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1 Angewandte Elektrotechnik AET Formelsammlung Gleichstromtechnik- Gleichstromschaltungen Elektrisches und Magnetisches Feld Teil 1 Michael WALSER HÖHERE T ECHNISCHE BUNDESLEHRANSTALT S AALFELDEN Höhere Ab teilung für Elektrotechnik und Informationstechnik

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1

Angewandte Elektrotechnik AET

Formelsammlung

Gleichstromtechnik- Gleichstromschaltungen Elektrisches und Magnetisches Feld

Teil 1

Michael WALSER

HÖHERE TECHNISCHE BUNDESLEHRANSTALT SAALFELDEN Höhere Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik

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Inhaltsverzeichnis

Gleichstromschaltungen........................................................................................................... 5 1 Elektrischer Stromkreis ................................................................................. 5

1.1 Der Elektrische Strom I ................................................................ 5 1.2 Die Elektrische Landung Q .......................................................... 5

1.2.1 Elementarladung (Transpositive Ladungsmenge)........................................... 5 1.3 Elektrische Energie W ................................................................. 6 1.4 Elektrisches Potential ϕ ............................................................... 6

1.4.1 Potentialdifferenz .............................................................................................. 6 1.5 Potential und Spannungsmessung................................................ 6 1.6 Elektrische Stromdichte J............................................................. 7

2 Ohmsche Gesetz............................................................................................. 7 2.1 Elektrischer Widerstand R............................................................ 7 2.2 Spezifischer Widerstand ρ ........................................................... 7 2.3 Elektrischer Leitwert G................................................................. 8 2.4 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes................................... 9

2.4.1 Ermittlung der Erwärmung aus Warm- und Kaltwiderstand ............................ 9 2.4.2 Spezifischer Widerstand ρ mit Temperaturbeiwert α und Leitfähigkeit κ bei

20°C................................................................................................................. 10 3 Schaltungen und Netzwerke – Netzwerkreduktion .................................. 11

3.1 Serienschaltung ......................................................................... 11 3.2 Parallelschaltung........................................................................ 11 3.3 Spezielle Stromteilerregel ........................................................... 12 3.4 Wirkungsgrad und Leistung ........................................................ 12 3.5 Vorwiderstand ............................................................................ 13 3.6 Fester Spannungsteiler (unbelasteter Fall) .................................. 13 3.7 Fester Spannungsteiler (belasteter Fall) ...................................... 13 3.8 Stern → Dreieck-Transformation ................................................ 14 3.9 Dreieck → Stern-Transformation................................................. 14 3.10 Arbeitsplan für Kirchhoff.............................................................. 15

4 Aktive Zweipole............................................................................................. 15 4.1 Spannungsquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols........... 15 4.2 Stromquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols................... 16 4.3 Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen ................................ 16

5 Elektrische Leistung, Arbeit –Wirkungsgrad............................................ 17 5.1 Elektrische Leistung ................................................................... 17 5.2 Elektrische Arbeit (Energie) ........................................................ 17 5.3 Wirkungsgrad............................................................................. 17

Magnetfeld 18 1 Allgemeines ................................................................................................... 18

1.1 Feldlinienbilder ........................................................................... 18 2 Magnetische Feldstärke H ........................................................................... 19

2.1 Magnetische Feldstärke im Inneren eines Leiters ........................ 19 2.2 Magnetische Feldstärke in einer Leiterschleife............................. 21 2.3 Magnetische Feldstärke im inneren einer Zylinderspule ............... 21 2.4 Magnetische Feldstärke im inneren eines Ringsolenoid ............... 22

3 Magnetische Durchflutung Θ ...................................................................... 22

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3

3.1 Magnetischer Durchflutungssatz ................................................. 23 4 Magnetischer Fluss Φ .................................................................................. 23 5 Magnetische Flussdichte B ......................................................................... 24 6 Permeabilität µ .............................................................................................. 24

6.1 Magnetische Feldkonstante ........................................................ 24 7 Induktivität L.................................................................................................. 25

7.1 Induktivität einer Spule ............................................................... 25 8 Hysterese und Magnetische Eigenschaften ............................................. 27 Elektrisches Feld – Elektrostatik............................................................................................ 29 1 Elektrostatische Kraftlinienbilder............................................................... 29 2 Elektrische Feldstärke ................................................................................. 29

2.1 Spitzenwirkung........................................................................... 29 3 Elektrischer Fluss Ψ ..................................................................................... 30 4 Verschiebungs- bzw. Flussdichte .............................................................. 30 5 Elektrische Spannung U .............................................................................. 30 6 Vergleich Magnetisches Feld – Elektrisches Feld ................................... 31 7 Permittivität ε................................................................................................. 31

7.1 Magnetische Feldkonstante ........................................................ 31 8 Elektrische Kapazität.................................................................................... 32 9 Der Kondensator als Bauelement............................................................... 32

9.1 Plattenkondensator..................................................................... 32 9.2 Wickelkondensator ..................................................................... 33 9.3 Schichtkondensator .................................................................... 33 9.4 Drehkondensator........................................................................ 33 9.5 Zylinderkondensator ................................................................... 34

10 Leiterkapazitäten........................................................................................... 34 10.1 Kapazitäten gegenüber dem Boden ............................................ 35

11 Schaltung von Kondensatoren ................................................................... 36 11.1 Parallelschaltung........................................................................ 36 11.2 Serienschaltung ......................................................................... 36

12 Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrika ........................................ 37 13 Ausgleichsverhalten von RC- Gliedern ..................................................... 37

13.1 Einschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied (const. U-Quelle)... 37 13.2 Ausschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied............................. 38

14 Coulombsches Gesetz ................................................................................. 39 14.1 Energieinhalt .............................................................................. 39 14.2 Kraftwirkung zuwischen 2 kapazitiven Flächen ........................... 39 14.3 Geschwindigkeit des Elektrons im Elektrischen Feld.................... 40

15 Energiedichte des E-Feldes ω ..................................................................... 40 Magnetische Kreise.................................................................................................................. 41 1 Magnetische Spannung ............................................................................... 41 2 Magnetische Durchflutung Θ - Durchflutungssatz................................... 41 3 Magnetischer Widerstand Rm ...................................................................... 41

3.1 Ohmsches Gesetz Magn. - Kreise Serienschaltung .................... 41 3.2 Ohmsches Gesetz Magn. – Parallelschaltung............................. 41 3.3 Magnetischer Leitwert................................................................. 42

4 Verluste bei Spulen ...................................................................................... 43 4.1 Hystereseverluste....................................................................... 43 4.2 Wirbelstromverluste.................................................................... 44

5 Kraftwirkung im Magnetischen Feld .......................................................... 44 5.1 Lorentzkraft für Bewegte Ladungen............................................. 45

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4

6 Elektromagnetische Induktion – Induktionsgesetz.................................. 45 6.1 Dynamische Induktion - Bewegungsspannung............................. 46

6.1.1 Leiterstab......................................................................................................... 46 6.1.2 Leiterschleife ................................................................................................... 46 6.1.3 Spule ............................................................................................................... 47

6.2 Transformatorspannung.............................................................. 48 6.2.1 Trafogesetz ..................................................................................................... 48

6.3 Kraftwirkung zweier Stromdurchflossener Leiter zueinander ........ 48 6.4 Tragkraft eines Elektromagneten ................................................ 49

7 Ausgleichsverhalten von R-L-Gliedern ..................................................... 49

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5

Gleichstromschaltungen

1 Elektrischer Stromkreis

1.1 Der Elektrische Strom I Die Technische Stromrichtung ist von + nach - festgelegt.

Die Ursache für den Stromfluss ist die Spannung U:

1.2 Die Elektrische Landung Q Ein Strom I bewegt über eine bestimmte Zeit t eine gewisse Ladung Q die in Coulomb (C) angegeben wird. [Q]= 1C (Coulomb) = 1As

1.2.1 Elementarladung (Transpositive Ladungsmenge)

1e = 1,602 ⋅ 10-19C 1Ce=6,2 ⋅ 1018

I

AW1

AsJ11V ] U[ ===

tQIt IQ =⇔⋅=

1A

1s 1C

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6

2

2

1

121 Q

WQW

−=−ϕϕ

1.3 Elektrische Energie W W = Elektrische Energie, Arbeit ...............1 J = 1 Nm F = Kraft .................................................1Ws= 1 VAs s = Weg [W] = J (Joule)

1.4 Elektrisches Potential ϕ

Das Potential ist die auf die Ladungsmenge bezogene Energie eines Teilchens. ϕ = Elektrisches Potential Q= Summe der Ladungsträger

1.4.1 Potentialdifferenz Die Potentialdifferenz ϕ1-ϕ2 bildet die Spannung U12

1.5 Potential und Spannungsmessung

QΔW

U pot=

sFW ⋅=

AsVAsV

QW

==ϕ

LadungEnergieSpannung =

CWsVEinheit ==

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7

1.6 Elektrische Stromdichte J

2 Ohmsche Gesetz

2.1 Elektrischer Widerstand R Der Elektrische Widerstand R ist physikalische gesehen ein Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und Strom

2.2 Spezifischer Widerstand ρ

Bezeichnet den Spannungsabfall in den Leitern:

IUR

RUI

RIU

=

=

⋅=

AV 1 1] R [ =Ω=

AIJ = 2mm

A1] J [ =

AρlR ⋅

=

l in m

A in mm2

R

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8

Der Spezifische Widerstand ρ ist eine Materialkonstante. Ein Cu-Draht von 1m Länge mit dem Querschnitt 1 mm2 besitzt einen Widerstand von 0,179 Ω.

2.3 Elektrischer Leitwert G Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes Ω-1 = S = Siemens

κR R1G 1 === − UGU

R1

RUI ⋅===

=

= 22 mm Ω

m Smm Ωmκ

mmm Ω 0,0179ρ

2

Cu =

ρπ

4dRl

2⋅= πd

l)4(R 2

⋅=

ρ

1SVA1

Ω1 1Ω ]G [ ====

mmm Ωρ

2

=

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9

2.4 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes

ϑ= Temperatur in °C α= Temperaturkoeffizient

Der Temperaturkoeffizient α beträgt für alle gängigen Materialien (Cu, Al, Ag,...) hinreichend genau 0,004 K-1.

2.4.1 Ermittlung der Erwärmung aus Warm- und Kaltwiderstand

)Δα(1RR 2020 ϑϑ ⋅+⋅=

)]20(α[1RR 2020 °−⋅+⋅= ϑϑ

R 20R θ

1 α 20 θ⋅ 20 α 20⋅−+( ) θR θ R 20− 20 R 20⋅ α 20⋅+( )

R 20 α 20⋅

∆θR θ R 20−( )R 20 α 20⋅

R w R kτ θ w+

τ θ k+R k

R wθ w τ+( )

τ θ k+( )⋅ τ1α

20−

∆θ θ w θ k−( )R wR k

1−

τ θ k+( )

θ wτ− R w⋅ R w θ k⋅− τ R k⋅+( )−

R k

θ kθ w R k⋅ τ R w⋅− τ R k⋅+( )

R w

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10

2.4.2 Spezifischer Widerstand ρ mit Temperaturbeiwert α und Leitfähigkeit κ bei 20°C

Stoff ρ20

Ω mm2 / m α20 K-1

κ20 S m / mm2

Aluminium 0,0287 3,8 ⋅ 10 -3 34,84

Blei 0,208 3,9 ⋅ 10 -3 4,81

Eisendraht 0,10 bis 0,15 4,5 ⋅ 10 -3 10 bis 6,7

Gold 0,023 3,8 ⋅ 10 -3 43,5

KONSTANTAN 0,50 - 3,0 ⋅ 10 -4 2

Kupfer 0,0175 3,9 ⋅ 10 -3 57,14

Magnesium 0,043 4,1 ⋅ 10 -3 23,26

Manganin 0,43 4,0 ⋅ 10 -6 2,33

Messing (CuZn40) ≤ 0,067 2,0 ⋅ 10 -3 ≥ 15

Nickelin 0,43 2,3 ⋅ 10 -4 2,33

Ni Cr 80 20 4,00 2,5 ⋅ 10 -4 1,0

Quecksilber 0,941 9,2 ⋅ 10 -4 1,06

Silber 0,016 3,8 ⋅ 10 -3 62,5

Zink 0,06 4,2 ⋅ 10 -3 16,7

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11

I

I1

I 2

3 Schaltungen und Netzwerke – Netzwerkreduktion

3.1 Serienschaltung

Bei einer Serienschaltung von Widerständen, wir der Serienwiderstand vom Größten Teilwiderstand bestimmt. (Bsp.: 1Ω und 1MΩ à 11,99999988V und 0,00001198V)

3.2 Parallelschaltung

In einer PARALLELSCHALTUNG liegt an jedem Widerstand die selbe Spannung an, die Teilströme addieren sich zum Gesamtstrom.

21s RRR +=

21 III +=

...G:GG...R1

R1

R1

32p21p

+==++=

1

s

1

0

RR

UU

= sR

UI =

I1 I 2 I3

I

gp I

UR = 1

1 RUI =

22 R

UI =

g

1q1 R

RUU =

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12

Die Teilströme verhalten sich indirekt proportional der Widerstände

Die Teilströme verhalten sich wie die Leitwerte

3.3 Spezielle Stromteilerregel

Es Gilt: 21

21p RR

RRR+⋅

= (max. 2R)

3.4 Wirkungsgrad und Leistung

Allgemein Gilt:

Ra…Lastwiderstand

21

21 RR

RII+

⋅= 21

12 RR

RII+

⋅=

IUP ⋅=

R

2UP = RIP 2 ⋅=

1η 0PPηNutz

zu

≤≤

=

va

a

a

a

Gesammt

rVerbrauche

RRR

η

)(RIRI

PP

η

+=

+⋅⋅

==vR

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13

R vR a

U vU a

3.5 Vorwiderstand

3.6 Fester Spannungsteiler (unbelasteter Fall)

3.7 Fester Spannungsteiler (belasteter Fall)

Ein Spannungsteiler kann näherungsweise als unbelastet angesehen werden, wenn der Querstrom durch den Lastwiderstand mindestens 10-mal größer ist als der Ausgangsstrom Ia .

21

2a

RRR

UU

+=

21

2a RR

RUU+

⋅=

a2

a2x RR

RRIU+⋅

⋅=

gg

ax

IUIUη

+⋅

=

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14

3.8 Stern → Dreieck-Transformation

Jeder Sternwiderstand ist gleich dem Produkt der beiden Anliegenden Dreieckswiderstände, Dividiert durch die Summe der Dreieckswiderstände.

3.9 Dreieck → Stern-Transformation

R 12R 1 R 2⋅ R 2 R 3⋅+ R 3 R 1⋅+

R 3R 23

R 1 R 2⋅ R 2 R 3⋅+ R 3 R 1⋅+

R 1

R 13R 1 R 2⋅ R 2 R 3⋅+ R 3 R 1⋅+

R 2

R1R12 R13⋅

R12 R23+ R13+R 2

R 12 R 23⋅

R 12 R 23+ R 13+

R 2R 23 R 13⋅

R 12 R 23+ R 13+

Jeder Dreieckswiderstand ist gleich der Summe der Produkte von je zwei Sternwiderständen dividiert durch den gegenüberliegenden Sternwiderstand

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15

3.10 Arbeitsplan für Kirchhoff

å Uq- Pfeile von + nach - einzeichnen ç I-Pfeile einzeichnen (Willkürlich) é UR –Pfeile einzeinchen (Parallel zum jeweiligen I- Pfeil) è Knotengleichungen Ansetzten (Σ I = 0) ê Maschengleichungen Ansetzen (Σ U = 0) ë Für alle UR, I ⋅ Rx einsetzen í Zahl der Gleichungen Kontrollieren ( nx → n Unbekannte) ì Gleichungssystem auflösen und berechnen

4 Aktive Zweipole

4.1 Spannungsquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols

Im unbelasteten Fall ergibt sich die Klemmenspannug:

I

iqKL RIUU ⋅−=

ai

aqaaKL RR

RUURIU

+

⋅==⋅=

ai

q

RRU

I+

=

i

qk R

UI =

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16

4.2 Stromquellenersatzschaltbild eines Aktiven Zweipols

4.3 Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen Wenn einwandfrei sichergestellt ist, dass ein Widerstand ausschließlich Parallel zu einer Spannungsquelle liegt, ist jener Widerstand ohne Bedeutung.

Wenn einwandfrei sichergestellt ist, dass ein Widerstand in Serie zu einer Stromquelle geschaltet ist, so ist dieser Widerstand ohne Bedeutung

)||( aiKKL RRIU =

I

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17

5 Elektrische Leistung, Arbeit –Wirkungsgrad

5.1 Elektrische Leistung

5.2 Elektrische Arbeit (Energie) 1 kWh = 1.000 Wh = 3.600.000 Ws (1h = 3600s) 1 kWh = 3,6 . 106 J (Joule)

5.3 Wirkungsgrad

RURIIUP

22 =⋅=⋅=

tRUtRItPtIUW

22

el ⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=

Pzu Pnutz

Maschine

zu

nutz

PP

=η % 100η % 0

1η0≤≤

≤≤

Pzu Pnutz

Maschine 1

P1 P2

Maschine 2 Maschine 3

321ges ηηηη ⋅⋅=

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18

Magnetfeld

1 Allgemeines

Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt in dem ihn Umgebenden Raum ein Magnetfeld. Die Richtung der Feldlinien können nach dem Prinzip der Rechtsschraube ermittelt werden...

1.1 Feldlinienbilder Die Feldlinien bewegen sich vom Nord- zum Südpol.

S N

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19

2 Magnetische Feldstärke H

Einheit: = 1 Henry

2.1 Magnetische Feldstärke im Inneren eines Leiters Unter der Annahme, dass die Stromdichte überall im Leiter konstant ist (

π⋅== 2

ar

IAIJ ), gilt die folgende Formel (Linear):

arr für πr2

IlIH ≥

⋅⋅==

H............. magn. Feldstärke I .............. Strom durch den Leiter in A L ............. Länge der Feldlinie in m ra ............. Radius des Leiters in Meter r .............. abstand von der Leitermitte in m

mAH 1=

aa

rr für rr2

IlIH ≤⋅

⋅⋅== 2π

H..............magn. Feldstärke I ...............Strom durch den Leiter in A ra..............Radius des Leiters in Meter r ...............abstand von der Leitermitte in m

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20

Magnetische Feldstärke im Inneren eines Koaxialleiters

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21

2.2 Magnetische Feldstärke in einer Leiterschleife

2.3 Magnetische Feldstärke im inneren einer Zylinderspule

rI

dIH

⋅==

2

H .............magn. Feldstärke im Mittelpunkt Gilt nur, wenn r >> ra

lNIH ⋅

= N............. Windungszahl l............... Länge der Spule Gilt nur, wenn l > 10d

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22

2.4 Magnetische Feldstärke im inneren eines Ringsolenoid

3 Magnetische Durchflutung Θ

π⋅⋅

=⋅

=d

NIlNIH

IN ⋅=Θ

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23

3.1 Magnetischer Durchflutungssatz

4 Magnetischer Fluss Φ

Der Magnetische Fluss beschreibt die Zahl der Feldlinien. Einheit: 1 Wb (Weber) oder

lHIN ⋅=⋅=Θ ∑ ⋅=Θi

ii lH

~Ut

U ind ⇒∆∆Φ

=

ΔtUΦ i ⋅=

sV

ABΦ ⋅=A

lIN

⋅⋅

⋅= µΦ

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24

5 Magnetische Flussdichte B

Die Magnetische Flussdichte ist die Zahl der Feldlinien pro m² Einheit 1 Tesla (Vsm-2) H → B über Tabelle

6 Permeabilität µ

Einheit

6.1 Magnetische Feldkonstante

AB Φ

= 21mVsB =

HB ⋅= µHB

AmVs

mHenry

==µ

AmVs7

0 104 −⋅⋅= πµ

rµµµ ⋅= 0

µr ............relative Permeabilität µ0............Permeabilität des Vakuums (H/m) µ .............Permeablilität des Materials (H/m)

0µµ

µ =r

lINB ⋅⋅

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25

7 Induktivität L

7.1 Induktivität einer Spule Für eine Spule mit N windungen gilt: Anstatt von Φ gleich NΦ!

IL ⋅=ψ

Al

INNΦNψ ⋅⋅

⋅⋅=⋅= µ

Il

ANψ ⋅⋅

⋅=µ2

Ψ .............Gesamtfluss durch Leiteranordnung

Il

ANL ⋅⋅

⋅=µ2

IL Φ

= (H)Henry 1AVs1

[I]][L ==

Φ=

Al

Nl

NI

L V

=Φ⋅

=

µ

2

INL Φ⋅

=

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26

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27

8 Hysterese und Magnetische Eigenschaften

H in A/m

Dynamo- grauguss

B in T

Dynamoblech I

B in T

Dynamoblech II

B in T

Dynamoblech IV

B in T

SiFe Blech konvent

B in T

SiFe Blech modern

B in T

50 0,0045 0,0800 0,0800 0,1400 1,0000 1,6600

100 0,0100 0,2600 0,2500 0,3000 1,3800 1,7900

150 0,0150 0,4000 0,3800 0,4300 1,5000 1,8300

200 0,0220 0,5500 0,6200 0,5400 1,5600 1,8500

250 0,0300 0,6800 0,6150 0,6300 1,6100 1,8600

300 0,0400 0,7800 0,7000 0,7100 1,6600 1,8800

400 0,0620 0,9700 0,8660 0,8500 1,7180 1,9000

500 0,0880 1,1200 1,0000 0,9700 1,7600 1,9100

600 0,1080 1,2300 1,1050 1,0700 1,8000 1,9200

700 0,1380 1,3060 1,2000 1,1500 1,8300 1,9250

800 0,1730 1,3560 1,2660 1,2250 1,8650 1,9300

900 0,2110 1,3960 1,3260 1,2750 1,8760 1,9350

1000 0,2860 1,4300 1,3600 1,3200 1,8920 1,9400

1100 0,3000 1,4600 1,3900 1,3450 1,9030 1,9425

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28

H in A/m

Dynamo- grauguss

B in T

Dynamoblech I

B in T

Dynamoblech II

B in T

Dynamoblech IV

B in T

SiFe Blech konvent

B in T

SiFe Blech modern

B in T

1200 0,3400 1,4850 1,4030 1,3660 1,9130 1,9450

1300 0,3800 1,5020 1,4160 1,3850 1,9220 1,9475

1400 0,4160 1,5150 1,4260 1,3920 1,9310 1,9500

1500 0,4500 1,5250 1,4390 1,4000 1,9390 1,9525

2000 0,5800 1,5700 1,4820 1,4400 1,9700 1,9650

2500 0,6500 1,6100 1,5150 1,4650 1,9950 1,9665

3000 0,6780 1,6450 1,5480 1,4800 2,0150 1,9800

3500 0,7040 1,6720 1,5720 1,4950 2,0330 1,9815

4000 0,7280 1,6870 1,5900 1,5100 2,0480 1,9850

4500 0,7500 1,7000 1,6070 1,5250 2,0620 1,9865

5000 0,7700 1,7120 1,6230 1,5400 2,0760 1,9900

6000 0,8140 1,7420 1,6490 1,5650 2,0950 1,9915

7000 0,8540 1,7710 1,6750 1,5860 2,1130 2,0100

8000 0,8920 1,7800 1,7000 1,6040 2,1280 2,0300

9000 0,9280 1,8080 1,7240 1,6230 2,1420 2,0500

10000 0,9800 1,8360 1,7460 1,6420 2,1640 2,0700

11000 0,9880 1,8570 1,7660 1,6600 2,1650

12000 1,0100 1,8780 1,7860 1,6780 2,1750

13000 1,0300 1,8940 1,8030 1,6960 2,1850

14000 1,0460 1,9090 1,8200 1,7130 2,1940

15000 1,0600 1,9230 1,8360 1,7300 2,2120

20000 1,1250 1,9830 1,8980 1,7960 2,2300

25000 1,1700 2,0330 1,9600 1,8600 2,2520

30000 1,2100 2,0740 1,9950 1,8850 2,2720

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29

Elektrisches Feld – Elektrostatik

1 Elektrostatische Kraftlinienbilder

2 Elektrische Feldstärke

2.1 Spitzenwirkung Je gekrümmter die Oberfläche desto größer die Ladungsdichte

E ............elektrische Feldstärke F.............Kraft auf Probeladung Qp...........Probeladung (immer Positiv)

pQFE→

=

mV

AsmVAs

mAsJ

CNE 1111][ ==

⋅==

pQFE→

= 1212 sFW ⋅= 12sEU ⋅=

κϕ

1=

εε ⋅==

AQDE

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30

3 Elektrischer Fluss Ψ

Einheit: 1As = 1C

4 Verschiebungs- bzw. Flussdichte

Einheit: 1 As/m²

5 Elektrische Spannung U

Das Potentioal ist unabhängig! Ein bestimmter Punkt bestitzt ein bestimmtes Potential!

Q~Ψ definitionper QΨ=

AD Ψ

= ED ⋅=ε ε .......... permittivität

AQD =

sEU ∆⋅= l E U1

2

rrd∫=

AlQU⋅

⋅=ε

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31

6 Vergleich Magnetisches Feld – Elektrisches Feld

Φ Vs Ψ As

Β 2mVs

D 2mAs

H mA

E mV

µ A

VsmH 1= ε

VAs

mF 1=

7 Permittivität ε

Einheit

7.1 Magnetische Feldkonstante

ED ⋅= ε ED

VmVs

mF

==ε

AmVs12

0 108542,8 −⋅=ε

rεεε ⋅= 0

ε r ..........relative Permittivität ε 0 .........Permittivität des Vakuums (F/m) ε ...........Permittivität des Materials (F/m)

0εε

ε =r

Maxwell- Beziehung:

c=⋅ 00

1µε

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32

8 Elektrische Kapazität

Einheit: 1 Farrad

9 Der Kondensator als Bauelement

9.1 Plattenkondensator

UQC = F

VAs

UQC 1

][][][ ===

dA

dAC r ⋅⋅=

⋅= εε

ε0

dA

UQC ⋅

==ε

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33

9.2 Wickelkondensator

9.3 Schichtkondensator

9.4 Drehkondensator

dAC ⋅

⋅=ε2

dAnC ⋅

⋅=ε

n .............Anzahl der Dielektrikumsschichten

360)(

1802222

22 πα

αππ⋅⋅−=⋅

⋅−

⋅= rRrRA

drRn

dAnC επ

αε

⋅⋅⋅−⋅=⋅

⋅=360

)( 22

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34

9.5 Zylinderkondensator

10 Leiterkapazitäten

⋅⋅⋅=

rRlC

ln

2 επ

=

rRx

UEln

x .............Abstand des Punktes x von der Zylinderachse in m Ex ............Feldstärke im Punkt x in V/m

+

⋅⋅=

122

ln2

ra

ra

lC επ

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35

Ist der Leiterabstand a gegenüber dem Radius sehr groß (Wie zum Baispiel bei Freileitungen gegeneinander, ergibt sich folgende Nähehrung:

10.1 Kapazitäten gegenüber dem Boden

⋅⋅=

ra

lCln

επ

⋅⋅⋅=

rh

lC2ln

2 επ

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36

11 Schaltung von Kondensatoren

11.1 Parallelschaltung

11.2 Serienschaltung

pQQQ =+ 21

pCCC =+ 21

2121 :: CCQQ =

UQQC p

21 +=

2

1

2

1

CC

QQ

=

sUUUU ==+ 21 sQQQ == 21

21

111CCCs

+=

1

11 C

QU = 1

2

2

1

CC

UU

=2

22 C

QU =

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37

12 Kondensatoren mit verschiedenen Dielektrika

Der Werkstoff mit dem kleineren εr wird also stärker beansprucht.

13 Ausgleichsverhalten von RC- Gliedern

13.1 Einschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied (const. U-Quelle) Einschaltvorgang àLADEN des Kondensators

DDDQQQ ==→== 2121

2

2

2

12211

r

r

EEEE

ε

εεε =⇒⋅=⋅

222

111

EDED⋅=⋅=

εε

222

111

AEUAEU

⋅=⋅= gUdEdE =⋅+⋅ 2211

AQDE

rr ⋅⋅=

⋅=

001

11εεεε A

QDErr ⋅⋅

=⋅

=00

222

εεεε

AQD =

CRt

eIti ⋅−

⋅= 0)(

sVAs

AVCR →⋅=⋅=τ

0→∞→

it

t i(t) in % 0τ 5 (=I0) 100 1τ 1,839 37 2τ 0,677 14 3τ 0,249 5,0 4τ 0,092 1,8 4,6τ 0,05 1,0 5τ 0,034 0,7 6τ 0,012 0,2

000 e

RU

i ⋅=

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38

13.2 Ausschaltvorgang bei DC an einem RC- Glied

RtieUtu RCt

r ⋅=⋅=−

)()( 0 0uuu Cr ==

t i(t) in % 0τ 0 0 1τ 0,63 63 2τ 0,86 86 3τ 0,95 95 4,6τ 0,99 99

RCt

eIti−

⋅0:)( RCt

R eutu−

⋅:)(

RCt

C eUtu−

⋅= 0)(0=+ cr uu

)1( CRt

RC eUUUu ⋅−

−⋅=−=

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39

14 Coulombsches Gesetz

Kraft F zuwischen zwei Punktförmigen Ladungen:

14.1 Energieinhalt

14.2 Kraftwirkung zuwischen 2 kapazitiven Flächen

ε0…nur beim Luftkondensator

221

41

aQQFC

⋅⋅

⋅⋅=

επ

2111

4 aQ

AQDE

⋅⋅⋅=

⋅==

επεε

ε⋅⋅⇒

∆∆

=A

QdWF

2

2

CQCUW22

220 == d

AQW ∆⋅

⋅⋅=∆

ε2

2

d in m!

πε ⋅⋅⋅⋅

=⋅= 221

21 4 aQQQEF

sUE 0=

0U

sEesF ⋅⋅=⋅ − EeF ⋅= −

ACUF

r ⋅⋅⋅=

)(2)(

0

2

εε

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40

14.3 Geschwindigkeit des Elektrons im Elektrischen Feld Nach dem Energiesatz

15 Energiedichte des E-Feldes ω

Vgl.: Magnetfeld:

+ + + + + +

- - - - -

2

20CUW =

22

2 EDE ⋅=

⋅=

εω

22

2 HB ⋅=

⋅=

µω

)(2 1

12

0

ssssUAW+

=⋅⋅=∆ ε

sav ⋅⋅= 2

mFaamF =⇔⋅=

2

2vmUe ⋅=⋅

Ume

mUev ⋅

⋅=

⋅⋅=

−− 22

2

2vmsFW ⋅=⋅= s

mFv ⋅⋅= 2

][0 eVUeW ⇒⋅= −

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41

Magnetische Kreise

1 Magnetische Spannung

2 Magnetische Durchflutung Θ - Durchflutungssatz

3 Magnetischer Widerstand Rm

3.1 Ohmsches Gesetz Magn. - Kreise Serienschaltung

3.2 Ohmsches Gesetz Magn. – Parallelschaltung

lHUm ⋅=

NIlH ⋅=⋅=Θ ∑ ∑=Θ mU

AlRm ⋅

=µ Φ

Θ=mR

Al⋅

⋅Φ=Θµ mR⋅Φ=Θ

µµlB

lB ⋅

=Θ⇒Θ

=

∑∑∑⋅

Θ=

Θ==Φ

AlRR

Umm

m

µ

∑ ∑ ⋅⋅Θ=Λ⋅Θ=Φ

lAµ

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42

3.3 Magnetischer Leitwert

l

ARm

⋅==Λ

µ1

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43

4 Verluste bei Spulen

Wärmeverluste im Kupfer:

4.1 Hystereseverluste

AlRCu

⋅=

ρ CuCu RIP ⋅= 2

fPH ~

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44

4.2 Wirbelstromverluste

5 Kraftwirkung im Magnetischen Feld

Betragsgleichung: l beschreibt die Länge des Leiters im Magnetfeld

fcfcPPPP

Fe

WHFe

21 +=+=

)B I(lFrr

×/⋅=→

]),[sin( BIBIlF ∠⋅⋅⋅=

BFIF ⊥⊥ ;

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45

5.1 Lorentzkraft für Bewegte Ladungen

Bei einem Magnetfeld entsteht durch die Lortentzkraft eine Kreisbahn. Bei einem E-Feld entsteht durch die Lortentzkraft eine Parabelbahn.

6 Elektromagnetische Induktion – Induktionsgesetz

)( BvQF ×⋅=

BFvF ⊥⊥ ;

indUvlBlEU =⋅⋅=⋅=

Das Minus beschreibt die Polarität der Induktionsspannung

BvE ind ×=

tU ind ∆

∆Φ−=

dlElEU indind ∫=⋅= dtddlE Φ

−=∫

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46

6.1 Dynamische Induktion - Bewegungsspannung

6.1.1 Leiterstab

6.1.2 Leiterschleife

[ ])cos(0 tABdtd

dtdU ind ⋅⋅⋅−=

Φ= ω

)sin(ˆ

0 tABUU

ind ⋅⋅⋅⋅= ωω43421

)sin(ˆ)( tUtu ⋅⋅= ω ω⋅⋅⋅= BANU 0ˆ

),sin( vBvlBU ∠⋅⋅⋅=

)sin(α⋅⋅⋅=⋅⋅= ⊥ vlBvlBU ind

)90cos()sin(

α

α

−⋅=

⋅=

vvvv

)sin(22 tvlBvlBU ind ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ⊥ ω

)sin()2( trlBU ind ⋅⋅⋅⋅⋅= ωω

)sin( tABU ind ⋅⋅⋅⋅= ωω

)sin()cos( 00. tAAAproj ⋅⋅=⋅= ωα .projAB ⋅=Φ .projAB ⋅=Φ

ω⋅⋅⋅⋅= BlrNUA0

2ˆ )sin(ˆ)( tUtu ⋅⋅= ω

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47

6.1.3 Spule ACHTUNG: SI-Einheiten beachten!

ω⋅= rv ω..............Winkelgeschwindigkeit v ..............Bahngeschwindigkeit

1][ −== ss

radω

Tf π

πω22 =⋅⋅=

rfv ⋅⋅= π2 rv ⋅= ω

vlBNU ⋅⋅⋅=ˆ )sin(α⋅⋅⋅⋅= vlBNU ind

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

tA

TBlrNu360

sin2)(0

αωωα

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

321t

A fBlrNu

360sin2)(

0

αωωα

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48

6.2 Transformatorspannung Primärseitig Sekundärseitig

6.2.1 Trafogesetz

6.3 Kraftwirkung zweier Stromdurchflossener Leiter zueinander

)sin(ˆˆ

tNUU

ind ⋅⋅⋅Φ⋅= ωω43421 )sin(ˆ

tABNUU

ind ⋅⋅⋅⋅⋅= ωω43421

ω⋅⋅⋅= ABNU ˆˆ11

ω⋅⋅⋅= ABNU ˆˆ22

eff

eff

UU

U

U

NN

UU

2

1

2

1

2

1

2

1

2

ˆ2

ˆ

ˆˆ

===

2

1

2

1

NN

UU

=2

1

1

2

2

1 ~NN

II

UU

=

22ˆ fABNU eff

⋅⋅⋅⋅⋅=

π

πµ

⋅⋅⋅

⋅⋅=a

IIlF2

210

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49

6.4 Tragkraft eines Elektromagneten

7 Ausgleichsverhalten von R-L-Gliedern

0

2

2 µ⋅⋅

=BAF

0UUU LR =+

)1()( 0τt

eIti−

−⋅=

τt

L eItU−

⋅= 0)(

)1()( 0τt

eUtu−

−⋅=

RUI 0

0 = RLs =][τ