und somit Btφtppq P Tφt ppqM

Also ist obige Gleichung eine Gleichung zwischen Tangentialvektoren

Lokale Existenz dieses Flusses wieder mit Picard-Lindelof


Koordinatenwechsel von TangentialvektorenSei p P Uϕ X Uψ in zwei KartengebietenKoordinaten in ϕpUϕq sind x1, . . . , xM mit ϕppq “ 0Koordinaten in ψpUψq sind y1, . . . , yM mit ψppq “ 0Dann hat B P TpM zwei Darstellungen:

B “ vmϕ Bxm “ vm

ψ Bym (*)

Ziel: Berechnung von v1ϕ, . . . , vM

ϕ aus v1ψ, . . . , v

Mψ

Glatter Koordinatenwechsel: ψ ˝ ϕ´1 : ϕpUϕ X Uψq Ñ ψpUψq

Bxm f “`

f ˝ ϕ´1˘10pemq “ pf ˝ ψ´1q10pψ ˝ ϕ

´1q10pemq

“ Byn f enpψ ˝ ϕ´1q10pemq “`

pψ ˝ ϕ´1q10˘n

m Byn f

Also: B “ vmϕ Bxm “ vm

ϕ

`

pψ ˝ ϕ´1q10

˘nmByn

Somit sogenanntes kontravariantes Transformationsverhalten zu (*):

vnψ “

`

pψ ˝ ϕ´1q10˘n

m vmϕ


Definition 10.10Dualraum T ˚p M zu Tangentialraum TpM heißt Kotangentialraum an pSchnitte von T ˚M “

Ť

pPM T ˚p M heißen KovektorbundelDies sind glatte Abbildungen X˚ : MÑ T ˚M mit X˚ppq P T ˚p M

Selbstverstandlich hat T ˚p M duale Basis zu Bx1 , . . . , BxM

Diese duale Basis wird mit dx1, . . . ,dxM bezeichnet und erfullt:

dxmpBxnq “ δmn

Beachte: in der Literatur werden Indizes an dxm oft unten gesetztWiederum kann dxm lokal als Kovektorfeld aufgefasst werdenJedes Kovektorfeld X˚ kann lokal geschrieben werden als

X˚ “ X˚m dxm

mit glatten Funktionen X˚1 , . . . ,X˚M


Koordinatenwechsel von Kovektoren

Set-up wie bei Koordinatenwechsel von Tangentialvektoren:

Glatter Koordinatenwechsel: ψ ˝ ϕ´1 : ϕpUϕ X Uψq Ñ ψpUψq. Dann

B “ vnϕ Bxn “ vm

ψ Bym P TpM ùñ vmψ “

`

pψ ˝ ϕ´1q10˘m

n vnϕ

Nun transformieren Kovektoren mit inverser Abbildung (siehe oben)

Also gegeben zwei Darstellungen

v˚ “ vϕn dxn “ vψm dym P T ˚p M

gilt:vψm “

`

ppψ ˝ ϕ´1q10q´1˘n

m vϕn “`

ppϕ ˝ ψ´1q10˘n

m vϕn

da im Allgemeinen fur Diffeomorphismus F gilt pF 1q´1x “ pF´1q1F pxq


Tensorfelder

Definition 10.11Zu K ě 0 und L ě 0 betrachte Tensoren aus T K

L pTpMq

Ein Tensorfeld ist eine glatte Abbildung p PM ÞÑ T ppq P T KL pTpMq

Beispiel 10.12Ein Vektorfeld ist ein Tensorfeld der Stufe p1,0qEin Kovektorfeld ist ein Tensorfeld der Stufe p0,1q

Lokal kann jedes Tensorfeld nach den Basen entwickelt werden

T “ T n1,...,nK m1,...,mL Bxn1 b . . .b BxnK b dxm1 b . . .b dxmL

wobei nun T n1,...,nK m1,...,mL : Uϕ ĂMÑ R glatte FunktionenTensorfelder bilden Modul uber C8pMq durch punktweise Multiplik.Differentialformen: antisymmetrische, kovariante Tensoren


Definition 10.13 (Differentialformen)Eine Differentialform vom Grad L, kurz auch L-Form, ist eine glatteAbbildung p PM ÞÑ ωppq P ΛLpTpMq

Die Menge aller L-Formen wird mit ΩLpMq bezeichnetAnalog zur Grassmann Algebra definiert man auch den Vektorraum

ΩpMq “

Mà

L“0ΩLpMq

Lokal ist eine L-Form ω P ΩLpMq von der Gestalt (Koeff. antisym.):

ω “ ωm1,...,mL dxm1 ^ . . .^ dxmL

Beispiel 10.140-Formen sind glatte reelle Funktionen, d.h. Ω0pMq “ C8pMq

1-Formen sind genau die Kovektorfelder

Beachte: ΩLpMq ist von unendlicher Dimension, genau wie C8pMq


Definition 10.15 (Außere Ableitung von Funktionen)

Zu f P C8pMq definiere die außere Ableitung df P Ω1pMq

df pX q “ X pf q

Bemerkung 10.16In Koordinaten ist dies

df “ Bxmpf q dxm “

Mÿ

m“1

Bxmpf q dxm

denn dann fur X “ X m Bxm :

df pX q “ Bxmpf q dxmpX n Bxnq “ Bxmpf qX n δnm “ X m Bxmpf q “ X pf q

Bemerkung 10.17

Beachte: Versuch aus Ableitungen Bxmpf q VektorfeldřM

m“1 Bxmpf qBxm

zu konstruieren schlagt fehl, weil dies koordinatenabhangig ist


Definition 10.18 (Außere Ableitung von Differentialformen)d : ΩLpMq Ñ ΩL`1pMq in Koordinaten definert durch

d`

f dxm1 ^ . . .^ dxmL˘

“ df ^ dxm1 ^ . . .^ dxmL

und lineare Fortsetzung

Somit im Allgemeinen:

dω “ dpωm1,...,mL dxm1 ^ . . .^ dxmLq

“ pBxmωm1,...,mLqdxm ^ dxm1 ^ . . .^ dxmL

Beachte: Fur L “ 0 stimmt dies mit obiger Definition 10.15 uberein

Satz 10.19(i) d ist linear

(ii) dpfgq “ pdf qg ` f pdgq fur f ,g P C8pMq

(iii) dpω ^ ηq “ pdωq ^ η ` p´1qLω ^ pdηq fur ω P ΩLpMq, η P ΩK pMq

(iv) d2 “ d ˝ d “ 0


Beweis: (i) klar nach Koordinatendarstellung(ii) nach dpfgq “ Bxmpfgq dxm und Punktderivations-Eigenschaft von Bxm

(iii) folgt ebenfalls in Koordinatendarstellung da obiges dxm

durchkommutitiert werden muss an die erste Stelle

dpω ^ ηq “ dpωn1,...,nL ηm1,...,mK dxn1 ^ . . .^ dxnL ^ dxm1 ^ . . .^ dxmk q

“ Bxmpωn1,...,nLηm1,...,mK qdxm^ dxn1^. . .^dxnL^dxm1^. . .^dxmK

“ pBxmωn1,...,nLqηm1,...,mK dxm^ dxn1^. . .^dxnL^dxm1^. . .^dxmK

` ωn1,...,nLpBxmηm1,...,mK qdxm^ dxn1^. . .^dxnL^dxm1^. . .^dxmK

“ pBxmωn1,...,nLqηm1,...,mK dxm^ dxn1^. . .^dxnL^dxm1^. . .^dxmK

` p´1qLωn1,...,nLpBxmηm1,...,mK qdxn1^. . .^dxnL^dxm^ dxm1^. . .^dxmK

(iv)d2ω “ d

`

pBxmωn1,...,nLqdxm ^ dxn1 ^ . . .^ dxnLq˘

“ pBxm1Bxmωn1,...,nLqdxm1 ^ dxm ^ dxn1 ^ . . .^ dxnL

“ ´pBxm1Bxmωn1,...,nLqdxm ^ dxm1 ^ dxn1 ^ . . .^ dxnL “ 0

weil partielle Ableitungen vertauschen (Satz von Schwarz) l


Definition 10.20ω P ΩLpMq geschlossen ðñ dω “ 0

Definition 10.21ω P ΩLpMq exakt ðñ D η P ΩL´1pMq mit ω “ dη

Bemerkung 10.22

ω exakt ùñ ω geschlossen (da d2 “ 0)

Umkehrung gilt lokal:

Satz 10.23 (Poincare Lemma)

Sei M Ă RM sternformig, d.h. D Stern p0 mit rp0,ps ĂM @ p PMDann: ω P ΩpMq geschlossen ùñ ω exakt

Global Unterschiede: de Rham KohomologieBeweis: siehe Literatur


Pushforwards von Tangentialvektoren

M und N glatte Mannigfaltigkeiten der Dimension M und N(evtl. M “ N , oder anderes Extrem M “ N)Nach Definition 9.56: F : MÑ N glatt ðñ @ Karten ϕ von Mund ψ von N ist ψ ˝ F ˝ ϕ´1 : ϕpUϕq Ă RM Ñ RN glatt

Definition 10.24 (Pushforward = Vorschieben)Pushforward F˚ : TpMÑ TF ppqN auf Punkt-Derivationen definiertdurch

`

F˚pBq˘

pf q “ Bpf ˝ F q , f P C8pN q

oder auf Wegableitungen:`

F˚pBγq˘

pf q “ Btpf ˝ F ˝ γptqq|t“0 , f P C8pN q

Analog Pushforward von Vektorfeldern


Bemerkung 10.25

Sei pF 1qnm “ xen|pψ ˝ F ˝ ϕ´1q1pemqy. Dann:

F˚pBϕxmq “ pF 1qnmB

ψyn

Begrundung:`

F˚pBϕxmq

˘

pf q “ Bϕxmpf ˝ F q

“ Bt f pF pϕ´1ptemqqq

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“ Bt

´

f ˝ ψ´1 ˝ pψ ˝ F ˝ ϕ´1ptemqqq¯ˇ

ˇ

ˇ

t“0

“`

f ˝ ψ´1˘1ψpF p0qq

´

Btpψ ˝ F ˝ ϕ´1ptemqqq

ˇ

ˇ

ˇ

t“0

¯

“`

f ˝ ψ´1˘1ψpF p0qq

`

enpF 1qnm˘

“ pF 1qnm`

f ˝ ψ´1˘1ψpF p0qq penq

“ pF 1qnmBψyn f


Pullbacks von KotangentialvektorenDefinition 10.26 (Pullback = Zuruckziehen)Zu F : MÑ N glatt, ist Pullback F˚ : T ˚F ppqN Ñ T ˚p M gegeben durch

pF˚ωqpvq “ ωpF˚vq , ω P T ˚F ppqN , v P TpM

Analog fur Kovektorfeld ω auf N (d.h. 1-Form auf N )

Bemerkung 10.27pidMq˚ “ idT˚M und pF ˝Gq˚ “ G˚ ˝ F˚

Satz 10.28

Fur 1-Form ω auf N und f P C8pN q gilt

F˚pf ωq “ pf ˝ F q F˚pωq , F˚df “ dpf ˝ F q

Insbesondere dpF˚df q “ 0


Beweis: Fur v P TpM ist F˚v P TF ppqN und somit:

F˚pf ωqpvq “ pf ωqpF˚vq “ f pF ppqqωpF˚vq “`

pf ˝ F q F˚pωq˘

pvq

Weiter fur Vektorfeld X auf M und p PM:

pF˚df qpX qppq “ df pF˚X qpF ppqq“ pF˚X qpf qpF ppqq“ X pf ˝ F qppq“ pdpf ˝ F qqpX qppq l

Bemerkung 10.29Falls F Diffeomorphismus, auch Pushforwards von Kovektoren:

F˚ “ pF´1q˚ : T ˚p MÑ T ˚F ppqN

Ebenso Pullbacks von Tangentialvektoren

F˚ “ pF´1q˚ : TF ppqN Ñ TpM


Pullbacks von Differentialformen

Definition 10.30F : MÑ N glatt. Pullback F˚ : ΩLpN q Ñ ΩLpMq von Differential-formen gegeben durch, fur ω P ΩLpN q und v1, . . . , vL P TpM,

pF˚ωqpv1, . . . , vLq “ ωpF˚v1, . . . ,F˚vLq

Satz 10.31

Fur ω P ΩLpN q und f P C8pN q gilt

F˚pf ωq “ pf ˝ F q F˚pωq , F˚dω “ dpF˚ωq

Beweis: Erste Formel wie in Satz 10.28Zweite Formel fur L “ 0 klar und fur L “ 1 Satz 10.28Allgemein: wegen R-Linearitat betrachte nur ω “ f dym1 ^ . . .^ dymL


Duale Beziehung zu Bemerkung 10.25: F˚pdy lq “ pF 1qlkdxk

F˚dω “ F˚`

pBy l f qdy l ^ dym1 ^ . . .^ dymL˘

“ pBy l f q ˝ F F˚pdy l ^ dym1 ^ . . .^ dymLq

“ pBy l f q ˝ F F˚pdy lq ^ F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq

“ pBy l f q ˝ F pF 1qlkdxk ^ F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq

“ Bxk pf ˝ F qdxk ^ F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq

Andererseits:

dF˚ω “ d`

f ˝ F F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq˘

“`

dpf ˝ F q˘

F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq˘

` f ˝ F d`

F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq˘

“ Bxk pf ˝ F qdxk ^ F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq ` 0

Letzteres weil F˚pdym1 ^ . . .^ dymLq “ F˚pdym1q ^ . . .^ F˚pdymLq

und dF˚pdymq “ 0 nach Satz 10.28 l


Satz 10.32

Sei dimpMq “ dimpN q “ M und F : MÑ N glatt

Weiter sei ϕ Karte auf M und ψ Karte auf N und setze

pF 1qnm “ xen|pψ ˝ F ˝ ϕ´1q1pemqy

Dann gilt lokal fur M-Form (maximalen Grades):

F˚pf dy1 ^ . . .^ dyMq “ detpF 1q pf ˝ F q dx1 ^ . . .^ dxM

Beweis: Dies ist Satz 8.31 angewandt auf Linearisierung von F ,

welche nach Bemerkung 10.25 erfullt:

F˚pBϕxmq “ pF 1qnmB

ψyn l


11 Orientierung und Integration auf MannigfaltigkeitenDefinition 11.1 (Orientierung in der linearen Algebra)V reeller Vektorraum (nicht uber C)

(i) Zwei Basen b1, . . . ,bM und e1, . . . ,eM sind gleichorientiertðñ detpAq ą 0 fur Basiswechsel Apbmq “ em, m “ 1, . . . ,M

(ii) Gleichorientierung ist Aquivalenzrelation mit 2 Klassen(iii) V orientiert ðñ eine Klasse als positiv ausgezeichnet(iv) Sei L : V Ñ W Isomorphismus zwischen orientierten VR

L orientierungstreu ðñ Lppositive Basisq ist positiv

Bemerkung 11.2

0 “ ω P ΛMpV q alternierende Form hochsten Gradesω legt Orientierung fest durch

b1, . . . ,bM positiv ðñ ωpb1, . . . ,bMq ą 0

Analysis 3 11. Orientierung und Integration auf Mannigfaltigkeiten 344 / 371

Definition 11.3 (Orientierung auf Mannigfaltigkeit)Eine Orientierung auf M ist eine Orientierung in jedem TpM mit:@ p PM D Karten pϕ,Uϕq mit p P Uϕ so dass fur alle q P Uϕ

pBx1 , . . . , BxM q positiv in TqMEin solche Karte heißt dann positiv oder positiv orientiertWenn Orientierung auf M existiert, so heißt M orientierbar

Bemerkung 11.4Orientierung von M globale Eigenschaft! Lokal immer moglich

Satz 11.5M orientierbar ðñ D Atlas A so dass fur alle Karten ϕ,ψ P A:

det`

pψ ˝ ϕ´1q1˘

ą 0 auf ϕpUϕ X Uψq

Beweis: Verwende nur positive Karten fur ADann Kartenwechsel orientierungstreu l


Satz 11.6M orientierbar ðñ D eine sogenannte Volumenform auf Md.h. ω P ΩMpMq maximalen Grades M “ dimpMq mit ωp “ 0 @ p PM

Beweis: ”ðù” Nach Bemerkung 11.2 legt ω in TpM Orientierung fest”ùñ” Dies verwendet folgende Begrifflichkeit

Definition 11.7 (Zerlegung der Eins)

Sei pUqUPA offene Uberdeckung einer Mannigfaltikeit MDann heißt pgiqiPN eine A untergeordnete glatte Zerlegung der Einsðñ

(i) gi : MÑ r0,1s glatt mit Trager supppgiq Ă U fur ein U P A(ii) Fur jedes p PM gibt es eine Umgebung von p, auf der nur

endlich viele gi ungleich Null sind(iii)

ř

iě1 gippq “ 1 fur alle p PM


Existenz von Zerlegung der Eins zu Atlas A wird unten bewiesen

Sei also A “ pϕi ,Uϕi qiě1 Atlas mit positiven Karten

und pgiqiPN eine A untergeordenete Zerlegung der Eins

Auf jedem Kartengebiet Uϕi gibt es nicht-verschwindende M-Form

pϕiq˚pdx1 ^ . . .^ dxMq

Eine glatte M-Form auf ganz M ist dann

ωi “ gi pϕiq˚pdx1 ^ . . .^ dxMq

Nun ist eine Volumenform auf M gegeben durch

ω “ÿ

iě1

ωi

weil Summanden sich wegen gleicher Orientierung nicht aufheben l

Bemerkung 11.8Es gibt nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten, z.B. das MobiusbandM “ pRˆ p´1,1qqZ bez. Wirkung k ¨ px , yq “ px ` k , p´1qkyq


Satz 11.9D Zerlegung der Eins zu Atlas von M

Beweis: Fakt 1: D f : RM Ñ r0,1s glatte Funktion mit (Konstruktion?)

f |B1p0q “ 1 , supppf q Ă B2p0q

Fakt 2: D Folge (in M) offener Mengen On mit kompaktem Abschlussmit

On Ă On`1 , M “ď

ně1

On

weil: Offene Kugeln B 1npqq Ă RM 1 mit q P QM 1 Basis der Topologie

Dann MX B 1npqq Ă RM 1 prakompakte Basis in M (Unterraumtop.)

Sei pO1nqně1 Abzahlung dieser Mengen

Dann setze: On “ O11 Y . . .YO1

n ˛

Beachte Zerlegung in “Ringe”:fur n ě 3 ist kompaktes OnzOn´1 enthalten in offenem On`1zOn´2


Zu p PM seinp “ maxtn P N | p R Onu

Sei pU, ϕq Karte mit p P U und wahle Vp Ă Up Ă U XOnp`2zOnp

so dass B2p0q Ă ϕpUpq und ϕpVpq Ă B1p0q (ggfs. Karte skalieren)Definiere fp : MÑ r0,1s durch

fppqq “

#

0 , q R Up

f ˝ ϕpqq , q P Up

Nun: pVp XO3qpPM offene Uberdeckung von O2

und: pVp X pOn`1zOn´2qqpPM offene Uberdeckung von OnzOn´1

Wahle jeweils endliche Teiluberdeckung ausDies liefert eine lokal endliche Uberdeckung pVpqpPP von MNun setze fur p P P ĂM:

gp “fp

ř

p1PP fp1 l


Definition 11.10 (Integral uber orientierte Mannigfaltigkeiten)Sei ω P ΩMpMq und pUϕ, ϕq positiv orientierte KarteDann pϕ´1q˚ω “ ωϕ dx1 ^ . . .^ dxM “ ωϕ dx P ΩMpϕpUϕqq

Hierbei ist dx Lebesgue-Maß auf ϕpUϕq Ă RM

Falls ωϕ integrierbar, setze fur messbares A Ă Uϕ

ż

Aω “

ż

ϕpAqpϕ´1q˚ω “

ż

ϕpAqωϕ dx

Wenn pgiqiě1 Zerlegung der Eins zu positiven Atlas pUϕi , ϕiqiě1 undIntegrierbarkeit

ř

iě1ş

M |gi ω| ă 8 vorliegt,ż

Mω “

ÿ

iě1

ż

Uϕi

gi ω “ÿ

iě1

ż

Mgi ω

Satz 11.11Integral unabhangig von Wahl der Karten und der Zerlegung der Eins


Beweis: Zunachst zuş

A ω

Sei A Ă Uψ fur zweite positive Karte pUψ, ψq

Hierzu pψ´1q˚ω “ ωψ dy1 ^ . . .^ dyM “ ωψ dyFur glatte Transformation F “ ψ ˝ ϕ´1 gilt nach Satz 10.32

F˚pψ´1q˚ω “ F˚pωψ dy1^. . .^dyMq “ detpF 1q ωψ˝F dx1^. . .^dxM

Da detpF 1q ą 0, mit Jacobi’scher Transformationsformel (Satz 3.11):ż

ϕpAqωϕ dx “

ż

ϕpAqpϕ´1q˚ω “

ż

ϕpAqpψ´1 ˝ ψ ˝ ϕ´1q˚ω

“

ż

ϕpAqpψ ˝ ϕ´1q˚pψ´1q˚ω “

ż

ϕpAqF˚pψ´1q˚ω

“

ż

F´1pψpAqqdetpF 1q ωψ ˝ F dx1 ^ . . .^ dxM

“

ż

ψpAqωψ dy1 ^ . . .^ dyM “

ż

ψpAqωψ dy


Auch prgjqjě1 Zerlegung der Eins zu positiven Atlas pUrϕj , rϕjqjě1

Fur jedes i gilt:ż

Mgi ω “

ÿ

jě1

ż

Mrgj gi ω

Nach Obigem kannş

M rgj gi ω in beiden Karten berechnet werden

Wegen Integrierbarkeit konnen Summen vertauscht werden.

Somit

ÿ

iě1

ż

Mgi ω “

ÿ

jě1

ÿ

iě1

ż

Mrgj gi ω

“ÿ

jě1

ż

Mrgj ω

l


Elementare Eigenschaften des IntegralsSatz 11.12

(i) Abbildung ω P ΩMpMq ÞÑş

M ω linear(ii) M Mannigfaltigkeit M mit umgekehrter Orientierung. Dann

ż

Mω “ ´

ż

Mω

(iii) F : MÑ N orientierungstreuer Diffeomorphismus. Dannż

Nω “

ż

MF˚ω

Beweis: (i) und (ii) offensichtlich

(iii) Nach Definition des Integrals ausreichend:

nur Fall supppωq Ă Uψ fur eine orientierte Karte auf N

Dies folgt analog zu Kartenwechsel aus Transformationsformel l


Definition 11.13 (Integration uber Formen von niedrigerem Grad)N und M N- und M-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeitigkeiten

Sei N ď M und ω P ΩNpMq

Zudem F : N ÑM glatt und F˚ω integrierbar uber N

Definiere Integralş

F ω uber ω entlang F , oft mitş

F pN q ω bezeichnet:

ż

Fω “

ż

NF˚ω

Beispiel 11.14 (Kurvenintegral)

γ : p0,1q ÑM glatt und ω “ ωmdxm P Ω1pMq 1-Form. Dannż

γω “

ż

p0,1qγ˚ω “

ż 1

0dt ωmpγptqq pϕm ˝ γq1ptq

weil

γ˚pdxmqpBtq “ dxmpγ˚pBtqq “ pγ˚pBtqqpϕmq “

ddtϕmpγptqq


Definition 11.15 (Glatte Abbildungen auf Halbraumen)

Sei RMě “ tx P RM | xM ě 0u mit Unterraumtopologie vom RM

d.h. U Ă RMě offen ðñ U “ V X RM

ě mit V Ă RM offen

Rand hiervon ist BRMě “ tx P RM | xM “ 0u

Nun F : U Ă RMě Ñ RN glatt ðñ D glatte Erweiterung rF : V Ñ RN

Fur x P BRMě setze F 1x “ rF 1x

Bemerkung 11.16

Definition von F 1x unabhangig von Wahl von rF da rF 1 stetig

Satz 11.17

Fur U,V Ă RMě offen sei F : U Ñ V Diffeomorphismus (F ,F´1 glatt)

ùñ F pU X BRMěq “ V X BRM

ě (d.h. Rand wird auf Rand abgebildet)und F |UXBRM

ěDiffeomorphismus


Beweis: (nur Analysis) Sei IntpUq “ UzBRMě

Behauptung 1: Wenn x P IntpUq und F pxq P BRMě , so RanpF 1xq Ă BRM

ě

weil: fur alle v P RM und t P R gilt F px ` tvq “ F pxq ` tF 1xpvq ` optq

Also fur M-te Komponente und fur alle t ausreichend klein:

0 ď F px ` tvqM “ F pxqM ` tF 1xpvqM ` optq

Somit F 1xpvqM “ 0 fur alle v . Also RanpF 1xq Ă BRMě ˛

Behauptung 2: U Ă IntpRMěq ðñ V Ă IntpRM

ěq

weil: “ùñ“ Sonst D x P U mit F pxq P BRMě

Dann ist F 1x nach Behauptung 1 kein Isomorphismus

Widerspruch zu F Diffeomorphismus Fur Umkehrung F´1 ˛

Also: F : IntpUq Ñ IntpV q Diffeomorphismus

Somit Rand auf Rand bijektiv. Auch Diffeomorphismus l


Definition 11.18 (Mannigfaltigkeit mit Rand)Mannigfaltigkeit mit Rand genau wie in Satz 9.54, nur dass

Bilder ϕpUϕq der Kartenabbilungen ϕ offen in RMě sind

Die Kartenwechsel sind dann Diffeomorphismen wie in Satz 11.17

Rand von M ist BM “ tp PM | D ϕ mit ϕppq P BRMěu

Beachte: Mannigfaltigkeit Spezialfall von Mannigfaltigkeit mit Rand

Satz 11.19Rand BM wohldefinierte pM ´ 1q-dimensionale Mfkt mit Atlas

BA “ tϕ|UϕXBM | pUϕ, ϕq P Au

Außerdem ist IntpMq “MzBM Mannigfaltigkeit ohne Rand

Beweis: Fur p P Uψ gilt ψppq “ pψ ˝ϕ´1qpϕppqq P BRMě nach Satz 11.17

Kartenwechsel eingeschrankt auf Rand auch glatt nach Satz 11.17 l


Beachte: Rand ist immer eine Mannigfaltigkeit ohne Rand

Definition 11.20 (Induzierte Orientierung auf dem Rand)Sei M orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand mit dimpMq “ M ě 2

In p P BM sind v1, . . . , vM´1 P TpBM positiv orientiert

ðñ fur nach außen zeigenden Vektor wK P TpM ist

wK, v1, . . . , vM´1 positiv orientiert in TpM (vorgegebene Orient.)

Aquivalent hierzu: Restriktionen negativer Karten auf Rand sind positiv

Beispiel 11.21(i) M “ r0,1s mit A “ tidp0,1s, idr0,1qu, BM “ t0,1u und Int “ p0,1q

(ii) M “ B1p0q Ă RM mit BM “ SM´1, zwei Karten(iii) M “ r0,1s ˆ S1 Zylinderoberflache

Dann BM “ S1 ˆ S1, beide in umgekehrter Richtung orientiert


Satz 11.22 (Satz von Stokes)M M-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeitigkeit mit Rand BMSei M ě 2. Auf BM ist die Orientierung von M induziertSei Einbettung i : BMÑMWeiter: ω P ΩM´1pMq mit kompakten TragerWenn dω und i˚ω integrierbar, dann

ż

Mdω “

ż

BMi˚ω

Insbesondere: wenn M keinen Rand hat, dannş

M dω “ 0

Beachte: Fall von Dimension M “ 1 ist genau der FundamentalsatzDann M “ ra,bs mit BM “ ta,bu wobei b positiv und a negativEine Nullform ω “ f auf M ist eine Funktion und i˚ω “ f |ta,bu. Also:

ż

Mdω “

ż b

adf “ f pbq ´ f paq “

ż

BMf “

ż

BMi˚ω


Beweis des Satzes von Stokes:Zuerst Spezialfall M Ă RM

ě und ω mit Trager in p´R,RqM´1 ˆ r0,Rq

Dann: ω “ ωm dx1 ^ . . .^ ydxm ^ . . .^ dxM

wobei ωm glatte Funktionen und ydxm heißt: dxm fehlt. Nun

dω “ÿ

m“1,...,M

Bxmωm dxm ^ dx1 ^ . . .^ ydxm ^ . . .^ dxM

“ÿ

m“1,...,M

p´1qm´1Bxmωm dx1 ^ . . .^ dxM

Also mit Fubini undşR´R dxm Bxmωm “ 0 fur m ă M (Hauptsatz):

ż

Mdω “

ÿ

m“1,...,M

p´1qm´1ż R

´Rdx1 ¨ ¨ ¨

ż R

´RdxM´1

ż R

0dxMBxmωm

“ p´1qM´1ż R

´Rdx1 ¨ ¨ ¨

ż R

´RdxM´1

´

ż R

0dxMBxMωM

¯

“ p´1qMż R

´Rdx1 ¨ ¨ ¨

ż R

´RdxM´1 ωMpx1, . . . , xM´1,0q


Andererseits: i : BMÑM ist iprxq “ prx ,0q mit rx “ px1, . . . , xM´1q und

pi˚ωqrxpv1, . . . , vM´1q “ ωprx ,0qpi˚v1, . . . , i˚vM´1q

“ ωMprx ,0qdx1 ^ . . .^ dxM´1pv1, . . . , vM´1q

weil v1, . . . , vM´1 P BRMě und somit nur dieser Summand “ 0

Zudem Berechnung der Orientierung Orient:

Orientpx1, . . . , xM´1q “ Orientp´xM , x1, . . . , xM´1q

“ p´1qOrientpxM , x1, . . . , xM´1q

“ p´1q2Orientpx1, xM , x2, . . . , xM´1q

“ p´1qMOrientpx1, . . . , xMq

“ p´1qM

Alsoż

BMi˚ω “ p´1qM

ż R

´Rdx1 ¨ ¨ ¨

ż R

´RdxM´1 ωMpx1, . . . , xM´1,0q “

ż

Mdω

nach Vergleich mit Obigem. Also Spezialfall gezeigtAnalysis 3 11. Orientierung und Integration auf Mannigfaltigkeiten 361 / 371

Allgemeiner sei nun supppωq Ă Uϕ fur eine positive Karte ϕDann ϕ : Uϕ Ñ RM

ě orientierungstreuer Diffeomorphismus mit

BM i - M

RM´1

ϕ|BM?

i - RMě

ϕ?

giltż

Mdω “

ż

RMě

pϕ´1q˚pdωq (Definition des Integrals)

“

ż

RMě

dpϕ´1q˚pωq (Satz 10.31)

“

ż

BRMě

i˚pϕ´1q˚pωq (Spezialfall)

“

ż

BRMě

ppϕ|BMq´1q˚i˚pωq (obiges Diagramm)

“

ż

BMi˚ω (Definition des Integrals)


Fur den allgemeinen Fall, sei A “ ppUϕi , ϕiqqiě1 orientierter Atlas

und pgiqiě1 untergeordnete Zerlegung der Eins

Dannż

BMω “

ÿ

iě1

ż

BMgiω

“ÿ

iě1

ż

Mdpgiωq (2. Spezialfall)

“ÿ

iě1

ż

Mdgi ω `

ÿ

iě1

ż

Mgi dω

“

ż

Md`

ÿ

iě1

gi˘

ω `

ż

M

`

ÿ

iě1

gi˘

dω

“

ż

Mdω

l


Beispiel 11.23

Sei M “ tpx , yq P R2 | 1 ď px , yq ď 2u abgeschlossener Ring

Rand: BM “ S1 Y S2 mit Sj “ tpx , yq PM | px , yq “ ju

Orientierung von R2 induziert

Innerer Kreis von BM im Uhrzeigersinn, außerer umgekehrt

Seiω “

xdy ´ ydxx2 ` y2 P Ω1pMq

Diese Form ist geschlossen:

dω “

ˆ

Bxx

x2 ` y2

˙

dx ^ dy `

ˆ

Byý

x2 ` y2

˙

dy ^ dx

“

ˆ

1x2 ` y2 ´

2x2

px2 ` y2q2`

1x2 ` y2 ´

2y2

px2 ` y2q2

˙

dx ^ dy

“ 0


Beispiel (Fortsetzung)

Nun ist t P r0,2πq ÞÑ pj cosptq, j sinptqq P R2 Parametrisierung von Sj

wobei Orientierung auf S2 positiv, auf S1 negativ. Zudem

i˚j ω “j cosptqdpj sinptqq ´ j sinptqdpj cosptqq

pj cosptqq2 ` pj sinptqq2“ dt

und somitş

S2i˚2ω “

ş2π0 dt “ 2π und analog

ş

S1i˚1ω “ ´2π. Also

ż

BMω “

ż

S1

ω `

ż

S2

ω “ 0 “

ż

Mdω

Beispiel 11.24 (Variation zu Obigem)

M “ tpx , yq P R2 | 1 ă px , yq ď 2u nicht kompakt mit Rand BM “ S2ż

Mdω “ 0 “ 2π “

ż

BMω

Voraussetzung an kompakten Trager (hier M) ist also wesentlich


Gauss’scher DivergenzsatzErster Spezialfall von Stokes. Verwendet Geometrie des RM

Sei M Ă RM kompakte M-Mannigfaltigkeit mit Rand BMOrientierung ist vom RM geerbt. Diese garantiert auch Existenz vonN : BMÑ RM Hauptnormalenvektorfeld auf BM (nach außen)Flachenelement auf BM ist nun durch N “ pN1, . . . ,NMq gegeben:

dS “ÿ

m“1,...,M

p´1qm`1Nm dx1 ^ . . .^ ydxm ^ . . .^ dxM P ΩM´1pBMq

Auch: dS “ xN|dSy wobei dS passende vektorwertige FormDivergenz zu Vektorfeld x PM ÞÑ X pxq “ pX 1, . . . ,X MqT P TxM – RM

divpX q “ BxmX m “ÿ

m“1,...,M

BxmX m

Satz 11.25 (Gauss’scher Divergenzsatz)ż

MdivpX q dx1 ^ . . .^ dxM “

ż

BMxN|XydS


Formeln im Fall M “ 3Dann also BM 2-dimensionale Flache

Normalenfeld in x P BM:

Npxq “ ˘v1 ˆ v2

v1 ˆ v2, v1, v2 P TxBM – R2 Ă R3

Hierbei ist ˆ Kreuzprodukt und . euklidische Lange (Skalarprodukt)

Vorzeichen so gewahlt, dass x ` t Npxq RM fur t ą 0 klein. Außerdem:

dS “

¨

˚

˝

dx2 ^ dx3

´dx1 ^ dx3

dx1 ^ dx2

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝

dx2 ^ dx3

dx3 ^ dx1

dx1 ^ dx2

˛

‹

‚

In Karte r “ pr1, r2, r3q “ ϕ´1py1, y2q P BM Ă R3 ist dies

Nprq “ ˘By1r ˆ By2rBy1r ˆ By2r


Nun dS in gleicher Karte:

dS “

¨

˚

˝

pBy1r2 dy1 ` By2r2 dy2q ^ pBy1r3 dy1 ` By2r3 dy2q



˛

‹

‚

“

¨

˚

˝

By1r2By2r3 ´ By1r3By2r2



˛

‹

‚

dy1 ^ dy2 “ By1r ˆ By2r dy1 ^ dy2

Also in Karte ϕ:

pϕ´1q˚pdSq “ pϕ´1q˚pxN|dSyq “ By1r ˆ By2r dy1 ^ dy2

Also in Karte und bis auf Vorzeichen (was von Wahl der Karteabhangt):

ż

BMf dS “ ˘

ż

dy1ż

dy2 f prpy1, y2qq By1r ˆ By2r


Beweis von Satz 11.25: Satz von Stokes fur die Form ω P ΩM´1pMq:

ω “ÿ

m“1,...,M

p´1qm`1 X m dx1 ^ . . .^ ydxm ^ . . .^ dxM “ xX |dxy

wobei dx ein Vektor von pM ´ 1q-Formen definiert durch obigeGleichung (Einschrankung i˚dx auf BM ist genau dS). Dann

dω “ divpX q dx1 ^ . . .^ dxM

und die Einschrankung i˚ω auf BM ist, fur v1, . . . , vM´1 P TxBM,

i˚ωpv1, . . . , vM´1q “ ωpv1, . . . , vM´1q “ xX |dSypv1, . . . , vM´1q

“ xX |Ny xN|dSypv1, . . . , vM´1q `ÿ

j“1,...,M´1

xX |wjy xwj |dSypv1, . . . , vM´1q

mit w1, . . . ,wM´1 ONB von TxBM, also N,w1, . . . ,wM´1 ONB von RM

Mit Rotationsinvarianz und Satz 8.29 folgt xwj |dSypv1, . . . , vM´1q “ 0

Also i˚ω “ xX |NydS l


Beispiel 11.26

Sei M “ tpx , yq P R2 | pxa q

2 ` pyb q

2 ď 1u Ellipse zu a,b ą 0Parametrisierung von BM (strikt: 2 Karten) ist:

ϕ´1ptq “ pa cosptq,b sinptqq , t P r0,2πq

In Karte Nptq “ pb2 cos2ptq ` a2 sin2ptqq´12 pb cosptq,a sinptqqT . Also

dS “ xN|dSy “ xN|pdy ,´dxqT y

“ pb2 cos2ptq ` a2 sin2ptqq´12`

b cosptqdpb sinptqq ´ a sinptqdpa cosptqq˘

“`

b2 cos2ptq ` a2 sin2ptq˘

12 dt

Nun sei X “ pαy , βxq. Dann divpX q “ 0 und in der Tat

ż

BMxN|XydS “

ż 2π

0x

ˆ

b cosptqa sinptq

˙

|

ˆ

αb sinptqβa cosptq

˙

y dt “ 0


Klassischer Satz von Kelvin-StokesSei M Ă R3 eine 2-dimensionale Flache mit Rand BM

Sei x PM ÞÑ X pxq P R3 Vektorfeld (dies ist nicht Schnitt von TM)

Betrachte die zugehorige 1-Form (Indexkonflikt wegen Hochziehen):

ω “ X 1dx1 ` X 2dx2 ` X 3dx3 “ xX |dsy P Ω1pMq

mit ds “ pdx1,dx2,dx3qT . Wir benotigen (mit Kreuzprodukt im R3):

dω “ÿ

i“1,2,3

pBx i Xi`1 ´ Bx i`1Xiqdx i ^ dx i`1 (zyklisch)

“ x∇ˆ X |dSy “ x∇ˆ X |NydS (wie in Satz 11.25)

Also folgt aus allgemeinem Satz von Stokes:

Satz 11.27 (Satz von Kelvin-Stokes)ż

Mx∇ˆ X |dSy “

ż

BMxX |dsy


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Analysis 3 - FAU