Anfang Präsentation 3. November, 2004 Das Entfernen struktureller Singularitäten mittels Pantelides Algorithmus Diese Vorlesung stellt ein Verfahren vor,

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Das Entfernen struktureller Singularitäten mittels Pantelides Algorithmus

• Diese Vorlesung stellt ein Verfahren vor, welches dazu verwendet werden kann, strukturelle Singularitäten in systematischer und algorith-mischer Weise aus einem Modell zu entfernen. Das Verfahren wird Pantelides Algorithm genannt.

• Beim Algorithmus von Pantelides handelt es sich um ein symbolisches Indexreduktionsverfahren.


Übersicht

• Structurelle Singularitäten und der Strukturdigraph

• Pantelides Algorithmus


Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel I

I1

I2

I3

iC

iL1iL2

iR

v1

v2v3

v0

Wir stellen ein Modell unter Ver-wendung der Ströme, Spannungen und Potentiale auf. Die Maschen-gleichungen werden daher ignoriert.

Wir haben 7 Netzwerkkomponenten plus die Erde, somit 27 + 1 = 15 Gleichungen. Dazu kommen vier Knoten, die zu 3 zusätzlichen Gleichungen führen. Somit erwar-ten wir 18 Gleichungen in 18 Unbe-kannten.

Die Spannungen werden bei passiven Komponenten in die gleiche Richtung positiv normiert wie die Ströme. Bei aktiven Komponenten (Quellen) ist es umgekehrt.


Strukturelle Singularitäten:Ein Beispiel II

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt

7: iC = C · duC /dt

8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

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I1

I2

I3

uR

iR

uL1

diL1 /dt

uL2

diL2 /dt

iC

duC /dt

v0

v1

v2

v3

u1

u2

u3


Strukturelle Singularitäten:Ein Beispiel III

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

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I1

I2

I3

uR

iR

uL1

diL1 /dt

uL2

diL2 /dt

iC

duC /dt

v0

v1

v2

v3

u1

u2

u3

010203

04

181716

15

14

13


Strukturelle Singularitäten:Ein Beispiel IV

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

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I1

I2

I3

uR

iR

uL1

diL1 /dt

uL2

diL2 /dt

iC

duC /dt

v0

v1

v2

v3

u1

u2

u3

010203

04

181716

15

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13

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Beschränkungsgleichung

Alle Verbindungen sind blau


Das Färben des Strukturdigraphen• Der Algorithmus zum Färben des Strukturdigraphen ist

völlig äquivalent zum bisher angewandten Verfahren der Kausalisierung von Gleichungen.

• Eine Implementierung des Verfahrens unter Verwendung eines Computerprogramms wird vermutlich den Digraphen vorziehen, da dieser direkt auf Datenstrukturen gängiger Programmiersprachen abgebildet werden kann.

• Für das menschliche Auge ist das Färben der Gleichungen vermutlich lesbarer. Darum wird in der Vorlesung in Zukunft dem Färben der Gleichungen wieder ein Vorzug eingeräumt.

• Das vertikale Sortieren kann gleichzeitig durch Umnummerieren der Gleichungen erfolgen.


Der Algorithmus von Pantelides I

• Wenn eine Beschränkungsgleichung gefunden wurde, muss diese abgeleitet werden.

• Beim Algorithmus von Pantelides wird die abgeleitete Beschränkungsgleichung dem Gleichungssystem zugefügt.

• Somit hat das Gleichungssystem nun eine überzählige Gleichung.

• Um die Anzahl von Gleichungen und Unbekannten wieder auszugleichen, wird ein mit der Beschränkungsgleichung verbundener Integrator eliminiert.


Der Algorithmus von Pantelides II

dxdt

x

unbekannt bekannt, da Zustandsvariable

dxdt

x

unbekannt unbekannt

dx x

unbekannt unbekannt

Eine zusätzliche Unbekannte wurde durch die Elimination des Integrators geschaffen. x und dx sind nun algebraische Variablen, für die Gleichungen gefunden werden müssen.


Der Algorithmus von Pantelides III

• Beim Ableiten der Beschränkungsgleichung kann es geschehen, dass zusätzliche neue Variablen erzeugt werden, z.B. v dv, wobei v eine algebraische Variable ist.

• Nachdem v bereits blau war (sonst wäre es ja keine Beschränkungsgleichung), existiert eine andere Gleichung, die v ermittelt.

• Diese Gleichung muss nun ebenfalls abgeleitet werden.

• Das Ableiten zusätzlicher Gleichungen hört erst dann auf, wenn keine neuen Variablen mehr erzeugt werden.


Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel I

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

eliminierter Integrator

neu eingeführte Variabeln


Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel II

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 016: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0


Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel III

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

20: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt

22: diC = diL1 /dt + dI2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 0

uL1 = L1 · diL1 /dt neu eingeführte Variable

23: dI2 = df2(t)/dt


Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel IV

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt

22: diC = diL1 /dt + dI223: dI2 = df2(t)/dt


Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel V

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VI

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VII

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VIII

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt

22: diC = diL1 /dt + dI223: dI2 = df2(t)/dtdiL2

Wahl

Es findet sich ein algebraisch gekoppeltes System mit 7 Gleichungen in 7 Unbekannten.


Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel IX

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt



Zusammenfassung I

• Zunächst findet man einen vollständigen Satz a-kausaler Algebrodifferentialgleichungen.

• Auf diesen Satz wendet man den Färbealgorithmus von Tarjan an.

• Falls sich eine Gleichung findet, die völlig blau gefärbt ist, ist das System strukturell singulär.

• Das strukturell singuläre System wird mittels Anwendung des Algorithmus von Pantelides regulär gemacht.

• Es mag nötig sein, den Pantelides Algorithmus mehrfach anzuwenden.


Zusammenfassung II• Auf das nunmehr reguläre Algebrodifferentialgleichungs-

system wendet man wiederum den Färbealgorithmus von Tarjan an.

• Falls der Algorithmus ins Stocken kommt, hat man es mit einem algebraisch gekoppelten System zu tun. Nach der Anwendung des Pantelides Algorithmus zur Indexreduktion eines strukturell singulären Systems treten algebraische Schleifen häufig auf.

• Dieses System muss nun zunächst weiterverarbeitet werden. Das Aufschneideverfahren, welches bereits vorgestellt wurde, ist ein mögliches Verfahren, um mit solchen algebraisch gekoppelten Systemen umzugehen.


Referenzen

• Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp. 28-38.

• Pantelides, C.C. (1988), “The consistent initialization of differential-algebraic systems,” SIAM Journal Scientific Statistical Computation, 9(2), pp. 213-231.

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Anfang Präsentation 3. November, 2004 Das Entfernen struktureller Singularitäten mittels Pantelides Algorithmus Diese Vorlesung stellt ein Verfahren vor,