Anhang A

Optimale Zeilenaggregationsgewichte der LP Aggregation

In Unterabschnitt 2.4.1 erwiihnen wir, dass die Schattenpreise der Nebenbedingungen die

optimalen Gewichte fUr eine Zeilenaggregation im Rahmen der LP Aggregation reprii­

sentieren, so dass der aggregierte optimale Zielfunktionswert dem optimalen detaillierten

Zielfunktionswert entspricht, d.h. zj* = C'X' = C(g')' X' = ZF'. Der Stern kennzeichnet

dabei die Optimallosung. Eine Begriindung fUr die Verwendung dieser Schattenpreise soll

im Folgenden gegeben werden.

Es wird o.B.d.A. angenommen, dass alle Nebenbedingungen zu einer einzelnen Nebenbe­

dingung zusammenzufassen sind. Ausgangspunkt ist dabei folgendes lineare Programm,

wobei aij die Elemente der Koeffizientenmatrix mit i = 1, ... , n und j = 1, ... , m, Cj die

Zielfunktionskoeffizienten und bi die Elemente der rechten Seite beschreibt.

zj* = I: Cj Xj -+ max j

I: a;jxj ::; bi Vi j

Xj ~O Vj

Eine Zeilenaggregation im primalen linearen Programm entspricht einer Spaltenaggrega­

tion im dualen Programm. Das dazugehorige duale lineare Programm lautet

zj* = I:bi Ui -+min i

I:aijUi ~ Cj Vj

Ui ~O Vi.

160 Anhang A. Optimale Zeilenaggregationsgewichte

Nun sind diejenigen Zeilenaggregationsgewichte Zi gesucht, bei denen im Optimum die ag­

gregierten und detaillierten Zielfunktionswerte ubereinstimmen. Aufgrund der Annahme

der Aggregation aller Zeilen zu einer aggregierten, enthiilt das aggregierte lineare Modell

nur noch eine duale aggregierte Variable U. Die Spaltenaggregationsmatrix s besitzt die

Struktur s = (Zl, ... , zn). Die aggregierte Koeffizientenmatrix ergibt sich durch Matrizen­

multiplikation zu

und die aggregierten Zielfunktionskoeffizienten zu C(s) = 2:i Zibi . Das aggregierte duale

lineare Programm besitzt folgende Gestalt:

ZF*= (2:zibi )U -> min i

(2: Ziaij)U ? Cj \:Ij

U ?O

Es stellt sich nun die Frage, wie die Gewichte Zi gewiihlt werden mussen, so dass der

optimale Zielfunktionswert des detaillierten linearen Programms mit dem optimalen Ziel­

funktionswert des aggregierten linearen Programms ubereinstimmt.

Von den m aggregierten Nebenbedingungen wird mindestens eine duale Nebenbedingung

k - unabhiingig von der Wahl von z; - bindend sein, d.h. einen Schlupf von 0 aufweisen

und somit 2:i aikzi = Ck ergeben. Unter dieser Annahme liisst sich U* durch

C' U* = max--J - = 1

j LaijZ:

bestimmen. Sollte ein positiver Schlupf OJ > 0 in einer dualen Nebenbedingung j auftreten,

gilt stets L:: ( Cj *)+ < 1. j UtJZ t OJ

Die optimalen Gewichte fUr die Zeilenaggregation folgen nun aus

ZF* = (L,zibi)U* = (L,z;bi)mF 2:~jz: = L,zibi = L,uibi = L,Cjxj = zf*. 'l '/. j 1 t J

161

Dadurch wird ersichtlich, dass eine am optimalen Zielfunktionswert orientierte Aggrega­

tion als optimale Aggregationsgewichte z; die Schattenpreise der detaillierten Nebenbe­

dingungen ui verwendet.

Entsprechend liisst sich ebenfalls eine Aussage bezuglich der optimalen Spaltenaggregati­

onsgewichte ableiten, die auf den optimalen Werten der detaillierten Variablen beruhen. 1

1 Vgl. Unterabschnitt 2.4.1.

Anhang B

Konzept der verteilten Entscheidungsfindung

Die verteilte Entscheidungsfindung nach SCHNEEWEISS bildet einen allgemeinen Rahmen

zur Beschreibung von verteilten Planungssituationen, Aushandlungen sowie Fiihrungs­

hierarchien1 Den Ausgangspunkt des Konzepts bilden gemiW Abbildung B.1 eine iiber­

geordnete Top- und eine untergeordnete Basis-Ebene. Beide Ebenen werden durch ein

Modell beschrieben, das aus einem Kriterium G, einem Entscheidungsfeld A sowie einem

Informationsstand I besteht.

Bereits zum Zeitpunkt der Planung beriicksichtigt die Top-Ebene die Auswirkungen ihrer

Entscheidung auf die Basis-Ebene, indem sie die moglichen Reaktionen der Basis-Ebene

antizipiert und in ihre Planung einfiieBen liisst. Das Kriterium des Top-Modells GT liisst

sich in das Privatkriterium GTT und in das Top-Down-Kriterium GTB einteilen. 1m Top­

Down-Kriterium werden die antizipierten Basis-Entscheidungen (um-) bewertet, und es

repriisentiert die Bestandteile des Top-Kriteriums, die von der antizipierten Basis-Ebene

abhangen. Die Top-Ebene benutzt ein hypothetisches antizipiertes Basis-Modell, an dem

sie ihre Entscheidung in Form einer Instruktion IN weiter gibt. Sie kann sowohl die tat­

sachliche als auch die antizipierte Basis-Ebene durch das Basis-Kriterium 6fN' das Basis­

Entscheidungsfeld A7N und den Basis-lnformationsstand ifN beeinflussen. Unter Vorgabe

der Instruktion IN optimiert die antizipierte Basis-Ebene ihre Zielfunktion 6B und er­

mittelt auf diese Weise die optimale Entscheidung aB'. Diese Berechnung der optimalen

antizipierten Entscheidung wird formal durch die Antizipationsfunktion AF(IN) beschrie-

lWir stellen im Folgenden den Teil des Konzepts Yor, der fur die yorliegende Arbeit yon Bedeutung ist. Eine umfassendere Darstellung findet sich in SCHNEEWEISS (2003), S. 25 If.

164 Anhang B. Konzept der verteilten Entscheidungsfindung

Top-Ebene

I MI'(CT, AT, ITo) I 1 IN(aT) i AF(IN)

l MB(CB,AB,iB) J

1 IN' = IN(aT')

MB(CB,AB,Ie)

Abb. B.1: Konzept der verteilten Entscheidungsfindung

ben. Grundsatzlich lassen sich zwei Arten der Antizipation unterscheiden. Wahrend die

Top-Ebene bei einer reaktiven Antizipation die Reaktion der antizipierten Basis-Ebene in

ihrer Entscheidung berticksichtigt, beachtet sie bei einer nicht-reaktiven oder pauschalen

Antizipation nur allgemeine Eigenschaften der Basis-Ebene. Eine Antizipationsfunktion

ist somit bei einer nicht-reaktiven Antizipation nicht vorhanden.

Zum Zeitpunkt to kann die Top-Ebene u.U. nur unzureichend tiber die Basis-Ebene in­

formiert sein. So konnen Parameter der Basis-Ebene zum Zeitpunkt to nur stochastisch

vorliegen. Die Top-Ebene hat nun unter Beachtung der verschiedenen Realisierungen der

Zufallsvariablen und der Instruktion die antizipierte Basis-Ebene zu losen. In diesem Fall

befinden sich im Informationsstand der Top-Ebene ITo die Wahrscheinlichkeitsverteilungen

der Zufallsvariablen der Basis-Ebene.

Formal lasst sich das Konzept der hierarchischen Planung durch die Aufstellung der

sogenannten Kopplungsgleichungen beschreiben:

aT' arg oPtaTEA~FE{CT[CTT(aT, CTB(AF(I N(aT))))ll Ii,) (B.l)

IN IN(aT) (B.2)

AF(IN) aBo = arg optaBEAB E{ CfN(aB) I ifN} IN (B.3)

a B' arg optaBEA7N' E{ CfN' (aB)lIfN',tJ (B.4)

165

Die Top-Gleichung (B.1) ermittelt zum Zeitpunkt to die optimale Entscheidung aT' un­

ter Beachtung des Top-Kriteriums CT und Top-Entscheidungsfeldes AT. AnschlieBend

wird die optimale Entscheidung als Instruktion (B.2) an die antizipierte Basis-Ebene wei­

tergegeben. Die Gl. (B.3) beschreibt die Antizipation der optimalen Basis-Entscheidung

aB'. Zum Zeitpunkt tl berechnet die tatsachliche Basis-Ebene (B.4) unter Beachtung der

optimalen Instruktion I N* die optimale Basis-Entscheidung aB '.

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AUS DER REIHE Gabler Edition Wissenschaft

nProduktion und Logistik"

Herausgeber: Prof. Dr. W. Domschke, Prof. Dr. A. Drexl, Prof. Dr. B. Fleischmann,

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