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Anleitung zum Addieren und Subtrahieren mit dem russischen Abakus J. Bienert

1 Grundlagen

Anleitung zum Ausführen der vier Grundrechenarten mit dem

japanischen Abakus („Soroban“)

Grundlagen 1

Der Soroban ist die japanische Form des Abakus, eine Weiterentwicklung des chinesischen Suan-

pan. Typisch für diese Art von Rechenbrett sind die doppelkegelförmigen Perlen, die sich beson-

ders gut greifen lassen und die zwei getrennten Bereiche. Im oberen, traditionell auch „Himmel“

genannt, befindet sich auf jedem Stab eine Perle, die den Wert 5 hat, im unteren, der „Erde“, je nach

Ausführung vier oder fünf weitere, die jeweils den Wert 1 haben. Die traditionelle Form mit 5+1

Perlen wurde von den Chinesen übernommen, nach etwa 1920 setzen sich aber das 4+1-System

durch. Dies genügt auch völlig um die Ziffern von 0 bis 9 dazustellen, durch die reduzierte Anzahl

an Perlen können auf dem Soroban auch sehr hohe Rechengeschwindigkeiten erreicht werden.

Der Soroban wird nur mit dem Daumen und dem Zeigefinger der rechten Hand bedient: Der Dau-

men bewegt Perlen zur Mitte des Geräts hin, die Abwärtsbewegung wird mit dem Zeigefinger

durchgeführt. Die obere Perle wird nur von dem Zeigefinger berührt.

Abb. 1: Ein Soroban mit dem 4+1-System, 15 Stäben und einem Rückstellmechanismus

Abb. 2: Fingerhaltung beim Bedienen des Soroban: Nur die Aufwärtsbewegung im unteren Teil wird mit dem Daumen

ausgeführt, für alles andere wird der Zeigefinger verwendet


2 Zahlen darstellen

Zahlen darstellen 2

1.1 Soroban in Grundstellung bringen

Der Soroban wird, wie auf den Bildern oben, quer gehalten so, dass der Bereich mit den vier bzw.

fünf Perlen unten liegt. Jeder der Stäbe stellt eine Dezimalstelle dar, zur besseren Übersichtlichkeit

ist außerdem jeder dritte Stab entweder durch einen Punkt auf dem Mittelsteg oder durch eine farbi-

ge Perle markiert (s. Abb. 1). Im Gegensatz zu z.B. dem russischen Stschoty gibt es allerdings keine

besondere Markierung für den Dezimalpunkt. Üblicherweise wird der erste markierte Stab rechts

von der Mitte des Abakus für die Darstellung der Einer-Stelle verwendet, bei dem Abakus hier also

der zehnte Stab. Ist bereits abzusehen, dass die gewünschten Zahlen so nicht dargestellt werden

können, soll also z.B. mit möglichst vielen Nachkommastellen gerechnet werden, kann der Einer-

Stab natürlich auch anders gewählt werden.

In der Grundstellung befinden sich die Perlen möglichst nahe am äußeren Rahmen, d.h. die „Him-

melsperlen“ werden nach oben geschoben, die „Erdperlen“ möglichst weit nach unten.

1.2 Eine Zahl darstellen

Um eine Zahl darzustellen wird für jede der Zehnerpotenzen die passende Anzahl an Perlen in

Richtung der Mittelschiene geschoben. Für die Ziffern 1 bis 4 sind dies die unteren vier Perlen,

wobei von der Mitte aus nach unten gezählt wird. Sobald Ziffern ≥ 5 dargestellt werden sollen wird

die Perle im oberen Bereich nach unten geschoben und die entsprechende Anzahl an 1er-Perlen

dazu addiert. Im untenstehenden Bild ist also die Zahl

1 ⋅ 10.000 + 7 ⋅ 1.000 + 5 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅1

10+ 2 ⋅

1

100+ 6 ⋅

1

1.000= 17.523,426

zu sehen.

Abb. 3: Soroban in Grundstellung – Die Ziffern werden dann von links nach rechts abgelesen


3 Zahlen addieren

Das nachfolgende Beispiel zeigt, wie das Zählen von 1 bis 9 auf einem Soroban aussieht:

Zahlen addieren 3

Im Folgenden wird ein Beispiel für die Addition zweier Zahlen, 58,3 und 4,51, beschrieben.

2.1 Ersten Summanden darstellen

Zunächst wird der erste Summand auf die oben beschriebene Weise dargestellt. Im Beispiel hier die

Zahl 58,3.

Abb. 4: Darstellung der Zahl 𝟏𝟕.𝟓𝟐𝟑,𝟒𝟐𝟔

Abb. 5: Zählen von 1 bis 9


4 Zahlen addieren

2.2 Zweiten Summanden hinzufügen

Um eine Zahl zu der dargestellten zu addieren

werden der Reihe nach so viele weitere Perlen

zur Mittelschiene hin verschoben, wie es der

Darstellung des zweiten Summanden, hier

4,51, entspricht. Um nicht durcheinander zu

kommen geht man dabei am besten die Ziffern

von rechts nach links durch.

Im Beispiel hier addiert man also zunächst 1

Hundertstel indem eine der unteren Perlen auf

dem zugehörigen Stab nach oben geschoben

wird. Anschließend werden 5 Zehntel addiert,

dazu bewegt man die „Himmelsperle“ des zu-

gehörigen Stabes nach unten in Richtung der

Mittelschiene. Auf dem Einer-Stab müssen für

den letzten Schritt zu den dort bereits dargestell-

ten 8 Einer noch vier addiert werden.

Da jeder Stab nur die Ziffern 0 bis 9 darstellen kann, tritt hierbei ein Übertrag auf.

2.3 Einen Übertrag verarbeiten

Zunächst werden noch so viele Perlen verscho-

ben wie es möglich ist, hier 1 (s. Abb. 8). An-

schließend ist auf dem Einer-Stab eine 9 darge-

stellt, die größte darstellbare Ziffer. Die Perlen

auf diesem Stab werden wieder in Grundstel-

lung gebracht und zum Ausgleich 1 auf dem

Abb. 6: Darstellung des ersten Summanden 𝟓𝟖,𝟑

Abb. 7: Erste Schritte zum Addieren von 𝟒,𝟓𝟏

Abb. 8: Beim Addieren der Einer tritt ein Übertrag auf

Abb. 9: Zehner-Ausgleich beim Soroban


5 Zahlen subtrahieren

Stab links davon addiert. Da im Gegensatz zu vielen anderen Abakussen, die 10 Kugeln pro Stab

haben, der Soroban auf jedem Stab nur höchstens die 9 darstellen kann, zählt das Durchführen des

Übertrags bereits als ein Additionsschritt, d.h. im letzten Schritt werden nur noch zwei der Erdper-

len nach oben geschoben.

Auf diese Weise wurden insgesamt 4 Einer

addiert: 3 durch das Verschieben von „Erdper-

len“ und 1 Einer durch den Übertrag. Hieran

wird ein weiterer Vorteil des Sorobans deutlich:

Während bei vielen anderen Abakussen, z.B.

dem russischen Stschoty oder dem in Deutsch-

land verbreiteten Rechenbrett der Zehner-

Ausgleich einen zusätzlichen Schritt bedeutet,

zählt er hier bei den Additionsschritten mit,

man spart also wieder Zeit.

Der Soroban zeigt nun das Ergebnis der Rechnung, 58,3 + 4,51 = 62,81, an.

Für andere Überträge verfährt man ebenso: Sobald auf einem der Stäbe eine 9 dargestellt ist, aber

noch weiter addiert werden muss, bringt man die Perlen auf dem fraglichen Stab in die Grundstel-

lung zurück, addiert auf dem Stab links davon eine 1, zählt dies als Additionsschritt mit und addiert

anschließend auf dem ursprünglichen Stab weiter.

Zahlen subtrahieren 4

Um eine Subtraktion durchzuführen wird auf die gleiche Weise wie oben verfahren. Als Beispiel

wird hier, die Rechnung von oben umgekehrt, also 62,81 − 4,51 berechnet.

Zunächst wird die erste Zahl der Rechnung, der Minuend, dargestellt, hier also 62,81 (s. Abb. 10,

unten). Anschließend werden der Reihe nach so viele Perlen auf den Stäben subtrahiert, wie es der

Darstellung des Subtrahenden, hier 4,51, entspricht. Dabei geht man in diesem Fall die Ziffern am

besten von links nach rechts durch. Zunächst müssten also 4 Einer-Perlen zurück nach rechts ge-

schoben werden.

Abb. 10: Addieren der verbleibenden 2 Einer und Ablesen des

Ergebnisses


6 Zahlen subtrahieren

Hierbei tritt wieder ein Übertrag auf, denn auf

dem Einer-Stab sind nur 2 Perlen oben. Diese

werden zunächst nach unten geschoben (Anzei-

ge: 60,81) und anschließend der Übertrag ver-

arbeitet.

Dazu wird zunächst auf dem Zehner Stab 1

subtrahiert und zum Ausgleich auf dem Einer-

Stab rechts davon alle Perlen zum Mittelsteg

geschoben – der Soroban zeigt nun 59,81 an,

auf diese Weise wurde also ein weiterer Einer

subtrahiert! Zuletzt muss also nur noch eine

weitere Erdperle nach unten verschoben wer-

den. Auf diese Weise wurden die 4 Einer des

Subtrahenden abgezogen: Drei direkt durch

Verschieben von Einer-Perlen und eine weitere

durch den Übertrag.

Der Übertrag wird hier also genau umgekehrt wie bei der Addition durchgeführt: Stehen auf einem

Stab keine Perlen mehr zur Verfügung wenn aber noch mehr bewegt werden müssten, wird auf dem

Stab mit der nächsthöheren Potenz 1 subtrahiert

und die Perlen auf dem Ausgansstab anschlie-

ßend alle zum Mittelsteck verschoben, also dort

eine „9“ dargestellt. Anders als bei dem klassi-

schen Rechenbrett oder z.B. dem russischen

Stschoty ist dies aber nicht nur ein Mittel zum

Zweck, sondern entspricht bereits einer Sub-

traktion von 1 auf dem Ausgangsstab! Im An-

schluss daran wird dort also eine Perle weniger

bewegt (s. Beispiel oben).

Für die Rechenaufgabe von oben muss an-

schließend nur noch 0,5 durch Verschieben der

Zehntel-Himmelsperle und 0,01 durch Ver-

schieben der Hundertstel-Erdperle subtrahiert

werden. Anschließend kann das Ergebnis 58,3 direkt abgelesen werden.

Abb. 11: Der erste Schritt der Subtraktion

Abb. 12: Verarbeiten des Übertrags beim Subtrahieren

Abb. 13: Die letzten Schritte der Subtraktion und das Ergebnis


7 Multiplikationen

Multiplikationen 5

Eine Multiplikation zweier beliebiger natürlicher Zahlen 𝑎 und 𝑏 kann z.B. als wiederholte Additi-

on einer der beiden Faktoren durchgeführt werden:

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 + 𝑎+. . . +𝑎⏟ 𝑏 Summanden

= 𝑏 + 𝑏+. . . +𝑏⏟ 𝑎 Summanden

Diese Vorgehensweise wird allerdings schnell aufwendig, da für 𝑎 ≤ 𝑏 mindestens 𝑎 einzelne Ad-

ditionen durchgeführt werden müssen.

Eine Alternative ist es, das Standardverfahren zur schriftlichen Multiplikation auf den Abakus zu

übertragen. Als Beispiel wird nun die Rechnung zu 54 ⋅ 7 beschrieben.

Mithilfe der schriftlichen Multiplikation erhält man das Ergebnis, indem der zweite Faktor mit jeder

Ziffer des ersten Faktors multipliziert und die einzelnen Zwischenergebnisse, gewichtet nach der

zugehörigen Zehnerpotenz, anschließend addiert werden:

54 ⋅ 7

28

54 ⋅ 7

28 35

54 ⋅ 7

28 35

378

Dieses Vorgehen kann auch auf einem Abakus durchgeführt werden.

4.1 Vorbereitung

Zunächst wird der erste Faktor, hier die 54, dargestellt. Dabei wird allerdings die oben beschriebene

Zehner-Wertung der Stäbe ignoriert und die Zahl so dargestellt, dass die höchste Stelle ganz links

ist.

Anschließend wird ein Stab freigelassen, der

den Malpunkt darstellt und vor allem als

Trennlinien zwischen den Faktoren dient.

Daneben wird dann der zweite Faktor darge-

stellt, hier die 7. Diese Darstellung dient vor

allem als Merkhilfe. Ist bereits absehbar, dass die Darstellung der beiden Faktoren, der Trennstab

und das Ergebnis mehr Stäbe benötigen, als der Soroban hat, kann darauf auch verzichtet werden (s.

unten).

Anschließend wird, wie in der Rechnung

oben, die schriftliche Multiplikation ange-

wendet, wobei man die einzelnen Ziffern von

Abb. 14: Ausgangsstellung für die Multiplikation

Abb. 15: Darstellung des ersten Zwischenergebnisses


8 Multiplikationen

rechts nach links durchgeht. Im Beispiel hier wird also zunächst 4 ⋅ 7 im Kopf ausgerechnet. Das

Ergebnis, 28, wird dann auf der rechten Seite des Sorobans dargestellt. Um den Platz bestmöglich

auszunutzen wird die hinterste Stelle auf dem Stab ganz rechts platziert.

Anschließend wird die nächste Ziffer des

ersten Faktors mit dem zweiten Faktor mul-

tipliziert, hier also 5 ⋅ 7 = 35 berechnet.

Dieses Zwischenergebnis wird dann nun zu

dem ersten hinzuaddiert. Genau wie bei der

schriftlichen Multiplikation muss dabei aber

die passende Zehnerpotenz berücksichtigt werden, d.h. es wird nicht 25 + 35, sondern 28 + 350

berechnet, indem der zweite Stab von rechts zur Darstellung der Einer-Stelle verwendet wird.

Tritt dabei ein Übertrag auf, wird dieser genauso verarbeitet, wie oben bei der Addition beschrieben

wurde, d.h. wird auf einem Stab bereits eine 9 dargestellt, auch wenn noch weitere Perlen verscho-

ben werden müssten, werden alle Perlen auf diesem Stab wieder in die Grundstellung gebracht und

zum Ausgleich auf dem Stab links davon 1 addiert.

Dieses Verfahren kann auch mit Faktoren angewendet werden, die beide mehrere Stellen haben,

z.B. bei der Rechnung 487 ⋅ 379. Die Darstellung der beiden Faktoren und des Ergebnisses würde

14 Stäbe benötigen. Um die Rechnung übersichtlich zu halten, wird daher auf die Darstellung der

beiden Faktoren verzichtet und die einzelnen Zwischenergebnisse entweder im Kopf ausgerechnet,

oder auf die gleiche Art und Weise bestimmt, wie oben beschrieben wurde.

Abb. 17: Ausführen einer Multiplikation mit mehrstelligen Faktoren

Abb. 16: Addieren des zweiten Zwischenergebnisses und Ablesen des

Ergebnisses


9 Division und Modulo-Rechnen

Das gleiche Verfahren kann auch für Dezimalbrüche angewendet werden. Dazu multipliziert man

beide Faktoren so mit einer geeigneten Zehnerpotenz 𝑘, dass keiner der beiden Faktoren mehr eine

Nachkommastelle hat. Statt 1,35 ⋅ 2,4 rechnet man also 135 ⋅ 240 auf die oben beschriebene Art

und Weise. Abschließend teilt man das Ergebnis, 32400, durch 𝑘2 und erhält also

1,35 ⋅ 2,4 = 3,24.

Division und Modulo-Rechnen 6

Die Division kann, analog zum vorherigen Kapitel, als Abfolge von Subtraktionen dargestellt wer-

den. Dazu wird von dem Dividenden wiederholt der Divisor abgezogen, bis das Ergebnis kleiner als

Null werden würde. Die Anzahl der Subtraktionen wird mitgezählt und stellt dann das Ergebnis der

Division dar. Im Folgenden wird das Beispiel 15: 4 beschrieben. Um dieses Verfahren mit einem

Soroban durchzuführen wird der Dividend, hier die 15, auf dem Abakus dargestellt. Anschließend

wird so lange, wie es möglich ist, der Divisor, hier 4, davon subtrahiert und nach jeder Subtraktion

ein Zähler, z.B. der ganz rechte Stab, um 1 hochgesetzt.

Das Ergebnis ist also 15: 4 = 3 Rest 3. Auf dieser Art und Weise wird also nur die Division mit

Rest durchgeführt und falls der Rest nicht Null ist, nicht das exakte Ergebnis der Division bestimmt.

Dafür liefert dieses Verfahren aber gleichzeitig auch 15 mod 4, den dies ist gerade der Divisions-

rest, also hier 15 mod 4 ≡ 3 (s. „Zähler“).

Als Alternative dazu kann auch das schriftliche Dividieren mit dem Soroban umgesetzt werden.

Zum Beispiel das Ergebnis der Division 157: 4 erhält man nach der Standardmethode auf die fol-

gende Weise:

157: 4 = 3

12

157: 4 = 39

12

37 36

157: 4 = 39,2

12

37 36

10 8

157: 4 = 39,25

12

37 36

10 8

20 20

0

Abb. 18: Beispiel-Division 15:4



Um dieses Vorgehen auf den Soroban zu übertragen wird der Term zunächst wieder analog zur

Multiplikation auf dem Abakus dargestellt. Dabei genügt es allerdings, den Dividenden dazustellen,

da die Darstellung des Divisors hier nicht benötigt wird und nur als Merkhilfe dienen würde. Ist

dies gewünscht, kann alternativ die Reihenfolge der beiden Zahlen umgedreht und der Dividend

rechts vom Divisor dargestellt werden.

Anschließend wird auf die gleiche Weise wie oben gerechnet: 1 kann nicht ganzzahlig durch 4 ge-

teilt werden, daher ist die erste auszuführenden Rechnung 15: 4 = 3 Rest 3. Die erste Ziffer des

Ergebnisses ist also eine 3. Diese wird möglichst weit links auf dem Abakus dargestellt, da das Er-

gebnis von links nach rechts entsteht. Anschließend wird das Ergebnis dieser Division, hier 3, mit

dem Divisor multipliziert und das Ergebnis von den ersten Ziffern des Dividenden abgezogen, hier

also 15 − 12 gerechnet. Tritt dabei ein Übertrag auf, wird dieser genauso behandelt, wie bei der

Subtraktion oben.

Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis die verbleibende Darstellung des Dividenden nicht mehr

ganzzahlig durch den Divisor geteilt werden kann, im Beispiel hier nach dem zweiten Schritt. Der

Dividend ist nicht Null, daher wird nun nicht 1: 4, sondern 10: 4 berechnet und im Ergebnis an die-

ser Stelle ein Komma gesetzt. Dieses kann entweder durch ein paar Perlen markiert werden, oder

man merkt sich die Stelle einfach.

Sobald eine der Subtraktionen dazu führt, dass der Dividend Null wird, ist die Rechnung beendet

und auf der rechte Seite des Abakus kann nun das Ergebnis, hier 39,25 , abgelesen werden.

Wie Abb. 20 zeigen „wandert“ die Darstellung des aktuellen Dividenden immer weiter nach rechts.

Daher stellt man den Dividenden am Anfang so weit wie möglich links dar. Ist die Rechnung noch

nicht beendet, wenn der Dividend rechts „angekommen“ ist und die Darstellung des Ergebnisses

überdecken würde, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder wird das bisherige Ergebnis als hinrei-

chend genauer Näherungswert akzeptiert, oder die aktuelle Darstellung des Dividenden auf den

Abb. 19: Erste Schritte der schriftlichen Division mit dem Soroban

Abb. 20: Letzte Schritte der Division 157 : 4



linken Bereich des Sorobans übertragen, die vorherige Darstellung wieder nach oben geschoben

und anschließend weitergerechnet. Ebenso muss verfahren werden, wenn auf der rechten Seite nicht

mehr genug Stäbe für die Darstellung des Ergebnisses zur Verfügung stehen. Eine Möglichkeit ist

es, die bisherigen Ziffern zu notieren, alle Perlen wieder nach oben zu schieben und anschließend

weiter zu rechnen. Die beiden Zwischenergebnisse werden dann anschließend zusammengefügt.

Alternativ wird die bisherige Darstellung des Ergebnisses nach links übertragen.

Die Anzahl der Stäbe eines Abakus begrenzt also nicht nur den Zahlenbereich, der dargestellt wer-

den kann, sondern auch die Genauigkeit der darstellbaren Rechnungen und Zahlen.

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