Analysis - warendorf.userweb.mwn.dewarendorf.userweb.mwn.de/Analysis/Analysis_Skript_1_2.pdf · Hochschule Munc hen Fakult at 03, Fahrzeugtechnik Skript zur Vorlesung Analysis Prof

Hochschule MunchenFakultat 03, Fahrzeugtechnik

Skript zur Vorlesung

Analysis

Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf

July 3, 2013

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Contents

1 Mengen 61.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Mengenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Spezielle Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Darstellung und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Anordnung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Beschranktheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Komplexe Zahlen 92.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Arithmetische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Reelle Zahlenfolgen 163.1 Definition von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.1 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2 Beschranktheit und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Funktionen einer Variablen 214.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Verkettete Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf Analysis

4.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.6 Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6.3 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 274.6.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Differentialrechnung fur Funktionen einer Variablen 295.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.3 Mittelwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.4 Regel von l’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung fur Extremwerte und

Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . 34

6 Integralrechnung 356.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.1.3 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.2 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Reihen 407.1 Unendliche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.1.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen . . . . . . . . . . 43

7.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe . . . . . . . . . . 467.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

HS Munchen 3 Fakultat 03


8 Differential- und Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen 498.1 Einfuhrung: Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.1.1 Definition und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.1.2 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.2.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2.2 Gradient, Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2.3 Totale Differenzierbarkeit und Tangentialebene . . . . . . . . . . . 558.2.4 Extremwertuntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.2.5 Totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.2.6 Ausgleichsgerade/ Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3.1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3.2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.4 Vektorfelder und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9 Ebene Kurven 729.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.1.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.1.2 Polarkoordinaten-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.2 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.2.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.2.2 Polarkoordinaten-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.3 Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.3.1 Standardflache einer explizit gegebene Funktion . . . . . . . . . . 739.3.2 Standardflache einer Kurve in Parameterdarstellung . . . . . . . . 739.3.3 Formeln fur Sektorflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.4 Bogenlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.4.1 Explizit gegebene Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.4.2 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.4.3 Polarkoordinaten-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.5 Krummungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.5.1 Krummung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.5.2 Krummungskreisradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.5.3 Krummungskreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10 Gewohnliche Differentialgleichungen 7710.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.2 Gewohnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 78

10.2.1 Isoklinenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.2.2 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . 7910.2.3 Durch Substitution losbare Differentialgleichungen . . . . . . . . . 8010.2.4 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.2.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83



10.3 Gewohnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 8510.3.1 Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zuruckfuhrbare Differen-

tialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.3.2 Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit kon-

stanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.3.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit kon-

stanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.4 Lineare Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 91

10.4.1 Losung des homogenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.4.2 Losung des inhomogenen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.4.3 Uberfuhrung auf ein System 1. Ordnung: Zustandsform . . . . . . 94


1 Mengen

1.1 Begriffe

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte. Die Objekteheißen Elemente.

x ∈M : x ist Element in M

x /∈M : x ist nicht Element in M

Leere Menge: M = � = {}

Beispiel 1.1 Mengen

M1 = {2, 4, 6} aufzahlende Form

M2 = {x|(x > 1) ∧ (x < 5)} beschreibende Form

1.1.1 Mengenrelationen

A = B Gleichheit von 2 Mengen (A = B)⇐⇒ (a ∈ A⇐⇒ a ∈ B)

A ⊆ B A ist in B enthalten (A ⊆ B)⇐⇒ (a ∈ A⇒ a ∈ B)

A ⊂ B A ist echt in B enthalten (A ⊂ B)⇐⇒ (A ⊆ B ∧ ∃ b ∈ B ∧ b /∈ A)

1.1.2 Operationen

A ∪B Vereinigung von A u. B (a ∈ A ∪B)⇐⇒ (a ∈ A ∨ a ∈ B)

A ∩B Schnitt von A u. B (a ∈ A ∩B)⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈ B)

A\B Differenz von A u. B (a ∈ A\B)⇐⇒ (a ∈ A ∧ a /∈ B)

A Komplementarmengebzgl. einer GrundmengeM

∀a ∈M :(a ∈ A

)⇐⇒ (a /∈ A)

6


1.2 Spezielle Mengen

Menge der naturlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, . . . }Menge der ganzen Zahlen: Z = {0,±1,±2,±3, . . . }Menge der rationalen Zahlen: Q =

{x|x = a

b, a ∈ Z; b ∈ Z\ {0}

}x ist ein endlicher oder ein periodischer Dezimalbruch

Menge der reellen Zahlen: R = {x|x = ein Dezimalbruch}Erweiterung von Q um unendliche, nichtperiodische Dezimalbruche (π, e, . . . )

Menge der komplexen Zahlen: C = {x|x = a+ bj, a, b ∈ R; j2 = −1}

1.3 Menge der reellen Zahlen

1.4 Darstellung und Eigenschaften

Zahlengerade

Eigenschaften: ∀ a, b ∈ R

1. Mogliche Operationen

a+ b, a− b, a · b, ab, b 6= 0

2. Kommutativgesetz

a+ b = b+ a

a · b = b · a

3. Assoziativgesetz

a+ (b+ c) = (a+ b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

4. Distributivgesetz

a(b+ c) = a · b+ a · c



1.4.1 Anordnung der Zahlen

3 mogliche Beziehungen:

∀ a, b ∈ Ra < b

a = b

a > b

1.4.2 Intervalle

a, b ∈ R, a < b

1. endliche Intervalle

[ a; b ] = {x| a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall

[ a; b [ = {x| a ≤ x < b} halboffenes Intervall

] a; b ] = {x| a ≤ x < b} halboffenes Intervall

]a; b [ = {x| a < x < b} offenes Intervall

2. unendliche Intervalle

[a; ∞[ = {x| a ≤ x <∞}]a; ∞[ = {x| a < x <∞}

] -∞; b] = {x| -∞ < x ≤ b}]-∞; b[ = {x| -∞ < x < b}]-∞; 0[ = R−

]0; ∞[ = R+

[ 0; ∞ [ = R+0

]-∞; ∞[ = R

1.5 Beschranktheit von Mengen

Definition 1.1 Beschranktheit

Eine Zahlenmenge M heißt nach oben (unten) beschrankt, wenn eine Zahl S ∈ Rexistiert, so dass gilt x ≤ S (x ≥ S) ist, fur alle x ∈MJedes S mit dieser Eigenschaft heißt obere (untere) Schranke.


2 Komplexe Zahlen

2.1 Grundbegriffe

Definition 2.1 Imaginare Einheit j

Die Definition der Imaginaren Einheit j, ergibt sich aus der Losung der folgendenGleichung

x2 + 1 = 0

→ x2 = −1

x = ±√−1︸︷︷︸j

Die imaginare Einheit j ist eine Zahl, fur die gilt:

j2 = −1

Definition 2.2 Komplexe Zahl

Eine komplexe Zahl z ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginarenZahl bj:

z = a+ bj

a heißt Realteil,b heißt Imaginarteil von z.Die Menge der komplexen Zahlen wird als C bezeichnet.Es gilt C = {Z|Z = a+ bj, j2 = −1; a, b ∈ R}

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Gauß´sche Zahlenebene

Der Betrag ergibt sich zu: |Z| = r =√a2 + b2

Konjugiert komplexe Zahl

Definition 2.3 Konjugiert komplexe Zahl

Die Zahl Z = a− bj heißt konjugiert komplex zu Z = a+ bj.Dies entspricht in der Gauß’schen Zahlenebene einer Spiegelung an der Re(Z)-Achse.

2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen

2.2.1 Arithmetische Form

Z = a︸︷︷︸Realteil

+ b︸︷︷︸Imaginarteil

j, a, b ∈ R



2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form

Beziehungen:

|Z| = r

tanϕ =b

a

sinϕ =b

r

cosϕ =a

ra = r · cosϕ

b = r · sinϕ

Z = r (cosϕ+ j sinϕ) , 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0° ≤ ϕ < 360°

2.2.3 Exponentialform

Euler’sche Formel: e jϕ = cosϕ+ j · sinϕ

Z = r · e jϕ, 0 ≤ ϕ < 2π bzw. 0° ≤ ϕ < 360°

2.3 Umrechnungen

arithmetische in goniometrische bzw. in Exponentialform

Z = a+ bj

Z = r (cosϕ+ j · sinϕ)

bzw:

Z = r · e j·ϕ

mit:

r =√a2 + b2

ϕ = arctan

(b

a

)Exponentialform in arithmetische

Z = r · e j ϕ

a = r · cos (ϕ)

b = r · sin (ϕ)

Z = r · cos (ϕ) + j · r · sin (ϕ)



2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen

2.4.1 Addition und Subtraktion

Definition 2.4 Summenbildung

Die Summen und Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen, durch Addition bzw.Subtraktion der Komponenten (vgl. Vektoraddition)

Z1 = a1 + b1j

Z2 = a2 + b2j

Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2)

Z1 − Z2 = (a1 − a2) + j (b1 − b2)

Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen ist ausschließlich in derarithmetischen Form moglich!

2.4.2 Multiplikation und Division

In arithmetischer Form

Multiplikation

Z1 · Z2 = (a1 + jb1) · (a2 + jb2)

→ Real- und Imaginarteil sortieren

= a1a2 + a1b2j + a2b1j − b1b2

= (a1a2 − b1b2) + j (a1b2 + a2b1)

Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen

Z = a+ bj

Z = a− bjZ · Z = (a+ bj) · (a− bj)

= a2 − b2j2

= a2 + b2

es entsteht eine reelle Zahl!



Division Dieser Effekt der Produkte konjugiert komplexer Zahlen, wird ausgenutzt zurBildung des Quotienten zweier beliebiger komplexer Zahlen.

Z1 = a1 + b1j

Z2 = a2 + b2j

Z1

Z2

=a1 + b1j

a2 + b2jErweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner

=⇒ Z1

Z2

=a1 + b1j

a2 + b2j· a2 − b2j

a2 − b2j

=a1a2 + b1b2 + (a2b1 − a1b2) j

a22 + b2

2

=a1a2 + b1b2

a22 + b2

2

+ ja2b1 − a1b2

a22 + b2

2

Goniometrische Form/ Exponentialform

Multiplikation

Z1 = r1 · ejϕ1

Z2 = r2 · ejϕ2

in Exponentialform:

Z1 · Z2 = r1 · r2 · ej(ϕ1+ϕ2)

analog in goniometrischer Form:

Z1 · Z2 = r1 · r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + j sin (ϕ1 + ϕ2))

Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werdenmultipliziert, indem man die Betrage multipliziert, die Winkel jedoch ad-diert.

Division

Z1 = r1 · ejϕ1

Z2 = r2 · ejϕ2

Z1

Z2

=r1

r2

· ej(ϕ1−ϕ2)

Z1

Z2

=r1

r2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + j sin (ϕ1 − ϕ2))

Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden dividiert,indem man die Betrage dividiert, die Winkel jedoch subtrahiert.

Potenzieren und radizieren



Potenzieren

Z1 = r1 · ejϕ1

Zn1 =

(r1 · ejϕ1

)nZn

1 = rn1 · en·jϕ1

Zn1 = rn1 (cos (nϕ1) + j sin (nϕ1))

Eine komplexe Zahl in goniometrischer bzw. in Exponentialform wird mit npotenziert, indem man den Betrag mit n potenziert, den Winkel jedoch mitn multipliziert.

Radizieren

1 = x2 ⇒ x = 1 ∨ x = −1

1 = x4 ⇒ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = j ∨ x = −jda:

j4 =(j2)2

= (−1)2 = 1

(−j)4 =((−j)2)2

= (1)2 = 1

Fur den Ausdruck n√x existieren n Losungen im Abstand von 360◦

n, bei konstanten

Betragen. Fur die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Z = a+ bj = r · ejϕ gilt:

n√Z = r

1n · ej(

ϕn

+k· 360◦

n )

Fur

k = 0, 1, . . . , n− 1

Die Losung fur k = 0 wird als Hauptwert bezeichnet.



Anwendung: Uberlagerung von gleichfrequenten Schwingungen

Allgemeine Sinusschwingung:

s (t) = A · sin (ωt+ ϕ)

Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Form:

s(t) = A · (cos (ωt+ ϕ) + j sin (ωt+ ϕ)) = A · ej(ωt+ϕ)

=⇒ s (t) = Im (s(t))

Zwei gleichfrequente Schwingungen uberlagern:

s1 (t) = A1 · sin (ωt+ ϕ1)

s2 (t) = A2 · sin (ωt+ ϕ2)

Gesucht wird die Summenfunktion:

sΣ (t) = s1 (t) + s2 (t) = A1 · sin (ωt+ ϕ1) + A2 · sin (ωt+ ϕ2) = AΣ sin (ωt+ ϕΣ)

Gebildet wird zuerst die komplexe Summe, vom Ergebnis wird der Imaginarteil bes-timmt. Bildung der komplexen Summe:

s (t) = s1 (t) + s2 (t)

= A1 · ej(ωt+ϕ1) + A2 · ej(ωt+ϕ2)

= A1 · ejϕ1︸︷︷︸A1

·ejωt + A2 · ejϕ2︸︷︷︸A2

·ejωt

=(A1 + A2

)︸︷︷︸A

·ejωt

Daraus ergibt sich folgende Vorgehensweise:

1. Ubergang zur komplexen Form

s1(t) = A1 · ejωt mit A1 = A1 · ejϕ1

s2(t) = A2 · ejωt mit A2 = A2 · ejϕ2

2. Addition der komplexen Amplituden

A = A1 + A2

3. Rucktransformation: Bildung des Imaginarteils der komplexen Sinusschwingung


3 Reelle Zahlenfolgen

3.1 Definition von Zahlenfolgen

Definition 3.1 Zahlenfolge

Unter einer reellen Zahlenfolge (ZF) versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen.Jedem n ≥ K (meistens K = 0 oder K = 1) n ∈ N wird in eindeutiger Weise einereelle Zahl an zugeordnet.an heißt n-tes Glied der ZF.

(an) = a0, a1, a2, . . .

3.1.1 Darstellung

1. Analytische Darstellung

Das n-te Folgeglied lasst sich direkt berechnen

an =1

n

2. Rekursive Darstellung

Das n-te Folgeglied berechnet sich aus dem (n− 1)-ten Folgeglied (ggf. n− 2 . . . )

an = a2n−1 − 1; a0 = 2

→ (an) = 2, 3, 8, 63 . . .

3. Graphische Darstellung - Zahlenstrahl

Bsp. an) = n2 − 1

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4. Graphische Darstellung - Koordinatensystem

3.2 Spezielle Folgen

1. Arithmetische FolgeDifferenz von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich d

a0, d ∈ R

an = an−1 + d rekursive Darstellung

mit a0 = 1, d = 2⇒ (an) = an−1 + 2 = 1, 3, 5, 7 . . .

an = analytische Darstellung

2. Geometrische FolgeQuotient von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich q

a0, q ∈ R

an = q · an−1 rekursive Darstellung

mit a0 = 1, q =1

2⇒ (an) =

1

2· an−1 = 1,

1

2,

1

4,

1

8. . .

an = analytische Darstellung

3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen

3.3.1 Konvergenz



Definition 3.2 Konvergenz

Eine Zahlenfolge (an) heißt

1. konvergent gegen den Grenzwert g ∈ R, wenn zu jedem ε > 0 ein N ∈ Nexistiert, so dass gilt |an − g| < ε, d.h. an ∈ Uε(g)

limn→∞

(an) = g

2. Nullfolge, wenn

limn→∞

(an) = 0

3. divergent, wenn sie nicht konvergent ist

4. bestimmt divergent, wenn

limn→∞

(an) =∞

limn→∞

(an) = -∞

5. unbestimmt divergent, wenn Sie divergent, aber nicht bestimmt divergent ist.

Definition 3.3 Alternierende Zahlenfolge

Eine ZF heißt alternierend, wenn benachbarte Folgenglieder unterschiedlicheVorzeichen besitzen.

Beispiel 3.1 Einfache alternierende ZF

an = (-1)n · 1

n2, n > 0

(an) = -1;1

4; −1

9;

1

16. . .



Konvergenz elementarer Folgen

1. Arithmetische Folge an = a0 + n · d

limn→∞

(an) =

, d > 0 bestimmt divergent, d = 0 konvergent, d < 0 bestimmt divergent

2. Geometrische Folge an = a0 · qn

limn→∞

(an) =

fur |q| < 1fur q = 1fur q = -1fur q > 1fur q < -1

3. Gebrochen rationale Folge cn = p(n)q(n)

mit den Polynomen

p(n) = ak nk + ak−1 n

k−1 + · · ·+ a1 n+ a0

q(n) = bl nl + bl−1 n

l−1 + · · ·+ b1 n+ b0

vom Grad k bzw l

limn→∞

(cn) =

fur k > l, ak

bl> 0

fur k > l, akbl< 0

fur k < lfur k = l

4. limn→∞

1

n=

5. limn→∞

n√a = , a > 0

6. limn→∞

n√n =

7. limn→∞

an

n!=

Fakultat:n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · 1

8. limn→∞

na

n!= , a ∈ R

9. limn→∞

(1 +

1

n

)n=



Rechenregeln fur konvergente Zahlenfolgen

limn→∞

(an) = a; limn→∞

(bn) = b

1. limn→∞

(an + bn) = a+ b

2.(

limn→∞

(an))· c = a · c

3. limn→∞

(an · bn) = a · b

4. limn→∞

(anbn

)=a

bb 6= 0 bn 6= 0

Die Regeln gelten auch fur bestimmt divergente Zahlenfolgen, wenn man definiert:

1. ∞+∞ =∞

±∞± a = ±∞

2.c · (±∞) =

±∞; c > 0∓∞; c < 0n.d.; c = 0

3.c

±∞= 0

∞ · ±∞ = ±∞-∞ · ±∞ = ∓∞

3.3.2 Beschranktheit und Konvergenz

Definition 3.4 Beschranktheit

Eine Folge (an) heißt beschrankt gegen eine obere bzw. untere Schranke S ∈ R, fallsfur alle Folgenglieder gilt ai ≤ S bzw. ai ≥ S, i ∈ N.

Satz:

1. Jede konvergente Folge ist beschrankt.

2. Jede nach oben bzw. unten beschrankte monoton steigende bzw. fallende Folgeist konvergent gegen ihr Supremum bzw. Infimum.


4 Funktionen einer Variablen

4.1 Funktionsbegriff

Definition 4.1 Funktion

Eine Vorschrift f, die jedem Element x ∈ D ⊆ R in eindeutiger Weise ein Elementy ∈W ⊆ R zuordnet, heißt reelle Funktion.

f : D → W ; y = f(x)

Darstellungsmoglichkeiten

1. Verbale Darstellung

2. Tabelle von Messwerten

3. Grafische Darstellung

4. Analytische Darstellung

a) Explizite Darstellung

y = f(x), y = f(x) = x2

b) Implizite Darstellung

F (x, y) = 0

4.2 Eigenschaften von Funktionen

Definition 4.2 Beschrankung

21


Funktionen sind per Definition beschrankt auf den Definitionsbereich D.Eine Funktion f : D→W heißt beschrankt, falls ein c > 0 existiert mit

|f(x)| ≤ c, ∀x ∈ D.

Ansonsten heißt die Funktion unbeschrankt.

Definition 4.3 Monotonie

� monoton wachsend

f(x1) ≤ f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

� streng monoton wachsend

f(x1) < f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

� monoton fallend

f(x1) ≥ f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

� streng monoton fallend

f(x1) > f(x2) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D

Definition 4.4 Periodizitat

Eine Funktion f heißt auf D periodisch mit der Periode p 6= 0, wenn gilt:

x ∈ D ⇒ x+ p ∈ D

und

f(x) = f(x+ p) = f(x+ k · p)



Definition 4.5 Symmetrie

� Eine Funktion f heißt auf D gerade, wenn gilt

x ∈ D ⇒ −x ∈ D

und

f(x) = f(−x)

Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)

� Eine Funktion f heißt auf D ungerade, wenn gilt

x ∈ D ⇒ −x ∈ D

und

f(x) = −f(−x)

Symmetrie zum Koordinatenursprung (Punkt oder Drehsymmetrie um denNullpunkt)

4.3 Umkehrfunktion

Es sei y = f(x) eine Funktion x ∈ D, d.h. sie ordnet jedem Element aus D genau einElement aus W zu.Gilt auch die Umkehrung d.h. zu jedem Element y ∈ W gehort genau ein x ∈ D, soheißt f eineindeutig und besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f−1 bezeichnet wird.

Df−1 = Wf Wf−1 = Df

Vorgehensweise zur Bildung der Umkehrfunktion:

1. Auflosen der Gleichung nach x

2. formales Vertauschen von x und y

y = f−1(x)

wird nicht angewandt bei technischen Großen

4.4 Verkettete Funktion

Definition 4.6 Verkettete Funktion

Es seien y1 = f(x), x ∈ Df und y1 = g(x), x ∈ Dg. Funktionen mit der EigenschaftWg ⊆ Df heißt (f ◦ g)(x) = f(g(x)) verkettete Funktion.



4.5 Stetigkeit

Definition 4.7 Stetigkeit und Grenzwert

1. Sei f = D → W,x0 ∈ D; g ∈ R heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert,von f an der Stelle x0, wenn

limn→∞

f(xn) = g

fur jede von links bzw. rechts gegen x0 konvergierende Folge (xn) ∈ D gilt.Schreibweise:

links: limx→x−0

f(x) = g

rechts: limx→x+0

f(x) = g

g = ±∞ heißt uneigentlicher Grenzwert.

2. g heißt Grenzwert von f in x0 falls

g = limx→x+0

f(x) = limx→x−0

f(x)

Schreibweise:

g = limx→x0

f(x)

3. f heißt stetig in x0, falls

g = limx→x0

f(x) = f(x0)

ansonsten unstetig. f heißt stetig auf D, falls f∀x ∈ D stetig ist. (Grafisch:Graph in einem Zug zeichenbar)

4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen

Sprung limx→x−0

f(x) = g1 6= g2 = limx→x+0

f(x)



Lucke limx→x−0

f(x) = limx→x+0

f(x) = g

Definition 4.8 Stetige Erganzung

Hat f(x) in x0 eine Lucke, so heißt die durch den Grenzwert der Luckevervollstandigte Funktion, stetig erganzt.

f(x) =

{f(x), x 6= x0

g, x = x0

Polstelle limx→x−0

f(x) = ±∞, limx→x+0

f(x) = ±∞

4.6 Funktionsklassen

4.6.1 Ganzrationale Funktionen



Definition 4.9 Ganzrationale Funktion

Eine Funktion der Gestalt

pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, a0, . . . , an ∈ R, an 6= 0

heißt ganzrationale Funktion oder Polynom n-ten Grades.

Satz: Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom lasst sich aufspalten in:

pn(x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

wobei die xn, die (ggf. komplexen) Nullstellen darstellen.

4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen

Definition 4.10 Gebrochenrationale Funktion

Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochenrationale Funktion.

f(x) =pm(x)

pn(x)=amx

m + · · ·+ a0

bnxn + · · ·+ b0

Sie heißt echt gebrochen, falls m < n, ansonsten unecht.

Falls x0 NS von pm(x) und pn(x) ist, so hat f(x) dort eine Lucke.Falls x0 nur NS von pn(x), so hat f(x) dort einen Pol.

4.6.3 Wurzelfunktion

f(x) = xmn = n

√xm

Beispiel 4.1 Wurzelfunktion

f(x) = 3x32 = 3 · 2

√x3 D = R+

0



4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Definition 4.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen

Sei a ∈ R mit a > 0, a 6= 0, dann heißt

f(x) = axD = R

Exponentialfunktion mit Basis a. x heißt Exponent.Es gilt ferner:

f−1(x) = loga x, D = R+

Logarithmusfunktion von x zur Basis a.

Rechenregeln:

1. ax · ay = ax+y

2. ax

ay= ax−y

3. (ax)y = ax·y

4. loga(x · y) = loga x+ loga y

5. loga(x

y) = loga x− loga y

6. loga xy = y · loga x

7. loga x = loga b · logb x ⇒ loga x

loga b= logb x (Basiswechsel)

4.6.5 Trigonometrische Funktionen

1. f(x) = sinx, Df = R, Wf = [−1, 1]

Periode p = 2π; ungerade FunktionUmkehrfunktion:

[−π

2; π

2

]Definitionsbereich des Sinus zum Finden der Umkehrfunk-

tion

f−1(x) = arcsin x Df−1 = [−1; 1], Wf−1 =[−π

2;π

2

]



2. f(x) = cos x, Df = R, Wf = [−1, 1]

Periode p = 2π; gerade FunktionUmkehrfunktion: [0; π] Definitionsbereich des Kosinus zum Finden der Umkehrfunk-tion

f−1(x) = arccos x Df−1 = [−1; 1], Wf−1 = [0; π]

3. f(x) = tan x =sinx

cosx

Df ={x|x ∈ R, x 6= (2k − 1)

π

2, k ∈ G

},Wf = R

Periode p = π; ungerade Funktion

Umkehrfunktion auf: ]− π2, π

2[ f−1 = arctanx Df−1 = R, Wf−1 = ]− π

2, π

2[

4. f(x) = cot x =1

tanx

Df = {x|x ∈ R, x 6= k · π, k ∈ G} ,Wf = R

Periode p = π; gerade Funktion

4.6.6 Hyperbelfunktionen

1. sinhx =ex − e−x

2

D = R, W = R

2. coshx =ex + e−x

2

D = R, W = [ 1; ∞ [

3. tanhx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x

D = R, W = ]− 1; 1 [

4. cothx =coshx

sinhx=ex + e−x

ex − e−x

D = R\ {0} , W = R\ [−1; 1]


5 Differentialrechnung fur Funktioneneiner Variablen

5.1 Differentialrechnung

Definition 5.1 Differenzierbarkeit

Eine Funktion f auf ] a; b [ heißt an der Stelle x0 (x0 ∈ ]a; b[) differenzierbar, falls derGrenzwert des Differenzenquotienten

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

existiert.f ′(x0) heißt Ableitung von f an der Stelle x0. f heißt diffenzierbar im Intervall ] a; b [ ,falls f∀x ∈ ] a; b [ differenzierbar ist.

Definition 5.2 Tangente und Normale

Tangente:

t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

29


Normale:

n(x) = f(x0)− 1

f ′(x0)(x− x0)

5.1.1 Differential einer Funktion

Definition 5.3 Differential

Das Differential dy = df = f ′(x0) · dx einer Funktion beschreibt den Zuwachs derOrdinate auf der, an der Stelle x0 errichteten Tangente bei einer Anderung der Abzissevon ∆x = dx.

∆y Zuwachs der Funktionswerte

∆y = f(x0 + ∆x)− f(x)

Fur kleine ∆x = dx→ dy ≈ ∆y

5.1.2 Differentiationsregeln

Seien f(x), g(x) Funktionen

� Summenregel

y(x) = f(x) + g(x)

y′(x) = f ′(x) + g′(x)

� Produktregel

y(x) = f(x) · g(x)

y′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)



� Quotientenregel

y(x) =f(x)

g(x)

y′(x) =f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g2(x)

� Kettenregel

y(x) = f(g(x)) = f(x) ◦ g(x)

y′(x) = g′(x) · f ′(g(x))

Innere Ableitung mal außerer Ableitung

� Ableitung der UmkehrfunktionSei f : D → W umkehrbar und differenzierbar. dann hat f−1 : W → D dieAbleitung:[

f−1(x)]′

=1

f ′(f−1(x))

5.1.3 Mittelwertsatze

Satz: Satz von ROLLE

Eine Funktion f(x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar und seif(a) = f(b). Dann existiert mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) = 0

Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung



Eine Funktion f(x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar. Dann existiert

mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a (Steigung der Sekante)

5.1.4 Regel von l’HOSPITAL

Seien f(x), g(x) differenzierbar auf ] a, b [ und g′(x) 6= 0 ∀ x ∈ ] a, b [Weiterhin seien

limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = ±∞ oder 0

Dann gilt

limx→a

=f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)



5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte

Monotonie:streng monoton steigend

f ′(x) > 0

monoton steigend

f ′(x) ≥ 0

streng monoton fallend

f ′(x) < 0

monoton fallend

f ′(x) ≤ 0

Krummung:

f ′(x) > 0 > 0 < 0 < 0f ′′(x) > 0 < 0 > 0 < 0

streng monoton steigend streng monoton fallendLinkskurve Rechtskurve Linkskurve Rechtskurve

Extremwerte:

lokales Maximum:

f(xH) > f(x) ∈ U(xH)

lokales Minimum:

f(xT ) < f(x) ∈ U(xT )



5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung fur Extremwerteund Wendepunkte

Extremwerte:

1. f ′(xE) = 0

2. f ′(xE) = · · · = f (n−1)(xE) = 0, fn(xE) 6= 0

wenn n ungerade → bei xE kein Extremwert

n gerade:

{f (n)(xE) > 0 ⇒ Minimum

f (n)(xE) < 0 ⇒ Maximum

Haufig ist schon f ′′(xE) 6= 0.

Wendepunkte:

Anderung des Krummungsverhaltens in xW

1. f ′′(xW ) = 0

2. f ′′(xW ) = · · · = f (n−1)(xW ) = 0, fn(xW ) 6= 0

n gerade → kein Wendepunktn ungerade → WendepunktHaufig ist schon f ′′′(xW ) 6= 0.

5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen

t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Berechnung von x1 (Nullstelle von t0(x))

0 = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0)

x1 = − f(x0)

f ′(x0)+ x0

Allgemein:

xn = − f(xn−1)

f ′(xn−1)+ xn−1

Konvergenzkriterium fur Startwert x0∣∣∣∣f(x0) · f ′′(x0)

[f ′(x0)]2

∣∣∣∣ < 1


6 Integralrechnung

6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral

6.1.1 Bestimmtes Integral

Rechteck: ∆xk · f(xk)

b∫a

f(x) dx = limn→∞

n∑k=1

f(xk)∆xk

Eigenschaften

1.b∫

a

f(x) dx =

b∫a

f(t) dt

2.b∫

a

f(x) dx = −a∫b

f(x) dx

3.

a∫a

f(x) dx = 0

4.b∫

a

f(x) dx+

c∫b

f(x) dx =

c∫a

f(x) dx

5.b∫

a

k · f(x) dx = k ·b∫

a

f(x) dx

6.b∫

a

f(x) dx+

b∫a

g(x) dx =

b∫a

(f(x) + g(x)) dx

7. f(x) ≤ g(x) auf [a, b] =

b∫a

f(x) dx ≤b∫

a

g(x) dx

35


6.1.2 Stammfunktion

Definition 6.1 Stammfunktionen

F (x) heißt Stammfunktion von f(x), falls F ′(x) = f(x) .

Satz: Stammfunktion

Seien F1(x), F2(x) zwei Stammfunktionen von f(x). Dann unterscheiden sichF1(x), F2(x) nur um eine additive Konstante.

F1(x) = F2(x) + C

Sei F (x) eine Stammfunktion von f(x), dann gilt:

b∫a

f(x) dx = F (b)− F (a)

6.1.3 Unbestimmtes Integral

Definition 6.2 Unbestimmtes Integral

Unter∫f(x) dx versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f(x).

∫f(x) dx

heißt unbestimmtes Integral.

Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei F (x) irgend eine Stammfunktion von f(x), dann ist∫f(x) dx = F (x) + C wobei C

alle reellen Zahlen durchlauft.



6.2 Integrationsverfahren

6.2.1 Partielle Integration

(u · v)′ = u′v + uv′

⇒ u · v′ = (u · v)′ − u′v |∫

b∫a

u · v′ dx =

b∫a

(u · v)′ dx−b∫

a

u′v dx

b∫a

u · v′ dx = [u · v]ba −b∫

a

u′ · v dx

∫u · v′ dx = u · v −

∫u′ · v dx

6.2.2 Substitution

Allgemeines Verfahren zur Losung von:∫f(x)dx

1. Aufstellung der Substitutionsgleichung:

u = g1(x)⇒ du

dx= g′1(x)⇒ dx =

du

g′1(x)

oder

x = g2(u)⇒ dx

du= g′2(u)︸︷︷︸

Ableitung nach u

⇒ dx = g′2(u) · du

2. Durchfuhrung der Substitution:Einsetzen in das Integral⇒ Integral, das nur noch von u abhangt, x muss wegfallen∫

f(x)dx =

∫h(u)du

3. Berechnung des neuen Integrals in Abhangigkeit von u:∫h(u)du = H(u) + C

4. Rucksubstition:∫f(x)dx =

∫h(u)du = H(u) + C = F (x) +K



6.2.3 Partialbruchzerlegung

Echt gebrochenrationale Funktion:

f(x) =Z(x)

N(x),

N(x), Z(x) sind Polynome, Nennergrad>Zahlergrad, falls nicht zuerst Polynomdivision .

Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion:

1. Bestimmung der Nullstellen (Beschrankung hier auf reelle NS) des Nenners mitVielfachheit.

2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet:

x0 : einfache Nullstelle ⇒ A

x− x0

x0 : Zweifache Nullstelle ⇒ A1

x− x0

+A2

(x− x0)2

......

...

x0 : n-fache Nullstelle ⇒ A1

x− x0

+ · · ·+ An(x− x0)n

3. Berechnung der Konstanten A bzw. Ai durch Summation der Bruche, Hauptnen-nerbildung und Einsetzen geeigneter Werte.

Berechnung des Integrals∫f(x)dx:

Nach der Partialbruchzerlegung von f(x), werden die Bruche einzeln integriert.Formeln hierfur:∫

A

x− x0

dx = A · ln |x− x0|+ C∫Ai

(x− x0)idx =

Ai(1− i)(x− x0)i−1

6.2.4 Numerische Integration

Gesucht ist eine (angenaherte) Losung von∫ b

a

f(x)dx

Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = bmit der festen Schrittweite: h = b−a

n= xi − xi−1



Trapez-Regel (Verfahren 2. Ordnung)

Begrenzung durch Polynome 1. Ordnung: Geradenstucke

∫ b

a

f(x)dx =h

2

(f(a) + 2

n−1∑k=1

f(xk) + f(b)

)+R

Der Rest R lasst sich abschatzen durch:

|R| ≤ b− a12

h2 maxa≤x≤b

|f ′′(x)|

Simpson-Regel (Verfahren 4. Ordnung)

Begrenzung durch Polynome 2. Ordnung: Parabelstucke (gerade Anzahl von Teilinter-vallen n = 2m)

∫ b

a

f(x)dx =h

3

(f(a) + 2

m−1∑k=1

f(x2k) + 4m∑k=1

f(x2k−1) + f(b)

)+R

Der Rest R lasst sich abschatzen durch:

|R| ≤ b− a180

h4 maxa≤x≤b

|f (4)(x)|


7 Reihen

7.1 Unendliche Reihe

7.1.1 Einfuhrung

Zahlenfolge (geordnete Menge reeller Zahlen):

(an) = 1, 4, 9, 16 . . .

Partialsumme:

s1 = a1 = 1

s2 = a1 + a2 = 1 + 4 = 5

s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 4 + 9 = 14

...

sk = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak

Definition 7.1 Unendliche Reihe

Die Folge (sn) der Partialsummen einer unendlichen Zahlenfolge (an) heißt unendlicheReihe.Symbolische Schreibweise:

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak + . . .

Definition 7.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe

Eine unendliche Reihe∑∞

n=1 an heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen(sn) =

∑nk=1 ak einen Grenzwert besitzt.

limn→∞

sn = limn→∞

n∑k=1

ak = s

40


Symbolische Schreibweise:

∞∑n=1

an = s

Konvergiert die Summe der Betrage∑∞

n=1 |an|, so heißt die Reihe absolut konvergent.Die Reihe heißt divergent, falls sie nicht konvergiert:Ist s =∞ heißt die Reihe bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent.

7.1.2 Konvergenzkriterien

Notwendige Bedingung

Fur die Konvergenz einer unendlichen Reihe∑∞

n=1 an mit an > 0 ist die Bedingung

limn→∞

an = 0

notwendig!, aber nicht hinreichend (d.h. es existieren Folgen, die die Bedingung erfullenund trotzdem divergieren).

Quotienten- und Wurzelkriterium

Erfullen alle Glieder einer unendlichen Reihe∑∞

n=1 an die Bedingung:

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = q < 1

bzw.

limn→∞

n√|an| = q < 1

so ist die Reihe konvergent.Ist q > 1 so ist die Reihe divergent.Fur q = 1 kann keine Aussage getroffen werden (Extrauntersuchung notwendig)

Rechenregeln fur konvergente Reihen

1. Konstante Faktoren

∞∑n=1

an = s

⇒∞∑n=1

c · an = c ·∞∑n=1

an = c · s



2. Summen konvergenter Reihen

∞∑n=1

an = s

∞∑n=1

bn = t

⇒∞∑n=1

an ±∞∑n=1

bn =∞∑n=1

(an ± bn) = s± t

3. Produkte absolut konvergenter Reihen

∞∑n=1

an = s

∞∑n=1

bn = t

seien absolut konvergent∞∑n=1

an ·∞∑n=1

bn = s · t =∞∑n=1

wn

wn = an · b1 + an · b2 + an · b3 + an · b4 + · · ·+ an · bk + . . .

7.2 Potenzreihen

7.2.1 Einfuhrung

Definition 7.3 Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ:

(I)

P (x) =∞∑n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 . . .

oder

(II)

P (x) =∞∑n=0

an (x− x0)n = a0 + a1 (x− x0) + a2 (x− x0)2 + . . .

x0 heißt Entwicklungszentrum.Fur x0 = 0 erhalten wir die Gleichung (II) in der Form (I).



7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen

Definition 7.4 Konvergenzbereich

Die Menge aller x-Werte fur die eine Potenzreihe konvergiert heißt Konvergenzbereichder Potenzreihe.

Konvergenzverhalten:Zu jeder Potenzreihe

∑∞n=0 anx

n bzw.∑∞

n=0 an(x − x0)n gibt es eine positive Zahl r,Konvergenzradius genannt, mit den folgenden Eigenschaften:

1. Die Potenzreihe konvergiert fur |x| < r bzw. |x− x0| < r

2. Sie divergiert fur |x| > r bzw. |x− x0| > r

3. An den Randpunkten |x| = r bzw. |x− x0| = r kann keine Aussage getroffenwerden → hier mussen Extrauntersuchungen durchgefuhrt werden

Berechnung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe

∞∑n=0

anxn bzw.

∞∑n=0

an(x− x0)n

kann nach folgenden Formeln berechnet werden:

r = limr→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ oder r = limr→∞

1n√an

Eigenschaften von Potenzreihen

1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut.

2. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziertund integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergen-zradius wie die Ausgangsreihe.



3. Zwei Potenzreihen durfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches (Durch-schnitt) gliedweise addiert und subtrahiert werden. Sie durfen auch miteinandermultipliziert (Cauchy-Produkt: ausmultiplizieren) werden. Die neuen Potenzrei-hen konvergieren mindestens im gemeisamen Konvergenzbereich der Ausgangsrei-hen.



7.3 Taylor-Reihen:Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe

7.3.1 Einfuhrung

Ziel: Funktion f (x) als Potenzreihe darstellen

f (x) =∞∑n=0

anxn

oder

f (x) =∞∑n=0

an(a− x0)n

Zweck:

� Annaherung einer Funktion durch ein Polynom

� Herleitung von Naherungsformeln

� Integration durch Potenzreihenentwicklung

� Naherungsweises Losen von transzendenten Gleichungen

Beispiel: Geometrische Reihe

p (x) =∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . konvergiert fur |x| < 1

=1

1− x= f (x)



7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe

Mac Laurinsche Reihe

Annahme:

1. Entwicklung von f (x) in eine Potenzreihe vom Typ f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .

ist moglich und eindeutig

2. f (x) ist in einer Umgebung von x = 0 beliebig oft diefferenzierbar.d.h. f (0) , f ′ (0) , f ′′ (0) . . . konnen berechnet werden

Ableitungen:

f ′ (x) = a1 + 2a2x+ 3a2x2 + 4a4x

3 + . . .

f ′′ (x) = 2a2 + 6a2x+ 12a4x2 + . . .

f ′′′ (x) = 6a2 + 24a4x+ . . .

fur x = 0:

f (0) = a0

f ′ (0) = a1

f ′′ (0) = 2a2 ⇒a2 =f ′′ (0)

2=f ′′ (0)

2!

f ′′′ (0) = 6a3 ⇒a3 =f ′′′ (0)

6=f ′′′ (0)

3!

f (n) (0) = n! · an ⇒an =fn (0)

n!

Entwicklung in eine Mac Laurinsche Reihe:Unter bestimmten Voraussetzungen lasst sich f (x) in eine Potenzreihe der Form

f (x) = f (0) +f ′ (0)

1!x+

f ′′ (0)

2!x2 + . . .

f (x) =∞∑n=0

f (n) (0)

n!· xn (mit0! = 1)

entwickeln.

Symmetrieeigenschaften: Ist f (x) eine gerade Funktion, so ist die Reihenentwicklunggerade (d.h. es treten nur gerade Exponenten auf: x0, x2, x4, x6, . . .Ist f (x) eine ungerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung auch ungerade (d.h. estreten nur ungerade Exponenten auf: x1, x3, x5, x7, . . .



Taylorsche Reihe

Entwicklung in Taylorreihe:

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)2 +

f ′′′(x0)

3!(x− x0)3 . . .

=∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)n

mit dem Entwicklungszentrum x0

Fur x0 = 0 ergibt sich die MacLaurinsche ReiheKonvergenzbereich: |x− x0| < r

7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe

1. Naherungspolynome

Mac Laurinsche Reihe:

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 + · · ·+ fn(0)

n!xn︸︷︷︸

Tn(x)

+f (n+1)(0)

(n+ 1)!x(n+1)︸︷︷︸

Restglied Rn(x)

. . .

f(x) = Tn(x) +Rn(x) Taylorsche Formel

Tn(x): Mac Laurinsches Polynom vom Grade nRn(x): Restglied, bestimmt die Große des Fehlers, Rn(x) = 0 fur n→∞

Der Fehler wird abgeschatzt mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange:

Rn(x) =f (n+1) (xθ)

(n+ 1)!x(n+1) 0 < θ < 1



Geometrische Deutung der Naherungspolynome

Naherungspolynom erster Ordnung (Linearisierung von f(x)):

T1(x) = f(0) + f ′(0) · x

Steigung von f(x) stimmt in 0 mit T1(x) uberein.

Naherungspolynom zweiter Ordnung:

T2(x) = f(0) + f ′(0) · x+f ′′(0)

2x2

Krummung von f(x) stimmt in 0 mit T2(x) uberein.

Weitere Naherungspolynome lassen sich entsprechend mit der allgmeinen Taylor-Entwicklung bilden.

2. Integration nach Reihenentwicklung

3. Losen von Transzendenten Gleichungen


8 Differential- und Integralrechnungfur Funktionen von mehrerenVariablen

8.1 Einfuhrung: Definition und Darstellung

8.1.1 Definition und Begriffe

Definition 8.1 Funktion mehrerer Variablen

Unter einer Funktion mit n unabhangigen Variablen versteht man eine Vorschrift, diejeden geordneten n-Tupel aus einen Definitionsbereich D ⊆ Rn genau einem Element zaus dem Wertebereich W ⊆ R zuordnet.

f : D→W; y = f(x1; x2; . . . ; xn)

Kurzschreibweise: y = f(x1 . . . xn)

fur n = 2 : z = f(x; y)

fur n = 3 : u = f(x; y; z)

8.1.2 Darstellung

Allgemein

� analytische Darstellung:

Explizit: z = f(x; y)

Implizit: F (x; y; z) = 0 Gleichung ist nicht nach z auflosbar (z.B.: z5 − 3z +sinx+ z · y = 0)

� Graphische Darstellung: (fur n = 2)Jedem Punkt (x; y) ∈ D ⊆ R2 wird der Wert z ∈ W ⊆ R zugeordnet. ⇒ Punktim Raum, alle Punkte bilden im Allgemeinen, eine bzw. mehrere Flachen

49


Schnittkurvendiagramme

Wahl der Schnittebene parallel zu einer der 3 Koordinatenebenen

� parallel zur xy-Ebene. Hierbei handelt es sich um ein Hohenliniendiagramm (Land-karten)

⇒ z = z0

⇒ f(x; y) = z0

Linien fur verschiedene z0 in x;y-Ebene zeichnen.

� parallel zur yz-Ebene

⇒ x = x0

⇒ z = f(x0; y) = g(y)

Linien fur verschiedene x0 in y;z-Ebene zeichnen.

� parallel zur xz-Ebene

⇒ y = y0

⇒ z = f(x; y0) = h(x)

Linien fur verschiedene y0 in x;z-Ebene zeichnen.

8.2 Differentialrechnung

Ableitung fur Funktionen mit 1 Variablen: f ′(x) = lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)

∆x



Die Tangente schneidet die x-Achse unter dem Winkel α: tanα = f ′(x0)

Schnitt der Flache z = f(x; y) mit der Ebene y = y0: ⇒ z = f(x, y0) = g(x)

⇒ mx = tanα = g′(x)

= lim∆x→0

g(x0 + ∆x)− g(x0)

∆x

⇒ mx = lim∆x→0

f(x0 + ∆x; y0)− f(x0; y0)

∆x

⇒ f(x; y) nach x ableiten, dabei y als Konstante betrachten.

Schnitt der Flache z = f(x; y) mit der Ebene x = x0: ⇒ z = f(x0, y) = h(y))

⇒ my = tan β = h′(y)

= lim∆y→0

h(y0 + ∆y)− h(y0)

∆y

⇒ my = lim∆y→0

f(x0; y0 + ∆y)− f(x0; y0)

∆y

8.2.1 Partielle Ableitung

Definition 8.2 Partielle Ableitung 1. Ordnung

lim∆x→0

f(x+ ∆x; y)− f(x; y)

∆x= fx(x; y) = zx =

∂f(x; y)

∂x=∂z

∂x

verschiedene Schreibweisen fur ”‘Partielle Ableitung nach x”’

lim∆y→0

f(x; y + ∆y)− f(x; y)

∆y= fy(x; y) = zy =

∂f(x; y)

∂y=∂z

∂y



verschiedene Schreibweisen fur ”‘Partielle Ableitung nach y”’

Allgemein: y = f(x1;x2; . . . ;xn)

lim∆xi→0

f(x1;x2; . . . ;xi + ∆xi; . . . ;xn)− f(x1;x2; . . . ;xi; . . . ;xn)

∆xi

= fxi(x1 . . . xn) = yxi =∂y

∂xi=∂f(x1 . . . xi)

∂xi

Figure 8.1: Partielle Ableitung einer Funktion z = f(x; y)



Definition 8.3 Ableitungen 2. Ordnung

fxx(x; y) =∂

∂x

(∂z

∂x

)=∂2z

∂x2

fxy(x; y) =∂

∂x

(∂z

∂y

)=

∂2z

∂x∂y

fyx(x; y) =∂

∂y

(∂z

∂x

)=

∂2z

∂y∂x

fyy(x; y) =∂

∂y

(∂z

∂y

)=∂2z

∂y2

Satz: Satz von SCHWARZ

Unter der Voraussetzung, dass die partiellen Ableitungen einer Funktiony = f(x1 . . . xn) stetig sind, kann die Reihenfolge der Differentiation geandert werden!

fxk;xi = fxi;xk

8.2.2 Gradient, Richtungsableitung

Definition 8.4 Gradient

Es sei z = f(xP1, . . . , xPn) an einer Stelle (xP1, . . . , xPn) ∈ D total differenzierbar. DerVektor aller partiellen Ableitungen dieser Funktion an dieser Stelle heißt Gradientvon f an (xP1, . . . , xPn) .

grad f |xP = ∇ f |xP =

fx1fx2...fxn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xP

=

∂f∂x1∂f∂x2...∂f∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xP

Bei Flachen im Raum gibt der Gradient die Richtung des steilsten Anstieg an.



Figure 8.2: Gradientenfeld der Funktion z = (sin2(x) + cos2(y))2 + 0.5



Haufig ist die Fragestellung wichtig: Wie steil steigt die Funktion f in einer bestimmtenRichtung?Die Richtungsableitung beschreibt die Anderungsrate einer Funktion von mehreren Veranderlichenin Richtung eines vorgegenen Vektors ~v in einem Punkt xP ∈ D.Dazu wird die Hilfsfunktion g(t) = f(xP + t~v) betrachtet. Fur den Fall einer Flache imRaum beschreibt g die Schnittkurve von der Ebene durch xP in Richtung ~v senkrechtzur x,y-Ebene. Die Richtungsableitung ist dann g(0) (sofern existent).

Definition 8.5 Richtungsableitung

Fur einen Richtungsvektor ~v 6= ~0, | ~v |= 1 ist die Richtungsableitung von f inRichtung ~v an der Stelle (xP1, . . . , xPn) wie folgt definiert:

∂f

∂v(xP1, . . . , xPn) = lim

t−→0

f(xP + t~v)− f(xP )

t

Satz: Richtungsableitung

Es gilt:

∂f

∂v(xP1, . . . , xPn) = 〈 gradf(xP1, . . . , xPn), ~v 〉,

sofern der Gradient an dieser Stelle existiert. 〈 , 〉 beschreibt das Skalarprodukt.

8.2.3 Totale Differenzierbarkeit und Tangentialebene

Die Existenz der partiellen Ableitungen sind ein sehr schwaches Kriterium. So konnenbeispielweise alle partiellen Ableitungen in einem Punkt existieren obwohl die Funk-tion in diesem Punkt nicht stetig ist. Der Begriff der Totalen Differenzierbarkeitimpliziert auch die Stetigkeit der Funktion.

Definition 8.6 Totale Differenzierbarkeit

Die Funktion f heißt (total) differenzierbar in xP ∈ D ⊆ Rn , falls es einen Vektorb = f ′(xP ) ∈ Rn gibt und eine Fehlerfunktion R gibt, so dass

f(x) = f(xP ) + 〈 b, (x− xP ) 〉+R(x)



und das R von hoherer als erster Ordnung verschwindet, d.h.:

limx−→xP

R(x)

‖x− xP‖= 0.

f heißt total differenzierbar, falls f fur jeden Punkt aus D differenzierbar ist.〈 , 〉 beschreibt das Skalarprodukt.

Anschaulich heißt dies, dass es eine Tangentialfunktion T an den Punkt xP in einerUmgebung von xP geben muss (f in xP also linearisierbar ist) mitT (x, xP ) = f(xP ) + 〈 b, (x− xP ) 〉.

Fur f : R→ R : T (x, xP ) = f(xP ) + b(x− xP ) mit b = f ′(xP )(T ist also eine Tangente).

Fur f : R2 → R : T (x, xP ) = f(xP )+b1(x−xP1)+b2(x−xP2) mit b1 = fx1|xP ,b2 = fx2|xP(T ist also eine Tangentialebene).

Ist f total differenzierbar, so existieren auch die partiellen Ableitungen und alle Rich-tungsableitungen.

Gleichung der Tangentialebene:

Die Gleichung der Tangentialebene an die Flache z = f(x; y) im Flachenpunkt P = (x0; y0; z0)lautet

z − z0 = fx(x0; y0)(x− x0) + fy(x0; y0)(y − y0)

8.2.4 Extremwertuntersuchungen

Definition 8.7 Extremwert

Eine Funktion besitzt an der Stelle PE = (xE; yE, zE) ein relatives Maximum bzw.Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung U von (xE; yE) stets gilt:

f (xE; yE) > f (x; y) bzw. f (xE; yE) < f (x; y)

mit

(x; y) ∈ U(x; y) 6= (xE; yE)



z = f(x; y) besitzt in (xE; yE) einen Extremwert, falls gilt:

1. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung verschwinden.

⇒ fx(xE; yE) = 0 ∧ fy(xE; yE) = 0 (8.2.1)

(Notwendige aber nicht hinreichende Bedingung.)

2. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung genugen der Ungleichung

∆ =

∣∣∣∣fxx(xE; yE) fxy(xE; yE)fyx(xE; yE) fyy(xE; yE)

∣∣∣∣= fxx(xE; yE)fyy(xE; yE)− (fxy(xE; yE))2 > 0

Hinreichende Bedingung. ∆ ist die Determinante der sogenannten Hessematrix(Analogon zur 2. Ableitung einer Funktion).

fxx(xE; yE) bzw.fyy(xE; yE) > 0⇒ Min

fxx(xE; yE) bzw.fyy(xE; yE) < 0⇒ Max



Definition 8.8 Sattelpunkt

P (xE; yE; zE) heißt Sattelpunkt, falls die notwendige Bedingung (8.2.1) erfullt ist und∆ < 0.

Falls der globale Extremwert auf einem vorgegebenen Bereich berechnet werden soll,mussen die Rander des Bereiches extra betrachtet werden.

8.2.5 Totales Differential

Nutzbar z.B. fur ◦ Fehlerfortpflanzung◦ Implizite Differentiation

Problemstellung:

Welche Anderung erfahrt der Funktionswert (d.h. die Hohenkoordinate z) des FlachenpunktesP bei Verschiebung von P

◦ auf der Flache selbst

◦ auf der zugehorigen Tangentialebene?

Definition 8.9 Totales Differential

Unter dem totalen Differential einer Funktion von 2 Variablen versteht man denAusdruck

dz = fx dx+ fy dy

Geometrische Deutung (s. Abb. 8.3): dz ist die Anderung der Hohenkoordinate z beiVerschiebung des Punktes P um dx, dy auf der zugehorigen Tangentialebene.Totales Differential fur n Variablen:

y = f(x1 . . . xn)→ dy = fx1dx1 + fx2dx2 + · · ·+ fxndxn



Figure 8.3: Totales Differential einer Funktion z = f(x; y)

Fehlerrechnung

Beispiel 8.1 Zylinderdichte

Von einem Zylinder wurde Durchmesser D = 6, 53 cm und Hohe h = 7, 65 cm mit einerGenauigkeit von ±0, 01 cm und durch Wagung die Masse m = 823, 52 g mit einerGenauigkeit von ±0, 02 g gemessen.Frage: Mit welcher Genauigkeit lasst sich daraus die Dichte des Zylinders berechnen?Losung: siehe Vorlesung

Die Genauigkeit folgt aus dem totalen Differential, wobei jedoch jeweils dieBetrage addiert werden mussen, um den maximalen Fehler zu erhalten.



Ableitung einer Funktion einer unabhangigen Veranderlichen x in impliziterDarstellung unter Verwendung des Totalen Differentials

Implizite Darstellung: F (x; y) = 0

z = F (x; y) = 0

Sonderfall des totalen Differentials

dz = Fx(x; y)dx+ Fy(x; y)dy = 0

⇒ Fx(x; y)dx = −Fy(x; y)dy

⇒ dy

dx= y′ = −Fx(x; y)

Fy(x; y)



8.2.6 Ausgleichsgerade/ Parabel

(Nach dem Gauss’schen Prinzip der kleinsten Quadrate)Gegeben: n Messpunkte Pi(x; y)

Gesucht: Funktion f(x), die sich den Messpunkten optimal anpasst.Losungsansatze:

f(x) = ax+ b ← Gerade

f(x) = ax2 + bx+ c ← Parabel

Gesucht: Parameter a, b, c . . .Der Abstand vi = yi − f(xi) soll minimiert werden → Summe aller Abstandsquadrate∑n

i=1 v2i soll minimiert werden.

S(a, b, c . . . ) =n∑i=1

v2i =

n∑i=1

(yi − f(xi))2

Gesuchtes Minimum ergibt sich aus:

∂S

∂a= 0,

∂S

∂b= 0,

∂S

∂c= 0,

Aus diesem Gleichungssystem wird die Losung a, b, c . . . ermittelt ⇒ Ausgleichsfunk-tion.



Ausgleichsgerade

f(x) = y = ax+ b

vi = yi − axi − bn∑i=1

v2i = S(a; b) =

n∑i=1

(yi − axi − b)2

∂S

∂a=

n∑i=1

−2xi(yi − axi − b)

= −2n∑i=1

xiyi + 2an∑i=1

x2i + 2b

n∑i=1

xi = 0

∂S

∂b= −2

n∑i=1

(yi − axi − b)

= −2n∑i=1

yi + 2an∑i=1

xi + 2b · n = 0

a b RS

∑ni=1 x

2i = C

∑ni=1 xi = A

∑ni=1 xiyi = D∑n

i=1 xi = A n∑n

i=1 yi = B

mit der Cramerschen Regel ergibt sich:

a =ZaND

b =ZbND

Za = det(RS; b)

Zb = det(a; RS)

ND = det(a; b)

⇒ a =D · n− A ·Bn · C − A · A

⇒ b =C ·B − A ·Dn · C − A · A

Ausgleichsparabel

y = ax2 + bx+ c



vi = yi − ax2i − bxi − c

n∑i=1

v2i = S =

n∑i=1

(yi − ax2

i − bxi − c)2

∂S

∂a= 2

n∑i=1

[(ax2

i + bxi + c− yi)x2i

]= 0

∂S

∂b= 2

n∑i=1

[(ax2

i + bxi + c− yi)xi]

= 0

∂S

∂c= 2

n∑i=1

[(ax2

i + bxi + c− yi)

1]

= 0

Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem:a b c RS

E=∑n

i=1 x4i D=

∑ni=1 x

3i C=

∑ni=1 x

2i G=

∑ni=1 x

2i yi

D=∑n

i=1 x3i C=

∑ni=1 x

2i A=

∑ni=1 x

1i F=

∑ni=1 xiyi

C=∑n

i=1 x2i A=

∑ni=1 xi n B=

∑ni=1 yi

ND = n · C · E + 2 · A ·D · C − C3 − n ·D2 − E · A2

ZA = n · C ·G+ A ·B ·D + A · C · F −G · A2 − n ·D · F −B · C2

ZB = n · E · F + A · C ·G+B · C ·D − C2 · F − n ·D ·G− A ·B · EZC = B · C · E + C ·D · F + A ·D ·G− C2 ·G− A · E · F −B ·D2

mit der Cramerschen Regel ergibt sich

a =ZA

ND, b =

ZB

ND, c =

ZC

ND



8.3 Integralrechnung

8.3.1 Doppelintegrale

Gegeben: z = f(x, y) und Bereich B ∈ Dzunachst: B ist ein Rechteck

B =a1 ≤ x ≤ a2

b1 ≤ y ≤ b2

Gesucht ist das Volumen des Korpers, der begrenzt wird durch die (x, y)-Ebene, dieEbenen

x = a1, x = a2, y = b1, y = b2

und der Deckelflache: z = f(x, y); (x, y) ∈ B.

Zerlegung des Rechtecks:

a1 = x0 < x1 · · · < xn1 = a2

b1 = y0 < y1 · · · < yn2 = b2

∆xi = xi − xi−1

∆yi = yi − yi−1

Damit wird B in n = n1 · n2 kleine Rechtecke zerlegt:

∆Bij = ∆xi ·∆yj.

Ein Saulenvolumen (angenahert):

∆Vij = f(xi; yj)∆Bij

= f(xi; yj) ·∆xi ·∆yj.

Die Summe von n2 Saulen ergibt Scheiben mit der Breite ∆xi:

Vi =

n2∑j=1

∆Vij =

(n2∑j=1

f(xi; yj) ·∆yj

)·∆xi.

Die Summe aller n1 Scheiben ergibt das approximierte Volumen

V =

n1∑i=1

Vi =

n1∑i=1

((n2∑j=1

f(xi; yj) ·∆yj

)·∆xi

).



Definition 8.10 Doppelintegral

V = limn1→∞n2→∞

n1∑i=1

(n2∑j=1

f(xi; yj) ·∆yj

)·∆xi

=

a2∫a1

b2∫b1

f(x, y)dydx

=

∫∫B

f(x, y)dB

Verallgemeinerung:

B werde begrenzt von einer stetigen sich nicht schneidenden Kurve. B heißt ebenerNormalbereich. B lasst sich folgendermaßen beschreiben:

B : a1 ≤ x ≤ a2,

y1(x) ≤ y ≤ y2(x)

bzw.

B : b1 ≤ y ≤ b2,

x1(y) ≤ x ≤ x2(y)



Das Integral berechnet sich wie folgt:

∫∫B

f(x, y)dB =

a2∫a1

y2(x)∫y1(x)

f(x, y)dy

dx

bzw.∫∫B

f(x, y)dB =

b2∫b1

x2(y)∫x1(y)

f(x, y)dx

dy

Doppelintegral in Polarkoordinaten

B : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2,

ri(ϕ) ≤ r ≤ ra(ϕ)

Berechnung des Doppelintegrals in Polarkoordinaten:Transformationsgleichungen:

x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ), dB = rdrdϕ

∫∫B

f(x, y)dB =

ϕ2∫ϕ1

ra(ϕ)∫ri(ϕ)

f(r cos(ϕ); r sin(ϕ))rdr

dϕ



8.3.2 Dreifachintegrale

Gegeben: u = f(x, y, z) und Bereich B ∈ Dzunachst: B ist ein Quader

B : a1 ≤ x ≤ a2

b1 ≤ y ≤ b2

c1 ≤ z ≤ c2

Berechnung des Dreifachintegrals

∫∫B

∫f(x, y, z)dB =

a2∫a1

b2∫b1

c2∫c1

f(x, y, z)dzdydx

Verallgemeinerung: B sei ein raumlicher Normalbereich

B : a1 ≤ x ≤ a2

y1(x) ≤ y ≤ y2(x)

z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)

⇒ Berechnung des Dreifachintegrals

∫∫B

∫f(x, y, z)dB =

a2∫a1

y2(x)∫y1(x)

z2(x,y)∫z1(x,y)

f(x, y, z)dz

dy

dx



8.4 Vektorfelder und Kurvenintegrale

Bisher wurden in diesem Kapitel Funktionen f : R2 → R bzw. f : R3 → R betrachtet.Solche Funktionen werden auch Skalarfelder genannt, da jedem Wert in einer Flacheoder im Raum ein Skalar zugeordnet wird (Beispiel: Temperaturverteilung im Raum).Im Gegensatz dazu steht beispielsweise ein Kraftfeld, hier wird jedem Punkt in der Flachebzw. im Raum eine Kraft (z.B. erzeugt durch einen elektrischen Dipol) also ein Vektorzugeordnet. Es handelt sich also um eine Abbildung ~v : R2 → R2 bzw. ~v : R3 → R3.Eine solche Abbildung wird als Vektorfeld bezeichnet.

Definition 8.11 Vektorfeld

Eine Funktion ~v von D ⊆ Rn nach Rn heißt n-dimensionales Vektorfeld:

~v : D ⊆ Rn → Rn

~v(x1, . . . , xn) =

v1(x1, . . . , xn)v2(x1, . . . , xn)

...vn(x1, . . . , xn)

mit vi : D ⊆ R→ R,i = 1, . . . , n.Sind alle vi stetig, so heißt das Vektorfeld stetig.Sind alle vi (stetig) differenzierbar, so heißt das Vektorfeld (stetig) differenzierbar.

Wird von einer total differenzierbaren Funktion f in jedem Punkt ihres Definitionsbere-iches ihr Gradient bestimmt, so entsteht ein Vektorfeld (s. Abb. 8.2).

Definition 8.12 Gradienten- oder Potentialfeld

Eine Funktion ~v von D ⊆ Rn nach Rn heißt Gradienten- oder Potentialfeld, fallseine total differenzierbare Funktion f : D→ R existiert mit:

~v = gradf, fur alle x ∈ D

also vi(x1, . . . , xn) = ∂f∂xi

(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n.Der Funktionswert f(x1, . . . , xn) heißt Potential von ~v(x1, . . . , xn).

Um z.B.die Arbeit in einem Kraftfeld mit Hilfe von Kurvenintegralen zu berechen, ist eswichtig zu wissen, ob das Kraftfeld ein Potential hat oder nicht. Dazu kann die folgende



Integrabilitatsbedingung uberpruft werden. Sie ist eine notwendige Voraussetzung.

Integrabilitatsbedingung :Sei ~v von D ⊆ Rn → Rn ein Vektorfeld. Die Bedingung:

∂vi∂xj

=∂vj∂xi

, i = 1, . . . , n

wird als Integrabilitatsbedingung bezeichnet.

Satz:

Falls der Definitionsbereich D des Vektorfeldes ~v ein einfach-zusammenhangenderBereich (d.h. jeder geschlossene Weg lasst sich zu einem Punkt zusammenziehen) istund die Integrabilitatsbedingung erfullt ist, so hat das Vektorfeld Potential.In diesem Fall ist die Integrabilitatsbedingung notwendig und hinreichend.

Um die Arbeit (Arbeit = Kraft x Weg) langs eines Weges (z.B. Abbildung 8.4 in einemKraftfeld zu berechnen, muss das Kurvenintegral eingefuhrt werden.. Der Weg wird alsebene oder raumliche Kurve (also n=2 oder 3) betrachtet.

Definition 8.13 Kurvenintegral

Sei

C : [a, b]→ Rn, ~r(t) =

r1(x1, . . . , xn)r2(x1, . . . , xn)

...rn(x1, . . . , xn)

ein durch die Parameterdarstellung (stetig differenzierbar) gegebener Weg, der ganz indem Definitionsbereiches D ⊆ Rn eines stetigen Vektorfeldes ~v. verlauft. Dann heißt∫

C

~vd~r =

b∫a

〈 ~v(~r(t)), ~r(t) 〉 dt.

Kurvenintegral (oder Wegintegral) langs C. Falls C ein geschlossener Weg ist, soschreibt man auch:∮

C~vd~r.

Dieses Integral wird Ring- oder Umlaufintegral genannt.



Figure 8.4: Kraftfeld mit Weg

Der Wert des Kurvenintegrals ist unabhangig von der Parametrisierung. Die Umlaufrich-tung bestimmt das Vorzeichen.

Definition 8.14 Konservatives Vektorfeld

Ein Vektorfeld ~v auf D ⊆ Rn heißt konservativ, wenn das Kurvenintegral fur jedenbeliebigen Weg C zwischen fest gewahlten Punkten A,B ∈ D den gleichen Wert hat,also wegunabhangig ist.



Satz: Hauptsatz zur Kurvenintegration

Sei ~v von D ⊆ Rn → Rn ein Vektorfeld. D sei offen und einfach zusammenhangend.Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

1. ~v ist ein Gradientenfeld (bzw. Potentialfeld): ~v = gradf .

2. Es gilt die Integrabilitatsbedingung: ∂vi∂xj

=∂vj∂xi, i = 1, . . . , n.

3. ~v ist konservativ (jedes Kurvenintegral hangt nur vom Anfangspunkt A undEndpunkt B ab, insbesondere gilt:

∫C~vd~r = f(B)− f(A)).

4. Fur jeden geschlossenen Weg C gilt:∮C ~vd~r = 0.


9 Ebene Kurven

9.1 Einleitung

9.1.1 Parameterdarstellung

C : x = x(t), y = y(t), t ∈ DZeichnen durch Wertetabelle fur verschiedene t-Werte. → x, y zeichnen

t x(t) y(t)

t1 x(t1) y(t1)...

......

Bemerkung: Der Parameter t taucht in dem Graph NICHT auf.

9.1.2 Polarkoordinaten-Darstellung

C : r = r(ϕ), ϕ ∈ DZeichnen durch Wertetabelle fur verschiedene ϕ-Werte. → Winkel ϕ mit Lange r(ϕ)abtragen.

ϕ r(ϕ)

ϕ1 r(ϕ1)...

...

9.2 Differentiation


x = x(t)⇒ dx

dt= x⇒ dx = xdt

y = y(t)⇒ dy

dt= y ⇒ dy = ydt

⇒ dy

dx= y′ =

y

x

72



r = r(ϕ)⇒

x = r(ϕ) cos(ϕ)⇒ dx

dϕ= r cos(ϕ)− r sin(ϕ) mit r =

dr

dϕ

y = r(ϕ) sin(ϕ)⇒ dy

dϕ= r sin(ϕ) + r cos(ϕ) mit r =

dr

dϕ

⇒ dy

dx= y′ =

r sin(ϕ) + r cos(ϕ)

r cos(ϕ)− r sin(ϕ)=r + r tan(ϕ)

r − r tan(ϕ)

9.3 Flachen

9.3.1 Standardflache einer explizit gegebene Funktion

A =

∫ b

a

|f(x)| dx

9.3.2 Standardflache einer Kurve in Parameterdarstellung

A =

∫ t2

t1

|y · x| dt

Gilt auch fur geschlossene Kurven.



9.3.3 Formeln fur Sektorflachen

Sektorformel fur Polarkoordinaten

A =1

2

∫ ϕ2

ϕ1

(r(ϕ))2 dϕ

Leibnitzsche Sektorformel fur Parameterdarstellung

A =1

2

∣∣∣∣∫ t2

t1

(y · x− x · y) dt

∣∣∣∣

9.4 Bogenlange

9.4.1 Explizit gegebene Funktion

S =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx


S =

∫ t2

t1

√x2 + y2 dt




S =

∫ ϕ2

ϕ1

√r2 + r2 dϕ

9.5 Krummungsverhalten

9.5.1 Krummung

1. Explizite Darstellung: y = f(x)

κ =y′′

(1 + y′2)32

2. Parameterdarstellung: x = x(t), y = y(t)

κ =xy − xy

(x2 + y2)32

3. Polarkoordinaten-Darstellung: r = r(ϕ)

κ =r2 − rr + 2r2

(r2 + r2)32

9.5.2 Krummungskreisradius

R =

∣∣∣∣1κ∣∣∣∣ , κ : Krummung

9.5.3 Krummungskreismittelpunkt

1. Explizite Darstellung: y = f(x)

xm = x− y′ · 1 + y′2

y′′

ym = y +1 + y′2

y′′



2. Parameterdarstellung: x = x(t), y = y(t)

xm = x− y · x2 + y2

xy − xy

ym = y + x · x2 + y2

xy − xy

3. Polarkoordinaten-Darstellung: r = r(ϕ)

xm = r cosϕ− (r2 + r2)(r cosϕ+ r sinϕ)

r2 − rr + 2r2

ym = r sinϕ− (r2 + r2)(r sinϕ− r cosϕ)

r2 − rr + 2r2


10 GewohnlicheDifferentialgleichungen

10.1 Einleitung

Definition 10.1 Gewohnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung

Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-tenOrdnung vorkommen, heißt eine gewohnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.

1. Implizite Form:

F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0

Bsp: (y′′)2 + y′′ + 5xy′ + x = 0 2. Ordnung

2. Explizite Form:

y(n) = f(x, y, y′, y′′, ..., y(n−1))

Bsp: y′′ =y

x2. Ordnung

Definition 10.2 Losung einer Differentialgleichung

Die allgemeine Losung einer gewohnlichen Differentialgleichung ist die Menge allerFunktionen, die gemeinsam mit ihren Ableitungen die Differentialgleichung in ihremDefinitionsbereich erfullen.

77


Satz:

Die allgemeine Losung einer gewohnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthaltgenau n Parameter.

Definition 10.3 Partikulare Losung

Eine spezielle Losung (aufgrund von n speziellen Bedingungen) einer gewohnlichenDifferentialgleichung n-ter Ordnung heißt partikulare Losung.

Definition 10.4 Anfangswertproblem (AWP)

Sind zu einem Wert x0 n Anfangsbedingungen (AB)(y(x0) = y0, y

′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = y(n−1))) gegeben, so spricht man von einem

Anfangswertproblem (AWP).

10.2 Gewohnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

10.2.1 Isoklinenverfahren

Jedem Punkt P = (x, y) der Differentialgleichung y′ = f(x, y) ist eindeutig die Steigungm = f(x, y) zugeordnet. m gibt die Steigung der Losungskurve in P an. Der Tripel(x, y, y′) lasst sich also als Linienelement deuten.Die Gesamtheit aller Linienelemente ergeben ein Richtungsfeld.Die Verbindungslinie aller Punkte, deren Linienelemente in die gleiche Richtung zeigen,heißt Isokline. Die Isoklinen der Differentialgleichung y′ = f(x, y) sind daher wie folgtdefiniert:

y′ = f(x, y) = constant = c

.



Figure 10.1: Richtungsfeld der Differentialgleichung y′ = ysinx mit Losung y

10.2.2 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen

Definition 10.5 Differentialgleichung mit trennbaren Variablen

Kann die Differentialgleichung 1. Ordnung auf die Form

y′ = g(x)h(y)

gebracht werden, so spricht man von einer Differentialgleichung mit trennbarenVariablen.

Methode 10.1 Trennung der Variablen

1. Trennung der Variablen:dy

dx= g(x)h(y) =⇒ dy

h(y)= g(x)dx

2. Integration auf beiden Seiten:

∫dy

h(y)=

∫g(x)dx

3. Berechnung der Integrale liefert Losung der Differentialgleichung.



10.2.3 Durch Substitution losbare Differentialgleichungen

Methode 10.2 Substitution fur Differentialgleichungenvom Typ y′ = f( y

x)

1. Substitution: u = yx

=⇒ y = xu =⇒ y′ = u+ xu′

=⇒ f(u) = u+ xu′ oder u′ =f(u)− u

x(10.2.1)

2. Losen der Differentialgleichung (10.2.1) durch Trennung der Variablen.

3. Rucksubstitution und auflosen nach y.

Methode 10.3 Substitution fur Differentialgleichungenvom Typ y′ = f(ax+ by + c)

1. Substitution: u = ax+ by + c=⇒ u′ = a+ by′

=⇒ u′ = a+ bf(u) (10.2.2)

2. Losen der Differentialgleichung (10.2.2) durch Trennung der Variablen.

3. Rucksubstitution und auflosen nach y.

10.2.4 Lineare Differentialgleichungen

Definition 10.6 Lineare Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn sie in y und allen ihren Ableitungenlinear ist.



Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:

g1(x)y′ + g0(x)y = S(x), g1(x) 6= 0

=⇒ y′ +g0(x)

g1(x)y =

S(x)

g1(x)

Normalform einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung:

y′ + g(x)y = s(x) (10.2.3)

mit s(x) = 0 erhalt man dieNormalform einer homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung:

y′ + g(x)y = 0 (10.2.4)

Losung der homogenen Gleichung

Die homogene Differentialgleichung lasst sich durch Trennung der Variablen losen.

Methode 10.4 Spezialfall der Trennung der Variablen

Allg:

y′ + g(x)y = 0

=⇒ dydx

= −g(x)y

=⇒ dyy

= −g(x)dx

=⇒∫

dyy

= −∫g(x)dx

=⇒ ln |y| − ln |K| = −∫g(x)dx

=⇒ ln∣∣ yK

∣∣ = −∫g(x)dx

y = Ke−∫g(x)dx, K ∈ IR (10.2.5)

Sonderfall: Differentialgleichung (10.2.4) mit konstantem Koeffizienten (g(x) = a)

y′ + ay = 0 =⇒ y = Ke−∫adx = Ke−ax, K ∈ IR (10.2.6)

Losung der inhomogenen Gleichung

Die Losung der inhomogenen Differentialgleichung lasst sich durch folgende Verfahrenermitteln.

� Variation der Konstanten



� Aufsuchen einer partikularen Losung

Die Variation der Konstanten ist immer anwendbar.

Methode 10.5 Variation der Konstanten

1. Bestimmung einer Losung yh der zugehorigen homogenen Differentialgleichungy′h + g(x)y = 0 durch Trennung der Variablen.

=⇒ yh = Ke−∫g(x)dx

2. Variation der Konstanten

a) Ersetzen der Konstanten K durch eine Funktion K(x).

=⇒ y = K(x)e−∫g(x)dx (10.2.7)

b) y ableiten und y, y′ in die inhomogene Differentialgleichung (10.2.3)einsetzen.

c) Losung der Differentialgleichung fur K(x) durch direkte Integration.

d) Einsetzen von K(x) in den Losungsansatz (10.2.7).

Das Aufsuchen einer partikularen Losung beruht auf dem folgenden Satz.

Satz: Losung der inhomogenen Gleichung

Die Losung der Differentialgleichung (10.2.3) ergibt sich aus der Summe derallgemeinen Losung der zugehorigen homogenen Differentialgleichung yh und einerpartikularen Losung der inhomogenen Differentialgleichung yp:

y = yh + yp

Methode 10.6 Aufsuchen einer partikularen Losung fur inhomogene lineareDifferentialgleichungen

1. Bestimmung einer Losung yh der zugehorigen homogenen Differentialgleichungy′h + g(x)y = 0 durch Trennung der Variablen.

2. Bestimmung einer partikularen Losung der inhomogenen Differentialgleichung(10.2.3) durch einen geeigneten Losungsansatz der einen oder mehrere Parameterenthalt.



3. Allgemeine Losung der Differentialgleichung (10.2.3): y = yh + yp.

Sonderfall: Differentialgleichung (10.2.3) mit konstantem Koeffizienten (g(x) = a)

y′ + ay = s(x) =⇒ yh = Ke−ax, K ∈ IR (10.2.8)

Die Ansatzfunktion yp fur die partikulare Losung lasst sich aus der folgenden Tabelleentnehmen. yp ableiten, yp und y′p in die Gleichung (10.2.8) einsetzen. Durch Koeffizien-

Storfunktion s(x) Ansatzfunktion yp(x)

Polynom vom Grade n Polynom vom Grade n :yp = cnx

n + . . .+ c1x+ c0

Parameter: c0, c1, . . . , cns(x) = A sin(ωx) +B cos(ωx) yp = C1 sin(ωx) + C2 cos(ωx)

oderyp = C sin(ωx+ ϕ)Parameter: C1, C2 bzw. C,ϕ(auch wenn A = 0 oder B = 0)

s(x) = Aebx yp =

{Cebx

Cxebxfur

b 6= −ab = −a

Parameter: C

Table 10.1: Losungsansatze fur eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten: y′ + ay = s(x)

tenvergleich werden die Parameter bestimmt.

10.2.5 Numerische Integration

Gegeben sei das Anfangswertproblem:

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

Aufgabenstellung:Gesucht ist ein Naherungswert an der Stelle xn = b

yn ≈ y(b).

Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = bmit der festen Schrittweite: h = b−a

n= xi − xi−1

Euler–Verfahren

yi = yi−1 + h f(xi−1, yi−1), i = 1, ..., n



Runge–Kutta–Verfahren 4. Ordnung

yi = yi−1 + 16

(k1 + 2k2 + 2k3 + k4), i = 1, ..., n

k1 = h f(xi−1, yi−1)

k2 = h f(xi−1 + 12h, yi−1 + 1

2k1)

k3 = h f(xi−1 + 12h, yi−1 + 1

2k2)

k4 = h f(xi−1 + h, yi−1 + k3)

Beispiel 10.1 Euler- und Runge-Kutta-Verfahren

Gegeben: y′ = −xy,AB: x0 = 0, y0 = 1

gesucht: Wert an der Stelle x=0,5(Losung: Kreis mit Radius 1, exakter Wert: y= 0.866025)

i xi yi hf(xi, yi) = −0, 25xy

0 0.000000 1.000000 0.0000001 0.250000 1.000000 -0.0625002 0.500000 0.937500

Table 10.2: Euler-Verfahren mit n=2

i xi yi hf(xi, yi) = −0, 125xy

0 0.000000 1.000000 0.0000001 .125000 1.000000 -0.0156252 .250000 0.984375 -0.0317463 .375000 0.952629 -0.0492064 .500000 0.903423

Table 10.3: Euler-Verfahren mit n=4



i x y ki = hf(x, y) = −0, 5xy

0.000000 y0 =1.000000 0.000000 = k1

0.250000 y0 + 12k1 = 1.000000 -0.125000 = k2

0.250000 y0 + 12k2 = 0.937500 -0.133333 = k3

0.500000 y0 + k3 = 0.866667 -0.288462 = k4

1 x1 =0.500000 y1 =0.865812

Table 10.4: Runge-Kutta-Verfahren mit n=1

i x y ki = hf(x, y) = −0, 25xy

0.000000 1.000000 0.0000000.125000 1.000000 -0.0312500.125000 0.984375 -0.0317460.250000 0.968254 -0.064549

1 x1= 0.250000 y1=0.968243

0.250000 0.968243 -0.0645500.375000 0.935968 -0.1001640.375000 0.918161 -0.1021060.500000 0.866137 -0.144319

2 x2=0.500000 y2=0.866008

Table 10.5: Runge-Kutta-Verfahren mit n=2

10.3 Gewohnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung

Definition 10.7 Randwertproblem

Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung, zu deren Losung weitere Bedingungen(sogenannte Randbedingungen) fur Werte der Funktion y (oder ihrer Ableitungen) anwenigstens 2 verschiedenen Stellen x1, x2 ∈ D vorgegeben sind, heißt Randwertproblem(RWP).



10.3.1 Auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zuruckfuhrbareDifferentialgleichungen 2. Ordnung

Methode 10.7 Uberfuhrung auf Differentialgleichung 1. Ordnung fur Typ:y′′ = f(y)

1. Multiplikation mit 2y′

⇒ 2y′y′′ = 2y′f(y)

⇒[(y′)2

]= 2y′f(y)

⇒ d((y′)2)

dx= 2f(y)

dy

dx

2. Umformen und Integrieren

⇒∫

d((y′)2) = 2

∫f(y)dy

⇒ y′2

= 2

∫f(y)dy + C1

⇒ y′ = ±

√2

∫f(y)dy + C1 (10.3.1)

3. Losen von (10.3.1) (z.B. durch Trennung der Variablen).

Methode 10.8 Uberfuhrung auf Differentialgleichung 1. Ordnung fur Typ:y′′ = f(y′) oder y′′ = f(x, y′)

1. Substitution:

u = y′ =dy

dx

⇒ u′ = y′′ =du

dx

2. Einsetzen in die Differentialgleichung⇒ Differentialgleichung 1. Ordnung fur u.

3. Losen der Differentialgleichung fur u.

4. Rucksubstitution ⇒ Differentialgleichung 1. Ordnung fur y.

5. Losen der Differentialgleichung fur y



10.3.2 Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten

Definition 10.8 Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstantenKoeffizienten

Eine Differentialgleichung vom Typ

y′′ + ay′ + by = 0 (10.3.2)

heißt lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Satz: Eigenschaften der linearen homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit kon-stanten Koeffizienten

1. Ist y1(x) eine Losung von (10.3.2), so lost auch C · y1(x) (10.3.2).

2. Sind y1(x), y2(x) Losungen von (10.3.2), so lost auch C1 · y1(x) + C2 · y2(x)(10.3.2).

3. Ist y(x) = u(x) + jv(x) eine komplexe Losung von (10.3.2), so sind auchu(x), v(x) reelle Losungen von (10.3.2).

Definition 10.9 Fundamentalbasis

Zwei Losungen y1 = y1(x) und y2 = y2(x) von (10.3.2) werden als Basislosungen,Basisfunktionen oder Fundamentalbasis bezeichnet, falls die Wronski-Determinante :

W (y1, y2) =

∣∣∣∣ y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣ 6= 0 ist.

y1, y2 heißen dann linear unabhangig.



Satz: Allgemeine Losung

Die allgemeine Losung von (10.3.2) ist als lineare Kombination zweier Basislosungeny1(x), y2(x) darstellbar:

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), C1, C2 ∈ R

Methode 10.9 Losung einer linearen homogenen Differentialgleichung 2. Ord-nung mit konstanten Koeffizienten

Losungsansatz: y = eλx

Bestimmung von λ mit Hilfe des charakteristischen Polynoms:

λ2 + aλ+ b = 0.

Es ergeben sich drei Falle:

1. Fall: λ1 6= λ2, λ1, λ2 ∈ RFundamentalbasis: y1 = eλ1x, y2 = eλ2x

Allgemeine Losung: y = C1eλ1x + C2eλ2x

2. Fall: λ1 = λ2 = λ, λ ∈ RFundamentalbasis: y1 = eλx, y2 = xeλx

Allgemeine Losung: y = (C1 + C2x)eλx

3. Fall: λ1,2 = ϕ± jω, ϕ, ω ∈ R, λ1, λ2 ∈ C (konjugiert komplex)Fundamentalbasis: y1 = eϕx sin(ωx), y2 = eϕx cos(ωx)Allgemeine Losung: y = eϕx(C1 sin(ωx) + C2 cos (ωx))



10.3.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten

Definition 10.10 Lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstan-ten Koeffizienten

Eine Differentialgleichung vom Typ

y′′ + ay′ + by = s(x) (10.3.3)

heißt lineare inhomogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstantenKoeffizienten.s(x) wird als Storfunktion bezeichnet.


Die Losung der Differentialgleichung (10.3.3) ergibt sich aus der Summe derallgemeinen Losung der zugehorigen homogenen Differentialgleichung yh und einerpartikularen Losung der inhomogenen Differentialgleichung yp:

y = yh + yp

Satz:

Hat eine Differentialgleichung die Form

y′′ + ay′ + by = s1(x) + s2(x) (10.3.4)

und ist yp1 Losung von y′′ + ay′ + by = s1(x) und yp2 Losung von y′′ + ay′ + by = s2(x)so ist yp = yp1 + yp2 eine partikulare Losung von (10.3.4).

Methode 10.10 Aufsuchen der partikularen Losung

1. Losen der zugehorigen homogenen Differentialgleichung⇒ yh

2. Berechnung einer partikularen Losung yp von (10.3.3) mit Hilfe einerAnsatzfunktion aus Tabelle (10.6)

3. Allgemeine Losung: y = yh + yp



Storfunktion s(x) Ansatzfunktion yp(x)

s(x) = Pm(x) yp = Bm(x),falls 0 nicht Losungder char. Gleichung ist.yp = xqBm(x)falls 0 q-fache Losungder char. Gleichung ist.

s(x) = Pm(x)eαx yp = Bm(x)eαx,falls α nicht Losungder char. Gleichung ist.yp = xqBm(x)eαx,falls α q-fache Losungder char. Gleichung ist.

s(x) = yp = Bm(x) sin(βx) + Cm(x) cos(βx)P1m(x) sin(βx) + P2m(x) cos(βx) falls ±jβ nicht Losung

der char. Gleichung ist.yp = xq[Bm(x) sin(βx) + Cm(x) cos(βx)]falls ±jβ q-fache Losungder char. Gleichung ist.

s(x) = yp = eαx[Bm(x) sin(βx) + Cm(x) cos(βx)]eαx[P1m(x) sin(βx) + P2m(x) cos(βx)] falls α± jβ nicht Losung

der char. Gleichung ist.yp = xqeαx[Bm(x) sin(βx) + Cm(x) cos(βx)]falls α± jβ q-fache Losungder char. Gleichung ist.

Table 10.6: Losungsansatze fur die Differentialgleichung 2. Ordnungy′′ + ay′ + by = s(x)

Pm(x), Bm(x), Cm(x) sind Polynome vom Grade m; entweder ist P1m(x) ein Polynomvom Grade m und P2m(x) hat hochstens den Grad m oder umgekehrt.



10.4 Lineare Systeme von Differentialgleichungen mitkonstanten Koeffizienten

Definition 10.11 Lineares inhomogenes System von Differentialgleichungen 1. Ord-nung mit konstanten Koeffizienten

Sei

y : R→ Rn, x→

y1(x)...

yn(x)

differenzierbar, und s : R→ Rn, x→

s1(x)...

sn(x)

.

Ein System von gewohnlichen Differentialgleichungen vom Typ

y′1(x) = a11y1(x) + a12y2(x) + . . . + a1nyn(x) + s1(x)... =

......

......

...y′n(x) = an1y1(x) + an2y2(x) + . . . + annyn(x) + sn(x)

heißt lineares System von Differentialgleichungen 1. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten.s(x) wird als Storfunktion bezeichnet. Falls s(x) 6= 0, so heißt das System inhomogenansonsten homogen.Das System lasst sich mit Matrizen wie folgt darstelleny

′1(x)...

y′n(x)

=

a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

︸︷︷︸

Systemmatrix:A

·

y1(x)...

yn(x)

+

s1(x)...

sn(x)

10.4.1 Losung des homogenen Systems

Satz:

Ist v ∈ Rn ein Eigenvektor der Systemmatrix A des homogenen Systemsy′(x) = A · y(x) zum Eigenwert λ ∈ R, so ist die Funktion

ϕ : R→ Rn, x→ v · eλx

eine Losung des homogenen Systems.



Definition 10.12 Fundamentalsystem

n linear unabhangige Losungen des homogenen Systems heißenLosungsfundamentalsystem.

Die Linearkombination aller Basislosungen ϕi des Losungsfundamentalsystem bilden dieallgemeine Losung des Systems

y =n∑i=1

ci · ϕi(x).

Die Aufgabe besteht also darin n unabhangige Losungen zu finden.

Diagonalisierbare Systemmatrix A

Aus der Linearen Algebra wissen wir, falls die Systemmatrix diagonalisierbar ist, sosind die zugehorigen Eigenvektoren vi, i = 1 . . . n und damit die Losungen alle linearunabhangig.

Dabei konnen folgende Falle unterschieden werden:

� Hat die Systemmatrix n verschiedene einfache reelle Eigenwerte λi, i = 1 . . . n, sosind die zugehorigen Eigenvektoren vi, i = 1 . . . n und damit die Losungen allelinear unabhangig.

� Sind unter den n verschiedenen einfachen auch konjugiert komplexe Eigenwerte,so erhalt man auch komplexe Eigenvektoren und komplexe Losungen. Von denkomplexen Losungen werden Real- und Imaginarteil ermittelt, die entstehendenLosungen sind wieder linear unabhangig.

� Hat die Systemmatrix auch mehrfache Eigenwerte, so gehoren zu einem k-fachenEigenwert auch k linear unabhangige Eigenvektoren, somit sind die Losungen auchlinear unabhangig.

Ein Problem entsteht dann, wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Zu einemk-fachen Eigenwert gehoren dann weniger als k Eigenvektoren und damit zu wenigLosungen.



Eigenwerte mit Vielfachheit: Hauptvektoren

Satz: Losung durch Hauptvektoren

Sei λ eine doppelter Eigenwert der Systemmatrix A mit nur einem zugehorigenEigenvektor v1. Dann besitzt die Gleichung

(A− λE) · v = v1

genau eine Losung v2 . Dieser Vektor wird Hauptvektor der Systemmatrix Agenannt.Eine weitere linear unabhangige Losung ergibt sich dann durch

ϕ2 = eλx (v2 + xv1) .

Damit lauten die beiden Basislosungen bezogen auf λ: eλxv1, eλx (v2 + xv1).

Hat der Eigenwert die Vielfachheit k, dann werden die weiteren Hauptvektoren rekursivgebildet: v3 berechnet sich aus dem Hauptvektor v2: (A− λE) · v3 = v2 usw..Das (Teil-)Fundamentalsystem (bez. auf den Eigenwert λ mit Vielfachheit k) ergibt sichdann wie folgt:{

eλxv1, eλx (v2 + xv1) , eλx

(v3 + xv2 + 1

2x2v1

), . . . , eλx

(vk + xvk−1 + · · ·+ 1

(k−1)!xk−1v1

)}.

10.4.2 Losung des inhomogenen Systems

Genau wie bei linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung gilt der folgende Satz:


Die Losung des inhomogenen Systems ergibt sich aus der Summe der allgemeinenLosung der zugehorigen homogene Systems yh und einer partikularen Losung derinhomogenen Differentialgleichung yp:

y = yh + yp

Die Losungsansatze fur yp1, . . . ypn hangen von den Storfunktionen s1, . . . , sn ab. Siekonnen mit Hilfe der Tabelle (10.6) ermittelt werden, die Tabelle gilt nur fur die Falle,dass λ kein Eigenwert ist. In jeder Ansatzfunktion muss jede Storfunktion berucksichtigtwerden.



Methode 10.11 Aufsuchen der partikularen Losung

1. Losen des zugehorigen homogenen Systems ⇒ yh

2. Berechnung einer partikularen Losung yp =

yp1...ypn

mit Hilfe von

Ansatzfunktionen aus Tabelle (10.6), die Tabelle gilt nur fur die Falle, dass λkein Eigenwert ist

3. Allgemeine Losung: y = yh + yp

10.4.3 Uberfuhrung auf ein System 1. Ordnung: Zustandsform

Jede lineare Differentialgleichung hoherer Ordnung und jedes System von Differential-gleichungen hoherer Ordnung kann in ein System 1. Ordnung, die sogenannte Zus-tandsform uberfuhrt werden. Dieses System 1. Ordnung kann dann aus den vorherigenAbschnitten gelost werden.

Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung

Differentialgleichung n-ter Ordnung:

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) = a1y + a2y′ + · · ·+ any

(n−1) + s(x)

Anfangsbedingungen:y(x0), y′(x0), . . . , y(n−1)(x0)

Zustandsform:

Zustandsgroßen:z1 = y, z2 = y′, z3 = y′′, . . . zn = y(n−1)

Umformung in ein System 1. Ordnung:

z′1 = z2 , z1(x0) = y(x0)z′2 = z3 , z2(x0) = y′(x0)

... ,...

z′n−1 = zn , zn−1(x0) = y(n−2)(x0)z′n = a1z1 + a2z2 + · · ·+ anzn + s(x) , zn(x0) = y(n−1)(x0)



System von linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung

y′′1 = f1(x, y1, . . . , yn, y′1 . . . , y

′n) = a11y1 + · · ·+ a1nyn + b11y

′1 + · · ·+ b1ny

′n + s1(x)

...y′′n = fn(x, y1, . . . , yn, y

′1 . . . , y

′n) = an1y1 + · · ·+ annyn + bn1y

′1 + · · ·+ bnny

′n + sn(x)

Anfangsbedingungen:

y1(x0), . . . , yn(x0), y′1(x0), . . . , y′n(x0)

Zustandsform:

Zustandsgroßen:

z1 = y1, . . . , zn = yn

zn+1 = y′1, . . . , z2n = y′n

Umformung in ein System 1. Ordnung:

z′1 = zn+1 , z1(x0) = y(x0)... ,

...z′n = z2n , zn(x0) = yn(x0)z′n+1 = a11y1 + · · ·+ a1nyn + b11y

′1 + · · ·+ b1ny

′n + s1(x) , zn+1(x0) = y′1(x0)

... ,...

z′2n = an1y1 + · · ·+ annyn + bn1y′1 + · · ·+ bnny

′n + sn(x) , z2n(x0) = y′n(x0)


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