Anfang Präsentation Signale und Systeme II Modellierung Elektrischer Schaltkreise II Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH

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Signale und Systeme II

Modellierung Elektrischer Schaltkreise II

Prof. Dr. François E. Cellier

Institut für Computational Science

ETH Zürich

29. Juni 2006



Algorithmen zur systematischen Behandlung differentialalgebraischer

Gleichungssysteme

• Die bisher aufgezeigten Sortierverfahren sind nicht systematisch genug, um sie in einem Computerprogramm zu automatisieren.

• In dieser Vorlesung wird ein Algorithmus vorgestellt, der immer funktioniert, und der leicht automatisiert werden kann.



Übersicht

• Strukturinzidenzmatrix• Strukturdigraph• Tarjan Algorithmus• Aufbrechen algebraischer Gleichungssysteme• Strukturelle Singularitäten und der Strukturdigraph• Pantelides Algorithmus



Tarjan’s Schleifenaufbrechalgorithmus

• Es wird nun ein Verfahren vorgestellt, welches in der Lage ist, algebraische Schleifen systematisch und algorithmisch zu erkennen und zu isolieren.

• Beim Tarjan Algorithmus handelt es sich um ein graphisches Verfahren, welches dazu dient, Gleichungssysteme gleichzeitig sowohl horizontal wie vertikal zu sortieren. Der Algorithmus kann ausserdem dazu verwendet werden, algebraisch gekoppelte Gleichungssysteme minimaler Grösse zu finden.



Die Strukturinzidenzmatrix I

• Die Strukturinzidenzmatrix enthält eine Zeile für jede Gleichung des Algebrodifferentialgleichungssystems sowie eine Spalte für jede Unbekannte, die das Gleichungssystem erhält.

• Da ein vollständiges Gleichungssystem immer gleich viele Gleichungen wie Unbekannte aufweist, ist die Struktur-inzidenzmatrix quadratisch.

• Das Element <i,j> der Strukturinzidenzmatrix betrachtet die Gleichung #i sowie die Unbekannte #j. Das Element hat einen Wert von 1, falls die angezeigte Variable in der betrachteten Gleichung auftritt, sonst enthält das entsprechende Matrixfeld den Wert 0.



Die Strukturinzidenzmatrix: Ein Beispiel

1: U0 = f(t)

2: i0 = iL + iR1

3: uL = U0

4: diL/dt = uL / L1

5: v1 = U0

6: uR1 = v1 – v2

7: iR1 = uR1 / R1

8: v2 = uC

9: iC = iR1 – iR2

10: duC/dt = iC / C1

11: uR2 = uC

12: iR2 = uR2 / R2

diL

dtduC

dt

S =

010203040506070809101112

101010000000

010000000000

001100000000

000100000000

000011000000

000001100000

010000101000

000001010000

000000001100

000000000100

000000000011

000000001001

U0 i0uL v1 v2 iC

uR1 iR1 iR2uR2



Der Strukturdigraph

• Der Strukturdigraph enthält die gleiche Information wie die Strukturinzidenzmatrix. Die Information ist nur anders dargestellt.

• Der Strukturdigraph listet links die Gleichungen, rechts die Unbekannten. Eine Verbindungslinie zwischen einer Gleichung und einer Unbekannten zeigt an, dass die Unbekannte in der Gleichung vorkommt.



Der Strukturdigraph: Ein Beispiel

1: U0 = f(t)

2: i0 = iL + iR1

3: uL = U0

4: diL/dt = uL / L1

5: v1 = U0

6: uR1 = v1 – v2

7: iR1 = uR1 / R1

8: v2 = uC

9: iC = iR1 – iR2


11: uR2 = uC

12: iR2 = uR2 / R2

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

v1

uR1

iR1

v2

iC

duC/dt

uR2

iR2

Unbekannte



Der Tarjan Algorithmus• Der Tarjan Algorithmus basiert auf dem Strukturdigraphen.

• Es handelt sich um ein graphisches Verfahren, bei welchem der Digraph gefärbt wird.

Gleichungen mit nur einer schwarzen Linie, färbe man diese Linie rot und färbe man alle schwarzen Linien, die von der angezeigten Unbekannten ausgehen blau. Man nummeriere die Gleichungen neu aufsteigend und beginnend mit 1.

Unbekannten mit nur einer schwarzen Linie, färbe man diese Linie rot und färbe man alle schwarzen Linien, die von der angezeigten Gleichung ausgehen blau. Man nummeriere die Gleichung neu absteigend und beginnend mit n, der Anzahl Gleichungen.



Der Tarjan Algorithmus: Ein Beispiel I

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

v1

uR1

iR1

v2

iC

duC/dt

uR2

iR2

Unbekannte

1: U0 = f(t)

2: i0 = iL + iR1

3: uL = U0

4: diL/dt = uL / L1

5: v1 = U0

6: uR1 = v1 – v2

7: iR1 = uR1 / R1

8: v2 = uC

9: iC = iR1 – iR2


11: uR2 = uC

12: iR2 = uR2 / R2

01U0

U0

U0

02v2

v2

03

uR2uR2

12

du /dtC iC

11di /dtL uL

10i0 iR1



Der Tarjan Algorithmus: Ein Beispiel II

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

v1

uR1

iR1

v2

iC

duC/dt

uR2

iR2

Unbekannte

1: U0 = f(t)

2: i0 = iL + iR1

3: uL = U0

4: diL/dt = uL / L1

5: v1 = U0

6: uR1 = v1 – v2

7: iR1 = uR1 / R1

8: v2 = uC

9: iC = iR1 – iR2


11: uR2 = uC

12: iR2 = uR2 / R2

01U0

U0

U0

02v2

v2

03

uR2uR2

12

du /dtC iC

11di /dtL uL

10i0 iR1

04uL

05v1v1

06

iR2

R2i09

iC iR1



Der Tarjan Algorithmus: Ein Beispiel III

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12

Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

v1

uR1

iR1

v2

iC

duC/dt

uR2

iR2

Unbekannte

1: U0 = f(t)

2: i0 = iL + iR1

3: uL = U0

4: diL/dt = uL / L1

5: v1 = U0

6: uR1 = v1 – v2

7: iR1 = uR1 / R1

8: v2 = uC

9: iC = iR1 – iR2


11: uR2 = uC

12: iR2 = uR2 / R2

01U0

U0

U0

02v2

v2

03

uR2uR2

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du /dtC iC

11di /dtL uL

10i0 iR1

04uL

05v1v1

06

iR2

R2i09

iC iR1

07uR1uR1 08

iR1



Der Tarjan Algorithmus: Ein Beispiel IV

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12

Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

v1

uR1

iR1

v2

iC

duC/dt

uR2

iR2

Unbekannte

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12

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10

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06

09

0708

1: U0 = f(t)

2: v2 = uC

3: uR2 = uC

4: uL = U0

5: v1 = U0

6: iR2 = uR2 / R2

7: uR1 = v1 – v2

8: iR1 = uR1 / R1

9: iC = iR1 – iR2

10: i0 = iL + iR1

11: diL/dt = uL / L1




Die Strukturinzidenzmatrix des vollständig sortierten Gleichungssystems ist eine Matrix in der unteren Dreiecksform.

Die Strukturinzidenzmatrix II

1: U0 = f(t)

2: v2 = uC

3: uR2 = uC

4: uL = U0

5: v1 = U0

6: iR2 = uR2 / R2

7: uR1 = v1 – v2

8: iR1 = uR1 / R1

9: iC = iR1 – iR2

10: i0 = iL + iR1

11: diL/dt = uL / L1


diL

dtduC

dt

S =

010203040506070809101112

100110000000

010000100000

001001000000

000100000010

000010100000

000001001000

000000110000

000000011100

000000001001

000000000100

000000000010

000000000001

U0 i0uR2v2 v1 iCuR1 iR1iR2

uL



Algebraische Schleifen: Ein Beispiel I

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte



Algebraische Schleifen: Ein Beispiel II

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

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09



Algebraische Schleifen: Ein Beispiel III

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

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Der Algorithmus kommt ins Stocken, da es keine einzelnen schwarzen Linien zu Gleichungen oder Variablen mehr gibt.



Das Aufbrechen algebraischer Schleifen I• Die folgende Heuristik kann angewandt werden, um

geeignete Schnittvariablen zu suchen:

Im Digraphen bestimmt man diejenigen Gleichungen mit der grössten Anzahl Unbekannter.

Für jede dieser Gleichungen findet man die Unbekannten, die am häufigsten in noch unverwendeten Gleichungen vorkommen.

Für jede dieser Variablen ermittelt man, wie viele zusätzliche Gleichungen kausalisiert werden können, wenn man diese als bekannt annimmt.

Man wählt diejenige Variable als nächste Schnittvariable, die die grösste Anzahl zusätzlicher Gleichungen kausalisiert.



Das Aufbrechen algebraischer Schleifen II

• Im gegebenen Beispiel hat Gleichung #7 noch 3 Unbe-kannte. Alle anderen unverwendeten Gleichungen haben nur noch 2 Unbekannte.

• Gleichung #7 beinhaltet die Variablen i1, i2 , and i3 .

• Jede dieser Variablen kommt in einer weiteren unbenutzten Gleichung vor.

• Bereits Variable i1 erlaubt es, sämtliche Gleichungen zu kausalisieren.

• Somit wird i1 als Schnittvariable verwendet.



Algebraische Schleifen: Ein Beispiel IV

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

01

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1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2 Wahl



Algebraische Schleifen: Ein Beispiel V

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2 Wahl

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

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Algebraische Schleifen: Ein Beispiel VI

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2 Wahl

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

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Algebraische Schleifen: Ein Beispiel VII

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2 Wahl

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

01

02

03

07

0604



Algebraische Schleifen: Ein Beispiel VIII

1: U0 = f(t)

2: u1 = R1· i1

3: u2 = R2· i2

4: u3 = R3· i3

5: uL = L· diL/dt

6: i0 = i1 + iL

7: i1 = i2 + i3

8: U0 = u1 + u3

9: u3 = u2

10: uL = u1 + u2 Wahl

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

01

02

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07

0604

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Algebraische Schleifen: Ein Beispiel IX

1: U0 = f(t)

2: i1 = i2 + i3

3: u1 = R1· i1

4: u3 = U0 - u1

5: u2 = u3

6: i2 = u2 / R2

7: i3 = u3 / R3

8: uL = u1 + u2

9: i0 = i1 + iL

10: diL/dt = uL / LWahl

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Gleichungen

U0

i0

uL

diL/dt

u1

i1

u2

i2

u3

i3

Unbekannte

01

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0604

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Die Strukturinzidenzmatrix hat nun die Form einer unteren Blockdreiecksmatrix (“Block Lower Triangular form” oder BLT form).

Die Strukturinzidenzmatrix III

diL

dt

S =

01020304050607080910

1001000000

0110000010

0011000100

0001101000

0000110100

0100010000

0100001000

0000000101

0000000010

0000000001

U0 i0i2u3 i2u1i1 i3 uL1: U0 = f(t)

2: i1 = i2 + i3

3: u1 = R1· i1

4: u3 = U0 - u1

5: u2 = u3

6: i2 = u2 / R2

7: i3 = u3 / R3

8: uL = u1 + u2

9: i0 = i1 + iL

10: diL/dt = uL / LWahl

u2



Das Auflösen algebraischer Schleifen I• Der Tarjan Algorithmus identifiziert und isoliert algebraische

Schleifen.• Er formt die Strukturinzidenzmatrix um, so dass sie eine untere

Blockdreiecksform annimmt, wobei die diagonalen Blöcke so klein wie möglich gehalten werden.

• Die Schnittvariabeln werden nicht in einer echt optimalen Form ausgewählt. Dies erweist sich nicht als sinnvoll, da gezeigt wurde, dass das Problem der optimalen Wahl von Schnittvariabeln np-vollständig ist. Stattdessen werden Heuristiken angewandt, welche normalerweise zu einer sehr kleinen Anzahl von Schnittvariabeln führen, obwohl diese Zahl möglicherweise nicht minimal ist.

• Der Tarjan Algorithmus befasst sich nicht mit dem Problem, wie die resultierenden algebraischen Schleifen aufgelöst werden.



Das Auflösen algebraischer Schleifen II• Die algebraischen Schleifen können entweder analytisch oder

aber numerisch aufgelöst werden.• Falls die algebraisch gekoppelten Gleichungen nichtlinear sind,

mag eine Newton Iteration über die Schnittvariabeln optimal sein.

• Falls die algebraisch gekoppelten Gleichungen linear sind und falls der Satz ziemlich gross ist, mag eine Newton Iteration immer noch die Methode der Wahl sein.

• Falls die algebraisch gekoppelten Gleichungen linear sind und falls der Satz nicht sehr gross ist, können die Gleichungen entweder mittels Matrizenrechnung oder aber mittels expliziter symbolischer Formelmanipulation gelöst werden.



Strukturelle Singularitäten: Ein Beispiel I

I1

I2

I3

iC

iL1iL2

iR

v1

v2v3

v0

Wir stellen ein Modell unter Ver-wendung der Ströme, Spannungen und Potentiale auf. Die Maschen-gleichungen werden daher ignoriert.

Wir haben 7 Netzwerkkomponenten plus die Erde, somit 27 + 1 = 15 Gleichungen. Dazu kommen vier Knoten, die zu 3 zusätzlichen Gleichungen führen. Somit erwar-ten wir 18 Gleichungen in 18 Unbe-kannten.

Die Spannungen werden bei passiven Komponenten in die gleiche Richtung positiv normiert wie die Ströme. Bei aktiven Komponenten (Quellen) ist es umgekehrt.



Strukturelle Singularitäten:Ein Beispiel II

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt

7: iC = C · duC /dt

8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

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I1

I2

I3

uR

iR

uL1

diL1 /dt

uL2

diL2 /dt

iC

duC /dt

v0

v1

v2

v3

u1

u2

u3



Strukturelle Singularitäten:Ein Beispiel III

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

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I1

I2

I3

uR

iR

uL1

diL1 /dt

uL2

diL2 /dt

iC

duC /dt

v0

v1

v2

v3

u1

u2

u3

010203

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15

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13



Strukturelle Singularitäten:Ein Beispiel IV

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

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I1

I2

I3

uR

iR

uL1

diL1 /dt

uL2

diL2 /dt

iC

duC /dt

v0

v1

v2

v3

u1

u2

u3

010203

04

181716

15

14

13

05

Beschränkungsgleichung

Alle Verbindungen sind blau



Struktureller Singularitäten I

• Wenn eine Gleichung keine Unbekannte mehr enthält, obwohl sie noch nicht verwendet wurde, ist eine strukturelle Singularität aufgetreten.

• Wenn eine Variable in allen Gleichungen bereits bekannt ist, obwohl sie noch nicht kausalisiert wurde, ist ebenfalls eine strukturelle Singularität eingetreten.



Struktureller Singularitäten II

• Strukturelle Singularitäten deuten darauf hin, dass die scheinbaren Zustandsgrössen im Modell algebraisch gekoppelt sind, d.h. dass das System in Wirklichkeit von niederer Ordnung ist.

• Dies entspricht nicht dem Problem der Steuerbarkeit und/oder Beobachtbarkeit (parametrische Singularität); es tritt bei beliebigen Parameterwerten auf.



Das Entfernen struktureller Singularitäten mittels Pantelides Algorithmus

• Es wird nun ein Verfahren vorgestellt, welches dazu verwendet werden kann, strukturelle Singularitäten in systematischer und algorith-mischer Weise aus einem Modell zu entfernen. Das Verfahren wird Pantelides Algorithm genannt.



Der Algorithmus von Pantelides I

• Wenn eine Beschränkungsgleichung gefunden wurde, muss diese abgeleitet werden.

• Beim Algorithmus von Pantelides wird die abgeleitete Beschränkungsgleichung dem Gleichungssystem zugefügt.

• Somit hat das Gleichungssystem nun eine überzählige Gleichung.

• Um die Anzahl von Gleichungen und Unbekannten wieder auszugleichen, wird ein mit der Beschränkungsgleichung verbundener Integrator eliminiert.



Der Algorithmus von Pantelides II

dxdt

x

unbekannt bekannt, da Zustandsvariable

dxdt

x

unbekannt unbekannt

dx x

unbekannt unbekannt

Eine zusätzliche Unbekannte wurde durch die Elimination des Integrators geschaffen. x und dx sind nun algebraische Variablen, für die Gleichungen gefunden werden müssen.



Der Algorithmus von Pantelides III

• Beim Ableiten der Beschränkungsgleichung kann es geschehen, dass zusätzliche neue Variablen erzeugt werden, z.B. v dv, wobei v eine algebraische Variable ist.

• Nachdem v bereits blau war (sonst wäre es ja keine Beschränkungsgleichung), existiert eine andere Gleichung, die v ermittelt.

• Diese Gleichung muss nun ebenfalls abgeleitet werden.

• Das Ableiten zusätzlicher Gleichungen hört erst dann auf, wenn keine neuen Variablen mehr erzeugt werden.



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel I

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

eliminierter Integrator

neu eingeführte Variabeln



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel II

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2 /dt


8: v0 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 016: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel III

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

20: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt

22: diC = diL1 /dt + dI2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 0

uL1 = L1 · diL1 /dt neu eingeführte Variable

23: dI2 = df2(t)/dt



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel IV

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt

22: diC = diL1 /dt + dI223: dI2 = df2(t)/dt



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel V

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt




Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VI

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt




Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VII

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt




Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel VIII

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt

22: diC = diL1 /dt + dI223: dI2 = df2(t)/dtdiL2

Wahl

Es findet sich ein algebraisch gekoppeltes System mit 7 Gleichungen in 7 Unbekannten.



Der Pantelides Algorithmus: Ein Beispiel IX

9: u1 = v0 – v1

10: u2 = v3 – v2

11: u3 = v0 – v1

12: uR = v3 – v0

13: uL1 = v2 – v0

14: uL2 = v1 – v3

15: uC = v1 – v2

16: iC = iL1 + I2

17: iR = iL2 + I2

18: I1 + iC + iL2 + I3 = 0

19: dI1 + diC + diL2 + dI3 = 0

1: I1 = f1(t)

2: I2 = f2(t)

3: I3 = f3(t)

4: uR = R · iR

5: uL1 = L1 · diL1 /dt

6: uL2 = L2 · diL2


8: v0 = 020: dI1 = df1(t)/dt

21: dI3 = df3(t)/dt




Zusammenfassung I

• Zunächst findet man einen vollständigen Satz a-kausaler Algebrodifferentialgleichungen.

• Auf diesen Satz wendet man den Färbealgorithmus von Tarjan an.

• Falls sich eine Gleichung findet, die völlig blau gefärbt ist, ist das System strukturell singulär.

• Das strukturell singuläre System wird mittels Anwendung des Algorithmus von Pantelides regulär gemacht.

• Es mag nötig sein, den Pantelides Algorithmus mehrfach anzuwenden.



Zusammenfassung II• Auf das nunmehr reguläre Algebrodifferentialgleichungs-

system wendet man wiederum den Färbealgorithmus von Tarjan an.

• Falls der Algorithmus ins Stocken kommt, hat man es mit einem algebraisch gekoppelten System zu tun. Nach der Anwendung des Pantelides Algorithmus auf ein strukturell singuläres System treten algebraische Schleifen häufig auf.

• Dieses System muss nun zunächst weiterverarbeitet werden. Das Aufschneideverfahren, welches bereits vorgestellt wurde, ist ein mögliches Verfahren, um mit solchen algebraisch gekoppelten Systemen umzugehen.



Ausblick

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Anfang Präsentation Signale und Systeme II Modellierung Elektrischer Schaltkreise II Prof. Dr. François E. Cellier Institut für Computational Science ETH