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Anhang A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung Testauswahl für Mittelwertvergleiche Das Schema I bietet die Möglichkeit einer Auswahl von Testverfahren zu der Fra- gestellung, ob eine Stichprobe von der angenommenen theoretischen Verteilung ab- weicht bzw. ob zwei oder mehr Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stam- men. Dabei beschränken wir uns im Wesentlichen auf die im Buch vorgestell- ten Verfahren. Ausgehend vom Ein-, Zwei- oder Mehrstichprobenfall werden an- hand der Art der Datenstruktur (unabhängig oder verbunden), des Skalierungsnive- aus (ordinal- oder metrisch 1 skaliert) sowie der notwendigen Verteilungsannahmen (normalverteilt, nicht normalverteilt bzw. gleiche Verteilungsform) die Testmetho- den klassifiziert und ein adäquater Test vorgeschlagen. Zusätzlich wird die Möglich- keit einer Datentransformation berücksichtigt, mit deren Hilfe die Voraussetzungen des Tests erzielt werden können. Die letzte Spalte verweist auf die entsprechenden Paragraphen des Buches. Ergänzend wurden der z-Test für große Stichprobenumfänge, der Welch-Test im Falle von inhomogenen Varianzen beim Zwei-Stichproben-t -Test (Fisher-Behrens- Problem), der Vorzeichentest und die Varianzanalyse für Messwiederholungen (re- peated measurements) in das Auswahlschema aufgenommen. Statt des Vorzeichen- tests für verbundene Stichproben mit ordinalskalierten Daten wird zwar häufig der Wilcoxon-Test für Paardifferenzen benutzt, er verlangt aber mindestens intervalls- kalierte Merkmale. Bemerkung 1 Zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme haben wir im Buch mehrere Verfahren vorgeschlagen, ohne sie näher auszuführen (§14). In der Regel werden für eine sinnvolle Anwendung dieser Methoden hohe Stichprobe- numfänge benötigt, die aber in vielen Experimenten nicht vorliegen. Dies gilt insbe- sondere bei mehrfaktoriellen Versuchen, die varianzanalytisch ausgewertet werden. Man kann dann in solchen Fällen auf die Überprüfung der Daten verzichten. Als Begründung dafür hilft die Eigenschaft der Varianzanalyse, dass sie robust (unemp- findlich) hinsichtlich einer Abweichung von der Normalverteilung ist. 1 mindestens intervallskaliert. W. Köhler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik, Springer-Lehrbuch, 295 DOI 10.1007/978-3-642-29271-2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

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Anhang A: Schemata zur Versuchsplanungund Auswertung

Testauswahl für Mittelwertvergleiche

Das Schema I bietet die Möglichkeit einer Auswahl von Testverfahren zu der Fra-gestellung, ob eine Stichprobe von der angenommenen theoretischen Verteilung ab-weicht bzw. ob zwei oder mehr Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stam-men. Dabei beschränken wir uns im Wesentlichen auf die im Buch vorgestell-ten Verfahren. Ausgehend vom Ein-, Zwei- oder Mehrstichprobenfall werden an-hand der Art der Datenstruktur (unabhängig oder verbunden), des Skalierungsnive-aus (ordinal- oder metrisch1 skaliert) sowie der notwendigen Verteilungsannahmen(normalverteilt, nicht normalverteilt bzw. gleiche Verteilungsform) die Testmetho-den klassifiziert und ein adäquater Test vorgeschlagen. Zusätzlich wird die Möglich-keit einer Datentransformation berücksichtigt, mit deren Hilfe die Voraussetzungendes Tests erzielt werden können. Die letzte Spalte verweist auf die entsprechendenParagraphen des Buches.

Ergänzend wurden der z-Test für große Stichprobenumfänge, der Welch-Test imFalle von inhomogenen Varianzen beim Zwei-Stichproben-t-Test (Fisher-Behrens-Problem), der Vorzeichentest und die Varianzanalyse für Messwiederholungen (re-peated measurements) in das Auswahlschema aufgenommen. Statt des Vorzeichen-tests für verbundene Stichproben mit ordinalskalierten Daten wird zwar häufig derWilcoxon-Test für Paardifferenzen benutzt, er verlangt aber mindestens intervalls-kalierte Merkmale.

Bemerkung 1 Zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme haben wir imBuch mehrere Verfahren vorgeschlagen, ohne sie näher auszuführen (§14). In derRegel werden für eine sinnvolle Anwendung dieser Methoden hohe Stichprobe-numfänge benötigt, die aber in vielen Experimenten nicht vorliegen. Dies gilt insbe-sondere bei mehrfaktoriellen Versuchen, die varianzanalytisch ausgewertet werden.Man kann dann in solchen Fällen auf die Überprüfung der Daten verzichten. AlsBegründung dafür hilft die Eigenschaft der Varianzanalyse, dass sie robust (unemp-findlich) hinsichtlich einer Abweichung von der Normalverteilung ist.

1 mindestens intervallskaliert.

W. Köhler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik, Springer-Lehrbuch, 295DOI 10.1007/978-3-642-29271-2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

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296 Kapitel A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung

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Anhang A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung 297

Zum wichtigen Test auf Varianzhomogenität stehen der Levene-Test (§14.1.2)sowie der (konservative) Fmax-Test für balancierte Daten (§14.1.1) zur Verfügung.

Bemerkung 2 Resampling-Verfahren können die Unterstellung bestimmter Vertei-lungsannahmen umgehen, indem sie aus einer vorhandenen, empirischen Stichprobeneue Stichproben generieren. Aus diesen Stichproben lassen sich Verteilungseigen-schaften der interessierenden Maßzahlen gewinnen, die dann eine Signifikanzaussa-ge erlauben. Im Kap. VII werden Permutationstests, die Jackknife-Methode sowiedas Bootstrap-Verfahren vorgestellt.

Bemerkung 3 Die notwendigen Anschlusstests nach signifikanten Ergebnissen inder Varianzanalyse dienen zur Überprüfung, welche der jeweiligen Mittelwerte sichsignifikant voneinander unterscheiden. Sie führen zur Problematik des multiplenMittelwertvergleichs. Wir haben aus diesem Grunde zwischen geplanten A-priori-Testverfahren und ungeplanten A-posteriori-Testverfahren unterschieden (§15). Ei-ne Auswahl dieser Testmethoden wird im Kap. IV, §15 und im Kap. V im Anschlussan die jeweiligen Varianzanalysen vorgestellt.

Testauswahl zum Vergleich von Häufigkeiten

Wenn empirisch ermittelte Häufigkeiten von nominalskalierten Daten vorliegen, sowird in der Regel für die verschiedenen Fragestellungen ein �2-Test vorgeschlagen(vgl. aber Bemerkung 3). Dabei werden die beobachteten (absoluten) HäufigkeitenBij mit den zugehörigen erwarteten Häufigkeiten Eij verglichen, und die entspre-chende Teststatistik wird berechnet.

Im Schema II wird anhand der Anzahl der Stichproben bzw. Merkmale unter Be-rücksichtigung der Datenstruktur und der zu überprüfenden Hypothesen jeweils eingeeigneter Test vorgeschlagen. Dabei wird auf die notwendige Zellbesetzung hinge-wiesen und, soweit möglich, der entsprechende Paragraph des Buches angegeben.

Bemerkung 1 Als minimale Zellbesetzung geben wir hier die „üblichen“ Faustfor-meln an. Häufig wird gefordert, dass die Erwartungswerte Eij � 10 sind. Die Vor-aussetzungen können gegebenenfalls durch Zusammenlegung von Kategorien bzw.von benachbarten Klassen erfüllt werden. Dies führt zu einem Verlust von Freiheits-graden. Für kleine Stichprobenumfänge wird generell empfohlen, exakte Tests oderRandomisierungsverfahren (Kap. VII) zu verwenden.

Bemerkung 2 Die betrachteten Merkmale sind in der Regel nominal- oder ordi-nalskaliert und die absoluten Häufigkeiten ihres Auftretens werden erfasst. Bei derAnwendung eines �2-Tests auf höher klassifizierte Merkmale muss vor der Berech-nung eine adäquate Klasseneinteilung durchgeführt werden.

Bemerkung 3 Alternativ zu den „populären“ �2-Tests wird oft ein G-Test emp-fohlen. G-Tests gehören zur Gruppe der likelihood-ratio-Tests und besitzen einigevorteilhafte mathematische Eigenschaften, die beispielsweise für Anpassungstestsbei komplexen statistischen Modellen vorteilhaft sind.

G-Tests sind wie �2-Tests für kleine Stichprobenumfänge nicht geeignet.

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298 Kapitel A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung

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Anhang A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung 299

Charakterisierung von Zusammenhängen

In der Analyse von Zusammenhängen unterscheidet man zwischen Korrelation bzw.Assoziation und Regression. Bei der Korrelation (Assoziation) ist die kausale Ab-hängigkeit zwischen den Merkmalen X1 und X2 wechselseitig oder unbekannt.Liegt aber ein unabhängiges Merkmal X und ein davon abhängiges Merkmal Y

vor, so spricht man von Regression.Bei der Korrelation wird die Stärke des Zusammenhanges der Merkmale (Va-

riablen) mit charakteristischen Maßzahlen, Korrelations- oder Kontingenzkoeffizi-enten, angegeben, bei der Regression wird die Art des Zusammenhangs durch dieAnpassung geeigneter Funktionen f beschrieben. Zur Quantifizierung der Güte derAnpassung der gewählten Funktion an die experimentellen Daten dient dabei u. a.das Bestimmtheitsmaß B .

Im Schema III wird unter Berücksichtigung der Datenstruktur und des Skalen-niveaus ein statistisches Verfahren zur Charakterisierung des vermuteten Zusam-menhangs vorgeschlagen. In der letzten Spalte wird auf die jeweiligen Paragraphenverwiesen, in denen die Verfahren erläutert werden.

Versuchsplanung und Auswertung

Die Auseinandersetzung mit Fragestellung und Ablauf eines Experimentes sollteunbedingt vor der Versuchsdurchführung erfolgen. Auf der Grundlage eines inten-siven Literaturstudiums werden die fachspezifischen und statistischen Vorausset-zungen zur Lösung der gewählten Aufgabe diskutiert und analysiert und der Ver-suchsablauf soweit wie möglich geplant. Dazu gehören auch die technischen undpersonellen Randbedingungen der vorgesehenen Untersuchung.

Im Schema IV werden anhand des zeitlichen Ablaufs der Versuchsdurchführungvon der Aufgabenstellung bis zum Schlussbericht einige Punkte aufgeführt, die be-rücksichtigt werden sollten. Ausführlicher werden verschiedene Aspekte der Ver-suchsplanung im Kap. VIII vorgestellt.

Hinweise zur Verwendung statistischer Programmpakete

Die in einer Untersuchung erfassten Daten werden in der Regel in Form einer Ta-belle abgelegt und in einer Datei gespeichert. Häufig werden dazu Tabellenkal-kulationsprogramme verwandt, beispielsweise Excel von Microsoft Office. DieseProgramme gestatten es, die Ergebnisse mithilfe von Sortier-, Gruppier- und Fil-terfunktionen zu bearbeiten, einfache graphische Darstellungen anzufertigen undstatistische Berechnungen im Sinne einer deskriptiven Statistik durchzuführen. Siesind gut geeignet, kleine Experimente „per Mausklick“ auszuwerten.

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300 Kapitel A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung

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Anhang A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung 301

Schema IV Zur Versuchsplanung

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302 Kapitel A: Schemata zur Versuchsplanung und Auswertung

Größere Untersuchungen mit umfangreichen Datenmengen und kompliziertenAuswertungsmethoden erfordern dagegen statistische Programmpakete zur Analy-se und der graphischen Darstellung von Daten. Sie stellen geeignete Werkzeuge zurstatistischen Bearbeitung umfangreicher Datenmengen dar und beinhalten eine Fül-le von Prozeduren, die mit Hilfe von Anweisungen in einer programmspezifischenSprache ausgeführt werden. Einige Programmpakete bieten neben den Grundpro-grammen auch spezielle Module zur statistischen Versuchsplanung an, die den An-wender bei der Planung und Auswertung unterstützten (z. B. bei der Fallzahlschät-zung, der Randomisierung oder der Anlage von Versuchen).

Die Fülle der verfügbaren Programme ist sehr groß, und ausführliche Listen exis-tieren im Internet. Zu den bedeutendsten Statistik-Paketen gehören SAS, SPSS,S-Plus (alle kostenpflichtig) und das kostenlose Programm „R packages“. In derRegel laufen diese Programme auf einer Windows-Plattform und sind in englischerund/oder deutscher Sprache abgefasst.

Bemerkung Statistikprogramme rechnen „fast alles“. So können die Daten einerzweifaktoriellen Spaltanlage als vollständig randomisierte Versuchsanlage oder alsBlockanlage verrechnet werden, wenn dem Programm nicht die zugrunde liegendeVersuchsstruktur angegeben wird. Vor der Verrechnung müssen daher die statis-tischen Voraussetzungen der Verfahren geprüft und dem Programm das adäquateModell vorgegeben werden.

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Anhang B: Tabellen

Die meisten Tabellen wurden mit geringfügigen Änderungen aus Sachs, L.: Ange-wandte Statistik, Springer-Verlag, übernommen. Sie enthalten daher z. T. Dezimal-Kommas statt der sonst im Buch verwendeten Dezimalpunkte.

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304 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 305

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306 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 307

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308 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 309

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310 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 311

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312 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 313

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314 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 315

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316 Anhang B: Tabellen

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Anhang B: Tabellen 317

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Auswahl englischer Fachausdrücke

alternative hypothesis Alternativhypothese H1

analysis of variance (ANOVA) Varianzanalyse, Streuungszerlegunganalysis of covariance (ANCOVA) Kovarianzanalyseassigning scores bonitierenarithmetic mean arithmetischer Mittelwertat random zufälligaverage Mittelwert (auch Medianwert),

Durchschnittbar diagram, -chart Stabdiagrammbell-shaped curve Glockenkurvebeta error Fehler 2. Art (ˇ-Fehler)between groups zwischen den Gruppenbiased mit einem systematischen Fehler behaftetbias Bias, systematischer Fehler, Verzerrungby chance zufälligcancel kürzen (mathematisch)cases Fällecell frequency Klassenhäufigkeitchi-square Chi-Quadratcharacter(istic) Merkmalclass frequency Klassenhäufigkeitclass mark, mid-point Klassenmittecluster Klumpen, Gruppe, Clustercoefficient of– association Assoziationskoeffizient– correlation Korrelationskoeffizient– determination Bestimmtheitsmaß– regression Regressionskoeffizient– variation Variationskoeffizientcolumns Spalten

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320 Auswahl englischer Fachausdrücke

confidence belt, -limits Konfidenzintervall, Konfidenzgürtel,Vertrauensbereich

confidence interval Konfidenzintervall, Vertrauensintervallconfidence region Konfidenzbereichconfounding Vermengungcontingency table Kontingenztabellecontinuous stetig, kontinuierlichcontrol group Kontrollgruppe, Kontrollecount, counts Anzahl, absolute Häufigkeitcritical region kritischer Bereich, Verwerfungsbereichcritical value kritischer Wertcross tabulation Kreuztabellecumulative frequency Summenhäufigkeitdata Daten– paired – paarig– matched/unmatched – verbunden/unabhängig– ratio/interval – Messwerte/intervallskalierte Daten– ordinal – ordinal, Rangzahlen– nominal – Kategorien, nominalskalierte Datendegrees of freedom (df) Freiheitsgrade (FG)denumerator Nennerdependent abhängigdescriptive statistic beschreibende Statistikdesign Versuchsanlage– completely randomized (CRD) vollständig randomisierte Anlage– Latin Square (LS) Lateinisches Quadrat– lattice Gitter-Anlage– randomized complete block (RCB) randomisierte vollständige Blockanlage– split-plot Spaltanlage– strip-plot, split-block Streifenanlagediscrete diskretdistribution free verteilungsfreidistribution function Verteilungsfunktiondose-response curve Dosis-Wirkungskurveequation Gleichungerror of first (second) kind Fehler 1. (2.) Art, ˛ (ˇ)-Fehlererror of observation Messfehler, Beobachtungsfehlererror Fehlerestimate Schätzung, Schätzwert,

auch Schätzfunktioneveness Eveness, relative Diversitätexcess Exzess, Steilheit, Wölbungexpectation Erwartungswert, Mittelwertexplained erklärtexperimental design Planung eines Experiments, Versuchsplan

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Auswahl englischer Fachausdrücke 321

experimentwise error rate versuchsbezogenes Risikofactorial Fakultät, faktoriellfalse negative falsch negativfalse positiv falsch positivfamilywise error rate versuchsbezogenes Risikofinite population endliche Grundgesamtheitfixed effects model Modell mit festen Effektenfrequency polygon Häufigkeitspolygonfrequency (ratio) relative HäufigkeitF-distribution F-Verteilunggoodness of fit Güte der Anpassunggrouping klassifizieren, gruppierenGauss distribution Gauß-Verteilung, Normalverteilunghomogeneity Homogenität, Gleichheitindependent unabhängiginferential statistic schließende Statistikinfinite unendlich, 1interactions Wechselwirkungenintercept Schnittpunkt mit der Y-Achsekurtosis Exzess, Steilheit, Wölbunglatin square (LS) Lateinisches Quadrat (LQ)least significant difference (LSD) Grenzdifferenz (GD)least squares method Methode der kleinsten Quadratelevel Niveauline of best fit AusgleichsgeradeMANOVA Multivariate VAmarginal distribution Randverteilungmean Mittelwertmean error mittlerer Fehlermedian Median, Zentralwertmeasurements Messwertemock treatment Scheinbehandlung, Placebomode Dichtemittel, Modalwertmultiple comparisons multiple Vergleichemutually exclusive events sich gegenseitig ausschließende Ereignissen choose k,

�nk

�n über k,

�nk

�, Binomialkoeffizient

n-factorial, nŠ n Fakultät, nŠ

n over k n durch k (Quotient n=k)nonparametric methods nicht-parametrische Methoden,

verteilungsunabhängige Methodennonsense correlation Scheinkorrelationnormal equations Normalgleichungennull hypothesis Nullhypothese H0

numerator Zählernuisance variable Störfaktor

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322 Auswahl englischer Fachausdrücke

observation Beobachtungobservational survey Beobachtungsstudieone-tailed test einseitiger Testorder statistics Rangzahlenoutlier Ausreißeroverfitting Overfitting, Überanpassungpaired t-test paariger t-Testparameter Kennzifferpercent Prozentper-comparison error rate vergleichsbezogenes Risikopie chart Kreisdiagrammpooling of classes Zusammenfassung von Klassenpopulation Grundgesamtheitpower of a test Teststärke, 1 � ˇ

probability Wahrscheinlichkeitprotected t-test multipler t-Test nach Varianzanalysepseudo-random number generator Zufallsgeneratorquartile Quartilrandom effects model Modell mit zufälligen Effekten, Modell IIrandom error Zufallsfehler, statistischer Fehlerrandom event Zufallsereignisrandom sample Zufallsstichproberange Spannweite, Variationsbreiterank correlation Rangkorrelationratio Verhältnis, Quotient, Bruchregression plot Regressionskurve, -graphreject verwerfenrelative frequency relative Häufigkeitrepeated measurement Messwiederholungreplicate Wiederholungresidual Fehlstreuung, Residuenrows Zeilensample Stichprobesample mean Mittelwert der Stichprobesample size Stichprobenumfangscatter-plot, -diagram Punktwolke, Streudiagrammsignificance level Signifikanzniveausign Vorzeichenskewed distribution asymmetrische Verteilungskewness Schiefeslope Steigungspace Raumstandard deviation Standardabweichungstandard error mittlerer Fehlerstatistic Maßzahl, Parameterschätzwert

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Auswahl englischer Fachausdrücke 323

subset Untermenge, Teilmengesum of squares (SS) Summe der Abweichungsquadrate (SQ)Student’s distribution t-Verteilung von Studentsystematic sample systematische Stichprobetail Schwanz einer Verteilungtally chart Strichlistetie Bindungtrait Merkmaltransformation mathematische Datenmanipulationtrimmed mean gestutztes arithmetisches Mitteltreatment Behandlungtrial Zufallsexperimenttwo-tailed test zweiseitiger Testtwo-way table Kreuztabelletype I error, -risk Fehler 1. Art, ˛-Fehlertype II error Fehler 2. Art, ˇ-Fehlerunbiased frei von systematischen Fehlern,

erwartungstreuunderfitting Underfitting, schlechte Modellanpassungunit of observation, experiment Versuchseinheitvalue Wertvariable– dummy Scheinvariable (Dummy-Variable)– latent latente (versteckte) Variable– lurking versteckte Variable– nuisance Störvariablevariance ratio distribution F -Verteilungweighted average gewogenes Mittelwithin groups innerhalb der Gruppenz-test z-Test, Test auf Mittelwertunterschiedez-distribution z-Verteilung, Standardnormalvertei-

lung N.0; 1/

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Literaturverzeichnis

Bücher zu den mathematischen Grundlagen

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Gottwald S, Kästner H, Rudolph H (1995) Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik. Bibliogra-phisches Institut, Mannheim

Weiterführende Bücher zur Statistik und Versuchsplanung

Backhaus K, Erichson B, Plinke W, Weiberer R (2006) Multivariate Analysemethoden. Eine an-wendungsorientierte Einführung. Springer, Berlin Heidelberg New York

Bortz J (2005) Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Springer, Berlin Heidelberg NewYork

Bortz J, Lienert GA, Boehnke K (2008) Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Springer,Berlin Heidelberg New York

Efron B, Tibshirani RJ (1998) An introduction to Bootstrap. Chapman & Hall, LondonFeller W (1968) An introduction to probability theory and its applications. Wiley & Sons, New

YorkFisz M (1978) Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. VEB Deutscher Verlag

der Wissenschaften, BerlinGomez KA, Gomez AA (1984) Statistical procedures for agricultural research. Wiley & Sons, New

YorkHartung J, Elpelt B, Klösener K-H (2005) Statistik. Lehr- und Handbuch der Angewandten Statis-

tik. Oldenbourg, MünchenLeyer I, Wesche K (2007) Multivariate Statistik in der Ökologie. Springer, BerlinLunneborg CE (2000) Data Analysis by Resampling. Duxbury, Pacific Grove/CAMilliken GA, Johnson DE (1993) Analysis of messy data I. Chapman & Hall/CRC, Boca RatonSachs L, Hedderich J (2006) Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R. Springer, Berlin

Heidelberg New YorkSnedecor G, Cochran W (1989) Statistical methods. Iowa State Univ Press, Ames/IASokal R, Rohlf J (1995) Biometry. Freeman, San Francisco/CAThomas E (2006) Feldversuchswesen. Ulmer, StuttgartZar JH (2009) Biostatistical Analysis. Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River

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Sachverzeichnis

A

a posteriori 144, 151A-posteriori-Verfahren 151, 167A-priori-Verfahren 144Abbruchvorschrift 152, 159, 160abhängige Merkmale

(Variable) 39, 43, 60Ablehnungsbereich 85Abschlussprinzip 152absolute Häufigkeiten 16Absolutskala 7Abstand in Y -Richtung 63Abszissenachse 16Abweichung von der Linearität 195, 208Achsenabschnitt 61, 71Achsentransformation 67, 74Additivität 124, 168adjustiertes Bestimmtheitsmaß 224Ähnlichkeitsmatrix 237alpha-Fehler, ˛-Fehler, alpha-Risiko 79Alternativhypothese 78ANCOVA 214Anlage (Design) 92

– Block- 252, 253, 258– Lateinisches Quadrat 257– Spalt- 257– vollständig randomisiert 253

ANOVA 127, 214Anschlusstest 143, 168Anzahl Wiederholungen 248, 260approximieren 285Äquidistanz 200, 209, 248, 254Äquivalenz 137Arcus-Sinus-Transformation 75arithmetisches Mittel 28

– gestutztes 43

aus Daten geschätzter Parameter 100Ausgleichsgerade 60, 200Ausreißer 42, 46Ausschaltung von Störfaktoren 256Ausschöpfungsquote 242

B

balanciert 127, 199, 254Balkendiagramm 16BCA 245Behandlungseffekte 110, 123beobachtete Häufigkeiten 56, 100beobachteter Wert 57Berkson-Fall 196beschreibende Statistik 1, 11Bestimmtheitsmaß 48, 53, 66, 223beta-Fehler, ˇ -Fehler 80beta-Koeffizienten 227beteiligte Mittelwerte 154, 158Bezugsgröße 7Bias 238, 249bimodal (zweigipflig) 23Bindungen 97, 183, 185, 190Binomialverteilung 79biologische Variabilität 110, 111Biometrie 1, 3bivariable Normalverteilung 45bivariable Verteilungen 11, 43Blockbildung 252Blockdiagramm 16Blöcke mit zufälliger Anordnung 190, 253,

255Bonferroni-Fisher 154

– Dunn-Šidak 155– Holm 154

Bonferroni-Korrektur 154

327

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328 Sachverzeichnis

Bootstrap 241Bootstrap-Stichprobe 242Box-Whisker-Plot 37BS

– Konfidenzintervall 244– Replikate 243

Buffon 232

C

ceiling function 243Ceteris-paribus-Prinzip 249charakteristische Maßzahlen 27, 42Chi-Quadrat, �2 56, 100, 103, 181Chi-Quadrat-Anpassungstest 100Chi-Quadrat-Homogenitätstest 102Cramérscher Index CI 60

D

data-snooping 3Datentransformation 75deskriptive Statistik 11deterministisch 241Dichtemittel 29Differenzenquotient 62direktional 237diskret 6Distanzmatrix 237Diversität 38Diversitätsindizes 38, 39Doppel-log-Transformation 71doppel-logarithmisch 74Dosis-Wirkungskurve 72Dummy-Variablen 219, 223Dunnett-Test 163Durchschnittsquadrate 120DV-Test 162

E

Effizienz 97Einfach-log-Transformation 69einfache Varianzanalyse 123einfache Zellbesetzung 128, 132, 134, 199einfaktorielle Varianzanalyse 109, 118, 120,

181, 187einfaktorielle Versuchsanlage 258einseitige Abhängigkeit 52, 60, 195einseitige Fragestellung 90Ellipse 46, 68Empfindlichkeit 253empirische Stichprobe 242Entscheidungssituation 78

erklärte Varianz 67erwartete Häufigkeiten 62, 102, 103erwarteter Wert 60Erwartungswerte 162, 173Eveness 39explorative Datenanalyse 3Exponentialfunktion 70exponentielle Beziehung 68Exzess 23, 137

F

F -Test 122, 128, 182F -Verteilung 153Faktorstufen 118Fehler 1. Art 79, 80, 82Fehler 2. Art 81fehlerbehaftet 197Feldertafel 56feste Effekte 111F G 87flachgipflig 25floor function 243Fmax-Test 142formale Korrelation 52Freiheitsgrad 86, 87, 127, 260Friedman-Rangvarianzanalyse 190Friedman-Test 191funktionaler Zusammenhang 52

G

GD-Test (LSD) 146, 147Gemeinsamkeitskorrelation 51, 197gemischtes Modell 172Genauigkeit 247geometrisches Mittel 34geordnete Liste 11geplante Mittelwertvergleiche 151, 165geplante Vergleiche 143Gerade 60Geradengleichung 60, 62, 193Gesamt-Varianz 67Gesamtmittelwert 32, 114Gesamtstreuung 126gestutztes arithmetisches Mittel 43gestutztes Mittel 240gewogenes arithmetisches Mittel 32Glättung 22, 45gleiche Zellbesetzung 128glockenförmig 41Glockenkurve 170, 195graphische Bestimmung 63graphische Darstellung 13, 54

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Sachverzeichnis 329

Grenzdifferenzen 145, 154Grenzvariationsbreitentest (LSR-Test) 160Großteilstück 259Grundgesamtheit 13, 78, 264Gruppen von Mittelwerten 147Gruppenmittelwert 209Güte des Tests 97GV-Test 160, 161, 166

H

H -Test 184harmonisches Mittel 34Hartley-Test 138Häufigkeiten 13, 44Häufigkeitstabelle 12, 44Hauptachse der Ellipse 47, 65, 195Heritabilität 112Histogramm 20, 44hochgipflig 23homogene Mittelwertgruppe 159homogene Varianzen 127, 136, 195homogenes Material 104, 253Homogenitätstest 104Homoskedastizität 137, 198HSD 161Hyperbel 74Hypothesenfamilie 153

I

Indizes 48induktive Basis 253Informations-Verlust 235inhomogene Stichprobe 51Inhomogenitätskorrelation 51interpolieren 30interpoliert 243Interquantile 32Interquartilabstand, -bereich 37Intervallschätzung 104, 203Intervallskala 6Irrtumswahrscheinlichkeit ˛ 79, 154Iteration 264

J

Jackknife 238– Konfidenzintervall 240– Schätzer 240– Subsample 238

K

Kartogramm 20

kausaler Zusammenhang 53Klassenbreite 12Klassengrenzen 12klassifizierte Häufigkeitstabelle 13Klassifizierung 12, 44kleinste interessierende Differenz 262Kleinteilstück 260Kollinearität 225, 227Kolmogorov-Smirnow-Test 137Komponenten-Stabdiagramm 16Konfidenzbereich 204Konfidenzintervall 106, 239

– Jackknife 240Konfidenzintervall für Steigung 204konfirmatorische Datenanalyse 3konservatives Testen 82, 144, 146, 197Kontingenz 56Kontingenzkoeffizient 56, 104Kontingenztafel 57, 58Kontrolle 146Kontrollgruppe 255Korrektur K zum H -Test 184Korrekturglied 134Korrelation 43, 46, 50, 195, 237Korrelationskoeffizient 46, 53, 94, 195Korrelationstyp 51, 53korrigierter Kontingenzkoeffizient 59Kovariablen 214Kovarianz 214Kovarianzanalyse 214, 216Kovarianzanalyse (ANCOVA) 214Kovariate 214Kreisdiagramm 18kritischer Wert K 80, 87Kruskal-Wallis-Test 181kumulative Häufigkeiten 25

L

Lagemaß 240Lageparameter 26, 28Lageunterschiede 98Lagevergleich

– unabhängiger Stichproben 96– verbundener Stichproben 98

Lateinische Quadrate 256Lauf-Index 13Levene-Test 143lg 69lineare Beziehung 68lineare Funktion 46, 60lineare Kontraste 153, 258linearer Zusammenhang 46, 195lineares Modell 136

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330 Sachverzeichnis

Linearität 199, 205, 212linksgipflig (rechtsschief) 32linksschief (rechtsgipflig) 32ln 68logarithmieren 68Logarithmus-Transformation 75lognormal 75Lokation 28Lokationsmaß 32LSD-Test 146LSR-Test 160, 162

M

Mann-Whitney 95Mantel-Test 236Maßkorrelationskoeffizient 46, 93Maßzahlen (siehe Parameter) 26, 77Matrix 236Median 25, 30, 187, 188, 245Median-Test 236Mehrfach-Besetzung 210mehrfaktorielle Versuche 254, 257mehrgipflig 22Mehrstichproben-Fall 181Messwertdifferenzen 140Methode der kleinsten

Quadrate 65, 68, 193, 200Mittelwertgruppen 148mittlere Abweichungsquadrate 202mittlere Quadratsummen 120mittlerer Fehler 34, 41, 105, 241Modalwert 28Modell I 117, 196

– Regressionsanalyse 195– Varianzanalyse 118, 120

Modell II 117, 172Modell vom Typ I oder II 117Modelle 195Modellgleichung 136Monotonie 54monovariable Verteilungen 11Monte-Carlo 232, 236, 238MQ 120MQA, MQB , MQW , MQR 127, 202multimodal 22multiple Korrelationsrechnung 214multiple lineare Regression 220multiple Mittelwertvergleiche 143, 153multiple Regressionsanalyse 214multiple Vergleiche 143, 186, 190

– bei signifik. Wechselwirkung 166multipler t -Test 154multipler Korrelationskoeffizient 224

multiples Niveau 153multiples Risiko 152multiplikative Beziehung 135multivariate Normalverteilung 214

N

natürlicher Logarithmus, ln 68Nemenyi-Test 186Newman-Keuls-Test 152, 156nicht-parametrisch 241, 264nichtlinear 67nichtlineare Regressionsfunktion 209NK-Test 156, 167nominalskaliert 6, 56, 100Normalgleichungen 63normalverteilt 22, 88, 105, 117, 127, 136,

170– nicht-normalverteilt 181, 187

Normalverteilungsplot 72, 136Nullhypothese 78

O

oberes Quartil 32, 37Objektivität 5Ordinalskala 6ordinalskaliert 54, 95, 181, 187Ordinate 16, 53overfitting 226

P

P -Wert 88, 245, 246paarige Stichproben 91paariger Test 92Parameter 26, 42, 77

– B 48– C; Ckorr 59– D 29– E 39– G 34– H 39– HM 34– I50 37– Q1; Q2; Q3; Qp 32, 37– R 55– V 37– Z 30– cv 37, 195– r 47– sx; s2

x , sNx 34, 35

– Nx NNx 28, 32Parameter aus Daten geschätzt 101Parameter-Korrektur 239parameterfreies Verfahren 181, 187

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Sachverzeichnis 331

parametrisch 95, 165Permutation 232, 236Permutations-Test 232

– mit Rängen 235– mit Zufallsauswahl 236

Perzentil 243, 245Perzentil-Methode

– BCA 245– einfache 244

Planung, fachliche, statistische 247plug-in 243, 244Poisson-Verteilung 101polyfaktorielle Versuchsanlage 254Polygonzug 21, 124Präzision 249, 252Primäre Tafel 11Probitanalyse, Probit-Plot 72Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient 47prognostizieren 194Protokoll 11Prüfstatistiken 86Prüfverteilungen 86Punktschätzung 104Punktwolke 46, 49, 65

Q

Quantil 32, 243Quartil 32, 37quasi-zweifaktoriell 190

R

Randomisieren 136, 250, 255Randomisierung 231Randverteilung 56, 102Randwahrscheinlichkeit 56Ränge 235Rangkorrelationskoeffizient 53, 99Rangplätze, Rangzahlen 54, 95, 183Rangtest 95rechtsgipflig (linksschief) 32rechtsschief (linksgipflig) 32reduziertes Modell 225Regressand 213Regression 43, 195

– einfache Besetzung 199, 205– mehrfache Besetzung 207– multiple lineare 220

Regressionsanalyse 193– Fragestellung der 201– Voraussetzungen 198

Regressionsgerade 60, 195Regressionskoeffizient 62, 198

Regressionsmodell I 195Regressionsmodell I und II 222Regressionsmodell II 197

– Bezeichnungen 197Regressionsrechnung 60Regressor 213relative Häufigkeit 16, 56Reliabilität 5Resampling 231Residuen 65, 223Residuenanalyse 223Restfehler 115Reststreuung 110, 115Rücktransformation 68

S

Schätzer– JK 240– plug-in 243

Schätzungen von Varianzkomponenten 112,169

Schätzwerte 35, 77, 104, 115, 170Scheffé-Test 166Schiefe 32, 136schließende Statistik 5, 77Schranken für Nemenyi 186Schranken für Wilcoxon-Wilcox 191Schrittweite 200, 212Schwellenwerte für Friedman 188sigmoid 72signifikant 77, 82, 122Signifikanz 88, 90, 122Signifikanz-Niveau, Kennzeichnung 78, 161Signifikanztest 245Simulation 232, 238Skalen-Niveau 6Skalentransformation 75SNK-Test 158Sorten-, Behandlungs-, Gruppeneffekte 110,

123Spaltenanzahl 56Spaltensummen 117, 128Spannweite 37Spontanrate 194, 203SQ auf, SQ um 200, 202SQ total 119SQA, SQB , SQR, SQW 126SQA, SQU 202SQI , SQT , SQZ 120SQL 207Stabdiagramm 16Standardabweichung 34, 40Standardfehler 36, 239

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332 Sachverzeichnis

Stärke des Zusammenhangs 46statistische Planung 248statistische Tests 87Steigung der Geraden 48, 62, 68, 71, 194Steigungsdreieck 61stetiger Ausgleich 22, 45Stichprobe 35, 78, 255

– BS 242– Bootstrap 242– empirische 242– virtuelle 242

Stichprobenentnahme 136Stichprobenmittelwert 32Stichprobenschätzwert 35, 77, 82Stichprobenumfang 13, 41, 82, 163, 264stochastisch 241stochastisch unabhängig 236Störfaktoren 214, 252, 256Streifendiagramm 16Streuung innerhalb, zwischen 112Streuungskomponenten 112, 119Streuungsmaße 34Streuungsparameter 26Streuungszerlegung 112, 208Student-Newman-Keuls-Test 158studentisierte Variationsbreiten 153, 165Stufen-Mittelwert 114Sturges 12Subsample 239

– JK 238Summe der Abweichungsquadrate 34, 120Summenhäufigkeiten 24Summenhäufigkeits-Polygon 23Summenkurve 24, 73symmetrischer Versuchsaufbau 254

T

t -Test 92, 166t -Test (nach Varianzanalyse) 145t -Wert 90, 105„Tab“- 87Tafel der Varianzanalyse 121, 132Test

– �2-Anpassungs- 100– �2-Homogenitäts- 103– Bonferroni-Fisher- 155– Bonferroni-Holm- 155– DV- 162– Dunnett- 162– F - 95– Fmax- 138– Friedman- 187– GD- 146

– GV- 160– Grenzdifferenzen- 146– Grenzvariationsbreiten- 160– H - 181– HSD- 161– Hartley- 138– Kruskal-Wallis- 181– LSD- 146– LSR- 160– Levene- 140– Mann-Whitney U 235– Mantel 236– Median 236– NK- 156– Nemenyi- 186– Newman-Keuls- 156– SNK- 158– SQZ-Zerlegung 148– Scheffé- 166– Student-Newman-Keuls- 158– Students t - 93– Tukey- 163– Tukey-Kramer- 160– U - 95– Varianzquotienten- 94– Wilcoxon-Rangsummen- 95– Wilcoxon-Wilcox- 190– t - 90

Test-Statistik 86Test-Theorie 77theoretisch vermuteter Wert 89, 202Transformationen 60, 67, 137, 209transformiert 246Treffgenauigkeit 249Tukey-Test 163

U

U -Test 95, 182, 186, 235U -Werte 95Überschreitungswahrscheinlichkeit 88, 238,

246unabhängig i.S.d. Wahrscheinlichkeits-

rechnung 56, 86, 102, 118, 127,136

unabhängige Merkmale (Variable) 48, 52,60, 195

unabhängige Stichproben 91, 186underfitting 228ungeplanter Mittelwertvergleich 152ungeplanter multipler t -Test 153ungeplanter multipler Vergleich 181ungeplanter Vergleich 143unteres Quartil 31, 37

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Sachverzeichnis 333

Untersuchungsbereich 63unverbunden 91unverbundene Stichproben 181Urliste 11

V

Validität 5Variabilitätsursache 109Varianz 34, 41, 95Varianzanalyse 109

– bei Ordinalskalierung 181– einfache 120, 182, 187– einfaktorielle 120, 169, 187– Friedmans, Rang- 187– Kruskal-Wallis Rang- 181– Modell I 120– Modell II 169– Voraussetzungen 118, 127, 136– zweifache, mit Wdh. 127– zweifache, ohne Wdh. 132, 189– zweifaktorielle 123

Varianzkomponenten 112, 126, 170Varianzquotienten-Test 94, 122Variationsbreite 11, 37, 152Variationskoeffizient 36, 196, 262verbunden 189verbundene Stichproben 91, 181, 187, 190Vergleich mehrerer Mittelwerte 112Verhältnisskala 7vermengt 110Vermengung 259„Vers“-Werte 87Verschlüsselung 255Versuchsdesign 253Versuchsfehler 109Versuchsplanung 83, 247Verteilung der Einzelwerte 105Verteilung der Mittelwerte 105verteilungsfrei 95, 241Verteilungsgebirge 45verteilungsgebunden 95, 166Verteilungstypen 23Vertrauensbereich 42, 104, 194Verzerrung 68, 239, 245, 249virtuell 242volles Modell 225vollkommene Korrelation 48von oben abbauen 225von unten aufbauen 225Vorhersage 62, 194

W

W - 98

wahre Werte 77, 82wahrer Mittelwert 35, 82, 115, 195wechselseitige Abhängigkeit 50Wechselwirkungen 124, 132, 168Wendepunkt 41Wiederholungen 114, 249Wilcoxon-Rangsummen-Test 95Wilcoxon-Test für Paar-

differenzen 98, 190Wilcoxon-Wilcox-Text 187, 190Winkeltransformation 76Wirksamkeit 97Wirtschaftlichkeit 255, 261Wölbung 23Wurzel-Transformation 75

X

X-Wert–, fest vorgegeben 196–, mit Fehler 197–, ohne Fehler 197–, zufällig 197

Y

Y -Achsenabschnitt 62, 194

Z

z-Wert 95Zehner-Logarithmus, lg 68Zeilenanzahl 57Zeilensumme 131Zellbesetzung, mehrfache 128zentrale Tendenz 28Zentralwert 25, 30Zerlegung der Varianz 113, 119Zerlegung von SQZ 147, 164Ziehen

– mit Zurücklegen 242– ohne Zurücklegen 242

zufällig 86, 250zufälliger Effekt 110, 117, 169Zufalls-Generator 231, 242Zufallsauswahl 279

– mit Zurücklegen 279– ohne Zurücklegen 279

Zufallsexperiment 232Zufallsvariabilität 109Zufallszahlen 250Zufallszuteilung 136, 250, 277zulässige Vergleiche 150Zusammenfassung von Klassen 102Zusammenhang 45, 48, 104

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334 Sachverzeichnis

Zweier-Logarithmus, ld 68Zweier-Partition 234zweifaktoriell 123, 189

zweifaktorielle Varianzanalyse 123, 172zweigipflig 15zweiseitig 85