Analysis 4 - uni-leipzig.degittel/ma4phys/SkriptAna4.pdf · Skript Analysis 4 Dozent: Prof. Dr. Gittel 1 Hilberträume 1.1 Grundbﬀ Idee der Funktionalanalysis: abstrakte Theorie,

Hans-Peter Gittel

Analysis 4(für Physiker)

Sommersemester 2019

Universität Leipzig, Institut für Mathematik

Version vom 17. Mai 2019

Skript Analysis 4Dozent: Prof. Dr. Gittel

Es wird keinerlei Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der hier vorliegen-den Mitschrift gegeben.

Diese Mitschrift wurde ursprünglich von Andreas Hübner mit Hilfe von LATEX2εim Sommersemesters 2011 gesetzt. Die jeweils aktuellste Version der Mitschrift isterhältlich unter:

http://www.math.uni-leipzig.de/∼gittel/ma4phys19.html

2 von 26


Inhaltsverzeichnis1 Hilberträume 4

1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Abgeschlossene Unterräume U eines Hilbertraumes H . . . . . 9

1.2 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Satz über die orth. Projektion auf einen abgeschlossenen UR

(Lot-Prinzip) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Folgerungen aus dem Lotprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Vollständige Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Charakterisierung vollständiger Orthonormalsysteme . . . . . 151.3.2 Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . 161.3.3 Existenzsatz über vollständige Orthonormalsysteme . . . . . . 18

1.4 Die linearen stetigen Funktionale eines Hilbertraums . . . . . . . . . 19

2 Das Lebesgue-Integral 23

3 Lineare Operatoren 24

Abkürzungsverzeichnis 25

Stichwortverzeichnis 26

von Andreas Hübner mit LATEX gesetzt 3 von 26


1 Hilberträume

1.1 Grundbegriffe

Idee der Funktionalanalysis : abstrakte Theorie, welche von der konkreten Gestaltder beschreibenden Gleichung (part. Differentialgleichungen, Integralgleichungen,Operatorgleichungen usw.) abstrahiert und den gemeinsamen Kern herausfiltert.Dadurch gelingt es allgemeingültige Aussagen zur Existenz und Eigenschaften vonLösungen solcher Gleichungen zu gewinnen, welche auf unterschiedlichste Aufgaben-stellungen anwendbar sind.

Wir beschränken uns im wesentlichen auf die Theorie der Hilberträume , welchedie Struktur des Skalarproduktes tragen. Damit wird die Übertragung typisch geo-metrischer Schlussweisen möglich.

Sei H ein Vektorraum (VR) über C. Ein Skalarprodukt auf H ist eine Abbildung:⟨·, ·⟩ : H ×H → C, wenn für alle u, v, w ∈ H und alle λ ∈ C gilt:

(i) ⟨u+ v, w⟩ = ⟨u,w⟩+⟨v, w⟩ , ⟨λv, w⟩ = λ ⟨v, w⟩ (Linearität im 1. Argument)

(ii) ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩ (Hermitizität)

(iii) ⟨v, v⟩ ≥ 0, ⟨u, u⟩ = 0 ⇔ u = 0 (Positive Definitheit)

Ist auf H ein Skalarprodukt definiert, so heißt H unitärer Vektorraum oder Prä-Hilbertraum. H heißt HilbertraumI, wenn zusätzlich H bez. der Norm ∥v∥ :=√⟨v, v⟩ vollständig ist, d.h. wenn jede Cauchy-Folge (CF) (un) ⊂ H bez. ∥·∥ einen

Grenzwert u ∈ H besitzt.

Bemerkung 1.1 Ein Hilbertraum ist ein Banachraum (vollst. norm. VR) mit Ska-larprodukt (SP)II

Wiederholung zum Skalarprodukt

1.) Für SP gilt die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥ ∥v∥ .

2.) Es gilt die Parallelogrammgleichung

∥u+ v∥2 + ∥u− v∥2 = 2 ∥u∥2 + 2 ∥v∥2 .

3.) Umgekehrt gilt: Ist für ∥·∥ auf V über K die Parallelogrammgleichung erfüllt, soist V ein euklidischer VR oder ein unitärer VR mit dem Skalarprodukt

⟨u, v⟩ =

{∥∥u+v2

∥∥2 − ∥∥u−v2

∥∥2 , K = R∥∥u+v2

∥∥2 − ∥∥u−v2

∥∥2 + ı(∥∥u+ıv

2

∥∥2 − ∥∥u−ıv2

∥∥2) , K = C

Ibenannt nach David Hilbert (1862–1943), stellte die 23 Hilbertschen Probleme 1900 in Parisauf.

IIsiehe Analysis 2

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Folgerung 1.1 Stetigkeit des Skalarproduktes, d.h., ist limn→∞

un = u, limn→∞

vn =

v in H für u, v, un, vn ∈ H, so muss gelten

limn→∞

⟨un, vn⟩ =⟨limn→∞

un, limn→∞

vn

⟩= ⟨u, v⟩ in C

Beweis:

|⟨un, vn⟩ − ⟨u, v⟩| = |⟨un − u, vn⟩+ ⟨u, vn⟩ − ⟨u, v⟩|= |⟨un − u, vn⟩+ ⟨u, vn − v⟩|≤ |⟨un − u, vn⟩|+ |⟨u, vn − v⟩|≤ ∥un − u∥︸︷︷︸

< ε2M

∥vn∥︸︷︷︸≤M

+ ∥u∥ ∥vn − v∥︸︷︷︸< ε

2∥u∥

< ε

für ε > 0 ∀n ≥ n0(ε)

Die Behauptung ergibt sich daraus. 2

Definition 1.1 Sei M ⊂ H mit ∥u∥ :=√

⟨u, u⟩

a) spanM := {v|v = α1x1 + . . .+ αnxn︸︷︷︸Linearkombination (LK)

, xn ∈ M,n ∈ N} heißt lineare Hülle von

M.

b) M := M∥·∥ = M ∪ ∂M heißt Abschluss oder abgeschlossene Hülle von M.

c) M heißt dicht in H, falls M∥·∥ = H.

d) H heißt separabel, falls es ein M ⊆ H gibt mit M = H und M abzählbarunendlich ist.

Beispiele

1.) RN bzw. CN sind endlichdimensionale und separable HR mit dem SP:

⟨x, y⟩ =N∑k=1

xkyk

Die Eigenschaften des SP sind klar. Die Vollständigkeit des KN ergibt sich ausder Vollständigkeit endl. dim. norm. Räume bezüglich jeder Norm.

RN = QN CN = (Q+ ıQ)N

weil Q = R und Q+ ıQ = {z ∈ C|z = p+ ıq; q, p ∈ Q} = C Beweis siehe ÜA

2.) Die Menge C([a, b]) aller stetigen Funktionen auf [a, b] wird mit dem SP

⟨f, g⟩ =

∫ b

a

f(x)g(x)dx zu einem Prä-Hilbertraum, ist jedoch kein HR, weil



Abbildung 1: Bild der Funktionen f1, f2

C([a, b]) nicht vollständig bzgl. ∥f∥ =√

⟨f, f⟩.Nachweis durch Gegenbeispiel:O.b.d.A. sei a = −1, b = 1.

fn(x) =

0 für − 1 ≤ x < 0√nx für 0 ≤ x < 1

n

1 für 1n≤ x < 1

∥fn∥2 =

∫ 1n

0

nxdx+

∫ 1

1n

dx =1

2n+ 1− 1

n= 1− 1

2n

n→∞−→ 1 .

Punktweise gilt: limn→∞

fn(x) = f(x) :=

{0 , x ∈ [−1, 0]

1 , x ∈ (0, 1]∈ C([−1, 1]),

weiterhin

∥fn − fm∥2 =∫ 1

n

0

|fn(x)− fm(x)|2 dx ≤∫ 1

n

0

22dx ≤ 4

n< ε für m > n >

4

ε,

∥fn − f∥2 =∫ 1

n

0

∣∣√nx− 1∣∣2 dx ≤

∫ 1n

0

12dx ≤ 1

n< ε für n >

1

ε

⇒ (fn) ist CF in C([−1, 1]) bzgl. Integralnorm, (fn) konvergiert bzgl. dieserNorm gegen f , aber f ist nicht stetig.

Bemerkung 1.2 (i) C([a, b]) ist bzgl. Integralnorm ∥f∥ =

b∫a

|f |2 dx

12

nicht vollständig, sondern nur ein unitärer Vektorraum.

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Bzgl. der Max.-Norm ∥f∥∞ := supx∈[a,b]

|f(x)| ist C([a, b]) vollständig und

damit ein Banachraum (↗ Analysis II)

(ii) Analog wie man die rationalen Zahlen zu R vervollständigt, kann mandie Menge C([a, b]) bzgl. der Integralnorm vervollständigen zu C([a, b])∥·∥.Diese Menge ist dann der Hilbertraum L2(a, b) (↗ Kap. 2, S. 23)

3.) Hilbertscher Folgenraum

l2 = l2(K) =

{x = (x1, x2, . . .)

∣∣∣∣∣ xk ∈ K,

∞∑k=1

|xk|2 konvergiert

}

Eigenschaften von l2 :

a) l2 ist mit dem SP ⟨x, y⟩ :=∞∑k=1

xkyk ein Hilbertraum.

Beweis:

(i) l2 ist eine Teilmenge des VR aller Folgen über K, wenn “=” und Line-arkombinationen komponentenweise erklärt werden. Zum Nachweis von(λx+ µy) ∈ l2 für x, y ∈ l2; λ, µ ∈ l2

beachte |λxk + µyk|2 ≤ 2(|λ|2 |xk|2 + |µ|2 |yk|2

)und Majorantenkrit.

für unendliche Reihen.Diese Ungleichung folgt aus 2 |a| |b| = 2

√|a|2 |b|2 ≤ |a|2 + |b|2 III für

a, b ∈ C und liefert gleichzeitig |xkyk| ≤1

2

(|xk|2 +

∣∣yk2∣∣) ⇒ absoluteKonvergenz von ⟨x, y⟩.

(ii) Zum Nachweis der Vollständigkeit des l2 sei(x(n))∞n=1

eine CF aus l2,

d.h. x(n) :=(x(n)1 , x

(n)2 , . . .

)mit

∞∑k=1

∣∣∣x(n)k

∣∣∣2 < ∞ und

∥∥x(m) − x(n)∥∥ =

∞∑k=1

∣∣∣x(m)k − x

(n)k

∣∣∣2︸︷︷︸≥∣∣∣x(m)

k −x(n)k

∣∣∣2< ε2, (1.1)

d.h., für jedes feste k ∈ N ist(x(n)k

)∞n=1

⊂ K eine CF. Wegen derVollständigkeit von K konv. diese Folge gegen ein xk ∈ K. Bilde x :=(x1, x2, . . .)

(iii) Z.z.: x ∈ l2 und ∥xn − x∥ → 0 für n → ∞.

Aus Gl. (1.1) folgtN∑k=1

∣∣∣x(n)k − x

(m)k

∣∣∣2 < ε2 für alle N ∈ N

IIIbinomische Formel



und nach Grenzübergang m → ∞:

N∑l=1

∣∣∣xk − x(n)k

∣∣∣2 ≤ ε2 für jedes n ≥ n0(ε)

⇒∞∑k=1

∣∣∣xk − x(n)k

∣∣∣2 konv. und

∞∑k=1

∣∣∣xk − x(n)k

∣∣∣2 ≤ ε2 für jedes n ≥ n0(ε),

d.h., x − x(n) =(x1 − x

(n)1 , x2 − x

(n)2 , . . .

)∈ l2 für n ≥ n0(ε) und

x(n) → x in l2 für n → ∞. Wegen der VR-Eigenschaften des l2 istx =

(x− x(n)

)︸︷︷︸∈l2

+ x(n)︸︷︷︸∈l2

∈ l2.

2

b) Die Einheitsvektoren el :=(0, 0, . . . , 0, 1

l-te Stelle, 0, . . .

)bilden im l2 ein Ortho-

normalsystem , jedoch keine Orthonormalbasis , denn l20 = span {e1, e2, . . .} ⊂l2, aber l20 = l2.Beweis:

(i) l20 = {(x1, x2, . . . , xN , 0, 0, . . .)| für ein N ∈ N}

Dann ist aber y =

(1,

1

2,1

3, . . .

)∈ l2, weil

∞∑n=1

1

n2konv., jedoch y /∈ l20

(ii) Für x = (x1, x2, . . .) ∈ l2 und x(n) := (x1, . . . , xn, 0, 0, . . .) ∈ l20 folgt:

∥∥x− x(n)∥∥ =

∞∑k=n+1

|xk|2 =∞∑k=1

|xk|2 −n∑

k=1

|xk|2 −→n→∞

0

also x(n) → x ∈ l2.

2

Bemerkung 1.3 1.) l20 ist eine dichte Teilmenge (Unterraum) von l2.2.) Hier zeigen sich Besonderheiten des unendlichdimensionalen HR, denn

{e1, e2, . . .} lässt sich nicht zu einer Basis ergänzen durch Hinzunahme vonweiteren Vektoren, denn ⟨z, el⟩ = zl und ⟨z, ek⟩ = 0 ∀k ∈ N ⇒ z = 0.

c) l2 ist ein separabler HR, denn mit

M := {(q1, . . . , qN , 0, 0, . . .)|N ∈ N und qk ∈ (Q+ ıQ)} IV

ist M = l2.Beweis: Nach 3b) existiert zu x ∈ l2 ein x(n) ∈ l20 mit x(n) ∈ Uε(x). Änderex(n) ab, so dass ein q(n) ∈ M entsteht mit

∥∥q(n) − x(n)∥∥ < ε ⇒ q(n) ∈ U2ε(x)

2

IVsiehe Seite 5 für Q+ ıQ

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1.1.1 Abgeschlossene Unterräume U eines Hilbertraumes H

1. Solche U ⊆ H bilden einen HR mit demselben SP ⟨·, ·⟩ aus H ( ↗ Ü.A. 15.c)

2. Jeder endl.-dim. VR U ⊆ H ist abgeschlossen bez. der Norm ∥v∥ =√

⟨v, v⟩in H.

Beweis: Sei dimU = N Dann existiert eine ONB {b1, . . . , bN} ⊂ U von U , also

v =N∑

n=1

αnbn für jedes v ∈ U .

Sei u ein HP von U , d.h., ∃ (um)∞m=1 ⊂ U mit lim

m→∞um = u.

Ziel: u ∈ U . Da (um) eine CF in H ist, gilt:

∥um − uk∥2 < ε2 für m, k ≥ n0(ε)

Mit um =N∑

n=1

α(m)n bn ist

∥um − uk∥2 =

∥∥∥∥∥N∑

n=1

(α(m)n − α(m)

n bn)∥∥∥∥∥

2

=N∑

n,l=1

(α(m)n − α(k)

n

) (α(m)l − α

(k)l

)⟨bn, bl⟩︸︷︷︸

=δnl (ONB)

=N∑

n=1

∣∣α(m)n − α(k)

n

∣∣2⇒

∣∣α(m)n − α(k)

n

∣∣ < ε ∀n ∀m, k ≥ n0(ε)

⇒ Für festes n ist(α(m)n

)∞m=1

eine CF. Wegen der Vollständigkeit von K

konvergiert(α(m)n

)⊂ K gegen ein αn.

⇒ u =N∑

n=1

αnbn ∈ U aufgrund der Eindeutigkeit des Grenzwertes 2

Folgerung 1.2 l20 ist ein lin. UR von l2, jedoch nicht abgeschlossen,

⇒ dim l20 = ∞.

1.2 Orthogonalität

Definition 1.2 (Orthogonales Komplement) Sei M ⊂ H,M = ∅ H ein HR

mit SP ⟨·, ·⟩. Dann heißt M⊥ :=

u ∈ H| ⟨u, v⟩ = 0︸︷︷︸u⊥v

∀v ∈ M

orthogonales Kom-

plement der Teilmenge M .



Eigenschaften von M⊥:

1.) M⊥ ist ein UR, denn für u, u ∈ M⊥, α, α ∈ K ist

⟨αu+ αu, v⟩ = α ⟨u, v⟩+ α ⟨u, v⟩ = 0 ∀v ∈ M.

2.) M⊥ ist abgeschlossener UR, denn sei

u = limn→∞

un , un ∈ M⊥ ∀n ∈ N ⇒ ⟨un, v⟩ = 0 ∀n ∈ N, ∀v ∈ M.

Aufgrund der Stetigkeit des SP folgt

⟨u, v⟩ =⟨limn→∞

un, v⟩= lim

n→∞⟨un, v⟩ = 0 .

3.) M1 ⊆ M2 ⇒ M⊥2 ⊆ M⊥

1 (Ü.A. 20)

4.) M⊥⊥ :=(M⊥)⊥ ⊇ M (Ü.A. 20)

1.2.1 Satz über die orth. Projektion auf einen abgeschlossenen UR (Lot-Prinzip)

Sei U ein abgeschlossener UR des HR H mit SP ⟨·, ·⟩. Dann existiert zu jedem v ∈ Hein eindeutig bestimmter Vektor v0 ∈ U mit folgenden Eigenschaften:

∥v − v0∥ ≤ ∥v − u∥ (1.2)

für alle u ∈ U , d.h. ∥v − v0∥ = minu∈U

∥v − u∥Weiterhin gilt:

(v − v0)⊥u ∀u ∈ U(⇔ v − v0 ∈ U⊥.

)(1.3)

Man nennt v0 die orthogonale Projektion (OP) von v auf U , symbolisch:v0 = P (v) = Pv = PUv. P heißt Orthoprojektor bzw. orthogonaler Proj.-Operator.auf U .

Achtung!!Lotprinzip gilt i.A. nicht, falls U nicht abgeschlossen oder H nicht vollständig ist.

Beweis:

(i) Existenz eines Vektors v0 mit minimalen Abstand.Sei v ∈ H gegeben. Betrachte ∥v − u∥ für u ∈ U . Wegen ∥v − u∥ ≥ 0 ex. dann

infu∈U

∥v − u∥ =: d (1.4)

und (un) ⊂ U mit ∥v − un∥ → d für n → ∞, genauer

d2 ≤ ∥v − un∥2 ≤ d2 +1

n

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Wir untersuchen ob (un)∞n=0 eine CF in H ist.

Parallelogrammgleichung ∥a+ b∥2 + ∥a− b∥2 = 2 ∥a∥2 + 2 ∥b∥2 mit

a =1

2(un − v) , b =

1

2(um − v) ,

∥a+ b∥2 + ∥a− b∥2 =∥∥12(un + um)− v

∥∥2 + 1

4∥un − um∥2

=1

2

(∥un − v∥2 + ∥um − v∥2

)⇒ d2 +

1

4∥um − un∥2 ≤

∥∥∥∥∥∥12(un + um)︸︷︷︸

∈U

−v

∥∥∥∥∥∥2

+1

4∥um − un∥2

≤ 1

2

(∥un − v∥2 + ∥um − v∥2

)< d2 +

1

2m+

1

2n

⇒ ∥um − un∥2 ≤ 2

m+

2

n< ε für m > n >

4

ε.

Somit ist (un)∞n=0 eine CF. Wegen der Vollständigkeit von H konv. (un)

∞n=0

gegen v0 ∈ H. Wegen der Abgeschlossenheit von U gilt v0 ∈ U und

∥v − v0∥ =∥∥∥v − lim

n→∞un

∥∥∥ = limn→∞

∥v − un∥ = d

(ii) Eindeutigkeit von v0Sei v0 ∈ H ein Element mit ∥v − v0∥ = ∥v − v0∥ = d. Verwendung der Paral-lelogrammgleichung:

d2 +1

4∥v0 − v0∥2 ≤

∥∥∥∥v − 1

2(v0 + v0)

∥∥∥∥2 + 1

4∥v0 − v0∥2

=1

2∥v − v0∥2 +

1

2∥v − v0∥2

= d2

⇒ 1

4∥v0 − v0∥2 ≤ 0 ⇒ v0 = v0

(iii) v − v0 ∈ U⊥

d2 ≤Gl.(1.4)

∥∥∥∥∥∥v − (v0 + αu)︸︷︷︸∈U

∥∥∥∥∥∥2

= ⟨v − v0 − αu, v − v0 − αu⟩

= ∥v − v0∥2 − α ⟨u, v − v0⟩ − α ⟨v − v0, u⟩+ |α|2 ∥u∥2

Setze α = ⟨v − v0, u⟩ und ∥u∥ = 1 für u ∈ U

d2 ≤ ∥v − v0∥2 − αα− αα + |α|2 = d2 − |α|2

⇒ |α|2 ≤ 0 ⇒ α = 0 ⇒ ⟨v − v0, u⟩ = 0

Homogenität des SP liefert dann ⟨v − v0, u⟩ = 0 ∀u ∈ U .



2

Bemerkung 1.4 v0 = P v ∈ U heißt auch Element bester Approximation (Best-approximation) von v auf U

1.2.2 Folgerungen aus dem Lotprinzip

1.) v = Pv ⇔ v ∈ U , denn::Pv ∈ U , und umgekehrt gilt :Für v ∈ U ist 0 = ∥v − v∥ ≤ ∥v − u∥ ∀ u ∈ U ⇒ ∥v − v∥ = min

u∈U∥v − u∥ ⇒

v = Pv

2.) Lösung der Gleichung ⟨v0, u⟩ = ⟨v, u⟩ ∀ u ∈ U, bei gegebenem v ∈ H. nach v0 ∈U ist äquivalent zur Lösung des Min.-Problems (1.2) und ebenfalls äquivalentzur Lösung des Min.-Problems 1

2∥u∥2 −ℜ⟨v, u⟩ → min

u∈Udenn:

i)

∥v − u∥ → minu∈U

⇔ ∥v − u∥2 → minu∈U

⇔ ∥v∥2 − ⟨v, u⟩ − ⟨u, v⟩︸︷︷︸=⟨v,u⟩

+ ∥u∥2 → minu∈U

⇔ ∥u∥2 − 2ℜ⟨v, u⟩ → minu∈U

.

Nach (1.3) gilt für die Lösung v0 des Min.-Problems (1.2):

(v − v0)⊥u ⇔ ⟨v − v0, u⟩ = 0 ∀u ∈ U.

ii) Sei umgekehrt ⟨v − v0, u⟩ = 0 für alle u ∈ U , so

0 ≤ ∥v − v0∥2 = ⟨v − v0, v⟩ − ⟨v − v0, v0⟩︸︷︷︸=0, da v0∈U

= ⟨v − v0, v⟩ − ⟨v − v0, u⟩︸︷︷︸=0

= ⟨v − v0, v − u⟩ ≤ ∥v − v0∥ ∥v − u∥ ,

also ∥v − v0∥ ≤ ∥v − u∥ für alle u ∈ U .

3.) Zerlegungssatz :Für jeden abgeschlossenen UR U des HR H gilt H = U⊕U⊥ (orthogonale Zerlegung),d.h.: Jedes v ∈ H besitzt eine eindeutige Zerlegung

v = v0 + w mit v0 = PUv ∈ U, w ∈ U⊥,

denn v = v0 + (v − v0). Setze w = v − v0.Zur Eindeutigkeit: Sei v = v0 + w eine weitere Zerlegung von v mit v0 ∈ U,w ∈ U⊥, so

U ∋ v0 − v0 = (v − w)− (v − w) = w − w ∈ U⊥ ⇒ ⟨v0 − v0, w − w⟩︸︷︷︸⟨v0−v0,v0−v0⟩=∥v0−v0∥2

= 0.

Folglich ist v0 = v0 und w = w. Weiterhin gilt auch U ∩ U⊥ = {0}, und dieSumme U + U⊥ ist direkt.

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Beispiele

1.) Sei U = {x ∈ l2|x = (0, x2, 0, 0, x5, x6, . . .)} = span {e2, e5, e6, . . .}Gesucht: PUy für y ∈ l2

y(0) = PUy ⇔⟨y − y(0), x

⟩= 0 ∀u ∈ U ⇔

⟨y − y(0), ek

⟩= 0 für k = 2, 5, 6, . . .

d.h. yk = y(0)k für diese k, also PUy = (0, y2, 0, 0, y5, y6, . . .) .

2.) Gesucht: Bestapproximation eines f ∈ C ([−π, π]) auf

U = span {sin(nx), cos(nx) |n = 0, 1, . . . , N} , N ∈ N(dimU = 2N + 1, U ⊂ H = C ([−π, π]) bez. Integralnorm)

f0 = PUf ⇔ ⟨f − f0, g⟩ = 0 ∀g ∈ U

⇔ ⟨f − f0, sin(nx)⟩ = 0, ⟨f − f0, cos(nx)⟩ = 0 für n = 0, 1, . . . , N.

Somit folgt für

f0(x) =a02

+N∑

n=1

(an cos (nx) + bn sin (nx)) , an, bn ∈ R, x ∈ [−π, π] : (1.5)

⟨f, cos(mx)⟩ = ⟨f0, cos(mx)⟩ =π∫

−π

f0(x) cos(mx) dx

=a02

π∫−π

cos(mx) dx

︸︷︷︸=⟨cos(mx),1⟩=0

+N∑

n=1

(an

π∫−π

cos(nx) cos(mx) dx

︸︷︷︸=⟨cos(nx),cos(mx)⟩=πδmn

+bn

π∫−π

sin(nx) cos(mx) dx

︸︷︷︸⟨sin(nx),cos(mx)⟩=0

)

= πam für m = 1, . . . , N,

⇒ an =1

π

π∫−π

f(x) cos(nx) dx , bn =1

π

π∫−π

f(x) sin(nx) dx (analoge Rechnung).

Somit ist PUf das N -te FourierpolynomV zu f .

1.3 Vollständige Orthonormalsysteme

Sei {vn|n ∈ N} ein abzählbar unendliches ONS in einem HR H über K.Frage: Wann gilt die Reihenentwicklung

v =∞∑n=1

λnvn

mit geeigneten λn ∈ N für v ∈ H?Vbenannt nach Joseph Fourier (1768–1830)



1. Konvergenz-Kriterium :

∞∑n=1

λnvn konvergiert in H ⇔∞∑n=1

|λn|2 konvergiert in R.

Beweis: Wir betrachten die Partialsumme sk :=∑k

n=1 λnvn und wählenk > m. Dann ist

∥sk − sm∥2 =

∥∥∥∥∥k∑

n=m+1

λnvn

∥∥∥∥∥2

=

⟨k∑

n=m+1

λnvn,k∑

l=m+1

λlvl

⟩

=k∑

n,l=m+1

λnλl ⟨vn, vl⟩︸︷︷︸=δnl, da {vn} ONS

=k∑

n=m+1

|λn|2.

Somit ist (sk)∞k=1 eine CF in H ⇔

(∑kn=1 |λn|2

)∞k=1

eine CF in R ist. DaH und R vollständige Räume sind, folgt die Behauptung. 2

2. Besselsche UngleichungVI (BU)

∀v ∈ H :∞∑n=1

|⟨v, vn⟩|2 ≤ ∥v∥2

Beweis: Mit der Partialsumme sk :=∑k

n=1⟨v, vn⟩vn gilt:

∥v − sk∥2 = ∥v∥2 − ⟨v, sk⟩ − ⟨sk, v⟩+ ∥sk∥2

⟨sk, v⟩ =k∑

n=1

⟨v, vn⟩⟨vn, v⟩ =k∑

n=1

|⟨v, vn⟩|2 = ∥sk∥2

(analog zum Beweis von 1.),

⇒ 0 ≤ ∥v − sk∥2 = ∥v∥2 − ∥sk∥2 ⇔k∑

n=1

|⟨v, vn⟩|2 ≤ ∥v∥2

für jedes k ∈ N. Somit konvergiert∑∞

n=1 |⟨v, vn⟩|2 und k → ∞ liefert (BU). 2

Folgerung 1.3 Zusammen mit 1. liefert (BU) die Konvergenz der Reihe∞∑n=1

⟨v, vn⟩vn

in H. Was ist deren Grenzwert?

Definition 1.3 Ein ONS {vn|n ∈ N} ⊂ H heißt vollständiges ONS (VONS), fallsaus ⟨v, vn⟩ = 0 für alle n ∈ N folgt v = 0 , d.h., wenn nur der Nullvektor des HRH zu allen vn senkrecht steht.

Bemerkung 1.5 Ein VONS ist maximal, d.h., es kann nicht durch Hinzunahmeeines Vektors aus H wieder zu einem ONS erweitert werden.

VIbenannt nach Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846)

14 von 26


Beispiel: Die Einheitsvetoren {en|n ∈ N} bilden ein VONS des l2, denn ⟨x, en⟩ =xn . Dagegen ist {e2k|k ∈ N} nur ein ONS, weil ⟨e1, e2k⟩ = 0 für alle k ∈ N , abere1 = 0.

1.3.1 Charakterisierung vollständiger Orthonormalsysteme

Sei {vn|n ∈ N} ein ONS im Hilbertraum H. Dann gilt:

a) {vn} ist VONS, d.h.: v ⊥ vn ∀n ∈ N ⇒ v = 0 .

⇕b) H = span{vn|n ∈ N} .

⇕

c) ∀v ∈ H : v =∞∑n=1

⟨v, vn⟩vn (verallgemeinerte Fourierreihe).

⇕

d) ∀v, w ∈ H : ⟨v, w⟩ =∞∑n=1

⟨v, vn⟩⟨w, vn⟩ (Parsevalsche Gleichung).

⇕

e) ∀v ∈ H : ∥v∥2 =∞∑n=1

|⟨v, vn⟩|2 (Besselsche Gleichung).

Bemerkung 1.6 Die Koeffizienten ⟨v, vn⟩ in der Reihe∑∞

n=1⟨v, vn⟩vn heißen(verallgemeinerte) Fourierkoeffizienten von v bez. des ONS {vn|n ∈ N}. Da die Dar-stellung in c) an die Darstellung eines Vektors bez. einer ONB eines endlichdimen-sionalen VR mit SP erinnert, nennt man ein VONS eines HR auch Hilbertbasis.

Beweis:

1. a) ⇒ c): Aus (BU) und Konv.-Krit 1. folgt∞∑n=1

⟨v, vn⟩vn = v mit einem v ∈ H.

Zu zeigen: v = v Für festes m ∈ N ist

⟨v − v, vm⟩ = ⟨v, vm⟩ − ⟨v, vm⟩

= ⟨v, vm⟩ −∞∑n=1

⟨v, vn⟩ ⟨vn, vm⟩︸︷︷︸δmn

(Linearität und Stetigkeit des SP)

= ⟨v, vm⟩ − ⟨v, vm⟩ = 0 .

Weil {vn} ein VONS ist, muss v − v = 0 sein.

2. c) ⇒ a): klar

3. c) ⇒ d):

⟨v, w⟩ =

⟨∞∑n=1

⟨v, vn⟩vn,∞∑k=1

⟨w, vk⟩vk

⟩=

∞∑n=1

∞∑k=1

⟨v, vn⟩⟨w, vk⟩ ⟨vn, vk⟩︸︷︷︸δnk



4. d) ⇒ e): Setze w = v

5. e) ⇒ a): Aus ⟨v, vn⟩ = 0 für alle n ∈ N und e) folgt ∥v∥2 = 0 ⇒ v = 0 .

6. c) ⇒ b): Wir haben H ⊇ S mit S := span{vn|n ∈ N} .

Umgekehrt gilt für jedes v ∈ H: v = limk→∞

k∑n=1

⟨v, vn⟩vn︸︷︷︸=sk∈S

, d.h., v ist HP der

Menge S, also H ⊆ S .

7. b) ⇒ a): Wenn ⟨v, vn⟩ = 0 für alle n ∈ N, so folgt v ∈ S⊥. Da S⊥ einabgeschlossener UR von H ist, gilt mit dem Zerlegungssatz

H = S⊥ ⊕ S⊥⊥ = S⊥ ⊕ S, wegen S = H ⇒ S⊥ = {0} und v = 0.

2

1.3.2 Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen

Für eine Fourierreihe (FR),

a02

+∞∑n=1

(an cos (nx) + bn sin (nx)) , an, bn ∈ R, x ∈ [−π, π] : (1.6)

unterscheidet man drei verschiedene Konvergenzbegriffe:

i) punktweise Konvergenz

ii) gleichmäßige Konvergenz, d.h. bez. der Maximumnorm ∥·∥∞

iii) Konvergenz im Quadratmittel, d.h. bez. der Integralnorm ∥·∥.

Dabei gilt auf [−π, π]:

a) ii) ⇒ i), und b) ii) ⇒ iii).

Beweis: (zu b) Sei (gn)∞n=1 ⊂ C ([−π, π]) gleichmäßig konvergent gegen g auf

[−π, π], d.h., zu jedem ε > 0 gibt es n0 := n0(ε) ∈ N:

∥gn − g∥∞ = maxx∈[−π,π]

|gn(x)− g(x)| < ε für alle n ≥ n0

⇒ |gn(x)− g(x)|2 < ε2 für alle x ∈ [−π, π] , für alle n ≥ n0

⇒π∫

−π

|gn(x)− g(x)|2dx < ε22π für alle n ≥ n0

⇒ ∥gn − g∥∞ → ∞ für n → ∞ .

2

16 von 26


Satz 1 Sei C10 ([−π, π]) := {f ∈ C1 ([−π, π])| f(−π) = f(π) = 0} und

H := C10 ([−π, π])∥·∥ . Dann bilden die Funktionen

v0(x) =1√2π

, v2n−1(x) =1√πsin(nx) , v2n(x) =

1√πcos(nx) für n ∈ N

ein VONS in H. Somit gilt für jedes f ∈ H:

f =∞∑k=0

⟨v, vk⟩vk bez. der Konvergenz im Quadratmittel,

bzw. die FR (1.6) zu f mit den Fourierkoeffizienten

an =1

π

π∫−π

f(x) cos(nx) dx , bn =1

π

π∫−π

f(x) sin(nx) dx

konvergiert im Quadratmittel gegen f , d.h.

π∫−π

∣∣∣∣∣f(x)− a02

−N∑

n=1

(an cos (nx) + bn sin (nx))

∣∣∣∣∣2

dx → ∞ für N → ∞ . (1.7)

Beweis:

a) S := {vk|k ∈ N0} ist abzählbar unendliches ONS (↗ Analysis I).

b) Für f ∈ C10 ([−π, π]) gilt der Konvergenzsatz über FR (↗ Analysis II):

Die FR (1.6) zu f konv. auf [−π, π] gleichmäßig gegen f , also gibt es Folge(fN)

∞N=1 ⊂ S mit

∥fN − f∥∞ → 0 ⇒b)

∥fN − f∥∞ → 0 für n → ∞

⇒ C10 ([−π, π]) ⊆ S∥·∥ ⇒ H ⊆ S∥·∥ (”⊇” später)

2

Bemerkung 1.7 In Kap. 2 werden wir sehen, dass H := C10 ([−π, π])∥·∥ = C ([−π, π])∥·∥ .

ist. Damit gilt obiger Satz auch für jedes f ∈ C ([−π, π]) und insbesondere

∥f∥2 =∞∑k=0

|⟨f, vk⟩|2 mit ⟨f, vk⟩ =

a0√

π2

für n = 0,

an√π für n = 2k,

bn√π für n = 2k − 1,

k ∈ N

⇕

1

π

π∫−π

|f(x)|2 dx =|a0|2

2+

∞∑n=1

(|an|2 + |bn|2

)(Besselsche Gleichung.)



1.3.3 Existenzsatz über vollständige Orthonormalsysteme

In jedem unendlichdimensionalen, separablen HR H gibt es ein VONS.

Beweis:

1. Sei M := {an|n ∈ N} eine abzählbare, in H dichte Menge. Durch Induktionkonstruiert man eine Teilfolge (ank

)∞k=1 ⊆ (an) , so dass u1 := an1 , . . . , um :=anm jeweils linear unabhängig sind und dass

{al, a2, . . . , anm} ⊆ span{u1, . . . , um} ,

d.h., anm+1 ist dasjenige Element aus M , welches nicht in span{u1, . . . , um}und den kleinsten Index hat. Daraus folgt

M ⊆ span{un|n ∈ N} ⊆ H ⇒ M=H

⊆ span{un|n ∈ N} ⊆ H .

2. Wendet man nun das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Vek-toren u1, u2, . . . an, so erhält man ein ONS v1, v2, . . . in H mit

span{u1, . . . , um} = span{v1, . . . , vm} für jedes m ∈ N ,

welches wegen H = span{un|n ∈ N} = span{vn|n ∈ N} vollständig ist.

2

Bemerkung 1.8 Umgekehrt gilt:Jeder HR, welcher ein VONS besitzt, ist separabel. (Ü.A.)

Folgerung 1.4 Isomorphiesatz:Jeder unendlichdimensionale separable HR H über K ist unitär isomorph zum Hil-bertschen Folgenraum l2 = l2(K), d.h., es gibt einen VR-Isomorphismus Φ : H → l2,welcher unitär ist:

⟨u, v⟩H = ⟨Φ(u),Φ(v)⟩l2 für alle u, v ∈ H .

Beweis:

1. Den gesuchten VR-Isomorphismus erhalten wir wie folgt: Wir wählen einVONS {vn|n ∈ N} von H und setzen

Φ(u) := (⟨u, v1⟩H , ⟨u, v2⟩H , . . .) .

Linearität von Φ folgt aus Linearität des SP. Zum Nachweis der anderen Ei-genschaften benutzen wir die Charakterisierung a)–e) von VONS aus 1.3.1

2. Aus e): x := Φ(u) ∈ l2 .

3. Aus d): ⟨Φ(u),Φ(v)⟩l2 =∞∑k=1

xkyk =∞∑k=1

⟨u, vk⟩H ⟨v, vk⟩H = ⟨u, v⟩H .

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4. Aus c) folgt die Injektivität.

5. Zur Surjektivität: Sei x ∈ l2, so konvergiert∞∑k=1

|xk|2 ⇔∞∑k=1

xkvk in H

konvergiert. Somit existiert ein u :=∞∑k=1

xkvk ∈ H mit

⟨u, vn⟩H =∞∑k=1

xk ⟨vk, vn⟩H︸︷︷︸δkn

= xn ⇒ x = Φ(u) .

2

Bemerkung 1.9 Φ entspricht des Koordinatenabbildung im endlichdimensionalenFall und besitzt dieselben Eigneschaften. Damit gibt also im wesentlichen nur dieseparablen HR

KN (N ∈ N) und l2(K) (K = R oder K = C).

1.4 Die linearen stetigen Funktionale eines Hilbertraums

Wir betrachten die lineare Abbildung L : H −→ K mit HR H über K (K = R oderK = C). L heißt lineares Funktional oder Linearform (LF) über H.(L(αu+ βv) = αL(u) + βL(v) für alle α, β ∈ K, u, v ∈ H)Die Menge aller linearen stetigen Funktionale auf H bilden einen VR. Dieser heißtDualraum H∗ von H. Nach Ü.A. 25 ist

L ∈ H∗ = L(H,K) ⇔ L ist linearer beschränkter Operator, d.h.|Lu| ≤ c∥u∥ für alle u ∈ H

Für L ∈ H∗ existiert folglich ∥L∥ := sup{

|Lu|∥u∥

∣∣∣ |u = 0}

= supu=0|Lu|∥u∥ und ∥L∥

definiert eine Norm auf H∗.

Bemerkung 1.10 Ist H endlichdimensional, so ist jedes lineare Funktional auchstetig, da die Konvergenz in H äquivalent ist zur koordinatenweisen Konvergenz bez.einer festgewälten Basis {v1 . . . , vN} von H.

u(n) :=N∑j=1

λ(n)j vj → u =

N∑j=n

λjvj in H

⇕λ(n)j → λj in K für n → ∞.

⇓

L(u(n)) =N∑j=1

λ(n)j L(vj) →

N∑j

λjL(vj) = L(u) in K .



Beispiele:

1) L : l2 → K, L(x) := x20, L ∈ (l2)∗ , da

|L(x)| = |x20| ≤

√√√√ ∞∑k=1

|xk|2 = ∥x∥ ⇒ ∥L∥ ≤ 1.

Zur Berechnung der Norm von L gemäß Definition ist es am bequemsten, ein

Element y ∈ l2 zu finden mit|L(y)|∥y∥

= 1. Wähle y = e20, dann ist

|L(e20)|∥e20∥

=|e20|1

= 1 ⇒ ∥L∥ = 1 .

2) L : H = C([−1, 1])∥.∥ → R, L(f) :=∫ 1

0f(x) dx, L ∈ H∗, da

|L(f)| ≤∫ 1

0

1 · |f(x)| dx ≤

√∫ 1

0

|f |2 dx ·

√∫ 1

0

12 dx ≤

√∫ 1

−1

|f |2 dx = ∥f∥

(unter Verwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für Integrale). Folg-lich ist ∥L∥ ≤ 1.

3) L : H = C([−1, 1])∥.∥ → R, L(f) := f(0). Die Abbildung L ist linear abernicht stetig, denn L ist nicht beschränkt.Konstruktion eines Gegenbeispiels zur Beschränktheit:Wäre L beschränkt, so gäbe c > 0 : mit |L(u)|2 ≤ c2∥u∥2 = c2

∫ 1

−1u2(x) dx

für alle u ∈ H.hier ABBILDUNG zu gn

Sei gn(x) =

0 für 1/n ≤ |x| ≤ 1

n2(x+ 1n) für − 1/n < x < 0

−n2(x− 1/n) für 0 < x < 1/n

⇒∫ 1

−1

gn(x) dx = 1

Für fn(x) :=√

gn(x) ∈ C[−1, 1] gilt

∥fn∥2 =∫ 1

−1

gn(x) dx = 1, L(fn) = fn(0) =√

gn(0) =√n

⇒ n = (√n)2 = |L(fn)|2 ≤ c2∥fn∥2 = c2 ⇒ Widerspruch.

4) In jedem Skalarprodukt-Raum H wird für festes w ∈ H durch L(v) := ⟨v, w⟩ein L ∈ H∗ definiert, denn die Linearität von L folgt aus Linearität des Ska-larprodukts, und Cauchy-Schwarzsche Ungleichung liefert

|L(v)| = ⟨v, w⟩ ≤ ∥v∥∥w∥ ⇒ ∥L∥ ≤ ∥w∥.

Wegen |L(w)| = ∥w∥2 ist ∥L∥ = ∥w∥.Wenn H vollständig ist, gilt auch die Umkehrung dieses Sachverhaltes (s. nach-folgenden Satz).

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Satz 2 (Darstellungssatz von Riesz–Fréchet) VII Zu jedem linearen, stetigenFunktional L auf einem Hilbertraum H gibt es einen eindeutig bestimmten Vektorw ∈ H mit

L(u) = ⟨u,w⟩ für alle u ∈ H (Bezeichnung: w = wL) ,

und es gilt ∥L∥ = ∥w∥ (s. Bsp. 4).

Beweis:

a) Ist L = 0, also L(u) = 0 für alle u ∈ H, so wählt man w = 0.

b) 1m Fall L = 0 ist

V := kerL = {v ∈ V |L(v) = 0} (= L−1({0})

ein echter Unterraum von H. Weiterhin ist V abgeschlossen als Nullstellenmengeder stetigen Funktion L. Daher gilt nach dem Zerlegungssatz

H = V ⊕ V ⊥ mit V ⊥ = {0}.

Sei L := L|V ⊥ die Einschränkung des Operators L auf V ⊥, dann ist

L : V ⊥ → K ein Isomorphismus ⇒ dimV ⊥ = dimL(V ⊥) = dimK = 1

nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen. Somit V ⊥ = span {w0} ,und nach dem Zerlegungssatz besitzt jeder Vektor u ∈ H eine eindeutige Dar-stellung

u = u0 + αw0 mit u0 ∈ V, α ∈ K und einem festen Vektor w0 = 0, , w0 ∈ V ⊥

Setze w := βw0 mit einem geeigntem β ∈ K, welches sich wie folgt ergibt:

L(u) = L(u0) + αL(w0) = 0 + αL(w0) = αL(w0)

⟨u,w⟩ = ⟨u0 + αw0, βw0⟩ = β⟨u0, w0⟩+ αβ⟨w0, w0⟩ = 0 + αβ∥w0∥2

⇒ L(u) = ⟨u,w⟩ ⇔ L(w0) = β∥w0∥2 ⇔ β =L(w0)

∥w0∥2.

c) Der Vektor w ist eindeutig bestimmt. Denn aus ⟨u,w⟩ = ⟨u, w⟩ für alle u ∈ Hfolgt

⟨u,w − w⟩ = 0 , speziell ⟨w − w, w − w⟩ = 0 ⇒ w − w = 0 .

2

Bemerkung 1.11 Durch den Darstellungssatz wird eine bijektive Abbildung zwi-schen H und H∗ gegeben, welche zusätzlich normerhaltend ist. Weiterhin ist sielinear für K = R bzw. antilinear für K = C. Deshalb kann man einen reellen Hilber-traum H und seinen Dualraum H∗ miteinander indentifizieren. Man schreibt dafürH = H∗ und nennt solche Hilberträume selbstdual.

VIIbenannt nach Riesz (1880–1956) und Fréchet (1878–1973)



Zu den Beispielen:

1) L(x) = x20 = ⟨x, e20⟩ ⇒ e20 = wL .

2) L(f) :=∫ 1

0f(x) dx =

∫ 1

−1f(x)h(x) dx = ⟨f, h⟩ ⇒ h = wL

mit der Heaviside-Funktion VIII h(x) :=

{0 für x < 0

1 für x ≥ 0 .

In dem Skalarprodukt-Raum C([−1, 1]), welcher bez. der Integralnorm nichtvollständig ist, gibt es kein Element w ∈ C([−1, 1]) mit L(f) = ⟨f, w⟩.

3) Zu L(f) := f(0) existiert keine Funktion g ∈ H = C([−1, 1])∥.∥ mit∫ 1

−1

f(x)g(x) dx = f(0) für alle f ∈ H .

VIIIbenannt nach Heaviside (1850-1925)

22 von 26


2 Das Lebesgue-Integral



3 Lineare Operatoren

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AbkürzungsverzeichnisBU . . . . . . . . . . . Besselsche UngleichungCF . . . . . . . . . . . Cauchy-FolgeCS . . . . . . . . . . . Cauchy-Schwartzsche UngleichungFA . . . . . . . . . . . FunktionalanalysisFR . . . . . . . . . . . FourierreiheHP . . . . . . . . . . . HäufungspunktHR . . . . . . . . . . HilbertraumLF . . . . . . . . . . . lineares FunktionalLK . . . . . . . . . . . LinearkombinationONB . . . . . . . . . OrthonormalbasisONS . . . . . . . . . OrthonormalsystemOP . . . . . . . . . . . Orthogonale ProjektionPDGL . . . . . . . partielle DifferentialgleichungenSP . . . . . . . . . . . SkalarproduktUR . . . . . . . . . . UnterraumVONS . . . . . . . vollständiges ONSVR . . . . . . . . . . VektorraumÜ.A. . . . . . . . . . Übungsaufgabe


StichwortverzeichnisBanachraum, 7Besselsche

Gleichung, 15Ungleichung, 14

Cauchy-Schwartzsche Ungleichung, 4

DarstellungssatzRiesz–Fréchet, 21

Dualraum, 19

Elementbester Approximation, 12

Folgenraum l2, 7Fourierpolynom, 13Fourierreihe, 16

verallgemeinert, 15Funktion

Heaviside, 22Funktional

lineares, 19

Hilbertraum, 4separabel, 5

Isomorphiesatz, 18

Lot-Prinzip, 10

OrthonormalsystemExistenzsatz, 18vollständig, 14

Parsevalsche Gleichung, 15Projektion

orthogonal, 10

Zerlegungssatz, 12

26

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Analysis 4 - uni-leipzig.degittel/ma4phys/SkriptAna4.pdf · Skript Analysis 4 Dozent: Prof. Dr. Gittel 1 Hilberträume 1.1 Grundbﬀ Idee der Funktionalanalysis: abstrakte Theorie,